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Tecnica delle Costruzioni
3
ESERCIZIESERCIZIESERCIZIESERCIZI Tecnica delle Costruzioni
S.L.U. per S.L.U. per S.L.U. per S.L.U. per FLESSIONE e PRESSOFLESSIONEFLESSIONE e PRESSOFLESSIONEFLESSIONE e PRESSOFLESSIONEFLESSIONE e PRESSOFLESSIONE
Esempio 1
Sia assegnata una sezione rettangolare di base b=300 mm, altezza utile d=500
mm, copriferro δ=50 mm (λ=50/500=0.1) soggetta ad un momento flettente di
calcolo MSd=270 KNm =2.7 108 Nmm. Fissate le caratteristiche dei materiali: ac-
ciaio1 B450C e calcestruzzo di classe C25/30, se ne progetti l'armatura affinché la
profondità dell'asse neutro a rottura risulti pari a ξ*= xu/d = 0.233.
I valori di calcolo delle resistenze dei materiali valgono: fyd=391.3 MPa,
fcd=0.85x25/1.5=14.167 MPa, mentre la sollecitazione espressa in termini adi-
mensionali vale 254.0167.14500300
27000000022
=⋅⋅
==cd
rdrd
fbd
Mm .
La posizione dell'asse neutro ξ*=0.233 garantisce che allo SLU anche l'arma-
tura compressa risulta snervata. In questa ipotesi, posto λ=δ/d, la condizione di equilibrio alla rotazione, con riferimento alla Fig. 1, si scrive:
( ) ( )2*** 1 ηξξκλµω −+−=rdm
1 In questo come in tutti gli esercizi successivi si considera l’acciaio a duttilità illimitata.
Fig. 1
Esercizi
4
con (per l'equilibrio alla traslazione) *****
1ξ
µκ
ωκξµωω−
=⇒+=
da cui: ( )
( ) ( )2***
2
**
1 ηξξκλξκηξξκ
µ−−+−⋅⋅
−−=
rd
rd
m
m
che per κ=0.809, η=0.416 e ξ*=0.233 diventa:
( ) ( )336.0
168.0254.01.011884.0
168.0254.0
168.011884.0
168.0=
−+−⋅−
=−+−⋅
−=
rd
rd
m
m
λµ
La trave dovrà pertanto essere dotata di un rapporto meccanico di armatura tesa
284.0233.0336.01
809.0
1** =
−=
−= ξ
µκ
ω
cui corrisponde la seguente armatura:
22 42.1515423.391
167.14500300284.0 cmmm
f
fbdA
yd
cds ==⋅⋅=⋅⋅=ω
22 18.55181542336.0336.0' cmmmAA ss ==⋅=⋅=
ottenibile, ad esempio, con 5ϕ20 in zona tesa e (2ϕ12+1ϕ20) in zona compressa.
Esempio 2
Si progetti altezza ed armatura di una sezione rettangolare di base b=350 mm,
con capacità flessionale a rottura MRd=500 KNm =5 108 Nmm. e profondità
dell'asse neutro a rottura ξ*=0.233. Le caratteristiche dei materiali siano acciaio B450C (fyd=391.3 MPa) e calce-
struzzo di classe C25/30 (fcd=0.85x25/1.5=14.167 MPa).
La condizione di equilibrio alla rotazione, scritta con riferimento alla Fig. 1
(armature entrambe snervate allo SLU) è:
( ) ( )2*** 1 ηξξκλµω −+−=rdm
da cui, ricordando che
cd
rdrd
fbd
Mm
2= , è immediato ricavare:
( ) ( )2*** 1
1
ηξξκλµω −+−⋅=
cd
rd
bf
Md
Dall'equilibrio alla traslazione, nella ipotesi che entrambe le armature siano al-
Tecnica delle Costruzioni
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lo SLU snervate, è possibile quantificare l'armatura tesa necessaria:
*****1
ξµ
κωκξµωω
−=⇒+=
da cui
( ) ( )2*** 11
1
ηξξκλξµ
κµ −+−
−
⋅=cd
rd
bf
Md
Considerando un possibile campo di variabilità di µ fra 0 e 0.6 dalla preceden-te si ricava:
per µ=0.0 ⇒ d=766 mm ⇒ ω*=0.1885 ⇒ As = 1830 mm2
per µ=0.6 ⇒ d=480 mm ⇒ ω*=0.4713 ⇒ As = 2866 mm2
Ritenendo che l'armatura massima che è possibile disporre in 350 mm non
debba eccedere i 22 cm2 (7ϕ20) si adotta la seguente soluzione:
µ=0.3 ⇒ d=638 mm ⇒ ω*=0.2693 ⇒ As = 2177 mm2
Pertanto si può adottare una trave di altezza complessiva pari a 70 cm (d=64 +
δ=6) armata con 7ϕ20 in zona tesa e (2ϕ14+1ϕ20) in zona compressa.
