Post on 31-Jan-2017
Escuela Técnioa Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
PLASTIíTCACIOH PROGRESIVA DE US TALUD "COÜLQMBÍABO
Madrid, Mayo 1.971 Tesis doctoral
Luis del Cañizo Perate
iiiywjBWffWrflfflfriiiiiFirjniffhffi frirailWfflsiwttigflBiTt i Bfiffffifni«Kn ráñmfmmm
Feb. 1942 Nacido «a Madrid.
1952-1959 Bachillerato en al Colegio "Estudio" da Madrid, 00a 0? Matrículas da Honar» 17 Sobresalientes y 18 Notables.
Jim. 1958 Reválida de Bachillerato Superior ce» Matricula de Hener*
Jua. 1960 Seleetiro «a la Universidad de Madrid.
Jun. 196a Iaiciaeián 0a lá Escuela-Tiendes Superior de Ingenieros de Caadaos, Canales y Puerto»,
Mayo 1962 . Premio Pilar Careaba, de AMIC, por haber ingresado una Escuela Técnica Superior de Ingeniaros'sa una
#a _ «»* «ola
convocatoria. 1961-1965 Catrera de Ingenieros de Caninos* Canales y Puertoa.eon
6 Matrículas de Honor, 18 Sobresalientes y 16 Notable*. - Asignatura de Geotecnáat y Cimientos! 3er* Curse, Sobresaliente 1 5fi Curse» Matrícula ds Honor. Especialidadest "Cimientos y Sstrueturas" y "Ceastruc-» SAew*-# Calificación final: Sobresaliente. Numero de promoción: Uno.
1965 Premio Nacional Pin de Carrera, y Victor de Plata al m£ rito profesional* Preaio "Escalona" de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caninos, Canales y Puertos* Preaio "Altos Bornes" ds AMIC. Preaio Ordinario Gonzalos Baylin, de la Cañara de Iadug tria de Madrid.
Enero 1969 Preaio Extraordinario de la Fundación (tonsilas Baylin,-de la Cañara de Industria de Madrid (convocado entre
'. los números "uno" ds las distintas Escuelas Técnicas % perleros ds Ingenieros, y dotado de un Diploma y 6 0. 000 pesetas) per el trabajo original "Nueve método de cálou
.le de piscas apoyadas en un semicopado elástico no ng aogeaee*• •
1969-1970 Prejtenímr Encargado ds Curso de Gao tecnia y Ciwientos en 1970-4971 la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caninos,
Canales y Huertos de Madrid.
Í N D I C E
1,- Resumen,, 4
2.- Planteamiento del problema del talud. 8
3.- Métodos de cálculo ucuales.
3.1. Método elástico. 12
3.2. Método del estado límite.
3.2*1• Procedimientos de tanteo. 14
3.2.2, Procedimientos analíticos. 16
4.- Método general elastoplásíico o de plasticidad contenida.
4.1. Presentación. 21
4.2. Trabajos nrevios. 24
4*3• Variables fundamentales escogidas. 26
5.— Problemas oarticul ITQ~J estudiados.
5.1. Aplicaciones ya realizadas. 32
5.2. Talud plano.
5.2.1. Estudio de la malla. 38
5.2.2. Talud coulombiano. 44
5*3. Talud ortolisténioo,- 50
5.4. Talud isorresistente. 55
5.5. Talud en terreno con dilatancia prefijada. 64
6.- ConolusioneB,
6.1. Resumen de conclusiones. 6o-
6.2. Perspectivas futuras. 70
6.3. Comentario final. 71
Agradecimiento.
Apéndice A - Plasticidad,
Apéndice B - Método de Ion elementos finitos.
Apéndice C - Listados del pro^amá de cálculo.
Anendioe D — Resultados de ordenador (ejemplo).
Apéndice E - Notación.
Apéndice P - Bibliografía.
índice del Apéndioe A - Plaatioidad
Introducción . 3
Elasticidad . 6
Plastioidad. 10
Criterios de rotura.
4.1 •- Sólidos cohesivos. 17
4.?.- Sólidos oon rozamiento.
4.2.1.- Sólido ela3toplástico perfecto. 21
4.2.2.- Sólido rigidizable."Cam Clay". 30
4.3.- Sólidos sin potencial plástico. 36
Aplicación a la mecánica del suelo.
5.1.- Biscusion , 38
5.2.- Relaciones increméntales tensión deformación propuestas. 41
i 3.
Indioe del Apéndioe B - Método do los elementos finitos
1.- Generalidades. 3
2,- Fundamento teórico.
2,1.- Hipótesis y método. 5
2.2,- Formulación. 8
2,3»- Equivalencias del método. 15
3.- Convergencia y unicidad. 19
4.- :Aplicación del método.
4.1 «-Tipos de elementos.
4.1.1.- Problemas planos. 26
4.1«2»- Problemas tridimensionales. 37
4.2,- Condiciones de oontorno.
4.2.1.- Introdueión de las condiciones de
contorno. 39
4.2,?.- Prescripción de corrimientos. 41
4.3.- Resolución del sistema. Particiones. 45
5.» íntroduoión de la plastificación.
5.1.- Generalidades, 50
5,2,- Método incremental de la matri2 de rigidea
tangente, 55
6,- Programa de cálculo electrónica, 59
6.1.- Variables escogidas, 60
6.2,- Organigrama. 64
6.3«— Manejo del programa. 67
1.- RESUMEN
La Mecánica de Suelos ha estudiado tradioionalmente sus proble
mas, y entre ellos el del talud, por dos procedimientost el cálculo -
elástico, y el método del estado limite en equilibrio plástico» El pri
mero indica la forma de trabajar del terreno, pero proporciona grandes
errores al existir casi siempre en la masa de suelo zonas plastifica-
das, que crean unos reajustes de tensiones y unas deformaciones mucho
mayores. El segundo da un valor bastante preciso del coefioiente .de se.
guridad de que se dispone, pero es sólo comprobatorio, dando una infqr
mación muy pobre o nula sobre el modo de comportarse el terreno y las
deformaciones que sufre, o referente a donde sobra o falta material.
En la realidad en el suelo coexisten unas zonas en estado elája
tico y otras en estado plástico, por lo cual su cálculo riguroso pre
senta grandes dificultades. El progreso de las teorias plásticas y el
de los ordenadores electrónicos han dado recientemente un gran impul
so a la elastoplasticidad, permitiendo abordar mediante el calculo nu
mérico un problema tan complejo, y reproducir la realidad con modelos
matemáticos que cada vez se ciñen más a ella.
En la presente tesis se estudia el problema del talud, en esta
do de deformación plana, por el método de los elementos finitos ( ver
apéndice B ). La elección de dicho método se justifica porque discreti
za el continuo en elementos triangulares, y tiene gran flexibilidad pa
ra adaptarse a taludes de cualquier forma, y para suministrar precisión
suficiente incluso en las proximidades del punto singular que es el pie
del talud.
El mayor esfuerzo se ha hecho en lo relativo a la aplicación de
la plasticidad ( ver apéndice A ), punto en el que fallan la mayoria
5»—
de los autores, por ignorancia o por las dificultades técnicas que
hay que vencer para mantener el rigor teórico deseable* Se utiliza
aqui un modelo matemático de terreno isótropo elasto-plástioo perfec
to, oon oohesión y rozamiento interno, que se rige por el orlterio de
rotura de Mohr Coulomb y que cumple las relaciones tensión deformación
de Druoker y Praguer, deducidas por la ley de la normalidad. Como va
riante se utiliza también un modelo de terreno análogo al anterior,
pero con una dllatanoia constante prefijada, cuyas relaciones inore» »
mentales tensión deformación para cuerpos elastoplástioos se deducen
en el apartado A - 5,2, El empleo de este último modelo, sin poten
cial plástico , es una novedad interesante, que permite estudiar la -
influencia de la dilatancia en los taludes, y abre el oamino para un
cálculo más riguroso de problemas cuyas condiciones de contorno se dea
en corrimientos, y no en tensiones. Sus limitaciones prinoipales son -
el no considerar la anisotropia, los efectos viewosos y la rigidización
energética.
Para realizar los cálculos se ha confeccionado un programa de
cálculo electrónico de elementos finitos muy versátil. Permite el es
tudio de terrenos no homogéneos, de problemas elásticos anisótropos y
de elastoplástioos isótropos con los dos modelos de suelo citados en
el párrafo anterior. Dado que la progresión de la zona en estado plás
tico depende del proceso de cargas, se ha procurado mantener en este
aspecto una flexibilidad y un rigor poco frecuentes» El programa apH
ea automáticamente un vector de cargas ( peso propio por ejemplo } que
aumenta progresivamente hasta alcanzar un valor prefijado, y luego si
se desea se añade, también por incrementos, otro vector de cargas di*
ferente ( sobrecarga o fuerza exterior, muro que se desplaza, etc..).
6.-
Los problemas concretos tratados son los siguientes?
Talud plano inclinado 75 grados, con rozamiento interno y cohesión.
Estudio de sus deformaciones y tensiones debidas al peso propio, y crecimien
to de la zona plastificada, la cual se inicia en el pie del talud para un" va
lor de la densidad 0,4 c/j( H y alcanza la coronación para un valor mayor-
del teórico de 7,46 o/#H . La zona plastificada progresa contigua al fren
te del talud, con una concordancia reblar con los resultados obtenidos por
el método del circulo de deslizr.mionto pésino.
. Talud ortolisténioo, de superficie exterior convexa y línea de desli NMI.H.H. ff i i i I I i — I
zamiento recta. Se comprueba que carece de imoortancia práctica. Su empleo
tiene ventaja económica sólo en taludes excavadas de fsran altura, en las con
diciones iniciales de saturación y no drenaje ( 0 = o ), pero con pendientes
tan suaves que no tiene interés.
Talud isorresistente. Bs el perfil del talud tal que plastifioaria
todo él simultáneamente, motivo por lo que se debe considerar el más econó
mico al aprovechar mejor el material. Su forma se deduce por ol método de
Sokolowsky de las características de tensiones, empleando un modelo de sue
lo plástico rígido y sin tener en cuenta la compatibilidad de deformaciones,
motivo por el que existen serias dudas acerca de su bondad, Al estudiarlo por
el método elastoplástloo, más riguroso, se comprueba que plastifica prematu
ramente en el pie del talud, debida a la concentración de tensiones que apa
rece en este punto singular, para una densidad 1,92 veces menor a la teórica.
Sin embargo, se comprueba por el crecimiento de la zona plastificada que su
forma se aproxima bastante a la isorresistente, al menos para los valores rea
les del coeficiente de Poisson y del coeficiente de empuje al reposo.
Talud en terreno con dilatancia nula . Los resultados obtenidos compa
rados con los del caso anterior indican que la dilatancia no influye aprecia-
7.
blemente en la rotura de los taludes, disminuye un pooo las tensiones hori
zontales, aumenta levemente el área en estado de rotura, y salo influye en
magnitud importante en los corrimientos.
Como posible continuación de la presente tesis, dentro de la senda de
la elastoplasticidad, BC apunta el empleo de teorias plásticas más prometedo,
ras, como son la Cam-Clay modificada de Roscoe y Burland, y los terrenos ri-
"(Tidizables con rozamiento y dilntanoia variables, así corro la extensión del
estudio de los taludes al ->rob!era del muro rí¿ldo sometido a empujes acti*»
vos y pasivos.
8.
2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DEL TALUD
El ingeniero, al cumplir su misión de transformar la naturaleza
se encuentra frecuentemente con la necesidad de mantener en el terreno
unas determinadas pendientes. Unas veces le surge durante la excavación
del terreno natural? trincheras para una carretera, un oanal o un ferro
carril, explotación de una mina a cielo abierto, excavación de los só
tanos o de los cimientos de un edificio, dragado de un puerto para con
seguir el calado deseado ante un muelle; pero también puede presentár
sele en terrenos artificiales, creados por élt terraplenes de carrete
ras, escombreras o depósitos de minerales, o la ejecución de una presa
de embalse con materiales sueltos.
El aspecto principal, y tal vez obsesivo, de dicho problema, sue
le ser el de la estabilidad de la pendiente o talud resultantes. La Me-
oánloa de Suelos ha atacado con frecuencia sus problemas desde el punto
de vista de la seguridad a la rotura, tanto en el oaso de hundimiento de
una zapata o un pilote, o de vuelco de un muro, o en el aquí tratado de
corrimiento de un talud. Para ello considera el estado de equilibrio H
mite o de colapso de la estructura del suelo, suponiendo que se ha lle
gado a la plastificación del mismo en toda su masa, o en una parte de -
ella ( línea de deslizamiento ), que tenga extensión aufioiente para per
mitir corrimientos indefinidos de una porción o cuña de terreno. De este
modo se puede definir un coeficiente de seguridad, que indica lo aleja
do que se esté de dicho fenómeno de colapso, que privaría a la obi» de
BU estabilidad o funcionalidad.
Sin embargo al ingeniero también le interesa conocer el estado de
deformación del terreno, que es un aspecto muchas veces tan importante
9.-
como el anterior de la seguridad a la rotura* Un problema típico es el
del asiento de una zapata o un pilote, que sin la rotura del terreno
puede provocar el fallo de la estructura sustentada, o al menos la per
dida de su utilidad como es el caso de una estación de radar, Inoluso
en ocasiones el estado deformaclonal del suelo es lo determinante y osen,
oial del problema planteado, como ocurre en el dimanelonamiento de las
armaduras de. una losa de oimentación flexible o en la comprobación a
flexión d© una tablestaca, para lo que hace falta igualar los oorrimieii
tos de estructura y terpsno. Dentro 4el tema aquí tratado, los taludes,
se presentan dos casos de interést Uno es el de «na excavación próxima
a un edificio, con peligro de agrietamiento de éste por los asientos que
en él se provocan, que es un caso que oada vez se presenta con mayor frg,
ouencia en las ciudades, y con mayor gravedad por alcanzarse mayores pr¿
fundidades. El otro es el de las presas de materiales sueltos, cuya de
formación interesa conocer para prevenir su posible agrietamiento, así
como para controlarla y vigilarla, comprobando la concordancia de los
corrimientos reales con los previstos y calculados en el proyecto, lo
que tal vez permita advertir ciertos peligros y corregir a tiempo defec
tos existentes.
Cada vez se muestra y reconoce más interés por la necesidad de
mejorar y profundizar loe estudios referente» a las deformaciones. %
oientementd Rosco© ( Ref. A-33 ) recalcó en su Lectura de Rankine la oa
pital importancia que tienen en la Mecánica de Suelos los desplazamien—
tos. Así como la evaluación del coeficiente de seguridad es un problema
, vencido hoy día, y del que oabé esperar en el futuro muy pocos progre
sos (cálculo en tres dimensiones, por ejemplo Ref. 2 ) debido a las %
tensas energías que se volcaron sobre él,que llegaron cerca del límite
10.-»
de las posibilidades, en cambio el problema de la evaluación de las de
formaciones está muoho más retrasado, en parte debido a su mayor com
plejidad. Está bastante generalisado el cálculo de las deformaciones -
aplicando las teorías de la elasticidad, según el modelo áe Boussinesq
más o menos sofisticado, pero ello es bastante inexacto debido a la rá
pida aparición de zonas plásticas que aumentan grandemente los corri
mientos, como posteriormente se indioa.
Ambos problemas, el estado deformaolonal del suelo y su estado
tensiónal, -sea límite o no— son en realidad dos aspectos de un mismo
fenómeno, que es la forma de reaocionar del terreno ante unas fuerzas
exteriores, adquiriendo un estado capaz de equilibrarlas. La dificul
tad y complejidad que presenta el fenómeno, ha hecho que hasta hace po
oo no se le atacase de un modo directo, y sólo se estudiasen en prime
re aproximación los dos-aspectos más interesantes antedichos.
El problema matemático es el de un sólido no homogéneo, en que
coexisten zonas elásticas, regidas por un sistema de ecuaciones dife
renciales elípticas, y otras plásticas, regidas por otras ecuaciones
diferenciales hiperbólicas ( también elípticas si el sólido es elasto
plástico ) , con el agravante de no conocerse el contorno que las se
para. La única forma práctica de abordar el problema es por métodos nu
garlóos ( apartado 4. )» y es este el camino emprendido con resultados
inioialmente satisfactorios. La forma de abordar el problema planteado
debe ser ésta, puesto que sólo así se consigue la pintura más exacta p£
sible del comportamiento real del terreno, obteniéndose a la ves sus des,
plaBamientos, la repartición de tensiones, el contorno de las zonas pías
tlficUdas, e incluso el coeficiente de seguridad, proporcionando una -
buena ayuda para el dlmensionamiento de las obras, y orientando sobre
11.*»
donde se aprovecha mejor o peor el material.
Simultáneamente al desarrollo y mejora del método numérico de
resolución del difícil problema matemático planteado, se han perfec
cionado los ensayos de laboratorio o " in situ " necesarios para de
terminar las constantes que caracterizan cada suelo, y también se ha
profundizado en el oampo de las teorías plásticas. Resueltas de un mo
do casi absoluto las dificultades numéricas, gracias al desarrollo de
los ordenadores electrónicos y del cálculo matricial, queda hoy como
campo de batalla principal el estudio de la plasticidad, lo cual pre.
senta grandes dificultades al tratar áe suelos; La mejora teórica de
las relaoiones increméntales tensión-deformación, y su comprobación
experimental, es lo que permitirá acomodar el aparato matemátíoo a la
realidad, aproximándola y reproduciéndola cada vez mejor mediante mo
delos ideales de terreno.
En la presente tesis se dedican, con cierta extensión y profun
didad, dos apéndices a sendos problemas básioos del método elastoplág.
tico o de plasticidad contenida. En el apéndice A se estudia la plas
ticidad teórica y su desarrollo reciente en lo relativo a suelos, y en
el apéndice B se trata del procedimiento general de cálculo de los ele.
mentos finitos.
12.-
V1
MÉTODOS DE CALCULO USUALES
3.1. Método elástioo
>
Se considera el suelo como un material elástico lineal
perfecto o hookiano. Primero se arranea de un semieepaoio
homogéneo de Boussinesq, que luego se ha perfeccionado y
complicado de muy diversas manerasi Se ha resuelto el pro.
blema del semiespacio no homogéneo cuyo módulo de elasti
cidad varia con la profundidad según diferentes leyes(Frólich),
los casos de un estrato elástico de espesor constante so
bre una base rígida, o de doble estrato sobre base rígida
(Burminater) o sobre un semiespacio, el de un estrato du
ro sobre un semiespacio elástioo, así como el de infinitas
capas delgadas flexibles e inextensibles (Westergaard), y
los de suelos con anisotropía transversal tanto llenando
un semiespacio homogéneo (Koning) como ocupando un estra
to de espesor constante sobre base rígida.
Refiriéndonos al tema de taludes, está resuelto en .dos
dimensionesi el caso de una cuña elástica indefinida (Le—
vy, Ref. 27, págs. 187 y 203) sometida a diversas fuerzas,
y también el de un suelo de Boussinesq sometido a una car
ga triangular flexible (cimiento de una presa de materia
les sueltos). El problema más real del oonjunto presa-oi^
miento está resuelto analíticamente de un modo aproximado
(Brahta, Ref* 22, pág. 210) y también por diferencias fi
nitas o fotoelástioamente.
13.
Merece la pena citar los trabajos de Brotm y King
( Ref. 4 ) en que estudian la diferencia entre un talud
generado por relleno o por excavación, los de Idriss y
Seed ( Ref. B-30 ), Chopra ( Ref. 5 )y Dibiej y Penzier
( Ref. 7 )aue estudian el caso de un talud sometido al
esfuerzo dinámico de un terremoto, al igual que Finn(lef.
B-31 ) que además tiene en cuenta las posibles tensiones
iniciales.
El método elástico tiene la ventaja de dar una pintu
ra completa del fenómeno, indicándonos la forma de traba
jar del material, pero de un modo muy grosero, pues las
zonas plásticas modifican sustancialmente la solución,tan
to en lo referente a corrimientos, mucho mayores en di
chas áreas, como en las tensiones que sufren reajustes im
portantes. El cálculo elástico, válido para materiales -
más resistentes como el hormigón o el acero, debe pros
cribirse al tratarse de suelos, por los grandes errores
que trae consigo al no oumplirse las hipóteáis de la elas
ticidad lineal.
Mejor pintura se consigue con la elasticidad no lineal
(Girijavallabhan, Ref, B-22$ Clough y Woodward, Ref. 6 |
Hayashi, Ref. 14? tunean, Ref. 8) que suele aplicarse con
leyes tensión deformación semiempíricas, dando resultados
bastante concordantes con la realidad y por ello aparente
mente satisfactorios. Sin embargo, Soott (Ref. A-35 pág,13)
critica duramente estos procedimientos por carecer de jujs.
14
tificaoión teórica. porque esas leyes empíricas que se ob,
tienen en estados particulares de tensiones no tienen por
qué ser válidas para estados más generales» e inoluso las
relaciones tensión deformación no son invertiblea, y por
ultimo careoen de potencial elástioo o si lo poseen no es_
ta olaro que sea definido positivo* Si bien puede trabajar
se dentro de esta línea para fines o estudios concretos -
por su sencillez, no es deseable su empleo en la investi
gación, ya que oonduoirían a un estancamiento del progre
so.
3.2. Método del estado límite o de equilibrio plástioo
Se supone que el suelo ha alcanzado totalmente el esta
do plástioo, sin preocuparse de como se llegó al mismo* No
se evalúan las deformaciones habidas, que quedan indetermi
nadas, pues se desprecian los corrimientos elásticos con
siderando el sólido COBO plástioo rígido*
3.2.1* Procedimientos de tanteo
Son los más extendidos. Presuponen una superficie
de deslizamiento y evalúan el ooefioiente de seguri-
dad de que se dispone frente a la rotura) tanteando »
con numerosas superficies diferentes se escoge como
más probable de producirse aquella que de el coefi-
15.-
ciente de seguridad mínimo.
Be este modo operan los métodos del oiroulo sue
co (1,912) y del circulo de rozamiento, el de Cou
lomb para el cálculo del empuje sobre un muro, y los
de división en fajas en todas sus modalidadest el de
íelleriius, oon la simplificación de May de despreciar
la interacción entre fajas, salvada posteriormente -
por Bishop (1.952), los de Nonveiller y Jambu para
superficies deslizantes de cualquier forma, y el -
más complejo y perfeoto de Morgersten y Price (1.965)»
(Véanse los trabajos de Escario, Ref. 11 y Whitman y
Bailey, Ref. 32).
Este procedimiento, que está basado en los dos teo
remas límites de Drucker, Greenberg y Praguer es s¿
lo comprobatorio, y no ayuda al ingeniero a mejorar
el diseño y la forma de su obra) sólo sirve para ob
tener el coeficiente de seguridad del talud, que des
de luego suele ser el dato fundamental, pero lo pro
porciona aislado, sin señalar la forma de trabajar -
del terreno. Cuando se emplea el método de las fajas,
salo puede deducirse la ley de tensiones a lo largo
de la linea de deslizamiento, y sus resultados di
fieren bastante entre sí según cual método particu
lar se emplee, y también con los del procedimiento
más riguroso de Sokolowsky, según ha comprobado Uriel
(Ref. 29 ), hecho que era de esperar por la superaban
16.-
dancia de ecuaciones respecto de incógnitas existen,
tes,(6n - 1 contra 6a - 2 según Sufclje,Ref.A-42
pág. 413 ).
El procedimiento, según lo dicho anteriormente,es
un tanto burdo.y, como indica Jiménez Salas (Ref.16)
ha estanoado y dificultado el progreso en el diseño
. de presas de materiales sueltos. Por otro lado es -
teóricamente un método peligroso, pues el tanteo de
numerosas superficies no siempre garantiza la obten
ción del verdadero coeficiente de seguridad;éste se
conocerá con precisión sufioiente si se comprueban
superficies adecuadas pero se está del lado de la iji
seguridad si no se obra así» Es conocido el caso de
presas de escollera oon núcleo de arcilla delgado,ou_
ya estabilidad 30 comprobaba antiguamente tanteando
superficies cóncavas hacia arriba, hasta que Samsioe
probó su convexidad.
3.2.2, Procedimientos analíticos
Los métodos analíticos constituyen una notable me
jora, pues parten de la ecuación diferencial de equi
librio de Kó'tter, o de la ecuación diferencial de la
línea de deslizamiento de fieeal, y son por tanto más
perfectos y elegantes al no requerir efectuar numero
sos tanteos. Además no sólo definen la línea o líneas
de deslizamiento, sino que también dan el campo de -
17.-
tensiones, indicando el mejor, o peor aprovechamiejí
to del material.
Algunos de ellos constituyen más bien una especu
laoión matemática que no una teoría utilizarle en la
práctica* la línea oioloidal de deslizamiento de un
talud plano puramente cohesivo, y la línea recta de
deslizamiento de un talud ortolisténico, deducidas
ambas por froirbard, tienen un valor casi exclusiva
mente teórico. Por el oontratio el estado plástico
de Eankine resulta muy interesante y de hecho se uti
liza oon frecuencia.
La teoría de las características de Sokolowsky -
(Réf. 26) y su obtención de los taludes Isorresisten
tes, utilizada y desarrollada en España por Uriel -
(Hefs. 29 y 30) y aplioada a la simetría radial por
Jenike y Yen (Hf,15)» oonstltuye un gran progreso y
refinamiento, ya que sirve para diseñar los taludes
según un criterio de estricta economía y de máximo
aprovechamiento del material.
El procedimiento tiene dos aspectos criticables.
Por un lado se apoya en la existencia de ciertos pun
tos singulares (vértioe de coronación del talud,del
que parte un haz de líneas características), cuya -
realidad no es segura, y que incluso parece compro
bada experimentalmente su no existencia en determina
dos casos (un muro rígido sometido a empuje pasivo
girando sobre su punto más alto, por ejemplo).
18.-
En segundo lugar al considerarse el suelo cato©
plástico rígido las deformaciones quedan indeterm¿
nadas, y no puede obligarse a que se cumplan ni las
condiciones de contorno relativas a corrimientos, ni
la compatibilidad de deformaciones, y sólo se respe,
tarimas condiciones de equilibrio) por este motivo
la soluoión obtenida se alejará de la real en nume
rosos casos. Es típico el caso del terreno sosteni
do por un muro, cuyo estado teneional y sus líneas
de deslizamiento dependerán de la forma de moverse
de éste, y serán diferentes si gira respecto al pun.
to inferior o al superior, o si simplemente se tras
ladaj pues bien, al diferenciarse los casos anterl^
res sólo por condiciones de desplazamiento, el meto.
do de las características no puede distinguirles y *
da para todos ellos la misma solución de cuña deal¿
zante, compuesta por un área triangular en estado
de Rankine y otra de Prandtl de líneas de desliza
mientos espirales logarítmicos, y con ley de tensio
nos lineal oon la profundidad, cuando la realidad es
muy distinta (Ref . A-33)*
En el caso del talud las condiciones impuestas no
son de deformación, como en el problema del mure,si
no de tensión (fuerzas de masa del peso propio) y -
por ello la valides del método es mayor. Sin embar
go existen muchas dudas respecto de la bondad de los
taludes isorresistentes, ya que la forma y la rotura
19.
de éstos, según la teoría plástico rígida, no depen
dería de lo que ocurriera alrededor de la cuña desli
zante, pues en los problemas plásticos regido» por
una ecuaoión diferencial hiperbólica cualquier causa
afecta sólo a una zona limitada, contrariamente a lo
que ocurre en las ecuaciones elípticas de los probljj
mas elásticos, en que cualquier perturbación se pro
paga diluyéndose hasta el infinito. En la realidad
existe una superficie de terreno más o menos horizon
tal que limita al talud en su parte inferior, apare
ciendo un punto cóncavo singular en que se concentran
las tensiones y que plastifica antes que el resto del
material del talud, perdiendo así éste su carácter -
de isorresistencia (plastificación simultánea en to
dos los puntos). Uno de los objetivos de esta tesis
es comprobar hasta que punto influyen en el carácter
4e isorresistencia las condiciones de contorno y la
compatibilidad de deformaciones ( apartado 5*4» )»!£
ra confirmar la bondad de la forma del talud,inten
tando impulsar y vigorizar así una teoría tan prome
tedora.
Recientemente Serrano (Ref, A-36) ha perfecciona
do el método de las características, al tener en ouen
ta la compatibilidad de deformaciones, subsanando el
segundo de los puntos de crítica anteriores. Para —
ello calcula simultáneamente el campo de tensiones
y -el campo de velocidades en un material con rozamien
to H 0 M y dilatanoia " v w variable»f emplea un
procedimiento iterativo en que primeramente se -
obtiene un campo de velocidades oon tus línea o&
taoteríatioae y que cumple la, compatibilidad de
deformaciones, a partir de él obtiene el campo de
tensiones también oon sus líneas características,
que cumple las oondioiones de equilibrio modifi
cando convenientemente H 0 M en cada punto, según
cierta ley de rigidizaoión, y debido a que el prJL,
mer oampo ya no resulta compatible con el segundo
debe ser modificado también,asustándole los valo
res de la dilatanoia " v ", y así suoesivaments
basta que ambos campos son compatibles*
21.-
METODO TENSODESüBMACIONAL ELASTOPLÁSTICO
4.1» Presentación
El procedimiento de cáloulo numérico empleado asimila
en cada instante el problema al de un sólido elástico fio
ticio no homogéneo, cuyas características Teológicas van
variando durante el proceso de carga, de acuerdo con las
leyes de la plasticidad. Se arranca por tanto de un terre
no elástico lineal al cual se aplica una carga tal que ini
cié la plastificación en un sólo punto o elemento del só
lido, entonces se modifican las características tensode-
fórmacionales de esa zona, y el terreno se comportará ante
nuevas cargas como otro ficticio con una falta de homoge
neidad en ese punto plastifioado, que será más deformable
y además anisótropo. Ante un nuevo incremento de carga la
zona plaatificada tendría en principio corrimientos indetej?
minados ( si se tratase de un cuerpo elastoplástico perfec
to, no rigidizable ), pero debido al contorno elástico que
la rodea dicho corrimiento queda limitado y definido univo
camente, motivo por lo que se denomina zona en "fluxión -
plástica oontenida**. Esta zona se deforma casi libremente
sin absorber nuevas cargas, por lo que las áreas contiguas
se sobrecargan y son arrastradas rápidamente al estado plási
tico, teniéndose que modificar nuevamente las característi
cas tensodeformacionales de las partee plastificadas tras
cada nuevo incremento de oarga. El procedimiento se oonti
nua hasta alcanzarse la carga total, o una zona plástioa -
22.
tan extensa que deje de estar ooriienida (superficie de dej,
lizamiento completa) produciéndose a partir de ese momento
corrimientos indefinidos (colapso total en sólidos plást¿
eos perfectos) o que crecen muy rápidamente (sólido rigid¿
zable).
Con este método se sustituye en cada punto del terreno
la ley de tensión deforaaoión curvilínea teórica por una
poligonal ( Pig. B-14e t P&£« B-52 ), correspondiendo cada
segmento de la poligonal a un incremento de carga, duran
te el cual cada zona de terreno se comporta como elástica
lineal anisótropa. Se reproduce por tanto con bastante fj
delidad el fenómeno real, tanto mejor si son menores lo»
incrementos de carga aplicados y si la teoría plástica ma
temática utilizada se adapta más a los suelos de la natu
raleza.
El fenómeno de la plasticidad eontenida y progresiva %
fluye de un modo determinante, a veces sorprendente, en la
redistribución de tensiones y más aún en las deformaciones.
SI equilibrio alcanzado en cada instante depende de las
cargas aplicadas y de los corrimientos habidos, pero tam
bién de la historia anterior, Segdfo recalca Hill (Ref.A-16,
pág, 238) es fundamental el proceso de carga o de relleno
del talud, o de su excavación, pues según se proceda de una
u otra forma se podrían variar totalmente los estados in
termedios anteriores a la rotura total. En cambio intuitjj.
vamente se ve que, en general, la carga final, en el equ¿
23.
librio límite, variará poco de un proceso a otro,y queda
rá aproximadamente definida por procedimientos de cálculo
más rústicos, según los teoremas límites de Drucker.
Este método elastoplástioo es por tanto el más exaoto,
y puede dar una pintura verdadera y completa del fenómeno
real, obteniéndose con preoisión loa corrimientos tan di-
fioiles de evaluar por otros procedimientos -al menos con
la exactitud' con que se midan las características del ma
terial, sin introducir nuevos errores debidos al método de
cálculo— , así oomo las tensiones e incluso el coeficien
te de seguridad, ayudando a conocer mejor y de un modo más
completo la estructura, y a perfeccionar sü diseño.
Respeoto al coeficiente de seguridad debe hacerse notar que
se obtiene el verdadero, sin el peligro existente en los me
todos de tanteo de probar superficies de forma errónea, de
pendiendo las precisiones obtenidas en ál y en la ubioaoion de
la línea de rotura de los intervalos de carga y de la fi
nura de la malla que se empleen .
El procedimiento numérico expuesto tfae consigo otras
ventajas de tipo práctico, oomo son la posibilidad de es
tudiar sin nuevas complicaciones terrenos no homogéneos,
fisurados, con tensiones residuales, etc.
El cálculo es laborioso, y por ello caro, resultando %
prescindible el uso del ordenador electrónico. La tenden
cia inicial es Utiliaarlo en el campo de la investigación,
para avanzar en el conocimiento sobre el comportamiento del
24.'
suelo, y también para contrastar y dar por válidas o no
teorías de cálculo más senoillas y rápidas. Dentro de ejs
tas ideas en la presente tesis se pretende comprobar la
influencia de la dilatancia en el comportamiento de los
taludes, y de contrastar la bondad de la forma de loa ta,
ludes isorresistentes, con el deseo de disipar loa temo
res o dudas que puedan existir sobre ellos para así faci
litar su utilización en la vida práctica. Sin embargo,hoy
ya se llega más lejos y se comienza a utilizar el método
en ciertos proyectos, en los que la importancia de la eco
nomía o la seguridad justifican estudios más prolijos,ta
les como son el caso de presas de embalse (Clough, Ref.6),
grandes túneles (Hayashi, Ref.14), etc.
4.2. Trabajos previos
Entre los primeros trabajos realizados aplicando el mó
todo elastoplástioo está el de Alien y Southwell (Ref.l),
que obtuvieron ya ciertos resultados prácticos, aunque su
utilidad en suelos es parcial por tratar sólidos con sólo
cohesión, y además ha sido criticado por Jurisic (Ref. 17)
por no tener en cuenta las condiciones de compatibilidad
de deformaciones en la región plástica.
Posteriormente Ang y Harper, ponen a punto un procedi
miento bastante ingenioso (Ref. 3), en que descomponen el
25.-
continuo en una serie de puntos de masa y puntos de fuer
za. Lorente de No lo ha utilizado en dos de las pooaa apli
oaolone» de la elastoplasticidad a los taludes ( Ref. 18 ),
en una de ellas extendiendo el procedimiento a coordenadas
cilindricas ( Ref. 20 ) , y también lo ha generalizado a -
suelos con rozamiento ( Ref. 19 )j Christlan lo aplioa al
estudio de suelos saturados incompresibles ( Ref. B-18 ) ,
Port introduce el fenómeno de la viscosidad ( Ref. 12) y
Luming los efeotos dinámicos ( Ref. 21 )'. El defeoto pri
mordial del método radica en la rigidez de formas exigi
das por una malla de cuadrados, que lo hace poco práoti-
oo para el estudio de taludes.
El método de los elementos finitos, es el que permiti
rá de un modo más cómodo el tratar el problema de los talu
des, pues con la malla de triángulos es fácil adaptarse a
cualquier contomo. Inicialmente creado para sólidos elás
tioos lineales, se ha generalizado fácilmente para tratar
problemas no lineales, mediante técnicas iterativas ( ver
Zienkiewicz, Ref. B-52, capitulo 12 ), hasta el extremo
que Oden (Ref. B-37) cita alrededor de 200 aplicaciones.
En su raayoria los progresos realizados se refieren a gran,
des deformaciones, problemas dinámicos, elasticidad no li
neal, sólidos que no resisten a tracoión, etc., y las apl¿
caeiones versen insistentemente sobre el caso de la zapata,
túneles, etc., y en una minoría de ocasiones sobre taludes.
En pocos casos se trata el problema elastoplástico, y de en
tre ellos en una minoría se conserva oierto rigor en la elejo
aj
elan del criterio de rotura, de las relaciones tensión 4&
formación, y del procedimiento iterativo, siendo muy cri
ticables y de validez dudosa las conclusiones derivadas de
numerosos artículos publicados. Sobre este punto se reali
za» diversos comentarios en los apartados 3,1, y B-5,
Dada la complejidad y dificultad del problema de lar -
plasticidad contenida, merece la peña citar como autores
de aplicaciones rigurosas a Maroal y King (Ref. B-33)»Pope
(Ref. B-39), Watt ( &©£• 31 ) y en espeeiai a Reyejry Deere
(Ref, B-41) que dentro de cada incremento de oarga reali
za una doble iteración para corregir errores de segundo ojr
den.
Variables fundamentales escogidas en el procedimiente
de cálculo «PVMMMHMMNMMM
Los puntos olave del método tensodeformacionsl elaate¿
plástico, que más pueden falsear los resultados y que son
los que presentan mayores dificultades, sobre los cuales
se ha realizado un mayor esfuerzo al desarrollar la pre
sente tesis, son los siguientest
Dlsoretiaaoióq del continuo. Se ha escogido el método
de los elementos finitos (apéndice B ) , La convergencia y
unioidad de la solución obtenida, estudiada rigurosamente
27.-
por De Arantes ( Ref. B-6 ), se cumple por tratarse de un
oaso particular del método de Ritz (apartado B-3).
El método de los elementos finitos permite representar
correctamente la superfioie exterior del talud, mediante
la utilización de una malla de elementos triangulares. En
el apartado 5.2,1» se comprueba que los límites latera
les de la porción de suelo reproduoida están suficientemen
te alejados, y que es aceptable la graduación del tamaño
de la malla, con elementos más pequeños en el pie del ta
lud, ahí donde las tensiones se concentran y varían más ra
pidamente. El programa de cálculo electrónico incluye el -
cálculo de todos los residuos del sistema de ecuaciones 11
neales correspondientes a cada incremento de carga, y se
ha comprobado que el error numérico de la resolución del
sistema respeta, siempre 5 oifras significativas en los oo
rrimientoa.
Teoría pláatloa. Este es probablemente el tema crucial,
pues en la mayoría de las aplioaoiones consultadas se com
prueba una falta de rigor y un desconocimiento bastante ge
neral de las teorías de plasticidad por parte de sus auto
res. En esta tesis se utílisa un modelo matemático de sue
lo isótropo elastoplástloo perfecto (elastioidad lineal -
hookiana seguida de plasticidad perfecta de deformaciones
indeterminadas, Fig. A-16 ), con cohesión y rozamiento,que
plastifioa según el criterio de Mohr Coulomb, Las relacio
nes tensión-deformación se derivan de la función de rotura
J9P»'
mediante la regla de la normalidad, y por lo tanto se s^
pone que aquella coincide con la función «.potencial pláati
005 dichas relaciones fueron dadas por Druoker y Praguer
(Ref• A-7) y generalizadas a cuerpos elastoplástieos por
torente de No (Ref. 18). La eleoción de esta teoría se —
justifica en el apéndice A, por ser una de las que mejor
se adaptan al comportamiento de los suelos, y por respe
tar el uso de loe parámetros n o H y M 0 n ,sumamente
extendidos, sirviendo gracias a ello para contrastar m¿
todos de cálculo más sencillos, como son el abaco de Ta¿r
lor o los taludes isorresistentes (apartados 5»2.2, y
5.4.").
Druoker y Praguer demostraron que un suelo que oumpligí
ra su ley debería tener un incremento de volumen relati
vo proporcional a "sen ff " j la mayor discordancia de los
suelos reales con este modelo teórioo radica en que su d¿
latancia es diferente, y bastante menor, lo cual implica
también que la red de líneas características del campo de
Velocidades no coincide con la del campo de tensiones* Co r
mo novedad principal de la presente tesis se encuentra el
utilizar también el mismo terreno definido en el párrafo
anterior, pero sustituyendo las relaciones tensión defor
mación de Druoker y Praguer por otras que no cumplen la ley
de la normalidad, y en cambio respetan una dilatanoia pre—
fijada M v **, característica del suelo. Este modelo de t£
rreno elastoplástioo, cuyas relaciones increméntales ten
sión-deformación asimétricas se deducen en el apartado A-5.2,
29.
se aplica aquí por primera vez (al menos dentro del cono
oimiento del autor), permitiendo estudiar la influenoia
de la dilatanoia en la rotura progresiva de un talud(apar
tado 5» 5»)» y abriendo el camino para estudiar oon más
rigor problemas en que las condiciones de contorno vengan
dadas en corrimientos y no en tensiones,-para los cuales
no parecen ser válidos modelos de terreno con potenoial
plástioor- como son un pilote o un muro rígido.
Debe reconocerse aquí que este modelo, pese a represen,
tar un pequeño progreso, tiene aún la"gran limitación de
no ser rigidizable al suponer oonstantes los tres paránje.
tros del suelo.
Él último punto clave es el de asegurar que la solución
obtenida sea la verdadera. La unicidad de la soluoión está
demostrada para la elasticidad, y también para plasticidad
dentro de ciertas limitaciones. Una de las premisas de los
teoremas existentes de unicidad en plasticidad- es la exis
tencia de potencial plástico, y su coincidencia con la fun
ción de rotura, y por ello conviene dejar olaro que el úl-
timo modelo matemático propuesto, de suelo dilatante, es
muy oritioable por carecer de función potencial.
Además de la eaistenoia de la función potenoial,que sí
se da en el modelo de Drucker y Praguer, hay otro faotor
que influye en la unicidad de la solución, y es la histo
ria del cuerpo. Para obtener la soluoión verdadera de un
problema debe reproducirse fielmente su historia tensional
30.-
( Hill, Ref. A-16, pág, 238 ) y por ende el orden de apl¿
eaclón de las cargas a que está sometido.
Entre los métodos iterativos de cálculo plástico» se ha
utilizado el incremental de la matriz de rigidez tangente
(apartado B-5.2»), que es el único que permite confiar en
la 6btendón de la soluoión verdadera, pues descompone el
cálculo en varios elásticos ficticios sucesivos a fin de
reproducir el problema físico real y la historia tensio-
nal sufrida.
Además de esto, dada la importancia capital del proceso -
de oarpa> se ha hecho un esfuerzo notable para reproducir
le, dando bastante flexibilidad en este aspecto al progra
ma,de cálculo electrónico.
En teoria si se construye una presa de tierras, el esta
do tensodeforraaoional resultante será diferente según en -
cada tongada se vierta y compacte antes la zona central,la
de aguas arriba o la de aguas abajo, y lo mismo ocurre al
excavar un talud. En la presente tesis se aplica únicamen
te la carga total, que se haoe aumentar progresivamente de
un modo uniforme en todas las partes en que actué? ello nq£
malmente no representa un proceso de carga real ( sólo se
asemejaría, en algunos intervalos de carga, al aumento de
densidad por humectación de las tierras), pero es el modo
más lógico de liberarse del proceso constructivo*
El programa de cálculo electrónico incluye también una
32.-
- PROBLEMAS PARTICULARES ESTUDIADOS
5.1• Aplicaciones conocidas
La mayoría de los trabajos en elastoplasticidad se han dirigido
al estudio de túneles, zapatas, etc. y sólo una minoria a taludes. .
De éstos algunos careoen del rigor teórico deseable, no obstante lo
cual han proporcionado conclusiones interesantes,
Lorente de No en su tesis (1.966, Ref. 18) estudia por el método
de Ang y Harper la plastificación progresiva de un talud, aunque
se limita al caso de terreno coherente y talud vertical (Fig, l).Pos_
teriormente lo extendió al caso de coordenadas cilindricas (l.Q6°f
Ref, 20), y propuso una relación aproximada entre la altura crítica
f «• X H/o y la curvatura r » S/H
f « 4 + 2/ (3r + i) para taludes cóncavos
f = 4 - 2 / ( 3 r - l ) para taludes convexos.
Por cierto que estas leyes son criticables, oues valen para inter
polar entre 0,6 < r < 3 t>ero no para extrapolarla que no veri
fican los valores teóricos de r *» 0 que serían f -»oo f - 2.
