Post on 13-Jul-2022
ESTUDO DE ÓRBITAS EM TORNO DE PHOBOS E DEIMOS
RELATÓRIO FINAL DE PROJETO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
(PIBIC/CNPq/INPE)
Amauri Leal de Souza Júnior (FEG-Unesp)
E-mail: amaurilealjr@gmail.com
Dr. Antonio F. Bertachini de A. Prado (ETE/INPE, Orientador)
Dra. Vivian Martins Gomes (FEG-Unesp, Co-orientadora)
Julho de 2015
2
Sumário
Resumo ........................................................................................................................ 3
1. Introdução ............................................................................................................... 4
2. Metodologia ............................................................................................................. 5
2.1- Leis de Kleper ................................................................................................... 6
2.2- Elementos Kleperianos ..................................................................................... 6
2.3- Problema dos dois corpos ................................................................................. 7
2.4- Coordenadas cartesianas de posição e velocidade .......................................... 8
2.5- Transformação de coordenadas ...................................................................... 9
2.5.1- Elementos orbitais para cartesianos .......................................................... 9
2.5.2- Elementos orbitais para cartesianos ........................................................ 10
2.6- Problema Restrito de Três Corpos ............................................................... 11
3. As luas: Phobos e Deimos ...................................................................................... 15
4. Resultados ............................................................................................................. 16
4.1-Phobos .............................................................................................................. 16
4.2-Deimos .............................................................................................................. 19
4.3-Satélite na mesma órbita de Phobos ............................................................... 20
4.4-Satélite na mesma órbita de Deimos ............................................................... 28
5. Conclusão .............................................................................................................. 34
6. Referencias ............................................................................................................ 34
3
RESUMO
Este trabalho tem a finalidade de estudar e encontrar possíveis órbitas estáveis ao
redor das luas de Marte: Phobos e Deimos. Para efetuar esses estudos foi necessário
utilizar conhecimentos relativos aos problemas de dois e três corpos. Para possibilitar a
análise do comportamento do satélite em sua órbita, são utilizadas integrações
numéricas, que foram efetuadas com um integrador Rung-Kuta de quarta ordem,
implementadas em linguagem FORTRAN. Essas integrações fornecem os dados
necessários para obterem-se as trajetórias e observar a sua evolução no tempo. O
problema de dois corpos fornece a teoria necessária para obter a velocidade da lua em
torno de Marte, bem como a sua trajetória. Porem, para trabalhar com a órbita do
satélite ao redor da lua, é necessário levar em contas as massas da lua e de Marte ao
mesmo tempo. Em particular, é preciso levar em conta que as luas de Marte têm massa
tão pequena que sua esfera de influência fica no interior de seu corpo. Isso faz com que
não seja possível a existência de órbitas dadas pelo problema de dois corpos, mesmo
que por um curto espaço de tempo, pois essas órbitas se “desprendam” da órbita inicial.
Devido a isso, estuda-se esse problema com o modelo dado pelo problema restrito de
três corpos, para analisar esta interferência de Marte e analisar o comportamento do
satélite ao redor das luas. Serão estudadas possíveis órbitas ao redor de Phobos e
Deimos, considerando o planeta Marte como corpo dominante e as luas como corpos
perturbadores. Após diversas simulações, confirma-se a não existência de órbitas
keplerianas ao redor das luas, pois a força gravitacional de Marte é muito maior para o
satélite se manter ao redor de quaisquer umas das luas. Estuda-se então, uma nova
abordagem, que consiste em considerar o satélite para orbitar marte na mesma distância
das luas, isto é, na mesma órbita das luas. Deste modo, coloca-se o veículo com
diferentes defasagens em relação às luas, e estudam-se os resultados, para verificar
como o satélite vai se comportar no decorrer do tempo.
4
1. Introdução
O céu, espaço e todas as suas características (conhecidas ou não), nos instigam e
atraem nossos olhares a milhares de anos. Grandes mentes da humanidade procuraram
investir a maior parte de suas vidas investigando e tentando entender o que acontece em
nosso mundo e fora dele.
Nesta pesquisa tenta-se entender um pouco mais sobre o espaço, analisando possíveis
orbitas ao redor das luas de Marte: Phobos e Deimos. Ambas as luas são interessantes,
já que, pelos seus tamanhos e massas, possivelmente são corpos espaciais que foram
capturados por Marte e continuam a orbitar ao redor do mesmo.
Para isso, a teoria necessária para estudar estes corpos e propor órbitas estáveis ao
redor dos mesmos é imprescindível. Dentre estas teorias, pode-se destacar o Problema
Restrito de Três Corpos, assim como o de Dois Corpos. Ambos dão as correlações de
forças num determinado sistema, sendo possível assim, analisar o que ocorre no
decorrer do tempo com o veiculo espacial, para saber se ele consegue manter-se em uma
órbita segura ao redor de tais luas.
No mundo de hoje há inúmeros recursos que auxiliam no estudo do espaço e suas
curiosidades. Com o uso da programação pode-se ter uma maior eficiência e uma menor
margem de erro nos cálculos e análises de dados, sem contar que é possível ainda,
realizar esses cálculos de maneira muito mais rápida do que se fosse feito manualmente.
Por essa razão usa-se a linguagem de programação FORTRAN e o software gráfico
ORIGIN para calcular órbitas e para plotar as mesmas. Dessa forma têm-se a
visualização de como o veículo espacial se comporta em sua órbita e de que forma a
alteração de características de órbita (assim como as velocidades iniciais, adição de
corpos) alteram o seu movimento.
