Post on 14-Oct-2015
ESTIMACIN DE ESTADO
Y DE PARMETROS
EN REDES ELCTRICAS
Pedro Javier Zarco Perin Antonio Gmez Expsito
DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
1999
Copyright P. Zarco & A. Gmez-Expsito
Copyright P. Zarco & A. Gmez-Expsito
ndice General
1 Estimacin de Estado en Redes Elctricas 1
1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Hiptesis y datos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Resultados de la estimacin de estado . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Mtodos de Estimacin de Estado 25
2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Mnimos cuadrados ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Ecuaciones normales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Mtodo hbrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel . . . . . . . . . . . 33
2.7 Mtodo de pseudoinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Mtodo de la matriz aumentada por bloques . . . . . . . . . . . 36
2.9 Mnimos valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 Mnima mediana de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Inuencia de Errores en los Parmetros sobre la Estimacin 45
3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Entorno de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Carcter local del efecto de los errores en los parmetros . . . . 50
3.4 Anlisis del nivel de error en las medidas . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Errores en la conductancia y en la susceptancia . . . . . . . . . 58
3.6 Inuencia de los ujos e inyecciones sobre las medidas estimadas 60
3.7 Inuencia de los errores en las medidas sobre la estimacin . . . 61
3.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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ii NDICE GENERAL
4 Estimacin de Parmetros en Redes Elctricas 69
4.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Identicacin de errores en los parmetros . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Clasicacin de los mtodos de estimacin de parmetros . . . . 71
4.4 Estimacin on-line frente a estimacin o-line . . . . . . . . 72
4.5 Carcter local de la estimacin de parmetros . . . . . . . . . . 73
4.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 Mtodos de Estimacin de Parmetros 85
5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Mtodos basados en el anlisis de sensibilidad residual . . . . . 85
5.3 Mtodos que amplan el vector de estado . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Resolucin mediante ecuaciones normales . . . . . . . . . 93
5.3.2 Resolucin basada en la teora del ltro de Kalman . . . 101
5.4 Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Resultados Experimentales de la Estimacin de Estado y de
Parmetros 113
6.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Estimacin de impedancias o admitancias . . . . . . . . . . . . 114
6.3 Inuencia del nmero de muestras utilizadas . . . . . . . . . . . 115
6.4 Relacin con el nivel de error en las medidas . . . . . . . . . . . 117
6.5 Inuencia del tipo de medidas disponibles . . . . . . . . . . . . 121
6.6 Estimacin de varios parmetros simultneamente . . . . . . . . 124
6.7 Optimalidad de los parmetros estimados . . . . . . . . . . . . . 125
6.8 Resultados del estimador con los parmetros mejorados . . . . . 128
6.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7 Aspectos Relacionados con la Estimacin 133
7.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2.1 Test de observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.2 Identicacin de redes observables . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.3 Ubicacin de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3 Errores no gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3.1 Determinacin de la presencia de errores . . . . . . . . . 140
7.3.2 Identicacin de medidas errneas . . . . . . . . . . . . . 141
7.3.3 Eliminacin de medidas errneas . . . . . . . . . . . . . 143
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NDICE GENERAL iii
7.4 Errores topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4.1 Identicacin y estimacin de errores topolgicos . . . . 145
7.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A Propiedades Estadsticas de la Estimacin de Mnimos Cua-
drados 159
A.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.2 Propiedades estadsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
B Elementos de la Matriz Jacobiano 165
B.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.2 Elementos de la matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C Fondos de Escala Utilizados en el Entorno de Simulacin 171
C.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.2 Fondos de escala de la red IEEE-14 . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.3 Fondos de escala de la red IEEE-118 . . . . . . . . . . . . . . . 174
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ndice de Figuras
1.1 Error general de clase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Error de linealidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Error de reproducibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Errores lmites de relacin para transformadores de intensidad
de clase 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Errores lmites de fase para transformadores de intensidad de
clase 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Errores lmites para transformadores de intensidad de clase 0.5. 8
3.1 Red IEEE-14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Inuencia del error conjunto en la susceptancia y la conductan-
cia de una lnea sobre las medidas: (a): De toda la red (trazo
discontinuo); (b): Adyacentes (trazo continuo). . . . . . . . . . . 51
3.3 Inuencia del error de una lnea sobre las medidas estimadas a
distintas distancias: Error de las medidas estimadas con error
en una lnea / Error de las medidas estimadas sin error en la
lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Inuencia del error conjunto en la susceptancia y la conduc-
tancia de una lnea sobre las medidas adyacentes para distintas
clases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Inuencia del error de una lnea frente a la relacin entre los
errores de las medidas estimadas y las telemedidas (adyacentes). 55
3.6 Inuencia del error de una lnea sobre las medidas estimadas a
distancia 1 para distintas clases: Error de las medidas estimadas
con error en una lnea / Error de las medidas estimadas sin error
en la lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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ii NDICE DE FIGURAS
3.7 Inuencia del error de una lnea sobre las medidas estimadas a
distancia 2 para distintas clases: Error de las medidas estimadas
con error en una lnea / Error de las medidas estimadas sin error
en la lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8 Inuencia del error en la susceptancia y en la conductancia de
una lnea sobre las medidas adyacentes. . . . . . . . . . . . . . . 59
3.9 Inuencia del error en la susceptancia de una lnea sobre las
medidas adyacentes con diferentes tipos de medidas. . . . . . . . 61
3.10 Inuencia sobre las medidas de tensin adyacentes cuando todas
las medidas son exactas excepto las de tensin. . . . . . . . . . . 62
3.11 Inuencia sobre las medidas de inyeccin adyacentes cuando to-
das las medidas son exactas excepto las de inyeccin. . . . . . . 63
3.12 Inuencia sobre las medidas de ujo adyacentes cuando todas
las medidas son exactas excepto las de ujo. . . . . . . . . . . . 64
4.1 Red IEEE-118. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Resultado del anlisis de sensibilidad de la lnea que une los
nudos 49 y 51 en la red IEEE-118. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1 Modelo del transformador utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Modelo del transformador considerado. . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Error en la susceptancia estimada de la lnea que une los nudos
7 y 9 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parmetro. . 97
5.4 Error en la susceptancia estimada de la lnea que une los nudos
10 y 11 en la red IEEE-14 frente al peso relativo del parmetro. 98
6.1 Relacin entre el error de las medidas y el error del parmetro
estimado frente al nmero de estados procesados simultneamente.115
6.2 Inuencia del error en la susceptancia de una lnea sobre las
medidas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesa un
estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Inuencia del error en la susceptancia de una lnea sobre las
medidas adyacentes, con distintas clases, cuando se procesan
siete estados simultneamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 Inuencia del error en la susceptancia de una lnea sobre las
medidas adyacentes, con distintas clases, cuando: (a): No se
realiza estimacin de parmetros; (b): Se estima procesndose
siete estados simultneamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
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NDICE DE FIGURAS iii
6.5 Media del error de las medidas / Error del parmetro estimado
frente al nmero de estados procesados simultneamente con
diferente redundancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.6 Inuencia del error en la susceptancia de cinco lneas sobre las
medidas de toda la red, con distintas clases. . . . . . . . . . . . 125
6.7 Inuencia del error en las susceptancias de cinco lneas sobre las
medidas de toda la red, con distintas clases, cuando se procesan
siete estados simultneamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
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ndice de Tablas
1.1 Errores mximos admitidos en la norma CEI para transfor-
madores de intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Lmites del error de relacin y del desfase para transformadores
de tensin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.1 Inuencia del error de la susceptancia de una lnea sobre las
medidas cuando se estima el parmetro. . . . . . . . . . . . . . 116
6.2 Errores de las medidas adyacentes utilizadas sin estimar par-
metro y estimndolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3 Errores de los parmetros estimados para diferentes niveles de e-
rrores en las medidas y redundancia completa. (a): Error medio
de las telemedidas (%); (b): Error del parmetro estimado (%). 120
6.4 Inuencia del error de la susceptancia de una lnea cuando slo
se dispone de medidas de tensiones e inyecciones y se estima
dicho parmetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5 Inuencia del error de la susceptancia de una lnea cuando slo
se dispone de medidas de tensiones y ujos y se estima dicho
parmetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6 Valores estimados del parmetro para distintos valores de par-
tida de ste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.7 Valor estimado del parmetro cuando se parte de un valor esti-
mado previamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
C.1 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-14
en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . . . 172
C.2 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-14
en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . . . 173
C.3 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118
en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . . . 175
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ii NDICE DE TABLAS
C.4 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118
en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). . . 176
C.5 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118
en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). . . 177
C.6 Fondos de escala considerados para los nudos de la red IEEE-118
en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). . . 178
C.7 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA. . . . . . . . . 179
C.8 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 180
C.9 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 181
C.10 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 182
C.11 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 183
C.12 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 184
C.13 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 185
C.14 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 186
C.15 Fondos de escala considerados para las ramas de la red IEEE-
118 en por unidad y sobre una base de 100 MVA (continuacin). 187
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Captulo 1
Estimacin de Estado en Redes
Elctricas
1.1 Introduccin
Cuando en 1965 se produjo el incidente que dej sin alimentacin de energa
elctrica al nordeste de los Estados Unidos, las empresas elctricas tomaron
conciencia de que deban realizar un gran esfuerzo para desarrollar nuevas
tcnicas en la operacin de los sistemas de potencia que permitieran un elevado
nivel de seguridad en el servicio. Esto dio lugar a que los antiguos mtodos y
herramientas de operacin resultaran inadecuados.