De las infinitas funciones que pueden proponerse, aunque todas ca
rezcan de rigor, unas que cumplirían los valores antedichos serían
por ejemplo» 1 1 • • •
f = 4 + •-' ' •• - "»• para taludes oónoavos 1,6 r 9 r2
6 + 2 r f • 4 para taludes convexos
3 + 5 i2
Clough y Woodward en un articulo muy práctico (l.967»Ref. 6), qtie
por ello puede considerarse clave para la difusión del método como he
rramienta de proyecto y no sólo de investigación, estudian por elemen
33 •*•
n° •=> Valor de JfH
Fig. 1 t - Progresión de zonas plásticas y deformación de un talud
vertical coherente (según LORERTE DE NO, 1.966)
tongada única 10 tongadas
corrimientos horizontales en pies
corrimientos verticales en pies
Escala '-—*• 1 pie
Veüítores de corrimientos. Construcción en 10 tongadas
Fig, 2 .- Corrimientos de una presa de tierras debidos al peso propio
34.-
oión en diea tongadas sucesivas,£ observando entre otras cosas
las trayectorias del movimiento que siguen algunos puntos de la
presa (Fig. 2), el reparto de tensiones y la influencia de la -
deformabilidad del cimiento. El oáloulo lo hacen primero dentro
de la teoria de la elasticidad lineal, y a continuación en elaa
ticidad no lineal, conservando constante el módulo de rigidez del
terreno, lo cual intenta reproducir el comportamiento de la arel,
lia saturada sin drena;}» de una forma muy criticable), pero que da
una pintura aproximada del fenómeno,
-Watt, asesorado por Christian y Lambe (1,968» Ref. 31) estudia
por elementos finitos el talud irregular de Atohafalaya ( Fig.3 )
que sufría grandes deformaciones, en la hipótesis de terreno no
drenado. Emplea un modelo de material elastoplástico perfecto,con
la teoría incremental rigurosa.
Sus principales comclusiones son que lo que más influye en los
grandes corrimientos de la cornnaoión son el módulo de elasticidad
y las tensiones inioiales. Debido a lo reducido de la zona plastj^
ficada para la carga existente, de la hipótesis de una disminución
de la cohesión del terreno resulta un aumento muy pequeño de las
deformaciones. También comprueba la ooca influencia de la compres^
bilidad del estrato de arcilla orgánica. La prolongación de la ber
ma prevista (de puntos en la Fig.3) es efectiva para reduoir los -
desplazamientos, pero agravan el problema ya que aumenta oonsidera
blemente la zona plástica al pie del dique, y por este motivo los
movimientos en sus proximidades, empeorando más aún el fenómeno en
caso de excavar parte de los materiales de préstamo próximos.
Este trabajo es de destacar por su rigor y por lo in~
35<-
Dique de retención Berma prolongada
Relleno de arcilla blanda Arcilla orgánica blanda
Arcilla media
*
fZ7" \ ' s 1
/
Pig. 3 .- Talud de Atohafalaya y malla empleada (según WATT, 1.968)
Tracción
4 10 pies
Zona plástica
~J20 Pies
Arcilla normalmente consolidada K - 1,25 Talud - 1,5 i 1
í 10 pies s~ 20 Pies /
Aroilia normalmente consolidada K - 0 ,75 Talud - 1,5 t 1
A lOpies _/" 30 pies
A r c i l l a preconsolidada K » 1,25 Talud « 1 , 5 i 1
36.-
genioso del método iterativo y de resolución de ecuacio
nes.
Dunoan y Dunlop estudian en elasticidad lineal y por
elementos finitos ( 1,969» Ref. B-19 ) un talud excava
do, observando las diferencias según las tensiones horjL
zontales iniciales sean mayores (Ka= 1,6) o menores (K0» 0,81)
comprobando, como es lógico y de acuerdo con lo afirmado
por Bjerrum ( 1.967 )» que aparecen mayores tensiones cor
tantea y deformaciones en el caso de mayor empuje al re
poso, que correspondería a arcillas preconsolidadaa.Pos
teriormente, ( 1.970, Ref. 8 ) mejoran su estudio inioial,
reproduciendo la excavación en ocho escalores, con una ley
tensión deformaoión de tipo elástico bilineal, y en la su
posición de materiales puramente coherentes, aunque son -
criticables la malla de elementos finitos que emplean, y
la falta de rigor de las características reológicas del ma
térial.
Estudian arcillas con cohesión y módulo de elasticidad
en relación constante ( E • 100 » o ), manteniéndose cons
tantes o creciendo ambas con la profundidad. Representan
las arcillas normalmente consolidadas con empuje al repo
so K m 0,75 y con cohesión creciendo linealmente con la
profundidad, y las aroillas sobreoonsolidadas con K - 1,2J
y cohesión creciendo de un modo más suave.
Observan el crecimiento de las zonas plásticas al pro
gresar la excavación, y comprueban que los deslizamientos
m*~
profundos sólo se dan si la cohesión es oonstante en toda
la altura. En las arcillas preoonsolidadas la plastifioa-
ción comienza al pie del talud y luego progresa hacia el
interiorf en cambio en las normalmente consolidadas, con
menores tensiones horizontales iniciales, el comienzo se
da en el interior del suelo ( Fig, 4 ) , En algunos oasos
la zona en estado de rotura tiene cierto parecido con una
línea circular, pero al comparar sus resultados con el coe,
fioiente de seguridad obtenido por los métodos olásioos
de tanteos, la concordancia no es buena en las arcillas
preoonsolidadas.
mmmmmLiJmSSSSm
Para comprobar la sondad de la precisión del método de loe
elementos finitos se resuelve el oonooido caso del talud ver
tioal en elasticidad lineal. Para estimar la rápidos de la con
vergencia os preciso repetir el cálculo oon mallas diferentes
de una misma serie, es decirf tales que la malla nueva conten.
ga todos los nodos de la anterior» y sus elementos sean subdi,
visión de los de ¿ata. En la Fig. 5 •»• ven las dos mallas es
tudiadas»
Al estudiar la plaatifloación progresiva es fundamental dgi
terminar la carga en que comienza la rotura» y en que punto
ocurre* Bicho punto es el pie del talud» en el cual se produ
ce una concentración de tensiones que conviene obtener con ma
yor precisión, y para ello se ha disminuido el tamaño de los
elementos en esta sena* En la Fig. 7 se han representado los
esfuerzos tangenciales que actúan en una línea horizontal, y
per las diferencias obtenidas con ambas mallas se comprueba
la necesidad de utilizar la más fina.
Las tensiones vertíosles y horizontales y los corrimientos
vertíosles ( Figs# 6 y 7 ) obtenidos por ambas mallas difle**
vm sólo en menos del 2 %>, pero hay unas diferencias aprecia
bles en los corrimientos horizontales y en las tensiones tan
genoiales» que exigen utilizar la malla más extensa» El es
tudio de la Inclinación de la elipse de tensiones en las tres
columnas extremas de elementos permite deducir que la malla -
5.8
18m.
^ +• 9.Q0
3 9 ^
a ) 126 nodos, 204 elementos
**
^
// //!
/
/
//
y
Y **
•*
b ) 100 nodos, 158 elementos
Pig. 5 •— Comparación de dos mallas de un talud vertioal para
el estudio de la precisión
iliHwiiiiynn • j i i n . M p i i l r i h W i ^ r » . ! . ^ i ii¡ ii niiili»ii|iÍiil»iii^M>>IÍIT .II^IM
V Í - * J \ ^
*'' * ^í#?
a^ i i l i j i nmn iMn i i i . >«ÍDli l»i«>il í»l i.gUí'mfo.' l ^ j | l , ) « f r l i f t ¿ n in»l,^Tit f t ' . i'IT.ii»!».,». ' m t t i . • i ,y»t|ii'
MALLA EXTENOtOA
MALLA REDUCIDA
U z HORIZONTALES CORRIMIENTOS: ESCALA 1:2.5
v « VERTICAL
F'9- 6.» Leyes áe oorrliilentog
ZONA TR ACCIÓN ADA
Sx -VERTICAL ESCALA 1:5
¿lál-L*- *«**» 3» |iPttl««»
TENSIONES: Sy * HORIZONTAL
Txys TANGENCIAL ESCALA CI
41.
más extensa es suficiente y no es preoiso alejar el oontomo
lubricado a una distancia del talud mayor del doble del dea-
nivel de éste.
El contorno rígido inferior está demasiado próximo para ase
mejar el caso de un semiespaoio indefinido, pero en la reali
dad es frecuente la existencia de un estrato duro a profundi
dad no muy grande.
Los corrimientos ce calculan en los nodos, y las tensiones
en el centro de gravedad de cada dos elementos, debiéndose -
procurar unir éstos por parejas que no tengan una forma irre
guiar ó alargada * t ' «,
Los resultados obtenidos concuerdan bien con los ya conocj^
dos para un talud vertical (modelo de gelatina de Scheiblauer,
fotoelástico y analítico de Richards, etc...). Por ejemplo exija
te una zona traocionada ( Flg. 7 ) en la superficie de corona
ción (Ref. 28, pág. 510)» ©1 vértice superior desciende menos
que el resto de la coronación, la pared vertical adopta for
ma de panza O'ig. 8), se cierra el ángulo cóncavo del pie del
talud, las isostáticas tienen la forma debida (Pig# 9) > etc.
Richards (fíef. 23) señala que "el pie del talud es un pun
to donde la concentración de tensiones es ¿grande y complica
da, con el campo de tensiones a la vez creciente y decrecien
te en tres direcciones", y efectivamente constituye una dura
prueba para el método de los elementos finitos, en el que las
tensiones obtenidas tienen mucha menor precisión que los co
rrimientos, y mediante el cual es imposible representar un pun
to singular situado en un nodo, ya que las tensiones las obtie
i» en los oeafcpwi á* gt*m&Aá d* loa triángulo». B»** * dicha
dificulta* m y VR *l &máo &• pl*atitio*etf& (*$*«$) m «**».
mentó de oortant»» hacia arriba y abajo, y una di»ainuoion h^,
OÍA la iaqui»:^, consiguiendo»» una figura oualitativajBont»
mucho ata*» oareoida a laa isocrotBaa obtenida» fotoelíatioaaaa
te (Ref. 22), que no las lograda» por Duncan y Dunlop (-&•&
1 M 7 ) que también hicieron eue cálculo» en elasticidad oon
elementos finito». Esta mejor concordancia oon la solución
exacta se debe & haber afinado máa la malla en la proximidad
del v4rticef e indica que la precisión es suficientemente bue
na, aunque no se reproduEoa ese punto singular oon toda fide
lidad.
43.-
067 *l
U« 0.0186 V : 0.0618
U * CORRIM. HORIZONTAL
V = CORRIM. VERTICAL
CORRIMIENTOS
r V=0OI76
GRADO DE PLASTIFICACION •. S p S 2 •(S|*S2)»tnf $-. 30«
2 C COS. 0 c : 2 T n / m 2
Fig. 8 »- Deformada y curvas de plastifioacion relativa
1 1
\
1
l
m\ ISOSTATICAS
Fig. 9
44.-
Talud ooulombiano
Se ha estudiado el oaso de un talud plano de 75 grados
de pendiente, de 10 m# de altura, y tallado en un material
elastoplástioo perfecto de ángulo de rozamiento 20o y co
hesión 3 tn/m • En la Fig. 10 puede verse la malla emplea
da. Respecto al caso estudiado por Lorente de No ( Ref. 18 )
se han introducido las mejoras de incluir el rozamiento in
temo, y de darle la pendiente deseada*
Primeramente se aplina una densidad a todo el terreno tal
que oomience a plastificar la pareja de elementos triangu
lares más próxima al vértice del talud, y a continuación se
aumenta dicha densidad en sucesivos incrementos de un 10 %
obteniéndose en la Fig. 11 el crecimiento de la zona plasti
ficada.
Según el abaco de Taylor la rotura se produce con un cir
culo definido por su semiángulo o<» 22 o y el ángulo de la
cuerda con la horizontal w » 53° , y un factor de altura -
YH/c • 7»4& $ es decir con una densidad de 2,24 tn/m •
Los resultados obtenidos indican que se inicia la plasti
ficación con una densidad del 40$ de la anterior, valor que
debe ser bastante exacto ya que el punto de tensión dista -
del vértice del talud sólo 30 ora. ( un 3 % de la altura ).
La zona plantificada está muy próxima a la pared del talud,
lo cual oonouorda oon el circulo pésimo de deslizamiento, si
bien no ha alcanzado la coronación con la densidad teórica-
o o
22.0 2.6795 U,Q_
E s 1000 Tn/m 2
/JL: 0.25
?06 ELEMENTO
127 NUDO
U1
Fig# 10 .- Malla de elementos finitos para talud plano.
46.—
Esto ultimo puede deberse en parte a la pobreza de la ma
lia, que en la coronación tiene elementos grandes, y por
sustituir la densidad del suelo por fuerzas concentradas
en los nodos y calcular las tensiones en el cen ro de gm
vedad de cada dos triángulos, de modo que en esta zona al
ta se reproduce peor el efecto del peso propio. Por otro
lado el empuje al reposo supuesto es el de la teoría el ís
tica K m m/ (1-m) y por ser el coeficiente de Pois
son bajo ( m «0,25 ) resultan unas tensiones horizontales
liberadas más bajas de lo ordinario.
El crecimiento de la zona plastifioada es lógico, aunque
al final se ve que en la zona aún en estado elástico tien
de a crecer la plastifioacion horizontalmente, hacia el in
terior del terreno (curva de trazos, Fig. 11), lo cual oou
rr© a causa del bajo valor del empuje al reposo K «0,33»
La zona de rotura no llega a separarse sin embargo del tren
te del talud, como señalaba Lorente de "Ño (Fig.1), precisa
mente por tener el terreno rozamiento interno, cuyo efecto
se sabe es el de modificar los círculos pésimos aproximán
dolos a la vez a la superficie y al frente del talud.
En la Flg. 12 puede verse la deformada del talud, con la
olásica forma de panza debida a la plastifioacion prematura
del pie # de las zonas bajas del mismo. Finalmente en la
Slg. 13 se muestran las isostátioas en el instante de la ro
tura.
Zona plastificada para cada densidad
Plastificación relativa con X crítica - 2*24
S1" S2 + ^ l 4 ^ S0fl n i I mi n i» II I — — » — I W — I — »
2c eos tf
• — Circulo T>ésisK>
Pig# 11 . - P las t i f icac ión progresiva del ta lud plano»
ü
Corrimientos en fase elástica 0,4 0 orít
Para densidad crítica -2,24 tn/m
u m horizontal v « vertical
059 y2.6cm. 8.8 y 242 cm.
T
Fig. 12 .- Deformada del talud plano, y leyes de oorrimientos,
&
Fig# 13 •— Isostátioas en un talud plano, en rotura.
50.-
5.3# Talud ortolisténioo
Partiendo de la eouación diferencial de la ourva de deslizamien
to, deducida por Resal en la hipótesis de Rankine de los diámetros
conjugados de la elipse de tensiones, Frontard obtuvo ( 1.922 ) oo
mo línea de deslizamiento para un talud plano (Ref. 10, págs. 213
y 222) Ref, 13, pág. 304) una curva cicloidal, una logoide y una
parábola semicú*bica, según la pendiente del talud sea mayor, menor
o igual al ángulo de rozamiento interno.
Posteriormente Frontard ( Ref# 13 ) invirtió los términos del
problema, buscando como incógnita la forma del talud tal que su -
línea de deslizamiento sea oonooida, resolvió el caso de línea de
deslizamiento recta -talud ortolisténioo-» o simétrica especular
del propio contorno exterior del terreno -talud isolietónico- • .
Ambas formas tienen el interés teórico de permitir a un terreno a ,
canzar por encima de la línea de inclinación M^M una altura in
finitamente grande, manteniendo siempre una pendiente mayor de $2f,
si bien para ello es preciso alejarse un infinito de orden supe
rior del pie del talud, pues es conocido que la influencia de la
cohesión tiende a ser nula al crecer la altura,
Frontard señaló la posibilidad de obtener una economía al exea
var taludes tallándoles las citadas formas (sobre todo con la OP
tolisténica ), por los mayores desniveles que se pueden salvar en
oomparaclón con un talud plano, y por requerir un menor volumen de
material arranoado al tener formas convexas. Estudiando esta posi
bilidad, a continuación se exponen los resultados de una compara
ción cuantitativa entre el talud ortolisténioo, el plano, y el iso
rresistente.
51 .-
La ecuación paramétrica de la ortolisténica simplificada est
ó
2 fl eos 0 ( z2 - 1 + 2 log nep z )
z 2 - 1 y -
0 eos $
Z e
Donde
eos (a + 0)
sen a
y « ordenada de la superficie del terreno, según un eje vertical,
x o eje oblicuo, dirección del deslizamiento plano, inclinado " W "
con la horizontal.
a «• ángulo en cada punto de " x " dada entre la tangente a la línea
de deslizamiento y la tangente a la línea del talud.
m . parámetro.
í • densidad.
W m ángulo entre la dirección del deslizamiento y la horizontal.
La más económica resulta ser la denominada "máxima", cuando W « $
En la Fig. 14 se dibujan con trazo lleno los taludes ortolisténicos
máximos para diversos valores del ángulo de rozamiento interno, y de tra
zo discontinuo los lugares geométricos de los vértices de coronación de
los taludes planos, deducido» a partir del abaco de Taylor. Los primeros
resultan ser ventajosos respecto de los planos a partir de cierta altura,
y su ventaja crece al disminuir el ángulo de rozamiento y al aumentar el
desnivel.
Ampliando la parte próxima al origen ( Fig. 15 ) se observa que para
0 m 0 y alturas menores de 6,5 o/|( es más eoonómioo el talud plano, y
52.-
100 % +
so<y -
Talud ortolistenloo máximo
Lugar de los vértices de taludes planos
Lugar de los vértices de taludes isorreslatentes
Fig. 14 •- Comparación entre taludes ortolistenloos y taludes planos de
gran altura.
Talud isolisténico tr - # - 0*
0=20°
^0=20° 0=10° ^
Fig« 15 •- Comparaoión entre taludes ortolistenloos, planos e isorreslatentes
para alturas pequeñas usuales»
53.-
sólo para alturas mayores tiene ventaja el ortolisténico, aunque resul,
tan entonces taludes más tendidos (más de 1t3,75) que no se utilizan oa
si nunca.
En la &ig0 15 se muestra también ampliado los casos 0 » 10*» y 0 » 20°,
en los que se ha añadido de puntos el lugar de los vértices de corona
ción de los taludes isorresistentes, tales que su tangente inicial sea
vertical, y sustituyendo la sobrecarga por la altura de terreno equiva
lente, según Sokolowsky (Ref. 26, pág. 86). Para alturas normales, meno
res de 18 a/% resulta aquí también más económico el plano que el orto
listénico. Entre el plano y el isorresistente, debido que se ha despre
ciado en el tlltimo la capacidad resistente del terreno en la sobrecarga
equivalente, resulta difícil hacer comparaciones; pero dejando esto apar
te, tiene ventaja aquel para alturas enores a 8 c/tf , y posteriormente
el isorresirfcente suministra un coeficiente de seguridad ligeramente me*
yor a costa de un mayor volumen de escavación debido a su concavidad.
De las figuras anteriores se sacan por tanto las siguientes conclu
siones!
Al construir un talud la forma más económica es la isorresistente, co
mo ya se sabía, aumentando su ventaja al crecer la altura y el ángulo de
rozamiento•
Al excavar un talud para alturas pequeñas las formas que requiere -
arrancar menos material son la plana y la isorresistente. Los ortolisté
nioos para superficies deslizantes de pie son más eoonómicos sólo al eac
cavar grandes alturas en terrenos de arcilla saturada, cuando la estabi
lidad venga determinada a corto plazo ( » 0). Las pendientes obtenidas
son tan suaves en estos casos, que se presentan poco en la práctica, y
54.-
el valor de los taludes ortolisténioos es más bien teórico» en contra
de lo afirmado por Erontard. Por este motivo no se han estudiado más a
fondo, calculando por ejemplo al instante de iniciarse su píastificacion
y observando como progresa esta, aunque es de prever por su convexidad
que el cociente entre la densidad que provoque la rotura total, y la que
la inicie, debe ser bastante grande.
55.-
Talud isorresistonte
Talud iaorresistente es aquel que plastifica todo el simultanea
mentet por lo tanto el coeficiente de seguridad a la rotura de ca
da partícula es el mismo, aprovechándose. al máximo el material .Deje
de hace bastante tiempo a muchas oresas de materiales sueltos se les
da un perfil poligonal- cóncavo, con mayor pendiente en coronación,
acercándolas intuitivamente al perfil isorresistente y obteniendo
así un -ahorro de material; sin embargo hasta ahora en contadas oca
sienes se ha aprovechado directamente esta forma teórica para com
probar o aproximara ella la sección real de la presa (Uriel,Ref.29).
El motivo de ello es oor un lado la dificultad de cálculo, ya que '
las tabulaciones publicadas se refieran a casos teóricos simples,
y lógicamente no incluyen los .casos reales de embalse llono, desejra
balse rápido, etc. , pero además según se seríalo en el apartado 3»?«2.
(paginas 17 & 19) la bondad del perfil teórico ©s dudosa, debido a
que las hipótesis de partida para obtenerlo son un tanto groseras
por considerar un material plástico rígido.(con deformaciones elás
ticas nulas y deformaciones plásticas indeterminadas), sin tener en cuen
ta la compatibilidad de deformaciones, y olvidando la influencia de
las constantes elááticas del suelo, de las tensiones previas a la ex
cavación, o de factores exteriores a la masa deslizante pero próximos
a ella, como puede ser el punto singular del pie del talud.
En definitiva hay una serie de factores que oueden alterar la foj?
ma isorresistente y que hacen desaparecer gran parte del interés por
su utilización, perdiéndose así una oportunidad de diseñar con mayor
economía. Para comprobar el orden de magnitud de la influencia de al
gunos de estos factores se ha calculado por el método de los elementos
20.0 m. 6.74 8.46
3! f V. I I I I 0 = 30° C = 2 Tn./m2
t>"
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9 »
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27
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81 95
/ \ V - ,28/\i5 /\ V\ v y \ / \ X v \ /\
A A N A K \
v \ / \N \ / \ j/A /V V /
\ >^ \ / V /
/
f\- •' " ' — i 1
. -/N / \
• \
/73
P = 6.93 Tn./m2 = 2 C c o s í 0 = 2 Tn./m2 w
E = 5000 Tn / m 2
J6_* ELEMENTO
103 NUDO
•
/ 82
129
88 97 103
! § • /
/ -C. J5J
/ 153
/ 8 5
164 / ^
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/ 9 8 K ... _ „
•*•%
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Fi¿% 16 .- Malla de elementos finitos para el talud isorreeistente
24.0 6.74 8.46
l i l i I I I I I I 22 33
0 =30° C =2 Tn/m2
P= 6.93Tn/m2 = 2 C c o s j
o = 2 Tn/m4
E= 5000 Tn/m2
. l ü ELEMENTO
178 NUDO
133 148 163 171
Pig# 16 bis,- Malla de talud isorresistente empleada pare el control d© la precisión.
57.-
finitos el talud isorresistente que Sokolowski pone por ejemplo
(Ref. 26, pág.84), con ángulo de rozamiento interno de 30 grados,
cohesión 2 tn/ra y sobrecarga uniforme en coronación 2 o eos $/
/ (1 - sen 0), La densidad teórica de rotura total repentina es
$ * 2 tn/m . El terreno se ha supuesto elastoplástico perfecto,
y se ha tenido en cuenta la compatibilidad de deformaciones.
La J^g, 16 muestra la malla de elementos finitos empleada, cqm
probándose la flexib5Iidad do éstos oara adaptarse a un contorno
irregular. En la ?íg, 16 bis se reproduce el mismo talud con una
malla más fina que se ha utilizado como control de precisión calcu
lándolo en fase elástica5 las discrepancias obtenidas son menores
al 1 /t> en corrimientos, del 2% en tensJones verticales,y del 2 al 4$
en tensiones horizontales y forado de Testificación, errores admisji
bles para la finalidad'perseguida.
Se han repetido los cálculos para el mismo talud con dos coeficien
tes de Poisson distintos,de valores 0,2? y 0,333 lo que equivale su» t
coeficientes de empuje al reposo de K » 1/3 y K •» l/2 respectivamen v 0 0 *•*•
te. La influencia de estos factores en las zonas plastificadas y su
crecimiento es grande (Figs,l7 y 18)5 para un coeficiente de Poisson
bajo, la zona en estado de rotura se aleja bastante de la teórica de
Sokolowski penetrando hacia el intorior del terreno, nerc est" no es
de preocupar ya que para coeficientes análogos a los de los suelos
reales (m « 0,333) la forma de dicha zona se asemeja mucho a la teó
rica. La principal discrepancia está en la parte alta, que es donde
la malla de elementos finitos puede tener más error, con una disminu
ción de las tensiones, por reproducir la carga continua mediante —
fuerzas concentradas en los nodos que no inciden directamente sobre
los puntos en que se evalúan las tensiones.
En la -oarte superior de la Pig.13 se observa la concordancia ob
tenida entre las tensiones existentes a lo largo de la línea teórica
Zona plaetiíicada para cada ^
0.5
rrado do plastificación relativa para * crítica (5l-^3) - (Sj+S^ sen f
2 o ^oos 0 Línea de des l i zamien to se^ún Sokolowski
52*cr¡t
Pig# 17 •- Plastificación progresiva de un talud iaorresistente» Coeficiente de Poisson 1/3 K » 1/2 o>
Zona plastifioada para cada densidad S - S2 -(S +S2) sen 0
Plastificación relativa • con ¿cr í t ica 2 c eos
Línea de deslizamiento según Sokolowski
Ley de tensiones sobre la
línea teórica de desliza
miento par?, X crítica
Sokolowski. ^ún elementos finitos.
Fig. 18 ,- Plastificación progresiva de un talud isorresistente•Coeficiente de Poisson 0,25
KQ m 1/3
60.-
de deslizamiento, *que es bastante buena con•la salvedad indicada
de la parte alta; es interesante hacer notar que la concordancia se
da incluso con m • 0,25 •
En la Fig. 19 se muestra la red de isostáticas tanto en fase elás
tica como en rotura.
Como era de esperar la influencia del vértice del pie del talud
es muy grande, ya que crea una concentración de tensiones tal que
anticipa la iniciación de la plastifioacion a un valor del 54 % 3©
la densidad teórica. No obstante la sona plastificada crece muy ra_
pidamonte hacia arriba, manteniéndose muy negada al frente del ta
lud, confirmando cierto carácter de isorresistencia de éste.
De lo anterior se ^uede deducir que la forma teórica de talud
isorresistente es bastante correcta, siendo necesario modificarla
aumentando más su oendiente en coronación, y sobre €£>do sustituyen
do el punto singular del pie, que es el causante de que se inicie
prematuramente la rotura, por una superficie suave de transición
entre el talud y la línea horizontal. Con esta salvedad, y a faj.
ta de comprobación experimental puede aceptarse como suficiente
mente exacto el método de cálculo más sencillo de las caracteres
ticas, al menos para coeficientes de Poisson altos que son los -
usuales•
Las deformaciones, que como se sabe no podrían calcularse por
el método de las características, se han representado en la Fig.20.
La obtención de las deformaciones es útil desde el punto de vista
de investigación, para contrastar la bondad del modelo matemáti
co ideal empleado con mediciones sobre taludes reales, pues los
corrimientos r>ueden medirse directamente y con ma ror facilidad y
6t **•!•'
o t
* \J
-1 /4 . ' / J
Fase e lác t ica 0,54 o c r í t i o a
Con plas t ic idad c n t e n i á a 0,75 ¿ c r í t i c a
En rotura con o o r í t i c a
r
u * corr .hor izonta l
-0.21cm. 0.88cm.
v « co r r . ve r t i c a l
Pig. 20 #— Corrimientos en la superficie de un talud i s o r r o s i s t e n t e .
63.-
exactitud que las tensiones» Pero tiene más importancia desde el
punto de vista práctico para la vigilancia y control de presas o
taludes en general, lo cual es aún más necesario para el talus iso
rreslstente, que por definición tiene una rotura repentina sin ap£
ñas avisar y requiere afinar el cálculo de los componentes elásti
cos de deformación.
La deformada, de la superficie del talud-sigue una forma similar
a la elásioa de los taludes Díanost asiento menor en el vértice de
coronación que detrae do el, disminución del ángulo cóncavo del pie
del talud, y forma de oanza del frente con mayores corrimientos ho
rizontales en los dos tercios inferiores. En el caso de coeficiente
de Poisson menor, ló- icamente los asientos verticales son mayores,
y ñor liberarse menores tensiones horizontales ( menor K ) son me
ñores los corrimientos horizontales»
Talud en terreno con dilatancia prefijada
La forma más adecuada -oara estudiar la influencia de la dilatan .
cia del suelo ( variación relativa del volumen durante la rotura )
en el comportamiento de un talud es mediante un modelo matemático.
En efecto, en un modelo material resulta prácticamente imposible
reproducir do® materiales iguales en todas sus propiedad©© salvo
en la dilatancia, y ádeuiás en la realidad la variación del roda
miento y de la propia dilatancia con las deformaciones a lo largo
del ensayo, enra&seararía los resultados de éste»
Ése modelo matemático de terreno debe tener además de cohesión
y rozamiento un nuevo parámetro, la dilatancia " v B (ver Apéndi
ce A ), de modo que variando a voluntad sólo esta* últliaa sea posi
bl© abstraerse do las circunstancias y particularidades ou© alte
rarían los resultados, dejando desnuda exclusivamente la influen**
cia d© aquella.
Para el objeto deseado en este apartado, ©s suficiente, e inolu
so conveniente, el emplear un modelo de terreno no ri£idizable,con
» fi •» y « v w constantes en todo el proceso de carga« En cambio jjg,
ra reproducir mejor un suelo real y estudiar problemas prácticos
sería de desear que se tuviera en cuenta la variación de los para*
metros del suelo, como haoe Serrano para suelos plástico*«rígido«
(Bef# A*»36)| no obstante también podría emplearse ©1 mismo modelo
que en esta tisis, pues Iransby (Ref. A*4f pág#&.24) afirma que la
aproximación así obtenida comparada con ensayos en modelo reduci
do es aceptable, y desde luego mejor que si no se considerase la
dilatancia como es usual, teniendo por añadidura la ventaja de te
ner también en cuenta la fase elástiea y la compatibilidad de d©**
Zona plastifioada para cada X
]-0*crit
0.5
\ \ \ \ \ V
\
0.0
— — — Grado do "olasiificación relativa para
# crítica
ídem, en torreno con dilatancie v =* $ » 30°
Línea de deslizamiento según Sokolowski
• ^ \
52¿rcrit
v-^
ílg. 21 .• Plagtifioación progresiva de un talud isorresistente oon dil"tancia nula YH * 1/3 K » l/2 VJ1
$6^
formaciones.
Se. ha repetido el cálculo del mismo talud isorresistente (Hg»l6)
en el caso en que el ángulo de dilatancia sea positivo e igual al
de rodamiento v » 0 - 30* (modelo de terreno clásico, cuyos re
sultado» se expusieron en las Figs» 17 y 20 )* y en el ceso en que « # •
** la dilatancia sea nula v • 0 '(terreno sin potencial plástico)•
En el Apéndice B se reproducen parte dé loe resultados obteni
dos con el ordenador, que se condensan en las Figs# 21 y 22*
lógicamente se mantienen idénticos en la fase elástiea ya que
el criterio de rotura es siempre el de Moar-^Coulomb, y comienzan
a apreciarse diferencias sólo para densidades mayores al 80 $ de
la crítica, creciendo las desigualdades a medida que progresa la
rotura, pues lo que se ha cambiado han sido las relaciones tensión
deformación elastoplásticas*
lia dilatancia no influye practieaaente en la rotura del talud»
El tínico efecto es una ligera disminución de las tensiones hori
zontales ( del uno al diess por cien en las proximidades de la 1¿
ñas. de deslisamiento•para la carga de rotura )$ esto se Justifi
ca porque al no existir un incremento de volumen, el interior del
terreno está menos constreñido. Como consecuenoia de lo anterior,
el crecimiento de la aona plastifio&da es algo más rápido (hay ••
áreas que rompen con una carga del uno al cuatro por cien menor).
En las deformaciones la influencia es mayor, como era de esí>e
rar cuando la dilatancia es nula en ves de positiva, al no haber
aumento de volumen los asientos son mayores (del orden del 1 %
V 30* j v - 0
Corrimientos en fase e l á s t i ca 0,52 2T c r í t i c a
I
Corrimientos en plasticidad contenida 0,75 8" critica
Corrimientos para la car^a de rotura teórica
u = corr. horizontal
0.8¿cm. (0.88)
v • corr, vertical
3.90cm (3.71)
539 cm. (5.3¿)
¿.90 cm. (¿.80)
2.94 cm. (2.81)
0.8 7 cm.
Las cifras entre paréntesis
son corrimientos con v • p * 30 c
Fig. 22 .- Deformada de un talud isorresistente con dilatancia nula.
6B0«-
en coronación, alcanzando el 5*1 f; a media altura del talud) y
los corrimientos horizontales menores ( el 2 f> en el pie del ta
lud, el 4,5 í en coronación y llegan al 13,2 f! menores a media
altura del .frente ) ,
3e ha confirmado rigurosamente por lo tanto la idea intuiti
va de que la dilatancia no influye apenas en aquellos problemas
on que las condiciones de contorno vienen impuestas por tensio
nes (peso propio dol terreno en este cano), y sólo afecta de un
modo apreciable a los corrimientos. Es de esperar que por él con
trario sea decisiva en los casos cuyas condiciones de contorno
estén dadas en deformaciones, como oueden ser una zapata, un pJL
lote o un muro rígido.
6o • -
COHCLÜSIOÍÍES —«mw—iiinii i i un »•——•—
6»t# Resumen de conclusiones
Los resultados de la presente tesis som
Confirmación de la viabilidad práctica del cálculo de un aóli-*
do con sana» en plasticidad contenida» utiliasando distintos moda*
los matemáticos elastoplástioos y con un proceso de cargas prefija
do#
ReconfiriBaoidn del proceso de crecimiento de la ísona plastifb»
cada de un talud plano en un terreno coulombiano» comentando en el
pie del talud para acabar en la superficie de coronación» aunque -
con una carga mayor de la teórica*
Comprobación de que los taludes ortolistlníoos carecen de Intj©
vés práctico» pues aunque en caaos muy particulares sean mejor»»
que los taludes planos» no alcanzan la economía de loa isorresis-
tentes*
Comprobación de que la forma de talud isorrealatente deducida
por Sokolowski es relativamente correcta a efectos prácticos » al*
terándola poco la existencia de las componentes elásticas para coe,
fioientes de Poieson altos, que son los normales en los ©ueloa.Sin
embargo la presencia del vértice del pie del talud hao* que la xo~
tura no se inicie simultáneamente a la rotura total» sino bastan—
te antes,
, Obtención de las relaciones tensión deformación para suelos elas
topláetioos sin potencial plástico» con cohesión, rodamiento y di-
70.-
latancia prefijada constantes.
Comprobación rigurosa de que la dilatanoia no influye practica
mente en la estabilidad y en la plastificaoion progresiva de un ta
lud, aunque si en su oanpo de deformaciones.
6.2, Perspectivas futuras
Como continuación de esta tesis se carean 1-is siguientes líneas
como posible campo de investigación futura i
Empleo de modelos elastoplásticos más perfectos. Son de interés
el sólido coulombiano rigidiaable, con rozamiento y dilatanoia no
constante, siguiendo a Serrano (Ref, A-36), y también la Cam-Clay
modificada (apartado A -4,2.2., pág. A-30) que cierra la pirámide
exa^onal irregular de Mohr Coulomb con un elipsoide de revolución
creciente (Fig# A~16). Un campo muy necesitado de progresos, con
grandes dificultades teóricas y muy poco estudiado, es el de los
materiales rebl-indecibles o con "softening".
El modelo de terreno de dilatanoia prefijada constante, cuyas
leyes tensión deformación se han deducido anuí, presenta una mayor
conflabilidad para tratar problemas en los que las condiciones de
contorno se definan en corrimientos. Por ello sería interesante es,
tudiar la plantificación "ro/j esiva del terreno en el caso de es
tar sostenido por un muro rígido, sometido a empuje pasivo o a era
puje activo, y es de esmerar que la influencia de la dilatanoia sea
mayor en este caso ue no en el del talud; El caso de empuje activo
71.-
reviste más interés r>ara ser estudiado por este procedimiento na
temático, ya que existen dificultades para hacerlo con modelos re
ducidos, los cuales en cambio se han aplicado con cierta profusión
en la investigación sobre el empuje pasivo.
Comentario final
!3n los problemas reales de. la Mecánica de suelos intervienen
una multitud de factorest la anisotropía estructural o inducida,
la elasticidad no lineal, el proceso constructivo que gobierna la
trayectoria de tensiones, la plasticidad, con posibilidad de uh m
duracimiento (arcillas blandas) o por el contrario de un reblande
cimiento (arcillas -nreeonoolidadas), la dilatancia, las presiones
intersticiales, los efectos dinámicos, la viscosidad,.. De ellos
la plasticidad es sin duda uno de los mas importantes, motivo por
el que se ha intentado retratarla en esta tesis$ pero no hajr que
olvidar que cuando se crea una teoría, se contrasta con la reali
dad y resulta una alentadora coincidencia, el motivo no es sólo la
bondad de aquella, sino el que se compensen los errores de las mag
nitudes no tenidas en cuenta.
¿ Hasta que punto la elastoplasticidad, que es ya una aproxima
ción de segundo orden, puede ser suficiente a efectos prácticos ?
Resulta dificil contestar a esta pregunta categóricamente, pero es
indudable que con ella se ha dado un nuevo paso, se ha añadido un
nuevo término al desarrollo en serie de los conocimientos y oáleu
los del ingeniero, y si bien el método elastoplastico es aún ©mbrio
72.
nario BU apllca'bilidad práctica progresa, dando ya resultados no
solo oualitativos sino incluso cuantitativos.
Por último debe reconocerse lo modesto y minúsculo de la contri
bución de la presente tesis, a pesar de haberla realizado dentro -
de un cara x> do horizontes tan amplios como es la Mecánica de Sue
los, y haber vertido en ella ün aí&n de servicio y un empeño de
continuar en la tarea de la investigación.
Arrradecindanto
Deseo expresar mi agradecimiento a 7). José Antonio Jiménez Salas
por sus consejos y por la Dirección de esta tesis, a Alcibiades Serrano
por iniciarme en el sendero de la Plasticidad y darme fuerzas con el ejem
pío de su vocación, a Cesar Sagaseta y Enrique Castillo por su colabora
ción directa, en estrecha labor de equipo, en la realización del progra
ma de.cálculo electrónico, y a Carlos Iorente de Uo Cabezas por sus inte
resantes comentarios y orientaciones.
Apéndice A
P L A S T I C I D A D
APMDIGE A mmmmmmmmmmmmmmm %
PLASTICIDAD) « M M V M M M M N M W M
índice del Apéndice A - Plasticidad
Introducción.
Plasticidad*
Criterios de rotura*
4«1«~ Sólidos cohesivos.
4.2.- Solidos coa rozamiento*
4«2.1.~ Sólido ©lastoplástico perfecto»
4«2.2*- Sólido rigidizablc. "Oam Clay*.
4*3»- Sólidos sin potencial plástico.
Aplicación a la mecánica del suelo.
5#1.- Discusión.
5»2.- Relaciones increméntales tensión deformación
propuestas.
J.~
1.- INTRODUCCIÓN
El estudio del comportamiento de los suelos puede rea
lizarse por dos caminos. El primero de tipo experimental, obser
vando "in situ" y sobre todo en laboratorio su forma de reaccio
nar ante las fuerzas que se le aplican, y obteniendo una serie
de leyes empíricas. El segundo es más abstracto, asimilándole -
a unos modelos matemáticos; se realizan una hipótesis simplifi-
cativas y se elaboran a partir de ellas unos razonamientos has
ta atener unas leyes de comportamiento en función de unos para
metros característicos, y por aproximaciones sucesivas se modi
fican dichas hipótesis convenientemente de modo que las leyes -
finales concuerden lo mejor posible con la realidad experimental;
si bien es verdad que muchas de las simplificaciones o hipótesis
se aceptan, aunque nos alejen de la realidad, por evitar las ex
cesivas complicaciones que aparecen durante el desarrollo materna
tico.
Otros sólidos, fundamentalmente los metales, se lian -
tratado eficazmente por estos procedimientos, alcanzándose teo
rías muy consistentes, relativamente simples y manejables,univer
salmente aceptadas, y que realmente han dejado resuelto el pro
blema planteado. Sin embargo los suelos tienen un comportamiento
mucho más heterogéneo, disperso y enormemente más complejo.
A la importancia que en ellos adquieren la anisotropia,
los fenómenos plásticos aun a niveles de tensión muy bajos, la -
dilatancia, las deformaciones grandes y las diferidas, hay que
añadir el hecho de su carácter discontinuo, que conduce a un di£
tinto modo de reaccionar según el signo de las tensiones, y a una
taarla m i#imlE<aftiwt» aafla&tafearlai y a v«o$© aa ha trafea*»
fp IW^P^I* wpnWHPfc ^P^aiP ^ai^^P^iav^r^P^ __ iP^^PMP¿I W:^^'flWW(fP'W!^Pl ^W^P wi ^P^apaaUpi,W'iP*^ws^aP ^'<P*jP»P<ia «Wdp^MWKP wWwflK^^íP^jp ^ ^
atmfna oeao indioa Saott (Rafa -Jj ptlf* 13) «ll» *» ütif crl*
tlaaalat •Ai ti'viütittfcft «flM tafrlaa ra apandan «¿lo a un&a #mm>
«gr*# iadlvi ímlw, vMüftMfc» «t «a*» wa«i#l<a»« <te*«x*iq|
^NÉIÉ aH jSyil^yffll d^3f#3?WEt1^#0 Jf MÉlMiME' jjjaiiaiPillaaE l i l la l a a aafóa&KMi
ttnaionales r»ale« en el cwipa. pudiando incluflo &a i t f 4»**$
vioev©r»a) y no ©atar euíataa a alaguna de las consideraciones
taorieaa da tipo aaargítioo o similar.
Las aproximaciones aljafifa* de Bawaiitaag, y &a laa
. sistemas multieapa» y cuerpos ©r***ropGS> o la rlgidopláetioa
da la teoría de las oaraata&fatioaa da Sokolowekl, oada vaa «*
«la ei^#t«Éaa ykMeüPtt«ft«nH ia» na* aflaaa ayuda en muchoa
tanta! para #§&#& ya Ir acompañado» 4a loa eatudioa con mada~
loe •laatoplís'feieoa» Por ajamplo al oélculo elá^tioo de t*a-~
sionae vertioalaa ae baatwwate exaet*, pero no así el de la$ -
tensionao y corrlmltntoe horiaontalaa, detersjlaantaa *n el <*
problema dal talud. Hoy «e reconooe la importancia 4» las ra~
laoionea tanaicV-deformoion (üf« 1f p¿g* 798; Bef»A-j| S*ff&)
aw« «?lSa**ifc waaía fsamáa » a t a toy far 4iflítót*«at tea-
con al nao da loa ordaziadoraa) y por al probl iaa aik vivo da -
^PWÍWM- »fW"a^Fvpaa^^apc '^aaa^^ WTp^a^iiií*íWPfl^ awip^aaP'íPípi^^w ."flPhTPwa* ^FjwwiBHí^Pr^^<B«'^w^p#w(P'^r^^' pp- p ppt •pp'ftw * w s - w ü í m j w i f w ^ w B .^--
. Si* acafcarg© al aofuarao raalliado y laa anargiaa «g
plaadaa hoy, arrancando da laa taoriaa aJiotlxja y pl¿«tioa -
5.-
clásicas, comienza ya a dejar a estas atrás* A continuación se
resumen sin gran detalle dichas teorias clásicas, para poste*—
riormente discutir su validez y utilidad para la Mecánica del
Suelo» Por áltimo se detallan la© ecuaciones del modelo mateitéC
tico escogido para su utilización en esta tesis»
6.-
2.- ELASTICIDAD
Un sólido puede difinirse como elástico cuando en
un proceso de descarga recupera toda la deformación que tomó
durante su carga, mientras que su comportamiento será* plásti
co al conservar una deformación remanente (Fig. A-l y A-2 b)»
Bicha deformación total elástica puede ser instan
tánea o diferida, en cuyo caso se dice que el cuerpo posee ~
viscosidad (Fig. A~2).