5
2. Metodologia
A metodologia adotada será a de propagar trajetórias com condições iniciais dadas e
verificar o comportamento orbital do veículo espacial com relação à lua. A velocidade
inicial do veículo espacial com relação a Marte será variada em torno da velocidade da
lua. A posição do veículo será na mesma altitude da lua, deslocada de um pequeno
ângulo à frente ou atrás da lua.
Com esse mapeamento, é possível verificar o comportamento orbital diretamente dos
gráficos obtidos para a trajetória do veículo espacial, verificando-se visualmente as de
maior interesse, ou seja, as que passam mais tempo próximas da lua.
Com o auxilio do programa Microsoft Visual Studios, as equações de movimento
foram programadas em FORTRAN para um problema de três corpos. Aplicando
conhecimentos teóricos adquiridos no decorrer da pesquisa sobre as luas e a linguagem
de programação em si, foi possível construir programas que forneçam trajetórias de um
satélite ao redor das luas de Marte, assim como se pode ver nos resultados no próximo
item.
Como se imagina, o estudo de órbitas ao redor desses “pequenos” corpos celestes é
bastante difícil, pois ambas as luas possuem uma massa e tamanho pequenos, quando
comparadas a Marte e ao nosso Sistema Solar. Devido a isso, sabe-se que qualquer
perturbação gravitacional pode ser prejudicial a ponto de ocasionar desprendimento da
órbita e fuga do satélite. Portanto, o estudo correto de todas as variáveis possíveis é
necessário.
O projeto consiste em atribuir valores iniciais de velocidade e defasagem do veículo
espacial em relação à lua, assim como o número de pontos que serão plotados e o passo
de plotagem. Com isso são feitas as simulações numéricas. A partir dos corpos
escolhidos para análise e de seus valores constantes que serão colocados neste programa
(a sua massa, por exemplo), passa-se a editar uma segunda rotina do programa. Nesta
rotina há todas as equações do movimento descritas. Outras sub-rotinas fazem a
matemática do programa, ou seja, integram e fazem os cálculos a partir dos valores que
o usuário coloca. Como muitos pontos são gerados, os mesmos são salvos em arquivos
contendo duas colunas com todos os pontos (X, Y) da órbita.
A partir deste arquivo e do programa ORIGIN, plotam-se estes pontos em um gráfico
e a forma da órbita gerada é analisada, sendo anotado e estudado de que maneira o
satélite se comporta.
6
2.1 Leis de Kepler.
TychoBrahe (1546-1601) não conseguiu formular uma trajetória que descrevesse
com perfeição suas observações do planeta marte, já que sua órbita é uma elipse com
excentricidade de 0,1, mesmo tendo feito um catálogo com observações dos planetas
com grande precisão.
Kepler (1571-1630) analisou o trabalho de Brahe e, após anos de estudo, conseguiu
finalmente ajustar a trajetória de Marte e formulou as conhecidas leis de Kepler.
1ª Lei de Kepler: Lei das Orbitas Elípticas. As Orbitas dos planetas são elipses
com o Sol como foco.
2ª Lei de Kepler: Lei das Áreas. O raio vetor de cada planeta com relação ao
Sol como origem varre áreas iguais em tempos iguais.
3ª Lei de Kepler:Lei harmônica. A relação dos quadrados dos períodos entre 2
planetas é igual à relação do cubo do semi-eixo maior de suas órbitas. Assim,
seja o planeta pi com período Ti e semi-eixo maior ai. Vale então (T1/T2)²=
(a1/a2)³= cte.
2.2 Elementos Kleperianos.
Como se vê a seguir, os elementos orbitais (Kleperianos) formam o conjunto de
características que definem uma órbita. Diferente de trabalhar com coordenadas
cartesianas que possuem muitas variáveis, este tipo de plotagem define todas as
características da órbita de um corpo utilizando um maior número de variáveis que são
constantes (excentricidade, semi-eixo maior, etc, como citados a seguir). Nesse conjunto
de elementos existe apenas uma variável, a anomalia verdadeira, o que facilita os
cálculos e acelera o processo de estudo.
Primeiro define-se um sistema de referência. Coloca-se como centro desse sistema o
centro da Terra (usada como exemplo, porém esses elementos valem para ouros corpos,
como Marte e suas luas) e o equador terrestre como plano fundamental. A intersecção
do plano orbital com o plano do equador é chamada de reta dos nodos. Desta reta
destacam-se dois pontos, Ω e π. Ω é chamado de nodo ascendente e π de perigeu.
O perigeu é o ponto onde a elipse mais se aproxima do foco (centro da Terra) e o
nodo ascendente é o ponto de cruzamento com o plano equatorial, dirigindo-se do
hemisfério sul para o norte.
Ω: longitude do nodo ascendente: corresponde ao ângulo no plano do equador, entre
o vetor fundamental I e o ponto onde o satélite intercepta o plano fundamental, isto é, o
ângulo entre a origem do eixo OX e OΩ;
7
i: Corresponde à inclinação do plano orbital do satélite em relação ao plano
fundamental.
Os dois elementos demonstrados acima possuem a função de fixar o plano da órbita
ao plano fundamental, especificando a orientação do plano no espaço e o sentido do
movimento do satélite neste mesmo plano orbital.
α: Corresponde ao semi-eixo maior da elipse, o que nos dá o tamanho da orbita do
satélite.
e: Corresponde a excentricidade da elipse. Definindo a forma de nossa órbita.
Como destacado, ambos os elementos acima nos dão a forma de nossa elipse; da
órbita do satélite.
