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7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen
1/13
Universidade Federal do Amazonas
Instituto de Cincias Exatas
Departamento de Fsica
Exerccios de Termodinmica
Problemas - Captulo 2
Problemas Seo 2.2
2.2-1 Encontre as trs equaes de estado para um sistema com a equao fundamental
U v0
R2S3
NV.
Soluo So as equaes que expressam os parmetros intensivos em termos dos parmetrosextensivos independentes. Neste caso sero
T US V,N
T 3v0
R2S2
NV
P UV S,N
P v0
R2S3
NV2
UN S,V
v 0R2
S3
N2V
2.2-2 Para o sistema do problema 2.2-1 determine em funo de T, Ve N.
Soluo Das expresses para e T, encontramos
T 1
3S
N 1
3S
NT
e isolandoSda equao deT, ou seja,
S R NV3v0
T
encontramos
13
RN
T NV3v0
T R3 3v0
VN
1/2
T3/2
2.2-3 Mostre, atravs de um diagrama (em escala arbitrria), a dependncia da presso com ovolume para temperatura fixa para o sistema do problema 2.2-1. Desenhe tais isotermas,correspondentes a dois valores da temperatura, e indique qual isoterma corresponde temperaturamais elevada.
Soluo Das expresses dePe T, encontramos
PT
13
SV
P 13
SV
T
IsolandoSda expresso paraT, encontramos
P 13
TV
R NV3v0
T R
3 3v0
NV
1/2
T3/2
ComoP definido para Nfixo, as isotermas so
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Exerccios de Termodinmica 2
P
V
As isotermas crescem para cima.
2.2-4 Determine as trs equaes de estado para um sistema com equao fundamental
u R
s2 Rv0
2 v2.
Soluo Neste caso, a equao fundamental dada em termos de quantidades molares. Aenergia interna pode ser escrita como
U US, V,N US, V,N Nu SN
, VN
, 1 Nus, v
ou seja,
US, V,N R
S2
N
Rv0
2V2
N
Logo,
T US V,N
us v
T 2R
s
P UV S,N
uv s
P 2Rv0
2 v
UN S,V
UN S,V
S2
v02
R2
V2
RN2v02
s2
v02
R2
v2
Rv02
R
s2 Rv0
2 v2 u
Outra forma de encontrar: Considera-seU NusN, vN, ondesN S/Ne vN V/N. Assim
UN S,V
N
Nu u N N
usN, vN u N us
sN
uv
vN
u N us
sN
uv
vN
u N sN
us
vN
uv
u sus vu
v
uTsPv u2 R
s 2 Rv0
2 v2 us, v.
2.2-5 Expresse em funo de Te Ppara o sistema do problema 2.2-4.
Soluo Da expresso da ltima linha do problema anterior
uTsPv R
s2 Rv0
2 v2 TsPv
Mas deT 2R
s s R2
Te deP 2Rv0
2 v v
v02
2RP. Logo
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Exerccios de Termodinmica 3
R
s2 Rv0
2 v2 TsPv
RR2
T2
R
v02
v0
2
2RP
2
T R2
T P v0
2
2RP
14
R2T2 v 02P2
R 1
4R
T2 v0
2
R P2
2.2-6 Determine as trs equaes de estado para um sistema com equao fundamental
u v0
Rs2
v es/R.
Soluo Da mesma forma que no problema anteriorUS, V,N Nus, ve portanto
US, V,N v0
RS2
V e
SNR .
Assim,
T US V,N
us v
T v0
R2v
sRv
s esR 2s
1R
u
P
UV S,N
uv s P
v0
R
s2
v2 e
s
R
u
v
UN S,V
v0R2
S3
VN2e
SNR v0
Rs2
v esR s
R s
Ru
2.2-7 Indique esquematicamente a dependncia da temperatura com o volume numa expansoadiabtica quase-estticadS 0para o sistema do problema 2.2-6.
Soluo A temperatura uma funo dos parmetros intensivos da forma
T TS, V,N
Assim,
dT TS V,N
dS TV S,N
dV TN S,V
dN
Para uma expanso quase-esttica,dS 0, encontra-se
dT TV S,N
dV TN S,V
dN
Como
T v0
R 2N S
RS
NV e
SNR
ento
TV
v0R2
2NR S SNV2
eS
NR 2RN SRNSV
U
TN
v0S2eS
NR 3NRSR3N3V
3RNSR4N3V2
U
logo,
dT v0R
S2
V e
SNR 2RN S
RNSV dV 3RN S
R4N3V2 dN
ou
T 2RN S
RNSv0R
S2eS
NR dVV2
S2
R4N31
V3v0R
3RN SeS
NR dN
Mas dVV2
1V c e ento podemos escrever esquematicamente,
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Exerccios de Termodinmica 4
T aV b
V3 c
ondea, be c so parmetros que no dependem do volume.