Existe también la posibilidad de que la relación -
entre la tensión y la deformación sea constante (elasticidad
lineal o Bookiana; Fig. A-Ib) o por el contrario que varié -
aún dentro de la zona recuperable no plástica (rama OP de la
Fig. A-la). Esto suele ocurrir por ejemplo en las arcillas -
blandas (Kondner), o también al pasar de compresiones a tra^
clones. «
En el espacio de las tensiones efectivas (Fig. A-3)
con ejes cartesianos S ^ ex ; S « ey ; §2» ez
puede representarse el estado tensional y deformacional de un
punto del sólido, en la hipótesis de coincidencia de ejes de
los tensores de tensiones "s" y de deformaciones r,e", que se
relacionan por la ley de Hook generalizada.
Si » {%.) e3 i» j » 1, . . .,6
En ocasiones por conveniencia se designará S¿ con
dos subíndices.
v -y-v; Y V y » ( \,W'1 A *^f
Según la equivalencia ( ^ ) ( 4 o
"yy byz J " ¡ °2 °5 s„„ ) f s.
7.-
En el caso más general de anisotropia, al ser la MC. •* simétrica hay 21 parámetros independientes. En caso de
ortotropia se reducen a 9, para anisotropia radial (ver Apen
dice B, apartado 2-2) solo a 5, y en isotropia a 2. Estos ul
timos pueden ser el módulo de Young ME" y el coeficiente de
Poisson "m% o en su lugar el módulo de deformación volumé
trica "K" y el de deformación tangencial "G" definidos por
la relación.
"£= E &= E
3 (1-2LI ) 2(14*0
Estos parámetros suelen utilizarse al separar el -
tensor de tensiones MS.. n en vm. tensor hidrostático o esféri
co HG".
o.. .e= x J " e „ ^ x y a 1 1 ""'•" ' " •M»'"»""— ¡^X -n«i..«i. ,•• HI.MIM.1, i
y un t e n s o r d e s v i a d o r
Si =: S- - 1 S. . d-5 . (ÜAF= d e l t a de ICronecV.er)
Entonces l a l e y de fíook se descompone en
S, .= 3 l íe . . S»= 20 e*. n i i i i
la representación de estos tensores en el espacio
tensional de la Ilg. A-3 s© con-esponde con los vectores CP1
y F'F respectivamente. El plano perpendicular a la diagonal
principal por P* contendrá todos los puntos con igual tensión
hidrostatica.
las tensiones principales serán las tres raices de
x3 - I-, x2 + L x - L = 0
O»"*
Siendo W I * las invariantes del tensor de tensiones
totales*
xl " Bx * Sy * SÍ
X y y 2» 25 x
X'J *C Sjr S y S a
Tienen importancia prácticat como luego se vera% -
las invariantes del tensor desviador do tensiones*
jra - s ' x s , y * S f y s , « • s , « s , x
^ * s,z s v si* % £ ís i3 * s ¿ 3 * * j 3 i
Sobre todo tiene aplicación el segundo invariante,
cuyo valor es proporcional al área de loe tres eíreuloe de
Mehr § y <pt© tiene otra» expresiones equivalente»,
2/«
2 .
¿2"^ [<S1 - S2>2 * £%> - s 3> 2 * ÍS3 - %) 2 J
* I? ,r^. I[llt «. i
3 2
Cambien es de utilidad la representación axonome**-
trica* sobre el plano perpendicular a la diaconal principal
(Pig. A-5)# En el se proyectan loe tres ejes de tensiones -
forajando futre mi 120 gradea*
*j¡F# Ów
Bl ángulo "a1* de W eon OS^ viene definido por el
parámetro de !*©£•
2 s1 " s2 a s3
s 2 - S3
a » ^3 o también Co© 3a * 3 V¿ 3
y 91 radio P'P resulta ser PP« - Y i í ¡
Un ensayo triaxial de compresión S-j> Sg c S, viene
definido por a « 0« y otro triaxial de extensión SfSj¡, - S,
se defino por a * 60 •
10.-
3.- PLASTICIDAD » • • ! III III I I • — — I — — I —
La teoría plástica conprende los siguientes puntos
básicos (fíef. A46j Bef. 3 pa¿¿s. 29-35).
I2) Existe una función de las tensiones denominada fun
ción o criterio de rotura (Fi£. A-3)
f(Si)= K
noxinalsente expresada en función de Ins invariantes
del desviador.
f («Jpf <Tw = í£
los puntos interiores a ella
tienen un c oi¿ip o rt amento elástico, es dooirs, cu GUJ
macioii e° es re-cupe rabie.
Si las tensiones son tales que verifican e.l crite-
rio anterior, existirá una deformación plástica no recupeía-
ble (Fie* A-l a y A-2b).
e p ¿ o e = ee + e p
lío es pos ib le que sea f(Sj_)>i:
23) SI cuerpo es I só t ropo an tes y después de l a p l a s t i .
í ' icoción. Se supone l a coincidencia de e jes de lo s t ensores
de t ens iónQ incrementos de deformación (hipótesis de St. Venant).
l a an i so t rop ia en p l a s t i c idad es tá poco estudiada
(Eef. A-16 cap. XII; Hof. A-85 pég. 29)$ especialmente en l o
r e l a t i v o a sue los , motivo por lo que aquí no se t r a t a , pese
a reconocer su importancia r e a l .
11
TENSIÓN "S*
ROTURA
DEF. PLÁSTICA
[DOMINIO PLÁSTICO CON RIGIDIZ ACIÓN
ELÁSTICO
DEFORMACIÓN "•"
PLÁSTICO PERFECTO
Fig. A-1
DIFERIDA
INSTANTÁNEA
INSTANTÁNEA
DIFERIDA
TIEMPO"t"
i DEFORMACIÓN
DIFERIDO
ELÁSTICA
Y PLÁSTICA
INSTANTÁNEA
ELÁSTICA INSTANTÁNEA «9-
ELÁSTICA DIFERIDA t # ( J
PLÁSTICA»REMANENTE t p
TIEMPO't"
12.-
32) Supone Drueker que durante la carga (Bef. A- 5 pág.
244 Kef. A-^pág. 144) se cumple.
ds.- de. > o 1 1
y en un ciclo completo (postulado del trabajo plás
tico máximo)
ds^ • (de^ - de?) >. o
El si¿£ao igual corresponde a la fase elástica, y el
mayor a la plástica»
Be ahí se deduce
d • dQ? ^0
que se denomina condición de estabilidad. Su interpretación -
es que al existir deformación j>lástiea hay un trabajo plásti
co no recuperablet la energía empleada la absorbe el cuerpo
pudiendo cambiar sus propiedades, rigidizándose o endurecien
dose; tal es el caso del estirado en frió del acero, o de la
preconsolidación de las arcillas.
Por el contrario aquellos materiales "reblandecióles"
("softenin^" en oposición a "Iiardening"), con resistencia re
sidual, que no cumplen la condición anterior, no son "establos";
durante un proceso de carga en ellos no es posible alcansar -
el equilibrio una vez sobrepasada la resistencia de pico.
De la anterior hipótesis se deduce la convexidad de
la superficie de rotura (Rof. A-43 pág. 147)»
42) En los materiales rigidizables (Kef. A-t6 pá&. 26)
la función de rotura se expande sin cambiar de forma, homote-
ticamente, en función del frábájo plástico realizado (Fig* A-1a).
X3» —
f (S, ) = K(V/ ) V7 = /S. • de? i p' p y i i
Cuando dCT • de? = o el incremento de tensión se de-i
nomina "neutro"; (fíef. A-16 par. 33) pues no desarrolla traba
jo plástico, nnnteniendose a lo largo de la superficie, cri
terio de plastificación?que en ese momento no se expande.
Se entiende por cuerpo plástico perfecto aquel que
carece de endurecimiento (Fig» A-1 b), la superficie de rotu
ra es constante
f (S±) = K / K (?/p)
y al llegar a ella las deformaciones crecen indefi
nidamente, salvo si el contorno las detiene»
5S) En la descarga: ds.-d„. < o
el comportamiento es elástico { Fig. A-1 a }
Se supone que no hay ciclos de liisteresis
En la teoria clásica de metales se hacen también -
las dos hipótesis siguientes, no validas para suelos»
62) Una tensión hidrostática no influye en el criterio
de plasticidad, es decir, éste será del tipo indicado antes»
f ( J2, J3) .= K
y no del tipo
f (I1f J2, J3) *= K
En el primer caso la superficie de rotura es cilin
drica, y.el cuerpo carece de rozamiento. Basándose en la regla
14.-
de la normalidad que posteriormente se define, se demuestra
que la deformación volumétrica plástica es nula siempre -
(Reí. A-46j)ág, 26 y 50).
deP^ = o
mientras que en los cuerpos con rozamiento es siempre posi
tiva (Hef. A-$5 pá¿> 15)
7e) No existe efecto Bauschin£erf confortándose el cuer ^ ~ ****
po igual a tracción que a compresión.
Por último, el resultado más interesante de toda -
esta teoria es la "regla del flujo plástico", es decir la ob
tención áe la relación tensión - deformación.
SQ) El incremento de las deformaciones plásticas es fun
ción lineal del incremento de tensiones. La relación entre -
ambas, puede expresarse como producto de una constante posi
tiva de proporcionalidad, por las derivadas parciales respe£
to de las tensiones de otra función escalar •>*£* denominada ~
función potencial plástico.
de^ = h-fe ' • df h > o i ds
i Suponiendo la coincidencia del potencial plástico
y el criterio de rotura, f = g (Ref. A-j6 pág» 50) se llega a
If dfiP=h §f df
i y en los cuerpos perfectamente plásticos, en que df^ o
d e P , ^ dsT
Esta ley fue tomada como hipótesis por Von Lases
1 5 —
(Ref. A-16 pá&. 34; Kef. A-55 pág. 19), pero puede demostrar
se a partir de los postulados de Drucker (Ref. A-J3 P&g. 146).
Praguer le dio la interpretación geométrica de la "normalidad";
el vector de flujo plástico es perpendicular a la función de
rotura, y dicha perpendicularidad no sólo se cumple en el es-
X>aeio de las tensiones (Fig. A-3)f sino también en el plano
triaxial,de ejes.
P = S1 4» S2 q - S1 - S2 2 g
Para aquellos casos en que el criterio de plastlfi
cación ten&a lineas angulosas (criterios de Tresca y Hohr Cou
lomb por ejemplo) existe una generalización debida a Koiter
(Kef, A-13 pág. 145» Bef. A-Q$ pag. 39) que indica que el vector
de deforim clones plásticas está comprendido entre las normales.
*Q*-\i 4 ÍL .+ . • • *x 1 &CJ . Ct
9g) Está demostrada la unicidad de la solución (Hef.
A-46 cap. III; Hef. A-.2S5pá¿> 435 Ref. A—i$)en la hipótesis de
coincidencia de las funciones potencial y de rotura.
/ 16
S|
'« I
SUPERFICIE -DE ROTURA
. *> . * > '
7^
S s2
e2
Fig. A -3
3 • S t n . *
VARIACIÓN DEL PLANO
S2 • m ^7" Sx= m { Sx • Sy )
C03 9 = VT /
Cotg. {90°-0)rVT
Fig. A-¿
m = 0
S 2 = S 3
COMPRESIÓN
EXTENSIÓN
- S 2 * S 3
Fig. A-5 Proyección en plano S 1 * s 2 * s 3 = c t e
17*«»
4 # ~ CHIÍDEBIOS DE R03?ÜR4
4«1* Sólidos Cokeaivoa»~
Alguno© criterio© s<5lo tienen interéa histórico* $®lee
eon el de RankiEe, el de Saint Venant y el de la energía de d e
formación elástica»
El de Baaldjre o de la teñe ion principal máxima se prgt
santa por tan cubo en el espacio de las teneionea principales*, y
por un cuadrado (Fig* A**6) en el plano S^ Sg (tensión plana)» Solo
tiene utilidad en fractura de cristales. Su ecuación «es
I- * S< • Uo • S3 •= IC
11 de Saint Venant de la deformación elástica máxima
ee define por
E-e-j .« 3^ - m (S2 4» Sj) » S rotura
Se representa por un romboedro y ©u sección M un ro¡|
oo (Fig* A~6) en el plano S1 Sg y un triangulo equilátero en el
plano *$£ nonaal a la diagonal del primer octai*te# la fonaa del
romboedro depende del coeficiente de Polseon.
El criterio energético ee define por 2 2 2
Consistente en un elipsoide de revolución* que ©e co||
vierte en esfera o cilindro» eegán el coeficiente de Poieson sea
nulo o un medio*
Mucho isa© interás tiene el de gresca* o de la tensión
tangencial máxima*
18.-
cuya expresión completa es
( (S 1 -S 3 ) 2 ~ 4K2)'C(S1-S2)2 - 4ÍC2)((S2-S3) 4IC2) « 0
o en l a forioa dada por ueuss (fíef • A-g8 pág, 23)
4 J^ ~ 27 J 2 - 36 K2 j | 4- S6 K4 <T2 - 64 K6= 0
Su represen tac ión es LUÍ prisma hexagonal, con sección
r ec ta un hexágono r e g u l a r (Fi£# A-7) y para t ens ión plana un -
hexágono i r r e g u l a r (Fig» A-6)#
La re&la del f lu jo p l á s t i c o , aplicando l a recia, de «-
Koi te r es (ífef. A-43 pág. 146)
d e j = 0 d e | « 1 d e 3 « - 1
19
s ENERGÍA ELÁSTICA
SAINT VENANT
Fig. A - 6
s2 =s 3
VON MISES
TRESCA
MOHR COULOMB
S | = S2
Fig. A - 7
4&V + &
El c r i t e r i o más aproximado a l comportamiento de los
mótales es e l de Von Iliseg
que se representa por un cilindro de sección recta
circular (Fig. A-7) y de sección por el plano S S una elip-1 2
se (Fig. Á-6).
3u significado físico es el de la energía de distox
sión elástica máxima, y también, como indica Nadal, la tensión
tangencial octaédrica máxima (Bef. A-46 pá¿> 20)
Al tratarse un probleíaa de uefomaeion plana, se cor
ta el cilindro por el plano
O- ~ III o .* • úrj/
y se obtiene la elipse
(S1 - S 2 )2 (l-ii-ka2) + (1 - 2m) 2 S1 S2 = 3 E
2
En el caso particular de sólido incompresible m == 0,5
se obtiene la coincidencia con el criterio de Tresca (rectas de
tangencia del prisma exagonal y su cilindro .inscrito). Ctro caso
particular para el que coinciden Tresca y Yon I.iises en deforma
ción plana es para los plásticos rígidos (Bef. A-£8 pá¿;. 12C |Ref
A-16 pág. 130),
La regla del flujo, denominada en este caco de Prandt-
fíeuss, se reduce a
d ef - X . ü» ±
21 factor de proporcionalidad "i" puede eliminarse
para los cuerpos rigidoplásticos utilizando la función de rotíi-
ra (Reí. A-29 pá¿> 16) y para un cuerpo elaatopláctico general,
utilizando el incremento de trabajo Md.7H (Hef, A-28 -gág. 29), que
dando d s,- K 2 G ( d e, - dVV Si )
21.-
4.2# Sólidos con rozamiento
4.<.1* Solido elástoplastico perfecto
En muchos materiales, y en especial los suelos, el unto de rotura
es función de la tención esférica a que estén sometidos, es decir el criterio
de rotura depende del primer invariante de las tensiones
f(l1f J2, J3) - K
El más anticuo, y sin embargo, aún el más en uso, es el do Mohr -
Coulomb» definido oor la ecuación.
q s F (p) siendo
1 3 1 3 p « q
c c.
El caso más sim~le será el de una recta, que pasará por el origen
si no existe cohesión ( Fig. A-8 b)
q » -p sen 0 + Ccos 0 = -p t&f + Ccos 0
que puede escribirse también de los tres modos siguientes
— sen 0 + •' « Ccos $
S ( 1 + sen 0) « 2 Ccos 0 + (1 - sen 0) S.
J ( 4 2 ; ( 4 2 )
Realmente el criterio completo es el producto de seis planos añálo
gos al anterior, según Shiold ( Hef. A-40 ).
jT(S1-^2)2-. (2 Ccos 0 + (S^Sg) sen 0) jf . JO^-S^ 2-
- (2 Coos 0 + (S2+Sj sen 0)2 . j (Sy-S^2- (2 Ceoa 0 + (S^+Sj) sen 0)2i - 0
22.
Los parámetros "c" (cohesión) y n0n (rozamiento) no son realmente
constantes para un suelo, sino que dependen del índice de tjoros, de la hume
dad, y del ensayo que se efectúe (Ref. A-43 pág.270) entre otras cosas.
Esta función "F% verdadero criterio de rotura y potencial plásti
co, cuando se trabaja en el plano de Hohr no suele usarse, (:íef, A-16 pá;;.?95>
Ref. A-26; Ref. A-43 pág. 267), sino que se utiliza en su lugar la envolvente
"f* do los círculos de Mohr (Fig. A-8) que cumple la relación
sen 0 - tg f
y que no es la función potencial, ni cumple lógicamente la ley de
la normalidad (3ef. A-26 pá¿r. 309),
En el caso más general de que la ley q « P(p) no sea rectilínea,
puede darse el hecho de Y > 456 y ©1 círculo de í-ohr no llega a ser tangente
a la envolvente (Fie» A-8 a). Entonces la ecuación diferencial hiperbólica que
gobernaría el comoortamiento de un sólido plástico rígido se convierte en elijo»
,tioa (Hef. A-16 pás# 296 y 3015 Ref. A-28 pá~. 164).
También ocurre que si la verdadera función ootencial "F" tuviera
puntos angulosos, la envolvente "*£* sería discontinua (Ref. A-26 pá{j 310) (Ver
Fig. A-8 c).
Las ecuaciones anteriores en el espacio de tensiones se representan
por una piraniide exagonal (Hef. A-40 pág.n) de sección recta un exágono no re
gular (Fig. A-7) y do sección por el plano S S ? otro exágono (?ig. A-10)(ten
sión plan--) •
En la figura 4 se observan los ángulos que forman con la diaconal
orincinal las aristas do un ensayo de com >resión en un anarato triaxial 3 >S0=S.
y otro de extensión S<S 0*S^.
23
f DISCONTINUA
Fig. A-8
f ENVOLVENTE
S2 = S 3
S, =S 3
c : ~ A _ o
24.-
Es de observar que cuando 0 » 0 el criterio coincide con el de Tres
ca, y la sección recta tiende a ser un exágono regular. Cuando 0 » 90» la sec
ción tiende a ser un triángulo equilátero (Fig. A-9) y la pirámide, con cohesión
nula, coincide con el primer ociante*
La ley del flujo se convierte en (Ref. .A-40 pág«13)
de? « (1 + sen 0}\
ae0 • 0
de^ = (-1 + nen 0) \
y en una arista de la oirámide, por la generalización de Koiter
(Hef. A-18 pfe.60)
de^ = (1 + sen 0) (}+/<•)
de5 «/* (-1 + sen 0)
de* s X (-1 + sen j )
2s de £ran importancia el que el incremento plástico de volumen es
positivo.
e » e.. » 2 #^# sen $
Otros criterios con rozamiento son las generalizaciones de loo de
Trenca y Vori risos, conduciendo a Pirámides de sección exágono regular y circun^
ferencia, respectivamente.
la generalización realizado por Druoker del criterio de Tresca(Bef.
A-8 pdg. 218) es la siguiente,
a ( sen 0) (3i-S3) + ( S1 + S2 + S 3 ) . K
K « función de la cohesión "o"
a » función de M sen 0 "
Druoker proponet
•a * a o n ^ K - ? c eos jjf r
3 + sen 0 3 + sen 0
25.-
El exágono regular de 'Presea queda así inscrito al exágono irreQ¿
lar de Coulomb (Fie?, A-11)
3n este caso la intersección de la pirámide con el plano S 3- di
fiere del de la Fi^. A-6, convirtiéndose en el de la Fig. A-10
La ley del flujo se convierte en un vector
3 ( 1 + son 0)\ 2 sen 0 5 - (3 - sen 0)
La generalización del criterio de Von !"ises debida a Drucker yv ?ra
ger ( Ref. A-?9 pág. 15^}-
a I. + yj_ s K
En deformación plana la elipse se desplana respecto la correspondiejn
te al caso sin rozamiento de la Fi£, A-6* (ver Fig. A-10)
La ley tensión deformación, denominada de Drucker y Praguer,queda
l O. .
e?.« A (a . d. . + y
Drucker y Praguer determinan los parámetros "a" y "K" obligando a
quo al particularizar para un caso de deformación plana coincida con el crite
rio de Mohr Coulomb,
tg 0 3o
) 9 + 12 tg $2f Y^ + 12 *S 0
o lo que es equivalente
P 3en 0 Y 3 c eos 0 3 a w ' ' ' ' • a $ K » — "• m
3 + Sen^ 0 Y3 + s©n ~~f
La condición de deformación Diana geométricamente se expresa como
intersección del cono, con dos alanos determinados por la ecuación (Fig, A—1l)
p " „ 3 3 - o s ' = - 2 a y j 2
dentro de la hipótesis de plástico rígido.
26
MOHR COULOMB
VON MISES
TRESCA
Fig. A-10
MOHR COULOMB
GENERALIZACIONES VON MISES ^
GENERALIZACIÓN VON MISES —
DE DRUCKER
MOHR COULOMB
GENERALIZACIÓN TRESCA
COLEMAN
27.-
Itomos comprobado que esto equivale a obligar a que el cono sea ins
crito a la pirámide exagonal de ííohr Coulomb. Por este motivo esta particulari-
aacián resulta muy criticable, ya que concuerda muy mal con los resultados ex
perimentales. 3in embargo es la que varios autores, como Seyes y Zienkievrics -
prefieren utilizar (Refte. B-41 y 3-53).
Más lógica es la elección de los parámetros "a" y "K" obligando a
que cono y -iramide tengan el mismo vórtice, y a que la circunferencia oase por
los vértices del exágono (?ig# 11).
Este procedimiento lo emplea por ejemplo Olszak (ñef. A-25 p%.155)»
Bishop (Ref. A-2 pág. 101) y la mayoria de los autores.
Las dos rosibi&idades según el radio de la circunferencia cea
2 \6 . c . eos $
3 +, sen 0
conduce a los parámetros
2 . sen 0 TT 2o eos #
(3 + sen fl) )1 (3 ¿ sen 0 ) / 3
De ellos suele tomarse el signo "menos" (circulo circunscrito).
A fin de adoptar el criterio de Mohr Coulomb a los resultados de la
experimentación existente en suelos, se han propuesto numerosas generalizaciones,
introduciendo la mayoria do ellas la influencia de la tensión intermedia "S2".
Sin apoyo experimental ni teórico Dahl y Voight (líef. A-6) proponen
una generalización anisotróüica del criterio de üohr Coulomb con cinco paráme
tros en vez de dos.
V (a S x - b S y )2 • 4 . S ^ • c . S x • d . Sy - 4f
Más rigurosa e intuitiva es la teoría propuesta ñor Baker y Krizek
(Ref# A-1) para suelos anisotrópicos transversales, que incluyen cuatro para-
0o
metros " C . % " C nt"0 . " y w 0 % asociados con dos secciones o lanas
min ' max * r m m " .max '
"orincipales" del sólido, perpendiculares entre sí. Para otra sección se obtie
ne su cohesión y rozamiento mediante cierta ley, por ejemplo de tipo senoidal.
Las dos rectas usuales de resistencia intrínseca las sustituyen por
una superficie de coordenadas polares, de modo que queda un cono de sección cir
cular para los suelos isótropos, y de sección de huso para los anisótropos.
Suponen que la tensión principal intermedia cae en el plano -orine i_
nal menor, y no influye en la rotura.
Deducen que la orientación del plano de rotura depende de la de las
tensiones principales si el suelo tiene c « 0, ó » Oj y si se trata de un sae
lo general (c/¿0, 0 / o ) dicha orientación depende también de la magnitud de
la menor tensión principal. Confirma ademas la existencia de una o más aonas a
través de las cuales no pueden presentarse los planos de rotura, para suelos —
marcadamente anisótropos.
Coleman (Bef. A-5) introduce el efecto de la tensión intermedia,
buscando la expresión más simóle de los invariantes de tensiones que pase por
los 6 vértices del exágono de Coulomb (Fig. A-12)
tiene ol defecto de no resultar convexa, y nor lo tanto no cumplí
rá la condición de estábilidad de Brucker.
Lanize establece la relación (fief. A-21)
— ) « cte. í¡ h
?9.-
donde "m" lo deduce de sus experimentos (entre 0,1? y 1,73)y y gue
para "m=0" coincide con la generalización de Von Mises.
Malyshev basándose en el hecho de que las lineas de rotura no son
rectas limpias, sino quebradas con una dispersión de un ángulo "d" respecto al
plano medio, nropone la ley (Ref. A-2?)
i, j - 1, 2, 3
donde "A. ." son funciones definidas de " 0 " y "d". Para *'d=0" ooin
cide con Mohr- Coulomb.
Drucker ha propuesto la modificación de las generalizaciones de
Tresca y Von Mises a base de cortar el cono y la oirámide por los alanos ooqr
denados de i\odo que el sólido no resista tracciones (&ef# A-8'pág. ?18); asi
como también limitar la compresión máxima, de modo que el cono se cierre con
un casquete esférico (Hef, A-10 pág. 343).
30.-
4.2.2. Solidos rigidizables con rozamientos.-» "Cam Clay".
Se conoce desde hace tiempo el fenómeno de la consolidación de los
suelos arcillosos, y que es en realidad un proceso do rigidización, análogo al
estirado en frió de los aceros.
Shield propuso (2ef. A-18) como criterio de rotura la pirámide exa_
gonal de Mohr-Couloníb cortada por una base plana, admitiendo una expansión de
dicha función de rotura manteniendo el ángulo " 0 " y creciendo la cohesión " c
y alejándose a la vez la base plana (Fíg* A-13)
Anteriormente había propuesto Drucker (3ef. A-10), el rematar el
cono de Von Mises por un casquete esférico en lugar de con una base plana, y
expandiendo la función de rotura a base de alargar el cono alejando el casque
te esférico, pero manteniendo " c " y " 0 " constantes (Fig. A.-14).
Estas primeras sugerencias han sido muy elaboradas y perfecciona
das en Cambridge por Roscoe y sus colaboradores, que han croado un modelo mate
mático de suelo conocido con el nombre de Cam Clafyt contrastándolo y apoyándo
lo con una extensa y refinada experimentación con arcille normalmente consoli
dada y ligeramente preconsolidada.
Admiten la existencia de potencial plástico y su coincidencia con
la función de rotura+ y por lo tanto la regla de la normalidad.
Como criterio de rotura aceitan el de Von líises (Hef. A-32 pág.566"
y 606), (aunque primitivamente escogieran el de Von Mises generalizado, Hef.A-31
pág. 214). 131 casquete esférico de Drucker lo sustituyen por otra superficie que
también es convexa y expande con el trabajo plástico realizado.
El estado del suelo se puede representar por un ounto en el diagra
ma p - q - e
e » índice de poros
p m presión media » (S + S„ + S-)/ 3
31
s3*
S,/2~"s S 2 / 2 ~
Fig. A-13 Fig. A-1A
q= Mp
PARED ELÁSTICA
LINEA DE DESCARGA
Fig. A-15
12 #**
q m desviad©* • S * ~ S»
n * p / a.
Bl suelo so defino tan sólo por tros parámetros M - L - K 6 «©ají
M « ponáionto do la reota do resistencia intj*í»o«oa*«i-# i t «
3-*em #
L * índice do compresión do la arcilla
le « índice do entumecimiento
Las trayectorias do en ensayo triaxial están en una superficie de
nominada do " frontera " do los estados ' posibles t por encima do la cual no
puedo existir un estado real. Dicha superficie queda limitada por la,linea do
estado orítioo ( flg* A-43) que SO proyecta en el plano p - q en la reota do %
aistenoia intrínsooa q • K p
Las ecuaciones de consolidación do Terzagbi
* o <* OL *» i wa
quedan proyectadas en el plano n o - log P " os decir, en el plano * q * Q %
por un ha» do rectas paralólas* De olla» la más alejada del origen corresponde
a la consolidación virgen iaotrópica que es la intersección del plano q * 0 con
la superficie de frontera. La más próxima al origen es la proyección de la linea
do estado orítioo» y las intermedias corresponden a consolidaciones anisotrópi
cas, en quo el aumento de tensiones principales se hace en una relación fija -
n n » OtO .%'-•: 'v'J:-\:cV:- ' • '.•••.•*'•'
La linea do descarga
representa las deformaciones " e H elásticas o recuperables, y con ella se lle
ga a los pimtos interiores quo corresponden a estados preoonsolidados.
Cuando la "Casi Clay" ha aloanzado una presión máxima " p n en su
historia la linea do estado critico fO se completa con la AF (proyectados on P*0
y A'lTon ol plano p - q) (Fig. A^l5)#Con una mayor consolidación se pasa a la
CEfS (proyootado on C*E*F*0 quo o» hoaotétioa do ía anterior) (Ref. A*»32 péf»
33.-
Esta nueva linea de estado crítico, que en el espacio dé ejes
S - S - S cierra la pirámide de Mohr Coulomb, tiene por ecuación (obteni
da por consideraciones energéticas, Ref. A-34)i
Po
n a p/q m M log e p
y su forma es apuntada, con un -Tanto singular anguloso en el eje (Pir;.A-~'í3
punto A*).
Posteriormente se ha desarrollado la "Cam Clay modificada" en
que se sustituye la anterior superficie por un elipsoide de revolución (3?i£.
A-16) de ecuación (Ref. A-32 pág. 549)
..2
- " ~15 >T
Pe K"+ n
que concuerda mejor con la experimentación. Para ello Burland ha sustituido
la expresión de la energía d ¥p » S. de.
i 1
por
d' }r o y(de1+ de2+ de^) + -^— (2 de1 - de? - de,)
Por último se ha reformado el modelo en la "Caín Clay modificada y
revisada" , Si motivo de ello es que la experimentación muestra (Ref. A-32 pág.
550) que efectivamente existe la anterior ñinción de rotura para deformaciones
volumétricas, pero no en lo relativo a las distorsiones, pues mucho antes de
alcanzarse el estado crítico, siendo todas las deformaciones volumétricas ecu^
perables, aparecen ya deformaciones angulares plásticas.
Para solucionarlo se ha añadido una nueva linea de rotura, que pa
ra que cumpla también la ley de la normalidad debe ser paralela al eje "PM(Pi.:%
A-17), y que es asimismo rigidizable. Para trayectorias tales como la BD exis
te una rigidización del segmento CE hacia el C'E'que como máximo llegaría al
punto F, y sólo se oroduce distorsión plástica (que puede calcularse en función
de la oendiente " n " d© OC), Una trayectoria como la BG producirla una ri^idi—
3¿
TRIAXIAL
DEFORMACIÓN PLANA
S 2 * S3
Fig. A-16 PRISMA DE MOHR COULOMB CON ELIPSOIDE DE LA CAM CLAY MODIFICADA
P - * — « • A' A
Fig. A-17
sx* sy . p 2 " r
/ /
/ i MOHR COULOMB DEFORMACIÓN PLANA t
1
INTERVALO
VALIDEZ
PLANO_S|05(S^Sy)
o J - S t n . 4 Ir c . 5 f 5 'sx*Sy)
V 2(1*Sen.<f),S* V
Fig. A-19
3f*~
zación según la Cam Clay modificada, hasta la linea A*C"E V ©on deformaciones
plásticas volumétricas y angulares que pueden calcularse según dicha teoría*
Si la trayectoria pasa por w C % punto singular de Editar, y está dirigida sas
tre las normales a las dos ramas de la función de rotura, se produce vm .*ÍQj¿-
dezación doble hacia A*HJ y los incrementos da deformación plástica son combi
nación de los anteriores*
El problema de deformación plana ha sido estudiado también por
Rosco*y Burland particularisando las relacionas increméntales tensión dsfoj*
maoión para esté caso en la hipótesis de plástico rígido (deformación elást¿
oa nula, k « 0 ). La linea crítica es una elipse, intersección del elipsoide
con un plano conjugado con la dirección del corrimiento impedido (fig# A-1#)j
dicha elipse en @snéral no pasaré por el vértice del elipsoide y ;en general
en un terreno real en estado de deformación Blana no se puede al cansar la con
dición de consolidación ieotrópica*
36*-
4.3. Sólidos sin potencial plástico
Los criterios anteriormente expuestos fallan al contrastarlos &x$&
rimentalmente, esencialmente debido a que la dilatancia o incremento de volúiaen
relativo es en la realidad menor a la predioha. Para solventar este inconveniej^
te hay dos posibilidades! una os modificar los criterios dé rotura conservando
la teoría plástica como se expuso anteriormente, y uno de sus frutos fué la Cam-
Clay de Roscoe y sus colaboradores. La otra es mantener Mohr Coulomb u otro crj^
terio y romper con las hipótesis hechas| ello implica rechazar la ley de la noj*
malidad que era una consecuencia lógica del oriterio de estabilidad de Drucker
(pág.12), pero se recuerda que Handel demostró (Ref. A-23) que dicho criterio es
suficiente pero no necesario para materiales con rozamiento.
Dentro de esta segunda posibilidad Haythomwaite (Ref. A-14), Geniev,
Shunsuke Takagi (Ref. A-41), Josseling de Jong (Ref. A-19) y Mandl y Fernandas
Luque (Ref. A-24) rompen la hipótesis de Saint Venant de coincidencia de ©jes de
los elipsoides de tensiones e incrementos de deformaciones( denominada "isotropia**,
aunque Mandl afirma que la no coaxilidad es compatible con el verdadero concepto
físico de isotropía). Según los últimos autores en un terreno granular no_ dilatan
te en deformación plana el ángulo entre ambos elipsoides es +, 0 / 2 fy de las os
racterístioas de velocidades una coincide con la de tensiones y la otra m$ según
Josseling de Jong el ángulo entre ©lipsoidespuede tomar cualquier valor interme—
dio 9 ¿ ^ / 2 y coinciden ambas características»
Otro camino es abandonar directamente la regla de la normalidad y la
sufosición de la existencia de un potencial plástico, punto que según Scott (Ref.
A-35 ]?%• 16) no está claro aún. Geiringer (1.930) afirma qud el plano de rotura
no es aquel en que la movilización de M # w sea máxima, sino el plano en que exig
te discontinuidad de deformaciones, como es lógico, y este plano se demuestra que
coincide con una línea de extensión cero y con una característica del campo de vj»
37.*
locidades. Shield (1.953, Ref. A-38) extendió la teoría a un material con roza
miento n 0 " obteniendo sus ecuaciones diferenciales, suponiendo que dichas ca
racterísticas de velocidades coincidían con las de tensiones, según indica el
criterio de Mohr Coulomb,
Bent Hansen (1.958» Ref. A-15) da un paco más, faltando ya a la ley
de la normalidadt señaló que en principio no tienen por que coincidir ambas fam¿
lias de características, lo cual conduce en definitiva a que el ángulo de dilatan
cía w v * sea diferente del ángulo de rozamiento interno " 0 ". Los planos de ro
tura formarán con las direcciones principales de deformación un ángulo de 45VJL v/2
en lugar de formar 45fiJ; $/2 con las tensiones principales.
Pariseau (1.966, Ref. A-26) vuelve sobre el tema, recalca el signifi
cado de dilatancia del ángulo " v n y expresa las relaciones tensión-deformación
en dos dimensiones para este tipo de material plástico—rígido de v=/ $,
Bransby (Ref. A-4) es el primero en aplicar este raddelo matemática de
terreno plástico rígido de rozamiento M $ M constante y dilatancia H v n también
constante, mediante la teoría de las líneas características. Contrastando los re
sultados con ensayos en modelo reducido, llega a la conclusión de que los campos
de veloáidades obtenidos no concuerdan en detalle con la solución exacta, en pri_
mer lugar porque no ha considerado las ecuaciones de equilibrio, y en segundo lu
gar t>orque en el modelo reducido " $ M y " v M son variables} no obstante hay un
acuerdo cualitativo notable, en especial en lo relativo a las deformaciones, y me
ñor en lo relativo a tensiones.
A, Serrano, con la colaboración de J. Martínez,ha desarrollado una gg
neralizaoión del método de oálculo de las características en que tiene en cuenta
la compatibilidad de deformaciones mediante las ecuaciones del campo de veloci
dades, y el equilibrio gracias a Lis ecuaciones del canrao de tensiones. Además con
sidera variable M 0 " y " v " según leyes obtenidas experimentalmente. Este méto
do puede definirse como el óptimo o más perfecto dentro de las hipótesis establecí
38
5. APLICACIÓN A LA MECÁNICA DEL SUELO ——«—— ni • » « • » — » — — — • » » — W i i M in •mm—mmmimmmmtmmmm
5.1# Discusión
Los criterios de plasticidad se crearon en principio para materia
les diferentes de los suelos, y poco a poco se van adaptando a éstos, Be los
criterios clásicos el que más se asemeja a la realidad es la pirámide exago-
nal irregular de Mohr Coulomb*
Los criterios de Tresca y ?on Sises generalizados oon rozamiento
tienen una contradicción teórica señalada por Bishop(Ref, A-í? y A-3), y es que
para 0 « 36,9C ©1 cono correspondiente es tangente a los tres planos coordena
dos, y para valores mayores de " 0 " existirían zonas elásticas sin rotura es
tando el sólido traccionado, lo cual no tiene posibilidad física en un material
granular.
Este defecto teórico no se da en Mohr Coulomb, pues al tender M j# w
a 90° el prisma hexagonal llega a aoinoidir con el triedro de ej©s(Fig, A-9),
Además de ello la experimentación acumulada, tanto en arcillas como en arenas,
indica una sección recta de la función dé rotura del aire de la ley de Lomize
(Fig, A—12) que se parece esencialmente más a Mohr Coulomb que al circulo de
Von Mises, aunque denota una pequeña influencia de la tensión principal inter
media (Eef, A-35)»
51 único gran defecto de Mohr Coulomb es por tanto que predice una
dilatancia excesiva, obligando a que el plano de rotura sea una característica
de tensiones (Ref, A-33, pág. 165).
Ello se solventa manteniendo dicha función de rotura, pero cambian
do la ley de la normalidad y la ley tensión-deformación del modo indicado en los
apartados 4.3* y 5.2. Con ello la dilatancia depende de un nuevo parámetro w v M
característico del material e independiente de " $ ",
39.-
Mandl y Fernández Luque añaden dos falsos nuevos defectos a Hohr
Coulomb (Ref. A-24 pág. 282). El segundo consiste en que la disipación de enea?
gía toma el valor
o . otg # (®4 - O
y cuando " o - 0 M resulta un trabajo nulo, lo cual es falso, Parieeau (Ref»
A-26, pág 316) explioa este fenómeno indicando que se obtiene un trabaje nulo
gracias a que la componente normal, debido a la dilatanoia, da trabajo negativo
igual y contrario al desarrollado por los esfuerzos tangenciales (realmente el
trabajo no debía ser una suma algebraica, sino la sucia de los valores absolutos
de los productos de fuerzas por desplazamientos, ya que un sistema ftriccional se
opone intrínsecamente al movimiento, tanto si dilata como si contrae)» Este se
gundo defecto es por tanto consecuencia del nrimero, de la dilatanoia, y efect¿
vamente en el modelo propuesto con v /» 0 la disipación de energía vale
c eos $ + (3 + Sp) (sen v - sen 0) (e4 - es}- "•• •""• ' ' "'
sen 0
que no llega a anularse cuando c« Ó.
Por último Mandl señala la no coincidencia de los planos caracteres,
ticos que forman ángulos de 45Q± $/% eon la tensión principal, con los planos oa,
racterístioos de velocidades de un material incompresible* que va» a 45Q# Esto es
de nuevo consecuencia también del único defeoto señalado»
Respecto a la zona de equioompresión puede decirse que la **Caai Clay
modificada", cerrando la pirámide de Mohr, ha supuesto una gran incorporación a
la plasticidad aplicada a los suelos arcillosos» Queda como desarrollo ñituro de
esta tesis la incorporación de dicha teoría al programa de cálculo electrónico -..
confeccionado, tanto para el estudio de taludes, como para otros problemas»
Para arena el estado actual de nuestros conocimientos está más atra
sado, siendo la teoría de Rowe, la "Grant Gravel" de Schoffield (Ref• A-37)y le®
40.«-
modelos no potenciales de Serrano los más prometedores.
Por último queda prácticamente en blanoo el tema de las arenas den
sas y las arcillas preconsolidadas, que rompen con una resistencia de pico o -
punta para bajar luego con grandes deformaciones a una resistencia residual
mucho menor. Físicamente se explica ésto como un desengrane de las partículas
de arena, que mediante esa dilatanoia fuertemente positiva bajan su densidad
para convertirse en arma suelta menos resistente. En teoría de plasticidad es,
te tipo de terreno es "reblandecióle" (pág. 12) y no cumple el principio de es,
tabilidad de Druckor, por lo que su tratamiento matemático es mucho más compl£
jo y no ha sido acometido OOn éxito hasta el día de hoy.
Debe reconocerse sin embargo, lo lejos que se está aún de una ex
plicación satisfactoria del comportamiento del suelo, pues se han dejado a un
lado variables tan influyentes como son la viscosidad, las discontinuidades{
y heterogeneidades del suelo, las grandes deformaciones, la elasticidad no -
lineal tan marcada en las arcillas blandas (Kondner) y la anisotropía (Ref. A-
27). Estas dos últimas por si solas ya explican muchos fenómenos sin necesi
dad de recurrir a la plasticidad.
41.-
5.2. Relaciones increméntales tensión deforroaoión propuestas
Se ha escogido como más adecuado para su empleo en esta tesis el
criterio de rotura de Mohr Coulomb, con las leyes tensión-deformación propuejj,
tas por Parisetu para problemas planos, las cuales se han desarrollado compljg,
tamente para cuerpos elastoplásticos perfectos.
Estas leyes mantienen aún una relativa simplicidad que las hace -
abordables por el ordenador electrónico, y tienen como limitación o hipótesis
simplificativa el que el rozamiento " 0 M y la dilatanoia M v " deben ser fi
jos durante el proceso de carga.
El modelo matemático es por tanto análogo al empleado por Bransby
(Ref. A-4) superándole por tener en cuenta el equilibrio de tensiones además
de la compatibilidad de deformaciones, y por considerar el suelo elastoplás-
tico en vez de plástico rígido.
El criterio de rotura d© Mohr Coulomb en el espacio se indioó(pág.
21)es un prisma exagonal irregular. Su intersección con el plano S. » 0 (ten
sión plana) es un exágono (Fig. A-10 pág. 27). La intersección con el plano
S 3 . m ( S1 + S 2 )
que es el caso de deformación plana, da un exágono muy alargado (Fig. A-18),
que cuando el plano anterior pasa por el vértice del prisma (si m » 0,5 3 6
si c o 0) degenera en dos rectas en ángulo agudo.
S 1 ~ S 2
2
que equivalen a
+ —*_-— sen 0 m c eos 0
\ / 2 N S - S ) 2 S + S JE. 5L )+ t • x y sen 0 * c eos ) xy
2
42.-
Dichas rectas ouando n c - 0 " son válidas en elaatoplasticiáad 1 - sen tf
para un coeficiente de Polsson m } — — - — — ; si es w m w menor la in-2
tersección será la del plano anterior con otros dos de los planos del prisma
exagonal (Fig. A-19 y A-4 pág. 16). Si es " c *¿* 0 w el intervalo de vallas*
de " m H es aún ma£or, aunque dicha validez depende también de la presio» mg,
dia.
*
0*
15*
20C
25e
30G
35°
45°
90fi
TABIA I ESES! SCC—B5322S53
m ^ ( 1 - sen 0 ) / 2
0,5
0,371
0,329
0,288
0,25
0,214
0,146
0,0
Pasemos a la obtención del vector de incremento de deformación Ae.