ω: argumento do perigeu- Corresponde ao ângulo entre o nodo ascendente e o ponto
do perigeu, localizado no plano orbital do satélite e medido com relação ao movimento
do mesmo.
O elemento acima fixa a posição da órbita em relação ao plano orbital.
Mas todos os elementos apresentados acima não dão a localização do satélite em sua
orbita, sendo necessário:
τ: época- Corresponde ao instante em que o satélite passa pelo perigeu.
2.3 Problema dos dois corpos.
Nesta parte do trabalho foi necessário o conhecimento e o estudo das relações do
movimento do satélite com a sua órbita e com relação ao plano fundamental.
Como já se sabe, os planetas de nosso sistema solar, assim como os satélites que os
rodeiam, possuem órbitas kleperianas e elípticas, o que dá um ciclo fechado. O tempo
necessário para um satélite dar a volta neste ciclo fechado é chamado de período. Temos
que a energia em uma órbita elíptica pode ser deduzida a partir da fórmula da
excentricidade (Kugaet al., 2012).
E =−µ
2α, (2.1)
Como visto antes, 𝛼 é o semi-eixo maior, enquanto µ corresponde à constante
gravitacional de nosso planeta.
Agora se precisa definir algumas relações do movimento do satélite com sua posição.
f: conhecida como anomalia verdadeira, corresponde ao ângulo no plano orbital entre
o perigeu e a posição do satélite, fornecendo assim a posição do satélite em sua orbita.
U: anomalia excêntrica; forma alternativa de especificar a posição do satélite.
8
rp: periapse; este corresponde ao ponto onde o raio orbital é mínimo.
ra: apoapse; corresponde ao ponto da órbita mais afastado do corpo em questão, ou
seja, o ponto onde o raio orbital é máximo.
b: semi-eixo menor; metade da largura de uma elipse medida do centro.
p: semi-latusrectum; segmento de uma reta contendo um foco e perpendicular ao
semi-eixo maior limitado pela elipse.
Após a definição de todos esses elementos, chega-se a forma final da Equação de
Kepler:
𝑀 = 𝑈 − 𝑒. 𝑠𝑖𝑛(𝑈) (2.2)
2.4 Coordenadas cartesianas de posição e velocidade.
Coordenadas cartesianas é a forma de representação gráfica mais utilizada na
engenharia. Seja para plotar o comportamento de um carro ao longo do tempo, ou até a
queda de tensão em um resistor. Também é possível utilizar tal forma de representação
para esta pesquisa. Para compreender como são obtidas as coordenadas X e Y, deve se
seguir uma linha de cálculos descrita abaixo.
Podem-se calcular as coordenadas cartesianas de posição e velocidade. A coordenada
x é dada a partir de (Kugaet al., 2012):
𝑥 = 𝑟. cos(𝑓) = 𝑎 ∗ cos(𝑈 − 𝑒) (2.3)
Para calcular y necessita-se do raio com relação à anomalia excêntrica U:
𝑟 = 𝑎. (1 − 𝑒. cosU) (2.4)
Assim tem-se que y será:
𝑦² = 𝑟²− 𝑥² (2.5)
Tem-se então:
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛(𝑓) = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝑈). (1 − 𝑒2)1/2 (2.6)
Para encontrar, então, as velocidades, deriva-se x e y com relação ao tempo. Desse
modo tem-se também a variação temporal da anomalia excêntrica:
𝑛 = . (1 − 𝑒. cos 𝑈) (2.7)
E assim:
9
= −𝑛𝑎2
𝑟. 𝑠𝑒𝑛(𝑈) (2.8)
= 𝑛𝑎2
𝑟(1 − 𝑒2)1/2cos(𝑈) (2.9)
2.5 Transformação de coordenadas
Nesta pesquisa, é necessário a transformação constante de elementos Kleperianos
para elementos cartesianos e vice-versa. Como visto anteriormente fica mais fácil
trabalhar com elementos orbitais. Do mesmo modo, quando plota-se os gráficos das
órbitas obtidas, trabalha-se novamente com um conjunto de pontos (X,Y) que dá a
posição do satélite no decorrer do tempo. Deste modo fica mais fácil a plotagem dos
resultados no programa ORIGIN.
Portanto, é necessária a aprendizagem da teoria da transmutação entre esses sistemas
de coordenas, que é explicado nos subitens a seguir.
2.5.1 Elementos orbitais para cartesianos
Primeiramente deve-se lembrar de que o movimento se desenvolve no plano orbital,
sendo assim tem-se (Kugaet al., 2012):
𝑍 = = 0 (2.10)
Possuindo os ângulos de Euler de órbita podem-se encontrar os valores cartesianos,
com o uso de uma matriz de rotação. Desse modo:
𝑋𝑇 = 𝑅(𝑖,Ω, 𝜔)𝑥𝑇 (2.11)
Sendo: 𝑋𝑇 = (𝑋, 𝑌, 𝑍)𝑒𝑥𝑇 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
Pode-se obter o vetor velocidade de forma análoga usando a mesma transformação.