Se comenz a hablar de anlisis de seguridad, ndices de seguridad, mejo-
ra de la seguridad, anlisis de estabilidad, optimizacin y se empezaron a
construir nuevos centros de control. Hasta entonces, el control y la decisin
de la operacin se basaban en un sistema de supervisin, que controlaba las
posiciones de los interruptores en las subestaciones, y un sistema separado,
generalmente anlogo al anterior, que controlaba de manera automtica la
generacin y el despacho econmico. Por lo tanto, los nicos datos que el ope-
rador tena disponibles en tiempo real eran el estado de los interruptores, la
frecuencia del sistema y el conjunto de medidas de potencia necesarias para el
control de la generacin.
Partiendo de esta situacin el esfuerzo se centr en conseguir cada pocos
segundos la informacin, tanto de los interruptores como de todas las medidas
de la red que se controlaba. Teniendo todos estos valores en tiempo real en
la base de datos era posible comprobar la seguridad continuamente, es decir,
se podan analizar las condiciones de operacin de cada equipo de la red y
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2 Estimacin de Estado
detectar las situaciones anormales y alarmantes de funcionamiento. Este pro-
ceso de captacin, deteccin y sealizacin del sistema, junto con la utilizacin
de pantallas grcas y el almacenamiento de todos los eventos, constituy el
sistema de supervisin del control y adquisicin de datos (SCADA en ingls).
Con todo lo anterior, se pens que teniendo la base de datos actualizada
peridicamente, gracias al SCADA, se podra llevar el seguimiento y el control
de la seguridad del sistema con slo introducir las medidas en los programas de
control. Pero no era correcto y fue Schweppe el que reconoci desde el principio
que haba dos problemas fundamentales para la ejecucin de las funciones de
seguridad.
En primer lugar, aunque el nmero de medidas era generalmente muy
grande siempre haba inconsistencias, ya que ciertas medidas desaparecan
temporalmente o haba medidas con errores no gaussianos. En segundo lu-
gar, las nuevas funciones de seguridad necesitaban un punto de partida, es
decir, un reparto de cargas en tiempo real. Como consecuencia de lo primero,
los programas de reparto de cargas que se venan utilizando hasta esas fechas
no se podan utilizar en tiempo real, por lo que no haba forma prctica de
realizar funciones de seguridad.
Schweppe, con la estimacin de estado, resolvi tanto el problema de los
datos como el de la resolucin en tiempo real. Como l dijo, el estimador de
estado es un puricador de datos", utilizando una analoga con la puricacin
de la sangre en el cuerpo humano [13]. Pero es algo ms, el estimador de estado
es un reparto de cargas en tiempo real. Con esto se aseguraba la ejecucin de las
funciones de seguridad en los centros de control y el SCADA era reemplazado
por lo que hoy da se conoce como sistema de gestin de energa (EMS en
ingls).
1.2 Hiptesis y datos de entrada
Schweppe deni la estimacin de estado como un algoritmo de procesamiento
de datos que convierte las medidas redundantes y otra informacin disponible
en un estimado del estado del sistema elctrico [34]. Hoy en da, la estimacin
de estado es una parte esencial en los sistemas de gestin de energa de todo
el mundo. Ms an, son el corazn de los modernos sistemas de gestin de
energa y el rendimiento de otras aplicaciones, como las de anlisis de seguri-
dad, despacho econmico, etc., dependen en gran medida de la exactitud de
los datos que proporciona el estimador de estado.
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Hiptesis y datos de entrada 3
Las fuentes de informacin necesarias para el estimador de estado son [15]:
Los valores de los parmetros de diseo (R, L, etc.).
La informacin topolgica o estructural (posicin de interruptores, etc.).
El modelo matemtico del sistema.
Los distintos tipos de medida:
Telemedidas: Son las que se obtienen en tiempo real desde las re-
motas de las subestaciones a travs del SCADA. Los datos tpicos
que se incluyen son:
Las tensiones e inyecciones de activa y reactiva en los nudos. Los ujos de potencia activa y reactiva en las lneas. Pseudomedidas: Son valores obtenidos basndose en los datos his-
tricos existentes, por lo que tienen menos precisin que si fuesen
medidos; por ejemplo, la potencia generada en las centrales o la
demanda de las subestaciones.
Medidas virtuales: Son aquellas que no requieren ser medidas, como
por ejemplo la inyeccin cero en las subestaciones de transporte
(nudos de trnsito).
Pero ocurre que los datos telemedidos contienen errores debido a la in-
exactitud de la calibracin de los transductores, el efecto de la conversin
analgica-digital, el ruido en los canales de comunicacin, el desequilibrio en-
tre fases, etc., y como se ha comentado previamente, la estimacin de estado es
un proceso que limpia los datos errneos ya que las medidas (ujos, tensiones,
etc.) estn relacionadas entre s mediante las leyes que gobiernan los circuitos
elctricos. Si hay redundancia en el conjunto de medidas (ms medidas que las
necesarias para determinar la condicin de la red), se puede utilizar un proceso
sistemtico que corrija los errores.
La exactitud de las medidas no slo depender del transformador de me-
dida, sino tambin de los transductores y convertidores y se tendr en cuenta
como error de las medidas un nico valor que sea conjuncin de la suma acu-
mulativa de los errores en los dispositivos que intervienen en todo el proceso.
Los parmetros que denen la exactitud de la medida son:
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4 Estimacin de Estado
Clase: Se entiende por clase el error mximo que dicho aparato demedida puede tener, tomado en tanto por ciento, con respecto al valor de
fondo de escala o seal nominal de salida, en unas condiciones denidas
por normas nacionales o internacionales. En la Figura 1.1 se representan
los valores verdaderos con trazo continuo y los valores medidos con curva
discontinua.
Figura 1.1: Error general de clase.
Linealidad: Se entiende como error de linealidad el error relativo entanto por ciento, con respecto al valor de fondo de escala, que existe entre
el verdadero valor y el valor obtenido con el aparato de medida calibrado
perfectamente para la seal de fondo de escala, es decir, ajustado de
manera que a la entrada nominal le correspondiese exactamente la salida
nominal. En la Figura 1.2 se representan los valores verdaderos con trazo
continuo y los valores medidos con curva discontinua.
Reproducibilidad o histresis: Se entiende por error de reproducibil-idad o bien de histresis, el error que puede darse por diferencia de los
valores obtenibles en un convertidor de medida a igualdad de condi-
ciones ambientales, de temperatura, etc., pero repitiendo las medidas en
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Hiptesis y datos de entrada 5
Figura 1.2: Error de linealidad.
condiciones dinmicas diferentes, es decir, aumentando la medida en un
momento y disminuyndola en otro momento (Figura 1.3).