Dicho vctor tiene tres grados de libertad* el módulo y dos cosenos directores.
El primero se deduce a partir de la función de rotura o del incremento de tra
bajo plástico realizado. Los cosenos directores quedan definidos por la regla
de la normalidad.
Si se suprime la existencia del potencial plástico quedan libres los
dos últimos grados de libertad o parámetros. Uno de ellos puede determinarse -
obligando a que la dilatancia sea prefijada, pero el otro, en un problema gene
ral de tres dimensiones queda sin definir.
Sin embargo la condición de deformación plana permite fijar ese úl
timo parámetro. La ecuaoión a aplicar seríax
43.
Dicha ecuación es sumamente compleja, pero existe la feliz ooinci
dencia de que al utilizar el criterio de Mohr Coulomb se verifica a la fuerza
e* « 0 , se trate o no de un problema de deformación plana, oon lo cual esa úl
tima condición se cumple automáticamente sin nuevas complicaciones matemáticas.
En la pág. 20 se vio cuando coinciden en deformación plana los cri
terios de Tresca y Von Mises, y en la pág. 26 cuando ooinciden Mohr Coulomb y
la generalización de Drueker de Von Tuses. Bichas coincidencias radican preci :
sámente en obligar en el circulo de Von Mises que la normal cumpla ef - 0 y por z
tanto se obtiene la tangencia de éicho circulo con el exá^no de Tresca o Mohr
Coulomb,
En esto se ve una nueva desventaja al criterio de Von Mises, En de,
formación plana se trabaja con dos generalrices del cono para las que el coefj,
ciente de Poisson H m " es mayor a 0,5 (ver Fig. A-10) lo cual sólo tiene senti
do físico para un cuerpo plástico rígido, a no ser que se obligue a cumplir la
complicada ley e^ + ©| « 0 •
Por el contrario las relaciones de Drueker y Praguer aplicadas al
criterio de Mohr Coulomb, son lícitas en elastoplasticidad para valores del coj|
ficiente de Poisson mayores a los de la tabla I, que son los usuales en la prác
tica.
El vector de incruento de desplazamiento e vendrá definido por lo
antes dicho por los dos parámetros M X" y " J< "•
•? • íl ( 1 • sen $ ) • e| - >í ( -1 •»• sen # ) . e^ • 0 - •? » ©?
y al ser \ ¿ fí no se cumple la ley de la normalidad.
Pasando a unos ejes cualesquiera
e p « • '' "• * • . eos 2 a x « «
44*
0- + ©p 0,, •"" ©p £ * ,i' -P. -i oos 2 a
6 •» ©
e » • sen ¿ a *y 2
Efectuando el cambio de parámetros
f 1 + * \ \*( 1 + sen 0 ) + jí'(-1 + sen 0 ) • 2jl* > )** *
o sea,} 1 + sen 0
Y*( 1 • sen 0 ) -,M*(-1 + sen $ )« 2A > . ^ r- 1" ..A
1 - son jo
Resultan la expresión de las relaciones tensión-deformación de
Pariseau (Ref# A-26, pág 313)
(•< + eos 2 a ) P A x 4G
e^ «.-i- (*- eos 2 a ) y 4&
• • }
e*_ « — — sen 2 a xy 2G
S - S siendo i eos 2 a • .. n ^r
2 l j 2
B G
2 ( 1 • m)
El incremento de volumen est
e p » e^ • ©^ • - °< * * 2G
Luego el parámetro " <* " es la dilatanoia " sen v w
Para sen v * sen 0 se tienen las relaciones de Drucker y Praguer
(Ref. A-7) pue» se cumple la ley de la normalidad.
Si el cuerpo es elastoplastico, sumando los incrementos de defor
mación elásticos en deformación plana se llega at
4 5 . -
\ ( s - s ) 20 A©„ «AS (1-m) - ra AS • ( ° {+ X ¿J )
* X y 2 ( 2 > J 2 )
A ( s - SÚ ) 2G A e „ « AS„ (1-m) - m As + («(.* * __* )
y y 2 ( 2 y j )
2G A a w « 2 ^ t + A — S L
Las dos primeras ecuaciones pueden transformarse enf
• • S - S
2G <A» - A e ) »AS > 4 S +¿ * ? x y x y 2 ^
20 (Aex + Aey) tfAs^ + AS y ) (1 - 2m) + X°<
Diferenciando la íbnción de rotura se t iene
(S -S ) A J 2 i * ^ (¿Sx - A S y ) + 2 t ^ A t ^ -•«- V J 2 sen 0 (¿S^. +AS y )
Despejando AS e AS del sistema anterior y entrando en la úl'ti-x y
aa ecuación se puede determinar el valor del parámetro " i w
20 ( S -S _ •\ « < ((t ¿e + •* ' (Ae -Ae))0-2ra)+ Vj0sen J2f(¿e_+ Ae )
VJ¡ (1 -2m+<>lsen0 ) ( ^ 2 * y 2 * ^
Entrando con dicho valor de "A " ®n 1GS expresiones rntee obteni
das de A© » y resolviendo el sistema en 3 se llega a las relaciones tensión
deformación, que se expresan matricialmente del modo
A S » ( D ) 4 e (Ver apéndice Bf pág. 10)
S* \ $ D11 D12 D13 j ¡ «x
S y l- f D21 D22 D23 < í e y
V D31 D32 D33 *«y
,, sen 0 4 san v 1 • 2m ( S - S
2 2 B V ^ Z y B J 0 ( 2
.. sen 0 + sen v 1 - 2m ( S - S D « 1 + .-L. 4. v ,——, (s -S ) - (—*• %
22 B 2 B VJ2 X y B J 2 ( ,2
. son 0 - sen v 1 - 2ra ( s ~ - s
B1 5 * —1+ -w~ — (S -S ) i, i i + ———. ( v, 1 ¿ * * y 2 B / Jg B J2 ( 2
1 , sen 0 «* sen v 1 «*8B ( S « S
2 1 T ' ' 2 B Í T r B J2 ( 2
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¿i xy x y ^ j . B ygr-.
1 «• 2n t sen
32 jy * y a j B VJ2
-' 2 ( 1 • • )
Observase que la raattflc no esv aittéwia** debido a. la iaea&eteiieia
do potencial plástico (Hef. A-11, pág. $§)f por no ot»pllrae la ley de la iMg
malidad#
En el caso partíanla* sen fS • sen • la raatriss es BÍmé*trioa# y
resultan laa relaoionee de Druoker y Praguer ya obtenidas por Lorente de Jfo.
(Sef^lB ) .
• • *
Apéndice B
ELEMENTOS FINITOS
M,ll,,¡B»nij.iLHjpi W..IHI.M mmmm<w..mB.!L>> .n.m« ±» wm <"'•'. t..m >mm* 1 Bm M OaOOTl
mmmmmmmammmmmm>.mm Tm®
:ÍI*«*
I Q l CE wmmmmmmmmmmmm
1#~ Generalidades • • 3
2,~ Fundamento teórico
2#1,~ Hipótesis y método 5
2,2,«* Formulación 8
2«3«* Iquivalencias del método 15
3r- Cenrerienela y unicidad, r* 1$
4#- Aplicación del método*
4.1 #~ Tipos de elementos,
4 * 1 * 1 • -* Problemas plano® 26
4#1#2»*» Problemas tridimensional©© 37
4*2 ,~ Condiciones do contorno 39
4,2,1,~ Introducción de las condición©© de contorno
4»2,2,* Prescripción de corrimientos* 41
4*3*» Resolución del si eterna. Particiones» 45
5#«* Introducción de la plastif ioaoién*
% 1 * ~ Generalidades 5®
5.2 •- Método inoremental de la matriz de rigides tangente. 95
6,~ Programa de cálculo electrónico 53
6*1,~ Variables escogidas• 60
6,2.- Organigrama <4
6,3#~ Manejo del programa, 67
> • * • '
4* M * mmkmmmmmmimmtm
..*im ™ . . :MM$ém^<kSJ®. ..^AMA^^^f
El problema de comportamiento de un sólido ante ..una rm*
'pié de fuerjs&s que lo solicitan» representado por un' sistema de' w ...-•;
ecuaciones diferenciales» solo puede resolverse mediante ejcpréeij.
nes analíticas en contados casos» resultante por tanto necesario* 7.
recurrir a métodos numéricos aproximado®.
La aplicación de estos procedimientos numéricos ha dado
hoy día un salto discontinuo mercet al desarrollo del cálculo el©£
tronico, al cual s© acude no se lo por la imposibilidad de la obtej|':
ción de la solución exacta del problema, sino porque ésta» ja obt£ ,
nida» resulta en duchos casos inmanejable dada su complejidad.
Un perfeccionamiento de los métodos de diferencian -fini-*-..
tas lo constituye la disoretiJ&aeión del continuo en •elementos-fini'
tos» de modo que en las earáeteristicas de los mismos- (matrla- d#- **.':•
rigidea) se introduce ya ana integración parcial dé las' ecuaciones--•
diferenciales» 11 resultado, un sistema de ecuaciones lineal©©» cfia
vevge hacia la solución exacta al disminuir el tamaSo de los ele<*~.
mantos» y converge de un modo más rápido que con la aplicación \&#
diferencias finitas»
Otras ventajas de este método de elementos finitos res***
pecto las diferenoias finitas son, según apunta Zienkie^icB» su ***
principal expositor (Ref. B-§2t pág* l60)»la facilidad con que #© *•
introduce la anisotropia y la no homogeneidad» la posibilidad dé ~
cambiar la forma y tamafio de loo elementos adaptándolos a contor-—
4#
nos cuales^aiera y a variaciones rápidas de la función buscada.
Este método fué ideado a partir de los de cálculo raatrl
cial de estructuras (Ref. B-46) y enfocado primeramente para la r
resolución de problemas elásticos, facilitándose con él el estu—
dio de nóliuos heterogéneos, anisótropos y de forma compleja. P.o£
tcri órnente se ha perfeccionado y generalizado en varios sentid es;'
extendiéndolo desdo, el método de las deformaciones al método de —
las tensiones (Ref •B-2lfB-38>B-23)? extendiéndolo al estudio de cam
pos no tensionales (Ref, 3-52,Cap. 10) y lo que tiene más interés -
para nosotros, adaptándolo para el tratamiento de problemas no li
neales» Principalmente se ha trabajado para tener on cuenta los —
efectos dinámicos, y eon menos profundidad, para resolver proble—
mas plásticos y de grandes deformaciones.
Sin embargo, puede decirse oue pese a existir ya bastan
tes trabajos publicados relativos a estos problemas plásticos y no
lineales, el tema está aun en sus comienzos, debido a las dificul
tades que se presentan, y nuestro deseo es realizar una modesta —
contribución que facilite de un modo práctico la aplicación del né
todo de los elementos finitos a la plasticidad contenida, emplean
do las teorías plásticas más rigurosas.
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FIKITOS
B#2#- Fundamento teórico *
B.2.1,-» Hipótesis y método»-'
a). Se descompone el continuo en utia serie de elemen-
tos por unas lineas o superficies imaginarias. Normalmente se—*
rán triángulos o cuadriláteros en problemas planos, o tetrae
dros o exaedros en el espacio.
b)» Dichos elementos se interconectan en un número fj.
nito de puntos nodales seleccionados situados en sus contornos,
(normalmente loo vértices» on caso de que los elementos sean po
ligónos o poliedros)»
c)» Los corrimientos de dichos nodos constituyen las -
incógnitas básicas del problema» Normalmente serán ? incógnitas
en problemas planos y 3 en el espacio. Sin embargo, pueden eonsi
dorarse corrimientos generalizados tal como sus derivadas o com
binaciones de las mismas5 este es el caso de la aplicación al —
cálculo de placas, en que las incógnitas son la flecha y las dos
pendientes (derivada de la flecha respecto ambas coordenadas)»
d)» Se crean una o varias funciones en cada elemento -
que definan univocamente el estado de corrimientos en función de
I03 corrimientos nodales, por ejemplo del tipo u ± =<a r y^ z.
La elección de dicha función es arbitraria, y a medida
que sea más compleja y con más grados de libertad se convergerá-*
más rápidamente hacia la solución exacta (aún con pocos elementos
de gran tamaño)»
6# —
Esta función, sin embargo, no es libre? debe ser con
tinua en cada elemento, y de un elemento a otro a través de los
nodos que los unen. Por otro lado el numero de parámetros & T *-
de la función será igual al número de ^«'¿oe de libertad del —
elemento (número de nodos por los corrimientos de cada uno).
e). Esas leyes de corrimientos definen las deformaci£
nes de cada elemento y conocidas sus propiedades reológieas qu&
da determinado el estado de tensiones en los mismos y en sus oojí
tornos.
f). Bn los puntos nodales se sitúan unas fuerzas fic
ticias (tantas como grados de libertad tiene el nodo)que equili.
bran o sustituyen a las tensiones que actáan sobre el perímetro
del elemento, así como a sus fuerzas de masa y fuerzas exterio
res. g)• Expresado el equilibrio de los nodos en función de
sus corrimientos incógnitas se constituye un sistema de ecuacio
nes lineales en sustitución de la ecuación diferencial del pro
blema.
h)• Bn aquellos nodos del contorno general del sólida
que deben cumplir ciertas condiciones (desplazamientos prefija
dos) se sustituyen las ecuaciones de equilibrio por dstas.
i). Hesuelto el sistema de ecuaciones lineales y obte
nidos los corrimientos de los nodos^a partir de los mismos se —
obtienen las tensiones en oada elemento.
Tw
El método, como luogo se indica, equivale a minimizar
la ®mr&£& potencial del conjunto, 31 m mini&iea otra función,
empleando como incógnitas unos desplazamientos generalizados, •*
pu#den tratarse prebléisas de campos diferentes del e lást ico, a¿
mo son redes de f i l tración, propagación de temperatura* oanipas »
nagaétloos y sXiotrloofif eto« (R0f.B^2fCap« 10j Eef•B4tf pag#. .1Í01)
8.-
B.2.2.- Formulación.
El desarrollo matemático de lo que se acaba de espo»-
ner es el siguiente i
-»•
Sea d_ el vector de desplazamientos incógnitas de los
nodos de un elemento. El corrimiento f de otro punto queda defi
nido por la función H
f * (N) x d (1)
En el problema plano que aquí se trata se lia tomado •—
el caso más simple de elementos triangulares (fig. B~i)«
1 2 3 (2)
v - a, 4- a x + a- y -
Particularizando para los tres vértices se tienen 6 ecua.
clones de laa que se atienen lo^ 6 coeficientes a± en función -
de fos corrimientos incógnitas d0. Por tanto el desplazamiento -
de un punto cualquiera f * (uf v) puede expresarse en función de
los corrimiendoo nodales d « (u.., v1, u-, v2, u~, v>) a través ~
de la matriz 5 « (IL, N?, K^) donde EL son submatrices de tamaño
2 x 2 •
Derivando los corrimientos se obtienen las deformacio
nes e
e » (B) d (3) e
Basta para ello derivar la matriz (N)
9 -
Fig. B-1
Fig. B-2
hr-
b
Pin R-" í
tn nuestro .oaae & m (#^# «. f « ) * (J3i* t *IX*r:-;
% ^ , - " • - •
^-^««^ 4 **2U) y por »or £ lineal qu#<la • 00» valoree M&*t*fr*
tea en cada elemento. El terreno en que se exoara nuestro ta~~
lud, debido a su peso propio no tiene una ley lineal de tensi£
nea, sino que acta es escalonada.
Definidas las características realógicas.de cada ele
méate por su matriz (B) las tensiones en el mismo ?t®mn dadas
.pon
S# « (D) (e ~ ^ > (4}
Siendo eQ l a s deformaciones i n i c i a l e s , térmicas, eto-
Aquí ee vé l a eenoil les oon#u# pueden íntrodueirs t l a
anieotropia y la-no homogeneidad t eiapiemente variando ; es ta -¡as**
t r i a (£)« Sin embargo no es tan eimple oomo i tó lea ¡peaidewitó -
(re£# B-$2* p® # 16©)» puee 41 mismo (Bef. • B*#jkpsg» 25^);#e!l»tó;'
l a neeesidad de que Xa» tranaieXenes d e u n material'•'•*••'•otro* no **;
ee haga fcrueeamente y ee afina l a siaila en e l entorno*
Bn el'eae© p-Uüno ee t iene t
Un cuerpo eon anieotrepifctransvereeit en t ree diffl n»io«
nee tendrá una trntriz 3) del tipe»
0 X
#y
~xy
% »
Szx .
,'
X9
s.
'11 C '12
1.1
'13
'13
>33
0
0
0
J44 Sime-ter, 0
0
0
o
0
44
. • - ' • "
0
0
0
0
2 (ct1*e12)
r i
X
- SL, 1?
B m •••
T SEJE
M
que en tensión plana se convierte ©ni
n a $u 0 I
0
t
0
0 §1 *na|)
( * _ •MMMWIMMMIWnllMt
2 m
siendo loa cinco parámetros del terreno»
E^ « módulodo Toung en direoelón horizontal 3$r
E- = módulo do Youag en dirección vertical xa
«, . coeficiente de Peiaeon en e l jlaao fcariacntel xjr
«2 ~ eoef 1 siente de Poisscn en el plano vertical xs
&2 « modulo de deformación transversal en el plano sos
n *• %
1, g s= « I N W J L M I ao o© independiente*
1 2 ( H ® ) 1
En deformación plana se tienes 2
S, 3)
t i ' 4 *$*) (1 **®4**£ n nip )
a O - n * 2 ) a«2<1**1> a i (Hi) (1 « n2}
0 0
0
Puede simplificarse esta ultima expresión eenvartiln»
dola en la d© tensión plana con loo valoree ficticios* (lef • B»45t
i*ag# 74). t
n2
a'
ss
15
-
3L
1 *» m
1 • n c
, lE
1
2
1 «• n
1 ** si-
* 1— n &¿
(1 4 m4)
1 *» n w-.
Ja determinación de las fuer&aa equivalentes P # apli
cadas en los nodos se puede hacer aplicando unos desplazamientos
virtuales en dichos nodos e igualando los trabajos interno y ex-
+•«*<•»»» A J^A Tp JJ^ •*-.-..».*»•»*•.< J**»<%«t Q o « 4»T « o w - f m a + TiA. ^¿h I o n «f 13 &*»<&&.& fÜfi
I. .Jl'HWP
masa P y dé las fuerzas exteriores en e l ooni^mió fi"* «WM¿i
verse en diversas obras (Bef. B-K» pag« í€f'Bmfé•'•'b^t'ii&i'ty&tí
Be£, BH9b'pag« 32)*
-Be este-modo se l lega a* • .-..
3T M(*)' (») (B) ^ fa - |(B) (S>) é dv - / (* )** dv-W (í^: f
*]tlí)^»g,d (área ©enterae). ( ! ) •
. Ci^a interpretación se eimplifiea ai- sé- llaiaát;:'",'•'
"<li);*./0)*lí^'':>).'«r-- (*)
matriz de rigidea del elemento.
F ^ • - | 0 l ) ? D J « r (7)
'fuerssaa debidas^ a la masa,
Í 6 0 - ^ ( B ) » Í ; . <•)
fuerzaa.debidaa atenalone® inieialee* ".
'R » J (I) g d área (S) ^ ¿ /
fuersae exteriores en ©1 contern®.
Así ee v# fáeilmente que ee na eetableeid© la cendl-»
eión de equilibrie#
F# » <Ke) d ~ F ^ - F 0 O - S t (10)
En nuestro eaao de probleíaa plañe Fe tiene 6 eerape—*
nentee y deben obtenerse en eada elemente la» uatrieea de ri$&-
dess BEB de tamaño 6 x 6, la de fuerza deformación BD de tamaño
6 x 3 ai hay tensiones i nié lales , y la de tensión corrimiento-
BD de tataáfto. j $ g para que una vea obtenido© le® deapla^aaii^i
tos nodales (^calcular a partir de e l los las tensiones en e l -
sólido*
13.-
En cada elemento se obtienen tantas ecuaciones como -
grados de libertad tiene y expresan las fuerzas que hay que apli
car en sus nodos para mantenerle en equilibrio. Si se suman toa
das las ecuaciones correspondientes a un grado de libertad de un
nodo y que son tantas como elementos confluyen en él, se tiene -
una ecuación que expresa el equilibrio en dicho nodo y cuya e s
tructura es igual que la ecuación (10)#
Se obtiene así un sistema de ecuaciones lineales que -
representan el equilibrio en todos los nodos y cuyo número es —
igual al producto del n^ de nodos por el de grados de libertad -
de cada nodo, y cuyas incógnitas son los desplazamientos de é s —
tos. Ello equivale a tratar con la ecuación (10) todo el sólido,
siendo ahora (K) la matriz-, de ri&idez del sólido entero, que se —
forma por superposición de las matrices de cada elemento. Se de
muestra (Ref. B-15, pág* 20) que dicha matriz es simétrica y pos i
tira definida. (Ref, B-6, pág. 941), cuando existe potencial elás tico ó plástico*•
Si dos nodos "i11 y n¿n no tienen ningún elemento que -
los una, el término (o oubmatris) iL,. de la matriz total (K) de
be ser nulo. Si no es asi K. ¿ se obtiene por adición de los tér
minos (o submatrices) K|j correspondientes de todos aquellos ele
mentós a los que pertenecen simultáneamente ambos nodos wi M y «— H 4 «
Por ejemplo, en el problema plano con elementos trian
gulares la matriz do rigidez del elemento (K ) tiene de dimensio
nes 6 x 6, y está formada por 3 x 3 submatrices de 2 x 2 cada —
una. Esas submatrices de 2 x 2 relacionan cada nodo con otro o -
consigo mismo y dentro de esa submatriz cada grado de libertad o
corrimiento de un nodo con cada grado de libertad del otro. En el
sólido total la matriz K está también formada por submatrices —
14***
(K^.) de 2 x 2. Si es i » j relacionan un nodo consigo wí®m• W
se obtienen por suma de tantas submatrices como elementos ro<
deán a eoe nodo» Si i^j se obtiene por suma de do© submatrices.
K de 2 x 2. do los dos elementos que hay a ambos lados de la «—
recta i;}*
El significado físico de un término JL , es por tanto
el siguiente. Si se obliga al sólido a que mantenga inmóviles -
todos sus nodos, menos el "i" al que se aplica un corrimiento -
unidad, la fuerza que aparecerá en el nodo " ¡ n seré " L ^ , D i —
cha fuerza ee transmitirá a través de los elementos que unen agí
boo nodos y la parte de fuerza que llevará cada elemento será -
el valor del término &|. de su matriz de rigidez elemental (K ).
En definitiva la aplicación del método consta de tres
etapass
a). Formación de la matriz de rigidez del continuo total y del -
vector de cargas. Para ello hay que calcular las matrices de
rigidez de cada elemento, y en los pasos intermedios se con
tienen las matrices IB que se utilizan en el escalón "oM.
b). Resolución del sistema de ecuaciones (10) con obtención de -* • •
los corrimientos nodales d.
c). Obtención de las tensiones ©n los elementos a partir de las -
ecuaciones (4) y (3)»
S0 =//(£) (B) dv J áQ (11).
Ü**»-.
3W-3#- ,ftuiy^yw»W ,.AfI
a) 11 método, inioialmente elaborado para reeolvear proble
mas lineales (elásticos), no ©s aino la austituoión del
diferencial 143 de la ecuacién de Havier por mi operado**
co lineal (&) (Bef« B*9f pa«« 170).
0 V2 £4' * { ! * & ) — & * f « 0 ftv i
es decir5
i «• 1# 2f !•
iiiá Uj « PÍ » o (12)
siendo s (
(T d Siendo i Lij « (1 4» G) »4W»IPIÍM 4» Cr 4*4 o***-**»-***»*
dx^ dacj *3 dsE %
e * deformacidn volumétrica.
fi « corrimientos de un punto cualquiera (nodal o nó)#
Fi m Fuerssas*
1» <* * parámetros de Lamo.
$ . . . ' •
Descomponiendo e l operador &JJ * ti») « ("fe) v$) t&)# **
(13)
( $ )
d
0
d dx
>y
0
d
0
0
d
dx-»
d
dx*
d
3 0
d
e » (b) f
v. A
a* vi la ft^**4jjftfci^iitJÉAA iáikÉá^^n lP-'ÉiftJi # ant*a
la m»trl« de xdglOM ( l ) • Ü r (J© i (l)f|¡|É¡§Íp^ r
• • { « í i W Í * (*) í»> *
dal aparaten £l§)»
SI método cumpla par tanta la* condicionas de equilibrio
y también la compatibilidad de deformaciones, pues (12) no ©a sino
la sustitución da las áltiaaa en la» primeras. Se resalta este da*
talla porque algunos autoroat como Alian y Sauthwell, no tienen en
cuenta la compatibilidad da deformaciones (Jurieio, Reí. 1? f página
209)» Ahora bien, m da eañalar que en al método de elementos finí
tos se cumplen en cada elemento y a través de los nodos que los ~
une»f pero no neceaiariamente en el resto del aaataeto entra ele*«*
#**
También aa introduce ana simplificación de la matriss
en la ecuación (2) que se comenta en al apartado dadloado a la OOJJ
vergencia, y otra en el problema elastoplástico que aquí aa trata,
al lineallaar la loatriz (X)/*
b)#-Puede verae también qua este método aa equivalente a un «*• *
oaso particular del método de fíayleigh-Kitz (Kef, B-52tpág. 21j Hat*
B-s pag«16®3? *&** JN§#»*g* 14 y 32) pmaa si aa establece la oan*
alción que deben cumplir los corrimientos d para que la energía «*
potenoial total sea mínima» se llega también a la ecuación
o)#-El método es una aproximacion.de la solución exacta, -
hacia la que converge* y cerno ésta dá una energía potenoial tain¿
®a, la solttcié-n obtenida dará una energía de deformación (©igne*
opuesto a la potencial)inferior a la real (Ref *65$,pag* 23), es
decir, la integral del producto de tensión©a por deformación©a
queda infravalorado* Ello tiene cierto interés prácticof aanqtíi*
no mucho porque unas tensiones pueden infravalorarse y otras n©*
En el caso de que la función de desplazamientos (H) sea
tal que no mantenga la continuidad en la frontera entre dos ele***
mentes, salvo en los nodos, existe ahí un almacenamiento de la ~~
energía de deformación que hace que lo anterior no se cumpla* Di»
eho alimoenamiento se proéuce pese a ser en un área infínlieeífflal.
debido a que las deformaciones toman valores infinitas»
. Sí se plantea el método de loe elec^ntos finito© ©n té¿
sianec, en lugar de en defortaaciones creando unas funciones de te^
sienes adecuada© ©n cada elemento pa fanclen d© los -valoreé,;;*&>«*•••
los nodos de modo anilegc a1©• $!*•' s©- hi#*-. con la matjriss {#} ©h •*•
corrimientos en la exposición hecha, (aunque ©n tensiones resulta
mucho má& difícil de orear), y ee minimiaa la energía complementa
ría en lugar de la potencial, se obtiene una solución que sobre©©,
tima la energía de deformación.C©n ello queda acotada la solución
por los dos lados si a© resuelve el problema por ambos laétedeaVé©
los elementos finitos en deformaciones y en tensiones (demostrado
en Ref, B-*i, pag. 1599) lo cual tiene gran importancia teórica*
Esta variaat© del método, ©laboraba por Pra©Jis de V©üb©fc© y pláa
18
(Ref. B-21, Kef. B-}Q) ha sido aplicada a poquísimos problemas
hasta ahora, debido a su dificultad? en la-práctica suele ser
más fácil gastar ese esfuerzo suplementario en afinar la malla
para aproximarnos más a la-solución real que el acotarla. Unas
de las pocas aplicaciones son las debidas a Julias (Hef. B-20) y
a Guellec (Hef. B-23, págs. 31 y 105)o
'ISRW
B ~ 3 flWWf^
Como ya m india! en al apartada B-l, al resollar «a
problema nuaericamente «e da gran importaücia al estudio de la
unicidad de la eolución y áé la aa&vargaftala hacia la misa», «
para aseguraroe de qim ee obtiene realmente la solución buaaa-
da» II *vlaia* axiataistí* hoy par al ardaaador alaatr&i.^f ta*
mando coma artículo de fm lo que eete imprime, debe 8upararsef
recordando que a fin da cuenta» como toda obra humanaf está eu
Jato a errores»
la unioldad de la solución para problemas elásticos
está olaramente demostrada, para al introducir la plasticidad»
al problema se complica mucho másala hipótesis ém la existen»
ola da una £uneiéa potencial plaafiae aatg damoatrada lift • «aatíL*
dad (Bill Ref • ¿*té^ pag» 53) para cuerpos rigidissablea» y para
cuerpos plásticos perfectos eetá demostrada la unicidad en ta^
sioneB (Bef »A**i<|pág. 57) pero na en defarroei onas laáa que en *»
ciertos oaoos como aa lógico* puaato que la relaa¿on tensión «• .
¿tf anadian no. aa.lÉMwllrofl*! J M M M aatí ^m^lm^:l^ W$Mm ..'
dad en problemas en que exista deecerga (iliouclxlne, Hef A-47í«||ll8)
nuestro caso se ha utilizado un cuerpo
tico perfecto con función potencial, y* a fin de asegurar la ob
tención da la solución correcta aa ha reproducido un proceso
de carga ideal para seguir paso a pasa la trayectoria de tenaig
ne*. lia solución obtenida dallará ser púas la tínica correcta para
etm proceso inoramental de las fueraas actuantes, aunque par -
supuesto si se reproduce otra secuencia de cargas y descarga,
simulando la excavación de elemento© por un orden determinado,
al ra#uliíado aarwi' otra#
£&«*f ?
El mrftodo de los elementos finitos, en #a#o do uti34
ssar elemento» conformes, ee simplemente un caso particular del
de ñayleigh *» fíit» (Ref. B.52pág. 21} Ref. B.t5page, 15 y 3^I
Ief# B.t pág. 1599í Hef. B*6 P fí* 942), que conaiste «n susti
tuir la ley de deeplasamientoa incognitaa por una© funcione» -
prefijada© (<j,ue cwaplaa las condiciones da contorno) multipll-*
cadas por unos parámetro a, y al aplicar al principio de loa ' -
deapla&amieiitQs vlr t' alaa fwjtni jliaf, upayicE la anarsía dal a¡&a$ajBa»
se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con dichoa parama
troa cama incognitaa, auatituy¿ndoaa aaí la eimcion diferen— '
cial dal problema. Para eate matodo, llauffitáo también Se Oaler~ -
fcin. eetá demoatrada la convergencia nacía la solución exacta
cuando las funcionee prefijadas dependen de un ntíaero finito -
de parámetros arbitrarioa, aon conformas y forman una eecuanala
complata. (Ref, B~6 p¿«. 941, Ref, B-i5pág» 25) .
La oonformidad ee refiere a la continuidad de la fug
ci<5n, oomo aa detalla máe adelanta} y amasante a la secuencia
da funcionea complata, aa cumplirá ai para una función P(x) da a .
la familia o&m da la aacmtnaia da tipa a¿ f^(ai) (aia»da *^*
Bato se verifica para funcionee polinomio as y trigonométricas
[del tipo a¿ ¿ % een Ixf coa ix) por ejemplo.
Bíectivamente, al añadir nuevoe t¿rminoe a la funaión
polinómica, la solución obtenida se ceñirá míe a la buacadaj *>
ademáe al contenar cada nuevo término de.la aeeueneia al anterior,
la exactitud será siempre igual (en #1 caso de q.ue los nuevos
parámetros arbitrarios introducidos sean nuatoa) o nayor, y la
convergencia eera monotónica.
Veamos cuando se obtiene la convergencia hacia la
aolución exacta por el mátodo de loa elementos finitos«
Goneraliaando el mátodo al estudio de problemas de campos cua
lo*<|ttlemt oomo ya ©o indico, la fmo&mml *&* %mm miMmi;**'.
za no será la energía potencial, tino otra distinta mas gene-
ra<¿#
&*{*(** ?* $* *&*•'* JUL • •*• É$L v-A^íV»**
siendo n0* la función buacada (desplazamientoa normalmente) y
•a* al grado de l a » y o r dtütftda %uo entra -¡en la ex$rOirtl& dé
la "densidad de energía ifB. lian wn-lw prime rae derivada» se de
En e l me* todo la función m0n .&$ auatituye por unas «*
funciones prefijadas (normalmente polinóaicas, como laa de las
ecuacionea 2 t 15 y 16) diotlntae en oada elemento* y l o s para*
metroa son loe corrimientos nodales o BUS derivados.
Arantes (Bef, B-6 pág, 942) lo que carauteriaía a l
precisamente esa variación de la funcián prefijada para oada
aleawafto (o in#lii0o m ^dominios <!« m0m #loiB#nto)t y ItariteMb -
#1 que la continuidad de esta y aus derivados principales aea Mreducida,,
t ea decir, ee cumpla en los nodos y en e l interior
do cada elemento, pero no en la frontera entre elemento© (en -
este caso de "no conformidad«, loe élemontos finito© ao ooíW9t¿
tuyen un caec partioular del método de Rita). Estas condicione»
permiten formar la matria de rigidez del e¿lido conjunto
Be-rrwiflioi&i étt otra» mucho más simple» y raanojabloa»
La condición necesaria y suficiente pera oue exieta -
"OMferMflaá*» #* per tanto <p« *x* y *m» áertvtóes pariiielpiM "
lee sean también continuos y acetado» y la derivada *toHttM?
wm mootftéii en e l contorno entre elementos (ft&f. B-$2p¿g. 24;
lef . SH9páf# 90)#
Ba t a l caeo de conformidad la convergencia quete ' *•
demostrada por coincidir con «1 mrftoáo de Rita. So puede ofetfc .
ner una secuencia completa eegda Helosh (Bef. 5*«$ pá«* 3$| «•>
ü f . 1*4 pᣫ 943)> k*a* 4# *fl*mr Hi wtoXLm añadiendo nodos
nuevos» y conservando los anterlore», p«ro 4# modo que efc l e s
elementos nuevos se puedan reproducir las mieíaae leye» de £*g .
plas&amientos qtue antes* Otra forma «le jfensegairla ée, ssatnteiíLiM
do e l Hiiemo número de nodos y elementesf pero añadiendo térs^
nos en las funciones polinómicas de oorrimientes { «n e l l í s ^
t e t con un único elementof se tendría, e l mítodo general de «*
Hits). Be esta forma la convergencia ( f ig . B-7) es más rápida,' " ¡
pero se tienen dos inconveniente»i #1 primero es que a l tener .
mayor tamaño loe elementos se reproduce w y groseraiaente la -
plantificación progresiva del material» y e l segundo que paiet
t a l e n t o 2*m mmm ^ r á ^ t r e » te f a i i í i usa* eeüt l» ia*4 •»*»
ceaivaw y «Ule no permite un cambio brusco de las propiedades
de l e e elementos (Ref. B-52 pá*g. 222 y 224; Bef * 1*4$ pág* 194
2T 350)*
Bn eetos casos lia convergencia es aonotóniea eti la . -j
merntg/M "X*t pero no «m MMialMlM m&* y ténsie**** (l*f«•> )
1-45pí«# 25; Bef. B*5tpág* 22 y 25). l e de destacar que la -
convergencia en tensiones es mucho JOÍS lenta.
tSth -
Si no e« mantiene la qontlmiidad a tiBvío ae la -
frontón* aistra alaiaantoa, as deols» «a-.jbrt... eaáfagaaidad*'•• .»• áa
existe coincidenoia con e l m¿todo de Ritz y la converipwioia
en ©1 aaao ganara! no aatá dsiaostrada*
Zierikiewice (Heí. B-£2pág. 25) propon© (sin demo¿
trarlo rigurosamente) «orno criterio ©1 que la condición ne
cesaria y aufielenta para la eonvera©©$tó a« <pia le« f»ndij|
nes prefijabas no conformes constituyan una secuencia compl£
ta# bastando para t i l o %ue *#* y «»• *nm prisier&a der£?ada#,
pu«<iaii tomar e m i s o r valor somatante en al alepanto* Poftj
rtoriaenta Pa Amatas (Bef. B*4 pág. 944 y 947) l o M áaa^itfj
do para al oase dé %w estas Molonas saaa ^Mm^mHMI^é
toa da grado "ü*1* aea todos ama tiramos laultipliaado» por «*
paramatroa arbitrarios iadepsndiaates en m ikémro igutó al;**-/
de grado» de l ibartai dal slejasmto. Bara a l io supoaa que la
soluolaja a » e t s tandrá al mmm *** 4 l* dariTOdaa ^ontixntmM
y q.ue las fuera as da mas daban cumplir también la oondición
de continuidad»
B^ttrtH^tlWfc^ * J « W * * * élémnmm, la funail»
da energía qtue #a minimis&a aa sólo función de las primerae -
derivadas ÜB loa eoitlmiantos, Por tanto ooiao laa deriiradaa
principales acal á9 orden oarof basta la ooatinuidsd da ios *\.
propios corrimientos* ©a abanto al eritario de $%*m£m%m*
*n aata eaao quiere decir que ei a l sólido tiene lana dafog
xaaeión y tansi&a aeastsata a m #©vi&lai*to rígido» l a a *
funeioaas prefijadas deban podar reproducirla. **r aHo basi*
la ley l ineal (2) del triángulo de deformación constante para
^'^ :;-##^..
obtener 1G conformidad y la converg»noia monotó«±ca (Hof, -
B-6 pág, 93.41 Bef. B-52pág, 22i íief. B-15 pá^. 35) IJna eeímea
ola de m u s » puede viMmllmm* m l a t±g* B~5 *n q,w *&á&
trié&g&lQ m BUbdivid© «EI t m $ H te d©foraaciáa eoactfiuatd, o
podría períuaaeoer entero suponiéndole una deformacián lín©sii
segán la ecuación (15), ©n ambas modalidades de secuencia 0l
marro tármtoa eramáe pamtte uaa w»|0r apr^a&maei&i 4# 1© ***»
realidad*
Otro caso jmrticfular ixitereeant© es e l de lee placa©#
En ©llets los^parámetrofi1* d© fütz #cm loe corrimientoe nodales
*** normales a la placa y eue dos primeras derivadas % i ^ | • • m g . - eRp\ ••
lia energía es entonces función de los moiaento© flee "
torea, 0 eea la» curvaturas o derivadas de segundo orden, y j&
ra obtener la oonverg©ncia y conformidad se precisa c ue la ~* .
función prescrita sea un polinomio completo de segundo ortíen
(Mt* S~fffág« 35)
Si la conformidad no se cumple, cerne ya ee dijo en
e l apartado 2.3, se almacena energía en la frontera entre ele^
mentes, pero a l disminuir e l tamaño de estos dicha energía a¿ '
maeenada tiende a caro y se obtiene la convergencia, pero no
monotonieamente. Para e l l e bastará cumplir e l criterio de la
def©rmacián constante (Ref. B-52P¿g. 22) e eea de polinomio - -
completo (Bef. B*4 pág. 947)* St ae notar aue el que no eea
monotónica la convergencia en energía carece Se importancia, •
puee las variables <¿ue smelen interesar eon loe corrimientos ,
y tenaione», y además ee comprueba a veces (íief • B-52 pág. 120|
R*f • B~6 pág, 930 y 943) f ti* la convergencia ee más rápida oon
t*#:
elementos no oonfoimas q,u0 con otros eonformeB, En cambio lo
que sí representa un Ineonvejaiente es la dificultad de obte
ner una secuencia, puee aunque se Éeduzca la iHalla, lea ele
mentos pequeñas en $ue '*» 0uo<iivlde no aiempre poárán r»$ge*
ducir la misma ley q*ue tenían loe anteriores elementos nayo-
res (fíef B-45 pág. 37)» Bero eete preblejaa no se presenta en
el caso de elasticidad plana, sino en el estudio de plaeas y
láminas, motivo por el cual no se detalla, remitiéndose a los
ejemplos* ia4#® p w Connor (1*£ « -B45 9ág» 32® 7 331)«*
26.-
B-4.- Aplicación del método.
B-4-l«- Tipos de elementos.
B-4-1-1*- Problemas planos.
El elemento clásico es el triángulo, del que ya se han he
cho algunas indicaciones en el apartado B-2, y es el que ha sido em
pleado en esta ocasión.
Triángulo con deformación constantes ~
Consta de dos incógnitas por vórtice*'.y el caso más sim
pie es el de deformación constante definida por la ley (2). Dicha
ley mantiene'la continuidad de corrimientos en toda la frontera en
tre elementos--contiguos. Jal operador (B) da valores constantes en
todo el triángulo, y las integrales de la ecuación (5) consisten sim
plemente en multiplicar por el área. Al ser la deformación constan
te lo es también la tensión en todo el elemento, con lo cual existe
una discontinuidad al pasar de un elemento a otro.
La gran ventaja de este elemento es su sencillas y la co
modidad del trabajo con ól y la gran flexibilidad con que se adapta
a los diferentes contornos y a los gradientes de tamaño de malla qu#
se deseen.
La forma del elemento conviene que se aproxime en lo posi
ble a la equilátera. De los resultados comparativos de Cónnor (ref.
B-15, pág. 111) se deduce que la relación del lado mayor al menor
no debe exceder a 3 y el ángulo menor no debe bajar de 2Qfl y es bas
tante conveniente incluso cambiar dichos valores por 2,5 y 25«. Se
gún Zlamal el error es proporcional al cuadrado de la mayor altura
del triángulo, e inverso al seno del ángulo menor (Ref.B-23 pág. 38).
De aquí se deduce que los trabajos de algunos autores que no han
cuidado e3te detalle deben tener errores apreciables, como son Mor—
genstern y Tamuly Phukan (Ref. B-36/pág. 316), Agarwal (Ref. B-2),
«v?, '.' ^¡m *h- tí v vas*» . srv- i
Duncan f Dunlop (Ref. B-f 9, pag# 478) que alcanzan relaoione#tentre
lados de 1 *.12«(T«W Suaag, Bef. £-*$•
De las dos formas en que puede dividirse un et*&toil4ieré
en dos triángulos (Fig. B-&) lo más adecuado es nacerlo ;pátá&éfcé$L#. \
por la diagonal menor, para cumplir el consejo del párrafo^m^Mme^v
la malla, en oaao de que sea regular, aparenféméíitt::0é.;**\.
igual que adopte cualquiera de las des variantes de la Fi^» B*3# 11
námero de incógnitas es el mismo, y aagtia puede observarse m -div*|£-;
sas aplicaciones (Ref« B-9K, pag. 109 y 159? Bef. B43É- p%* til) ÍÉ -
exactitud es análoga* Sin embargo, en este case se ha adoptado la —-
de la izquierda, pues en ella cada nodo está rodeado por f triángu-—
los, en vea de por 4 y 8 alternativamente, Ule tiene dos ventajas i
las fuerzas de nasa, que en mecánica del suelo suelen ser-predomina^
tes, aetdan como concentradas por igual en todos los nodos (a etóa^
nodo va un tercio del peso de cada triángulo que le rodea) %j¡frw&0fc.
dose más a la realidad! además la tsatri* de rigidez queda más unif 0£
me 'al tener loa- términos de la diagonal principal 6 /sumandos*;"en-"Sal
gar de 4 y § alternativos» ^
Una pequefía mejora teórica consiste en obtener la, matriz •*•:
de rigidez del cuadrilátero para ambas descomposiciones posibleie {#£g
B-*2) y trabajar con la semisuma, pero realmente no compensa el ea^er
zo doble en la obtención de esas matrices. Un artificio mucho más ~
útil debido a Wilson(lef# B~»3fl«4 | B-Jfc * 2¿5 t Bef* B#iJ, pag* V
154), consiste en subdividlr el cuadrilátero en cuatro triábalos, «***
con un nodo interior i$ig* B~4) 7 obtener la matriz de rigldea de 1 ^
4, superponiéndolas, y a continuación se eliminan las filas y co luía-*
ñas correspondientes al nodo interno, ya que las fuerasas (fb) en ál#
se equilibran y anulan* La raatris to ta l de 10 x 10 queda así re<%
cida a S x 8 obteniéndose una economía notable de cálculo»
poniéndola en eubmatrices 1 ^ de 8 x 8 y EL de 2 x 2 eerreefe**
diente al nodo interior•
l\ ) ~ í %a %J i tt*
Be esta ultima ee obtiene* '
<V — (KM,)-1 (^ (V. Sustituyendo en'la primeras
^ wcondenaael6n* de eso© cuatro elementos eliminando el
nodo interno equivale a trabajar con la matriz de rigidez para eJb»
cuadrilátero de 4 nodos.