Matriz de rotação:
𝑅(𝑖,Ω, 𝜔) =
=𝑐𝑜𝑠Ω𝑐𝑜𝑠𝜔 − 𝑠𝑒𝑛Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔 −𝑐𝑜𝑠Ω𝑠𝑒𝑛𝜔 − 𝑠𝑒𝑛Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑠𝑒𝑛Ω𝑠𝑒𝑛𝑖𝑠𝑒𝑛Ω𝑐𝑜𝑠𝜔 + 𝑐𝑜𝑠Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔 −𝑠𝑒𝑛Ω𝑠𝑒𝑛𝜔 + 𝑐𝑜𝑠Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝜔 −𝑐𝑜𝑠Ω𝑠𝑒𝑛𝑖
𝑠𝑒𝑛𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑠𝑒𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑐𝑜𝑠𝑖
10
2.5.2 Coordenadas cartesianas para elementos orbitais
Do mesmo modo em que há como transformar dados de elementos orbitais para
coordenadas cartesianas de posição e velocidade, há como também, fazer o mesmo para
o caminho inverso, mas, neste caso, tem-se que seguir outra linha de resolução:
Primeiro calcula-se o módulo dos vetores posição e velocidade e, após essa parte,
calcula-se o semi-eixo maior α, lembrando-se de que:
𝑣² = µ(2
𝑟−
1
α) (2.12)
Sendo v o módulo do vetor velocidade, e r o módulo do vetor posição.
A partir desta fórmula pode-se encontrar o valor de α.
Considerando:
𝑟 = 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 (2.13)
Pode-se calcular a nossa excentricidade a partir das relações:
𝑒. 𝑠𝑒𝑛(𝑈) =𝑟
𝑛𝑎² (2.14)
𝑒. cos(𝑈) = 1 −𝑟
𝑎 (2.15)
Assim tem-se, a partir de (2.14) e (2.15):
𝑒 = [(𝑟
𝑛𝑎2)2
+ (1 −𝑟
𝑎)2
]1/2 (2.16)
A inclinação i pode ser obtida a partir do momento angular específico h.
Simplificando, tem-se que:
ℎ = √hx² + hy²+hz² (2.17)
Sendo:
hx=(YZ − ZY); hy=(ZX − XZ); hz=(XY − YX) (2.18)
Assim, tem-se que:
cos i = hz
h, 0≤i≤ 180 .
Para o nodo ascendente (Ω) deve-se lembrar que o momento angular ℎ é
perpendicular ao plano da órbita do satélite, desta maneira ele também é perpendicular
ao vetor nodo ascendente, assim:
Ω = Kxh , (2.19)
11
Sendo o versor no eixo Z. Assim:
tg(Ω) = Ωy
Ωx=
hx
−hy (2.20)
Sabendo que:
r
a= 1 − e. cosU (2.21)
Pode-se, a partir desta equação, calcular a anomalia excêntrica, que será essencial
para obter a anomalia media M, usando a eq. (2.2).
Por último, precisa-se calcular o argumento da periapse ω. Porém, também é preciso
definir um ângulo auxiliar ν, que se chama de longitude verdadeira.
ν = ω + 𝑓 (2.22)
Para esta fórmula define-se:
tgν = − cos isenΩX+cos i cosΩY+seniZ
cosΩX+senΩY (2.23)
tgf = cosU−e
(1−e²)1/2senU (2.24)
Agora, fica fácil de observar que:
ω = ν − f (2.25)
2.6 Problema Restrito de Três Corpos
Para a próxima etapa da pesquisa, é utilizado o problema restrito de tres corpos.
Resumidamente, há tres corpos no movimento, dois deles com uma massa significativa
e o outro com massa desprezivel, que orbita o sistema em que os outros corpos estão
presentes.
Têm-se as equações de movimento do problema geral de três corpos(Prado, 2001):
r1 = −Gm2r1 −r2
|r1 −r2 |3 + −Gm3
r3 −r1
|r3 −r1 |3 (2.26)
r2 = −Gm3r2 −r3
|r2 −r3 |3 + −Gm1
r1 −r2
|r1 −r2 |3 (2.27)
r3 = −Gm1r3 −r1
|r3 −r1 |3 + −Gm2
r2 −r3
|r2 −r3 |3 (2.28)
Mas, ao considerar o problema restrito de tres corpos, adota-se que um deles possui
uma massa infinitesimal, ou seja, pode-se considerar que m3=0. Dessa forma obtem-se
as equações:
12
r1 = −Gm2r1 −r2
|r1 −r2 |3 (2.29)
r2 = −Gm1r1 −r2
|r1 −r2 |3 (2.30)
r3 = −Gm1r13
r133 + −Gm2
r23
r233 (2.31)
Ou seja, retira-se um termo das duas primeiras equações. Isto facilita muito, já que é
possível calcular o movimento desses dois corpos usando o problema de 2 corpos.
Resultado este devido ao fato da massa do satélite ser muito pequena e não causar
peturbações no movimento destes corpos, mas apenas ter a sua órbita perturbada pelos
dois.
Mas ainda é preciso trabalhar com a terceira equação do movimento, que define o
movimento do satélite.
Para esta etapa, considera-se que os corpos m1 e m2 possuem orbitas circulares de
raios a e b, respectivamente, como vizualiza-se na figura 1.
Fig. 1 Sistema de coordenadas para o problema restrito-circular-plano de três corpos.
(FONTE: Prado, 2001)
Analisando a Fig.1, tem-se que o eixo de coordenadas x-y é fixo, enquanto 𝑋
corresponde a um eixo variavel no tempo (t*), girando com velocidade angular n. Desse
modo tem-se que m1 e m2 não se movem neste sistema de referencia. Pode-se agora
adotar:
Gm1m2
(a+b)2= m1an² = m2bn² (2.32)
Definindo, tambem, L= a+b e m= m1+m2, tem-se:
a =m2L
meb =
m1L
m (2.33)
13
Também é possível dizer que a posição dos corpos m1(x1, y1) e m2(x2, y2) no sistema
de referencia x-y terá a forma:
x1 = −acos(nt∗) , y1 = −asen(nt∗) (2.34)
x2 = b cos(nt∗) , y2 = bsen(nt∗) (2.35)
Assim, a equação de movimento do terceiro corpo para o sistema inercial será da
forma:
d2x
dt2= −G [m1
(x+acos(nt∗))
r133 + m2
(x−bcos(nt∗))
r233
] (2.36)
d2y
dt2= −G [m1
(y+asen(nt∗))
r133 + m2
(y−bsen(nt∗))
r233
] (2.37)
Esta fórmula corresponde ao movimento do terceiro corpo no sistema x-y, definido
em duas partes (eixo x e eixo y).