Esempio 3
Utilizzando l'abaco di Fig. 2 (o la relativa tabella 1) si verifichi una sezione
rettangolare di base b=500 mm, altezza utile d=250 mm, armata con
As=5ϕ20=1570 mm2 ed A's=2ϕ20=628 mm2 (µ=0.4), soggetta ad un momento
flettente di calcolo MSd=130 KNm. Si valuti inoltre la curvatura della sezione allo
SLU. Le caratteristiche dei materiali siano acciaio B450C (fyd=391.3 MPa) e cal-
cestruzzo di classe C25/30 (fcd=0.85x25/1.5=14.167 MPa).
La percentuale meccanica dell’armatura tesa è:
347.0167.14250500
3.3911570=
⋅⋅⋅
=⋅
=cd
yds
fbd
fAω .
Dalla tabella 1 nella colonna µ=40% il valore di ω più vicino e ω=0.3508, cui corrisponde mrd=0.3140 e ξu=xu/d=0.26 con SLU raggiunto in campo IIIc.
Il momento resistente della sezione vale pertanto:
NmmfbdmM cdrdRd
622 10139167.14250500314.0 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=
KNmMKNmM SdRd 130139 =>= e la sezione risulta verificata.
La curvatura della sezione a rottura vale:
dx uu
cuu ⋅
==ξ
εχ
1
1000
5.3, che in termini adimensionali può scriversi:
46.1326.0
5.31000 ==⋅⋅= duu χχ .
Esercizi
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Fig. 2 - Flessione semplice retta - sezioni rettangolari: abaco per calcestruzzi di classe non superiore a C50/60
Tecnica delle Costruzioni
7
Tabella 1 Momento
adimensionalizzato mrd
e rapporto meccanico
ω al variare della posi-
zione dell’asse neutro
per sezioni con diverse
percentuali di armatura
compressa (valido per
calcestruzzi di classe
non superiore a C50/60
e acciaio a duttilità illimi-
tata)
Esercizi
8
Esempio 4
Si debba valutare la capacità flessionale allo SLU del singolo travetto relativo
al solaio rappresentato in Fig. 3 (unità cm), armato inferiormente con
As=2ϕ14=308 mm2.
Si utilizzino le seguenti caratteri-
stiche dei materiali:
- acciaio B450C (fyd=391.3 MPa)
- calcestruzzo di classe C25/30
(fcd=0.85x25/1.5=14.167 MPa).
La percentuale meccanica dell’armatura tesa è:
063.0167.14270500
3.391308=
⋅⋅⋅
=⋅
=cd
yds
fbd
fAω .
Interpolando i valori dalla tabella 1 nella colonna µ=0% al suddetto valore di ω corrisponde ξu=xu/d=0.078 ed mrd=0.061.
Poiché xu=0.078 x 270 = 21 mm < 50 mm l'asse neutro taglia la soletta e la se-zione a T inflessa può essere trattata nello stesso modo di una rettangolare con base uguale alla larghezza della soletta compressa.
Il momento resistente della sezione vale pertanto:
NmmfbdmM cdrdRd
622 105.31167.14270500061.0 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=
La capacità flessionale allo SLU del singolo travetto può assumersi pari a 31.5
KNm
Fig. 3
Tecnica delle Costruzioni
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Esempio 5
Si valuti la capacità flessionale e la
curvatura allo SLU della trave a T rap-
presentato in Fig. 4 (unità cm), armata
in zona tesa con As=18ϕ26=9557 mm2
e in zona compressa con As=4ϕ16=804
mm2 (µ=8.4%).