El único ineonveniente que tiene $ste método e© que si."**
el cuadrilátero es alargado, la forma de lee triánguloa queda ató«*
peor proporcionada (Fig* B*»4b), y otro, de menos-'importancia, es '«—*
que recurre a una malla del tipo de la fig, B-3® en lugar, dé-B~3a#
Con eete elemento triangular de deformación cenetante la
convergencia es en general suficientemente rápida en le relativo a
corrimientos* Sin embargo, en tensiones ee algo más problemática, «*'
(Reí* B^5t pág# 1l7f Be£. B*4lf pág# 683f Bef• B-5% pá&* 37)i 9i«&l^
necesario apretar un tanto la toalla para que loe erroree bajen«
29.-
Dichas tensiones, constantes en el elemento, suelen.refe
rirse al centro de gravedad del mismo, y entonces alternan la solu
ción exacta con apreciable dispersión; la forma de evitar esto íes -
calculando las tensiones en cada nodo como media (ponderada por las
áreas) de.loe elementos que concurren en él y asi la precisión aumen
te notablemente. Ello presenta dificultades en caso de no homogenei
dad del terreno, y también complica la programación, sobre todo por
los nodos de contorno, en los que hay que extrapolar. Por otro lado,
en el problema que aquí se trata, debido a la plastificación progre
siva de los elementos, no interesa el referir las tensiones a los —
nodos, pues si en uno se cumple el criterio de plasticidad habría en
ese escalón iterativo que plastificar los 6 elementos que le rodean,
lo cual es muy grosero. Se ha elegido en su lugar la obtención de la
tensión media de dos triángulos contiguos, correspondiente al centro
de gravedad del cuadrilátero (Fig. B-2), lo cual dá una px-ecisión
análoga, es más simple de programar,- y. más exacto en la iteración-
plástica por permitir escalones más pequeños*
Con lo dicho en el párrafo anterior se vé otra ventaja -
más del método de ^condensación" de Wílson (Fig. B-4) ya citado, y
es que se expresa la tensión en el centro de gravedad del ouadrilá
tero, equivalente a un nodo de 4 triángulos.
Triángulo con deformación lineal.-•
El principal defecto del triangulo con deformación censa
tante radica en la falta de continuidad de las tensiones al pasar-
de un elemento a otro. Ello se evita transformando la ley lineal (2)
de corrimientos en otra parabólica,
2 p u= a1 + a2* 4- á'^y *> a. x 4- a5 7 4- a6 xy (15)
30
Fig. B-A
Fig. B-5
..Fig. B-6
JU-
do modo que su derivada, o sea, las deformada© y tensiones, varien
linealmente y restauren su continuidad en toda la frontera entre ~
elementos (ííef# B~% pág. 70j Bef, B-fV pág* 135? Kef. B H , pág* '**/ •
1606)• Para determinar ahora las 12 incógnitas del sistema (i5) fc&
ce falta dejar doce grados de libertad en el nodo, lo cual se oon~
sigue oon 6 nodae por triángulo, que son los 3 vórtices y loe tres
centros de los lados (Fig. B-5)«
La precisión de este elemento es notablemente íaayorr COJ>-
vergiendo isuoho más rápidamente en deformaciones y en tensiones lia**
cia la solución exacta, que si se resuelve el problema eon trián|SS.-
los de deformación constante (Ref. B-$5, $ág, 149)* ©& ©1 santido de
que basta una malla con la tercera parte de incógnitas para obtener
una precisión igual o adn mayor* f l a n e e n contra» como, tocowenie»-*
t e , e l que las in tegrales de (5) se complican, y sobre t%d<%.;;'$w*ra «*/*
e l probleíaa que aquí se t r a t a de plast ic idad contenida infaj^a'-mém'
i r a una isalla' niá® fina a f in de p laa t l f loar sucesivamente" ¿Irisen*-*' •-.'
tos lo má@ pequeSo posible»
**"
Triángulo con deforme!ón cuadrática» ~
8na mayor refinamiento lo constituye el triáoslo con ley
cdblcm de corrimientos, y cuadrática en deaplazas!eatos# Sf «ueleii
tomar 18 incógnitas, qm pueden definirse de dos foriimai con 9 nodos
en el triéa&ule (los 3 vórtices y 2 más por lado dividiendo éste en
tres partes iguales, ver tlg» S««6).f o oon solo tres nodos con 6 in
cógnitas cada uno; (Bef. B-Sk pág# 224$ Hef» B~1í| pág. 164) $"e#tae
pueden ser* :
d-'tt d u d V d v ( U | —— f *mmlmmm f v .«**•*•*. f ~ * w ) (fí©f# B-tjUpág* 161)
dx Q? dx dy o pueden tomarse en oambÍ#i
d u d ^ d u d^r d u d v 1~ U , V , mmmmmmm * *»,^>ww»«» ' ^ M I H M M M » <4k«*««««««H» , ( — «www —— *• « N * « m « » ) •*«»;• v'-#
32«~
como hacen Jocher y Harts (fíef# B-44» pág» 151 y 1&4) p pues el sig
nificado físico de estas dos áltiíaae variables es más claro $ fa&13£
tando el cjue las fuersas exteriores puedan ser momento a, y el que <*
exista continuidad en las rotaciones al pasar de un eleteento al coii
tiguo, lo cual puede tener interés en .algunos problemas concretos.»
idealmente existen muchos posibles variantes* para comple
tar el polinomio cúbico de corrimiento© hacen falta 20 incógnitas y
no 18/
o "2" 1
u » a. * a x 4» a. y 4- a xy 4 a*- x * a^ y 4 a*- *? 4
4» a^ y-5 4» a x.y. 4 a 1 Q xy (l6)»
y debe tomarse un nuevo nodo en ©1 baricentro del triángula--.con-do®
incógnitas (Béf* "B4% pág. 1615 Kef# B-SfS), el cual puede ^condenaa¿
een si se desea según la ecuación (14)t para reducir-la matriz de- «*'
rigidez del elemento de 20 x 20 a tan tamaño de 18 x 18# J0tra.-'solu~«»
clon es la de Shandu y I Usen $ue toaan tm elemento triangular • eo».' -
15 incógnitas (3 nodos en los vértices con 3 incógnitas, y:;3nodos
en los puntos medios de los lado© con 2 incógnitas? Bef*: &*#?)*•"
Se incluye un ejemplo debido a Heland y Bergan (Reí» J-s8 )
bastante espectacular» de la ventaja obtenida con estos elementos *>
refinado® (Fig, B~7)«
Bl.roua$rJ¡,látero 6 S e i otro elemento-que se ha soletó©-*»
con bastante profusión* inicialmente por CloQgh (Kef. B-40)|pues «* /
tiene notables ventajasf en especial sa mayor precisión en la obten
oión de tensioneef cosa que ocurre también con loa métodos de difs~
renoiae finitas» pues al alejarse de la malla rectangular se pierde
precisión (Ref* B**35> pág« 220)*
33
-1.00
L= ¿H
H SOLUCIÓN EXACTA
$* t.000
c
Á
1.8 ¿9
-0.849 S* 0.860
128 Elementos de 6 grados de libertad
170 ecuaciones
0.986
-0.977 f»0.99¿
2 Elementos con 18
grados de libertad
24 ecuaciones
Fig. B - 7
2 m.
kl*,* / **-y cotg. Pym
i|«y coj»e.p/n
e*-\
-»• X
34#<*.
Bn e l caso ele rectángulo suele definirle la ley-de -corrí*
gjiento©
u ' • ' • 1 4 a,. x 4- ag y 4 a. ;gr« (f?)
de modo que las deformad anea son lineales y maniigaft'tt -
la continuidad ©n la frontera entre elementos» tanto ©n corrimiento
como en deformaciones (fíef» B«#^ pág* 66 i Bef, B~1» pág» 1606| B©£*
B-i5, pág# 165)* £os ocho coeficientes a^ se obtienen al tener ©&,*•*».
elemento 4 nodos en loa vértices con dos desplazamientos incógnita©.
cada uno (Fig» B~8 a)
los resultado© de Connor y Will (fíef» B«*5, pag» 176} auejr
tran una convergencia extraordinariamente más rápida para "©ate ©1©*\
monto que p#ra triángulos con deformación constante, pmm con la" **•*••"
cuarta parto de incógnitas se obtiene una:precisión análoga*; Coapa**''
rado con el triángulo de deformación lineal este es mucho raás preoj^
©o en desplazamiento© {con la tercera parte de incógnita©, ; eacaeti-**
tud análoga) pero no en tensiones.
Este elemento par©oe ser más ©enaibl© a la foriaá, no p r p w •;
porcionada que lo© triángulo©, y no e© aconsejable el empleír-r#ot%:
guio© de relación de lados .superiores a 2,3» Kilo representa un &&&*;
v© inconveniente pao© resulta así ©oy limitada la graduación i©i tiM*
man"© de la malla» ' • |j
II otro defecto importante dfe eete elemento es la imposibi* i\
lidad de acomodarlo a contorno© cualesquiera» Ello se palia'bastante ••;
bien oon paralelograso©, en cuyo caso (17) ©a válida en coordenada©*
oblicua© (Pig. B~8 b) o en rectangular©© oon ©1 cambio (Kef» B*^, $A£<;j
106). • •'"_' .
«• . x - y ootgí*
y*« y ooseo. j£#
Con lo cual las integrales do la matriz de rigidég ('§). **
no se complican excesivamente. V
La generalización a un cuadrilátero cualquiera (Fig# ..3Ñ8 <$
ato trabajando ©n coordenadas eurvilineas como haoe M$pm$0, resulta
do cálculos ipuehb más prolijos, (Ref# B-5fc pag» SQt Bef»' B~f '» pag*;;
1606) y coao dice Zienkiewicís, (Ref« B- g, pag» 69) resulta dudosa *
BU elección frente a elementos triangulares» -
Otra posibilidad es el empleo de rectángulos o fiíaí^le^
pedos eon 8 nodos (los 4 vértices y los 4 centros de los'SaÉoe)V »**
base de leyes de corrimientos cúbicos del tipo (Bef# 145* pag* íS2|
Ref. B-£$ Pag. 72), V
2 % • ' • 2 '•"
u « a-j * a* x * a, y 4 8i x 4- a, xy ^ a g y 4- a- x y 4» 4» a^ xy (19) •
El cuadrilátero puede extenderse a base de dos lados reo*
tos y dos lado© curvos a coordenadas polares a fin de resolver pro**
bleaas tales como el de túneles circulares, ete# .(?ig« B ^ ) siü fue
ello represente una nueva complicación*
Existe, la posibilidad de combinar cuadrados y triángulos •
como hacen Bunoan y Punlop (Re'f. B-19) pero OOnner y Will hsm .®mp0j^.
bado(Ref# B*15 pag* 174 y 181) que con ello se consigue 3a iaiéiaa|^¿
cisión que con solo triángulos, y en ese caso no ofrece ventaba lá*
complicación que ello representa en el programa.
En general, basta que una zona de la malla esté peor Jise^
nada (elementos más simples o mal proporcionados» eto) para que la »
solución se deteriore aán en el resto de la Bsalla*
Otros poliedros» tal como pentágonos o exágonos, oareoén -
de interés» por poderse subdividir siempre en triábalos y / l é ^ i c m m ^ ^
te no se han utilizado nunca»
36
Fig. B-9
Fig. B-10
2c
37.-
B-4-1-2) Prooleraae tridimensionales»-
SI elemento más aimple es e l te t raedro (Fig. B-10 a) in
troducido por Martin con deformación constante.
u c a ^ aj x I a, y 4 a, z (20)
Los 12 parámetros a^ se obtienen oón los tres desplaza
mientos de los 4 nudos del tetraedro (liof. B~5?tP&g. 75; Hef. B-t,
Pag. 1608).
Puede análogamente crearse un tetraedro con deformación
lineal a base de introducir 6 nuevos nodos en los centros de los -
lados (Fig. B-10 b). (Hcf. B-52, pág. 84; Ref, B-i , pag. 1600).
Otra 30lucíón devida a í.Iartín es el subdividir el hexae
dro en 5 tetraedros sumando las matrices de rigidez correspondien
tes a ellos, (Ref. B-g^ pz£g> 79)» análogamente a lo hecho en el -
plano con un cuadrilátero descompuesto en dos triángulos. La venta
ja radica en definir las tensiones en el centro de gravedad del -
hexaedro promediando la de I03 5 tetraedros, aumentando así la pre
cisión, pues análogamente al triángulo, el defecto básico del t e
traedro es el gran error en la representación de las tensiones.
Con un prisma rectangular (Pig. B-11) 3e llega a leyes -
parabólicas análogas a la (17)» de deformación lineal, con notable
mejoría respecto a los tetraedros (ref. B~52,pág. 80), e incluso a
leyes cúbicas (Hef, 3-1, pag. 1609) £ fin de mantener la continui-
dad de corrimientos en las aristas.
u = a + ap x + a. y + a. z + a » 4 Bg xz + a» yz *
+ ag xyz (21).
38 —
¿1 problema que se presenta al trabajar en tres dimensio
nes es que el numero de incógnitas se eleva en seguida a varios
millares, aún para mallas no tupidas, y por ello resulta iinprescin
dible el .refinamiento de los elementos. Melosh (rtef. B-35) y Clou^h
(Ref., 13-14) han realizado interesantes estadios en los que comparan
diversos elementos, ir deducen que hay que desechar totalmente ios
más simples, es docir, el tetraedro, y que en el espacio se debe re
currir a elementos refinados, del tipo del oxaedro de 24 grados de
libertad.
Así ha hecho ¿ienkiewicz, y trabajando con exaedros con
60 grados de libertad (8 nodos en ios vértices y 12 nodos en los
puntos medios de los lados) ha resuelto problemas de presas bóveda
y su interacción con el cimiento (Reí". £-2, pág» 254). Este tipo de
elenento os ol ¡n¿'3 indio^do o-ire utilizar en problemas de flexión
(Rof...3-14, pág. ¿1).
39.-
B-4-2.- Condiciones de contorno
B-.4-2-I. Introducción en el método de la3 condiciones do contorno^
El sólido deberá cumplir en su contorno una serie de oon
diciones, que en este método se limita a verificar en los nodos. Eg,
tas pueden ser el que terina unos corrimientos prescritos en cier
tos puntos nodales, a fin de evitar movimientos rígidos y mantener
la hiperestaticidad del cuerpo (caso de empotramiento, etc.) o —
bien equilibrar las fuerzas exteriores R definidas en la ecuación
( 9 ) .
Esto ultimo no representa problema en el caso del empleo
de triángulos con deformación constante, pues se reduce a sustituir
isostáticamente las fuerzas superficiales exteriores por fuerzas —
concentradas en loo nodos, que simplemente se sumen al término inde,
•pendiente de la ecuación (10). Para elementos más complejos, aunque
las fuerzas superficiales se reducen a fuerzas concentradas en los -
nodos, la obtención de estas no es isostática, sino de acuerdo con-
la ley de deformación impuesta (Kef. B-15* pág. 104, 123 y 133; B-44,
pág. 167).
Respecto a los desplazamientos prescritos el problema que
se presenta es la forma de introducirlos en el sistema de ecuacio
nes general (10). Una forma serla el eliminar esas ecuaciones, ya **
que las inoógnitas son conocidas, y así se reduciría el tañarlo del
sistema, pero ello se desecha porque representa una complicación —
en el programa, ya que habría que reordenar de nuevo toda la numera
ción de ecuaciones.
Lo conveniente es retocar el oictema y ello debe hacerse -
sustituyendo la ecuación Hi-esimaM por 1. u¿ « u¿ prescrito.
Con ello bastarla, pero es aconsejable el dejar la matriz
40«-
de rigidez simétrica, anulando también los coeficientes de la co
lumna "i-esimaw, pasando al segundo miembro los términos oorresp02|
dientes (Ref. B-15» pág. 46) del modo siguiente. Ett el sistema
¿se c:. :abia: K p j - X J p = 0 Kpp = 1
F = uYv p r e s c r i t o . p P -
x l nuevo £ i p * *jp*
La solución de Payne e Irons defendida por Zienkiewica -
(Ref. B-52f pág. 8 y 233) do limitarse a multiplicar K por un ná~
mero grande como 10"~ y sustituir
? p nuevo = 1012 . K p p . p r e s o r i t o.
nos parece un grave error trabajando con ordenadores - —
eleotrónicoG, pueo se facilita el alcanzar exponentes mayores del -
que admita la máquina, ocasionando la parada de ésta y además el —•
ordenador tarda mucho menos en operar con cero que con otro numero-
por pequeño que sea éste, de modo que anulando K .f K., se consigue
un ahorro de tiempo de máquina casi igual al que se conseguirla re
duciendo el tamaño del sistema.
41 •-
B-4-2-2. Prescripción de corrimientos»-\
La prescripción en sí de los desplazamientos en el con
torno es otro problema, que puede repercutir mucho en la exactitud
de la solución, y en el tiempo total de cálculo necesario.
El terreno indefinido debe sustituirse por una malla 1±
mitada.
La cara inferior de dicha malla se supone fija, ee de-—
cir, con corrimientos horizontales y verticales nul03, y así la —
aproximación conseguida respecto a un terreno con un estrato pro
fundo duro es correcta, y respecto un terreno de Bous^inesq el --
error cometido será menor a medida que más extensión alcance nue£
tra malla. Iteta hipótesis es empleada por todos los autores, y en
general no es discutible, pues atín en casos de malla de pequeña —
profundidad el problema es real, ya que la mayoría de los terrenos
tienen un estrato más duro a no excesiva profundidad.
La cara superior lógicamente se deja con desplazamientos
libres.
Las caras laterales pueden ya sufrir diversas limitado*»
nes. Todos los autores coinciden en restringir totalmente el corrí,
miento horizontal, lo que es suficientemente exacto, aún con mallas
no muy extensas.
Respecto al desplazamiento vertical una posible solución
es dejarlo libre• ¿lio equivale a suponer que no hay transmisión de
cortantes entro el área segregada y el resto del terreno, es decir,
a colocar vertical la elipse de tensiones suponiendo lubricada la -
línea de corte ( Fig. B-12). Esta hipótesis es la que emplean Don-
can (Ref. B-19, pag* 478) Clough (Ref. B-13, pá$. 83), Liam Finjn —
(Ref. B~3t), Huang (Ref. B~éf), Girijavallabhan (Refj&J¿2) y Chrietian
entre otros, y también se ha empleado en esta nueva ooasión.
¿2
BORDE LUBRICADO
3>
9
XTOOT^W: BORDE EMPOTRADO
T V
BORDE CON Tg. HORIZONTAL
Fig. B-12
SOLIDO
•
I--
'
•4 PARTICIONES 6 7 2 3
V77-
K
MATRIZ DE RIGIDEZ Y SUB MATRICES K DE PARTICIO NES
1 WM ~ //.
// '>// '///y/
V//.
z-'.
7//,.
m ^m
V77777?
\ ////,.
¿u+ "^777
t'y <[''••
43 •
Otra solución es restringir totalmente dioho corrímien
to vertical, (?ig« B«*1# s) suponiendo por tanto "empotrado" no •
solo la base del área segregada, sino sus lados« Asi lo haoen —
Clough (Ref. 16 pág, 543) Morgenstem (Hef • B~JS, pág. 316) e JKtiB
(Ref. B-HT, pág. 65)*
Una tercera solución (Ref, B-Jt) es obligar a que dioho
corrimiento vertical sea igual al que toma el terreno debido a su
propio peso. Es utilizable sólo para problemas en que actúe esta-
fuerza, por ejemplo no es válido para ver el efecto de una zapata
en un terreno sin peso, pero sí para el estudio de un talud como -
es este caso, en que se vá aumentando gradualmente su peso para ee
tudiar su plantificad6n progresiva*
Por ultimo, la otra variante consiste en obligar a que
las lineas horizontales se mantengan paralelas a sí mismas en di
chos puntos del contorno lateral (Fig. B~l8 o), obligándose para -
ello a que el corrimiento vertical del nodo sea igual al del nodo-
contiguo, 2sta solución pueue emplearse sólo si cada nodo del oon-
torno lateral tiene al contiguo en su misma horizontal, que es el-
caso más frecuente. Ha sido utilizado por Lorente de lió (Hef. 20 ),
fori ' (Ref. IB ), Ang y Harper (Ref. $¡ ).
Para determinar la extensión del área a estudiar, en pro
fundidad y sobre todo en ancho, la mejor solución es resolver el -
problema oon diversos tamaños, observando a partir de qué extensión
las soluciones obtenidas para los corrimientos y tensiones no v a
rían para una de las líneas de contorno. Lógicamente que ello debe
estar guiado por uno3 sencilloe cálculos previos,* por ejemplo, con
er semiespacio de Boussinesq, y que no es preciso el resolver el —
problema completo varias veces, puede hacerse esto con un número -
44.-
menor de elementos más grandes, y "basta hacerlo en elasticidad, -
sin las iteraciones plásticas posteriores* Con ello ol tiempo em
pleado en estos ensayos es pequeño.
Una ves realisado ese prooeso con loe cuatro variantes -
de desplazamientos prescritos en los contornos laterales, se obten
drian cuatro extensiones d if érentes que darían soluciones de la —•
misma exactitud, pero con un esfuerzo de cálculo distinto, debido -
a su diferente extensión. Por ello a simple vista debe rechazarse -
la secunda, de enpotr.miento total lateral, ya que requiere un e s
fuerzo de cálculo muy superior sin aportar ventajas»
Comparando la primera de corrimiento vertical libre, y la
ultima de corrimiento igual al del nodo contiguo, resulta dudoso —
a priori cuál dará menor extensión, pues en la primera se desprecia
un esfuerzo tangencial y en la última ae desprecia la inclinación -
de la tangente a la superficie de asientos, que no son magnitudes -
comparables. Intuitivamente son bastante parecidos y debe elegirse -
entre ellas por consideraciones de otro tipo: ambas aon igual de fá
ciles de programar, si se emplea el matado de oálculo de Ang y Har-
por, pero en cambio la primera resulta más sencilla al aplicar el -
método de elementos finitos, motivo por el cual es la que ae ha es-
cogido aquí. Si el sistema de ecuacionaa resultante se resuelve por
un método directo (que es lo que se ha hecho aquí), dá igual el em
pleo de una variante u otra, pero si se resuelve por un método ite
rativo de relajación converge más rápidamente con la dltima solución
ae. corrimiento igual al del nodo contiguo.
Por ultimo la tercera solución de hacer el oárriuiento —
igual al debido al peso de la columna de terreno (es decir, suponer*
que en el contorno ya no influye la forma del talud, o la carga de -
la zapata, etc., según que problema se estudie) es algo más complejo
de programar en elementos finitos, y solo presenta ventaja al resol-
45»-
B-4-3»- Resolución del sistema.-
Frecuentemente se evita la resolución de eouaoiones di
ferenciales a base de sustituirlas por un sistema de eouaoiones -
lineales, pero sin embargo, este nuevo problema para sistemas —
¿grandes dá también sus quebraderos de cabeza, oomo indica muy — —
bien Vr'hite (Ref. B-19, páe. 117) pues la precisión deseada y el no
requerir excesivo tiempo de' ordenador no son fáciles de conse
guir •
En el caso de IOG elementos finitos, como ocurre con «
los métodos de diferencias finitas, el sistema a resolver consta -
de una matriz banda simétrica. Efectivamente, al hablar de la m a
triz de rigidez se indicó que los términos correspondientes a dos-*
nodos no contiguos son nulos, quedando pues distintos de cero los
términoc próximos a la diagonal principal, siendo el ancho total -
de la banda proporcional c.1 harnero de desplazamientos de un nodo -
por la máxima diferencia que existe en la numeraoión de dos nodos
contiguos cualesquiera* Este hecho facilita mucho la resolución, -
ya que aprovechando esta circunstancia no hace ialta trabajar con-
la matriz completa, que por ejemplo constaría de 9d000 términos p£
ra un sistema de 300 incógnitas, y bastaría almacenar $ operar só
lo con 300 x semiancho de la banda, ya que la matriz es además si
métrica.
En general, hay dos tipos de resolución: directa e indi
recta.
La indirecta más utilizada es la iterativa de Crjqss Sel-
dftl, que no es sino una relajación (Ref. B-if),
* o* A partir de una solución inicial u* del sistema aij-uj »E
se obtienen nuevos valores u1 en la V-siina iteración según la
46 • •,
expresión
hasta que en dos vueltas seguidas todos los valorea
r-í-1 r
u. - UJ sean menores de uno prefijado.
El método puede acelerarse con un coeficiente arbitra
rio Mmw según la expresión.
r r-1 . • , li ~ aid !^ r H r-l/
Debe ser l£m 62 y normalmente se toma 1,6^ m^ 1,85 ~
que la experiencia demuestra son loa mejores valores (Ref. B~4f, -
pág. 126 a 128).
El primer vector solución 3uele ser de ceros, a no ser
que se conozca una solución aproximada. En el problema de plasti,
ficación progresiva que aquí se trata éste método es muy adecua
do, pues en el primer escalón de carga elástico partiendo de la -
solución de ceros se precisaran muchas iteraciones, 300 por ejem
plo, pero en los escalones siguientes se puede partir de la solu
ción del escalón anterior, y la convergencia es notablemente más-
rápida.
Otra ventaja del método es que puede operarse oon las -"
diagonales estrictas distintas de oero de la matriz de rigidez,
gdn el procedimiento de WMte (Ref. B-49, pág. 121) con un ahorri^
considerable do almacenamiento en el ordenador.
Este método lo emplean Clough (Ref. B-tf)* Morgenstern^
(B-#X Arriaga (B-:8 ), Ang y Harper, Lorente de Nó, eto.
47.~
De los métodos directos el más simple os el de elimi
nación de Gauss, a base de triangularizar la matriz» IIo aprove
cha la ventaja Je matriz banda al tener que ocupar durante la -
eliminación todo el triángulo superior que antes er¿.n cero3. Por
ese motivo, sólo lo utiliza Connor (Hef• B-15t pá&. 55). Bxiste -
una variante uiuy ingeniosa debida a He Cormick (Hef* 3-34» pá¿-.
40) con la que resuelve sistemas de ••• Ihasta 15.000 ecuaciones!,
perfectamente adaptada a las necesidades de un sistema tan grande.
Otro método directo muy adecuado © ingenioso es el de -
tridia&onalizaeión de la matriz, o de las particiones, debido a -
Clough, (Hef, E*-j2f pág. 1911 Ref. B-52fpág. 232). El método de -
sustitución aplicado a un sistema banda de solo tres diaconales -
resulta muy cómodo; y al tener en general la matriz más de tres -
diagonales distintas de cero', el artificio quo se hace es subdivj.
diría en tres diaconales de submatrice3 para invirtiendo éstas p£
derlas eliminar.
K,
0
K,
0
C2
K3
Cn-2
0 0
0 0
C . • • 0 0 i J I
<
n-1 n-1 Cn-1 K
U1
»2 u3
"n-1
\
n-1
n
Bel primer subsistema de ecuaciones &o deducet
u B K 1 1
-1 P - K 1
-1 1 2
entrando en la segunda»
( K 2 - C l ' K , " 1 C1> V C 2 U 3 = P2 " C 1 t Z 1 _ 1 p
1
48.-
Llamando t -1
2 2 1 1 1
Q 0 = P - C * K ~1 P 2 2 1 1 1
Kesulta
L u 4- C u = Q_ quedando un sistema de igual tipo -2 2 2 3 2
que el anterior y de tamaño una unidad menor.
Eliminando sucesivamente uno a uno los oubvectores in
cógnitas se obtiene:
Lr . . « K - o t L ~1 Cra
t -1 m 4 l n 4 . - j i a m m
y al final el último subsistema L u « Q se resuelve -n n n
directamente. A continuación se vuelve hacia atrás obteniendo las
anteriores incógnitas.
-1 ~1
U « L 7 Q - L C u
Este método tiene una interpretación estructural, eonsls
tente en unas participaciones imaginarias del sólido. Cada subma-*-
triz K comprende una serie de nodos, que están incluidoo en la par m * • • • " "
tioióh correspondiente de modo que cada nodo y sus incógnitas sólo
entran en esa partición y súbmatriz K.. Cada dos partes contiguas -
del sól ido se unen por una s e r i e de elementos cuyas matr ices elemon ' e
tales de rigidez &,, nos relacionan los nodos de una partioión con
otra fox-mando la matriz C. (Fig. B-13). Esto no ee sino una genera
lización del concepto de matriz de rigidez indicado en el apartado
49.?
3-2-2i un conjunto de nodos y elementos forma una partición ó "BU
pernodo" cuya matriz K correspondo al K. . del elemento de 13-2-í , ni •*""*•
es decir, constituye la influencia sobre sí misino, mientras que -
la ::iatriz U define la interacción entre "supernodoc" que so real!
za a través c.o lo.... elementos' que atrav:'esa la frontera entre par
ticiones, obteniéndose C cono superposición de los Guboatricas IC?-?
ya citadas.
Les ventajas de este método son: aprovechar la matriz -
banda simétrica, almacenando y operando sólo con X V G.# También i i
saca ventaja de que la matriz sea definida positiva, pues jracime
a ello se puede utilizar el procedimiento de inversión de Cholee-
ki, y en total se necesitan 2 N3 multiplicaciones en vez de 3 K3
por partición, (;tef. B-23, pó-g* 62)e
Gomo todo método directo sirve rimuítañeamenté para re
solver varios casos de ear¿.;a (teatro dol campo de .i.a elasticidad),
y el tiempo total de computador es fijo.
Corno contra tiene que para anchos de banda grandes, al -
elevarse al cuadrado el tamaño de KL. C precisa mucho más tiempo y
memoria que los métodos indirectos (HefJB-12, pá&. 20*|).
Para terrenos sin potencial plástico (dilatancia distin
ta del rozamiento interno) la matriz de rigidez deja de ser simé
trica, necesitándose por ello mayor capacidad de almacenamiento
del ordenador, y mayor tiempo de cálculo al requerirse una subru
tina de inversión general de matrices no simótricas.
5Q<*~
3-5 ftrtffqfoeo>fr fla fr p ^ ^ q f l f l f a
B-5-1 . - Generalidades
Les problemas no lineales pueden resolverse por el
método de los elementos finitos, solamente mediante un pro ce
so iterativo, debido el carácter lineal de las ecuaciones del
método*
£1 problema no es simple, pues como indica Connor
(Bef* B-35pág. 60) no solo se trata de introducirlo en la for
mulacion, sino que las técnicas de resolución son mucho más -
complejas y la elección de variables e interpretación de r e
sultados debe realizarse con juicio y prudencia para alcanzar
la solución verdadera*
Algunos problemas simples, tales como el del mate
rial que no resiste tracciones o tiene diferente deformabili-
dad para la compresión que para la tracción, pueden resolver
se por un proceso iterativo directo. Se aplica la carga total
al terreno suponiéndolo perfectamente elástico y el resultado
indica que zonas fisura rían por aparición de tracciones. Se -
introduce de nuevo la totalidad de la carga, añadiendo unas
fuerzas ficticias que se anulan entre sí y que equivalen a -
las tracciones aparecidas, y así sucesivamente hasta que en -
el resultado no haya nada máes que compresiones (Ref- B~£3pág«
257^1 Ref. B-47)~* Suelen precisarse unas 20•iteraciones*
321 proceso iterativo directo puede aplicarse también
a los cuerpos elásticos no lineales* Se calcula primero para
el modulo de Young tangente en el origen, resultando unas te&
sienes a las que corresponde unos módulos de Young aseantes
diferentes (Jlg. B~14a) son los cuales se repite el cáleuli ~
51,-
hasta conseguir la coincidencia entre los resultados de dos
iteraciones consecutivas (fief. B-32 pág. 193; Ref. B-51 pág.
664)• la extensión de este procedimiento a la plasticidad -
no es lícita según señala A. Serrano (Ref. 3 pág. 44)f deb¿
do a que no refleja el proceso de carga y las trayectorias de
tensiones en cada i>wnto9 Efectivamente, al depender las rela
ciones tensión deformación de caía punto de las tensiones del
mismo en ese instante, el proceso de deformación y la propa
gación de la zona plastificada viene condicionado por la 2ii¿
toria tensional de cada elemento, y para resolver el proble
ma se hace necesario el aplicar un método Iterativo inpremen
tal, que reproduzca la evolución de las tensiones al progre
sar poco a poco las fuerzas exteriores.(Hill, Hef.A-16, pág.
238)o
El método incremental tiene dos variantes<(Ref.B-37)t
La primera se podría denominar "de incrementos de carga y de
formaciones iniciales ficticias**» En ella se separan las d e
formaciones elásticas y las plásticas, y para cada incremento
de carga se obtienen las primeras como si se tratase de un -
problema elástico normal, utilizando el artificio de conside
rar las deformaciones plásticas, supuestas conocidas, como d£
bidas a una deformación Wnaiea o unas tensiones iniciales -
(I*ig. B-15 b), a continuación se obtienen las tensiones, y a
partir de ellas las deformaciones plásticas, según la ecuación
del apéndice A. x P _ ^ ,f
áa± Al no conocer a priori el incremento de las deformaciones plás
ticas, se presupone que son iguales a las del escalón anterior,
con lo cual las deformaciones plásticas obtenidas no coinciden
con las supuestas, pero con incrementos de carga pequeños es
suficientemente aproximado» Sin embargo es más correcto y más
exacto el realizer una segunda iteración dentro de cada incr£
52
*• e
Deformación e
Fig. U
5**~
deformaciones plásticas obtenidas, hasta conseguir la coinci
dencia de resultados de dos iteraciones consecutivas. Según -
los estudios de Argyris (Ref. B-7 pág. 635), lo más pra0t4.cc
a fin de obtener igual precisión con tiempo de cálculo mínimo,
es realizar esta doble iteración, que permite dar escalones de
carga bastante mayores, bastando en cada uno con repetir los
cálculos de 3 a 5 veces.
El método, propuesto separadamente por Liendelson, Ca
llenger y posteriormente por Argyris (Bef. B-7 ; ñef. B-ft pág.
196; Hef. B-51 pág. 664), tiene la ventaja de que tüista con %
vertir la matriz de rigidez elástica del sistema una sola vez,
con un considerable ahorro de tiempo. Tiene en cambio la limi
tación de no ser aplicable a cuerpos elast©plásticos perfectos,
no rigidizables, que son los aquí tratados, en los cuales cono,
cida la tensión no es posible determinar la deformación pláeti,
ca al no existir una correspondencia biunivoca.
la segunda variante incremental es la de la matriz *
de rigidez tangente. En él para cada incremento de carga se -
obtiene, con las relaciones tensiones deformación del momento,
la matriz de rigidez del sólido y se resuelve el problema en
corrimientos totales (elásticos mas plásticos), como si se tra
tase de un problema elástico anisotropo con unas constantes «-
elásticas ficticias. Tiene el grave inconveniente del tiempo
de cálculo, ya que en cada incremento de carga hay que repetir
todo el proceso. Además de ser válido para cuerpos elastoplás-
ticos perfectos, y no solo rigidizables, su principal ventaja
radica en su mayor rigor teórico. Con este procedimiento se -
sigue el proceso real de deformación del terreno determinsjfikio
las trayectorias de las tensiones en cada punto, y por ese m.£
tivo, por seguir paso a paso al fenómeno físico reproduciendo^
le en cada instante, la solución a la que se llega debe ser -
54 —
La aplicación al método de loe elementos finitos
requiere- el calcular para cada incremento de aarga la matriz
(B) de la ecuación (4) en cada punto plastificado, repitien
do todos loe cálculos hasta obtener el sistema (10).
Como en la variante anterior,es factible el reali
zar este proceso incrementa! directamente, requiriéndose e£
calenes de carga pequeño© para tener la precisión adecuada;
e es posible también el iterar de nuevo en cada incremento
de carga para no trabajar con la matriz "tangente" a la ley
de tensien deformación en el comienzo del escalón * sino h£
cerló con una '•secante11 de modo que los errores sean meno
res y no sean acumulativos* Debido a que para cada iteración
hay que cambiar la matriz de rigidez e invertirla, este ref¿
namiento de la doble iteración no resulta tan ventajoso en -
este método»
55.-
B-5-2 Método incrementa! de la matriz de rigidez tangente.
Variantes existentes:
Este método de la matriz de rigidez tangente, per -
ser el más riguroso, es el más empleado. Seguidamente se pasa
revista a sus diversas modalidades con más detalle.
La mayoría de los aurores tras la primera carga que
alcanza el límite elástico en un punto, van dando incrementos
de carga, tales que sólo plastifiquen otro punto o elemento -
más. Con ello se sustituye la ley de tensión-deformación por
una poligonal cuyos segmentos son paralelos a las tangentes a
dicha ley en los puntos donde comienza cada escalón de carga.
Bara mallas relativamente tupidas en que el número de puntos
o nodos es alto, al irse plastificando de uno en uno se requi£
ren incrementos de carga muy pequeños. Por ejemplo AngyEarper
muestran incrementos medios de un 6$ de la carga que inicia -
la plastificación (Bef. 3 pág. 414) para un problema deter
minado, y de un 0,4$ (Ref. 3 pág. 410) para otro; Fort (Bef.12
figuras) muestra incrementos del yf> al 10$. La precisión por
tanto se mantine, pero a costa de un gasto de tiempo muchas ve
ees inútil; en el ejemplo antes citado (Ref. 3 pág. 410) con
un aumento del 6$ de la carga se pasa de la iniciación de la -
pías tif i cae ion a la rotura total, y para ello hay que resolver
16 veces el problema elástico, modificando otras tantas veces
la matriz de rigidez del sistema al plastifioarse sucesivamen
te 16 elementos. Otros problemas, por el contrario requieren
un incremento de carga apreciable para plastificar un nuevo -
punto, por ejemplo un 22$ en el ejemplo de la Ref. 3 pág. 415,
y esto ya es excesivo, pues la linealización de las leyes -
5*.-
tensión-deformación resulta muy grosera»
Bate sistema,seguido tambión por Xorente de N 0 (Ref .20
tCristian (Ref. B-18; Rsf. B-f7) y Pope (fí&f. B-39) tiene por
tanto el inconveniente de que la precisión o el tiempo de orde
nador puede dañarse en parte al tratar un problema plástico u
otro.
Una forma de evitar esto consiste en dar incrementos »
de carga prefijados, suficientemente pequeños y apropiados al
problema que se trate. Kl primer inconveniente que se ve es el
de los puntos q,ue plastifiean durante dicho incremento de car*»
gaf y que han intervenido en los cálculos como si fueran elás
ticos; SDamuly Phuk»n (Ref • B-§6 ps*g. 316) no corrige adecuadas-
mente este defecto, pero otros autores como Beyes (Ref. B*4t -
pág. 481) y Marcal (Ref. B~3J pág. 146) si; el último ©n esta
zona de transición toma un coeficiente de rigidez del elemento
promediando el elástico y el elast©plástico.
de Káe¿' ^dej'plast,
donde "m" se estima en base a les incrementos de tensiones que
sufrió el elemento en el escalón de carga precedente.
A fin de poder dar escalones de carga algo mayores -
Reyes y Morgenster aplican la doble iteraeióa citada párrafos
antes. Morgenstern (Ref. B-10, Alcyus (Itef. B-3 ) y Crose (Bef.
B-17 pág.. 991) para cada aumento de cargas 00a la matriz de -
rigidez "tangente" obtiene una primera solución de dezplaza*
mientos y tensiones, y con estes re calcula una matriz "secante"
tantas veces sea necesario hasta conseguir la convergencia de»
seada. Reyes (Ref. B-41) con un celo excesivo llega en cambie
5 7 —
a aplicar una iteración triple, lo cual debe considerarse -
innecesario y poco práctico; no obstante se expone con mayor
detalle su método por el gran esfuerzo que supone y por ser
en teoría el más riguroso*
Bara el incremento de carg-a MmM sino resuelve la
ecuación. -+ -* »>*-! A dm ~A*m (10)
y obtiene unas tensiones
Debido a que la matriz (D)m<..x tangente al princi
pio del incremento ha cambiado a lo largo de este, realiza
una iteración con las tensiones (Bef. B-41 pág» 481) S • ya ni
obtenidas, obteniendo corregida W ^ i y a partir de esta
sffi r * 1 = S - + (D)*; - A"» m m—i .m—1 m
Una ves conseguida la convergencia (normalmente con
solo 3 iteraciones) corrige el error introducido por la linea,
lización de la matriz de rigidez. Efectivamente ( K ) ^ ^ s© oa¿
culo a partir de S «,, -y;, ahora se conocen unas nuevas tensi£
nes Sj£ que han hecho evolucionar (K) a lo largo del incremen
to de carga; por lo tanto los desplazamiento» % que verif^
can (10) no verificarán
<K>m 4dm - A » B
dando un residuo
pi * ¿ p - (K) A di m m m »
Beyes resuelve de nuevo el sistema (10) para estas
nuevas cargas "i" veces, tantas como haga falta (normalmente
tres) hasta alcanzar residuos despreciables (Hef, B-41 pág« 482)
* " q*l A \
5$>-
0
%
^L| • d— • • • • • 4L|
con 0* cual de nuevo corrige las tensiones (42)
Deede el panto de vista de programación y cálcale
el método es complejísima, pues hay que reoaleular (D) y (K)
muchas oís veces, siendo dudóse que la «ayer precisión obte
nida compense ese esfuerso* Aparte de ello el trabaje de.Beyes
parece tener varios errores* Ba las leyes teneión-deformaoieti
(Bef* B-41 pág* 479)# q«e deduce per un camino muy largo, qui
tó por igaorar el artículo original de Druoker y Praguer *&
que se ha basado* También, como indica Castillo ten, las itera
ciones que ¿1 plantea no son correctas y deberían hacerse con
If5 y con 0O»«of5 ©a lugar de (Bjg^ y (D)m y con
^ m - 1 y ^ m TP*09 ^J** J*1881 de la •&***« "tangente" en
el comienzo del intervalo a la "tangente* en el final, en lu
gar de tomar una intermedia "secante" que sería lo adecuado*
Para el problema que aquí se trata, tras estudiar -
les resultados numéricos de Fort (Bef• 42 ) se llega a la
conclusión de que con intervalos de oarga relativamente peque
ños es innecesario el uso de las iteraciones dobles en (K) y
(D) de Beyes* e incluso la iteración simple en (K) de üorgena,
tern (Bef* S-3*)y Barcal (Bef* B-/1S pág* 147) y basta en gene. de
ral con preveer el incremento tensión del escalón de carga s¿
guiante para utilifcar (K) en el sistema (41) y (EÍJQ^O 5
en las ecuaciones (42)* Haciendo los incrementos de carga con¿
tantea, es lógico suponer que el incremento de tensión es —
igual al del escalón anterior, y efectivamente se ha comprobado
que para incrementos de oarga de hasta el 15# eUo es más exa£
to en la evaluación de (D) y (£) que el suponer que son nulos
¡A
B-6.- Programa &o cálculo eleotr6nioot
i¿e ha r caucado un programa de elementos finitos en len
. guaje FORTKAN, para leía máquinas IBM 360 y 1.130, Dicho ¡irograma
se ha procurado sea bastante general, con vistas a futuras inve£
tigaciones personales o de otxos doctorados.
ri programa es apto para la resolución de problemas -*•
planos (tensión plana o deformación plana) en elasticidad o en -
elastoplasticidad para sólidos con cohesión o con rozamiento, o-
ambos casos a la vez, permitiendo la introducción de cuerpos no -
homogéneos y también, on el caso de elasticidad, de cuerpos ani3£
tropo;:-• Para tratar el problema del talud se ha creado una 3ub-*ru
tina especial que forma automáticamente la malla de elementos del
mismo, adaptada a sus características geométricas, que ahorra la -
engorrosa preparación y perforación de datos, evitando* además po
sibles errores humano/:, Se ha confeccionado también otra sub~rut¿
na más general apta para definir cualquier tipo de malla y contojr
no, para el estudio de otros problemas*
Resulta factible, con pequeños, cambios, el adoptar a es
te programa nuevos criterios de plastificación¿ tales como el de *-
Roscoe, má» de acuerdo con el comportamiento real de los suelos, -
y que queda como probable camino a seguir en el futuro.