Deriva trmica: Es el error que puede producirse por variacin de latemperatura en el medio ambiente en que se encuentra el instrumento
de medida, con respecto a la medida que tiene a una temperatura de
referencia. Esta diferencia de valor que se toma tambin en tanto por
ciento con respecto al fondo de escala, puede ser de cero, es decir, de la
salida que da el aparato de medida para una entrada que por su ajuste
debiera dar salida igual a cero, o bien puede ser de plena escala, es decir,
de la salida que da el aparato de medida para la entrada nominal. Este
error se suele dar en tanto por ciento por cada grado centgrado o bien
en tanto por ciento por cada diez grados centgrados.
Otras magnitudes: Otras magnitudes, tales como la frecuencia dered, tensin de alimentacin, impedancia de carga, pudieran tener algn
pequeo efecto sobre el aparato de medida y sobre su precisin, por lo que
en algunos de ellos se suele expresar la inuencia de dichas magnitudes.
Es necesario tener en cuenta que los tantos por ciento de error que se suelen
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6 Estimacin de Estado
Figura 1.3: Error de reproducibilidad.
dar por variacin de magnitudes corresponden a unos determinados mrgenes
de operacin y no suelen ser extrapolables a otros valores operacionales.
Siendo la clase el parmetro que ms inuye en la exactitud de la medida
ser ste el nico que se tendr en cuenta. Las clases de precisin nominales
de los transformadores de intensidad son 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3 y 5. En los trans-formadores de estas clases, los errores de intensidad y fase, a la frecuencia
nominal, no debern sobrepasar los valores de la Tabla 1.1 cuando la carga
secundaria est comprendida entre el 25 y el 100 % de la carga de precisin.
A partir de los valores de la Tabla 1.1 y para cada clase de precisin, puede
trazarse una grca de lneas quebradas de errores lmites tanto de relacin
(Figura 1.4) como de fase (Figura 1.5) con los lmites de error admisibles.
Ambas guras son las correspondientes a la clase 0.5. Las curvas de errores
reales de un transformador debern quedar comprendidas entre las dos lneas
quebradas de dichas guras.
Las Figuras 1.4 y 1.5 se pueden unicar en una sola (Figura 1.6) en la
que los errores admisibles para clase 0.5 son los comprendidos entre ambos
paralelogramos.
Excepto la norma ANSI, todas las normas tienen, fundamentalmente, los
mismos valores que la CEI. La principal variante es que las normas UNE y VDE
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Hiptesis y datos de entrada 7
Error de relacin en % Errores de fase para los
Clase para los valores de valores de la intensidad
de intensidad expresados en % expresados en % de la
precisin de la intensidad nominal intensidad nominal
1% 1 (minutos)10 20 50 100 120 10 20 100 120
0.1 0.25 0.2 - 0.1 0.1 10 8 5 5
0.2 0.5 0.35 - 0.2 0.2 20 15 10 10
0.5 1.0 0.75 - 0.5 0.5 60 45 30 30
1 2.0 1.5 - 1.0 1.0 120 90 60 60
3 - - 3 - 3 - - - -
5 - - 5 - 5 - - - -
Tabla 1.1: Errores mximos admitidos en la norma CEI para transformadores
de intensidad.
Figura 1.4: Errores lmites de relacin para transformadores de intensidad de
clase 0.5.
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8 Estimacin de Estado
Figura 1.5: Errores lmites de fase para transformadores de intensidad de clase
0.5.
Figura 1.6: Errores lmites para transformadores de intensidad de clase 0.5.
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Hiptesis y datos de entrada 9
Clase Error de relacin (u%) Desfase min. (u)0.1 0.1 50.2 0.2 100.5 0.5 201 1.0 403 3.0 No especicado
Tabla 1.2: Lmites del error de relacin y del desfase para transformadores de
tensin.
no admiten la clase 5. Tambin hay que tener en cuenta que la norma CEI
y la mayor parte de las normas europeas establecen que los errores indicados
no deben sobrepasarse para una potencia comprendida entre la nominal y su
cuarta parte, con cos = 0.8, mientras que la norma ANSI solamente exige elcumplimiento de la precisin para una potencia igual a la potencia nominal.
La clase de precisin de un transformador de tensin debe cumplirse en
todas las tensiones comprendidas entre el 80 y el 120 % de la tensin nominal
y a todas las cargas comprendidas entre el 25 y el 100 % de la precisin, bajo un
factor de potencia de 0.8 en retraso. En la Tabla 1.2 se muestran los lmites del
error de relacin y desfase en funcin de la clase de precisin. Estas exigencias
de precisin coinciden para todas las normas.
Hasta ahora se han denido las fuentes de informacin necesarias para el es-
timador de estado. stas son necesarias para poder llevar a cabo la estimacin,
que se realiza bajo las siguientes hiptesis:
Las condiciones de operacin son equilibradas.
El sistema trifsico se puede modelar por su circuito equivalente monofsi-co.
Las telemedidas se captan en el mismo instante de tiempo.
Los errores de las medidas:
Tienen valor medio nulo.
Son variables aleatorias independientes: E(eiej) = 0, por lo que su
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10 Estimacin de Estado
matriz de covarianzas R es una matriz diagonal de valor
R = E(eeT ) =
2i
2i.
.
.
2m
(1.1)
Tienen distribucin gaussiana.
Se asigna un peso Wii a la medida i basado en su covarianza: Wii = 2i .Este peso reeja la exactitud esperada de la correspondiente medida.
Los parmetros de la red son conocidos e invariantes con el tiempo. Los estados de todos los interruptores obtenidos a travs del SCADA sonexactos, por lo que la topologa de la red tambin lo es.
El clculo de la desviacin tpica del error de las medida i, i , es propuestode diferentes maneras segn los autores y se pueden diferenciar cuatro grandes
grupos:
1. es un valor constante:
(a) En [1, 2, 6] se propone:
Para medidas de inyeccin: = 0.01 p.u. Para medidas de ujo: = 0.008 p.u. Para medidas de tensin: = 0.004 p.u.(b) En [5, 7, 8] se propone:
Para medidas de potencia: = 1 MW/MVAR. Para medidas de tensin: = 0.01 p.u.(c) En [16] se propone:
Para medidas de potencia: = 0.02 p.u. (sobre una base de100 MVA).
Para medidas de tensin: = 0.002 p.u.(d) En [17] se propone:
Para medidas de potencia: = 1 MW/MVAR. Para medidas de tensin: = 0.005 p.u.
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Hiptesis y datos de entrada 11
(e) En [26, 27] se propone:
Para medidas de potencia: = 1.5 MW/MVAR en 132 KV y = 0.8 MW/MVAR en 33 KV.
Para medidas de tensin: = 0.005 p.u. Para medidas de inyeccin cero: = 0.2 MW/MVAR.(f) En [29, 30, 32] se propone:
Para medidas de potencia: = 0.5 1.1 MW/MVAR en 70KV y = 1.2 5.5 MW/MVAR en tensiones superiores.
Para medidas de tensin: = 0.005 p.u. Para medidas de inyeccin cero: = 0.3 MW/MVAR en 70KV y = 0.5 MW/MVAR en tensiones superiores.
2. es funcin del valor medido:
(a) En [3, 28] se propone: Para todas las medidas = 1% del valormedido.
(b) En [21] se propone: Para todas las medidas 2% del valor me-dido.
(c) En [22] se propone: Para todas las medidas 3% del valor me-dido.
(d) En [19, 24] se propone: Para todas las medidas = 2% del valormedido.
(e) En [31] se propone: Para todas las medidas = 0.01% del valormedido.
3. es funcin del fondo de escala:
(a) En [18] se propone: Para todas las medidas el ruido gaussiano
obtenido de un generador de nmeros aleatorios es multiplicado
por un porcentaje, sin especicar, del fondo de escala del aparato
de medida.
(b) En [20] se propone:
Para medidas de potencia: = 0.5% del fondo de escala, siendoste 1000 MW.
Para pseudomedidas: = 10 40% del fondo de escala.
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12 Estimacin de Estado
(c) En [35] se propone: Para todas las medidas, a los estados exactos se
les suma un error gaussiano obtenido con un generador de nmeros
aleatorios a partir de la desviacin tpica de cada medida, siendo
sta funcin del fondo de escala y de la clase del aparato de medida.
4. es funcin del valor medido y del fondo de escala:
(a) En [4] se propone:
= 0.0067 VM + 0.00163 FE (1.2)siendo:
VM el valor medido.
FE el fondo de escala del aparato de medida.