2.2-8 Subsituindo as Eqs. (2.20) e (2.21) na Eq. (2.25), mostre que se obtm a forma apropriada daEq. (2.6).
Soluo As Eqs. (2.20), (2.21) e (2.25) sa
s S/N, v V/N
us, v 1N
US, V,N
du TdsPdv
respectivamente. Ento fazendo o que se pede, encontramos
d UN
Td SN
Pd VN
1N
dU UN2
dN TN
dS TSN2
dN PN
dV PVN2
dN
ou
1N
dU TN
dS TSN2
dN PN
dV PVN2
dN UN2
dN
ou
dU
TdSPdV
PVTS UN dN
que da forma da Eq. (2.6), isto , dU TdSPdV dN, para um tipo de partcula. Pode-se mostrarque o termo entre parnteses realmente , usando a propriedade de funo homogneo para U. Defato,
US,V,N US, V,N
Difenciando esta equao como relao a,
US,V,N
US, V,N
Mas,
US,V,N
US,V,N
SS
US,V,N
VV
US,V,N
NN
SUS,V,N
S VUS,V,N
V NUS,V,N
N
Como a propriedade da funo homognea vale para qualquer valor de, vamos fazer 1. Assim
SUS, V,N
S V
US, V,NV
NUS, V,N
N US, V,N
Usando as definies de derivadas parciais, encontra-se
US, V,N TSPV N
Portanto, substituindo-se na equao PVTS UN
encontra-se
PVTSTSPV NN
como havamos antecipado.
Problemas Seo 2.3
2.3-1 Determine as trs equaes de estado na representao da entropia para um sistema com aequao fundamental
u v0
1/2
R3/2s5/2
v1/2 .
Soluo Como a relao fundamental foi dada na representao da energia, podemos calcularos parmetros intensivos nesta representao T,P, e fazer a transformao para a representao
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Exerccios de Termodinmica 5
da entropiaF0,F1,F2 , atravs das relaes
F0 1
T, F1
PT
, F2
T
Assim, os parmetros na representao da energia so
T us v
5
2
v01/2
R3/2s
32
v1/2
52
us
P uv s
1
2
v01/2
R3/2s 52
v32
1
2uv
uTs Pv u 52
u 12
u u
onde na ltima linha usamos o resultado do problema 2.2-8 para o clculo de . Agora podemos fazeras transformaes indicadas:
F0 1T
25
su F0
1T
25
SU
F1 PT
12
uv
52
us
1
5sv F1
PT
15
SV
F2 T u52
us
25s F2 T 25 SN
que so as equaes de estado na representao da entropia.
2.3-2 Mostre, atravs de um diagrama (em escala arbitrria), a dependncia da temperatura com ovolume, para a presso constante, para o sistema do problema 2.3-1. Desenhe essas isbarascorrespondentes a dois valores da presso, e indique qual isbara corresponde maior presso.
Soluo De
U Nu
encontramos
U
Nu
N
v01/2
R3/2
SN
5/2
VN
1/2
v01/2
R3/2S5/2
NV1/2
As equaes de estado so
T US V,N
5
2
v01/2
R3/2S
32
N V
52
US
P UV S,N
1
2
v01/2
R3/2S
52
NV32
1
2UV
UN S,V
v0
1/2
R3/2S
52
N2 V U
N
De T e P encontramos
TP
52
US
12
UV
5VS
Da expresso para P
P 12
v01/2
R3/2S
52
NV32
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Exerccios de Termodinmica 6
isolamosS
S 225
21v0
R32 4
25
N2/5P2/5V3/5 N2/5P2/5V3/5
Assim
T 5PVS 5 PV
N2/5P2/5V3/5
P3/5V2/5
N2
5
Logo
T P3/5V2/5
T 103/5V2/5
T
V
As isbaras crescem para cima.
2.3-3 Determine as trs equaes de estado na representao da entropia para um sistema comequao fundamental
u R
s2ev2/v0
2
.