En el apéndice C se incluye el listado de intruccio
nes del programa*
1
60*-
B-6-1. Variables escocidas*
De los dos métodos de discretización del continuo hoy
día en uso, se lia escocida el de los elementos finitos por r e —
cuitar aác flexible para adaptarse a diferentes contornos que el
de Ang y Ilarpcr (Kef. 17 ) cuyos nodos o puntos deben respetar
una cuadrícula rugosa o Lulo lo . iás de rombos, según 2B. adapta—
ción de lorente de UÓ (PLCI. B-32).
Dentro do este método la primera elección a realizar -
es el tipo do elementos* So vio en el apartado B-4-1 que para —
problemas elásticos y de terrenos homogé] os se debe ir a ele—
mentos grandes muy refinados; en nuestro caso, que se de"sea ob—
servar la forma de plantificarse progresivamente el talud, los -
elementos ya plastificados constituyen una no homogeneidad y para
representarla se precisa de elementos pequemos. Por ello la elec
ción está entre el triángulo simple, con deformación constante, o
el cuadrilátero.
Este último requiere un mayor esfuerzo de programación
y mayor tiempo de cálculo para formar la matriz de rigidez, por -
lo que, pese a reconocer su superioridad, 3e ha desechado. Según -
esto se debía desembocar en el paralelogramo (Pig. B-8-b), que —
tiene la misma precisión y es más sencillo de programar y se aaa£
ta bien al contorno del talud, pero también se ha dejado a un la
do por el deseo do crear un programa más general, a fin de usarse
posteriormente para el estudio de otros problemas de Lie canica de -
Suelos. Concretamente está ya en estudio el caso de talud vertical
contenido por una pantalla anclada por parte de D. Enrique Casti—
lio Kon, y el de un túnel por parte de D. Cesar Sagaseta Millan y
este último problema tiene un contorno al que no 3e adapta el para
lelogramo.
El triángulo con deformación constante tiene la ventaja
é l , . elásticas y plásticas*
Elegido por las razones anteriores el triángulo, exis
tia la posibilidad de "condensarlo" en cuadriláterost según la -
técnica de Ytilson, que es un artificio en general recomendable,
y que respeta en principio 1% flexibilidad de forma del elemen
to} sin embarco, tampoco no se hizo esto debido a haber tomado -
por gula el método de programa de Cheung (Ref# 3-5? Cap# 15)»
Para la resolución del sistema la balanza queda muy -lili i < w » w i mi i III i fc—fc——mm—i*m+m •*• "'
equilibrada entre el método directo de tridiagonalización o de -
las particiones, y el iterativo de Gauss Seidel acelerado (apar
tado B-4-3-)
Ambos aprovechan satisfactoriamente la propiedad de ma,
triz banda simétrica, aunque el primero precisa de una oapaoidad
de almacenamiento doble (opera con las matrices EL y C~;enteras -
y el de Gauss-Seidel con la mitad de ellas)*
Al tratarse de un problema plástico, donde la historia
de la carga es determinante, ambos deben resolver las distintas -
hipótesis de carga de una en una, perdiendo asi el método directo
la ventaja que tiene en elasticidad de resolver varias hipótesis
de carga simultáneamente.
El método directo asegura la resolución del problema en
un tiempo fijo, mientras que con el método iterativo, que suele -
tardar en general menos, se corre el riesgo de que no sea asi. SI
mayor peligro de la inversión de matrices, que es el de operar con
números muy altos, desaparece prácticamente al trabajar con valo
res adimiensionales* :". • .
62.-
Duránte las iteraciones plásticas el método it-erativo -
arranca de una solución inicial más exacta que la grosera suposi
ción de igualar las incógnitas a coros y. con ello ahorra gran can
tidad de tieripo. Pero ul~;:o parecido le ocurre al método de la tri
diagonalinación, pusa en «1 ni los elementos plantificados están
en las últimas partió: orí?:- b'io h<y c¿ue invertir las últimas í?ub-
matriccc K^: par;, provo^-cir bien e.sta ventaja los datos deben su
ministrarse por el orden adecuado para rué la zona de plasticidad
contenida del sólido en estudio llevo la numeración de elementos y
particiones más alta.
La elección es difícil, y corno ya se indicó, la mitad de
los autores encoben una solución y la otra roitad la otra, ¿n este
caso se ha elegido el aótodo de xridiaKonalización, pese a la ven
taja aprociable del de üauss-¿eidel para matrices de banda muy an
cha (cosa oa Tf¿.,te if^cutntc). .Debe' advertirse que esta elección
es importóte, pue¿ de ella ;.r2p:_nde el tiempo total de ordenador
empleado, y además, puede condicionar el resto del programa, como
es el proceso de iteración plástica.
Para el estudio de la progresión de la zona plástica con
tenida se utiliza el procedimiento incremental de cargas, de la ma
triz de rigidez "tangente".
iSl otro posible método a emplear de la "rigidez inicial
con deformaciones iniciales ficticias" no es utilizable aqui por
tratarse de un cuerpo elastoplástioo perfecto. Por otro lado la
conclusión de Whang (Hef, B-4tíj es que es•inferior en precisión al
de la rigidez tangente.
Se dan a partir del comienzo de la rotura aumentos de •
carga constantes, y se obtiene una matriz de rigidez secante en el
6 3 -
intervalo de carga, a base de presuponer cuales serán los incremen
tos de tensión quje aparecerán en él. ...
A fin de aumentar la precisión, las tensiones se calculan
promediando los de caá a dos triánguloÜ.contiguos.
iái mayor oefuer^o Be ha realizado en lo relativo al crite
rio c'v ult r.ti ftr.r-r.-'6ri °- >')\rado , 'it ilizándone las teorías más ri^uro
sao, ya que este en ul perito ui'.n débil de la mayoría de los autores
consultados. ¡Je enplea como modele de terreno el elastoplástico per
fecto cen el criterio de rotura de iíohr Coulomb, que tiene la venta
ja de poder contrastar los resultados con teorías y aplicaciones an
teriores, cono son estabilidad de taludes calculadas por división
en fajas ó por el m'todo de Sokclowsky (taludes isorresistentes).Fi
nalmente se ha añadido otro modelo de terreno, que es el de Mohr
Coulomb con dilrtancia constante prefijada (a la cohesión "cM y ro
zamiento "0" se añade un tercer parámetro que es la dilatancia "v"
distinta de 0), realmente interesante para el estudio de suelos, -
pues según la experimentación se acomoda mucho más a la realidad.
Como este terreno carece de potencial plástico, la matriz
de rigidez no es simétrica, y ello ha obligado a realizar más modi
ficaciones creando un segundo programa de cálculo electrónico algo
más complejo y lento me el primero.
B 6—2.- Organigrama*
**.-
Lectura e impre sion,de datos -geométricos.
Subrutina formación de ao dos y elementos.
Túnel Cualquiera Lectura
de nodos y elementos•
Subrutina de formación de nodos, elemen toa y par ti-"" ciónos.
Lectura de datos reológicos, de -densidad y cargas
I Formación del vector de cargas.
Formación de la matriz de rigidez de cada ele mentó. "*
Agrupación de la matriz de rigidez total.
Modificación de la matriz de rigidez y. del vector de cargas debido a los desplazamientos prescritos.
Corrección de la ma triz de rigidez de-" los elementos plas-tificados, o q.ue -plastificaran en el nuevo incremento de carga.
Corrección de la matriz de rigidez to « tal.
Resolución del sistema por el método de tridia ¡gonaliz ación. "*
Resolución del siste ma para el nuevo in-cremento de carga.
Cálculo de los residuos o errores.
T Calculo de tensiones.
Cálculo de los inor£ mentos de tenaion.
Búsqueda del pri mer elomento pías tificado, y niveT de carga a c i u e -ocurre .
Cálculo del vector de incremento de cargos sucesivos.
(/impresión de corr¿ mientos y tensiones totales.
Búsqueda de nue vos elementos ""* plas-tif icadoü •
69.-
B-6-3»- Manejo del programa
L o s flatos a suministrar al ordenador son loe -siguientes*
Forma y dimensiones generales del taludfy tamaño y nume
ro de loo elementos, así como loa desplazamientos prescritos en el
contorno.
Características reoiógicas del sólido incluyendo hasta 5
constantes elásticas (caso de anisotropía transversal, y valores de
rozamiento,. de la cohesión y qtilatancia paassa cada tipo de terreno»
Cargas exteriores, puntuales sobre los nodos y fuerzas má
sicas debidas a la gravedad.
k°s resultados que impriaeel ordenador son:
Coordenadas de los nodos y elementos en que se ha descom
puesto el terreno.
Particiones ideales para la resolución del sistema por el
método de tridiagonalización.
Datos de las propiedades reológicas del terreno o terrenos.
Datos de cargas exteriores y fuereas nodales totales equi
valentes, incluyendo el peso propio.
Una vez resuelto el sistema dentro de la teoría elAstical
Tanto por uno de las fuerzas o del peso propio que inicia
la plastifioación. Corrimientos de los nodos y tensiones según los -
ejes coordenados y tensiones principales para cada pareja de elemen
tos en el instante de terminar la fase elástica.
ST.-
Tanto por uno de los Incrementos descarga sucesivos y
estado de corrimientos nodales y tensiones elementales al final
de dichos Incrementos, así como valor relativo del criterio de -
plastificaoión en cada elemento»
Apéndice C
PROGRAMA DE CALCULO
.y 9
A P É N D I C E - C -
L I S T A D O S D E L P R O G R A M A BBZZS—ai==:r:=irz zimsiamzx zzzzssmmmmmmammB as m-=m ciaras: am
D E C A L C U L O mstatsjtmsaesaemmmmssmtsxsmmm
2.-
i/-T?ama y subrutinao enmleadoc
Profxamadorest Cañizo Perate, Castillo Ron, Sagaseta "illán (por orden alfabético).
Ordenador» IBM 11-30 de 32 K,con disco.
Programa i PLEF 1 P ". 5
Cálculo por el método de elementos finitos de la plastifioación pro
gresiva de un terreno coulombiano con dilatanoia prefijada.
Subrutinas
PENOD
TALEX
TIJIÍEX
CAEEX
MATEF
SOLEF
TUIVP
PIAEX
i lectura de datos de una malla cualquier* (no se incluye el listado a
continuación)•
formación de la malla de nodos y elementos do un talud. P¿g# 8
ídem de un túnel (no c>e incluye el listado).
lectura y formación de las cargas y propiedades reológicías. Pá:.11
formación de la matriz de rigidez. Pá*~,15
resolución del sistema. PáV.22
subrutina de inversión de matrices (no se incluye el listado).
cálculo de tensiones, rado de tdastificación e incrementos sucesivos.
Imnresión de resultados. P .-j.?6
3
Listado de variables y datos Braosesnaseasoasassasseassaii
Al? « ángulo de eje de anisotropía con la horizontal,
AUM » tanto por uno de incremento de cargas en cada iteración plástica.
B - matriz cocimiento deformación de un elemento,
BV » valor del desplazamiento prescrito de cada nodo.
C • matriz de rigidez de un elemento (o incremento de la matriz).
CFT • coseno de 0,
CO » cohesión.
D m matriz tensión deformación.
IB « matriz tensión corrimiento de un elemento,
DEftS m densidad ( vertical, eje "yH ).
DPLA » incremento del grado de plastifioación.
EAHTH - fuerza másica ( horizontal, eje nx" ).
E 1 » módulo de Young secún el eje de anisotropía.
E 2 • módulo de Young en la dirección de los estratos.
F . • términos independientes del sistema, al resolver por sustitución.
FPLA • grado de plastifioación.
GE m módulo de rigidez.
IBLAS « vale "uno" 3i es un problema plástico.
HTÜEV - vale "uno" si se van a resolver varios problemas.
IPLAS » positivo para los elementos píastifloados.
ISCAR m vale "uno" si hay cargas suoesivas.
LBCP m vale "uno" si hay carga límite,
UOT - primera partición plastificada.
RB - "uno" si tiene desplazamiento prescrito el nodo»
NBOÜN - numero de nodos con desplazamiento prescrito.
HCAR ai míraero de vectores de carga.
ITCOLN « vale "uno" si hay tensiones iniciales.
4-
NCONC m numero de cargas concentradas.
1TELEM «i número de elementos.
1JEM m tamaño de la partición máxima.
M T D • último elemento de cada partición.
ÍTEP « tipo dé material de cada elemento.
NF o número del nodo con desplazamiento prescrito.
NPAS • número de fases de excavación o construcción.
NFTRS • primer nodo de cada partición.
1IIAST m último nodo de oada partición.
NOD « número de los nodos de cada elemento.
ÍIP » vale Muno H si es tensión plana.
NPART « número de t>articiones,
NPOIN m número de nodos,
NYM m número de terrenos distintos.
NTMI « número de zonas de terreno distinto..
P 1 » coeficiente de Poisson según el eje de anisotropía.
P 2 « coeficiente de Poisson según los estratos.
StftJ m ángulo de dilatanoia.
ST m matriz de rigidez de cada partición.
ST 1 «• matriz de rigidez de la oartición siguiente.
ST 2 n matriz de rigidez que relaciona la partición siguiente con cada
una ( si hay función potencial plástico es la transpuesta de pa£
te de ST y no se oaloula ).
TED • incremento de tensión.
TEN • tensión acumulada en el baricentro de oada pareja de elementos.
TFT • ángulo de rozamiento interno.
U « vector de cargas actuante.
ÜD f m incrementos de desplazamientos, solución del sistema.
UT « corrimiento total, de varias iteraciones o hipótasie de carga.
X » coordenadas de oada nodo.
XE - coordenadas de los nodos de un elemento.
5-
PAGE
PRINTER,1442 ;>UNCH,DISK)
NENCC1
flÑ FOR •LIST ALL •IOCSÍ2501 READER,1403 «ONE WORD INTEGERS
DEFINE FILE 8(1300,56,U,NS),9(260,36,U,ND) DIMENSIÓN X(150,2),N0D(250,3),NSTAR(18),NLAST(18) ,NFIRS(18)
18)
DIMENSIÓN NF(34),NB(34,2),BV(34,2,2),E1(4),E2(4),P1(4),P2(4),GEÍ4) 1,C0(4),TFI{4),NEP(250),AN(250),XE(3,2),IPLAS(250) ,CFI(4),SNU(4) 2,ST(28,56),STl{26,2tí),TED(375),FPLA(125),DPLAU25),AUM(2) 3fUD(300t1),F(300,1),U(300,2),TEÑÍ375fl) 4,DENS(4),EARTH(4) DIMENSIÓN ALFAÍ15) COMMON X,DELT,8\/,E1,E2,P1,P2,GE,C0,TFI,AN,UD,U,XE,C01,GE1
1,CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPL1,SNU,ALAN,DENS,EARTH _.CDMMON JI,JJ,NP0IN,NPART,KE1,NEM,NELEM,NB0UN,NYM,NC0NC,NC0LN,IELAS 1,NP,LMEN,NS,ND,IP,LIMP,NCAR1,ISCAR,NFAS,LIM1,IU 2,IER,N0D,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCAR,IFAS,ICAR 3,ICAF,INUEV JI=8 JJ = 5 READ( J I f 3 D A L F A W R I T E ( J J , 3 2 ) A L F A R E A D Í J I , 2 3 ) N P A R T , N P 0 I N , N E L E M , N P , I E L A S , L I M P , N E M , I N U E V , I F 0 R M , N C A R W R I T E ( J J , 2 3 ) N ° A R T , N P 0 I N , N E L E M , N P , I E L A S , L I M P , N E M , I N U E V , I F 0 R M , N C A R KE1=NELEM*0.25 KE1=NELEM-KE1*4 IF (KE1) 3 6 , 3 7 , 3 6 KE1=NELEM+4~KE1 GO TO 40 KE1=NELEM CONTINUÉ I F ( I F 0 R M ) 1 1 , 1 2 , 1 3 CALL TUNEX GO TO 14 CALL PENOX GO TO 14 CALL TALEX CONTINUÉ CALL CAREX. CALL L I N M P L E F 2 ) F 0 R M A T ( 1 4 I 5 ) F O R M A T Í l H i t ! 5 A 4 Ñ ) F0RMATÍ15A4) END
VARIABLE ALLOCATIÜNS X (RC)=7FFE-7DA8
P 2 Í R C U 7 C 7 C - 7 C 7 6 U ( R C ) = 7 8 1 0 - 7 3 6 2
S T 1 ( R C ) = 6 7 0 8 - 6 0 E A Al íM(RC)=5f>C0-56BE
J I Í I C ) ^ 5 6 A l NELEMí IC ) = 56913
N P U C ) = 5 6 9 5 NCAR1( IC)=568F-
N O D { I C ) = 5 6 8 9 - 5 3 9 C
36
37
40
11
12 13 14
23 32 31
DELT(RC)=7DA6. GE(RC)=7C74-7C6E X E ( R C ) = 7 3 6 0 - 7 3 5 6
TEN(RC)=60E8-5DFC FPL l (RC) -»56 t lC
J J ( I C ) = 5 ó A 0 NÜOUN( IC)=569A •L^EMÍ I C ) =569.4. Í S C A R Í I C ) = 5 6 t í É
N E N D ( I C ) = 5 3 9 B - 5 3 8 A
BV(RC)=7DA4-7C96 CÜ(RC)=7C6C-7C66
C O K R O - 7 3 5 4 TEDÍRC>=5DFA-5B0E SNU(RC)=56BA-5óB4
N P 0 I N ( I C ) = 5 6 9 F ' N Y M ( I C ) = 5 6 9 9
N S ( I O = 5 6 9 3 N F A S Í I C ) = 5 6 8 D
NFIRSÍ 1 0 = 5 3 8 9 - 5 3 7 8
E1(RC)=7C T F H R C ) = 7C. G E i ( R C ) = 7 3
FPLA(RC)=53 ALAN IRC ) = 5 6J-
NPARTt I C ) = 56 NCONCí IC)=56<
N D ( I C ) = 5 6 L I M K IC)=56«Í
N L A S T ( I C ) = 5 3
W«>f«
PAGE 18
RR FOR •LIST ALL •IOCSÍ2501 READER,1403 PRINTER,1442 PUNCH,DISK) •ONE WORD INTEGERS
DEFINE FILE 8(1300,56,U,NS),9(260,36,U,ND) DIMENSIÓN XÍ150,2),N0D(250,3),NSTAR(18),NLAST(18),NFIRS<18),NENC(
18) DIMENSIÓN NF(34),NB(34,2),BV{34,2,2),E1(4),E2<4),P1(4),P2(4),GE(4)
1»C0(4),TFI(4),NEP(250),AN(250),XE(3,2),IPLAS(250),CFI(4),SNU<4) 2,ST(28,56),ST1(28,28),TED(375),FPLA(125),DPLA(125),AUM(2) 3rt«H3ÜO,l),F(300,l),UÍ300,2),TEN(375,l) 4,DENS(4),EARTH(4)
COMMON X , D E L T , B V , E l , E 2 , P l , P 2 , G E , C 0 , T F I , A N , U D # U , X E , C 0 i f G E l ltCFI,ST,STl,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPLl,SNU,ALAN tOENS,EARTH
COMMON JI,JJ,ÑP0IN,NPART,KEl,NEM,NELEM,NBOüNríf¥MTNCONCfNC0LN fIELAS l ,NP,LMEN,NS,ND, IP ,L lMP,NCARl , ISCAR,NFAS,LIMl f IU 2,IER,N0D,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCAR,IFAS,ICAR 3rieAF,INUEV ICAF=0 IFAS=0
1029 IF(ISCAR)100,100,J01 100 IF(NFAS)105,105,102 102 GO TO 109 101 IF(IP)905,905,103 .-•^•^•: .^-,. 905 WRITE(JJ,7001)ICAR
GO TO 105 103 IF(IU)105,105,113 113 AUMÍ1)=AUM(ICAR)
IF(FPL1~1.U14,115,115 115 AM~AUM(1)
GO TO 116 114 AM=1. 116 DO 117 I=1,NP0IN
11=2*1-1 12=11+1 U(I1,1)=U(I1,ICAR)*AM
117 U(I2,1)=U(I2,ICAR)*AM 105 CALL MATEF
CALL SOLEF IF(IER)109,1019,109
1019 CALL PLAEX IFUELASU026,1026,1030
1030 IF(IP)1024,1024,1025 1024 NIT=0
' . IP=1 WRITE(JJ,2000)
2000 F0RMAT(Ñ,« FIN DEL ESCALÓN ELÁSTICO») WRITE(JJ,500)
500 FORHAT(1H1) IF{FPLl)1026,1026,3002
3002 IFÍFPL1-1. )1033,1029,1029 1033 IF(LIMP)1029,1029,1026 1025 IF(10)8001,8001,8002 8001 NIT=NIT+1
ANIT=NIT WRITE(JJ,25)NIT
->. £&**.4*J&ÍH¿^.> ~%;^B^J^-±<¿*&,-'i,Kj^>*^lM^¿^-*¿^.<¿:* iiaíéih,'
?-PAGE 19
25
8002 8003
1052 7002
7003
7004
1026 107 108
7001
106 109 999 20
FORMATÍH,» FIN DE LA ITERACIÓN PLÁSTICA NUMERO»,14) GO TO 8003 IU=IU-1 WRITEÍJJ,500) , IF(LIMP)1029,1029,1052 IF(IPL)7002,7002,7003 FP=1.RFPL1 GO TO 7004 FP=ALAN IPL=0 C0MP=í1.+ANIT*AUM(1))»FP IFÍCOMP-1.)1029,1026,1026 IF(ISCAR}106,106,107 IF ( ICAR-NCAR1)108 , }09 ,109 ICAR=ICAR+1 IP = 1 -f H T = 0 • • . • • ' . . . ' WRITEÍJJ,7001ÍICAR FORMATÍÑ,» VECTOR DE CARGA NUMERO»,13,RR) IU=2 GO TO 1029 CONTINUÉ IF(INUEV)999,999,20 CALL EXIT CALL LINK(PLEFl) END
VARIABLE ALLOCATIONS X(RC)=7FFE-7DA8 P2(RC)=7C7C-7C76 UÍRC)=7810-7362
ST1ÍRC)=6708-60EA AUMÍRC)=56C0~56BE JI(IC)=56A1
NELEMÍIC)=569B ,NPÍIC)=5695
NCAR1ÍIC)=568F NODÍIC)=5689-539C
N8( IC)=5331-52EE ICAF(IC)=50FÓ
I I I )=0016
DELTÍRC)=7DA6 8VÍRC)=7DA4-7C96 EMRC)=7t GEÍRC)=7C74-7C6E CG(RC)=7C6C-7C66 TFIÍRC)=7C XEíRC)=7360-7356 CQ1(RC>=7354 GE1(RCÍ=7Í
TENÍRC)=60E8-5DFC TEDÍRC)=5DFA-5B0E FPLAÍRC)=5£ FPL1ÍRC).=56BC SNUÍRC)=56BA-56B4 ALAN(RC)=5¿
JJ Í IC )=56A0 NP0INÍ IC)=569F NPARTííC)=5é NB0UNÍIC)=569A NYM(IC)=5699 NC0NC(IC>=5¿
LMENÍIC)=5694 NS(IC)=5693 N 0 Í I C ) = 5 í ISCARÍIC)=568E NFASÍIC)=568D " 'L IMK IC )=5í
NENO(IC)=539B-538A NFIRSÍ IC)=5389-5378 NLASTÍ IC)=5i NEPÍIC)=52ED-51F4 IPLASÍIC)=51F3-S0FA NCAR(IC)=5C
INUEVUC)=50F5 AMÍR )-OOOE ANITÍR )=0C 11(1 )=0017 I2ÍI )=0018 NITÍI )=0C
STATEMENT ALLOCATIONS 2000 =0025 500 =0035 25 =0038 7001 113 =009C 115 =00AE 114 =0086 116 =O0BA 1033 =012C 1025 =0132 8001 =0136 8002 =0149 107 =0182 108 =0188 106 =01A2 109 =01A2
117----00E1 105 8003 *C14F 1052 999 =01A6 20
= 0036 -OOFE = 0157 = 01A7
FEATURES SUPPORTED ONE WORD INTEGERS IOCS
CALLEO MATEF SFIO
SUSPRÜGRAMS SOLEF PLAEX SIOI SUBSC
FSU3 PRNZ
FMPY SOFIO
FMPYX PNCHZ
FOIV FLO FLDX
REAL CONSTANTS •100000E 01=0020
rj?-*' "í^vsapy.' •
PAGE 4
flfl FGR •LIST ¿LL •ONE WORO INTEGERS
SU8RQUTINE TAtEX OIMENSIGN X<150,2),N00<250,3),NSTAR(l8)tNLAST(l8),NFIRSC18),N 18) DIMENSIÓN NF<34),N8<34,2),BV(34,2,2)tEi<4>,E2(4)»Pl<4)tP2(4í » ltC0(4),TFIl4),NEPt250),ANC250),XE(3,2),IPLAS(250> ,CFI{4),$NU( 2,ST(28,56),SU(28,28),TEO<375),FPLA<125),DPLAC125),AUM<2) 3,UOt300,l),F<300,l),U<300,2),TEN<3 75,U 4,0ENS(4),EARTHÍ4> COMMON X,0ELT,8V,Ei»E2,Pl,P2,GE,C0,TFI,AN,UD»UfXE,Cai,GEl
X,CFI,ST,ST1,TEN,TEO,FPLA,DPLA,F»AUM,FPtl,$NÜ,ALAN,ÜENS,EARTH COMMON Jl,JJ,NPOIN,NPARr,KEl,NEM,N£LEM,NBOUN,NYM,hCGNC,NCOLN, l»NP,LMEN,NS,NO,IP,LIMP*NCARl,I$CAR,NFAS,LIM1,IU 2,IER,NQD,NEND,NFIRS»NLASTtNSTAR,NF,NB,NEP»IPLAS,NCAR,IFAS,ICA
C FORMACIÓN NODOS,ELEMENTOS Y PARTICIONES 00 35 I*1,NPGÍN
xu,n»o. 35 XCI,2)*0.
00 38 I*1,KE1 DO 38 J*l,3
38 NGDU,J)*0 WRITE(JJ,16> REA0<JI ,23)NHl,NH2,NLl,NL2»NP0L,N£LL,tGRA0 WRITEUJ,23)NH1»NH2»NL1,NL2,NPQL,NELL,IGRAP REAO C J I , 2 5 ) 8 1 , B 2 , 8 3 , B 4 REAO Í J I , 2 5 ) A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , T A W R I T E U J , 2 5 ) 8 1 , 6 2 , 8 3 , 8 4 , Al ,A2,A3,A4,A5»A6 f TA
'UR ITEUJt l . 71 c
0ELT*A8S11.882) D A l « t A 2 - A i > 8 < N L i ~ U 0A2* íA4-A3)R(NL2~ l ) 0 A 4 » ( A 6 * A 5 ) R ( N H - 1 ) 081«(82-81)R(NH1~1) 082* (84~B3)RÍNH2-1 )
KE=0 , . H12"=NH2*.5*(83*B4> , ,
HL*HL2+NHÍ*.5«{S1+B2) ' " NH3-NH1+NH2+1 NL3«NLl+NL2+l D A 5 * 0 . - .. -v •..':•• -. • •••. ••- • D T A 1 « 0 . AX*HL*TA DO 1 0 0 1 = 1 , N L 3 •••••* w ' : -
AL=LA , IF ( 1 - 2 ) 4 9 * 4 1 , 4 2
41 DÁ3=Al OA5*A5 GC TO 49
42 IF CL-NL1-2) 4 S , 4 6 , 4 7 45 ÜA3*0A3+DA1
D A 5 = C A 5 * 0 A 4 _: ' '>''••••• •'- ••- ' •—:—
PAG6 5 '•'" \" '' ' "'*•'"•• "';:-•:-' \ '
GO TG 49 46 OA3-A3
GO TO 49 47 0A3-DA3+UA2 49 AX»AX*DA3
DTAl*DTAl+(OA3-DA5)RHL2 BX*HL 083*0* DO 100 J«1,NH3 JB-J-1 8J»J8 IF UA-NL1) 70,70,60
60 NH«NH1+1 IF U-NH) 65,65,100
65 IF(J-2)76,66,67 66 0B3*B1
GQ TO 80 67 D83«DB3+Ü81
I F ( J 8 - N H l ) 8 0 , 5 9 , 5 9 59 N t * N H 4 l
GO TO 80 70 IF (IGRAO-U 71 ,62 ,100" 62 ÍF (L-NLU 7 1 , 6 3 , 1 0 0 63 DO 68 l « i , N E t t , 2
KE«1+KE K2*K£U R E A 0 ( J l f 2 2 ) K 3 , ( N G D ( K E , K i ) f K l * l , 3 ) , ( N a 0 C K 2 , K ! . í , K I « l , 3 > I F ( K E - K 3 ) U 4 , 6 8 , 1 3 4
134 W!UTE{JJ,20) CALI EXIT
20 FQRKATI9H DATO MALA////) .?..:. .
DO 69 l*l,NPGL K*l+K R£AD(JI,2n«,XCK,U,XCKf2) IFÍK-KJ34,69,34
34 WRITE(JJ,20> CALt EXIT
69 WRIT6(Jsl,2Í)K,X<K,Í),X{K,2>
l l ) t N E N D C t + l > , N t A S T ( t + n , N S T A R { L * 2 > , N F I R S { t 4 ' 2 ) IGRAÜ»2 GO TÜ ioo ~~ - " . •• • , •- . ~~^~
71 NH«NH3 IFU-NHl-2*65, 73,74
73 083=83 DTA^DTAl GG TO 80
74 o83»Ge3*082 ..-• -...---..-..-...--~: GQ TQ 80
76 OTA-0* . l H I G R A D - 2 ) l 0 5 t 106,105 , : _
105 N!FÍRS{LÍ^K4 1 NSrAR(M«K£+l GO TQ 1 0 7 . — T - ; : - - . - • - - :
106 ÍGRA0«3
PAGE
40r
107 80
86 87
86
89
100
101
102
43 16 17 18 19 21 22 23 25
NL*NL3 K»K+1 BX*8X-0B3 IF<J-NH)86t88f88 IF(L-NL)87f89,89 KE*KE+i N00CKE»1)*K NGGíKE»2)«K4NHn N00(KE f 3)»K«*NH KE«KE+ l N 0 D < K E f l ) » K N 0 D ( K E , 2 ) « K + 1 N Q 0 ( K E » 3 ) * K + N H * i 00 Tü 89 NLAST(L>»K NEND<L)*KE %
X ( K , l ) = A X - T A » ( H L - B X ) - D T A * ( H t 2 - 8 X ) X ( K » 2 ) * 8 X W R I T E ( J J » 2 1 ) K » X ( K f l ) , X ( K t 2 í CONTINUÉ M R I T E U J » 1 8 ) 00 101 I»ltKElf4
' 1 2 « Í 4 2 • .Y-*-" •••••« ' Í3«I43 MRITEf J J t 2 2 } I . f ( N Q 0 ( - I f J ) 9 > l 9 3 ) v ( N 0 D ( I Í v J Í 9 J » l # 3 ' ) t ( N 0 0 ( I 2 , J ) , J
l . t C N G 0 I I 3 9 J ) , J * l t 3 > W R I T E ( J J t l 9 ) DO 102 I * 1 , N P A R T W R Í T E ( J J , 2 3 ) f t N F l R $ ( ! ) » N L A S T ( n t N S T A R ( í í , N £ N O ( n 00 43 í = i » N P O t N 00 43 J » l , 2 X < I t 4 » * 0 e i T * X ( I » J > FGRHAT( f l l2H DATOS TALUOfO F0RMATIR2X- f 15HNG0G CQGRDEN X , 8 X » I H Y Ñ ) F0RHAT( fU6H ELEMENTO NQÓOSfl) F0R8AT<fü?6H PARTE NODOS ELEMENTOS*}) F 0 R M A T ( I 5 , 4 F 1 4 * 6 ) F 0 R M A T { I 5 > 4 C 3 I 4 f 4 X U . F G R K A T Q 2 Í 5 ) F 0 R M A T ( U F 8 . 3 > RETURN END
VARIABLE ALLGCATIONS X(RC>=7FFE-70A8
P2(RC>=7C7C-7C76 U C R C ) * 7 8 l 0 - 7 3 6 2
STHRC)=*670 í * -60£A AUM<RC>«56C0-568E . ¿ I . ( Í C ) * 5 6 A 1
N E L E M t I C ) a ? 6 9 8 N P U O - 5 Ó 9 S
N C A R 1 U C M 5 6 8 F N G 0 C I C ) » 5 ó 8 9 - 5 3 9 C
N 8 C I C ) * 5 3 3 1 - 5 2 E E '• 6 K R ) « 0 0 0 0
0 £ L T ( R C ) * 7 D A 6 GE(RCÍ *7C74~?C6E X E ( R C ) * 7 3 6 0 - 7 3 5 6
" :-"-TEW(RCl«60E8-5DFC F P L 1 ( R C ) * 5 6 8 C
J J ( I C ) * 5 6 A 0 N B G U N U C ) * 5 6 9 A
LHENCIC) «55694 I S C A R U C ) » 5 6 8 E
N£N0CIC1 'a5396-538A N E P ( I C > * 5 2 E 0 ~ 5 1 F 4
B2CR 1*000 2
8 V ( R C ) * 7 D A 4 ~ 7 C 9 6 E U R C0(RC) = 7CóC-7C66 T F K R
CQ1CRCM7354 GEUR TE0 ÍRCJ«5ÜFA-580E FPLAC". SNÜ{RC>*568A-56B4 A L A N U
f4PÜXH( IC)=569F N P A R T d NY«(1C")*S"699 NCOJVCI í
N S ( I C ) * 5 6 9 3 N O ( I NFAS( IC - )»5660 L í t f l í 1
N F I R $ T T C t * 5 3 r B 9 - 5 3 7 8 NLAST( l ! P L A S ( Í C ) * S 1 F 3 - 5 0 F A NCARI I
63 (R 1=0004 04 {11
*•-<..¿¿Mrf •JfcdfrhW i» rJWjflji i - fctfa^»ttfaj -*^ ^ : , ; ^ ^ : - ^ ^ > ^ l ^ ; . &á&
PAGE
* / . -
ÑÑ FOR • L I S T ALL •ONE WORD INTEGERS
SUBROUJINE CAREX DIMENSIÓN X ( 1 5 0 , 2 ) , N O D ( 2 5 0 , 3 ) , N S T A R ( 1 8 ) , N L A S T ( 1 8 ) , N F I R S ( 1 8 ) , N E N D Í 1
18) DIMENSIÓN N F ( 3 4 ) , N B { 3 4 , 2 ) , B V ( 3 4 , 2 , 2 ) , E 1 ( 4 ) , E 2 ( 4 ) , P 1 ( 4 ) , P 2 ( 4 ) , G E ( 4 )
1 , C O ( 4 ) , T F I ( 4 ) , N E P ( 2 5 0 ) , A N { 2 5 0 ) , X E ( 3 , 2 ) , I P L A S ( 2 5 0 ) , C F I ( 4 ) , S N U ( 4 ) 2 , S T ( 2 8 , 5 6 ) , S T K 2 8 , 2 8 ) , T E D ( 3 7 5 ) , F P L A ( 1 2 5 ) , D P L A ( 1 2 5 ) , A U M ( 2 ) 3 , U D ( 3 0 0 , 1 ) , F ( 3 0 0 , 1 ) , U ( 3 0 0 , 2 ) , T E N ( 3 7 5 , 1 ) 4 , D E N S ( 4 ) , E A R T H ( 4 ) I
COMMON X , D E L T , B V , E 1 , E 2 , P 1 , P 2 , G E , C O , T F I , A N » U D , U , X E , C O I , G E 1 l , C F I , S T , s r i , T E N , T E D , F P L A , D P L A , F , A U M , F P L l , S N Ü r A L A N t D E N S , E A R T H
COMMON J I , JJ ,NPG1N,ÑPART,KE1,NEM,NELEM,NBOUN,NYM,NCONC,NCOLN, IELAS _ _ _ _ . J U M P , L M E N , N S , N D , I P , L I M P , N C A R l f I S C A R , N F A S , L I M 1 , I U
2 , I E R , N 0 D , N E N D , N F r R S , N L A S T , N S T A R , N F , N 8 , N E P , I P L A S , N C A R , I F A S , I C A R
PROPIEDADES REOLOGICAS IDAT=0 W R I T E ( J J , 3 8 )
38 FORMATÍÑ,» TIPO ZON DESPL CARG NUM») W R I T E ( J J , 3 9 )
39 FORMATÍ" SUEL HET PRESC SUC FASES»,Ñ) READ ( J I , 2 3 ) N Y M , N Y M I , N B 0 U N , I S C A R , N F A S W R I T E ( J J , 2 3 ) N Y M , N Y M I , N B 0 U N , I S C A R , N F A S W R I T E ( J J , 1 3 )
13 F0RMAT(Ñ17H PROP. REOLOGICAS) ' ' * W R I T E ( J J , 1 4 )
14 FORMATÍÑ» MODULO ELASTICIDAD G COEF POISSON COHES 1 FUERZA MASICA D I L A T A N C )
W R I T E ( J J , 2 0 1 ) 2 0 1 F 0 R M A T Í 7 X , » X , , 9 X , , Y , , 1 6 X , « X » , 6 X , , Y » , 1 2 X , , R 0 Z « , 5 X , « Y » , 6 X , ' X » , Ñ )
DO 3 1 I = 1 , N Y M READ ( J I , 2 6 ) E l ( I ) , E 2 ( I ) , G E U ) , P 1 U ) , P 2 C I ) , C 0 ( I ) , T F I ( I )
1 » D E N S ( I ) , E A R T H ( I ) , S N U Í I ) 3 1 W R I T E ( J J , 2 6 ) E 1 ( I ) , E 2 ( I ) , G E ( I ) , P 1 Í I ) , P 2 ( I ) , C 0 ( I ) , T F I í I )
1 , D E N S ( I ) Í E A R T H U ) , S N U ( I ) G E 1 = 1 . Ñ G E ( 1 )
'.'••• C01=GE1*DELT r' "^ -Vv-'- ;.-. '" :-DO 29 I = l t N Y M T F I ( I ) = T F I ( I ) * 0 . 0 1 7 4 5 3 CF I ( I ) =COS ( TF I ( I ) ) - - : - : - — — • • •• • • •••;•••- —
' . T F K I ) = S I N ( T F I ( I ) ) S N U Í I ) = S N U ( I ) * 0 . 0 1 7 4 5 3 S N U ( I ) = S I N ( S N U ( I ) ) E l ( I ) = E 1 ( I ) * G E 1 E 2 ( í ) = E 2 ( I ) * G E 1 C 0 ( I ) = C G C I ) * G E 1
29 G E ( I ) = G E ( I ) * G E 1 I F ( N Y M - 1 ) 3 2 , 3 2 , 3 3
33 CONTINUÉ * , „ : : , : W R I T E Í J J , 7 )
7 F0RMAT(Ñ13H NO HOMOGÉNEOS) W R I T E ( J J , 8 ) '• • ..__,_:.....:..
8 FGRMATUX, 'ELEMEN DO 34 I = 1,,MYMI
TIPO A N G U L O S Ñ )
•.í°?Vvv.-:-*»
T f^tÜiil^fl^-ttijS» • -*--.••.. sa£*.v„
tó-PAGE 8
34
32
9 44
501
U
READ (JI,24)NPRI,NULT,NEPItAX WRITE(JJ,24)NPRI,NULT,NEPI,AX DO 34 J=NPRI,NULT NEP<J)=NEPI AN<J)=AX GO TO 44 DO 9 I=1,NELEM AN(I)=0. NEP(I) = l CONTINUÉ NPUN2=NPOIN*2 CALCULO CARGAS DO 300 L=1,NCAR WRITE(JJ,501)L F0RMAT(fl,20H HIPÓTESIS CARGA N0.,I2,Ñ) WRITE(JJ,11) FORMAT(Ñ,« CONTORNO (0=DESPL. PRESCRITO 1SCRIT0 )«,Ñ)
, 1=DESPL. NO PRE», •
WRITE{JJ,200) 200 FORMATÍÑ,2IX,»DESPLAZAMIENTOS»)
WRITE{JJ,12) 12F0RMATC NODO X Y X», 12X, • Y» ,fl)
DO 30 I=1,NB0UN READ íJI,24)NF(I),N8íI,1),NB(I,2),BV(I,1,L),BV(I,2,L) WRITE(JJ,24)NF(I),NB(I,1),NB(I,2),BV(I,1,L),BV(I,2,L) BV(I,1,L)=BV(I,1,L)*DELT
30 BVÍI,2,L)=BV(I,2,L)*DELT
0=N0 HAY 1 = SI HAY»tf3) WRITE(JJ,10)
10 FORMATÍÑ,» FUERZAS WRITE(JJ,210)
210 FORMATÍ» F. CONC MASA Y- X AUM»,fl) READ (JI,23)NC0LN,NC0NC,IDENS,IEART,IAUM WRITE(JJ,23)NC0LN,NC0NC,IDENS,IEART,IAUM AUMÍD^IAUMÑílOCO. DO 99 I=1,NPUN2 U ( I , L ) = 0 . IF (NCONC) 107,106,107 DO 98 1=1,NCONC RfcAD(JI,21) K,U(2*K-1,L),U(2*K,L) WRlTEÍJJf21) K,U(2*K-1,L),U(2*K,L) IF(NCOL,N)108,109,108 DO 91 I=1,NP0IN,2 12=2*í READ <JI,21)J,UT,VT,V0L,AX IF(J-I)82,83,82 WRITE(JJ,20) F0RMATÍ9H DATO MAL,ÑÑÑÑ) CALL EXIT CON'TINUE WRITEÍJJ,21)I,UT,VT,V0L,AX U( I2-1,L)=U( 12-1,D+UT U( I2+l,L)=UÍI2+1,L) + V0L U( 12 + 2, L)=UÍ I2+2,L)+AX
91 U(I2,L)=Ü(I2,L)+VT 109 IF(IDENS)li0,112,ll0
99
107
98 106 108
82 20
83
PAGE 9
112 IF(IEART)110,111,110 110 DO 93 II=1,NELEM
J=NfcP(II) DO 94 1=1,3 J1=NGD(II,I) XE(I, 1)=X(Jl,l)
94 XEU,2)=X(J1,2) V0L=XE(2,1)*(XEÍ3,2)-XE(1,2))+XE(1,1)*(XE(2,2)-XE(3,2)) VOL= .166667*{V0L+XE(3,l)#{XE(l,2)-XE<2»2)n IF(VQL)194,194,196
194 IOAT-rr 27 FORMATÍ» DATO MAL ELEMENTO»,15,ÑRRÑ)
WRITE(JJ,27)IDAT 196 CONTINUÉ
VOL=VOLK(DELT*DELT) ' -^^^-^^^: UT=VOL*EARTH(J) VT=VOL*DENS(J) •/ ' y^í-^M DO 93 1=1,3 J2=2*NOD(II,I) Ü(J2-1,L)=Ü(J2-1,L)+UT
93 U(J2,L)=U(J2,L)+VT r^-,^u~jy,.\.-¿ 111 WRITE(JJ,15) l:.y" W^'-\^:-y. .::. 15 F0RMATÍÑ7H CARGASE)
WRITE(JJ,122) .—:—.,..— 122 F0RMATÍ2Í» NODO CARGA X«,7X,«CARGA Y «),Ñ)
DO 55 l=l,NP0IN,2 11=1+1 12=2*1
55 WRITE(JJ,121)I,UU2-1,L) ,U( 12, L), 11,U( 12 + 1,L ) ,U( I 2+2, L ) 121 F0RMAT(2(I5,2F14.6,4X))
DO 54 I=1,NPUN2 54 U(I,L)=U(I,L)*C01
300 CONTINUÉ WRITE(JJ,22)DELT,GE1 WRITE(JJ,1000)
1000 FORMAT(lHl) IP=0 IU=0 LMEN=1 DO 123 I=1,NELEM
123 IPLAS(I)=0 IF(ISCAR)400,400,401
400 IF(NFAS)402,402,401 401 NCAR1=NCAR _____
NCAR=1 LIM1=LIMP tIMP=l
402 ICAR=1 IFMDATÍ 116 ,116 ,117
117 CALL EXIT 116 CONTINUÉ 21 F0RMAT(I5,4F14.6) 22 FCRMATÍR14H ESCALA LÜNG=-, F 10» 5, 7H TENS=,F10»5> 23 F0RMAT(14I5) 24 F0RMAT(3I5,2F12.6) 26 FORMAT(3F10.1,7F7.3)
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RETURN ENO
VARIABLE ALLOCATIONS X(RC)=7FFE-7DA8 DELT(RC)
P2(RC)=7C7C-7C76 GE(RC) U(RC)=7810-7362 XE(RC)
ST1(RC)=6708-60EA TEN(RC) AUM(RC)=56C0-56BE FPLKRC)
J I ( IC)=56A1 J J ( I C ) NELEMUC)-=5498 NBOUN(IC)
N P ( I U = 5 6 9 5 LMEN(IC) NCAR1(.IC)=568F ISCAR(IC)
NODÍIC)=5689-539C NENDÍIC) NBÍ IC)=5331-52EE NEP(IC) AX(R )=0000 UTÍR )
I Í I )=000C NPRKI ) Ul )=0012 IOENSd J
I I Í I )=0018 ' J K I )
STATEMENT ALLOCATIONS
ñ~
=7DA6 =7C74-7C6E =7360-7356 =60E8-5DFC =56BC =56A0 =569A =5694 =568E =539B-538A =52ED--51F4 =0002 =0000 =0013 =0019
38 12 22 44 109 300
= 0030 =00F8 =0175 =02FD =0462 =05B0
39 10 23 30 112 123
= 0040 = 010A = 0186 --0361 =0466 =05D5
13 210 24 99 110 400
=0050 =0110 =0189 =03A5 =046A =05EB
14 20 26 107 94 401
FEATURES SUPPORTEO ONE WORD INTEGERS
CALLEO SUBPROGRAMS FCOS FSIN FSUBX SCOMP SIOFX SIOIX
REAL CONSTANTS .100000E 01=0022
FMPY SIOF
FMPYX crní
BV(RC) CO(RC)
COKRC) TEO(RC) SNU(RC)
NPOIN(IC) NYM(IC) NSÍIC)
NFASÍIC) NFIRSCIC) IPLAS(IC)
VTÍR ) NÜLTd ) IEARTÍI J
J2U )
= 7DA4 = 7C6C-=7354 =5DFA-= 56BA-=569F =5699 =5693 =568D =5369-«51F3-=0004 =000E =0014 =001A
•7C96 -7C66
•5B0E -5684
5378 50FA
=005C = 012C =018E
201 27 31
=03BD 98 =0496 194 =05EF 402
= 0089 = 0137 -CÍE 7 = 0308 = C4E4 = 05FF
FDIV SUBSC
FOIVX FLD
.174530E-01=0024
INTEGER CONSTANTS 0=002C 1=002D 2=002E
CORE REQUIREMENT.S FOR CAREX COMMON 12042. VARIABLES
.OOOOOOE 00=0026
3=002F
34 PROGRAM 1512
ENO OF COMPILATION
ÑÑ DÜP
El( TFIÍ GEK
FPLAl ALANÍ
NPARTÍ NCONCÍ
ND( LIM1Í
NLASTÍ NCAR( VOL(
NEPK IAUMÍ
Il(
RO=/ RC) = ? RC)=7 RC)=5 RC) = 5 IO = 5 IC)=5 IU=5 TU =5 IU=5 IC)=5 R ) = 0 I )=0 I )=0 I )=0
7 15 29 106 196 117
= 00A1 = 0148 = 027A = 03EF = 04EE = 0607
FLDX
•100000E 0¿
•DELETE CART ID 0EC1
CAREX DB ADOR 2838
«STORE WS UA CAREX CART ID 0EC1 DB ADDR 2B4B
DB CNT 0064
DB CHT 006 7
Ñft EJECT
i J* *i'»fel5id!a»«-^.'¿_*t . £&&..
