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ULA. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE MECANICA. TEORIA DE CONTROL.
EJERCICIOS TEMA 9 1) Hacer las gráficas aproximadas, sin cálculo, de la respuesta de un sistema donde el proceso es de segundo orden,
sobrebamortiguado, el elemento de medición y el elemento final de control tienen constantes como función de transferencia, siendo la señal de referencia igual a 10 unidades y la perturbación igual a 5 unidades. Si la función de transferencia del controlador es:
a) pK
b)
sK
11
c) sK 1
(5 puntos) SOLUCION
a)
b)
c)
2) Hacer la gráfica aproximada sin cálculo de la respuesta de un sistema donde el proceso es de segundo orden, subamortiguado, el elemento de medición y el elemento final de control tienen constantes como función de transferencia, siendo la señal de referencia igual a 3 unidades y la perturbación igual a 1 unidad. Si la función de transferencia del controlador es:
a) pK b)
s
sK
11 c) sK 1
t
y(t) u(t) p(t)
10
5
t
y(t) u(t) p(t)
10
5
t
y(t) u(t) p(t)
10
5
3) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:
(8 puntos)
SOLUCION Debemos primeramente simplificar el diagrama de bloques. Comenzamos con hacer cero a p(t).
Simplificando tendremos
En segundo lugar hacemos que u(t) sea cero.
La solución completa será:
La estabilidad la determina la ecuación característica:
0416216 23 DDD Con el método de ROUTH determinamos la forma de estas raíces
6 16 021 4 0
0.1486 04
El sistema es ESTABLE
El valor en estado estable lo determinamos con el teorema del valor final:
lim→
2 3 16 21 16 4
10 6 36 21 16 4
5
_ lim→
104
154
254
6.25
4) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:
5) Determinar la estabilidad y el valor en estado estable del siguiente sistema:
6) Se tiene el siguiente sistema de Control:
a) Calcular la función de transferencia de lazo abierto del sistema. b) Determinar la estabilidad del sistema c) Calcular el valor en estado estable. d) Hacer la gráfica aproximada de la respuesta del sistema. e) Hacer la grafica aproximada de la respuesta del sistema suponiendo que se sustituye el controlador por uno cuya
función de transferencia es 1
7) Determine la influencia sobre la estabilidad y el valor en estado estable de un sistema cuyo proceso tiene una ecuación
característica de primer orden con constante de tiempo igual a 2, el elemento final de control tiene una constante igual a 3, el elemento de medición tiene una constante igual a , siendo el controlador PD con Kp = Kd = 1, si el sistema tiene una señal de referencia de una unidad y se somete a una perturbación de tres unidades.
ULA. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE MECANICA. TEORIA DE CONTROL.
EJERCICIOS TEMA 10
1) Se tiene un sistema de control donde: 1
0.0001s 0.0126s 0.2725s 0.52s 1.4
La grafica de la respuesta transitoria del sistema en lazo abierto es: Utilizando el método de Ziegler Nichols basado en la respuesta al escalón determine los parámetros del controlador si quiere utilizar un controlador PID.
2) Se tiene un sistema de control donde la grafica de la respuesta transitoria del sistema en lazo abierto ante una entrada en escalón se muestra en la figura: Y su función de transferencia es:
Utilizando el método de Ziegler Nichols basado en la respuesta al escalón determine los parámetros del controlador suponiendo que se quiere utilizar un controlador PID.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3) A- Se tiene un horno para tratamientos térmicos, tal como
se muestra en la figura. Obtenga el modelo matemático de dicho horno, donde una
entrada es el cuadrado del voltaje en el sistema ( 21 Vtu ),
la otra entrada es la temperatura exterior ETtu 2 y la salida
es la temperatura en el interior del horno ( Tty ).