Si utilizzino le seguenti caratteristi-
che dei materiali:
- acciaio B450C (fyd=391.3 MPa)
- calcestruzzo con fck=30 MPa
(fcd=0.85x30/1.5=17.0 MPa).
Valutata la percentuale meccanica dell’armatura tesa:
183.00.171600750
3.3919557=
⋅⋅
⋅=
⋅=
cd
yds
fbd
fAω
è immediato riconoscere, sfruttando ad esempio la Tab. 1, che il rapporto x/d>20/160=0.125 e che, pertanto, l'asse neutro taglia l'anima della sezione a T inflessa. Di conseguenza la sezione non può essere trattata nello stesso modo di una rettangolare con base uguale alla larghezza della soletta compressa.
Con riferimento alla Fig. 4 si ha:
( )mm
b
Bt
bf
fAx
cd
yds206
250
200750
0.17250
3.39195571' =
⋅−
⋅⋅
=−−
=µ
mmxt
x 5.5078.0
206200
8.0
'=
+=
+=
NfAT
N
NfAC
NfbxC
NBtfC
yds
nicompressio
ydss
cd
cd
3
3
3
3
1
3
0
1037403.3919557
103740
103153.391804
108750.17206250'
1025500.17200750
⋅=⋅==
⋅=Σ
⋅=⋅==
⋅=⋅⋅==
⋅=⋅⋅==
µ
Dall'equilibrio alla rotazione intorno all'armatura tesa si ottiene la capacità flessionale della sezione allo SLU:
Fig. 4
Esercizi
10
( )δ−+
−−+
−= dCx
tdCt
dCM srd2
'
210
( ) KNmM rd 544855.13152
206.020.060.187510.060.12550 =⋅+
−−⋅+−⋅=
La curvatura ultima della sezione è:
===mmxu
cuu
1
1000
0069.0
5.507
1
1000
5.3εχ , che in termini adimensionali può
scriversi:
04.1116000069.01000 =⋅=⋅⋅= duu χχ .
Esempio 6
Utilizzando il dominio di interazione semplificato a 6 lati (Fig. 5) con la rela-
tiva tabella 2, si verifichi un pilastro (acciaio B450C e calcestruzzo con fck=30
MPa) con sezione rettangolare di dimensioni b=300 mm, d=500 mm armata
superiormente ed inferiormente con 4ϕ20, e soggetto ad una flessione composta,
con NSd=480 KN=4.8 105 N ed MSd=280 KNm=2.8 108 Nmm.
La percentuale meccanica dell’armatura disposta in zona tesa e compressa è:
193.00.17500300
3.39157.12=
⋅⋅⋅
=⋅
=cd
yds
fbd
fAω .
Dalla tabella 2 nel campo 0.1835<nsd<0.5193, per λ=0.1 ed ω=0.193, i coef-ficienti a, b, c e d valgono rispettivamente:
3207.0193.09.0147.0
5193.03358.006343.0
=⋅+=
=−=−=
d
cba
La condizione di verifica è:
( )
( ) 258.03207.05193.0188.03358.0
0634.022.0 =+−≤
+−≤ dcnb
am SdSd
La sezione risulta pertanto verificata.
Tecnica delle Costruzioni
11
( ) dcnb
am SdSd +−≤ (1)
Fig. 5. - Dominio di interazione semplificato a 6 lati (particolarizzato per λ=0.1)
Tabella 2 - Valori dei coefficienti a,b,c e d da utilizzare nelle verifiche approssimate espresse
dalla (1) validi per λ=0.1
Esercizi
12
/ 0.10dδ =
Fig. 6 - Famiglia dei domini di interazione per una sezione rettangolare simmetricamente
armata e per cls di classe non superiore a C50/60
Tecnica delle Costruzioni
13
Esempio 7
Progettare l'armatura del pilastro di figura 7 le cui dimensioni geometriche so-
no bx=400 mm e hy= 500 mm, assoggettato ai seguenti stati
di sollecitazione:
C.C. 1: Nsd=1100 KN MSdx =240 KNm MSdy =72 KNm
C.C. 2: Nsd=1100 KN MSdx =66 KNm MSdy =220 KNm.
Si consideri un parametro di copriferro λ=0.1 e si utiliz-
zi acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30, le cui re-
sistenze di calcolo valgono rispettivamente: fyd=391.3 MPa,
fcd=0.85x25/1.5=14.167 MPa.