Soluo Repetindo o procedimento do problema anterior, encontramos
T us v
2 R
sev
2
v02 2us
P uv s
2 R
s2e
v2
v02 v
v02 2uv
v02
uTs Pv u2 us 2uvv0
2 1 2s 2
vv0
2 u
Portanto
F0 1T
12
su F0
1T
12
SU
F1 PT
2uv
v02
2us
svv0
2 F1 P
T SV
N2v02
F2
T
1 2s 2 vv0
2 u
2us
F2
T
Vv0
2
1S 1
2S
N
Problemas Seo 2.6
2.6-1 Por definio, a temperatura de um sistema composto de gelo, gua e vapor dgua em
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Exerccios de Termodinmica 7
equilbrio mtuo vale exatamenteigual a 273,16 K. A temperatura de um sistema gelo-gua a 1 atm depresso ento medida e obtm-se o valor 273,15 K com imprecisao na terceira e quarta casasdecimais. A temperatura de um sistema gua-vapor dgua (i.e., gua em ebulio) a 1 atm tambmmedida e vale 373,15 K 0,01 K. Calcule a temperatura do sistema gua-vapor dgua com 1 atm depresso, com seus provveis erros, nas escalas Celsius, Fahrenheit absoluto e Fahrenheit.
2.6-2 A constante de gs R uma constante cujo o valor R 1,986 cal/mol K ou R 1,986
cal/mol
o
C. ExpresseR em unidades de J/mol
o
F.
2.6-3 Dois sistemas particulares tm as seguintes equaes de estado:
1
T1
32
R N1
U1
e
1
T2
52
R N2
U2
onde R uma constante tendo o valor R 1,986 cal/mol K. O nmero de mol do primeiro sistem N1 2 e do segundo, N2 3. Os dois sistemas so separados por uma parede diatrmica e aenergia total no sistema composto de 6.000 cal. Qual a energia interna de cada sistema emequilbrio?
Soluo No equilbrio (veja Eq. 2.37)1
T1
1
T2
o que implica
32
R N1
U1
52
R N2
U2 3U2N1 5N2U1
A equao de conservao nos fornece
U1 U2 U U2 UU1
Ento
U1 3U N1
3N1 5N2
SubstituindoU 6.000cal,N1 2e N2 3, encontra-se
U1 18000 26 15
U1 1714, 3cal
Logo,
U2 6000U1 6.0001. 714, 3 4.285, 7 cal
2.6-4 Dois sistema com as equaes de estado dadas no problema 2.6-3 so separados por umaparede diatrmica. Os respectivos nmeros de mols so N1 2 e N2 3. As temperaturas iniciaisso T1 250 K e T2 350 K. Quais so os valores de U1 e U2 depois que o equilbrio foiestabelecido? Qual a temperatura de equilbrio?
Soluo Sejam as equaes de estado do sistema
1
T1
32
R N1
U1
1T2
52
R N2U2
Para os valores iniciais da temperatura, podemos calcular os valores iniciais das energias internas decada subsistema, usando as equaes de estado e os nmeros de mols. Logo,
Ui1
3
2RN1Ti
1
32 1.986 2 250 1489. 5cal
Ui2
5
2RN2Ti
2
52 1.986 3 350 5213. 3 cal
Ento,
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Exerccios de Termodinmica 8
U Ui1
Ui2
1489. 5 5213. 3 6702. 8 cal
No estado final de equilbrio, as temperaturas so iguais. Por isto,
32
R N1
Uf1
5
2R N
2
Uf2
3Uf2
N1 5N2Uf1
e
Uf1
Uf2
U
Logo,
3 UUf1
N1 5N2Uf1
Uf1
3U N1
3N1 5N2
Substituindo os valores, encontramos
U1 3 6702. 8 26 15
1915. 1cal
e
U2 UU1 6702. 81915. 1 4787. 7cal
As teperaturas finais sero
T1 23
U1
RN1
23
1915. 11.986 2
321. 43 K
T2 25
U2RN2
25 4787. 7
1.986 3 321. 43K
como se esperaria.
