Post on 06-Sep-2015
description
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
1
Universidad Aztln
Campus Cuernavaca
Ingeniera Industrial
Materia: Mtodos Numricos
Gauss Jordn y descomposicin LU
Profesor: Ing. Hernndez Hernndez Erick
Alumno: Pablo Rodolfo Cruz Lpez
Fecha: 13 de Febrero del 2015
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
2
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Introduccin:
Buenas tardes profesor. He estado en el trabajo desde las 7 de la maana, y me pusieron a
inspeccionar una mquina que no tiene dificultades en nada. Ya llevo como 5 horas haciendo la
tarea, y quera comentarle que hay varios videos en youtube donde explican el mtodo de factorizacin LU y el de Gauss-Jordn que me fueron de utilidad.
Pero tena una duda, en la anterior tarea cuando hablamos de calcular el determinante, vimos que
cuando triangulizamos la matriz solo debamos de multiplicar los elementos de la diagonal.
Y ahora que vi esto del Gauss-Jordn quise hacer lo mismo pero no pude. Porque el determinante
pues siempre me va a dar uno. Entonces creo haber ledo en el Chapra que decan eso, que solo si se
trianguliza usando el mtodo de eliminacin gaussiana simple se puede. No s si me pueda indicar
si estoy bien o no con respecto a eso.
Luego en sus notas no entend muy bien lo del mtodo LU, porque usan los pasos del mtodo
Gaussiano simple.
Solucin:
Primero me voy a echar el mtodo de Gauss-Jordn.
Escribir esta cosa de manera matricial:
|
|
Dado que la primera fila ya tiene 1 en el primer elemento ya no tenemos que hacer eso que el
Chapra llama normalizar.
Ahora a la segunda fila le restamos el producto por de la primera fila. Es decir:
|
| |
|
|
|
Ahora multiplicamos la primera fila por 2 y se la restamos a la tercera fila. As:
|
| |
|
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
3
|
|
Ahora conviene que dividamos la segunda fila entre -2 para normalizarla, as:
|
| |
|
|
|
Ahora que la tenemos normalizada, a la primera fila le sumamos la segunda fila, y a la tercera fila le
restamos cinco veces la segunda fila, as:
|
|
|
|
|
|
||
||
Ahora si multiplico la tercera fila por
tendremos:
|
|
|
| (
)
|
|
|
|
||
||
Ahora conviene que la tercera fila la multiplicamos por
y el resultado se lo restemos a la primera
fila. Luego tambin debemos de multiplicar la tercera fila por
y restarle el resultado a la segunda
fila. As:
||
||
||
||
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
4
|
|
As tenemos que
Factorizacin LU
Tengo que |
| y que |
| |
|
Donde
Luego checando eso de la multiplicacin de matrices que viene en el Zill tenemos que:
(primera fila de L por primera columna de U)
(primera fila de L por segunda columna de U)
(primera fila de L por tercera columna de U)
(segunda fila de L por primera columna de U)
De esto se tiene que:
(segunda fila de L por segunda columna de U) De esto nos da:
(segunda fila de L por tercera columna de U)
De esto nos da que:
(tercera fila de L por primera columna de U)
De esto nos da que
(tercera fila de L por segunda columna de U)
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
5
Finalmente tenemos que:
Con todo lo anterior tenemos que:
|
| |
|
Ahora en este documento http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-26.pdf encontr que
como:
|
| |
| |
| |
|
Luego se utiliza una |
| |
|, entonces tenemos que:
|
| |
|, |
| |
| |
|
De aqu tenemos que
, ,
Luego tenemos que:
|
| |
| |
|, |
| |
| |
|
De la ltima parte tenemos que:
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
6
b)
Solucin:
|
|
Conviene que primero apliquemos un pivoteo de la tercera fila a la primera. As:
|
| |
|
Ya que tenemos 1 en la primera columna de la primera fila ya podemos comenzar a eliminar los
dems trminos. Multiplicamos la primera fila por 8 y el resultado se lo restamos a la segunda fila,
tambin multiplicamos la primera fila por 7 y el resultado se lo restamos a la tercera fila:
|
|
|
|
|
|
Ahora conviene que la segunda fila la dividamos entre 2 para normalizar esta cosa:
|
| |
|
Multiplicamos la segunda fila por 5 y el resultado se lo restamos a la primera. Tambin
multiplicamos la segunda fila por 6 y la sumamos a la tercera:
|
|
|
|
=|
|