C = CP = 1; RT1 = RT2 = 1; R = 22 Ω. a) Expresado en espacio de estado
Expresado como ecuación diferencial B- Se quiere medir la temperatura del horno presentado en el ejercicio anterior con un termómetro cuyo funcionamiento corresponde a un sistema de segundo orden con un coeficiente de amortiguamiento igual a 1 y una frecuencia natural de 0.5 radianes/minuto. Inicialmente el horno esta desconectado y la temperatura en su interior es igual a la temperatura ambiente (TE = 20ºC), y de repente se conecta el horno con lo cual su temperatura comienza a aumentar a razón de 40 ºC por minuto hasta 620 ºC, momento para el cual el controlador comienza a actuar y la temperatura se mantiene constante.
b) Haga la grafica de la respuesta del sistema. c) Calcule la temperatura indicada por el termómetro en el momento en que el horno alcanza su temperatura
máxima. d) Cual será el error en estado estable de la lectura del termómetro una vez que la temperatura del horno sea
constante. C- Se quiere controlar el horno del primer ejercicio, para mantener su temperatura constante en 620 ºC, utilizando un controlador PID. Para ello se usa como elemento de medición el termómetro del segundo ejercicio y la variable manipulada es el voltaje del circuito eléctrico. Se sabe además que la perturbación es constante e igual a la temperatura ambiente (20 ºC).
a) Haga el diagrama de bloques del sistema completo b) Determine la temperatura que se tendrá en el horno cuando el sistema se encuentra en estado estable
c) Haga la grafica de Nyquist suponiendo que el controlador es solo proporcional con una ganancia de 1 (KP
= 1) d) Calcule los parámetros necesarios para el controlador PID utilizando el método de Ziegler – Nichols
basando en la respuesta frecuencial Solución A- Las ecuaciones del sistema son:
Potencia eléctrica = calor entregado por la resistencia:
RVRIIVQR22
Pérdida de calor por las paredes del horno:
22
11
21
1
;T
EP
T
P
PP
R
R
TTQ
R
TTQ
DTCQQ
CDTQQ
Introduciendo las ecuaciones de la potencia eléctrica y de los calores en las otras dos ecuaciones obtenemos:
PPT
EP
T
P
T
P
DTCR
TT
R
TT
CDTR
TT
R
V
21
1
2
Reorganizando estas ecuaciones y tomando en cuenta cuales son las entradas y cual la salida podemos escribirlas de la siguiente forma:
Aire
Aislante
TE
R
T C VE
TP
CP
221
12
1
2
11
TP
E
TPTP
PTPTP
TPP
TT
P
RC
T
RCRC
TRCRC
RC
TT
CR
V
CR
T
CR
TT
Parte a) Espacio de estado Como:
21 Vtu ; ETtu 2 ; Tty
Se pueden tomar como variables de estado a:
Ttx 1 ; PTtx 2
El sistema se puede escribir en función de estas variables de estado como:
1
22
221
121
12
111
21
1
11
111
xy
uRC
xRCRC
RCRCx
RCx
uCR
xCR
xCR
x
TPTPTP
TPTP
TP
TT
Expresado matricialmente:
Cxy
BuAxx
Donde:
01
10
01
;1
11
221
12
1
11
C
RC
CRB
RCRC
RCRC
RC
CRCRA
TPTPTP
TPTP
TP
TT
01
10
022
1;
21
11
C
BA
Parte b) Ecuación diferencial En este caso lo mas fácil es volver a las ecuaciones del sistema:
221
12
1
2
11
TP
E
TPTP
PTPTP
TPP
TT
P
RC
T
RCRC
TRCRC
RC
TT
CR
V
CR
T
CR
TT
Despejando TP de la primera ecuación y sustituirlo en la segunda:
21
21
21
1
21
12
1 TP
ET
T
TPTP
TT
TPTP
TP RC
TDTCR
R
VRTD
RCRC
DTCRR
VRTRCRC
RC
T
Reacomodando nos queda:
2
2
2
1221
121
12
2
1221
11
TP
E
TPP
TPTPT
TPTPTP
TPTP
TPP
TPTPT
RC
TV
RRCC
RCRCDV
R
R
TRCRCRC
RCRCDT
RCC
CRCRCTDCR
Se puede simplificar la escritura de la siguiente forma:
ETcVbDVbTaDTaTDa 02
02
1012
2
Donde:
11
11
1
22
11;
22
1
11
1
1
111
311
1111
111
20
2
120
11
121
120
2
121
12
TP
TPP
TPTPT
TPTPTP
TPTP
TPP
TPTP
T
RCc
RRCC
RCRCb
R
Rb
RCRCRC
RCRCa
RCC
CRCRCa
CRa
ETVDVTDTTD 222
11
1
22
13
B- Parte a) Grafica de la respuesta El termómetro es de segundo orden críticamente amortiguado y su respuesta es de la forma:
Parte b) Respuesta del termómetro La ecuación del termómetro expresada en minutos es:
HTTT TTDTTD 25.025.05.0122
Donde la temperatura del horno TH varía en forma de rampa:
2040 tTH
Luego la ecuación es:
51025.02 tTDTTD TTT
20
620
15 0 t (min)
T (ºC)
Respuesta
Entrada
TT = ?