Pode-se definir também, a equação de movimento de m3 para o sistema não inercial.
Isto facilitará um pouco, já que é removido o tempo das equações, devido ao fato dos
corpos m1 e m2 estarem estáticos neste sistema. Dessa forma, tem-se:
𝑥 = cos(nt∗) − sen(nt∗) (2.39)
𝑦 = sen(nt∗) + cos(nt∗) (2.40)
Estas equações podem ser reescritas na forma exponencial:
S = sejnt∗ , ondes = x + jy, S = x + yj, j = √−1 (2.41)
Ao derivarmos estas equações duas vezes (com relação a t*), obtem-se:
[d2s
dt∗2+ 2
ds
dt∗(jn) − sn²] ejnt∗ (2.42)
Considerando as distâncias de m1 à m3, e de m2 à m3:
r13 = |S − S1| (2.43)
r23 = |S − S2| (2.44)
Onde fica claro observar que S1 e S2 correspondem às posições dos corpos m1 e m2.
De forma que:
S1 = −aejnt∗ (2.45)
𝑆2 = 𝑏ejnt∗ (2.46)
Agora, podem-se comparar as equações de movimento de m3, de forma que:
d2𝑆
dt∗2= [
d2s
dt∗2+ 2
ds
dt∗(jn) − sn²] ejnt∗ = −G [m1
(s+a)
|s+a|3+ m2
(s−b)
|s−b|3] ejnt∗ (2.47)
14
Que é equivalente à:
d2x
dt∗2− 2n
dy
dt∗− n²x = −G [m1
(x+a)
r133 + m2
(x−b)
r233] (2.48)
d2y
dt∗2+ 2n
dx
dt∗− n²y = −G [m1
y
r133 + m2
y
r233] (2.49)
É necessário agora, definir a integral de Jacobi, sendo ela de extrema importância,
pois é a única integral de movimento do problema que será estudado (restrito de três
corpos).
Para ser obtida esta integral necessita-se de uma pré-etapa, que corresponde a definir
a “função-força” das equações de movimento (Prado, 2001).
𝐹 =𝑛2
2(x2 + y2) + 𝐺 (
m1
r13+
m2
r23) (2.50)
Que dará:
d2
dt∗2− 2n
d
dt∗=
∂F
∂ (2.51)
d2
dt∗2+ 2n
d
dt∗=
∂F
∂ (2.52)
Agora é preciso multiplicar estas duas últimas equações por 𝑑
𝑑𝑡∗ e 𝑑
𝑑𝑡∗
respectivamente, somar os resultados obtidos e, por fim, integrar com relação ao tempo.
Obtendo assim:
∫ (∂F
∂
∂
∂t∗+
∂F
∂
∂
∂t∗) dt∗ = 𝐹 −
𝐶
2
𝑡
𝑡0 (2.53)
E resultando:
² = 𝑛²² + 2𝐺 (m1
r13+
m2
r23) − 𝐶 (2.54)
Que corresponde a integral de Jacobi.
Na pesquisa, usa-se o sistema de coordenadas admensionais, simplificando as
equações de movimento. Neste sistema, também conhecido como sistema de unidades
canônicas, possui certas características, como:
M=m1+m2; D(distância) = distância entre os corpos 1 e 2; G=1; n (velocidade
angular do movimento) é unitária; o período do movimento se torna 2π.
Defini-se para este sistema:
𝑥 =
𝐿; 𝑦 =
𝐿; 𝑡 = 𝑛𝑡∗ (2.55)
𝑟1 =𝑟13
𝐿; 𝑟2 =
𝑟23
𝐿; µ1 =
𝑚1
𝑚; µ2 =
𝑚2
𝑚 (2.56)
15
𝐹𝑎 =𝐹
𝐿²𝑛² (2.57)
Assim, tem-se:
− 2 = Ω𝑥 (2.58)
+ 2 = Ω𝑦(2.59)
Ω =1
2(𝑥² + 𝑦²) +
µ1
𝑟1+
µ2
𝑟2 (2.60)
Sendo Ωx e Ωy as respetivas derivadas parciais.
3. As luas: Phobos e Deimos.
Diferentemente da Lua da Terra, Phobos e Deimos possuem um tamanho
relativamente pequeno. Isto dificulta, já que por ser menor e possuir uma massa menor,
gera uma força gravitacional menor. O fato de seus tamanhos serem tão pequenos
comparados a Marte, junto com suas órbitas serem relativamente próximas do mesmo
planeta, qualquer mínima interferência poderia prejudicar uma possível órbita de um
satélite ao redor de qualquer uma das luas (como serão demonstrados nos resultados).