Lo sforzo normale adimensionalizzato comune ad en-
trambe le condizioni di sollecitazione è:
431.0167.14450400
110000=
⋅⋅=
⋅=
cd
Sdsd
fbd
Nn
Progetto armatura parallela asse x Si progetta tale armatura considerando una pressoflessione retta le cui solleci-
tazioni sono: Nsd=1100 KN MSdx = 1.3 x 240 = 312 KNm, che in termini adi-
mensionali vale: 272.0167.14450400
31200000022
=⋅⋅
=⋅
=cd
Sdxsdx
fbd
Mm
Sull'abaco di Fig. 6 la coppia di valori msd=0.272 ed nsd=0.431 richiede una percentuale meccanica di armatura ω≅0.15 da disporre su ciascun lato parallelo all'asse x (con copriferro δ=λ hy=0.1 x 500= 50 mm), cui corrisponde:
29753.391
167.1445040015.0 mm
f
fbdA
yd
cdsx =⋅⋅⋅==ω
Tale armatura può essere realizzata con 3ϕ20 su ciascun lato, ottenendo Asx=942 mm2 leggermente inferiore a quello ricavato dal calcolo e, pertanto, da verificare in fase successiva (si veda Esempio 8).
Progetto armatura parallela asse y Questa armatura può essere progettata considerando la seguente condizione di
pressoflessione retta: Nsd=1100 KN MSdy = 1.3 x 220 = 286 KNm, che in termi-
ni adimensionali vale: 311.0167.14360500
28600000022
=⋅⋅
=⋅
=cd
Sdy
sdyfbd
Mm
Sull'abaco di Fig. 6 la coppia di valori msd=0.311 ed nsd=0.431 richiede una percentuale meccanica di armatura ω≅0.2 da disporre su ciascun lato parallelo all'asse y (con copriferro δ=λ bx=0.1 x 400= 40 mm), cui corrisponde:
Fig. 7
Esercizi
14
213033.391
167.143605002.0 mm
f
fbdA
yd
cdsy =⋅⋅⋅==ω
Si realizza tale armatura con 4ϕ20 su ciascun lato, pari ad Asx=1256 mm2 leggermente inferiore a quella di calcolo, da verificare in fase successiva (si veda Esempio 8).
Esempio 8
Con riferimento alla sezione dell'esercizio pre-cedente (la cui armatura di progetto è riportata nella Fig. 8), si costruisca il dominio approssimato di pressoflessione deviata (secondo NTC ed EC2) e si effettui la verifica grafica ed analitica.
Nella tabella 3 sono riportati, per diversi valori
di sforzo normale, i corrispondenti valori di mo-menti resistenti in pressoflessione retta con asse nutro parallelo all'asse x (MRdx) e parallelo all'asse y (MRdy). Sulla stessa tabella sono altresì indicati gli esponenti α da utilizzare nella formula di Bresler, ricavati per interpolazione lineare dalla Tab. normativa (Fig.9) in cui lo sforzo normale resistente è stato valutato per As=10ϕ20=3141 mm2:
KNNfAfAN ydscdcRd 40621040623.3913141167.145004003 =⋅=⋅+⋅⋅=+=
1=
+
αα
Rdy
Sdy
Rdx
Sdx
M
M
M
M
NSd 406.2 467.9 800 1100 1324.2 1600 2000 2400 2800 3000
MRdx 232.8 243.8 289.4 312.7 319.5 296.2 257.3 208.1 143.8 107.1
MRdy 225.5 234.4 271.0 289.6 295.1 273.4 239.6 200.1 151.9 123.2
αααα 1.0 1.01 1.08 1.14 1.19 1.24 1.33 1.41 1.49 1.57
C-C' B-B'
In Fig. 10 sono rappresentate le diverse sezioni del dominio tridimensionale,
ottenute in corrispondenza degli stessi valori di NRd=costante che compaiono nel-la tabella 3. In particolare nella parte sinistra ci sono gli sforzi normali crescenti fino al raggiungimento dello sforzo che produce rottura bilanciata (curva B-B' di Fig. 11), mentre nella parte destra ci sono gli sforzi normali che producono rottu-ra fragile.