PAGE 45.-
RÑ JOB
LOG DRIVE 0000
CART SPEC 0EC1
CART AVAIL 0EC1 0EA4
PHY ORIVE 0000 0002
V2 M06 ACTUAL 32K CONFIG 32K
RR FOR «LIST ALL *ÜNE WORD
121
400
401 402
129
124
INTEGERS SUBROUTINE MATEF . DIMENSIÓN X(150,2),N0D(250,3),NSTAR(18),NLASTf18),NFIRS(18),N£Nü(l 18) DIMENSIÓN NF(34),NB('34,2),BV(34,2,2),EH4),E2{4>,P1Í4),P2(4),GE(4) l,C0(4),TFn4),NEP(250),AN{250),XE(3,2),IPLAS(250),CFI(4),SNU(4) 2,ST(28,56),STl(28r28),TED(3 75),FPLA(125),DPLA(125),AUK<2) 3fUQÍ300,1),F(300,1),U(300,2),TEN(375,1) 4,DENS(4),EARTH(4) DIMENSIÓN B(3,6) ,C(,6,6) ,DB(3,6),ZX(3)»ZY(3),0(3,3) 1,D1(3,3),C1(6,6),DB1(3,6),NG(28),'ST2(28,28) COMMON X,DELT,BV,E1,E2,P1,P2,GE,CG,TFI,AN,UD,U,XE,COI,GE 1 1,CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPL1,SNU,ALAN,DENS,EARTH COMMON JI,JJ,NP0IN,NPARr,KEl,NEM,NELEM,N80UN,NYM,NC0NC,NCGLN,IELAS 1,NP,LMEN,NS,ND,IP,LIMP,NCAR1,ISCAR,NFAS,LIM1,IU 2,IER,N0D,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCAR,IFAS,ICAR EQUIVALENCE (Cl(1,1),AN<11)),(C(1»1),ANÍ47)),(DB1(1,1),AN(83) )
1,(DB(1,1),AN(101)),(B(1,1),AN(119)J,(NOÍi),AN(137))
FORMACIÓN DE MATRICES NE1=2«NEM DO 121 1=1,NEM DO 121 J=1,NEM ST1(I,J)=0, NÜEP=0 IOES=0 DO 200 II^LMEN,NPART NST=NSTAR(II) NEN=NENü(II) K1=NFIRS(II) L = NLAST(ID-M=2*(L-K1+1) IF (II-NPART) 400,401,400 — — -NA=2*(NLAST(II+l)-Ki+l) ' •*' GO TO 402 NA = M N=NA-M MM=M+1 MN=M+N DO 124 1=1,NEM N0(I)=0 DO 12 3 J^1,NFM ST2(I ,J)=0. DO 124 J=l,Ntl ST( I , J)=0. -. • --••:. DO 122 1=1,M
PAGÉ 2
DO 122 J=1,M S T ( I , J ) = S T 1 ( I , J )
122 STK I , J ) = 0 , IF<NEN-NST)158,128,128
128 CONTINUÉ DO 150 LK=NST,NEN I F ( I P ) 1 2 5 , 1 2 5 , 1 5 1
151 LK1=0 .5* (LK+1) I F ( I P L A S Í L K ) - 1 ) 1 5 0 , 1 0 5 , 1 0 3
103 I F ( I P L A S ( L K ) - 4 ) 1 0 5 , 1 0 4 , 1 0 4 104 IDES-1
GO TO 125 105 IF(FPLA(LKl)-0.9999)106,125,125 106 IF( IU-D2002,2002,150
2002 NUEP=1 125 DO 126 1=1,3
J1=N0D(LK,I) XEU,1) = XU1,1)
126 XE(I,2)=X(J1,2)%
DO 130 J=l,6 DO 130 1=1,6 C( I, J)=0. IF(I-3)131,131,130
131 DB(I,J)=0. B(I,J)=0. IF(J-3)132,132,130
132 D(I,J)=0. 130 CONTINUÉ
QRX=<XE( 1,1)+XEÍ2,1)+XE(3,1))«.333333 0RY=(XEÍ1,2)+XE(2,2)+XE(3,2))*.333333 DO 135 1=1,3 XE(I,l)=XE(I,i)-ORX
135 XE(I,2)=XE(I,2)-ÜRY C C CALCULO DE RIGIDECES ELEMENTOS
ZXU)=XE'(2,2)-XE<3,2) ZX(2)=XE(3,2)-XE<1,2) .ZX<3)=XE(lf2)-XE(2f2) ZY{l)=XEÍ3,l)-XE(2,l) 2Y(2)=XE(l,l)-XE(3t1) ZY(3)=XE(2,1)-XE(1,1> ZK=XE{2,1)*XE(3,2)-XE<3,1)*XE<2,2) Z=3.*ZK DO 139 1 = 1,3 12=2*1 b( 1,I2-1) = ZX(I)ÑZ B(2,I2)=ZY(I)RZ B(3,Í2-1)=B(2,I2)
139 B(3tI2)=B(l,I2-l) Z=Z*0.5 IF(IP)211,211f2l2
211 CONTINUÉ C
J=NEP(LK) YH1=E1(J) YM2=E2(J)
PAGE 3 . ' . . . : . . I T l
.PR1=P1(J ) P R 2 = P 2 ( J ) G=GE(J) IF (NP) 1 4 7 , 1 4 8 , 1 4 7
C C DEFORMACIÓN PLANA
148 EE=YMlflYM2 Y M 1 = Y M 1 Ñ ( 1 . - P R 1 * P R 1 )
YM2=YM2Ñ(1 . -EE*PR2*PR2) P R 2 = ( P R 2 + P R 1 » P R 2 ) Ñ ( 1 . - E E * P R 2 * P R 2 )
C C TENSIÓN PLANA 147 EE-YM18YM2
DEN=YM1Ñ(1.-EE*PR2*PR2) D(l.l)=OEN D(2,1)=PR2*DEN Di 1,2)=0(2,1) DÍ2,2)=0ENÑEE ' D(3,3)=G
C GO TO 161
212 IF(NUEP)219,219,211 219 IF(IDES)216,216,211 216 LK2=3*LK1
IFÍIU-1)1206,1206,1217 1206 IF(NUEP)1216,1216,1208 1208 0RE=(1.-FPLAÍLKl))ÑíABS(DPLA(LK1)))
IF(ORE-K) 1209,1209,297 297 GRE=1. 1209 PR1=(TEN(LK2-2,1)-TEN(LK2-1,1))*0*5+.5*ÜRE* ( TE0ÍLK2 -2)-TEÜ(LK2-1))
G=TEN(LK2,1)+T'EDUK2)*0RE GO TO 1216
1216 PRl={TEN(LK2-2,l)-TEN{LK2-l,l))*0.5+.25*ÍTED(LK2-2)-TEDíLK2-l)) G=T£N(LK2, 1)+.5*TED'( LK2) GO TO 1218
1217 PRl=(TEN(LK2-2f1)-TEN(LK2-1,1))»0.5 G=TEN(LK2,1)
1218 CONTINUÉ PR2=PR1*PR1 FA2=PR2+G*G FA=SQRTÍFA2) I2=NEP(LK) 0RX=1.Ñ(1.-2.*P1(I2J+TFIU2)»SNÜ(12)) . ORY=ÍTF I ( Í 2 ) * G R X ) Ñ F A ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 R Z = ( S N U ( I 2 ) * 0 R X ) f t F A Z K = < í l . - 2 . * P H 1 2 } ) * C R X ) Ñ F A 2 PR2=PR2*ZK D l ( l , l ) = l ' . + 0RX-PR2-PR i * (GRY+ÜRZ) D l ( 2 t 2 ) = l . + 0 R X - P R 2 + P R 1 » ( G R Y + 0 R Z ) D 1 ( 3 , 3 ) = 1 . - G * G * Z K D i ( l , 2 ) = - 1 . + GRX + PR2-P"R1»(0RY-DRZ> D l ( 2 , l ) = - l . + a R X + P R 2 + P R l * ( 0 R Y - 0 R Z ) 011 1 , 3 ) = G * Í - Ü R Z - Z K ^ P R I ) D l ( 3 , 1 ) = G * ( - 0 R Y - Z K * P R 1 ) D 1 ( 2 , 3 ) = Ü * ( - Ü R Z + Z K * P R 1 > D l ( 3 , 2 ) = G * ( - 0 R Y + Z K * i > R l ) *' '
PAGÉ* 4
IF(NUEP)293,293,291 291 NUEP=0
IF (ORE-. 3333 )1295, 1295, 1296 1295 QRE^.*ORE
GO rC 294 1296 CRE^Í l.+ORE)*.5
GO TO 294 293 ORE=0. 294 ORX=l.-ORE
DO 292 1=1,3 DO 292 J = l,3
292 D(I,J)=D1(I,J)«QRX+D(I,J)*ORE WRITE(JJ,28)í(DU,J),I=1,3),J=1,3) ND=LK READ(9»ND)( (DBKI, J),1 = 1,3),J = l,6) DO 241 J = l,ó DO ¿41 1=1,6 C1U,J)=0. DO 241 K=l,3
241 C H I,J)=C1(I,J) + DB1{K,J).*B(K,I)*Z 161 1F(NUEP)169,169,216 169 IF(IDES)ló6,166,168 168 ORE=l.
IDES=0 GO TO 294
166 CONTINUÉ DO 164 J=l,6 DO 164 1=1,3 DO 164 K=l,3
164 DB(-I ,J)=DBÍ I,J)+D( I,K)*B(K,J) ND=LK WRITE(9«ND)((DBÍI,J),1=1,3),J=l,6)
C G MATRIZ ELASTIC DEFORMACIÓN PLANA
DO 199 J=l,ó DO 199 1=1,6 DO 170 K=l,3
170 C(I,J)=C(I,J)+Z*B(K,I)«D8(K,J) IF( IP)199,199,198
198 C(I,J)=CÍI,J)-C1(I,J) 199 CONTINUÉ
DO 180 KK=1,3 . I = 2»(KI$-1) KL=NOD(LK,KK)-L IF(KL)175,175,172
175 MJ=2*(NGD(LK,KK)-K1) Gü TO 181
172 MJ=2*(KL-1) 181 IF(IP)13?,182,183 183 NS=1+8»(NÜD(LK,KK)-1)
IK=N0C(LK,KK)-K1+1 IF(NÜ( IK) )191,191,lo?'
191 DC 186 MI=1,2 M«I=MJ+Ml IF(KL)185,185,184
184 READ(8«NS)(ST1(MMJ,J) , J=1, N)
PAGE* 5'
NS=NS+1 READ(8«NS)(ST2ÍMMI,J),J=1,M) NS=NS+1 GO TO 186
185 READÍ8,fs!S)(ST(MHI,J),J = l,M) READ(8»NS)(ST(MMI,J),J=MM,NA) NS=NS+2
186 NOÍIK)=l 182 DO 180 LL=1,3
J=2«(LL-1) IF<KL)189,189,187
187 IK=NOD(LK,LL)-L -IF(IKÍ189,189,173
173 NI=2«(IK-1) GO TO 176
189 NI=2*(N0D(LK,LU-K1) 176 DO 177 NJ*1,2
Bü 177 MI=1,2 MMI=MJ+MI NNJ=NJ+NI IMI=I+MI JNJ=J+NJ IF(KL)178,178,174
174 IF(IK)273f273,274 . 274 ST1(MMI,NNJ)=ST1(KMI,NNJ)+CIIMI,JNJ)
GO TO 177 273 ST2<MKI,NNJ)=ST2(MNI,NNJ)+C(IMI,JNJ)
GO TO 177 178 ST{MMI,NNJ)-ST(fcMI,NNJ)+C(IMIfJNJ) 177 CONTINUÉ 180 CONTINUÉ 150 CONTINUÉ
00 406 I=l,NEM 406 mu )=0 158 CONTINUÉ
C C DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS
00 403 I=1,NB0UN MA1=NF( I)-K1 NA1=NF(I)~L IF (HA1) 403,407,407
407 IF (II-NPART) 404,408,404 404 MMA1=NF(D-NLASTÍII+l)
IF(MMA1)408,408,403 4.08 DO 403 J = l , 2
IF (N8(I,J)) 403,410,403 410 NMI=2*MA1+J
DO 414 Jl=l,MN I2=2*Kl-2+Jl IF (NA1) 411,411,396
411 ST(NMI,JI)=0. STÍNMIfNMI ) = 1. GO ÍO 414
396 MJ=J1-H NMK=NMI-M IFU',J)399,399,397
r
399 ST2ÍNMK,J1)=0. I GO TO 4x4 I
397 IF(IP)414,414,398 I 398 ST1(NMK,MJ)=0.
STHNMK, NMK)=1. { 414 CONTINUÉ
J3=2*Kl-2+NMI f DO 62 11 = 1,NCAR ¡i
62 U( J3, I1)=BV( I,J,I1) [: 403 CONTINUÉ |¡
C ESCRITURA EN DISCO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA PARTICIÓN f| IF( I P ) 4 3 3 , 4 3 4 , 4 3 3 f!
433 I F ( N E N - N S T ) 4 3 6 , 4 3 1 , 4 3 1 {j 4 3 1 DO 437 J1=NST,NEN \\
I F ( I P L A S Í J 1 > - 1 ) 4 3 7 , 4 3 9 , 1 4 3 9 1439 I F ( I P L A S ( J l ) - 4 ) 4 3 9 , 1 4 4 0 , 1 4 4 0
- 1 4 4 0 I P L A S ( J U = IPLAS( J D - 1 3 439 DO 435 J = l , 3
. N S = 8 * N 0 ü ( J l , J ) - 7 K L = N 0 D ( J 1 , J ) - L j I K = K L + ( . 5 * M ) | I F ( N O d K ) ) 4 3 2 , 4 3 2 , 4 3 5 i
432 DO 535 M I = 1 , 2 I I F ( K L ) 4 5 2 , 4 5 2 , 4 5 1 I
451 )MJ=MI+2*KL-2 I WRITE{8»NS)(ST1(MJ,K),K=1,N) i NS=NS+1 i WRITE(8'NS)(ST2(MJ,K),K=1,M) I
. NS=NS+1 J GO TO 438 •'?
452 MJ = MI + 2MNGDU1,J)-K1) WRITEÍS'NS)(ST(tfJ,K),K=1,M) WRITEÍ8'NS){ST(MJ,K),K=MM,NA) NS=NS+2 :
438 NG(IK)=1 \\ 535 CONTINUÉ íj 435 CONTINUÉ ' -r 437 CONTINUÉ í
GO TO 436 , ¡i; 434 NS-8*Kl-7
DO 405 Ji=i,M { KRITE(8,N$)(ST{J1,J),J=1,M)' ¡ WRITE(8»NSMST(J1,J),J=Mh,NA) )
405 NS=NS+2 " - — ~ — NS=8*L+3 DO 1405 J1=1,N WRIT£(8*NS) (ST2(J1,J),J=1,M) 4
1405 NS=NS+3 :;!: 436 CONTINUÉ ¡í 200 CONTINUÉ 'i
IF(IU)2000, 2000, 2001 " ij 2001 IU=IU-1 2000 CONTINUÉ ' jjj
28 FORMATÍ(0E12.4)) Í RETURN % END
% • - • '} VARIABLE ALLOCATIONS !'
X(RC)=7FFE-7DA8 DELT (RC ) =7DA6 6V(RC)=7DA4-7C96 E I ( R C ) = 7C:I;
.*w&:*ü^Í^Wdte«-i ^ '-*:':,¿tíC V>¿;¿-*«V ^ wiA¿(¿i¿«¿«--^.«#.. t*rfwí.«--.v -4w&li&UV. . f
PAGE 7
P2 ÍRC) U(RC)
S T K R C ) AUM(RC)
J I I I C ) NELEM( IC)
N P ( I C ) NCARK I C )
NOD( IC) NB(IC)
- i C K R C ) ZX(R )
ORY(R PR2(R
FA(R IÜE.S.M
M ( I
) = ) = ) = )-' ) =
U K I KL( I N I ( I
N A K I
7C7C-7810-6708-56C0-56A1 569B 5695 568F 5689-5 3 3 1 -7C48-0004-0652 065E 066A 0678 067E 0 6 8 4 068A 0690 0696
•7C76 7362 •60EA 56BE
539C 52EE 7C02 0000
HEÍRC) XE(RC)
TEN(RC) F P L K R C )
J J ( I C ) NBOUN(IC)
LMEN( IC ) I S C A R ( I C )
NEND( IC) N E P ( I C )
C(RC) ZYÍR ) ZK(R
G(R ORZ'íR
1 1 ( 1 N7U I J l í í M J ( I NJ ( I
MMAHI
=7C74-7C6E = 7 3 6 0 - 7 3 5 6 =60E8-5DFC =568C =56A0 =569A = 5 6 9 4 = 568E =539B~538A =52ED-51F4 =7C00-7BBA = 0 0 0 A - 0 0 0 6 =0654 =0660 =066C =0679 =067F =0685 =068B =0691 =0697
CO(RC) COURC) TED(RC) S N U Í R O
N P O I N ( I C ) NYM( IC)
N S ( I C ) N F A S ( I C )
N F I R S U C ) I P L A S ( I C )
D B l ( R C ) D(R Z(R
EE(R N E K I N S T ( I
N(I 1 2 ( 1 I K Í I
N N J U N M H I
) = ) = ) = > = ) ) ) ) = ) )
=7C6C-7C66 = 7354 =5DFA~5B0E = 5 6 B A - 5 6 B 4 =569F = 5699 = 5693 =568D = 5 3 6 9 - 5 3 7 8 = 5 1 F 3 - 5 0 F A = 7 8 8 8 - 7 8 9 6
0 0 1 C - 0 0 0 C 0 6 5 6 0 6 6 2 0 6 7 4 067A 0 6 8 0 0 6 8 6 068C 0 6 9 2 0 6 9 8
21-
T F I ( R C ) G E H R C )
FPLA(RC) ALAN(RC)
N P A R T Í I C ) NCONC(IC)
N D ( I C ) L I M K IC )
N L A S T Í I C ) NCAR( IC)
DB(RC) O K R )
Y M K R DENÍR
1 ( 1 N £ N ( I
MM( I LK2( I
MI í I I M H I N M K Í I
) = ) = ) = ) = ) = ) = ) = ) = ) =
— "7 *~ - i O
= 73:[
= í>Ól¡. ;
- 3 6 = 56 ! '¡ = 5 6 ( | = 564, = 5 3'.I:! = 5 0h¡ = 71> •."
06l;¡ 06<:| 0 67: 0 6 , 0 oí 06c¡ 0 6i.i 06 : . | 06 r J
STATEM 28 103 ... 135 297 292 175 173 406 398 4 5 1 200
ENT AL =06C4 =07EA =08C5 =0A68 = OC27 = 0D5E =0E£8 = 0FAE = 1050 = 1129 = 1267
LOCATI 121 104 139 1209 2 4 1 172 189 158 414 452 2 0 0 1
ONS = 0 6 0 7 =07F5 = 0 9 7 6 =0A6C = 0CB2 = 0E00 =0EF3 = 0FC0 = 1073 = 1174 = 1274
400 105 2 1 1 1216 161 181 176 407 62 438 2 0 0 0
=072C =07FB =0996 =0AA5 =0CF2 =0E09 =0F03 =0FDB = 1088 = 11BE =127A
4 0 1 106 148 1 2 1 7 169 183 174 4 0 4 4 0 3 5 3 5
= 073E = 0 8 0 7 =09C4 =0AD8 = 0CF6 ;0E0D =0F27 0FE1 10AA 11C7
4 0 2 2 0 0 2 147 1218 168 191 2 7 4 4 0 8 4 3 3 4 3 5
= 0742 = Ü80D = 09F4 = 0AF7 = ÜCFA =Í>E32 = üF28 GFF9
= 10C0 11D0
129 125 212 2 9 1 166 184 273 410 4 3 1 437
= 0765 = 0 8 1 1 = 0A¿C = 08F8 = 00'J4 = 0E40 = 0F47 = 1008 = 10C6 = 1109
FEATURES SUPPORTED ONE WORD INTEGERS
CALLEO SU6PR0GRAHS FABS FSQRT FAODX FSUB FSÜBX FKPY FMPYX FOIV FLD FLOAT SWRT SCOMP SIOFX SUBSC SNR SDRED SDWRT SOCO^I
REAL CCNSTANTS .OOOOOOE 00=06A8 • 2 5 0 0 0 0 E 00=06B4
. 5 0 0 0 0 0 E 00=06AA
. 2 0 0 0 0 0 E 01=06B6 . 9 9 9 9 0 0 E 00=06AC . 3 3 3 3 0 0 E 0 0 = 0 6 8 8
333333b 00-
INTEGER CONSTANTS 2=06BA 1=06BB 0=06BC 4=068D 3=068E 6=06 : r
CORE REQUIREMENTS FOR MATEF • COMMCN 12042 VARIABLES 1704 PROGRAM
END OF CCMPILATION
ÑB DUP '•
3028
22-
PAGE 1
RÑ JOB 0EC1
LOG DRIVE CART SPEC CART AVAIL PHY DRIVE COGO OEC1 OEC1 OOC1
V2 M06 ACTUAL 32K CONFIG 32K
Rfl FOR «LIST ALL •ONE WORD INTEGERS
SUBRGUTTNE SCLEF DIMENSIÓN X í l 5 0 , 2 ) f N 0 D ( 2 5 0 f 3 ) , N S T A R ( 1 8 } , N L A ^ T 4 1 & H N F I R S { 1 8 ) , N E N
181 DIMENSIÓN N F { 3 4 ) , N B ( 3 4 , 2 ) , B V ( 3 4 , 2 »
1 , C 0 ( 4 ) , T F I ( 4 ) , N E P { 2 5 0 ) , A N ( 2 5 0 ) , X E ( — 2 - f 3 T t 2 8 , 5 6 ) , S T l ( 2 8 , 2 8 ) , T E D ( 3 7 5 ) t F P L
2 > f E l ( 4 U E Z t 4 í , 3 , 2 ) , I P L A S ( 2 5 0 ) A ( 1 2 5 ) , D P L A ( 1 2 5 7 5 , 1 ) y
Ftt4),P2(4),GE ,CFI(4),SNU(4) ),AUM(2)
L {1 k
(4) :
,,NFAS,LIM1,IU ,NB.NEP,IPLAS,N
tCOltGEl. ,DENSfEARTH NCONCNCCLN, IE
CAR,IFAS,ICAR
LAS
3,UD(300,1),F(300,1),U(30C,2),TEM(3 4,ÜENS(4),EARTH(4> DIMENSIÓN AMÍ28,28^,eM(28,28),YM(28,28),TF(28,2),RS(28),DIS(28,2) ltDll(28),Bll(28),CT(29f29) CGMMCN X,DELT,BV,E1,E2,P1,P2,GE»C0 1,CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AU COMMON JI,JJ,NP0IN,NPART,KE1,NEM,N 1,NP,LMEN,NS,ND,IF,LIMP,NCARi,ISCAR 2,IER,NGD,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF 3,ICAF,INUEV EQUIVALENCE (YM{1,1},STÍ1,1}),(AM(1,1),ST1(1,1)) 1,(BMÍ1,1),ST(1,29))
RESOLUCIÓN SISTEMA DO 406 J=1,NEM DO 210 11=1,NCAR TF(J,I1)=0. RS(J)=0. DO 406 1=1,NEM YH(J,I)=0. IFÍLMEN-1)461,461,462 LMIN=1 - . • GC TC 463 LMIN=LMEN-1 CONTINUÉ DO 407 LL=LMIN,NPART • ••• ••• ••: •••• - . .- -K1=NFIRSÍLL) L=NLAST(LL) M*2*(NLAST(LL)-K1+1) MM=M+1 IF(LL~NPART)440,441,440 NA=2*(NLAST(LL+1)-K1+1) GG TC 442 NA=tf N=NA-M • ,...;...„. -NS=8«Kl-7 DO 446 1 = 1,tf REAC(8,NS)(AMtI,J),J = l,K) .. . '•_ • REAC(8«NS)(3M(I,J),J=1,N)
446 NS=NS*2
210
406
461
462 463
440
441 442
PAGE 2
IF(LMEN-l)465,465,466 466 IF(LL-LMIN)467,467,465 465 CONTINUÉ
. DO 408 1=1,M K=2*Kl-2+I DO 211 Il = lrNCA'R
211 F(K,U)=U(K,I1)-TF(I,I1) DO 408 J=1,M
408 AN(I,J)=AM(I,J)-YM(I,J) IER=0 DO 443 1=1,M DO 443 J=1,M
443 CT(I,J)=AM(I,J) _ WRITE(JJ,2000)LL '
CALL TINVF(CT,M) • IF(IER)50l,448f501
448 CONTINUÉ DO 444 1=1,M DO 444 J=1,M
444 AM(I,J)=CT(I,J) NS=8*Kl-4 DO 445 1=1,M WRITE(8»NS)(AM(I,J),J=1,P)
445 NS=NS+3 GO TG 471
467 NS=8*Kl-4 DO 469 1=1,M REAO (8«NSMAM( I9J)»J=1,K>
469 NS=NS+3 471 CONTINUÉ
NS=8*L+3 DO 805 1=1,N READtS'NSHCTU, J),J=1,M)
805 NS=NS+3 DO 412 11=1,NCAR DO 411 1 = 1,M DIS{I,I1)=0. DO 411 J = 1,M K8=2*Kl-2+J
411 DIS(I,I1)=DIS(I, I1) + AM{ I,J)*F(K8,I1) DC 412 1=1,N TFÍI,I1)=0. DO 412 J=1,M
412 TF{ I,I1)=TF( I, I1)+CT{I,J)*D1S(J,U) DC 413 J=1,N DO 413 1=1,M Ytf(I,J)=0. DO 413 K=1,M
413 YMI,J)=YM(I,J)+A«(I,K)«eh(K,J) DC 414 1 = 1, N üü 414 J=1,N AH(f,J)=0. DO 414 K=1,M
414 AM(I,J)=AK(I,J)+CT(I,K)«YM(K,J) DC 415 1 = 1,N ' CC 415 J=1,N
¿
24-
PAGE 3
415 YM(I,J)=AM( I,si) 407 CONTINUÉ
C C VUELTA ATRÁS Y RESIDUOS
NS=8»Kl-7 DO 913 1 = 1,M READ(8»NS)(AM(I,J),J=1,M)
913 NS=NS+3 DC 500 11=1,NPART DO 811 J = 1,M
811 RS(J)=0. LL=NPART-II DO 905 11=1,NCAR DO 914 1=1,M ' ' 011(I>=0. J=2*Kl-2+I • • • •'
914 UD(J,I1)=DIS(I,U> IF(II-1)900,900,899
899 DO 901 1=1,M DC 901 J = 1,N K2=2*NFIRS(LL+2)-2+J
901 D11(I)=D11(I)+BHIÍ,J)*UD(K2,I1) 900 DO 903 1=1,M
B11(I)=0. DO 903 J = 1,M K2=2*NFIRS(LL+l)-2+J
903 Bll(I) = Blim+AH(I,J)*UD(K2,Il) DO 905 1 = 1,M K2=2*NFIRSUL+l)-2+I
905 RS(I)=UÍK2,I1)-D11U )-Bll(I)+RSU) IF(II-NPART)907,906,906
906 N=M 60 TO 500
907 N=M M=2*(NLAST(LL)~NFIR${LL)+1> K1=NFIRS(LL) L=NLASTUL) NS=8«Kl-7 DO 908 1=1,M R E A D ( 8 » N S ) ( A H ( I, J ) , J = 1, H ) READ(8«NS)(BM(I,J),J=1,N) NS=NS+1
908 READ(8«NS)(YM{I,J),J=1,H) NS=8*L+3 DO 1905 1=1,N READ(8,NS)(CT(I,J),J=1,M)
1905 NS=NS+3 CO 500 11=1,NCAR DO 909 I=1,M K2 = 2*¡a-?+I TF{¡ ,I1)=F(K2,I1) DO 909 J=1,N K2=2«NFIRS(LL+l)-2+J
909 TF(I,Ii)=TFU,Il)-BM(I,J)*U0(K2,11) DC 910 1 = 1,M DIS(I,I1)=0.
*. J*Uifc¿*'*M*l*«¿ ' t wV* #A
2Sr
PAGE 4
(I,J)«DIS( S(I)fI=ltN ))
J, II) )
DO 910 J=1,M DIS<I,I1) = DIS(I,I1> + YM(I,J)«TFU,I1> DO 911 1=1,N DO 911 J=1,M RS(I)=RS(I)-CT WRITE(JJ,28)(R F0RMAT((3E12.4 FCRMATÍ7I4) CONTINUÉ RETURN END
VARIABLE ALLOCATIONS X(RC)-7FFE-7DA8
— P2 XRC ) = 7 C7 C- 7 C 7 6 U(RC)=7810-7362
ST1(RC)=6708-60EA
910
911 500 28
2000 501
AUM(RC)=56C0-56BE JI(IC)=56A1
NELEM(IC)=569B NP(IC)=5695
NCAR1(IC)=568F N0D(IC)=5689-539C NB(IC)=5331-52EE
ICAF(IC)=50F6 RS(R )=0OA6-O07O 11(1 )=081B M(I )=0821-IKI )=0827
STATEMENT ALLOCATIONS 28 =0837 2000 =083A 210 =0846 406 446 =0918 466 =0930 465 =0936 211 469 =0A59 471 =0A68 805 =0A8D 411 811 =0C58 914 =0C8C 899 = 0CAF 901 1905 =0E41 909 =0E8B 910 =0ED3 911
DELT(RC)=7DA6 GE(RC)=7C74-7C6E XE(RC)=7360-7356
TEN(RC)=60E8-5DFC FPL1(RC)=56BC JJ(IC)=56A0
NB0UN(IC)=569A LMEN(IC)=5694 ISCAR(IC)=568E NEND(IC)=539B-538A NEP(IC)=52ED-51F4
INUEV(IC)=50F5 DIS(R )=0116-00A8
ni )=osic MM(I )=0822 K2(I )=0828
BV(RC) CO(RC)
COKRC) TED(RC) SNU(RC)
NPOIN(IC) NYtf(IC) NS(IC)
NFAS(IC) NFIRS(IC) IPLAS(IC)<
YM(RC); D1KR )
LMINd ) = NA (I )
= 0867 =0949 =OABE =0CC7 = 0F10
=7DA4-=7C6C-=7354 =5DFA-=56BA~ =569F =5699 =5693 =5680 =53&9-=51F3-= 7348-•014E-=0810 ^0823
•7C96 7C66
•580E •56B4
5378 •50FA 6D2A 0118
461 408 412 900 500
C88A C970 CB06 CCFA 0F43
El TFI GE1
FPLA ALAN
NPART NCONC
ND LIM1
NLAST NCAR
Atf 811 LL N
(RC) (RC) (RC) (RC) (RC) ( !C) ( IC) ( IC) ( IC) ( IC)=5 (IC) (RC) (R ) ( I* }; (I )
=7C = 7C: = 73 = 5B = 56 =56 = 56 =56 =5 6 53
=6 7 *01 • QL.
:0S;
462 443 413 903 501
= 0890 = 0998 = 0B5B = CD1B = OFcC
FLD
FEATURES SUPPORTED ONE WCRD INTEGERS
CALLEO SU8PR0GRAMS TINVF FACDX FSUBX FKPYX SDCGtf SDFX
REAL CGNSTANTS •OOOOOOE C0=082E
INTEGER CCNSTANTS 1=0830 2=0831 • 8=0832
FLDX
7=0833
FSTOX -F^SRX^
0=0834
-SWRT
4 = C 8 :, 5
CORE RECHJÍKEMENTS FÜR SOLEE CGFKCN 12044 VARIABLES 2094 PROGRAK 1856
END GF CGHPILATION
RÑ DUP
\':¿>
2C-
PAGE 6
Rfl FOR «LIST ALL .,'• *ONE WORD INTEGÉRS
SUBROUTINE PLAEX DIMENSIÓN X{150,2),NCD(250,3),NSTAR{18),NLASTU8) ,NF IRS (18 ) , NE.\
18) DIMENSIÓN NF(34),NB(34,2),BV(34,2,2)tEl(4).E2{4),Fl(4)fP2<4),GE
1,COÍ4),TFI(4),NEP{250),AM250),IPLASÍ 250),CFI<4),SNUÍ4),XE<3,2) ! 2,ST(28,56),STlí28f28),TED(375),FPLA(125),DPLA(125),AUMÍ2) 3,UD(300,1),F(300,1),U{30C,2),TEN{375,1) 4,DENS(4),EARTH(4),UT(300) DIMENSIÓN DH(3),A(3),DBl(3,6),DB2(3,6),CD{6,2,2),XI(3,2,2),AR(2i
1,BÍ3,6,2),0RX(2),JN{2),0RY(2),ZX{3,2),ZY<3,2>,ZÍ2) COMMON X,DELT,BV,El,E2,Pl,P2,GE,C0,TFI,AN,UD,U,XErC01fGEl
1»CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPL1,SNU,ALAN,DENS,EARTH , COMMON JI,JJ,NP0IN,NPART,KE1,NEM,NEL£M,NB0UN,NYM,NC0NC,NCGLN,IE 1»NP,LMEN,NS,ND,IP,LIMP,,MCAR1,ISCAR,NFAS,LIM1, IU 2, IER,NOD,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCARfIFAS,ICAR NEL1=NELEM*0.5 NPUN2=2*NP0IN N D = I . : '"" . '-^--.-v
IF( IP)5000,5000,5012 5000 WRITEÍJJ,5004) ] 5004 FGRMATÍ1H1,«PUNTO ABSCISA ORDENAOASR) -I
FPL1=0, 1 IPL=0 | ALAN=1. " -f MAX=0
5012 DO 620 Ll=l,NELl LL2=2*LL LL1=LL2-1 READ{9«ND)((DB1(I,J),I=1,3),J=1,6> READ{9»ND)((DB2U,J),I = l,3),J = l,6) í!
DO 6021 1=1,3 ACI)=0. JN(1)=NCD(L11,1) JN(2)=N0D<LL2,I) 12=2»I 13=12-1 LLI=3»LL-3+I DO 6019 J3 = l,2 •- — — — • JN3=2*JN( J3) Jí DO 51 17 = 1 , N C A R C C Í 1 2 , 1 7 , J 3 ) = U D ( J N 3 , 1 7 )
51 CD( I 3 , I 7 , J 3 ) = U D ( J N 3 - 1 , I 7 ) !í DO 6019 J9=l,2 I JN1-JNÍJ9) S
6019 XI(I,J3,J9)=X(JN1,J3) I IF(IP)1000,1000,6021 l
1000 FPLA(LL)=0. '••-------i-•-— ' DO 19C0 I 7=1,NCAR í
1900 TENÍLLI,I7)=0. I 6 0 2 1 C O N T I N U É '• ....... f
IF ( I P ) 8 , 8, 9 ; 9 I F { I E L A S ) 5 0 5 4 , 5 0 5 4 , 8 :
8 CÜ 3 0 1 J 3 = l , 2 ' ~~ ~~~~ ~
27.-
PAGE 7
ZX(1,J3)=XI(2,2,J3)-XI(3,2,J3) ZX(2,J3)=XI(3,2,J3)-XI(1,2,J3) ZX(3,J3)=XIU,2,J3)-XI(2,2,J3) AR(J3)=XI(2,1,J3)*ZX(2,J3)+XI(1,1,J3)*ZX(l,J3)+XI(3,1,J3)*ZX ( 3, AR(J3)=AR(J3)*.166667 0RX(J3)=(XI(1,1,J3)+XI(2,1,J3)+XI(3,1,J3))*.33333 3
301 ORYÍ J3)=(XI(1,2,J3)+XI(2,2,J3)+XI(3,2,J3))*.333333 IFÍ1P)5705,5705,5054
5705 OGX=(CRX{l)*AR(l)+ORX(2)*AR(2))fi(DGLT*(AR(l)+AR{2))) 0GY=(0RY(l)«AR(I)+0RY(2)«AR(2))fl(DELT«(AR(2)+AR(l)')) WRITE(JJ,31)LL,0GX,0GY GO TO 5054
C DESCARGA ' V.v;V ::¿:V,.v — _5710 DO 348 J3=l,2
DO 303 J4=l,3 . XI(J4,1,J3)=XI(J4,1,J3J-CRXÍJ3) XI(J4,2,J3)=XI(J4,2,J3)-CRY(J3) DO 303 J5=l,6 ,
303 B(J4,J5,J3)=0. Z(J3)=3.*(XI(2,1,J3)*X1(3,2,J3)-X1(3,1,J3)«X1(2,2, J3)) ZY(1»J3)=XI(3,1,J3)-XI(2,1,J3) ZY(2,J3)=XI(1,1,J3)-XI(3,1,J3) ZY(3,J3)=XI(2,1,J3)-XI(1,1,J3) DO 304 J5=l,3 J2=2*J5 8(1,J2-1,J3)=ZX( J5,J3).RZ(J3) B(2,J2,J3)=ZY(J5,J3)ÑZ(J3) B(3,J2-1,J3)=B(2,J2,J3)
304 B(3,J2,J3)=B(1,J2-1,J3) DO 348 1=1,3 DH(I)=0.
C DEFORMACIONES TOTALES DO 347 K = l,6
347 DH(I)=DH(I)+B(I,K,J3)*CD(K,1,J3) 348 A(I)=A(I)+(AR(J3)*DH(I))R(AR(1)+AR(2))
LLI=3*LL-3 J4=NEP(LL1) WRITE(JJ,35)LL,A(1),A(2)
C DEFORMACIONES PLÁSTICAS A(1)=A(l)-( (l.-PKJ4))«TED(LLI + l)-PKJ4)*TED(LLI + 2) )Ñ(2.»GE(J4) A(2)=A(2)-( ( l.-PK J4) )»T£0(LLH-2)-£4( J4)«TED(LL1+1) )Ñ(-2^GE( JA) WRITE(JJ,35)LL,A(1),A(2) A ( 3 ) = A ( 3 ) - T £ D ( L L I + 3 ) Ñ G E ( J 4 )
WP = 0. C TRABAJO PLÁSTICO
DO 350 1=1,3 LLI=LLI+1 WP = WP-A(I)«TEN(LLI-,1)
350 WRITG(JJ,35)LL,WP IF(WP)360,362,362
360 IFÍIPLAS(LLI))362,362,5360 5360 IPLAS(LL1)=IPLAS(LL1)+10
IPLAS(LL2) = IPLAS(LL2) + 10-- :'. ..l.-WRITE ( J J,33> LL
33 FORMATÍ» DESCARGA»,15) , 362 FPLA(LL)=FPLA(LL)-CPLA(LL) ~~ ~ I
2Zr
PAGE 8
622
1020
1003
0C 364 1=1,3 LLI=3*LL+I-3
364 TEN(LLI,l)*TEN(LLI,i)-TEC(UI) GO TO 620
5054 DO 1020 17=1,NCAR DO 1020 1=1,3 DH(I)=0. LLI = 3«lL-3-»-I 00 622 K=l,6 DH(I)=DH{I)+ÍAR(i)»0Bl(I,K)*CD(K,I7,l)+AR(2)»0B2ÍI,K)»CD(K, DH(I)=DH(I)R(AR(1)+AR(2)) TED(LLI)=DH(I) TEN(LLI,I7)=TEM(LLI,I7)+TED(LLIÍ DH(I)=TEN(LLI,I7) IF(IELAS)620,620,1003 J=NEP(LL2) DPLAÍLL)=FPLA{LL) FPL=0.5*ÍDH(1)-DH(2)) FPL=FPL*FPt_ + DH(3)*DH{3) FPL=SCRT{FPL) FPLA(LL)=(FPL+(DH(l)+DH(2))*.5*TFI(J))R(CO(J)»CFI{J)) OPLA<LL)=FPLA(LL)-DPLA(LL) IFUSCARU005,1005,101 IF(NFAS)100,100,1015 IF( IFAS)100,100,621 IF(ICAR-1)8000,8000,102 LIMP=1 GG TO 100 .,...;••..,..:-:-:,-••• IF(ICAR-NCAR1)H5, 116,116 LIMP=LIM1 GO TO 621 LIMP=1 lF(FPLi-l.)103,10,10 IF{IPL)105,105,103 IF(IU)620,620,5620 WRITE(JJ,35)LL,LL, IPLAS(LL1) ,FPLA(LL) ,DPLA(LL) I F M P L A S ( L L D ) 5 7 1 0 , 5 7 1 0 , 5048 IF(-FPLA(LL)-1.) 5049, 5710,5710 IPLAS(LLl)=rPLAS(LLl)-3 IPLAS(LL2)=IPLA$(LL2)-3 GO TO 362 AtA=(l.~FPLA(LU )RDPLA(LU + I . * " " —^~-.-IF(LÍMP)61,61,60 " IFÍIPL)104,104,60 IF(ALA-ALAN)104,104,1008 IF(ALA)1008,1008,117 ALÁNZALA -FPL1=1. IPL = 1 WRITE(JJ,2)ALAN
1005 1015 101
8000
102 116
115 621 10
105 5620
5048 5049
103
61 60 104 117
3X,«LANDA =•,F7.3)
100 1C04 1006 1053
F0RMATÍ1H1, GC TO 1053 I F ( I P Í 1 C 0 4 , 1 0 0 4 , 6 2 0 ! F ( F P I A { L L ) - F P L 1 ) 1 0 0 8 , 10*08,1006 FPLi = FPLA(LU MAX=LL
PAGE 9
1008 IF(LL~NEL1)620,1032,1032 1032 IF(MAX)620,620,4000 4000 WRITEÍJJ,5005) 5005 FORMATÍR,» PUNTO MAS CARGADO»,Ñ>
WRITE(JJ,5006) LL2=2*MAX LL1=LL2-1 WRITE(JJ,24)MAX,LL1,LL2,FPL1 OG 1010 II=1,NPART N2=LL2-NEND(II) IFC-N2) lOllt 1011,1010
1010 CONTINUÉ 1011 IFUPJ1012, 1012,1017 1017 IF(II~L^EN)1012,620,620 1012 LFEN=II 620 CONTINUÉ
IF(IELAS) 1002,1002,3040 3040 IF( ISCAR)2040,2040,106 106 IF(ICAR-1)2040,2040,107 107 IFÍIPU2040, 2040,108 108 ALUtf=ALAN*AUN(l)
DO 109 I=1,NEL1 FPLAU) = F P L A ( I ) - D P L A U ) * ( 1 . - A L A N ) DPLAC I ) = DPLAU)*ALUM 00 109 K = l , 3 LLJ=3«I-3+K TEN(LLJ,1)=TEN<LLJ,1)~TEC(LLJ)«{1. -ALAN)
109 TED(LLJ)=TED(LLJ)»ALUM DO 110 I1=1,NPUN2 UCI1 ,1 )=U( I1 ,1 ) *ALUM U D ( I 1 , 1 ) = U D ( I 1 , 1 ) * A L A N
110 F ( I 1 , 1 ) = F { I I , 1 ) * A L U M DO 1049 I=1,N80UN B V ( I , 1 , 1 ) = B V ( I , 1 , 1 ) * A L U M
1049 6V(I,2,1)=BVÍI,2,1)*ALUM IPLAS(LLl)=IPLAS(LLl)+3 IPLASÍLL2)=IPLAS(LL2)+3
2040 IF(IP)1021,1021,1002 1021 IFÍFPLD3000,3000,3001 3C00 WRITEÍJJ,2004) 2004 FCRMAT<R,2X,'NO PLASTIFICA NUNCA»,&)
GC TO 1002 3001 IF(FPLL-1.)1007,1007,1019 1C07 WRITEUJ,34) 34 FORMATÍÑ,» NO PLAST IFICA»,Ñ)
IF(LIPP)1019,1019,1002 1019 FPL2=1.KFPL1
FPL3 = AUN,(1)*FPL2 • IPLAS(LLl)=IPLAS(LLl)+3 IPLAS(LL2)«IPLAS(LL2)+3 DO 1013 I=1,NEL1 FPLAU )=FPLA( I)*FPL2 DPLAÍI)=OPLA(I)*FPL3 CG 1013 J=l,3 LLJ=3*I~3+J TED(LLJ)=TED(LLJ)*FPL3
PA6E 10
1013 TEN(LLJ,1)=TEN(LLJ,1)«FPL2 WRITE(JJ,2002)
2002 F0RMAT(1H1,« NODO CARGA X CARGA Y*FJ) DO 1029 I1=1,NPUN2 U(I1,1)=U(I1,1)*FPL3 U0(I1,1)=UD{II,1)*FPL2
1029 F(Il,l)=F(Il,l)»FPL3 DO 1028 I=1,NP0IN 12=2*1 ül=U(I2-lt1)R(C01«AUM(1)) U2=U(I2f 1)R(CC1»AUM(D)
1028 WRITE(JJ,31)I,U1,U2 DO 1039 I=1,NBQUN BV( I,1,1) = BV(I,1,1)*FPL3
1039 BVCI,2,1)=BV(I,2,1)*FPL3 1002 IF{ IELAS)6011,%6011,6012 6012 IH=0
DO 6000 L1=1,NEL1 LL1=2*L1-1 LL2=LL1+1 HH=1.-FPLA{L1)-DPLA(L1) IF(HH)6002,6002,6000
C C REDUCCIÓN DEL RADIO DEL CIRCULO DE MOHR 6002 IF(FPLA(L1)-1.002)1916,1916,1914 1914 L5=NEP(LL2)
L2=3*L1 FPL={TEN(L2-2,1)-TEN(L2-1,1))*-5 FPL=FPL*FPL+TEN(L2,1)»TEN(L2,1) FPL=SCRT(FPL> T E N K = ( T E N { L 2 - 1 , 1 ) + T E N Í L 2 - 2 , 1 ) ) * , 5 CCRR=0. • • • • . CORR=(FPL-CORR)RFPL TEN(L2,1)=TEN(L2,1)*C0RR TEN(L2-1,1)=TENM+C0RR*(TEN{L2-1,1)-TENM) TEN<L2-2,1)=TENM+C0RR*(TENCL2-2,1)-TENM) WRITE(JJ ,31 )L1 ,FPLA(L1) DPLA{L1 )=DPLA iL l J -FPLA(L1 )+1 .0001 F P L A ( L 1 ) = 1 .
