UNIVERZITET U NIŠU TEHNOLOŠKI FAKULTET U LESKOVCU

ELEKTROTEHNIKA

ISPIT AKTIVNOSTI POENI NAPOMENA

Predispitne obaveze

predavanja 5 min

30 praktična nastava 15

kolokvijumi 50

Završni deo ispita test provere znanja 30

Poeni Ocene

51-60 6

61-70 7

71-80 8

81-90 9

91-100 10

LITERATURA Predavanja:

1. S. Stojanović, Elektrotehnika, PDF Prezentacija predavanja, 2013.

2. A. Đorđević, Osnovi elektrotehnike 1-4, Akademska misao,Beograd, 2013.

3. D. Mitić, “Elektrotehnika I, II”, Petrograf, Niš, 2007, 2008. 4. M. Cvetković, Elektrotehnika, Tehnološki fakultet, Leskovac,

1990.

Vežbe (računske):

5. D. Mitić, Elektrotehnika I, II u obliku metodičke zbirke zadataka”, Petrograf, Niš, 2007, 2008.

6. Đ. Vukić, Zbirka ispitnih zadataka iz elektrotehnike, Poljoprivredni fakultet Beograd, 2003.

Vežbe (laborat.):

7. I. Mladenović, S. Stojanović: Elektrotehnika sa elektronikom, praktikum za laboratorijske vežbe, Tehnološki fakultet, Leskovac, 2003.

Sadržaj predmeta:

1. Elektrostatika

2. Elektrokinetika

3. Magnetizam

4. Naizmenične struje

1 UVOD .................................................................................................. 9

1.1 NAELEKTRISANJE ELEMENTARNIH ČESTICA ........................................ 9

1.1.1 NAELEKTRISANJE TELA .................................................................................. 10

1.1.2 RASPODELA NAELEKTRISANJA NA TELIMA .................................................... 11

LINIJSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA ..................................................................... 11

POVRŠINSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA .............................................................. 12

ZAPREMINSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA ............................................................ 13

2 MEĐUSOBNO DELOVANJE NAELEKTRISANIH TELA ............................. 14

2.1.1 KULONOV ZAKON .......................................................................................... 15

TEOREMA SUPERPOZICIJE .......................................................................................... 18

2.2 ELEKTROSTATIČKO POLJE ................................................................. 19

2.2.1 ELEKTROSTATIČKO POLJE USAMLJENOG TAČKASTOG NAELEKTRISANJA ..... 21

2.2.2 ELEKTROSTATIČKO POLJE SKUPA TAČKASTIH NAELEKTRISANJA ................... 22

2.2.3 LINIJE POLJA I SPEKTAR POLJA ....................................................................... 24

3 POTENCIJAL ELEKTROSTATIČKOG POLJA ............................................ 26

3.1 RAD PRI POMERANJU NAELEKTRISANJA U POLJU; KONZERVATIVNI KARAKTER POLJA ..................................................................................... 26

3.2 ELEKTROSTATIČKI POTENCIJAL ......................................................... 30

3.3 POTENCIJALNA RAZLIKA IZMEĐU DVE TAČKE; NAPON; RAD PRI POMERANJU NAELEKTRISANJA U POLJU ................................................. 32

3.4 POTENCIJAL TAČKASTOG NAELEKTRISANJA U HOMOGENOJ

SREDINI .................................................................................................... 34

3.5 POTENCIJAL SISTEMA TAČKASTIH NAELEKTRISANJA ........................ 35

3.6 EKVIPOTENCIJALNE POVRŠINE ......................................................... 36

4 GAUSOV ZAKON ................................................................................ 38

4.1 VEKTOR POVRŠINE ............................................................................ 38

4.2 FLUKS VEKTORA ELEKTROSTATIČKOG POLJA .................................... 39

4.2.1 FLUKS HOMOGENOG ELEKTROSTATIČKOG POLJA ........................................ 39

4.2.2 FLUKS NEHOMOGENOG ELEKTROSTATIČKOG POLJA .................................... 41

4.2.3 FLUKS KROZ ZATVORENU POVRŠINU ............................................................ 42

4.2.4 GAUSOV ZAKON ............................................................................................ 43

PRIMENA GAUSOVOG ZAKONA .................................................................................. 44

4.2.5 ELEKTROSTATIČKI DIPOL ............................................................................... 48

4.3 ELEKTRIČNO POLJE U SUPSTANCAMA .............................................. 49

4.3.1 PROVODNICI U ELEKTRIČNOM POLJU ........................................................... 50

USAMLJEN PROVODNIK U ELEKTROSTATIČKOM POLJU U VAKUMU .......................... 50

RASPODELA NAELEKTRISANJA NA POVRŠINI PROVODNIKA ....................................... 51

Primeri raspodela naelektrisanja na provodnim telima ............................................. 52