Tab 3 – Dominio approssimato di pressoflessione deviata (unità KN, m) relativo alla
sezione di Fig. 8
Fig. 8
Fig. 9 – Formula di
Bresler e tabella degli
esponenti α.
Tecnica delle Costruzioni
15
Nella parte sinistra della Fig. 10 sono altresì individuati i punti rappresentativi
dello stato di sforzo (per le condizioni di sollecitazione di progetto). Questi risul-tano entrambi all'interno del dominio relativo allo sforzo normale di calcolo (NRd=1100 KN evidenziato in grassetto in Fig.), circostanza questa che assicura che la sezione è verificata.
In termini analitici la verifica va condotta applicando la formula di Bresler (Fig. 9) con i valori MRdx=312.7 KNm, MRdy=289.6 KNm ed α=1.14, desunti dalla colonna della Tab. 3 in corrispondenza dello sforzo di calcolo NSd=1100 KN:
Verifica C.C. 1: 1944.0205.0739.06.289
72
7.312
24014.114.1
≤=+=
+
Verifica C.C. 2: 1901.0731.0170.06.289
220
7.312
6614.114.1
≤=+=
+
.
Per entrambe le combinazioni di carico la sezione risulta palesemente verificata.
Fig. 10 –Sezioni del
dominio semplificato
di pressoflessione
deviata per diversi
valori di sforzo
normale costante.
Fig. 11 –Dominio
semplificato N, Mx, My
per pressoflessione
deviata.
Esercizi
16
S.L.U. per S.L.U. per S.L.U. per S.L.U. per TAGLIOTAGLIOTAGLIOTAGLIO
Esempio 9
Si consideri un solaio in latero-cemento con luce netta 5.50 m, la cui sezione
trasversale è rappresentata in figura 12, costituito da travetti (realizzati con un
fondello prefabbricato e successivamente completati in opera) larghi 14 cm, di-
sposti ad interasse di 52 cm, privi di armatura a taglio, ed armati inferiormente
con As=2ϕ12=226 mm2.
Il solaio sia interessato dai seguenti carichi:
G1=4.00 KN/m2 G2=3.50 KN/m
2 Qk=2.00 KN/m2
Supponendo che il solaio sia realizzato con calcestruzzo di classe C30/35, si
verifichi la resistenza a taglio VRd del singolo travetto.
Le resistenze dei materiali sono:
fyd=391.3 MPa, fck=30 MPa.
L'altezza utile della sezione è:
mmchd 2642/12303002/ =−−=−−= ϕ
Il rapporto geometrico di armatura tesa è:
02.00061.0264140
226<=
⋅==
db
A
w
sllρ
Il coefficiente k relativo all'ingranamento degli inerti vale:
287.1264
2001
2001 ≤=+=+=
dk
Secondo NTC il taglio resistente è espresso da:
( ) ( )Ndb
fkV w
c
cklRd 21856264140
5.1
300061.010087.118.010018.03/13/1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
⋅⋅=
γρ
dopo aver controllato che risulta:
( ) NdbfkdbvV wckwRd 181202641403087.1035.0035.0 2/32/3
min =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅≥la resistenza a taglio VRd del singolo travetto rappresentato in Fig. 12 privo di ar-
matura d'anima, può essere assunta pertanto pari a 21.8 KN.
Il carico sul solaio allo SLU è:
2kq22G11Gd mKN4513002515035100431QGGF /....... =⋅+⋅+⋅=++= γγγ
Il carico sul singolo travetto vale pertanto mKNFd /00.752.045.131 =⋅= , e la
Fig. 12
Tecnica delle Costruzioni
17
sollecitazione tagliante di calcolo è pari a KNLF
V dSd 25.19
2
50.500.7
2
1 =⋅
=⋅
= che
risulta inferiore alla resistenza KNVRd 8.21= .
La verifica a taglio è soddisfatta.
Esempio 10
Si verifichi a taglio e flessione l'architrave di Fig. 13 di luce netta 2.60 m, pri-
va di armatura a taglio, ed armata inferiormente con As=2ϕ10=157 mm2 sottopo-
sta ad un carico uniformemente distribuito qd=11 KN/m.
