Post on 07-Jul-2018
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
1/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”
Concursul interjudeţean de matematică „EPSILON”
2 aprilie 2011-BUZAU
Clasa a !a
"# Se dau numerele1 2 3 99
....2 3 4 100
A = + + + +
1 1 1 1
1 2 3 .... 992 3 4 100
B = + + + +
a) Demonstraţi că numărul A B+ ∈¥ b) Demonstraţi că numărul A B+ este divizibil cu 9.
$# Câte numere naturale n baza zece de !orma abc sunt
divizibile cu 2 "i au #ro#rietatea că ab este #ătrat #er!ect $
%# Se dau numerele ( ) ( ){ }0 3 3 3
2 4 % 02011
% 0 1 2 1999 199&2 3 ' ( % ( 2 ( 2a = + +
( )4 33 22 3 0 2 2 12 ) 2011 ( 3 1 4b = − − +
Calculaţi numarul 2011 )b a− .
Se dau mulţimile { }2 * * 3n A x x n n= = ∈ ≤¥
{ }2 * B y y x x A= = ∈
0 &+2 *2 ,C =
a) Determinaţi mulţimile - "i b) Calculaţi ) )C B A B∪ − ∩ .
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
2/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”
Concursul interjudeţean de matematică „EPSILON”
2 aprilie 2011-BUZAU
'aremClasa a !a
(iecare su)iect este notat cu * +uncte#
,# Scrierea sumei
a- 1 1 2 1 3 1 99 1
1 ) 2 ) 3 ) .... 99 )2 2 3 3 4 4 100 100
A B+ = + + + + + + + + =
2 3 4 .... 100= + + + + ∈¥ % +uncte
)) Calculul sumei %049 A B+ = % +uncte
A B+ este divizibil cu 9 " +unct
.# ab este #ătrat #er!ect rezultă
+1&*2%*3&*49*&4*/1,ab∈ $ +uncte
abc divizibil cu 2 rezultă +0* 2*4*&*/,c ∈ $ +uncte& % 30× = numere % +uncte
*# 1a = % +uncte 2b = % +uncte
2011 ) 1b a− = " +unct
a- { }1*2*4*/ A = $ +uncte
{ }1* 4*1&* &4 B = $ +uncte
)- +1* 4*1&*32*&4,C B∪ = " +unct +1*4, A B∩ = " +unct ) ) +4*1&* 32* &4,C B A B∪ − ∩ = " +unct
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
3/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”
$ a+rilie $6""!'/7A/ CLASA a I!a
1. Să se calculeze raportul y x
y x
+
−
, dacă numerele naturale x
şi y îndeplinesc condiţia: 12002112 213
=⋅+++ x y x
2. Să se determine numerele naturale astfel încât
. !ăsurile un"#iurilor unui triun"#i sunt proporţionale cu
numerele x, y,z. $acă z%x&y, demonstraţi că triun"#iuleste dreptun"#ic.
'. (ie se"mentele con"ruente )*+ şi )*- astfel încât
un"#iul +*- să e ascuţit, ))* OA F OB E ∈∈ , +/ *-, -(
*+, .Să se arate că:
a0 )+/ )-(
0 )* este isectoarea un"#iului +*-.
- C-S- a 56a
1. 7m#ărtim #rin
...........................................................................................1#
si obtinem
.....................................................1#
trebuie ca să !ie im#ar deci
.....................................2#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
4/30
adică
...................................................................................................1#
si atunci
.......................................................................1#
8888888888888888888888888
88.1#
2. 3
Din deci se divide cu3 .................................2#
Din si divizibil cu
avem ( .............................................................................1#
t iș
t .
t !als.
t .
t iș
...................................3#
Dacă nu se mai #ot ob ine valori naturale #entruț deci solu iile sunt celeț
mentionate..........1#
3. 88888888888888888
88..3#
8888888888888888888888888
8...2#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
5/30
88888888888888888888
882#4.
a. Demonstrarea con:ruentei triun:;iurilor8888888888...2#Demonstrareacerintei8888888888888888882#
Demonstrarea cerintei 88888888888888..8
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”
$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a II!a
1. Să se calculeze (
a.
b.
2. Dacă * calculati
3.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
6/30
4.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
7/30
*
888888888888888888888..1#
a.
88888888888888888888888.1# b. *
8888888888888888888...1#
c.
88888888888888888888882#
4 .
a. 6 7 linie mi8locie în %9 6 +; şi 6 linie mi=locie n ?@ > AA -C "i 2)
> 6 linie mi=locie in ?@ > AAD "i
Cum -CD este dre#tun:;i ?@ -C ? D* deci > ? B* iar cum din 1) si 2) >B 6 #aralelo:ram "i are două laturi alăturate con:ruente ?@ >B este romb
. relun"ind = până intersectează dreapta +-, oţinem triun"#iul
!> în care - ?a mediană şi != tot mediană şi = mi8locul lui >0. +stfel S de?ine centrul
de "reutate al triun"#iului !> şi ?om a?ea , deci !=
% S=
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”
$ a+rilie $6""!'/7A/
>S
C
D
B
-
S
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
8/30
CLASA a III!a
1. Să se determine un număr natural de forma ştiind că în orice
ază de numeraţie mai mare decât 2 este cu perfect.2. @n paralelipiped dreptun"#ic are dia"onala d şi aria totală S. Atiind că
, să se arate că . ;ând a?em S % 2B
. Sa se calculeze ?olumul unui tetraedru re"ulat cu latura a.