Siendo las condiciones iniciales:
0;200 TT DTTt
Solución transitoria:
eett
Tt tCCT5.0
2
5.0
1
Solución en estado estable:
BtATTee
BDTTee
Sustituyendo en ecuación: 20405 tBtAB
180205
40
AAB
B
La solución completa será:
ttCCT eett
T 401805.0
2
5.0
1
ttCCCDT eeettt
T 405.05.05.0
2
5.0
2
5.0
1
Con las condiciones iniciales:
20018020 11 CC
1005.00 221 CCC
Por lo tanto la ecuación de la respuesta es:
ttT eett
T 401801002005.05.0
El horno alcanza su temperatura máxima en 15t minutos, en este momento la temperatura indicada por el termómetro será:
1540180000553.015100000553.0200 TT
6001808296.01106.0 TT
CTT º94.420
Parte c) Error en estado estable Cuando la temperatura del horno se mantiene constante, el error en la lectura del termómetro corresponde a la diferencia entre el valor en estado estable de la respuesta del termómetro y la temperatura real del horno. En este caso como se trata de un instrumento de 2do orden ante una entrada en escalón:
El error en estado estable es CERO.
C- Parte a) diagrama de bloque del sistema
Parte b) temperatura en estado estable
Como se utiliza un control PID la temperatura del horno en estado estable será: CTH º620
Parte c) Diagrama de Nyquis para 1PK
Primero se debe reducir el diagrama de bloques para obtener la función de transferencia de lazo abierto, consideraremos para ello una sola entrada, en este caso la referencia y se hace la perturbación cero:
Se debe entonces hacer el diagrama de Nyquist, considerando solo la ganancia proporcional y siendo esta igual a 1, luego G(s)H(s) será:
13144
2
22
422
ssss
s
KsKKs
sHsG
iDp
13144
2
11
222
ssss
ssHsG
1717164
2
11
2234
ssss
ssHsG
117718717644
42234
ssss
ssHsG
Sustituimos a js
117718717644
42234
jjjj
jsHsG
324 176771118744
24
j
jsHsG
Multiplico por el conjugado para obtener la parte real y parte imaginaria
324
324
324 176771118744
176771118744
176771118744
24
j
j
j
jsHsG
23224
324
176771118744
17677111874424
jjsHsG
23224
324
176771118744
1762477241124187244424
jjjjjsHsG
23224
332244
176771118744
21764176277477224421874187244444
jjjjjsHsG
23224
35
23224
24
176771118744
28633088
176771118744
44594176
jsHsG
La parte imaginaria es cero para:
0
176771118744
2863308823224
35
028633088 24
Esto ocurre en:
0 y 028633088 24 Esta ecuación tiene 5 raíces:
1.6653 2.1157 1.6653 2.1157
0.8521 0.8521
El valor que corresponde a un ángulo de fase de -180° es el valor real positivo: 0.8521. Una forma alternativa de ubicar es dibujar los diagramas de Bode y ver la frecuencia en la cual el ángulo de fase pasa por -180°.
El diagrama de Nyquist para esta función es:
Lo cual indica que el sistema es estable con 1PK .
Parte d) Calibración del controlador Para calibrar el controlador aumentamos el valor de KP hasta que la gráfica de Nyquist pase por el punto:
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3From: U(1)
To:
Y(1
)
-1 + j0
Este valor se obtiene con una ganancia crítica 25CK y una frecuencia crítica 8521.0C , en este caso el diagrama
de Nyquist se muestra en la figura siguiente.
Con estos valores buscamos en la tabla de Ziegler - Nichols para una respuesta frecuencial el valor de las ganancias del controlador: Los valores serán entonces los siguientes.
5.12255.05.0 CP KK
68.38521.0
)2(5.0
)2(5.05.0
Cci tT
88.08521.0
)2(12.012.0
ci tT
4) Para los ejercicios 3 a 6 del tema 9, determine el valor de las ganancias del controlador utilizando los dos criterios de
Ziegler Nichols. Utilice los tres tipos de controladores: P, PI y PID.
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8From: U(1)
To:
Y(1
)