I materiali sono acciaio B450C (fyd=391.3 MPa) e calcestruzzo di classe
C25/30 (fck=25 MPa)
I valori delle sollecitazioni di calcolo sono:
KNmLqM dd 3.98
60.20.11
8
1 22 =
⋅=⋅⋅= KNLqV dd 3.14
2
60.20.11
2
1=
⋅=⋅⋅=
L'altezza utile della sezione è: mmchd 2502/10453002/ =−−=−−= ϕ
Il rapporto geometrico di armatura tesa è: 02.00025.0250250
157<=
⋅==
db
A
w
sllρ
Il coefficiente k relativo all'ingranamento degli inerti vale:
2095.1250
2001
2001 ≤=+=+=
dk
Secondo NTC il taglio resistente è espresso da:
( ) ( )Ndb
fkV w
c
ckl
Rd 151522641405.1
250025.0100095.118.010018.03/13/1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
⋅⋅=
γρ
Dopo aver controllato che risulta:
( ) NdbfkdbvV wckwRd 1162025025025095.1035.0035.0 2/32/3
min =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅≥
la resistenza a taglio VRd dell'architrave è pari a 15.15 KN > 14.3 KN e la verifica
Fig. 13
Esercizi
18
a taglio risulta soddisfatta. Il massimo sforzo di trazione sviluppabile dall'armatura longitudinale è:
KNfAT ydsu 614343.391157 =⋅=⋅= cui corrisponde:
KNmKNmdTM uu 3.98.1325.09.043.619.0 >=⋅⋅=⋅=
Pertanto anche la verifica a flessione risulta soddisfatta.
Esempio 11
Considerando il modello a traliccio di Morsh (θ=45°), si determini il taglio ul-timo che può essere portato da una trave di base b=300 mm ed altezza utile d=550 mm staffata, con staffe φ 10 a due bracci (Asw=2 x 78.54 mm
2) disposte
con passo 150 mm. I materiali sono acciaio B450C e calcestruzzo di classe C30/35.
Le resistenze di calcolo dei materiali sono:
Acciaio: fyd=391.3 MPa,
Calcestruzzo: fcd=0.85x30/1.5=17.0 MPa.
Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla, è da assumere
αc=1 e, pertanto, fcwd= αc 0.5 fcd = 8.5 MPa. La resistenza a taglio-trazione si ottiene dalla formula contenuta in NTC
( ) αθα sincotcot. ⋅+⋅⋅⋅⋅= ywdsw
Rsd fs
Ad90V
ponendo α=90° e θ=45°:
KN1442
23391
150
547825509045f
s
Ad90V ywd
swRsd ≈⋅⋅
⋅⋅⋅=°⋅⋅⋅⋅= .
..sin.
La resistenza a taglio-compressione si ottiene dalla formula contenuta in NTC
θθα
2cwdwRcd1
fbd90Vcot
cotcot.
+
+⋅⋅⋅⋅=
ponendo α=90° e θ=45°:
KN6315058300550902
1fbd90V cwdwRcd ≈⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ....
La resistenza a taglio della trave è da assumere la più piccola fra la resistenza a taglio-trazione e la resistenza a taglio-compressione:
( ) ( ) KN144631144VVV RcdRsdRd === ,min,min .
Tecnica delle Costruzioni
19
Esempio 12
Si determini l'incremento del taglio ultimo che può essere portato dalla trave dell'esercizio precedente, applicando il metodo del traliccio con puntoni ad incli-nazione variabile.
Le resistenze di calcolo dei materiali sono:
Acciaio: fyd=391.3 MPa,
Calcestruzzo: fcd=0.85x30/1.5=17.0 MPa.
Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla, è da assumere
αc=1 e, pertanto, fcwd= αc 0.5 fcd = 8.5 MPa.
La densità geometrica di armatura trasversale è:
%...
35000350150300
54782
sb
Asww ==
⋅⋅
=⋅
=ρ .
Il massimo taglio che può essere portato dalla trave è quello cui corrisponde
l'inclinazione θ del puntone, compatibile con le limitazioni normative e tale da
rendere uguali le resistenze a taglio compressione e a taglio trazione espresse ri-
spettivamente da:
θθθ ctgs
zAfzbf swywdcwd ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ cossin , e cioè:
°>°=⇒⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅ 8216723ctg150
54782339130058 ..
..cossin. θθθθ .