(b) En [9] se propone:
= 0.015 VM + 0.003 FE (1.3)siendo un nmero aleatorio de media cero y desviacin tpica 1.0y los valores del fondo de escala:
Para medidas de potencia: Para generadores: 1.2 p.u. para potencia activa y 0.2 p.u.
para reactiva.
Para cargas: 0.2 p.u. para potencia activa y 0.1 p.u. para
reactiva.
Para medidas de tensin: 1.5 p.u.(c) En [10] se propone:
Para medidas de potencia: 2 = (0.006VM)2+(0.005FE)2. Para medidas de tensin: = 0.005 FE.no estando especicado FE.
(d) En [11, 12] se propone: Para las medidas de ujos de potencia
= (0.02 VM + 0.0035 FE) (1.4)siendo :
|| 1FE = 2000 MVA.
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Resultados de la estimacin de estado 13
(e) En [14] se propone:
Para medidas de potencia: = 13(0.005 FE + 0.02 VM).
Para medidas de tensin: = 0.001 VM .no estando especicado FE.
(f) En [23] se propone:
= 0.012 VM + 0.0035 FE (1.5)siendo FE = 20 p.u.
(g) En [33] se propone:
3 = VM + FE (1.6)no estando especicado FE y siendo:
Para medidas de potencia: = 0.02, = 0.0052 y VM y FEson valores en MVA.
Para medidas de tensin: = 0.005, = 0.0026, VM = 1.0p.u., FE = 1.5 p.u.
Para medidas de inyeccin cero: es 20 veces superior al tpico de medidas de inyeccin reales.
En los aparatos de medida industriales existe una disparidad similar res-
pecto a la precisin del aparato. Dependiendo del fabricante y del modelo
sta es proporcional a la medida, al fondo de escala o a una suma de ambos
factores, pero nunca es constante [25].
1.3 Resultados de la estimacin de estado
El estimador procesa toda la informacin disponible del sistema interconecta-
do y genera una base de datos para las funciones de control y reparto. Los
resultados de la estimacin de estado son los estimados de las variables del
sistema elctrico que pueden incluir la generacin, las cargas activas y reacti-
vas, los ujos de potencia activa y reactiva de las lneas de transmisin y las
magnitudes y las fases de los ngulos de las tensiones en los nudos.
Con esta informacin se puede determinar, mediante el anlisis de sensi-
bilidad, cmo afectan los errores del modelo del sistema a los resultados de la
estimacin de estado. Adems, se pueden calcular las matrices de covarianza
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14 Estimacin de Estado
de la estimacin y residual que permitirn evaluar la bondad de la estimacin
as como detectar errores no gaussianos (Apartado 7.3).
Asimismo, la informacin proporcionada por el estimador de estado o la
que se puede obtener fcilmente de l, inuir en:
1. Las funciones de control:
El control de carga y frecuencia. Es necesario obtener la estimacinptima de los ujos de potencia e inyecciones, especialmente de las
medidas que no se realizan en tiempo real pero que se estiman y
actualizan peridicamente por el operador.
El despacho ptimo de las potencias activa y reactiva. ste se basaen los nudos de carga, pudiendo realizar el estimador la estimacin
de las cargas no telemedidas.
La supervisin de la seguridad. El estimador de estado debe sumi-nistrar en tiempo real la informacin necesaria para la inspeccin
peridica de la generacin, las cargas de las lneas, las tensiones de
los nudos, la estabilidad transitoria de la red y la prediccin de los
efectos de las posibles contingencias.
La mejora de los sistemas de seguridad. Se genera una base de datosen tiempo real que permite la realizacin del anlisis de seguridad
y la deteccin de anomalas.
El programa de descargos. ste va a depender de las conclusionesque se obtengan de los anlisis que se realizan de los efectos que
pueden producir dichos cortes sobre la seguridad del sistema. Las
variables estimadas pueden servir de base para estos anlisis.
2. El operador:
Proporcionndole, junto con sus respectivas desviaciones tpicas,el estimado de los ujos de las lneas, las salidas de generadores,
cargas, niveles de tensin, ngulos de las fases, etc.
Indicndole las anomalas del sistema y su localizacin geogrca einformndole sobre los problemas de la red.
Proporcionndole salidas no registradas y su localizacin geogrcaque le ayudarn en el diagnstico de defectos.
Informndole de los costes marginales de potencia en los nodos im-portantes y en los de intercambio.
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Resultados de la estimacin de estado 15
Facilitndole ndices de seguridad tales como reservas de generaciny transmisin o los mrgenes de estabilidad transitoria para alertarle
mientras se encuentre el sistema en un estado vulnerable.
Proporcionndole las acciones correctoras requeridas para solucio-nar las condiciones indeseables de potencia y tensiones y los pro-
cedimientos de restablecimiento del sistema.
3. El diseo y la planicacin de los sistemas de informacin:
Facilita el proceso de localizacin y denicin de la exactitud de lossensores necesarios para mejorar algunas variables de estado con el
menor coste posible.
La estimacin de estado obtendr, segn se deducir en el Apartado 2.2,
el estado estadsticamente ptimo. Este estado estimado constituye la base
de datos sobre la que trabajan el resto de las funciones del centro de control
pero tiene algunas limitaciones que el operador debe conocer. Ser conscientes
de ellas evitar sorpresas y desconanza en la estimacin de estado. Estas
limitaciones son:
1. Los cambios de estado no comunicados en reas no observables pueden
dar lugar a resultados errneos.
2. Los resultados de la inyeccin en los nudos pueden no ser realistas, ya
que las inyecciones mltiples en los nudos no pueden ser estimadas indi-
vidualmente y los errores no gaussianos no siempre se pueden identicar
individualmente.
3. Los errores no gaussianos en medidas crticas no pueden ser detectados.
4. Se acepta que las posiciones de los interruptores son correctas aunque
pueden no serlo.
5. El test de la 2 para la deteccin de errores no gaussianos no es siempreseguro.
Seguidamente se proceder a realizar una discusin en detalle de cada una
de estas limitaciones.
Areas no observables
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16 Estimacin de Estado
El modelo de red utilizado por la estimacin de estado incluye habitualmente
redes que estn fuera del mbito de inuencia del centro de control. Tales
reas no observables pueden ser partes de redes de tensiones inferiores o partes
de interconexiones con sistemas externos. Para la estimacin de estado estas
subredes son no observables permanentemente. Adems, algunas zonas de la
red que estn siendo controladas pueden pasar a no observables debido a la
prdida de una medida crtica, a un fallo en el terminal remoto o en las vas de
comunicacin, o simplemente porque en dicha subestacin se est realizando
mantenimiento o est siendo reparada la unidad remota.
Con objeto de convertir en observables todas esas zonas no observables se
utilizan las pseudomedidas, las cuales se basan en las ltimas medidas y en
datos histricos. Por lo tanto, la estimacin de estado realiza una funcin
que un operador podra realizar de una manera ms lenta y proporciona una
informacin que el SCADA no puede suministrar.
Si el periodo durante el cual las zonas no observables permanecen en este
estado es elevado, la estimacin de estado puede no ser correcta, no por causa
de las pseudomedidas, sino por la posibilidad de cambios en el estado de dicha
zona.
Cuando se produce una isla no observable debido a una red de tensin
inferior, si la no observabilidad se debe a la prdida o a la no disponibilidad de
una medida crtica, se puede subsanar este problema comunicando el cambio
del estado desde la subestacin al centro de control y se actualizara el sistema.
Sin embargo, si la no observabilidad se debiese a la imposibilidad de acceder
a la subestacin por cualquier razn, entonces los cambios no se registraran. Si
el periodo de indisponibilidad llega a ser excesivamente prolongado, el operador
podra recibir informacin telefnica desde la subestacin por el personal de
operacin o mantenimiento y si fuese necesario, debido a la importancia de
la subestacin, tendra que haber personal que la controlase en modo local
temporalmente.
Por ltimo, si la zona no observable no es demasiado extensa, un cambio
en un interruptor se podra notar e incluso identicar en las zonas observables
adyacentes.
Resultados de la inyeccin en los nudos de la estimacin de esta-
do
Con objeto de que el usuario nal, por ejemplo el operador del sistema, apre-
cie el valor de la estimacin de estado y tenga conanza en sus resultados, es
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Resultados de la estimacin de estado 17
necesario tener un especial cuidado en la determinacin y presentacin de si
las inyecciones en los nudos son simples o mltiples.
