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Mecânica dos Fluidos
Aula 03
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
1
3.5- Força hidrostática sobre superfícies submersas
A determinação de forças na superfície de corpos submersos é
importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos,
navios, submarinos, barragens e de outras estruturas hidráulicas
que esteja sob ação de forças de superfície submersas.
Para determinar completamente a resultante da força atuando
sobre uma superfície submersa, devemos especificar:
1- A magnitude ou módulo da força resultante;
2- O sentido da força;
3- A linha de ação da força.
3.5.1- Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa
A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas
submersas é um problema frequente da estática dos fluidos. Essas
forças são devidas às distribuições de pressões nos fluidos, e a força
resultante é obtida através da integração da distribuição de
pressões sobre a superfície plana submersa.
2
a) Superfície plana submersa
A força total de contato superficial no corpo pode ser determinada
pela soma vetorial das forças superficiais em toda a área do corpo
submerso.
x y
z
y
x
dF
y’
x’
FR
CP
Centro de Pressão, CP
Ponto de aplicação
da força resultante
dA
(+) h
P0
P
líquido
(superfície livre)
O
3
g
A força de pressão agindo sobre o elemento de área, dA, no ponto O
é dado por:
onde o sinal menos indica que a força dF age sobre o elemento de
área dA, em sentido oposto ao da normal da área A. A força
resultante é dado por:
A pressão P no ponto O sobre superfície plana de área A é dado por:
onde P0 é a pressão na superfície livre (h = 0).
(escalar)PdA dF
(vetor) APd Fd
( 1 )
( 2 ) APd Fd F
A
R
gh ρ P P fluido0
( 3 )
4
Adρgh P F 0R ( 4 )
Portanto, a força resultante total aplicada a uma superfície plana
submersa horizontal é dado por:
Podemos escrever também:
onde FRx , FRy e FRz são as componentes escalares de FR nos
sentidos positivos de x, y e z, respectivamente.
kF jF iF F RRRR zyx ( 5 )
5
PdA k.APd k.Fd k.F F
PdA j.APd j.Fd j.F F
PdA i.APd i.Fd i.F F
AA
RR
AA
RR
AA
RR
z
y
x
zz
yy
xx
onde:
kF jF iF F RRRR zyx
6
b) Superfície plana inclinada
ysenθ h y
h senθ
dA
7
y
dA
8
ysenθ h k Wdy Ad
A
0R
AA
R
Adρgh P F
APd Fd F
9
W = largura da comporta
kWdyρysenθg P F
AdP
0R
k
2
y y Wsenθ γA P F
21
22
0R
k2
y y Wsenθ γ y yWP F
ksenθ2
yWρg Wy P F
kdyWysenθρg W P F
21
22
A
120R
y
y
2
γ
0R
y
yγ
0R
2
1
2
1
( 6 )
10
O momento, M, da força distribuída em relação ao eixo no ponto O
é dado por:
APd . r Fd . r F . r' M R ( 7 )
kF F
kdA Ad
j i r
j' i ' r'
RR
yx
yx
x'
y'
x
y
FdRF
o x
y
z
11
CP
( 8 )
ARA
R
ARA
R
PdA F
1 ' 0 PdA F' 0 M
PdA F
1 ' 0 PdA F' 0 M
yyyy
xxxx
x
y
Exemplo 01: A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de
A, tem 5 m de largura. Determine a força resultante, FR , da água e
do ar sobre a superfície inclinada.
12
h
P H
y
+h
H D h
ysen30 H y
H sen30
Solução: Para determinar o vetor FR , devemos especificar:
a) Sua magnitude;
b) Seu sentido;
c) Sua linha de ação.