'. Se dă funcţia , care ?erică relaţiile:
.
a0 Să se reprezinte "rac această funcţie
0 Să se rezol?e inecuaţia:
Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii. im# de lucru ( doua ore.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
9/30
888888888888888888888888888888888888888888888..1#
:alitatea are loc #entru a ? b ? c ?@ S ? 2 ?@
8888888888888888888888888888888
888888888888888888881#3.#rimarea inaltimii in !unctie delatura8888888888888888888888888888888888.3#Scrierea corecta avolumului888888888888888888888888888888888888888884#
4.
.>otam *deci
*adica rezulta
-dica *#entru orice
real88888888888888888888888888888888882#
.>otam *deci * rezulta
deci si *#entru orice real .Ca urmare
8888888882#a):ra!ic88888888888888888888888888888888888888888888888888888..1#.
b)
*
888888888888888888888888888888888888
888888888..2#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
10/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”
$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a I9!a : Economic
1. Dacă este o #ro:resie aritmetică* să se calculeze
*
#entru * E.
2. Determinati !unctia ! ( ℝ ℝ * care nde#lineste conditiile(
a). #entru orice .
b). * #entru orice .
3.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
11/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”
$ a+rilie $6""!'/7A/
CLASA a I9!a : te;nic
1. 1. Dacă este o #ro:resie aritmetică* să se calculeze
*
#entru * E.
2. -rătati că !unctia * este
strict crescătoare.
3. Să se arate că * #entru orice
..
4.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
12/30
arem clasa a 5J6a CK>K5C
1.
......................
..... 2#
........................................................2#
..............................................................
......2#
....................................................................................
......1#
2. entru relaţiile dau "i
...................................1#
888888888888888888..1#
entru
888888888888888.1#
entru
8888888888888888...1#
8888888888888888..1#
8888888888888...1#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
13/30
888888888888888888..1#
3. Considerăm
88888888888888
882#
888888888888888888888882#
88888888882#
4.
88.2#
88888888888888888888
8..2#
888888888888888888882#5C
%.
......................
..... 2#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
14/30
........................................................2#
....................................................................2#
....................................................................................
......1#
&.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
15/30
.....................................................................................................3#
1M ....................................................................1#
/.
88.2#
88888888888888888888
8..2#
888888888888888888882#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
16/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”
$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a 9!a : Economic
1.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
17/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”
$ a+rilie $6""!'/7A/CLASA a 9!a : te;nic
1. Să se determine multimea solutiilor ecuatiei
2. ezolvati ecuatia .
3. Să se rezolve ecuatia .
4. Se consideră triun:;iul -C cu vâr!urile -1*1)* 4*%) i C6'* ').
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
18/30
8..
888888888.1#
deci 888888888888888888..888888888.1#Cum
..8888888.
888888888888888.1#
c)
888888888888.81#
-vem deci *n
im#ar88888888................................8..1#
8888...........................8888888888.8881#
2. Conditia
si
........2#
cuatia devine..............................2#
.................................
.............2#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
19/30
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
20/30
- C-S- a J6a 6 L>5C
1. Conditii deeistentă .....................................................................................1#
.......................................................
.......1#
.......................................................
.......1#
..........................................................
......1##licitarea modulului*rezolvare..................................................................2#
Solutia
........................................................................................1#
2. Conditia
si
.....................................................................2#
cuatia devine
......................2#
.................................
......2#
.........................................................
......1#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
21/30
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
22/30
CLASA a 9I!a : economic
1. Se dau matricele care nde#linesc relaţiile (
"i
Să se demonstreze că
2.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
23/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”$ a+rilie $6""!'/7A/
CLASA a 9I!a : 1e;nic
1.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
24/30
Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii. im# de lucru este trei ore.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
25/30
a. Să se determine ştiind că funcţia
admite extreme locale în 3i
.
b. entru determinate la punctul a. să se
calculeze
Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii. im# de lucru ( trei ore.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
26/30
Liceul de Arta “Margareta Sterian”
CONC/0S/L IN1E02/3E4EAN 3E MA1EMA1IC5 „EPSILON”$ a+rilie $6""!'/7A/
CLASA a 9II!a : economic
1. (ie şi le"ea . Să se
determine astfel ca să aiă structură de
"rup.2. Să se determine un polinom de "radul trei care
îndeplineşte condiţia: ,
pentru orice .
. Să se calculeze:
a.
b.
'. Se consideră .
a.Să se determine ştiind că funcţia admite
extreme locale în 3i .
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
27/30
b. entru determinate la punctul a. să se
calculeze
Notă8 oate subiectele sunt obli:atorii im# de lucru( trei ore
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
28/30
'A0EM 3E CO0EC1A0ECLASA a 9II!a : te;nic
1. rebuie să eiste
deci
#entru orice
deci
1#
2#
2#
2#
2.
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
29/30
1*%
#
8/18/2019 EPSILON - 2aprilie 2011-BUZAU-V-XII-Enunturi+Bareme
30/30
- D CKC-
CLASA a 9II!a : economic1. rebuie să eiste
deci
#entru orice
deci
1#
2#2#
2#
2.