Pertanto, KN4646723ctgs
zAfVVV swywdRsdRcdRd =°⋅⋅⋅=== .
con un incremento del taglio ultimo pari a 320 KN rispetto a quello calcolato
nell'esercizio precedente con il modello a traliccio di Morsh (θ=45°).
Esempio 13
Si determini con il metodo del traliccio con pun-toni ad inclinazione variabile, il taglio ultimo che può essere portato nelle due direzioni y e z dal pila-stro (300 x 550) mm, staffato come in Fig. 14 con staffe φ 12 (As= 113.1 mm2) disposte con passo 150 mm e sottoposto ad uno sforzo di compressione NEd=850 KN. Per il calcolo delle altezze utili dy e dz si consideri, in entrambe le direzioni, un copriferro di 50 mm.
I materiali sono acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30.
Le resistenze di calcolo dei materiali sono:
Fig. 14
Esercizi
20
Acciaio: fyd=391.3 MPa,
Calcestruzzo: fcd=0.85x25/1.5=14.17 MPa.
La tensione media di compressione nella sezione vale:
σcp=NEd/Ac=850000/(300x500)=5.15 MPa=0.36 fcd
Poiché 0.25 fcd ≤ σcp ≤ 0.5 fcd si deve assumere αc=1.25 e, pertanto,
fcwd = αc 0.5 fcd = 8.85 MPa.
Direzione y: Le dimensioni della sezione sono: by = 300 mm; dy=550-50=500 mm
La densità geometrica di armatura trasversale è:
%...
50000500150300
11132
sb
A
y
swy
wy ==⋅
⋅=
⋅=ρ .
Il massimo taglio che può essere portato dalla trave in questa direzione è quel-
lo cui corrisponde l'inclinazione θuy del puntone, tale da rendere uguali le resi-
stenze a taglio compressione e a taglio trazione espresse rispettivamente da:
θθθ ctgs
zAfzbf swyywdycwd ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ cossin , e cioè:
°>°=⇒⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅ 8210428ctg150
111323391300858 uy ..
..cossin. θθθθ .
Pertanto, KN4960428s
d90AfVVV
y
swyywdRsdRcdRdy ≈°⋅⋅
⋅⋅=== .cot.
.
Direzione z: Le dimensioni della sezione sono: bz = 550 mm; dz=300-50=250 mm
La densità geometrica di armatura trasversale è:
%...
55000550150550
11134
sb
A
z
swzwy ==
⋅⋅
=⋅
=ρ .
Il massimo taglio che può essere portato dalla trave in questa direzione è quel-
lo cui corrisponde l'inclinazione θuz del puntone, tale da rendere uguali le resi-
stenze a taglio compressione e a taglio trazione espresse rispettivamente da:
θθθ cotcossin ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅s
zAfzbf swzywdzcwd , e cioè:
°>°=⇒⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅ 8215429150
111343391550858 uz ..cot
..cossin. θθθθ .
Pertanto, KN4705429s
d90AfVVV z
swzywdRsdRcdRdz ≈°⋅⋅
⋅⋅=== .cot.
.
Tecnica delle Costruzioni
21
Esempio 14
Sia assegnata una trave di sezione costante b=400 mm ed h=300 mm (altezza utile d=250 mm), soggetta ad un taglio di calcolo VSd=390 KN. Supponendo di utilizzare acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30 se ne determini l'armatu-ra d'anima necessaria, ipotizzandola costituita da sole staffe verticali.
Le resistenze di calcolo dei materiali sono:
Acciaio: fyd=391.3 MPa,
Calcestruzzo: fcd=0.85x25/1.5=14.17 MPa.
Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla, αc=1 ed
fcwd= αc 0.5 fcd = 7.09 MPa. Occorre preliminarmente verificare che il massimo valore per taglio-
compressione che può sopportare la sezione assegnata (θ=45°) sia superiore alla sollecitazione di calcolo. Dalla resistenza normativa a taglio-compressione:
( )θθ
θ
θcossin.
cot
cot. dbf90
1
dbf90V wcwd2
wcwdRcd =
+= , posto θ=45° si ricava:
SdcwdRd VKN3192509040009750zbf2
1V <≈⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ...max,
Poiché VSd>VRd,max la geometria della sezione deve essere modificata; trattan-dosi di una trave a spessore la modifica più opportuna è quella di incrementare la base b. Dalla stessa relazione precedente è possibile valutare la dimensione bmin strettamente necessaria per θ=45°:
mm4902509009750
390000
zf50
Vbzbf
2
1V
cwd
SdcwdSd =
⋅⋅⋅=
⋅=⇒⋅⋅=
....minmin
Al fine di evitare una staffatura molto serrata, o un elevato diametro delle staf-fe, dopo aver verificato che le condizioni geometriche lo consentano, si assume b=600 mm.