ELEKTRIČNI KAPACITET (KAPACITIVNOST) .................................................................. 53

4.3.2 DIELEKTRICI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU .................................................. 55

POLARIZACIJA ATOMA DIELEKTRIKA .......................................................................... 56

POLARIZACIJA DIELEKTRIKA KAO CELINE .................................................................... 57

UTICAJ DIELEKTRIKA NA PONAŠANJE ELEKTROSTATIČKOG POLJA ............................. 58

ZAPREMINSKA GUSTINA ENERGIJE ELEKTROSTATIČKOG POLJA ................................. 59

4.3.3 MEĐUSOBNO VEZIVANJE VIŠE KONDENZATORA .......................................... 60

REDNA VEZA KONDENZATORA ................................................................................... 60

PARALELNA VEZA KONDENZATORA............................................................................ 61

MEŠOVITA VEZA KONDENZATORA ............................................................................. 62

ELEKTROSTATIKA

Elektrostatika je nauka o elektricitetu.

Ona proučava:

- naelektrisana u stanju mirovanja,

- raspored naelektrisanja na telima,

- uzajamno dejstvo naelektrisanih tela, ...

1 UVOD

1.1 NAELEKTRISANJE ELEMENTARNIH ČESTICA

Naelektrisanje je svojstvo subatomskih čestica (elektrona, protona)

Oznaka za naelektrisanje tela je Q .

Elektron je čestica koja nosi elementarno negativno naelektrisanje.

Q e , gde je 1921.60 10e C elementarna količina naelektrisanja

Proton je čestica koja nosi elementarno pozitivno naelektrisanje.

Q e

Jedinica naelektrisanja je kulon C:

181 6.242 10 eC

Napomena: 1C je veoma velika količina naelektrisanja

Koriste se: 1mC, 1C, 1nC, 1pC

1.1.1 NAELEKTRISANJE TELA

Naelektrisanje tela jednako je algebarskom zbiru naelektrisanja svih njegovih čestica.

Q e Ne ,

Definicija. Tačkasto naelektrisanje je naelektrisanje koje se nalazi na telu čije su dimenzije mnogo manje od rastojanja do drugih tela ili do tačke u kojoj se nalazi posmatrač.

ELEKTROSTATIKA proučava naelektrisana tela koja se nalaze u mirovanju.

Zakon o održanju elektriciteta:

U zatvorenom sistemu ukupna količina naelektrisanja uvek ostaje ista.

Naelektrisanja se ne mogu stvoriti već samo razdvojiti.

A

tačkasto naelektrisanje

N je razlika između broja pozitivnih i negativnih elementarnih naelektrisanja u telu.

1.1.2 RASPODELA NAELEKTRISANJA NA TELIMA

LINIJSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA

Posmatramo telo u obliku tanke niti dužine l koje je naelektrisano po dužini ukupnom količinom naelektrisanja Q .

Podužna gustina naelektrisanja q niti koja je ravnomerno naelektrisana

iznosi:

C mQ

q Q q ll

Podužna gustina naelektrisanja q niti koja je neravnomerno naelektrisana

iznosi:

dQq

dl dQ q dl

l l

Q dQ q dl

POVRŠINSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA

Posmatramo telo površine S koje je naelektrisano po površini ukupnom količinom naelektrisanja Q .

Površinska gustina naelektrisanja tela koje je ravnomerno naelektrisano po površini:

2C mQ

Q SS

Površinska gustina naelektrisanja tela koje je neravnomerno naelektrisano po površini:

dQ

dS dQ dS

S S

Q dQ dS

dS

ZAPREMINSKA RASPODELA NAELEKTRISANJA

Posmatramo telo zapremine V koje je naelektrisano po zapremini ukupnom količinom naelektrisanja Q .

Zapreminska gustina naelektrisanja tela koje je ravnomerno

naelektrisano po zapremini:

3C mQ

Q VV

Zapreminska gustina naelektrisanja tela koje je neravnomerno

naelektrisano po zapremini:

dQ

dV dQ dV

V V

Q dQ dV

dV

V

2 MEĐUSOBNO DELOVANJE NAELEKTRISANIH TELA

Eksperimentalno je pokazano da između naelektrisanih čestica (tela) deluje sila. Ustanovljeno je da:

Sila deluje duž prava na kome leže naelektrisanja.