Possivelmente, Phobos é um asteroide capturado por Marte, assim como Deimos, o
que as tornam, do ponto de vista científico, muito importantes para análises do sistema
solar, já que por sua proximidade da Terra, assim como as características orbitais das
luas ao redor de Marte, as tornam um ponto de estudo interessante para estes tipos de
corpos. Muitas pesquisas científicas podem ser feitas, tais como a composição e forma
desses corpos. A possibilidade de Phobos ser um asteroide capturado faz com que um
estudo detalhado esclareça essa questão, bem como ajude a explicar fenômenos ligados
a evolução do Sistema Solar. Uma nave em torno desses satélites ajudaria muito nesse
tipo de pesquisa.
Phobos possui um raio pequeno de 11,1 km (raio médio). Considera-se este raio,
médio, devido a ser um corpo deformado. É a maior das duas luas de Marte e a que fica
mais próxima do planeta. Possuindo um raio de órbita médio de 9378 km, uma
inclinação bem pequena (1,08º), e um período de rotação de aproximadamente 7,65
horas, que é igual ao período que demora a dar uma volta em torno de Marte. Como
consequência deste fato, Phobos sempre possui a mesma face virada para Marte. Pode-
se definir então a sua velocidade média ao redor de Marte: 2,139 km/s.
Já Deimos é a menor das duas luas, com um raio médio de 6,2 km, e é a lua mais
distante de Marte, com um raio de órbita de 23459 km. Possui um período de rotação
de1 dia, 6 horas e 17,9 minutos. Assim como Phobos, o seu período de rotação é o
mesmo da órbita, assim sempre a mesma face está voltada para Marte. Pode-se definir
então a sua velocidade média ao redor de Marte: 1,35 km/s.
16
Como já dito antes, devido à formação de Phobos e Deimos e as suas características
orbitais, assim como sua proximidade com relação a Marte, ambas as luas são pontos de
estudos interessantes.
Serão buscadas órbitas planas, não keplerianas, com o vínculo de permanecerem
algum tempo nas proximidades da lua. Distâncias inferiores a 300 km teriam grande
interesse. O tempo de duração dessas órbitas será mapeado, entretanto não será fixado
um objetivo específico. Primeiramente porque não estamos trabalhando com uma
missão especifica, e segundo porque podemos realizar manobras que façam o ciclo se
repetir. Em suma, mesmo órbitas de curta duração são de interesse, pois podem ser
estendidas com manobras orbitais.
4. Resultados
Para estudar esse problema, é considerado inicialmente uma órbita circular em torno
das luas. O modelo do problema restrito de três corpos é usado. A seguir essa órbita é
propagada no tempo para verificar se o veículo permanece próximo da lua.
Como será visto nos gráficos a seguir, não foi possível gerar uma única órbita estável
ao redor de nenhuma das luas de Marte. Como esperado, o tamanho e a massa das luas
são muito pequenas, e Marte tira o satélite de órbita, o que impossibilita uma órbita
contínua.
Estudam-se então órbitas ao redor de Marte, com a mesma distância das luas, ou seja,
na mesma órbita das luas, variando defasagens, isto é, está defasado da lua em questão.
Vê-se nos gráficos a seguir que esta abordagem nos fornece possíveis órbitas de estudo
para Phobos e Deimos.
4.1-Phobos
Para estudar o movimento do veículo espacial em torno das luas as simulações
numéricas são feitas assumindo movimento plano e inicialmente circular, iniciado no
eixo x a diferentes distâncias da lua. Sendo assim, as variáveis têm os seguintes
significados:
Como é lido na legenda da Fig. 2, X corresponde à posição inicial do satélite com
relação ao eixo X. Vy corresponde à velocidade inicial do mesmo, porém, percebe-se
ser um número específico. Este valor inicial corresponde à velocidade na qual o satélite
deveria descrever uma órbita circular ao redor da lua, mas como é observado no gráfico
acima, isto não ocorre. DT e NP são características que vão influenciar na geração de
pontos, ou seja, no gráfico, mas não alteram o movimento. NP é o número de pontos da
17
trajetória e DT o passo de plotagem (considera-se como o “incremento" do gráfico, de
ponto em ponto).
-300000 -250000 -200000 -150000 -100000 -50000 0
-200000
-150000
-100000
-50000
0Y
(km
)
X(km)
Fig.2: Trajetória do veículo espacial para X= 12 km, Vy=0,0077501344 km/s, Dt= 100 s,
NP=1000.
-16000-14000-12000-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
Y(k
m)
X(km)
Fig.3: Trajetória do veículo espacial para X= 12 km, Vy=0,0077501344 km/s,
Dt= 10s, NP=1000.
Ao diminuir o valor de DT, porém mantendo todos os outros valores de órbita, tem-
se um “zoom" da trajetória perto do ponto de partida. Isto é, comparando as figuras2 e
3, tem-se que o segundo demonstra o que ocorre na proximidade da lua, assim que o
satélite sai de órbita. A segunda figura demonstra não apenas o que acontece quando o
satélite sai de órbita, mas também mostra que no decorrer do tempo ele continua se
distanciando da lua. Portanto, comprova que não foi possível obter uma órbita em torno
da lua com uma única revolução completa.
18
Foram plotados diversos gráficos para este movimento, alternando DT, NP, Vy e X,
mas em todos os gráficos, não importando as variações feitas, não se consegue
encontrar uma órbita segura para o satélite ao redor de Phobos. Foram colocados alguns
dos gráficos gerados para demonstrar que essa premissa estava correta:
-250000 -200000 -150000 -100000 -50000 0
-250000
-200000
-150000
-100000
-50000
0
Y(k
m)
X(km)
Fig.4: trajetória do veículo espacial para X= 50 km, Vy= 0,003796775 km/s, Dt= 100 s, NP=1000.