Si utilizzando staffe φ 10 a 4 bracci (Asw= 4 x 78.54 = 314.16 mm2) con un
passo s=125 mm, e si effettua la verifica.
Verifica: Le dimensioni della sezione sono: b = 600 mm; d=300-50=250 mm
La densità geometrica di armatura trasversale è:
%...
42000420125600
54784
sb
Asww ==
⋅⋅
=⋅
=ρ .
L'inclinazione θu del puntone, tale da rendere uguali le resistenze a taglio
compressione e a taglio trazione espresse rispettivamente da:
θθθ cotcossin ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅s
zAfzbf swywdcwd , e cioè:
Esercizi
22
°>°=⇒⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅ 821828125
547843391600097 u ..cot
..cossin. θθθθ .
Pertanto, SdswywdRsdRcdRd VKN403828s
d90AfVVV >≈°⋅
⋅⋅⋅=== .cot.
.
Esempio 15
In Fig. 15 è rappresentato lo stralcio del diagramma del momento flettente di una trave continua con sezione b=300 mm h=500 mm (altezza utile d=450 mm), realizzata utiliz-zando acciaio B450C e calcestruzzo di classe C25/30 ed ar-mata in prossimità dell'appoggi di figura con staffe φ 10 a 2 bracci (Asw= 2 x 78.54 = 157 mm2) disposte con passo 100 mm. Si verifichi a taglio la trave soggetta a (VSd)max=350 KN e si valuti l'entità della traslazione del diagramma del mo-mento flettente congruente con l'inclinazione delle fessure da taglio allo SLU.
Le resistenze di calcolo dei materiali sono:
Acciaio: fyd=391.3 MPa,
Calcestruzzo: fcd=0.85x25/1.5=14.17 MPa.
Poiché la tensione di compressione σcp nella sezione è nulla, αc=1 ed
fcwd= αc 0.5 fcd = 7.09 MPa.
La densità geometrica di armatura trasversale è:
%.. 52000520100300
157
sb
Asww ==
⋅=
⋅=ρ .
L'inclinazione θu del puntone, si ottiene uguagliando le resistenze a taglio
compressione e a taglio trazione:
θθθ cotcossin ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅s
zAfzbf swywdycwd , e cioè:
°>°=⇒⋅⋅=⋅⋅⋅ 8214132100
1573391300097 u ..cot.cossin. θθθθ .
Pertanto, SdswywdRsdRcdRd VKN3904132s
d90AfVVV >≈°⋅
⋅⋅⋅=== .cot.
.
Secondo NTC la traslazione del diagramma del flettente per valutare lo sforzo
nell'armatura tesa deve essere paria a:
mm320413245090502
za u1 ≈⋅⋅⋅=⋅= .cot..cotθ .
Fig. 15
Tecnica delle Costruzioni
23
Bibliografia [1] Decreto Ministeriale 14 gennaio 2008. “Norme tecniche per le costruzioni”,
Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, G.U. n. 29 del 4 febbraio 2008, Supplemento Ordinario n. 30. 2008.
[2] Circolare 2 febbraio 2009, n. 617 approvata dal Consiglio Superiore dei Lavo-ri Pubblici. Istruzioni per l’applicazione delle «Nuove norme tecniche per le costruzioni» di cui al Decreto Ministeriale 14 gennaio 2008. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti.
[3] UNI, UNI EN 1992-1-1 Eurocodice 2. Progettazione delle strutture di calce-struzzo. Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, 2005.
[4] M. Mezzina, D. Raffaele, A. Vitone (a cura di). “Teoria e pratica delle costru-zioni in cemento armato”, Ed. Città Studi di De Agostini scuola. ISBN: 978-88-251-7304-8. 2007