En ciertos casos, la distribucin de la inyeccin estimada en un nudo entre
los generadores y las cargas del mismo puede dar lugar a situaciones absurdas
si no se tiene un especial cuidado. Puede ocurrir que:
Las salidas de los generadores sean muy superiores a su capacidad. Los generadores absorban potencia del nudo. Haya valores de cargas excesivamente elevados. Haya cargas que aporten potencia al nudo. Aparezca una carga que en realidad no existe.Una vez que el estimador de estado ha obtenido su solucin, la distribucin
de la inyeccin en el nudo entre los generadores y las cargas ser tal que se
eviten resultados como los indicados anteriormente. En aquellos lugares en los
que la inyeccin estimada no pueda ser distribuida de una manera realista ser
necesario que se haga mencin mediante algn comentario o indicacin.
El algoritmo del estimador de estado estima la inyeccin en un nudo y no las
inyecciones individuales. La distribucin de la inyeccin entre las inyecciones
individuales se realiza proporcionalmente a los valores medidos.
Esta es una buena aproximacin mientras no existan datos con errores no
gaussianos en una o ms de las inyecciones. Si se detecta un error no gaussiano
en la inyeccin no se puede identicar cul de las inyecciones individuales es la
que ha introducido el error. Sin embargo, es posible que se pueda identicar
mediante mtodos heursticos.
Medidas crticas
Por denicin, en estimacin de estado un error en una medida crtica no
puede ser identicado. Por lo tanto, depender del operador la decisin de si
una medida crtica es correcta o no. Por este motivo, en la presentacin de los
resultados de la estimacin de estado, las medidas crticas se identicarn de
un modo especial.
Idealmente, habr suciente redundancia en el conjunto de medidas de
manera que no haya medidas crticas. Con este criterio se asegura la redun-
dancia local en la red pero en la prctica pueden existir varias medidas crticas.
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18 Estimacin de Estado
El nmero de medidas crticas no permanece jo. Alguna de las medidas
puede convertirse en crtica debido a la no disponibilidad de alguna medida o
a que se rechace por ser detectada como medida con error no gaussiano.
La presentacin al operador de las medidas que son crticas le permitir
saber que en caso de que exista algn error no gaussiano en dichas medidas no
podr ser identicado.
Topologa de la red
En la estimacin de estado se supone que la informacin que se tiene en la
base de datos respecto a la posicin abierta o cerrada de los interruptores y
seccionadores es correcta. Esta suposicin es cierta si es supervisada por medio
del SCADA.
Se pueden producir errores en la estacin remota debido a la prdida de
conexin, a un problema de un cable, un fallo en algn rel, alguna tarjeta,
etc. Estos errores no suelen producirse pero si ocurriesen daran lugar a que
el congurador de la red proporcionase un modelo errneo de sta.
Si el interruptor o seccionador no se supervisa a travs del SCADA, la
actualizacin de su posicin la realiza manualmente el operador tras una serie
de operaciones que el operario de campo realiza. Puede ocurrir que el opera-
dor se olvide de actualizar la posicin de los equipos, lo que origina un error
topolgico en la red.
Este problema se puede obviar mediante el preprocesador del estimador de
estado. ste lo que realiza es la vericacin de cada nudo y si el residuo de
las potencias activa y reactiva superan un umbral se emite un mensaje que
avisar al operador. Por lo tanto, si se produce algn error en la informacin
que se tenga de un interruptor, sta se detectara por la correlacin que existe
entre la posicin del interruptor y los ujos de las ramas.
Identicacin de errores no gaussianos
En la mayora de los centros de control se utiliza el test de la 2 para ladeteccin de errores no gaussianos (se analizar en detalle en el Apartado 7.3).
En la prctica este test no es siempre correcto, aun cuando slo haya un nico
dato errneo, especialmente en redes grandes.
En el caso de que haya mltiples errores no gaussianos el test de la 2 seejecuta hasta un lmite, es decir, despus de que se hayan rechazado los errores
con los mayores residuos, el test puede indicar que no existen ms errores
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Resumen 19
cuando en verdad s existen.
Por ello es conveniente que en la pantalla de ajuste de parmetros del
estimador de estado se presente la facilidad de que el operador pueda evitar la
realizacin del test de la 2. De esta manera el proceso ir directamente a larutina de identicacin mediante el examen de los residuos normalizados.
Hay que destacar que, incluso si no se detectan todos los errores no gaus-
sianos, el estimador de estado puede ofrecer una estimacin muy parecida al
valor verdadero.
1.4 Resumen
En este captulo se ha presentado el problema que exista en la operacin de
los sistemas de potencia y el cambio de mentalidad producido hacia los nuevos
sistemas de seguridad. Al producirse este cambio fue cuando emergi con gran
fuerza la estimacin de estado como solucin a los problemas de inconsistencia
y seguridad planteados.
Se han estudiado los datos de entrada necesarios para el estimador de es-
tado (Apartado 1.2), que adems de los datos proporcionados por el SCADA
necesita los valores de los parmetros, la informacin topolgica, el modelo
matemtico del sistema y las pseudomedidas. En este mismo apartado se
han analizado los parmetros que denen la exactitud de la medida y se ha
justicado la utilizacin de la clase como nico parmetro para denirla.
Por ltimo, se han analizado los resultados que se obtienen de la estimacin
de estado (Seccin 1.3), justicndose los motivos para realizarla, as como la
inuencia que tiene sta sobre las funciones de control, el operador y la plani-
cacin. Igualmente se han remarcado las limitaciones que tiene la estimacin
y que deben quedar completamente claras para el operador con objeto de que
ste pueda subsanarlas.
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20 Estimacin de Estado
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[29] Quintana V., Van Cutsem T., Real-Time Processing of Transformer Tap
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[30] Quintana V., Van Cutsem T., Power System Network Parameter Esti-
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[31] Ruiz J., Gmez A., A Line-Current Measurement Based State Estima-
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May 1992.
[32] Van Cutsem T.,Quintana V., Network Parameter Estimation Using On-
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[33] Van Slyck L., Allemong J., Operating Experience with the AEP State
Estimator. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, No. 2, pp. 521-
528, May 1988.
[34] Wu F., Power System State Estimation. Electrical Power & Energy Sys-
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[35] Zarco P., Gmez A., O-line Determination of Network Parameters in
State Estimation. Proceedings 12th. Power System Computation Con-
ference, pp. 1207-1213, Dresden, Germany, August 1996.
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Captulo 2
Mtodos de Estimacin de Estado
2.1 Introduccin
El estado de un sistema de potencia hace referencia a su condicin de operacin
y, matemticamente, todas las cantidades se pueden calcular una vez que se
conocen las magnitudes de las tensiones y los desfases de los ngulos. Por lo
tanto, el modelo matemtico de la estimacin de estado se basa en las relaciones
matemticas entre las medidas y las variables de estado.
Sea z el vector de telemedidas, x el vector de variables de estado (tensionesen los nudos y fase de los ngulos), h las ecuaciones que relacionan las medidascon las variables de estado y el vector de errores de las medidas. Entonces,el vector de medidas se modela como [25, 26]:
z = h(x) + (2.1)
Se supone (segn lo expuesto en el Apartado 1.2) que los errores 1, 2, . . . ,m son variables aleatorias independientes con distribucin gaussiana y mediacero, siendo m el nmero de medidas. La varianza 2i del error de la medidai, proporciona una indicacin de la exactitud de la medida. Una varianzaelevada indica que la medida no es muy exacta y una varianza pequea indica
que la medida es muy exacta.
Sea R la matriz de covarianzas de errores de las medidas:
R = E{T} =
21
22.
.
.
2m
(2.2)
25
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26 Mtodos de Estimacin de Estado
y W = R1 .En las ecuaciones (2.1), x es el verdadero valor del estado desconocido y,como los errores son variables aleatorias, las medidas z tambin lo son. Msan, z tiene distribucin gaussiana con media h(x) y covarianza R y la funcinde densidad de probabilidad de z se puede escribir [2]:
f(z) = (2pi)m |W |(1/2) e 12 [zh(x)]TW [zh(x)] (2.3)
La ejecucin satisfactoria de la estimacin de estado en los modernos sis-
temas de gestin de energa durante los ltimos aos mediante el mtodo de
mnimos cuadrados ponderados ha incitado a la realizacin de estimadores que
abarcan redes cada vez ms grandes. Esto implica que cada vez sean mayores
los porcentajes de la red externa que se representan.