Problemas Seo 2.7
2.7-1 Dois sistemas particulares tm as seguintes equaes de estado
1
T1
32
R N1
U1 , P
1
T1 RN
1
V1
e
1
T2
52
R N2
U2 , P
2
T2 RN
2
V2
onde R 1,986 cal/mol K. O nmero de mols do primeiro sistema N1 0, 5 e o do segundo,N2 0,75. Os dois sistemas esto contindos num cilindro fechado, separados por um pistodiatrmico mvel. As temperaturas inciais so T1 200 K e T2 300 K, e o volume total de 20litros. Qual a energia e o volume de cada sistema em equilbrio? Quanto vale a presso e atemperatura?
Soluo Das condies iniciais obtm-se
Ui1
3
2RN1Ti
1 U1 3
2 1.986 0. 5 200 297. 9cal
Ui2
5
2RN2Ti
2 Ui
2
52 1.986 0.75 300 1117. 1cal
Portanto, a energia total do sistema (constante) vale
U Ui1
Ui2
297. 9 1117. 1 1415cal.
No estado final de equilbrio, tantoPquantoTso iguais nos dois subsistemas. Logo,32
R N1
U1
52
R N2
U2 3N1U2 5N2U1
RN1
V1 RN
2
V2 N1V2 N2V1
As outras duas equaes so as condies de fechamento:
U1 U2 U
V1 V2 V
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Exerccios de Termodinmica 9
Da podemos obter os quatro parmetros que procuramos no estado final do sistema. Ou seja,
3N1UU1 5N2U1
N1VV1 N2V1
Ento
Uf1
3U N1
3N1 5N2 Uf
1 3 1415 0. 5
3 0. 5 5 0.75 404. 28cal
0.28571
Vf1
V N1
N1 N2 Vf
1 20 0. 5
0. 5 0.75 8. 0litros
Os demais valores so:
Uf2
UUf1
Uf2
1415404. 28 1010. 7cal
Vf2
VVf1
Vf2
208 12litros
Temperaturas finais:
Tf1
2
3
Uf1
RN1 Tf
1
23
404. 281.986 0. 5
271. 42
Tf
1
2
5
Uf2
RN2
Tf
1
2
5
1010. 7
1.986 0.75 271. 42
Presses finais:
Pf1
RN1
Vf1
Tf1
Pf1
1.986 0. 58 271. 42 33. 69cal/litro
Pf2
RN2
Vf2
Tf2
Pf1
1.986 0.7512
271. 42 33. 69cal/litro
Obs.: A unidade cal/litro vale
1cal 4.18J
1litro 103 m3
portanto
1cal/litro 4.18103
J/m3 4.18 10 3Pa
Problemas Seo 2.8
2.8-1 A equao fundamental de um tipo particular de sistema de dois constituintes
S NANR ln U3/2V
N5/2 N1R ln
N1N
N2R ln N2N
N N1 N2
onde R 1,986 cal/mol K e A uma constante desconhecida. Um cilindro rgido fechado de volumetotal igual a 10 litros dividido em duas cmaras de igual volume por uma membrana rgida diatrmica,permevel ao primeiro componente, mas impermevel ao segundo. Numa das cmaras, coloca-se
uma amostra do sistema com parmetros iniciais N11 0,5, N21 0,75, V1 5 litros e T1 300 K.Na segunda cmara coloca-se uma amostra com parmetros iniciais N1
2 1, N2
2 0,5, V2 5
litros e T2 250 K. Depois que o equilbrio estabelecido, quais so os valores de N11
, N12
, T, P1
eP2?
Soluo Seja a equao fundamental na representao da entropia
S NA NR ln U3/2V
N5/2 N1
R ln
N1
N N2
R ln
N2
N
A entropia total
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Exerccios de Termodinmica 10
S S1 S2
Processo virtual:
dS 1T1
dU1 1
T1dN1
1
1
T2dU2
2
T2dN1
2
Condies de conservao
U1 U2 constante dU2 dU1
N11 N12 constante dN12 dN11
Ento
dS 1
T1 1
T2 dU1
1
T1
2
T2
ComodSdeve ser anular para valores arbitrrios dedU1 edN11
, no equilbrio teremos
1
T1
1
T2
1
T1
2
T2
Equaes de estado na representao da entropia:
1
T
S
U
T
S
N1
As diversas derivadas da entropia so:
S1
U1
32
N1RU1
S1
N11
A R ln V1
N1U1
N1
3/2
52
RR ln N1
1
N1
S2
U2
32
N2RU2
S2
N12 A R ln V
2
N2 U2
N2
3/2
52RR ln N
2
2
N2
Desta forma podemos escrever as equaes de estado:
1
T1
32
N1RU1
1
T1 A R ln V
1
N1U1
N1
3/2
52
RR ln N1
1
N1
1
T2
32
N2RU2
2
T2 A R ln V
2
N2U2
N2
3/2
52
RR ln N2
2
N2
Para os subsistemas podemos escrever:
S1 N1A N1R ln U13/2V1
N15/2 N1
1R ln
N11
N1 N2
1R ln
N21
N1
S2 N2A N2R ln U23/2V2
N25/2 N1
2R ln
N12
N1 N2
1R ln
N22
N2
Valores finais dos parmetros - condies de equilbrio.