Patm ( 0)
Dados:
W = 5m (largura da comporta)
água = 999kg/m3
13
Equações básicas:
APd Fd F
A
R gh ρ P P águaatm
a) Uma vez que estamos interessados na força resultante da água
sobre a comporta, desprezamos Patm ( 0) e obtemos:
ysen30 Dgρ P
ghρ gh ρ P P
água
águaáguaatm
14
kN 4,588011 kms
m
m
kg 4,588011 F
k2
1
2
4m 2mx4m5m
s
m9,81
m
kg999 F
k2
1
2
L DLρgW F
ksenθ2
y Dy ρgW F
kWdyysenθ Dρg F
3
23R
2
23R
2
R
L
0
2
R
AdP
R
kkN 01,588 F R
15
b) Os momentos em relação ao eixo x passando pelo ponto A:
0 M x
16
A
17
0 M x
PdA dF
WdydA
ysen30 Dgρ P água
L
0
2
R
água
A
água
R
ARA
R
A
R
sen30]dyy [DF
gWρ '
]Wdy ysen30 Dg[ρF
1 '
PdA F
1 ' 0 PdA F'
0 dF F' M
yy
yy
yyyy
yyx
6
64m
2
x16m2m
kg/m.s5,8810
5m
s
m9,81
m
kg999 y'
2
1
3
L
2
DL
F
ρgW y'
sen303
y
2
Dy
F
ρgW y'
32
2523
32
R
L
0
32
R
2,22m y'
Também considerando os momentos em relação ao eixo y passando
pelo ponto A, temos:
AR
A
R
A
R
PdA F
1 ' 0 PdA F'
0 dF F' M
xxxx
xxy
18
Como W é constante e a integração está sendo realizada sobre o
eixo y, temos que:
2,5m 2
m5
2
W
F2
FW PdA
2F
W '
PdA 2
W
F
1 '
PdA F
1 '
R
R
F
AR
AR
AR
R
x
x
xx
2,5m ' x
c) A linha de ação da força resultante é paralela ao eixo z,
passando sobre r’, ou seja:
j' i ' r' yx m j2,22 i2,5 r'
19
Exemplo 02: A porta lateral do tanque é articulada na borda inferior.
Uma pressão de 100 lbf/ft2 (manométrica) é aplicada na superfície
livre do líquido. Determine a força Ft necessária para manter a porta
fechada.
L = 3ft
b = 2ft
Articulação (eixo x) = 100 lbf/ft3
P = 100 lbf/ft2
Comporta
20
Solução: Aplicando os momentos em relação ao eixo x da
articulação, temos:
L
0dA
A
t
t
)(M)(M
t
bdPL
1 PdA
L
1 F
dFL
1 F
0 dF .LF M
zzz
z
z
x
x
x
z
z
x
dF
Ft
L
h (+)
Articulação (eixo x)
h = L - z
P0
21
o
L γ P P
L h
h γ P gh ρ P P
fluido0
fluido0fluido0
z
z
3
L
2
LL
L
γb
L2
bLP F
3
z
2
Lz
L
γb
L2
bP F
dz LL
γb dP
L
b F
d L γ PbL
1 F
3220
t
L
0
32L
0
20
t
L
0
2
L
0
0t
L
0
fluido0t
z
zzzz
zzz
22
lbf 600 F
6
ft 9ft x 2 x
ft
lbf 100
2
3ft2ft x x
ft
lbf100 F
6
γbL
2
bLP
3
1
2
1bL γ
2
bLP F
t
2
32t
2020
t
Este problema ilustrou:
a) A inclusão da pressão manométrica diferente de zero na
superfície livre do líquido;
b) O emprego direto do momento distribuído sem a avaliação da
força resultante e sua linha de ação em separado.
23
Exemplo 03: A medida que a água sobe no lado esquerdo da
comporta retangular de largura W, ela abrir-se-á automaticamente.
A que profundidade ‘D’ acima da articulação (A) isso ocorrerá?
Despreze a massa da comporta.
z
y
1,5 m
z dF2
D dF1
y
h1
P1
A P2
h2
líquido
24
D
0
m 1,5
0
m 1,5
0dA
D
0 dA
m 1,5
0
2
P
2
D
0
1
P
1
m 1,5
0
22
D
0
11
m 1,5
0
2
D
0
1A
Dd d D
dWDgρ dW Dgρ
dAρgh dAρgh
0 dAP dAP
0 dF dF M
21
21
zzyyy
zzyyy
zy
zy
zy
25
2
3
2
33
232
m5,1
0
2D
0
32
Dx1,125m 6
D
Dx1,125m 3
D
2
D
2
1,5mD
3
D
2
DD
2D
3
2
D
zyy
2,6m D
26
Exemplo 04: A comporta de 2 m de comprimento é articulada em H. Sua
largura de 2 m é normal ao plano da Figura. Calcule a força Ft requerida em
A para manter a comporta fechada.