1916 I F Í I P L A S Í L L 1 ) ) 6 0 0 6 , 6 0 0 6 , 6 0 0 0 > • 6006 IPLAS(LL l ) = I P L A S ( L L l ) + 3 _ ^ _ _ _ _ _
IPLAS(LL2)=IPLAS(LL2>+3 " ~ ~ I F ( I H ) 7 C 0 5 , 7 0 0 5 , 7 0 0 6
7005 WRITEÍJJ,7007> WRITE(JJ,5006)
7C07 F0RMAT(Ñ,' PUNTOS CUE VAN A PLASTIFICAR» ) IH = 1
7006 WRITE(JJ,24)L1,LL1,LL2,FPLA{L1> CC 6003 N1H=1,LMEN N12=2*L1-NEND(N1H) IF(N12)6004,6004,6003 ., :::
6004 IF(LPEN-N1H)6003,60G3,60C5 6005 LPEN=N1H 6003 CONTINUÉ *' ' — ' — 6000 CONTINUÉ
IFÍ IU-U6011, 6020, 6010 _ —
; 34-
PAGE 11
6020 DO 6041 L1=1,NEL1 IF(FPLA(Ll)-l.)6041,6008,6008
6008 00 6009 LL=1,NEL1 6009 WRITE(JJ,31)LL,FPLA(LL)
GO TO 6010 6041 CONTINUÉ
IU=IU-1 6011 DO 2051 17=1,NCAR i
IFÍ ISCAR)7002,7002,1 i 7002 WRITEUJ, 2052)17 2052 FORMAT(R,» HIPÓTESIS CARGA»,15,R)
1 WRITE(JJ,2000) ' 2000 FORMATdHl,» PUNTO TENSÍON-X TENSION-Y TEN», _ 1SICN-XY TENSION-1 TENSION-2 ÁNGULO 1-X FUNC PLAST1.
C CALCULO TENSIONES PRINCIPALES C
DO 1022 LL=1,NEL1 DO 1023 1=1,3 LLI=3*LL-3+I
1023 D H ( I ) = T E N ( L L I , I 7 ) f i G E l DHB=(CH( D + D H Í 2 ) ) * 0 . 5 D H C = ( C H ( 1 ) - D H ( 2 ) } * 0 „ 5 DHC=DHC*DHC+DH(3)*DH(3) ¡ DHC=SCRT(DHC) I A(1)=DHB+DHC í A ( 2 ) = CHB-DI;C | A ( 3 ) = 2 . * D H ( 3 ) K { D H ( 1 ) - D H ( ? ) ) " - ' v v : Lskr:^^^:-':-r:' I A ( 3 ) = ( A T A N < A ( 3 ) ) ) Ñ 2 . '•'" :''^'^^rM3^~:^'^ :: :'•'' ' A ( 3 ) = A ( 3 ) K . 0 1 7 4 5 3
1022 W R I T E ( J J , 3 1 ) L L , ( D H U ) , 1 = 1 , 3 ) , ( A ( I ) , 1 = 1 , 3 ) , F P L A ( L L ) WRITEÍJJ,2001)
2001 FGRMATtlHl,» NGDO DESPLAZ-X DESPLAZ-Y DESPL PARO 1 DESPL PARC-Y»,S) !
DO 1051 I=1,NP0IN I2=2»I 11=12-1 IF(IP)2041,2041,2042 (
2041 UT(I1)=0. UT(I2)=0.
2042 UD1=UD(I1,I7)RDELT UD2=UC(I2,I7)KDELT UT{ I1)=UT( U)+UD1 UTÍI2)=UT(I2)+U02 s
1051 WRITEÍJJ,35)1,UT(I1),UT< 12),UD1,UD2 ( 2051 CONTINUÉ 6010 CONTINUÉ
24 FCRMAT(3I5,2F12.6) i 31 F0RMAT(I5,7F14.4) • ¡ 35 FCRMATÍI 5,2F14.6,5X,2F14 .6) "
5006 FORHATÍÑ,» PUNTO ELEKENTCS FUNC PLAST»,^} — ^ : RETURN ¡ END )
VARIABLE ALLOCATIONS '- ' — •— í X(RC)=7FFE-7DA8 CELT(RC)=7DAÓ BV(RC)=7DA4-7C96 EHRCl!
P2(RC)=7C7C-7C76 GE ( RC ) =7C74~7C6E C0( RC )=7C6C-7C66 T F H R C Ü . U(RC)=78l0-7362 XE (RC > =7360-7356 COI (RC) = 7354 GEKRC 1
K-
BET,
Apéndice D
RESULTADOS DE ORDENADOR
í
/.. P E N D I C E - D -:ass:3=s==ar3js
" R E S U L T A D O S D E 0_R_D E Tí A D_0 R " R E S U L T A D O S D E (
2,-
Resultados de ordenador, índice
- Talud isorresistente. Batos 3
• Resultados en fase elástica, al comienzo de la rotura 8
- Resultados para una car. a 99 *•• de la de rotura, en terreno
oon potencial plástico, v • 0 17
- Resultados para una carga 99 % de la de rotura, en terreno
con dilatancia nula. 24
1
TALUD ISORRESISTENTE
12 PARTICIONES
T64"Fl^TFNTOS "
103 NODOS
22 DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS
10 NODOS CARGADOS
HOMOGENEIDAD ( T)
PROBLEMA PIANO í~ O)
DENSIDAD TIPO < O)
ELASTCPLASTICIDADÍ 1)
CARGA LIMITE í 0)
ANCHO DE BANDA <{ ?4
NUMERA PROBLEMA! ~i
FORMA : < • 1
AUMENTO CARGA (100
DATOS TALUD
2 6 9 4.000 3.002
NODO COORDEN X
2 25 32 1.483 2.283 3.660 2.300 3.380 5.000 2.740 1.70¡
r l • l 2
l • 3 r 4 t. 5 :• 6
í. "~_ ? t 8 BK -
r 9 í io
11 P*1- -JO
r 13 ÍS^—tt-r , £«£—-"
15
' 17 18
r'"""""' •"" 19' ' r 20 ;. ?i...... "- 22 - 23 r 24
f 25 r • 26
¥••'• 2 1
C 28 í*—-.. - 29 • h " ".30 s: • ; 31 " 32
33 34 35 36 37
-0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 " -0.000000
~ 0.000000 3.660000 3.660000 3.660000 3.539238
~- - 3.4&S448 3.258629
2.925905 2.740000
" "•* 7 .11)0000 -7.150000 7.130000 6.913727 6.651964 6.364709 6.05.1964 5.713727 5.350000 10.470001 -40.470001 10.470001 10.123466 9.7 3954 7 9.318241 8.859548 8.363468 7.829999
13.620000
18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997
-0.000001 18.299999 14. 299997 11.297996 9.814996 -8.-171997—, 6.368996 /. /. r\ ir o n -7
2.282997 -0.0000C1
14.299997 . 11.297996
9.814996 8.171997 6.368996 4,405997 2.282997
-O.OOOOCl 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.4059 97 2.282997
-O.OOOOCl 18.299999
-¿x^^.;..? .r-- »--.—„
1>
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 . 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 SO 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
13.620000 13.620000 13.168457
' 12.668197 12.119222 11.521532 10.875124 10.180000 16.600002 16.600002 16.600002 16.048698 15.437915 14.767656 14.037916 13.248697 12.399999 19.409999 19.409999 19.409999 ;
18.764186 18.048702 17.263538 16.408699 15.484186 14.489995 22.049999 22.049999 22.049999 21.314926 20.500553 19.606872 18.633888 17.581596 .16.449997 24.520000 24.520000 24.570000 23.800003 22.250003 21.050003 20.000003 19.000003 18.280002 25.750003 25.750003 25.100002 26.740001 26.740001 26.740001 26.740001 26.080001 25.300003 23.9G0001 22.530002 21*300003 20.250003 20.000003
14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997
-0.000001 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997
-0.000001 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997
-0.000001 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997
-0.000001 18.3000G3. 14.3000C1 11.298000 9.815GC0 8.172000 6.369000 4.4060C0 2.2830C0 O.COOOCO 12.800001 11.300001 10.600000 18.300003 14.3000C1 12.800001 11.300001 10.600000 9.7800C0 8.172000 6.3690C0 4.406000 2.283GQP o.ooooco
96 97 98 99
100 ' 101 102 103
28.470001 28.470001 30.199993 30.199993 30.199993 35.199997 35.199997 35.199997
12.800001 11.300001
v 18.299999 14.299997 11.297996 18.299999 14.299997 11.297996
ELEMENTO NODOS
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69
. 73 77 81 85 89 93 97
-101 105 109 113 117 121 125 129 133 137 141 145 149 153 157 161
1 3 5 7
10 12
• 14 16 19 21 23 25 28 30 32 34 37 39 41 43 46 48 50 52 55
11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56 58 60 62 65
5 7 — 6 1 -59 61 64 66 68 70 73 74 75 84 77 79 85 87 98
69 71 74 76 78 80 86 75 84 90 92 94 99 97
102
10 12 14 16 19 21 23 25 28 30 32 34 37 39 41 43 46 48 50 52 55 57 59 61 64
-.64- — 68 70 73 75 77 '"'79 85 82 83 89 91 93 98 96
101
1 3 5 7
10 12 14
• 16 19 21 23 25 28 30 32 34 37 39 41 43 46 48 50 52
. 55
2 4 6 8
11 13 15 17 20 22 2* 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56
—_£3___58 59 61 64 66 60 70 73 75 75 84 77 79 85 87 98
60 62 65 67 69 71 74 83 76 76 78 80 86 88 99
11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56 58 60 62 65
~* O^r •"*"
69 71 -74 76 78 80 86 82 84 90 92 • 94 99 97
102
2 4 6 8
, 11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56
~~~S& 60 62 65 67 69 71 74 82 83 76 78 80 86 96 99
12 14 16 18 21 23 25 27 30 32 34 36 39 41 43 45 48 50 52 54 57 59 61 t>3 66 68 70 72 75 77 79 81 82 Ofl otr 89 91 93 95 96 100 103
11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56 58 60 62 65
~ -^ 7~~~*" - —'••-
69 71 74 76 78 80 86 P 7 O / 88 90 92 94 99 99
102
2 4 6 8
11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 3 3 35 38 40 42 44 47 49 51 53 5 6
60 62 65 67 69 71 82 O 5 13 ¿, 83 76 78 80 86 96 99
3 5 7 9 12 14 16 18 21 23 25 27 30 32 34 36 39 41 43 45 48 50 52 54 57
--59
61 63 66 68 70 72 87
-&3-84 77 79 81 87 97
100
12 14 16 18 21 23 25 27 30 32 34 36 39 41 43 45 48 50 52 54 57 59 61 63 66
—-68— 70 72 75 77 79 81 86 88 89 91 93 95 96
100 103
„ PARTE NCOGS ELEMENTOS
1 1 9 1 16 2 10 18 17 32 3 . 19 27 33 48
:<¿ 4 m*^m^^m-^?^ :*<¿r.
7 — 8 " 9
JLO 11 12
28 37 46 55
—ÚA 73 85 96 101
36 45 54 63
-T2-84 95 100
103
49 65 81 97
129 153 159 165
64 80 96 112
152 158 164 164
„ ír,,v«, •
CONTORNO <0=DESPL. PRESCRITO 1=DESPL. NO PRESCRITC )
Br WL
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K* *-K*5
Ér S E ^ — "' '" E •pT":" r
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F~
NODO X Y
1 0 0 2 0 1 3 0 1 4 0 1
- 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1
- — 1 0 ;••— 0 0 19 0 0 ?B 0 ~ " 0 37 0 0
.^46 0 0 55 . 0 .0 64 0 0 7 3 . 0 0
' 8 5 0 0 . ^ , B . _ 3 8 _ ^ , 0 _ . _ . D „
101 0 0 l n ? 0 1 103 0 1
pftnn íiFrii f\üic tic.
MODULO ELASTIC
DESPLAZAMIENTOS X
0 . 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0.OC0OCÜ 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 X 3 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0
_ .a . 000 .000 -^ . . . 0 . 0 0 0 0 0 0 OL OOOOfM)—. 0 . 0 0 0 0 0 0
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- o-.oooooo ~ - -coooooo c.oooooo 0 . 0 0 0 0 0 0
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- coooooo 0 . O O O O O O . _ _ . _
coooooo n , nQf>AOO COOOOOO
COEF POISSOf
5000.0 5000.0 L500.0 0.333 '0.333 2
FUERZA MASICA (0=N0 HAY FUERZA , 1=HAY FUERZA)
Y " 'x
FUERZA HASIC
— r x 10—2^000 o.oco
1 - 9 18 2 7 3 6 4 5 54 6 3
0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0
0.oooooo CCOCCOO 0 . 0 0 0 0 0 0
9 . 4 9 1 0 0 1 1 8 . 5 3 2 0 0 1
- 1 7 . 6 3 1 0 0 0 1 6 . 7 3 1 0 0 2 1 5 . 8 3 0 0 0 1 1 4 . 9 3 0 0 0 0 1 4 . 0 2 9 0 0 1
m
o O O O O \ O v 0 v 3 & O C O C O C C < » ^ ^ - v J ^ ^ C > ^ ^ < > < > t f i U l U l OJ h- O v ) Ü t W M v 0 v J U i 0 J H O v J U l W H \ a v i W W H > í ) ^ U 1 W H . y 3 - J U l U ) H ^ K l Ü 1 W H > O v J U l ÜJ H v O - J U I Ü J H ^ v j U t W
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PUNTO ABSCISA ORDENADA
*•: 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
— 3 6 — 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 .55 56
1.8299 1.8299 1.7999 1.7363 1.6662 1.5896 1.5065 1.4169 5.4049 5.4049 5.3162 5.1282 4.9209 4.6945 4.4488 4.1839 8.8099 8.8099 v
8.6651 8.3582 8.0199 7.6502 7.2491 6.8167 12.0449 12.0449 11.8465 11.4263 10.9630 10.4568 9.9076 9.3155 15.1099
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16.2999 12.7989 10.56C6 8.9987 7.2771 5.39 57 3.3546 1.1540
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16.2999 12.7989 10.5606 8.9988 7.2771 5.3958 3.3547 1.1541
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16.2999 12.7989 10.5607 8.9988 7.27 72 5.3958 3.3548 1.1542
16.2999 12.7989 10.56G7 0.9988 7.27 72 5.3959 3.3549 1.15 43
*
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 12 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
23.2849 23.2849 22.9208 22.0005 20.8685 19.8272 18.8006 17.8083 25.6299 25.8981 25.0665 26.2449 24.7247 25.9180 25.0346 23.8004 22.4441 21*2322 20.1408 * 19.3696 28.4699 28.0855 27.6049 29.4311 32.6999 32.6999
16.2999 12.7989 10.5557 9.0410 7.2993 5.3964 3.3378 1.0932
16.2999 13.6457 12.4661 12.0499 10.7624 10.95C5 10.1687 8-9747 7.2868 5.4086 3.3514 1.0812
16.2999 13.6333 12.0499 12.4661 16.2999 12.7969
PUNTO HAS CARGADO
PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST
70 139 140 1.923046
PUNTOS QUE VAN A PLASTIFICAR
PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST
71 141 142 0.941522
HIPÓTESIS CARGA 1
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-PUNTO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13, 14 13 16 , 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 • 34 35 36 37 38 39 '40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
TENSI-GN-X
-9.4326 -6.7778 -5.3967 -4.5273 -3.6648 -2.8084 -1.9346 -0.9738 -9.3016 -6.6397 -5.2294 -4.3949 -3.5638 -2.7480 -1.9318 -1.0608 -9.0615 -6.3544 -4.9710 -4.1625 -3.3842 -2.6430 -1.9269 -1.1848 -8.6973 -5.9732 -4.6237 -3.8535 -3.1347 -2.4842 -1.8955 -1.3256 -8.2104 -5.5469 -4.2321 -3.4948 -2.8335 -2.2731 -1.6189 -1.4528 -7.6292 -5.1553 -3.8565 -3.1293 -2.5077 -2.0281 -1.6872 -1.5194 -7.0104 -4.9053 -3.58*68 -2.6374 -2.1913 -1-7756 -1.5163 -1.4634
TENSION-Y
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-20.0752 -16.7316 -14.5484 -12.9857 -11.2248 -9.2649 -7.1133 -4.7946'
-19.7201 -16.4398 -14.3549 -12.8508 -11.1527 -9.2489 -7.1366 -4.8273
-19.0668 -15.8756 -13'.9329 -12.5423 -10.9505 -9.1439 -7.1080 -4.8352
-18.0066 ' -14.9107 -13.1678 -11.9660 -10.5533 -8.90S7 -7.0137 -4.8278
-16.4653 -13.4195 -11.8885 -10.9816 -9.8698 -8.4886 -6.8148 -4.79 53
-14.4573 -11.3570 -9.9121 -9.3826
• -8.7149
f.oU41 • -6.4992 -4.7196
TENSIÜN-XV
-0.1825 -0.1021 ' -0.0524 -0.0162 ; 0.0211 0.0592 0.0960 0.1287
-0.5241 -0.2936 -0.1641 -0.0644 0.0267 0.0981 0.1320 0.1012
-0.8957 -0.5421 \ -0.3379 -0.1802 -0.0302 0.0906 0.1525 0.1140
-1.2939 -0.8560 -C.6084 -0.3881 -0.1720 0.0144 \ 0.1313 • 0.1234
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—0.003799 0.003506 0.000000
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FIN DEL ESCALÓN ELÁSTICO
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r*-
PUNTOS-QUE PLASTIFICAN
PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST
53 60 61 62 63 69 71 72 73 74 75 76 53 54
105 107
1.0077 1.0406 1.0089 1.0111 1.0154 1.0147 1.04C8 1.0218 1.0690 1.0133 1.0402 1.0145 ' .
106 1.000000 108 0 .941557
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30"
32 33 JLát
-17.9194 -12.8985 -10.2561 -8.5743 -6.8888 -5.1960 -3.4568 -1.5577
-17.6888 -12.6517 -9.9606 -8.3450 -6.7148 -5.0891 -3.4438 -1.6977
-17.2592 -12.1372 -9.5070
^-7-9452 -6.4103 -4.9083 -3.4221 -1.8853
-16.5893 -11.4330 -0.8935 -7.4187 -5.9971 -4.6437" -3,3527.
-38.4385 -31.85 75 -27.7265 -24.6581 -21.2259 -17.4278 -13.2740 -8.7981
-38.1180 -31.7420 -27.5303
,6085 2687 56C9 4954 1092 5113 2489 2535 3752 1393 5285
-13.5340 -9.1678
-36.3635 -30.2892
-24 -21 -17 -13 -9,
-37 -31 -27. -24, -21. -17-
-26 -2 3 -20 -17
5579 86 24 7949 3442 4791,
- 2 . 0 8 5 3 - 1 5 . 6 6 7 6 - I f W i f H }
- 9 . 1 8 0 0 34 .4288
35 36 37 38 39 ^ 0 T W
41. 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
-8.1831 -6.8042 -5.5122 -4.3062 -3.2074 -2.2444
-14.5620 -9.8115 -7.4025 -6.1443 -4.9921
\ -3.9333 -2.9705 -2.2801
-13.3929 -9.4151 -6.865-9 -5.4414 -4.4785 -3.5478 -2.6698 -2.0791
- 2 5 . 3 3 C 3 - 2 2 . 9 5 9 2 - 2 0 . 1 7 2 8 - 1 6 . 9 6 7 1 - 1 3 . 3 2 | ¿
- 3 1 . 5 0 9 6 - 2 5 . 7 6 3 1 - 2 3 . 0 6 7 3 - 2 1 . ^ 9 5 9 - 1 9 . 2 3 6 8 - 1 6 . 4 1 7 6 - 1 3 . 0 4 1 2
- 9 . 1 1 4 1 - 2 7 . 6 0 7 3 - 2 1 . 6 9 1 2 - 1 8 . 9 8 5 4 - 1 8 . 4 4 1 7 - 1 7 . 8 4 3 6 -15.8^feV - 1 2 . 8 4 4 4
- 9 . 0 3 1 1
- 0 . 3 3 5 6 - 0 . 1 8 8 2 * - 0 . 0 9 9 8 - 0 . 0 3 6 4 k
0 .0286 f
0.0955 0 .1628 \ 0.2287 ;
- 0 . 9 6 8 6 i - 0 . 5 4 5 6 - 0 . 3 1 4 8 - 0 . 1 4 0 1
0 .0170 0 .1398 0 .2036 0 .1651
- 1 . 6 5 8 0 - 0 . 9 9 5 2 - 0 . 6 2 7 3 - 0 . 3 5 3 2 - 0 . 0 9 9 1
0 .1034 0 .2154 0 .1731
- 2 . 4 0 6 2 - 1 . 5 6 0 8 - 1 . 1 0 1 2 - 0 . 7 1 5 7 - £ . 3 5 4 2 -070505
0 .1529
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•0.0478 4.4262
•4.3061 4 .3319
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TENSION-1
- 1 7 . 9 1 3 9 - 1 2 , 8 9 6 6 - 1 0 . 2 5 5 6
- 8 . 5 7 4 3 - 6 . 8 8 8 7 - 5 . 1 9 5 3 - 3 . 4 5 4 1 - 1 . 5 5 0 5
- 1 7 . 6 4 3 0 - 1 2 . 6 3 6 1
- 9 . 9 5 4 9 - 8 . 3 4 3 8 - 6 . 7 1 4 8 - 5 . 0 8 7 5 - 3 . 4 3 9 7 - 1 . 6 9 4 0
- 1 7 . 1 2 4 4 - 1 2 . 0 8 5 5
- 9 . 4 8 4 8 - 7 . 9 3 7 6 - 6 . 4 0 9 6 - 4 . 9 0 7 4 - 3 . 4 1 7 6 - 1 . 8 8 1 2
- 1 6 . 3 0 0 7 - 1 1 . 3 0 4 6
- 8 . 8 2 5 1 - 7 . 3 8 76 - 5 . 9 8 8 6 - 4 . 6 4 3 5 - 3 . 3 5 0 4
„„-2^Q811..„_ - 1 5 . 1 4 0 2 - 1 0 . 3 0 8 7
- 7 . 9 9 0 6 - 6 . 6 9 8 5 - 5 . 4 6 6 7 - 4 . 2 9 4 3 - 3 . 2 0 7 1 - 2 . 2 4 2 4
- 1 3 . 6 9 9 4 - 9 . 1 6 1 0 - 6 . 8 6 5 3 - 5 . 8 0 9 7 - 4 . 8 1 2 7 - 3 . 8 5 5 0 - 2 . 9 5 0 4 - 2 . 2 7 9 8
- 1 2 . 1 2 7 3 - 8 . 0 5 5 3 - 5 . 4 7 4 0 - 4 . 3 7 7 7 - 3 . 8 3 5 1 - 3 . 2 1 2 8 - 2 . 5 4 6 1 - 2 . 0 6 1 2
TENSION-2
- 3 8 . 4 4 4 0 - 3 1 . 8 5 9 3 - 2 7 . 7 2 7 1 - 2 4 . 0 5 8 2 - 2 1 . 2 2 6 0 - 1 7 . 4 2 8 5 - 1 3 . 2 7 6 7
- 8 . 8 0 5 3 - 3 8 . 1 6 3 9 - 3 1 . 7 5 7 6 - 2 7 - 2 4 - 2 1 - 1 7 - 1 3
- 9 , - 3 7 -- 3 1 , - 2 7 , - 2 4 , - 2 1 , - 1 7 ,
,5859 ,6097 2687 5625 4996 1129 6462, 3005 2757 3827 1400 5294
- 1 3 . 5 3 8 6 - 9 . 1 7 1 9
- 3 6 . 6 5 2 1 - 3 0 . 4 1 7 5 - 2 6 . 6 2 6 3 - 2 3 . 8 9 3 5 - 2 0 . 8 0 3 4 - 1 7 . 3 4 4 4 - 1 3 . 4 8 2 0 ._ -a .L842 - 3 4 . 9 5 6 2 - 2 8 . 8 7 6 2 - 2 5 . 5 2 2 7 - 2 3 . 0 6 4 9 - 2 0 . 2 1 8 3 - 1 6 . 9 7 9 0 - 1 3 . 3 2 1 7
- 9 . 1 6 7 0 - 3 2 . 3 7 2 2
4136 6045 8306 4163
- 2 6 - 2 3 - 2 1 - 1 9 - 1 6 . 4 9 5 9 - 1 3 . 0 6 1 3
- 9 . 1 1 4 4 - 2 8 . 8 7 2 9 - 2 3 . 0 5 1 1 - 2 0 . 3 7 4 3 - 19 - 18 - 1 6 - 1 2
- 9
,50 55 ,4869 1614
,9681 0489
ÁNGULO 1-X
- 0 . 9 3 6 9 - 0 . 5 6 8 7 - 0 . 3 2 7 4 - 0 . 1 2 9 7
0 .1145 0 .4473 0 .9503 1.8076
- 2 . 7 0 8 5 - 1 . 6 3 5 7 - 1 . 0 2 3 3 - 0 . 4 9 3 5
0 .0670 0 .6425 1.1604 1.2755
- 4 . 6 4 9 5 - 2 . 9 7 3 1 - 2 . 0 2 2 1 - 1 . 2 3 1 2 - 0 . 3 8 5 6
0 .4695 1.2198 1.3610
- 6 . 8 3 9 3 - 4 . 7 0 0 1 - 3 . 5 5 3 8 - 2 . 4 8 7 6
- - 1 . 3 7 0 4 - 0 . 2 2 7 8
0 .8650 - - U 3 9 6 5
- 9 . 3 8 9 6 - 7 . 2 0 8 6 - 6 . 0 1 3 6 - 4 . 6 1 0 6 - 3 . 1 8 3 1 - 1 . 7 5 4 9 - 0 . 2 7 0 3
0 .9569 - 1 2 . 4 1 1 8 - 1 1 . 1 9 7 2 - 1 0 . 3 2 0 0
- 8 . 3 1 0 2 - 6 . 3 6 4 7 - 4 . 5 1 3 2 - 2 . 5 5 5 9 - 0 . 4 0 1 2
- 1 5 . 9 5 7 1 - 1 7 . 5 2 6 1 - 1 7 . 7 7 6 8 -15*.3776 - 1 2 . 0 9 6 1
- 9 . 2 5 6 3 - 6 . 2 5 5 4 - 2 . 8 9 4 2
FUNC PLAST
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•1.2593 -0.1542 0.4342 0.6353 0.7185 0.7117 0.6077 0.3283 1.0837
1608 5704 9198 0000 9415
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-10.8349 -9.0628
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-13.3312 -7.9066
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- 0 . 9 2 4 2 - 0 . 2 8 6 9
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0.0014 0.0017 0.0021 0.0025 0.0029 0.0031 0.0033 0.0000 0.0006 0.0010 0.0013 0.0017 0.0022 0.0028 0.0031 0.0033 0.0000 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0018 0.0025 0.0032 0.0035 0.0005 0.0005 0.0005 0.0000 0.0003 0.0004 0.0004 0.0002
_0.0003 0.0008 0.0013 0.0019 0.0028 0.0036
. 0.0003 0.0003 0.0000 0.0002 0.0002 0.0000
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FIN DE LA ITERACIÓN PLÁSTICA NUMERO
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O.OOOOE 00. C.1055E-08
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-0.6548E-10 O.OOOOE 00 0.2058E-08 0.2395E-08 O.OOOOE 00 0.2910E-10
-0.7992E-10 O.OOOOE 00 0.3579E-08 0.1881E-09 O.OOOOE 00 0.2118E-08 0.1072E-09' O.OOOOE 00 0.4395E-08
-0.3859E-08 O.OOOOE 00 0.1680E-08
-0.1836E-08 O.OOOOE 00 0.5147E-08
-0.21Ó2E-08 .O.OOOOE 00 0.3554E-08
-0.4974E-09 O.OOOOE 00
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O.OOOOE 00 -0.113ÓE-09
0.1898E-08 -0.2364E-10 -0.1169E-08 0.7325E-08 0.2887E-08
-0.1862E-08 0.4242E-08
-0.2332E-09
0.3788E-08 -0.5302E-09
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0.2575E-08 -0.4965E-09
0.2467E-08 -0.7876E-09
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Q.5529E-09 -0.1928E-09
O.OOOOE 00 O.OOOOE 00
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0.2497E-09 -0.1083E^09
0.1229E-08 0.1637E-09
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-0.1818E-08 0.1879E-08 0.4738E-08
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0.3231E-08 0.2494E-08
0.3810E-08 0.1776E-08
0.4934E-08 -0.1705E-10
0.1879E-08 -0.6481E-09
0.3218E-08 -0.4512E-08
0.13Ó7E-08 0.1207E-08
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0.1971E--0.2326r. 0.3410E-0.4076G-0.1818E-
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0.2795E--0.6530E-
0.2526E--0.3492E-
0.1504E--0.1477E-
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0.6693Í--0.7421E-
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0.7594E-10 O.OOOOE CO
0.7130E-09 ' 0.6020E-09
-0..1388E-C8 0.2167E-C8 0.1546E-C9
-0.5456E-C9 0.3537E-C8 0.2785E-08
0.4342E-C8 0.3778E-08
0.5810E-C8 :, -0.3590E-C8
0.6213E-C8 0.3213E-C8
0.5224E-C8 1 0.1898E-C9 !
0.4335E-C8 ! 0.3072E-G8 j
0.5852E-08 | 0.4383E-C9 J
i 0.8440E-C9 \ 0.1600E-OS
PUNTOS QUE VAN A PLASTIFICAR
PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST
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52 1C 53 54
J3 104 0.954210 1.0104 1.0145
54 107 108 1.000000 60 61 62 63 69 71 72 73 74 75
0 76
1.0196 1.0026 1.0226 1.0026 1.0055 1.0231 1.0032 1.0307 1.0085 1.0220 1.0321
HIPÓTESIS CARGA
•-*¿t¿»'->¿-3i,;;-íi«¿¿V
r^ssa
PUNTO
1 -2-3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15!
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 - — 35 36 37 38 39 *40 "" 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
- TENSION-X
-17.9165 -12.8964 -10.2476 -8.5585 -6.8625 -5.1562 -3.4023 -1.4900 -17.6894 -12.6525 -9.9559 -8.3323 -6.6904 -5.0494 -3.3878
•' -1.6264 -17.2652 -12.1437 -9.5087 -7.9384 -6.3892 -4.8683 -3.-3632 -1.8079
-16.6009 -11.4446 -8*9056 -7.4210 -5.9808 -4.ÓÜ23 -3.2901
_-2.000SU~-^ -15.6826
— 10.6151 — -8.2005 -6.8233 -5.5020 -4.2586 -3.1401 -2.1541
-14.5815 /*k «"i *•* *l t*\
, -.;.-?9 •«• tí 2 3 9 -—• •--••7
-7.4314 -6.1625 -5.0021 -3.8655 -2.8951 -2.1887
-13.4086 -9.4556 -6.8728 -5.4610 -4.5263 -3.3989 -2.5780 -1.9964 -Í2.0038
-TENSION-Y
-38.4256 -31.8457 -27.7148 -24.6482 -21.2191 -17.4242 -13.2734 -8.7998
-38.1127 -31.7342 -27.5715 -24.60C2 -21.2623 -17.5566 -13.4931 -9.1089
-37.5183 -31.2525 -27.2528 -24.3731 -21.1378 -17.5267 -13.5318 -9.1670
-36.3878 -30.3122 -26.5787 -23.8741 -20.8058 -17.35C2 -13.4800
^.-~ 9.1 793---^ -34.4689 -28.6297 J
-25.3824 -23.0146 -20.2103 -16.9909
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-31.5563 —***£ 5 .811&">.~**# -23.1527 -21.5855 •-19.3922 -16.4743 -13.0627 -9.1170
-27.6398 -21*74 14 -18.9928 -18,6271 -17.9474 -15.9006 -12.80C3 -9.0337
-22.7923
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-—TENSION~XY^
-0.3341 i -0.1879 f
-C.1006 L -0.0380 F 0.0262 0.0926 u;. 0.1599 P
0.2262 ; -0.9651 r -0.5455 -0.3175 -0.1451 : 0.0099 • 0.1325 r 0.1976 0.1615 ;
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27-
TENSION-i
-17.9111 -12.8945 -10-2471 -8.5584 -6.8624 -5.1555 -3.3998 -1.4830
-17.6439 -12.6369 -9.9502 -8.3310 -6.6904 -5.0480 -3.3839 -1.6229
-17.1313 -12.0923 -9 .4864 -7.9305 -6.3884 -4.8677 -3.3590 -1.8041
-16.3141 -11.3172 -8-8374 -7.3895 -5.9717 -4.6020 -3.2880 -1.9969
-15.1575 -10.3245 -8.0086 -6.7174 -5.4548 -4.2464 -3.1399 -2.1523 -13.7204 -9.1723 -6.8913 -5.8227 -4.8165 -3.7891 -2.8772 -2.1884 -12.1422 -8.0907 -5.4591 -4.3693 -3 .8663 -3.0827 -2.4706 -1.9S08 -10.3085
TENSIGN-2
-38.4311 -31.8475 -27.7153 -24.6483 -21.2192 -17.4249 -13.2760 -8.8068
-38.1582 -31.7498 -27.5772 -2^.6015 -21.2623 -17.5580 -13.4970 . -9.1124
-37.6522 -31.3040 , -27.2751 -24.3809 -21.1386 -17.5274 -13.5360 -9.1709
-36.6746 -30. V395 — 26 .6468 -23.9056 -20.8148 -17.3505 -13.4821 -9.1833
-34.9940 -28.9204 -25.5743 -23.1206 -20.2575 -17.0031 -13.3292 -9.1670
-32.4174 -26.^4632 -23.6928 -21.9253 -19.5779 -16.5507 -13.0806 -9.1173
-28.9062 -23.1063 -20.40 64 -19.7187 -18.60 54 —16.2768 -12.9877 -9.0494
-24.48 75
ÁNGULO 1-X
-0.9331 -0.5632 -0.3300 -0.1356 0.1046 0.4324 0.9232 1.7710
-2.6995 -1.6364 -1.0324 -0.5111 0.0392 0.6070 1.1201 1.2361
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-15.9532 -17.5477 -17.9109 -15.4674 -12.H989 -8.9Ü63 -5.8009 -2.6978
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- 8 . 8 3 0 6 - 5 . 0 3 6 2
- 2 4 . 4 3 3 5 - 3 9 . 4 7 3 7 - 3 8 . 6 5 4 0
33 .3551 43 .5367 42 .1864
- 3 9 . 5 8 9 5 - 3 3 . 8 2 3 7 - 2 8 . 9 5 0 1 - 2 4 . 1 7 9 9 - 1 6 . 6 5 4 0
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33 .7155 17 .8300 15 .7684
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0 0 0 0 0 0 \ > •"* »—' -•» -vi JN N C5 U¡ s{3 C> U!
Apéndice E
N O T A C I Ó N
\ i" ? '.'•' r ,-""v
A P É N D I C E - £ -
N O T A C I Ó N • • a « B I S 3 = S 5 S S B B «
índice de símbolos
B • matriz que relaciona corrimientos y deformaciones de los nodos de un
mentó*
0 - cohesión*
d m desplazamiento»
B • matriz tensión deformación.
B - módulo de elasticidad o Young.
e » deformación»
e • deformación elástica.
e* • deformación plástica.
e » índice de poros.
f » función o criterio de rotura.
P » fuerza concentrada en un nodo.
G o módulo de deformación transversal.
g « deformación angular.
1 » invariante del tensor de tensiones.
J « invariante del tensor desviador de tensiones.
k « índice de entumecimiento de la arcilla.
K « matriz de rigidez (elementos finitos).
K m módulo de deformación volumátrioa (elasticiáad).
K • constantes diversas.
L « índioe de compresión de la arcilla.
m • coeficiente de Potsson.
M m pendiente de la recta de resistencia intrínseca en el plano "p-q".
p « presión media o esférica.
q « desviador de tensiones.
S « tensión*
t « tensión tangenoial « S...
u » corrimiento según el eje " x w.
v - corrimiento según el eje M y M (elementos finitos).
v • ángulo de dilatanoia (plasticidad).
W • trabajo plástico.
0 m ángulo de rozamiento interno.
0 • densidad.
Apéndice F
B I B L I O G R A F Í A
A P É N D I C E -*F-
B I B L I O G R A F Í A B B a n ^ o n r s s a a a a c c a B B B i i B a i B i
• * -
R E F E E E H C I A 3 B I B h I O O H A F I C A 3
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ring problema. Plastio straining in tno dimensional strefleyiteetíT
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Introduce un método directo muy práctico de resolución de sistemas barí
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Interesante contribución al método en lo referento a la aplicación pra£
tica del mismo, oon experimentación de la convergencia obtenida con di
ferentes formas de elementos y tamaños de malla. Dedica eran extensión al
problema de pl&oas.
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Interesante estudio comparativo de las matrices de rigidez con cuatro t¿
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Representa el mayor esfuerzo realizado hasta ahora tanto en la obten
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Apreoiable estudio comparativo de loa métodos de reeoluoión de sistemas
de ecuaciones.
B-90 ) WILSON E.L. "Struotural analyaia of axiaymetrioa solidaM Vol. 3 n«1» Dio.
1.956, págs 2.269-2#274» Joum. Araerioan Inat. Aeronautia. and Astro
nauta
B-51 ) ZIEUKIEWICZ O.C. y CHEÜNG Y.KrApplidatitta: of tha finita élement method to
problema 4>f rook meohanioa,, Int. Cong. Rock Meoh, Lisboa 1.966, Vol.1
paga. 661-672.
r
B- 52 ) ZIEHKIEWICZ O.C. y CHEÜNG Y.K. "The finita element method in struotural
and oontinuum mechanica* Me. Graw Hill 1.967.
EB el único libro editado dedioado exclusivamente al método. Aunque le
falta rigor en algunos puntos, es muy completo y práctioo.
16.-»
B-53 ) ZIEHCKWICZ 0#C# "Continu» Keohanios as en approeoh to Bode Mase Prjt
bleaa"* Cap#8 de "Boefi Meábanle* ia Engineering Praotioe" de ZIE8-
KIEWICZ y 3ÍA00. pág». 237-273» JOBI fmÉr 1.968 (frmduooión espa-
ñola 1.970 por J. RODRÍGUEZ ORTIZ),
Bs interesante el caso de no linealidad debido a la no resistencia
a traooión, asi oomo la aplioaoión en tres dimensiones a presas bóv^
das»