Ahora dividimos la tercera fila entre 5 y tendr que:
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
7
|
| |
|
Luego multiplicamos por dos la tercera fila y el resultado se lo restamos a la segunda fila. Y
multiplicamos por 13 la tercera fila y el resultado se lo sumamos a la primera:
|
|
|
|
|
|
As tenemos que
Factorizacin LU
Tengo que |
| y que |
| |
|
Aplicando el algoritmo tenemos que:
(primera fila de L por primera columna de U)
(primera fila de L por segunda columna de U)
(primera fila de L por tercera columna de U)
Ahora vamos con la segunda fila:
(segunda fila de L por primera columna de U)
(segunda fila de L por segunda columna de U)
,
(segunda fila de L por tercer columna de U)
,
Ahora vamos con la tercera fila
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
8
(tercera fila por primera columna)
(tercera fila por segunda columna)
(
) (
)
(
)
(
)
,
As tenemos que:
|
| |
|
Repitiendo el mismo procedimiento que el ejercicio anterior:
|
| |
| , |
| |
| |
|
,
Luego tenemos que:
||
|| |
| |
| |
|
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
9
De aqu es claro que:
,
,
c)
Solucin: Primero lo escribimos de manera matricial:
|
|
Conviene que primero multipliquemos la primera fila por -1:
|
| |
|
Ahora multiplicamos por 2 la primera fila y el resultado se lo restamos a la segunda. Luego
multiplicamos por 4 la primera fila y le sumamos el resultado a la tercera as:
|
|
|
|
|
|
Ahora conviene que dividamos la segunda fila por 4, as:
|
| |
| |
|
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
10
Ya que tenemos normalizado, conviene que la segunda expresin la multipliquemos por 3 y el
resultado se lo restemos a la primera fila. Luego que multipliquemos la segunda fila por 5 y el
resultado se lo restemos a la tercera fila.
|
|
|
|
|
|
Por pura chiripa ya se resolvi la primera fila.
Ahora multiplicamos la segunda fila por 5 y le restamos el resultado a la tercera fila, as:
|
| |
|
|
|
Dividimos la tercera fila por 13:
|
| |
|
Multiplicamos la tercera fila por 4 y el resultado se lo sumamos a la segunda fila:
|
| |
| |
|
De esto podemos concluir que
Factorizacin LU
Tengo que |
| y que |
| |
|
Para la primera fila:
(primera fila de L por primera columna de U)
(primera fila de L por segunda columna de U)
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
11
(primera fila de L por tercera columna de U)
Segunda fila:
(segunda fila de L por primera columna de U)
(segunda fila de L por segunda columna de U)
(segunda fila de L por tercera columna de U)
Tercera fila: (tercera fila de L por primera columna de U)
(tercera fila de L por segunda columna de U)
(tercera fila de L por tercera columna de U)
As tenemos que:
|
| |
|
|
|
Repitiendo el procedimiento de los dos problemas anteriores tenemos que:
|
| |
|
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
12
|
| |
| |
|
De esto se tiene que
,
Luego
|
| |
| |
|
,
,
,
, ,
d)
Solucin:
||
||
Gauss-Jordn y descomposicin LU
Por Pablo Rodolfo Cruz Lpez
13
En este me tendr que disculpar pero no s como poner adecuadamente la matriz de 4x4,
comprender que por eso me ha costado algo de trabajo.
Afortunadamente la primera fila ya tiene 1, as multiplicamos por 2 la primera fila y le sumamos el
resultado a la segunda fila. Luego multiplicamos la primera fila por 3 y el resultado se lo restamos a
la tercera fila. Y finalmente a la cuarta fila le restamos la primera:
||
||
||
||
||
||
Ahora a la cuarta fila le restamos la segunda fila:
||
|| |
|
||
||
||
Luego sin necesidad de seguirle podemos ver que hay una inconsistencia en la cuarta y en la tercera
columna:
y
Lo cual nos conduce a que que es una inconsistencia. De hecho si calculamos el determinante me da cero. Pero perdone que no lo capture porque me voy
a tardar mucho porque tengo que hacer 3 determinantes de 3 x3.
En el Burden dice que la factorizacin LU sirve siempre y cuando el determinante sea distinto de
cero. As que no veo el caso de comenzarla.
[1] Steven C. Chapra., Raymond P. Canale, Mtodos numricos para Ingenieros, Quinta Edicin. Editorial McGraw-Hill.
[2] Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Mtodos numricos, segunda edicin. Editorial Thomson Internacional.