Sila zavisi od sredine u kojoj se naelektrisana tela nalaze.

Sile mogu biti privlačne ili odbojne u zavisnosti od predznaka naelektrisanja.

Sila je odbojna: naelektrisanja su istog znaka Sila je privlačna: naelektrisanja su suprotnog znaka

2.1.1 KULONOV ZAKON

U homogenoj sredini (koja u svim tačkama ima iste karakteristike) intenzitet sile koja deluje između dva tačkasta naelektrisana iznosi:

1 2

2

Q QF k N

r

F - intenzitet sile, 1 2,Q Q - količine naelektrisanja tela

r - rastojanje između tela, k - konstanta proporcionalnosti

Konstanta proporcionalnosti u vakumu iznosi 9 2 2

0 9 10k Nm C .

Ova konstanta je povezana sa dielektričnom konstantom sredine :

1

4k

1 2

2

1

4

Q QF N

r

Za vakum dielektrična konstanta sredine iznosi: 12 2 2

0 8.85 10 C Nm

Vektorski oblik Kulonovog zakona

1 2 1 212 01 012 2

1

4

Q Q Q QF k r r

r r

12F - vektor sile kojim prvo naelektrisanje 1Q deluje na

drugo naelektrisanje 2Q ,

r - rastojanje između naelektrisanja 1Q i 2Q ,

01r - jedinični vektor položaja naelektrisanja 2Q u

odnosu na 1Q .

Algebarska vrednost sile: 1 212 2

Q QF k

r

Za 1 2 0Q Q 12 0F 12F ima smer orta 01r privlačna sila

Za 1 2 0Q Q 12 0F 12F ima suprotni smer orta 01r odbojna sila

+ +

+ -

1 221 022

Q QF k r

r

21F - vektor sile kojim drugo naelektrisanje 2Q deluje

na prvo naelektrisanje 1Q ,

r - rastojanje između naelektrisanja 1Q i 2Q ,

02r - jedinični vektor položaja naelektrisanja 1Q u

odnosu na 2Q .

Algebarska vrednost sile: 1 221 2

Q QF k

r

Za 1 2 0Q Q 21 0F 21F ima smer orta 02r privlačna sila

Za 1 2 0Q Q 21 0F 21F ima suprotni smer orta 02r odbojna sila

Iz 21 12ˆ ˆr r 21 12F F

+ +

+ -

TEOREMA SUPERPOZICIJE

Rezultujuća sila kojom n tačkastih naelektrisanja deluju na dato naelektrisanje jednaka je vektorskom zbiru svih električnih sila kojima pojedinačna naelektrisanja deluju na dato naelektrisanje:

1

n

i

i

F F

Primer.

1 3

13 2

13

Q QF k

r ,

2 3

23 2

23

Q QF k

r

Kosinusna teorema:

2 2 2

13 23 13 232 cosF F F F F

-Q2

r13

r23

F13

F23

F

+Q1

+Q3

2.2 ELEKTROSTATIČKO POLJE

Elektrostatičko polje je posebno fizičko stanje prostora u okolini nepokretnog naelektrisanog tela koje se vidno manifestuje dejstvom električne sile na naelektrisanje uneto u to polje.

Osnovna kvantitativna karakteristika elektrostatičkog polja je vektor jačine

elektrostatičkog polja koji se obeležava sa E .

E se definiše se preko Kulonove sile i probnog naelektrisanja pq .

Probno naelektrisanje je tačkasto naelektrisanje naelektrisano malom

količinom pozitivnog naelektrisanja ( 0)pq tako da ono svojim električnim

poljem ne utiče na spoljašnje električno polje.

Vektor jačine elektrostatičkog polja

Vektor jačine elektrostatičkog polja brojno je jednak količniku Kulonove sile

F koja deluje na probno naelektrisanje pq i količine naelektrisanja pq .

E ima pravac i smer sile F koja deluje na pq .

p

FE

q

N

C

0r - jedinični vektor usmeren

od izvora polja ka spolja

2.2.1 ELEKTROSTATIČKO POLJE USAMLJENOG TAČKASTOG NAELEKTRISANJA

Vektor jačine elektrostatičkog polja

0 02 2

1p

p p

QqF QE k r k r

q r q r

N

C

02

QE k r

r

0Q E je istog smera kao 0r

E je usmereno od Q

0Q E je supr. smera od 0r

E je usmereno ka Q

+

-

+ +

2

QE k

r - algebarska vrednost

2

QE k

r - skalarna vrednost (intenzitet)

2.2.2 ELEKTROSTATIČKO POLJE SKUPA TAČKASTIH NAELEKTRISANJA

Posmatramo skup od n tačkastih naelektrisanja 1 2, , , nQ Q Q i uočimo tačku

A koja je od ovih naelektrisanja udaljena redom 1 2, , , nr r r .