Dado: água = 9810 N/m3
30
1 m
H
Ft
z
y
água
h
dF
h1
A
Patm ( 0)
30
27
L = 2m
yPd F
dLyPL
1 yPdA
L
1 ydF
L
1 F
0 ydF LF M
L
0
t
L
0
t
tH
y
y
ysen30 1m γ P
ysen30 1m h 1m h
h γgh ρ P P
0
água
0
1
águaáguaatm
28
2m L W
Wdy dA
N 32700 F
6
8m
2
4mm1
m
N9810 F
2
1
3
(2m)
2
(2m)1m. γ F
sen303
y
2
y1m. γ F
dsen30y 1m.y γ dysen30 1myγ F
t
32
3t
32
águat
2m L
0
0
32
águat
L
0
02
água
L
0
0
águat
yy
kN 32,7 F t
29
Exemplo 05: O nível de água é controlado por uma comporta plana de
espessura uniforme e articulado em A. A largura da comporta, normal ao
plano da Figura, é W = 10 ft. Determine a massa M, necessária para manter
o nível à profundidade H, ou menos, se a massa da comporta for desprezível.
Dado: água = 1,94 slug/ft3
M
z y
H = 4 ft
W
dF h
D
A
30
7,5ft
0
7,5ft
0
zA
yPwdy 2,5ft Mgcosθ
yPwdy yPdA ydF 2,5ft Wcosθ
0 ydF 2,5ft W M
ysenθ ft 4 γh γ P
32,23 θ 7,5)arcseno(4/ θ 0,53 7,5ft
4ft senθ
ysenθ 4ft D 4ft h
h γgh ρ P P
águaágua
0
águaáguaatm
31
slug 344 M
0
32
0
3
7,5ft
0
32
água
7,5ft
0
2água
7,5ft
0
água
sen32,233
(7,5ft) ft 4
2
(7,5ft)
cos32,232,5ft
t1,94slug/f10ft M
senθ3
y ft 4
2
y
cosθ2,5ft
wρ M
dysenθy ft 4ycosθg2,5ft
ρgw M
wdyysenθ ft 4γy 2,5ft Mgcosθ
32
Exemplo 06: A comporta AOC mostrada na Figura tem 6 ft de largura e é
articulada ao longo de O. Desconsiderando o peso da comporta, determine a
força na barra AB.
Dado: água = 1,94 slug/ft3 ; 1slug = lbf.s2/ft ; g = 32,2 ft/s2
33
Ft
z
y Ft
dF1
dF2
6 ft
8 ft
12 ft h2
h1
A
O C
B 3 ft
34
z
y
12ft γ P
12ft h
h γ ghρ P P
y 12ft γ P
y 12ft h
h γ ghρ P P
água2
2
2água2águaatm2
água1
1
1água1águaatm1
6ft
0
2
ft12
0
1t
2211t
21t
12tO
WdzzP WdyyP 15ft F
dAzP dAyP 15ft F
zdF ydF 15ft F
0 ydF zdF 15ft F M
35
2
z12ft
3
y 12ft
2
y Wγ15ft F
zdz12ft dyy y12ft Wγ15ft F
Wdz12ftz Wdyy 12ft yγ 15ft F
WdzzP WdyyP 15ft F
6ft
0
212ft
0
32
águat
6ft
0
ft12
0
2
águat
6ft
0
ft12
0
águat
6ft
0
2
ft12
0
1t
36
lbf 1797,6 F t
216ft 576ft 864ft ftft
lbf374,51 15ft F
2
6ft12ft
3
12ft 12ft
2
12ft
s
ft32,2
ft
lbf.s94,16ft 15ft F
2
z12ft
3
y 12ft
2
y g Wρ15ft F
333
4t
232
24
2
t
6ft
0
212ft
0
32
águat
37