Con este crecimiento de los sistemas aparecen una serie de problemas que
cuando se trata de otros ms pequeos no existen. Uno de los principales prob-
lemas que se crea es el mal condicionamiento numrico. Cuando el sistema se
encuentra mal condicionado aparecen problemas de lentitud en la convergencia
a la solucin as como fallos en dicha convergencia.
El modo de solucionar el problema de la estimacin de estado es medi-
ante una secuencia de puntos x0, x1, x2, . . . En cada iteracin se resuelve unaparte del problema general en el que el siguiente punto xk+1 se calcula a par-tir del punto xk y del valor del parmetro p (impedancias, tensiones, etc.).Esto se puede representar mediante la siguiente funcin: x1 = f(x0, p), x2 =f(x1, p), . . . Este proceso converge si xn se aproxima a la solucin x.Por otro lado, como consecuencia de que un nmero x1 se almacena me-diante una aproximacin x1 aparece el error de redondeo que es la diferenciade ambos nmeros. El efecto del error de redondeo es que en lugar de utilizar
x2 = f(x1, p), en los clculos se emplea x2 = f(x
1, p
).Un algoritmo se dice que est mal condicionado si para un (x1, p) dado, ladiferencia entre f(x1, p) y f(x
1, p) o entre f(x1, p) y f(x1, p
) es grande siendox1 y x
1 o p y p
valores muy prximos y por lo tanto da idea de cmo de
amplicados pueden quedar los errores en la solucin ante errores en los datos
de entrada. El mal condicionamiento ocurre cuando:
Existe disparidad en los factores de peso [5].
Existe un nmero elevado de medidas de inyeccin [13].
Existe conexin entre lneas de transmisin cortas y largas [21].
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Introduccin 27
A las medidas se les asignan diferentes factores de peso dependiendo de la
credibilidad que se les d. As, un valor elevado de dicho factor indica que la
medida es muy parecida a su valor exacto y, al contrario, si la credibilidad que
nos ofrece la medida es muy pequea, su factor de peso ser bajo. Un ejemplo
de mal condicionamiento cuando existe disparidad en los factores de peso es
asignar valores grandes a las medidas virtuales, es decir, se considera que se
trata de medidas ms exactas, y pequeos a las pseudomedidas, es decir, se
considera que se trata de medidas menos exactas.
Se han propuesto diversos mtodos para resolver el problema del mal condi-
cionamiento numrico:
Ecuaciones normales con restricciones [5, 31]. Transformaciones ortogonales [27, 28, 30]. Mtodo hbrido [21]. Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel [10, 18, 32]. Mtodo de pseudoinversas o de Peters y Wilkinson [7, 9, 13, 23]. Mtodo de la matriz aumentada por bloques [3, 22].En [3] se revisan los principales mtodos de resolucin del problema de
estimacin de estado y en [14] se comparan los siguientes mtodos:
Mtodo de ecuaciones normales convencionales. Mtodo de ecuaciones normales con restricciones. Mtodo de transformaciones ortogonales. Mtodo hbrido. Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel.desde el punto de vista de:
Estabilidad numrica. Eciencia computacional. Complejidad en la realizacin.
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28 Mtodos de Estimacin de Estado
En dicho artculo se obtiene la conclusin de que el mtodo hbrido y el de
Hachtel son los que ofrecen mejores compromisos entre estabilidad numrica
y eciencia computacional, ya que, aunque el mtodo de transformaciones
ortogonales es numricamente ms estable, no se puede realizar con el mtodo
desacoplado rpido.
Otros mtodos de estimacin de estado no tan extendidos como los basados
en la resolucin de mnimos cuadrados son los de mnimos valores absolutos
[1] y mnima mediana de cuadrados [20].
2.2 Mnimos cuadrados ponderados
En el problema de estimacin de estado se reciben un conjunto de telemedidas
z basndose en el hecho de querer estimar el estado x. El conjunto x que ma-ximiza la funcin de densidad de probabilidad (2.3) es el estimado de mxima
verosimilitud x . Esto se basa en el hecho de que si se han observado dichasmedidas es porque el estado que dio lugar a ellas es, en sentido estadstico,
el ms probable, y si no lo es, se habran observado otras medidas con una
probabilidad bastante alta.
Siendo x el estimado de mxima verosimilitud, ste posee propiedades de-seables para un estimador segn la estadstica matemtica clsica, la cual toma
como criterio de bondad para un estimador la varianza del mismo. Es posible
armar que este estimador posee asintticamente (siendo m un valor elevado)las siguientes propiedades:
Insesgado: E(x) = x.
Suciente: Utiliza toda la informacin estadstica existente en la muestra.
Eciente: Alcanza la cota de Cramer-Rao [16]
E(lnf(x, )
)(lnf(x, )
)T(2.4)
Consistente: xm x si m.
As pues, desde el punto de vista estadstico, es posible armar que, como
mucho, se encontrar un estimador tan bueno como x, pero no mejor.
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Mnimos cuadrados ponderados 29
Maximizar f(z) en (2.3) es equivalente a minimizar el trmino cuadrticodel exponente:
J(x) = [z h(x)]TW [z h(x)] (2.5)=
mi=1
[zi hi(x)]22i(2.6)
siendo J(x) la funcin objetivo.Como en este caso el estimador de mxima verosimilitud minimiza el error
cuadrtico ponderado con la exactitud de las medidas, ste es el estimado de
mnimos cuadrados ponderados.
La solucin del problema de mnimos cuadrados ponderados (2.5) propor-
ciona el estado estimado x que satisface la siguiente condicin de optimizacin:
J(x)
x= 0 g(x) = HT (x)W [z h(x)] = 0 (2.7)
donde
H(x) =h(x)
x(2.8)
es la matriz jacobiano.
Independientemente de la visin estadstica de la funcin J(x) es posibledar otra interpretacin geomtrica de dicha eleccin. Por analoga con mnimos
cuadrados lineales se puede decir que minimizar dicha funcin es encontrar el
estado que hace que la distancia desde las medidas obtenidas a las medidas
estimadas sea mnima.
La solucin x de la ecuacin no lineal (2.7) se puede obtener mediante unmtodo iterativo en el que el vector de estado en la iteracin k-sima es xk yen cada iteracin se resuelve la ecuacin lineal:
A(xk)xk = HT (xk)W [z h(xk)] (2.9)y de la que se obtiene la correccin xk = xk+1 xk. En (2.9), A(xk) esuna matriz no singular que depende del mtodo utilizado y mientras que la
secuencia de puntos xk generada por el mtodo iterativo converja, convergera la solucin de (2.7). La dependencia de x se omitir en lo sucesivo parasimplicar la notacin.
Un mtodo que garantiza convergencia cuadrtica local es el mtodo itera-
tivo de Newton, para el cual la matriz A(x) viene dada por:
A(x) =g
x(2.10)
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30 Mtodos de Estimacin de Estado
siendo el elemento ij-simo de g/x:
gixj
=
(2h(x)
xixj
)TW [z h(x)]
(h
xi
)TW
(h
xj
)(2.11)
El mtodo de Newton ignora los trminos de derivadas segundas (en [4] se
discute lo signicativo que pueden llegar a ser estos trminos) y queda:
A(x) = HT (x)WH(x) (2.12)
por lo que la ecuacin (2.9) se transforma en:
G(x)x = HT (x)W [z h(x)] (2.13)donde
G(x) = HT (x)WH(x) (2.14)
es la matriz de ganancia . sta es dispersa, denida positiva y simtrica, lo que
asegura la observabilidad del sistema. Las ecuaciones (2.13) son las ecuaciones
normales del problema de mnimos cuadrados ponderados que se resuelven
mediante la factorizacin triangular de la matriz de ganancia
G = UTU (2.15)
siendo U una matriz triangular superior. Seguidamente se resuelve x medi-ante eliminacin hacia adelante y sustitucin hacia atrs de
(UTU)x = HTWz (2.16)
siendo z = z h(x).
