Post on 14-Jan-2016
description
Elliptiset jakaumat
Esitys 6
kpl 3.3-3.5
28.9.2011Tuomas Nikoskinen
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Päivän teemat
• Pallosymmetriset jakaumat– Johdantona elliptisille jakaumille
• Elliptiset jakaumat
• Elliptisyyden testaaminen
Pallosymmetria
Jakauma Tasa-arvokäyriä
PallosymmetriaMääritelmiä 1
• Satunnaisvektori pallosymmetrisesti jakautunut1. Olemassa karakteristinen generaattori
ja merkitään
2. Lineaarikombinaatiot myös pallosymmetrisiä
3. Tiheysfunktio muotoa
PallosymmetriaMääritelmiä 2
• Jos X pallosymmetrinen, se voidaan esittää myös
– S tasajakautunut yksikköympyrälle– R radiaalinen satunnaismuuttuja (säteen pituus)– R ja S riippumattomia toisistaan
• Oletetaan , silloin
– Pohjana myöhemmin elliptisyyden numeeriselle testaamiselle
Pallosymmetriasta elliptisyyteen
Affiinimuunnos
Y u + AY
Pallosymmetriasta elliptisyyteen
Elliptiset jakaumatFormaalisti
• elliptisesti jakautunut, jos
• Karakteristinen funktio
• merkintä tapa
Elliptiset jakaumat
• Muistetaan , jolloin
(1)– S tasajakautunut yksikköympyrälle– R radiaalinen satunnaismuuttuja
• Ratkaisemalla yhtälöstä (1)
– Elliptisyyden testaaminen pallosymmetrian avulla– Yleinen tiheysfunktion muoto elliptiselle
Elliptiset jakaumat
• Elliptiselle :• Pallosymmetrisesti jakautuneen tiheysfunktio muotoa
• Yleinen muoto elliptisen jakauman tiheysfunktiolle
Data elliptistä?
• Onko havaittu data X elliptistä?– Tarvitaan estimaattorit , ja – Testataan
Elliptiset jakaumatParametrien estimointi: M-estimaattorit
• Yksinkertainen iteratiivinen prosessi, tuloksena robustit estimaattorit ja
• Jokaiselle havainnolle Xi lasketaan suure
• Estimaattoreiden päivitys painotettuna otoskeskiarvona ja kovarianssimatriisina– Painot ja pienentävät suuren arvon
saaneiden havaintojen merkitystä
Elliptiset jakaumatParametrien estimointi: Kendall’s tau
• Keino estimoida korrelaatio kahden satunnaismuuttujan välille
– Tämä muoto elliptisesti jakautuneille – teoreettinen korrelaatio, joka voidaan laskea
standardi estimaattorilla (kirja 5.50)
• Muunnetaan kovarianssimatriisiksi esim.
Elliptiset jakaumatEstimaattoreiden robustisuus - esimerkki
• Elliptisestä 2 muuttujan t-jakaumasta estimoitu korrelaatiota, (kirja ex. 3.31)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
-1.0
0.0
0.5
1.0
Index
Pe
ars
on
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
-1.0
0.0
0.5
1.0
Index
Ke
nd
all-
Tra
nsf
orm
Elliptisyyden testaaminen
• Onko datakun on estimoitu ja
• 3 lähestymistapaa1. Vakio korrelaatio
2. Kvantiili-Kvantiili tarkastelu
3. Numeerinen testaus
• Estimoidaan korrelaatio annettuna ellipsi
• Jos data elliptistä, korrelaation tulisi pysyä vakiona c arvoa kasvatettaessa
• ”Elliptiset tasa-arvokäyrät samanmuotoiset, vain skaala muuttuu”
• Tulokset tulkitaan graafisesti piirtämällä korrelaatioestimaatti määrätyn ellipsin ulkopuolelle jääneiden pisteiden funktiona
Elliptisyyden testaaminenVakio korrelaatio
• Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä
• Toteutetaan vertaamalla testisuureen T(Y)
ja Y:n kvantiili-kvantiili kuvaajaa (QQplot)• Kun , voidaan T(Y) valita esim s.e.
• Tästä helppo laskea teoreettiset kvantiilit ja verrata niitä empiiriisiin datasta laskeuttuihin
Elliptisyyden testaaminenKvantiili-Kvantiili
Elliptisyyden testaaminenNumeerinen testaus
• Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä
• Merkitään ja ja selvitetään1. Onko S tasajakautunut yksikköympyrälle?
• Kolmogorov-Smirnov test
2. Ovat R ja S riippumattomia?• Spearman’s rank correlation coefficient
• Jos vastaus yllä oleviin kysymyksiin 1 ja 2 on kyllä, data on elliptisesti jakautunut
KotitehtäväOnko havaittu data elliptisesti jakautunut?
• Generoi elliptisesti jakautunut 2 ulotteinen datajoukko X– (esim. t-jakaumasta, ks. ?rmt)
• Estimoi ja (tyyli vapaa)• Ota X:stä muunnos Y (ks. kalvo 18)• Testaa X:n elliptisyys (siis Y:n pallosymmetrisyys)
numeerisesti– Kalvon 18:n testi
• Raportoi käyttämäsi koodi ja sopivat kuvaajat• HUOM! R:ssä matriisi potenssi hankala, lataa paketti
”expm”, jolle: %^% ottaa matriisi potenssin