-300000 -250000 -200000 -150000 -100000 -50000 0
-200000
-150000
-100000
-50000
0
Y(k
m)
X(km)
Fig.5:Trajetória do veiculo espacial para X= 100 km, Vy=0,0026847253 km/s, Dt= 100 s, NP=1000
Como se observa, o satélite continua saindo de órbita.
19
4.2-Deimos
Para Deimos tem-se o mesmo resultado, tornando os gráficos muito parecidos com
os de Phobos. Dessa maneira, é apresentado apenas dois desses gráficos.
-140000-120000-100000 -80000 -60000 -40000 -20000 0 20000
-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0
Y(k
m)
X(km)
Fig.6: Trajetória do veiculo espacial para Y= 7.3 km, Vy=0,004056605 km/s, Dt= 100 s, NP=1000.
-4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
Y(k
m)
X(km)
Fig.7: Trajetória do veiculo espacial para X= 7.3 km, Vy= 0,004056605 km/s, Dt= 10 s, NP=1000.
As figuras 6 e 7 são comparáveis às figuras 2 e 3. Do mesmo modo que foi explicado
anteriormente, a Fig.7 seria comparada a um "zoom"; aproximação da região da órbita
mais próxima da lua, enquanto a figura 6 mostraria o que ocorre mais para frente.
Como foi confirmado que não existem órbitas em torno de phobos e Deimos (Gil e
Schwartz, 2010) decide-se adotar uma nova abordagem.
20
A nova abordagem consiste em colocar o satélite em uma orbita ao redor de Marte, e
não ao redor das luas, todavia, este satélite estaria “próximo” da lua que se quer estudar,
isto é, ele estaria seguindo a lua. Dessa forma buscam-se trajetórias onde o satélite
permaneça próximo da lua, e assim estudá-la. Colocamos o satélite em torno de Marte
na mesma órbita da lua, porém defasados de certo ângulo, em termos de anomalia
verdadeira. Estes gráficos serão considerados como o satélite seguindo as luas.
4.3 Satélite na mesma órbita de Phobos.
Tem-se uma pequena variação neste programa, com relação ao anterior, adiciona-se
DEF, que corresponde à defasagem do satélite, isto é, quantos graus ele está defasado da
lua em questão. Como o tamanho e a massa da lua são muito pequenos quando
comparados a Marte, tem-se que a lua causa interferências na órbita de nosso satélite,
mas nunca domina o movimento.
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria sat. em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.8: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua
(v=2,1361502655 km/s) e uma defasagem de 0,1º.
Como é possível ver nesta figura, o satélite se mantém numa órbita próxima de
Phobos. Mas ao se estudar a parte azul do mesmo (Satélite em relação à lua), nota-se
que o Satélite começa a se distanciar de Phobos aos poucos. Devido a isto será dado um
zoom nestas órbitas.
21
-300 -200 -100 0 100 200 300
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
Y(k
m)
X(km)
Fig.9: Trajetória do veiculo espacial com relação aPhobos deste caso.
A figura 9 demonstra este distanciamento ao longo do tempo. O que da algo
relativamente pequeno ao considerar as dimensões das escalas orbitais de Phobos e do
veículo espacial ao redor de Marte, tornando este caso curioso para a pesquisa. Note que
essa órbita se mantém próxima de Phobos (menos de 300 km da lua) pelo tempo total de
integração de100s a cada ponto gerado. Sendo assim, é uma órbita de interesse.
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.10: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua
(v= 2,1361502655 km/s) e uma defasagem de 1º.
22
A Fig. 10 mostra que, mesmo mantendo a velocidade do veículo espacial igual a da
lua, aumentando o DEF (de 0,1º para 1º) tem-se que este começa ao se distanciar muito
de Phobos. Como nota-se na órbita azul do gráfico, a distância aumenta relativamente
ao aumentar o DEF, como se vê na figura a seguir.
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.11: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua
(v=2,1361502655 km/s) e uma defasagem de 2º.
Fica claro que ao diminuir ou aumentar a velocidade do veículo espacial, tem-se um
aumento ainda maior dessa distância e uma maior diferença entre as órbitas de Phobos e
do veiculo, já que este, ao diminuir a velocidade, se aproxima mais de Marte, e ao
aumentar a velocidade, se afasta da órbita de Phobos, como se vê a seguir.
23
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.12: Trajetória do veiculo espacial para: v= 2 km/s e uma defasagem de 0.1º.
Para essa velocidade inicial pode-se ver que o veiculo se aproxima mais de Marte do
que de Phobos (trajetórias preta e vermelha, respectivamente), o que aumenta a
distância destes no decorrer do tempo, mesmo com um DEF pequeno. Portanto, ao
aumentar DEF, mantendo a mesma velocidade, irá aumentar também a distância entre
os corpos.
24
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.13: Trajetória do veiculo espacial para: v= 1,5 km/s e uma defasagem de 0.1º.
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.14: Trajetória do veiculo espacial para: v= 2,2 km/s e uma defasagem de 0.1º.
25
Na Fig. 14 é possível ver que o veículo se afasta da órbita de Phobos, o que também
aumenta a distância entre eles no decorrer do tempo. E o mesmo ocorrerá ao se
aumentar DEF mantendo esta velocidade.
Após analisar os casos acima, é confirmado que os casos mais curiosos e atrativos
para a pesquisa serão com o uso de pequenos valores para DEF, com o veículo espacial
tendo a mesma velocidade inicial de Phobos. Estudam-se estes casos a seguir.
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.15: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de 0,05º.