2.3 Ecuaciones normales con restricciones
En el caso de existir medidas virtuales, las cuales representan relaciones ma-
temticas exactas, se pueden incorporar directamente en la formulacin de
la estimacin de mnimos cuadrados asignndoles un factor de peso elevado,
pero como se dijo en el Apartado 2.2 se ha observado empricamente que tal
disparidad en los factores de peso puede causar un mal condicionamiento.
Por ello, lo que se hace es proceder a la divisin del conjunto de medidas
en:
Telemedidas: z = h(x) + Medidas virtuales: c(x) = 0(2.17)
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Ecuaciones normales con restricciones 31
por lo que la matriz jacobiano se divide en H y C siendo ahora H la submatrizjacobiano de las telemedidas solamente y C la de medidas virtuales. Si k es larelacin entre los factores de peso de las medidas virtuales y las telemedidas,
entonces, de las ecuaciones normales (2.13) obtenemos[HC
]T [1
k
] [HC
]x =
[HC
]T [1
k
] [zc
](2.18)
siendo c = c(x).Para valores de k muy elevados, el trmino kCTC es dominante en la matriz,sin embargo, no suele haber sucientes medidas virtuales como para que la
matriz C sea de rango completo y por tanto sea observable la red. Por lotanto, para valores de k grandes, la matriz de coecientes en (2.18) tiende aser singular causando problemas de mal condicionamiento.
Para evitar este problema las medidas virtuales se pueden separar de las
telemedidas tratndose como restricciones de igualdad y las medidas z incluirnsolamente las telemedidas y las pseudomedidas, si hay alguna. El problema que
se plantea en este caso ser el de encontrar un estimado del vector de estado xque minimice la funcin objetivo (2.5) satisfaciendo, adems, las restricciones
c(x) = 0.Para resolver este problema de minimizacin con restricciones [5, 31] se
puede utilizar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, obtenindose el
estimado x mediante un procedimiento iterativo en el que la ecuacin lineal-izada que se resuelve en cada iteracin es:[
HTWH CT
C 0
] [x
]=
[HTWz
c
](2.19)
Siendo
F =
[HTWH(x) CT
C 0
](2.20)
se realiza la factorizacin triangular
F = UTU (2.21)
y mediante eliminacin hacia adelante y sustitucin hacia atrs de
(UTU)
[x
]=
[HT (x)Wz
c
](2.22)
se obtiene x.
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32 Mtodos de Estimacin de Estado
2.4 Transformaciones ortogonales
La funcin objetivo del problema de mnimos cuadrados en cada iteracin es:
J(x) = (z Hx)TW (z Hx)= (z Hx)T (z Hx)= z Hx2 (2.23)
donde
H = W 1/2H (2.24)
z = W 1/2z (2.25)
Siendo I la matriz unitaria, sea Q una matriz ortogonal, es decir QTQ = I,tal que
H = QT[U0
](2.26)
Entonces se tiene:
J(x) = (z Hx)TQTQ(z Hx)= Qz QHx2= y1 Ux2 + y22 (2.27)
donde [Q1Q2
]z =
[y1y2
](2.28)
El mnimo de (2.27) ocurre cuando
Ux = y1 (2.29)
es decir
Ux = Q1W1/2z (2.30)
y de esta ecuacin, mediante resolucin hacia atrs, se obtiene x.Resumiendo, el mtodo comienza realizando las transformaciones ortogo-
nales (2.26) y (2.28) de H y z y a continuacin se resuelve (2.29) mediantesustitucin hacia atrs. De esta manera se evita tener que construir G, pero Qes ms densa. Para la obtencin de Q se utiliza la transformacin de Givens.
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Mtodo hbrido 33
2.5 Mtodo hbrido
Teniendo en cuenta (2.26) se obtiene:
G = HTWH = HT H = UTQQTU = UTU (2.31)
El mtodo hbrido resuelve las ecuaciones normales utilizando
UTUx = HTWz (2.32)
Los puntos principales de este mtodo son la transformacin ortogonal
(2.26) de H, con lo que se evita la necesidad de utilizar G, y la resolucin de lasecuaciones normales (2.32) mediante eliminacin hacia adelante y sustitucin
hacia atrs sin necesidad de tener que almacenar Q [12].
2.6 Mtodo de la matriz aumentada de Hachtel
Para la resolucin del problema de minimizacin con restricciones de x seutiliza el mtodo de la matriz aumentada de Hachtel en el que las ecuaciones
se aumentan con el vector de residuos y se resuelven en cada iteracin las
siguientes ecuaciones: 0 0 C0 W1 HCT HT 0
11Wr
x
= cz
0
(2.33)siendo:
r = z Hx (2.34) es el multiplicador de Lagrange y es un parmetro utilizado para controlarla estabilidad numrica del problema [26].
Las variables que se calculan en cada iteracin son, adems de x:
= 1 (2.35)r = 1Wr (2.36)
(2.37)
Deniendo
K(x) =
0 0 C0 W1 HCT HT 0
(2.38)
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34 Mtodos de Estimacin de Estado
se realiza la factorizacin triangular
K = UTU (2.39)
y mediante eliminacin hacia adelante y sustitucin hacia atrs de
(UTU)
r
x
= cz
0
(2.40)se obtienen las correcciones.
En el caso particular de que no existan restricciones de igualdad las ecua-
ciones a resolver son:[W1 HHT 0
] [1Wr
x
]=
[z0
](2.41)
Este mtodo tiene el inconveniente de destruir la simetra de la matriz
debido a los pivotamientos.
2.7 Mtodo de pseudoinversas
Este mtodo, tambin llamado de Peters y Wilkinson, realiza la minimizacin
del error de mnimos cuadrados mediante la siguiente transformacin del pro-
blema original:
H = W1/2H (2.42)
z = W1/2z (2.43)
con lo que el problema se reduce a:
minimizar J(x) = rtr(2.44)
siendo
r = Hxz (2.45)Factorizando H de manera que:
H = LU (2.46)
siendo L una matriz trapezoidal inferior y U una matriz triangular superior, ydeniendo:
y = Ux (2.47)
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Mtodo de pseudoinversas 35
el problema se reduce a:
minimizar rtrsujeto a: r = Ly z (2.48)
De este problema transformado se obtiene y de la ecuacin:
[LTL] y = LTz (2.49)
no siendo LTL tan mal condicionado como G y obtenindose la solucin delproblema original mediante la resolucin del sistema triangular superior de
ecuaciones:
Ux = y (2.50)
La resolucin con restricciones [9] se puede expresar como:
[C
H
]x =
[cz
](2.51)
realizndose la misma factorizacin que en el mtodo sin restricciones. Se crea
una matriz triangular superior U no singular y una trapezoidal inferior L,teniendo sta la siguiente estructura:
[L11 0L21 L22
](2.52)
La resolucin se realiza calculando previamente una variable intermedia wde L11w = c mediante eliminacin hacia adelante. Seguidamente se obtieneotra variable intermedia y de:
LT22L22y = LT22z (2.53)
mediante factorizacin dispersa. Por ltimo se resuelve:
Ux =
[wy
](2.54)
y se obtiene x mediante sustitucin hacia atrs.
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36 Mtodos de Estimacin de Estado
2.8 Mtodo de la matriz aumentada por bloques
La idea bsica de este mtodo se basa en organizar la formulacin del mtodo
de la matriz aumentada de Hachtel como una submatriz con estructura de
bloques que se ajuste a la forma de la matriz de incidencias de la red y de esta
manera queda como una matriz dispersa.
Toda la informacin asociada a las medidas se agrupa en ujos, incluyendo
tensiones, e inyecciones eliminndose toda formulacin explcita de los ujos
en la resolucin del sistema. Las nicas restricciones que se consideran estn
asociadas a inyecciones y todas ellas son, por tanto, informaciones nodales.