Sa 01 02 0, , , nr r r označimo jedinične vektore duž pravca određenih

rastojanjima 1 2, , , nr r r usmerene od naelektrisanja.

Rezultujuća jačina elektrostatičkog polja u tački A jednaka je vektorskom zbiru jačina elektrostatičkih polja koja u toj tački stvaraju pojedina naelektrisanja.

021 10

1

4

n ni

i i

i i i

QE E r

r

Primer. Posmatramo 2n tačkasta naelektrisanja i tačku A

1 21 2 01 022 2

0 1 2

2

0210

1

4

1

4

ii

i i

Q QE E E r r

r r

Qr

r

2E

E 1E

+

-

2.2.3 LINIJE POLJA I SPEKTAR POLJA

Linije elektrostatičkog polja su zamišljene linije u elektrostatičkom polju u čijim

tačkama se vektor E ponaša kao tangenta.

Smer linije polja je određen smerom projekcije vektora E na liniju polja.

Skup linija polja naziva se spektar polja.

Nehomogeno elektrostatičko polje je elektrostatičko polje kod koga se pravac, smer i intenzitet menjaju od tačke do tačke u prostoru.

Q1<0 Q2>0

A tangenta E

linija polja

Homogeno elektrostatičko polje je polje koje u svim tačkama prostora ima isti pravac, smeri i intenzitet. Linije homogenog polja su paralelne i ekvidistantne.

Linije homogenog elektrostatičkog polja Linije nehomogenog elektrostatičkog polja

3 POTENCIJAL ELEKTROSTATIČKOG POLJA

3.1 RAD PRI POMERANJU NAELEKTRISANJA U POLJU; KONZERVATIVNI KARAKTER POLJA

Sila u električnom polju koja deluje na naelektrisanje Q :

F qE

Elementarni rad koji izvrše sile polja pri premeštanju Q na malom putu dl :

cos ( , )dA F dl QE dl QEdl E dl

Ukupan rad koji izvrše sile polja pri prebacivanju naelektrisanja Q od tačke A

do tačke B:

B B B

A A A

A dA F dl Q E dl

0A - rad vrši elektrostatičko polje

0A - rad se vrši protiv sila polja

B

A

+

Za polje kažemo da je konzervativno ako je rad sila polja po zatvorenoj putanji jednak nuli.

Elektrostatičko polje je konzervativno.

Dokaz.

Posmatramo kretanje naelektrisanja po zatvorenoj putanji C u elektrostatičkom polju.

Neka je rad sila polja različit od nule.

Ako se naelektrisanje neograničeno dugo kreće po zatvorenoj putanju, polje će izvršiti neograničeni (beskonačni) rad, što je u suprotnosti sa zakonom o održanju rada i energije.

Prema tome, rad sila elektrostatičkog polja po zatvorenoj putanji jednak je nuli.

Odavde sledi da je elektrostatičko polje konzervativno.

Konzervativni karakter elektrostatičkog polja se može iskazati jednačinom:

0 0C C C

F dl Q E dl E dl

Linijski integral vektora po zatvorenoj putanji C naziva se cirkulacija vektora.

Cirkulacija vektora elektrostatičkog polja po proizvoljnoj konturi jednaka je nuli.

Posledica konzervativnog karaktera elektrostatičkog polja:

Rad sila polja pri pomeranju naelektrisanja između dve tačke ne zavisi od oblika putanje po kojoj se naelektrisanje pomera, već samo od položaja tih tačaka.

Dokaz.

0

B A

C Am Bn

A F dl F dl F dl

B A B

Am Bn An

F dl F dl F dl

:

B B

Am An

F dl F dl Q

B B

Am An

E dl E dl

Linijski integral vektora elektrostatičkog polja između dve tačke u polju ne zavisi od oblika putanje integracije već samo od položaja tih tačaka.

B

A

n

m

3.2 ELEKTROSTATIČKI POTENCIJAL

Rad pri prebacivanju naelektrisanja q iz tačke

A u tačku R po proizvoljnoj putanji iznosi:

R R

A A

A F dl q E dl

Na osnovu zakona o održanju rada i energije rad A je jednak potencijalnoj energiji koju naelektrisanje q ima u tački A u odnosu na tačku R.