7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen
11/13
Exerccios de Termodinmica 11
1
T1
1
T2 3
2N1R
U1
32
N2RU2
1
T1
2
T2
A R ln V1
N1U1
N1
3/2
52
RR ln N1
1
N1
A R ln V2
N
2
U2
N
2
3/2
52
RR ln N2
2
N
2
ou, simplicando estas equaes, encontramos
N1
U1
N2
U2
e
ln V1
N1U1
N1
3/2
ln V2
N2U2
N2
3/2
ln N1
1
N1 ln
N22
N2
A ltima condio ainda pode ser escrita como
ln V1
V2N2
N1N2
N1U1
U2
3/2
ln N2N1
1
N1N22
que resulta emV1
V2N2
N1N2U1
N1U2
3/2
N2N1
1
N1N22
ParaV1 V2
N2U1
N1U2
3/2
N1
1
N22
Usando a condio
N1
U1
N2
U2 N2U1 N1U2
temos
N
2
U2 U
1
N1
3/2
N11
N22 N1
1
N22
Esta condio nos diz que o nmero de partculas do tipo 1 no subsistema 1 igual ao nmero departculas do tipo 2 no subsistema 2. Sabemos que
N N1 N2 N11
N21
N12
N22
N21
N12
2N22
ou, reunindo as duas equaes
N11
N22
N12
N2N22 N2
1
Para encontrarmos as energias, usamos as condies
N1
U1
N2
U2
U1 U2 UValores numricos.As condies iniciais dadas foram:
7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen
12/13
Exerccios de Termodinmica 12
N11
0. 5 N12
1
N21
0.75 N22
0. 5
N1 1.25 N1
N2
N2 1. 5 N N1 N2 2.75
V1 5l V2 5l
T1 300K T2 250K
Clculo da energia interna. Usando as equaes de estado e as condies iniciais encontramos
1
T1
S1
U1
32
R N1
U1
1
T2
S2
U2
32
R N2
U2
Podemos calcular a energia interna total do sistema
U1 32
RN1T1 Ui1
3
2 1.986 1.25 300 1117. 1cal
U2 32
RN2T2 Ui2
3
2 1.986 1.50 250 1117. 1cal
Logo,
U Ui1
Ui2
2234. 2 cal
Assim, da condies
N1
U1
N2
U2
U1 U2 U U2 UU1
encontramos
N1UU1 N2U1
que nos fornece a soluo
U1 N1
N1 N2 U
Usando os valores numricosU 2234. 2 cal,N1 1.25e N2 1.5, encontra-se
U1 1.25
1.25 1. 5
2234. 2 1015. 5cal
e, portanto
U2 2234. 21015. 5 1218. 7cal
Nmero de mols.Das relaes acima, encontramos
N11
N22
N11
0. 5mol
e
N12
N2N22 N2
1 2.752 0. 51 0.75mol
Temperaturas. Usando a equao de estado
1
T1
32
N1RU1
encontramos
T1 23
U1
N1R 2
31015. 5
1.25 1.986 272. 7K
T2 23
U2
N2R
23
1218. 71. 5 1.986
272. 7K
Usando a equao fundamental
S NA NR ln U3/2V
N5/2 N1
R ln
N1
N N2
R ln
N2
N
encontramos a equao de estado para cada subsistema
7/22/2019 Exerccios resolvidos Callen
13/13
Exerccios de Termodinmica 13
P
T
S
V
NRV
ou
P1 N1RT1
V1
1.25 1.986 272. 75
135. 4cal/l
P2 N2RT2
V2
1. 5 1.986 272. 75
162. 5cal/l
Respostas: Valores finais
N11
0. 5mols
N12
0. 7mols
T 272. 7K
P1 135. 4cal/l
P2 162. 5cal/l