Separando en (2.33) la informacin en inyeccin (subndice i) o de ujo ytensiones (subndice f) y haciendo = 1 por claridad, se obtiene:
0 0 0 C0 W1i 0 Hi0 0 W1f HfCT HTi H
Tf 0
WiriWfrfx
=
czizf0
(2.55)
Seguidamente, permutando en la matriz de informacin las las y las colum-
nas que involucran a las restricciones y eliminando de ella HTf :W1f 0 0 Hf0 W1i 0 Hi0 0 0 CHTf H
Ti C
T HTf WfHf
WfrfWirix
=
zfzic
HTf Wfzf
(2.56)
En (2.56) se observa que la ecuacin asociada a los residuos de las medi-
das de ujos queda desacoplada del resto del sistema, por lo que la ecuacin
matricial que se ha de resolver es: W1i 0 Hi0 0 CHTi C
T HTf WfHf
Wiri
x
= zicHTf Wfzf
(2.57)La idea de reordenar este sistema de ecuaciones con objeto de obtener una
estructura particionada en bloques de manera que resulte fcil de factorizar
ha sido desarrollada en [29] y la razn es evitar la utilizacin de rutinas espe-
ciales que almacenen los pivotes pequeos o nulos necesarios para realizar una
eliminacin eciente y estable.
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Mnimos valores absolutos 37
El modelo de (2.57) tiene una estructura intermedia entre (2.19) y (2.33),
siendo HTf WfHf un subconjunto de la matriz de admitancia nodal y estandotodas las variables de (2.57) relacionadas con los nodos de la red. El siguiente
paso se basa en realizar las necesarias permutaciones de las y columnas de
manera que estn agrupadas todas las variables de un mismo nodo [11].
2.9 Mnimos valores absolutos
El mtodo de estimacin de mnimos cuadrados se ha estudiado ampliamente
y as, tanto su estabilidad numrica como su eciencia computacional se han
ido mejorando grandemente. Posteriormente, se ha propuesto el mtodo de
mnimos valores absolutos para resolver el problema de estimacin de estado
[8, 15, 17].
El mtodo de resolucin de mnimos valores absolutos es un mtodo robusto
y la solucin que el mtodo propone es la que a continuacin se detalla.
El modelo del sistema que relaciona las medidas con los estados que se van
a estimar es (2.1), que linealizado en torno al punto de operacin x0 es:
z = H(x0)x+ (2.58)
donde
z = z h(x0) (2.59)H(x0) =
h
x
x=x0
(2.60)
x = x x0 (2.61)El estimador de mnimos valores absolutos se obtiene minimizando la sigu-
iente funcin objetivo:
J(x) =mi=1
wi|zi Hi(x0)x| (2.62)
Esta funcin objetivo se puede minimizar iterativamente resolviendo el si-
guiente problema de programacin lineal:
minimizar J(x) =mi=1
wi(ui + vi)
sujeto a: z0 = H(x0)xu H(x0)xv + u v(2.63)
donde
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38 Mtodos de Estimacin de Estado
xu,xv, u, v 0 xu(i) = x(i) si x(i) 0 y 0 en los otros casos xv(i) = x(i) si x(i) 0 y 0 en los otros casos u y v son vectores no negativos de dimensinm x 1 tales quemin[u(i), v(i)] =0 y max[u(i), v(i)] = |zi Hi(x0)x|El problema de programacin lineal de las ecuaciones (2.63) se puede re-
solver en dos etapas. En la primera de ellas se obtiene una posible solucin
bsica y en la segunda se realiza la optimizacin iterativamente mediante el
mtodo Simplex hasta encontrar la solucin ptima.
La primera etapa se comienza eligiendo como solucin bsica una matriz
diagonal de dimensin m x m cuyos elementos son 1 -1, dependiendo el signodel correspondiente elemento del trmino independiente. A continuacin, se
obliga a que la base contenga todas las columnas de H(x0). De esta manerase puede conseguir un conjunto de medidas observables sin que las variables
u(i), v(i) se encuentren en la base resultante.En el caso de la estimacin de estado, el conjunto de medidas observables
obtenido para una conguracin de medidas particular se puede utilizar para
inicializar el estimador de mnimos valores absolutos siempre que no vare la
conguracin del sistema.
Los pasos a seguir para resolver dicho problema de programacin lineal
utilizando el mtodo Simplex se pueden resumir de la siguiente manera [19]:
1. Elegir una base inicial que determina un conjunto mnimo de medidas
que hacen completamente observable el sistema. Realizar la factorizacin
triangular de la base elegida.
2. Encontrar la solucin bsica, la cual puede ser no resoluble debido a
algn x(i) negativo. Si es as, cmbiese el signo de la correspondientecolumna de H(x0).
3. Determinar el costo relativo de las variables no bsicas. Si todos son
negativos, parar; se ha encontrado la solucin ptima. En caso contrario,
elegir la variable con mayor costo relativo negativo para introducirla en
la prxima base.
4. Determinar el trmino pivote (variable que abandonar la base). No
permitir que las variables de estado x abandonen la base.
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Mnima mediana de cuadrados 39
5. Intercambiar las columnas de las variables que se incorporan y salen de
la base. Ir al paso 2.
Si se aplica directamente este mtodo al problema de programacin lineal
planteado en la ecuacin (2.63) se produce un cdigo de programacin ine-
ciente, por lo que en [1] se detalla un mtodo de resolucin ms ecaaz.
2.10 Mnima mediana de cuadrados
El mtodo de estimacin de estado de mnima mediana de cuadrados se basa
en el mtodo propuesto en [24], pero desarrollado para modelos no lineales y
utilizando tcnicas de matrices dispersas de manera que el tiempo usado en el
procesamiento numrico sea lo ms reducido posible [20].
Siendo N el nmero de nudos de la red y n = 2N 1, en el caso unidimen-sional y de regresin simple (n = 1 2), el estimador no minimiza la suma, sinola mediana de los cuadrados de los residuos. En el caso de regresin mltiple
la funcin objetivo que se minimiza es:
J(x) = r2W (k) (2.64)
siendo
k =[m
2
]+[n+ 1
2
](2.65)
y r2W (k) es el k-simo residuo cuadrado ponderado, donde el residuo ponderadoes:
rW =rii(2.66)
y
r = z z (2.67)es el residuo de las medidas, con z la medida estimada.Primeramente se elevan al cuadrado los residuos ponderados y a continua-
cin se ordenan de menor a mayor, siendo el k-simo el mayor de ellos.
En este mtodo se utiliza un procedimiento combinatorial repetidamente
para seleccionar muestras observables del sistema de tamao n. Para cadamuestra, el sistema no lineal se resuelve mediante el mtodo de Newton-
Raphson, hallndose a continuacin los residuos ponderados, elevndolos al
cuadrado y ordenndolos de menor a mayor. El estimado de mnima mediana
de cuadrados se obtiene minimizando la funcin objetivo entre las muestras
seleccionadas.
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40 Mtodos de Estimacin de Estado
En principio, la bsqueda combinatorial incluira
(mn
)muestras, lo que
conduce a tiempos computacionales muy grandes incluso en el caso de pequeos
sistemas. Sin embargo, se pueden considerar solamente un cierto nmero ide selecciones aleatorias de manera que la probabilidad P de que al menosuna muestra no est contaminada con errores no gaussianos sea prxima a 1
(habitualmente 0.95).
Para hallar la expresin de P en trminos de i, se considera que es lafraccin de errores no gaussianos entre las m observaciones. Si m es grande,entonces es la probabilidad de que exista un error no gaussiano. Por lo tanto,la probabilidad de seleccionar n datos buenos es (1 )n y la probabilidad deseleccionar i muestras contaminadas de tamao n es (1 (1 )n)k.Luego
P = 1 (1 (1 )n)k (2.68)y para P , n y dados se puede hallar el mnimo nmero de muestras i quehay que considerar. En la prctica, es deseable no tener solamente un buen
conjunto de muestras, sino varios por lo que se toman 2 x i.
2.11 Resumen
En este captulo se han presentado diversos mtodos para resolver numrica-
mente la estimacin de estado. El primer mtodo analizado (Apartado 2.2) ha
sido el de mnimos cuadrados ponderados, el cual ha sido el ms ampliamente
utilizado debido a sus conocidas propiedades estadsticas.
En las Secciones (2.3 a 2.8) se han mostrado distintos mtodos para sol-
ventar el problema del mal condicionamiento numrico que se presenta en la
estimacin de estado. Cada uno de dichos mtodos le da ms prioridad a uno
de los siguientes aspectos:
Estabilidad numrica. Eciencia computacional. Complejidad en la realizacin.Por ltimo, en los Epgrafes 2.9 y 2.10 se han expuesto los mtodos de
resolucin de mnimos valores absolutos y mnima mediana de cuadrados.
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