Observa-se que mesmo com um DEF menor, temos um caso em que a órbita do
veiculo espacial se aproxima levemente de Marte, aumentando a distância entre o
mesmo e Phobos.
26
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.16: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de -0,05º.
Ao mudar o DEF para -0,05º, é notório agora que a órbita do veículo se distancia
mais de Phobos. Como se observa, o mesmo pode ser visto para 0,01º e -0,01º:
27
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.17: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de 0,01º.
-10000 -5000 0 5000 10000
-10000
-5000
0
5000
10000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.18: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de -0,01º.
28
Após analisar todas as figuras, tem-se que a melhor órbita para o veiculo espacial é a
da Fig.8, a qual tem o menor distanciamento deste com relação à Phobos no decorrer do
tempo.
4.4-Satélite na mesma órbita de Deimos.
Deimos vai apresentar resultados similares aos de Phobos, como é visto nas figuras a
seguir.
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.19: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua (v=1,34911422
km/s) e uma defasagem de 0,1º.
29
-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
Y(k
m)
X(km)
Fig.20: Trajetória do veiculo espacial com relação aDeimos deste caso.
Assim como para o caso de Phobos, o veículo espacial mantém uma órbita bem
parecida com a da lua, porém também possui um distanciamento no decorrer do tempo.
Este distanciamento aumenta ao variar a velocidade ou ao aumentar o DEF.
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.21: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de 2º.
30
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.22: Trajetória do veiculo espacial para: v= 1,3 km/s e uma defasagem de 0.1º.
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.23: Trajetória do veiculo espacial para: v= 1,4 km/s e uma defasagem de 0.1º.
31
Como observa-se, o caso de Phobos se assemelha ao de Deimos. Quando a
velocidade do veiculo aumenta, este tende distanciar a sua órbita com relação à órbita
de Deimos, aumentando a distância entre eles no decorrer do tempo, o que também
ocorre quando a velocidade diminui mas, neste caso, o veículo se aproxima de Marte,
ou seja, sua órbita é mais próxima de Marte.
Deimos órbita a uma distância maior que a de Phobos. Para esta escala, a distância
entre os corpos (veículo espacial e Deimos), tende a ser maior do que quando
comparada com de a Phobos.
Analisando as figuras, os melhores casos também deverão ser para DEF pequenos e
com o veículo espacial com a mesma velocidade que a de Deimos.
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.24: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de 0,05º.
32
-1000 -500 0 500 1000
-1000
-500
0
500
1000
1500
Y(k
m)
X(km)
Fig.25: Trajetória do veiculo espacial com relação aDeimos deste caso.
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.26: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de -0,05º.
33
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.27: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de 0,01º.
-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
Y(k
m)
X(km)
Trajetoria satélite em torno de Marte
Trajetoria da Lua em torno de Marte
Satélite em relaçao a Lua
Fig.28: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma
defasagem de -0,01º.
34
Como visto anteriormente, com DEF negativos o veículo espacial tende a se
distanciar de Marte, ou seja, sua órbita fica maior que a de Deimos, aumentando a
distância entre eles. Ocorrendo a mesma coisa quando o DEF é positivo, mas nesse caso
o veículo se aproxima de Marte, tornando a sua órbita menor que a de Deimos.
No caso de Deimos, a melhor órbita para estudo foi obtida na Fig. 24, a qual possui a
menor distância entre os corpos no decorrer do tempo.
5. Conclusão
A partir dos resultados mostrados acima, fica evidente que a abordagem inicial
(estudo de órbitas ao redor das luas) se torna ineficaz. Assim, não é possível gerar uma
órbita segura ao redor destas luas.
Ao se estudar a nova abordagem, é possível encontrar algumas órbitas interessantes
para os estudos de Phobos e Deimos. Com o veículo espacial orbitando Marte na mesma
distância das luas, ou seja, na mesma órbita de Deimos ou Phobos, obtêm-se órbitas
seguras ao redor de Marte, porém os corpos (veículo e lua) se distanciam no decorrer do
tempo, em alguns casos mais do que outros. Nos melhores casos (Fig.24 e Fig.8), o
veículo continua em sua órbita, que é bem próxima das luas (Deimos e Phobos
respectivamente), assim, o distanciamento entre o veículo espacial cresce no decorrer do
tempo, mas não muito, tornando estas órbitas interessantes para a pesquisa.
Como estudos futuros, é possível considerar geometrias alternativas, com o veículo
espacial iniciando sua trajetória um pouco acima ou abaixo das luas, com relação a
Marte. Outras possibilidades seriam considerar a presença de outras forças no sistema,
como a presença da gravidade do Sol ou mesmo a colocação de um painel solar nos
veículos espaciais, com o objetivo adicionar uma força perturbativa devido à pressão de
radiação solar que pode melhorar as trajetórias obtidas.
6. Referencias
Kuga, H. K.; Carrara, V.; Rao, K. R. Introdução a mecânica orbital.
sid.inpe.br/iris@1905/2005/07.28.23.45-PUD, 2a Ed. São José dos Campos, 2012.
Prado, A. F. B. A. Trajetórias espaciais e manobras assistidas por gravidade. São josé
dos Campos: INPE. 2001
Gil, P.J. S.; Schwartz, J. Simulationsof Quase-SatelliteOrbitsAroundPhobos.
JournalofGuidance, Control, and Dynamics. Vol. 33, No. 3, Maio-Junho 2010
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fobos_%28sat%C3%A9lite%29, visitado em
05/02/2015.
35
http://pt.wikipedia.org/wiki/Deimos_%28sat%C3%A9lite%29, visitado em
05/02/2015.