:

R

p

A

W A q E dl q

Rp

A

WE dl

q

Elektrostatički potencijal u nekoj tački A električnog polja definiše kao

količnik potencijalne energije pW koju naelektrisanje q ima u toj tački u

odnosu na referentnu tačku R i količine naelektrisanja q .

Potencijal bilo koje tačke A u elektrostatičkom polju u odnosu na referentnu tačku R jednak je linijskom integralu vektora elektrostatičkog polja od tačke A do referentne tačke R.

R

A

E dl

Referentna tačka nultog potencijala može se izabrati i u beskonačnosti:

A

E dl

Potencijal referentne tačke iznosi nula:

0

R

R

E dl

Jedinica za potencijal je Volt (V). jedinica za jačinu elektrostatičkog polja V/m.

3.3 POTENCIJALNA RAZLIKA IZMEĐU DVE TAČKE; NAPON; RAD PRI POMERANJU NAELEKTRISANJA U POLJU

Posmatramo dve tačke A i B u elektrostatičkom polju i neka je zadata referentna tačka R.

Potencijali tačaka A i B u odnosu na R iznose:

R

A

A

E dl , R

B

B

E dl

Razlika potencijala između tačaka A i B predstavlja potencijalnu razliku ili napon ABU :

R R R B

AB A B

A B A R

B

A

U E dl E dl E dl E dl

E dl

Potencijalna razlika (napon) između dve tačke jednaka je linijskom integralu električnog polja između tih tačaka.

B

AB

A

U E dl

Rad pri pomeranju naelektrisanja između tačaka A i B:

B B

A B AB

A A

A F dl Q E dl Q QU

Rad pri pomeranju naelektrisanja između tačaka A i B jednak je proizvodu količine naelektrisanja Q i napona ABU između tačaka A i B.

ABA QU

3.4 POTENCIJAL TAČKASTOG NAELEKTRISANJA U HOMOGENOJ SREDINI

Posmatramo usamljeno tačkasto naelektrisanje Q u homogenoj sredini

dielektrične konstante . Potencijal tačke A u odnosu na referentnu tačku R iznosi

20

2

4

1/ 1/4 4

R A R R

A

EdrA A A A

R

A R

A

QE dl E dl E dl dr

r

Q dr Qr r

r

1 1

4 R

Q

r r

Za Rr (referentna tačka je u beskonačnosti)

4

Q

r

U izraz za potencijal naelektrisanja treba unositi sa njihovim algebarskim predznakom.

3.5 POTENCIJAL SISTEMA TAČKASTIH NAELEKTRISANJA

Posmatramo skup od n tačkastih naelektrisanja 1 2, , , nQ Q Q i uočimo tačku A

koja je od ovih naelektrisanja udaljena redom 1 2, , , nr r r .

U tački A jačina elektrostatičkog polja jednaka je vektorskom zbiru polja koja potiču od pojedinačnih naelektrisanja.

1

n

i

i

E E

Potencijal u tački A iznosi

1 1 1

i

R R Rn n n

A i i i

i i iA A A

E dl E dl E dl

Potencijal sistema tačkastih naelektrisanja jednak je algebarskom zbiru potencijala pojedinih naelektrisanja.

1

n

A i

i

3.6 EKVIPOTENCIJALNE POVRŠINE

Površine koje u svakoj tački imaju isti potencijal nazivaju se ekvipotencijalne površine.

const

Za tačkasto naelektrisanje uslov za ekvipotencijalnu površinu:

4

Qconst r const

r

Za dva tačkasta naelektrisanja ekvipotencijalne površine su:

Iz definicije ekvipotencijalne površine sledi:

Rad pri pomeranju naelektrisanja duž ekvipotencijalne površine jednak je nuli.

0

( ) 0A BA Q

Linije polja i ekvipotencijalne površi su međusobno normalne.

0

B

A

A Q E dl E dl

Ekvipotencijalne površine, kao i linije polja se ne mogu seći.

4 GAUSOV ZAKON

4.1 VEKTOR POVRŠINE

Posmatrajmo jednu zatvorenu i orjentisanu konturu C koja leži u nekoj ravni. Uočimo površinu S u ovoj ravni koja se oslanja na ovu konturu.

Vektor ravne površine S je vektor čiji je intenzitet jednak vrednosti površine S , pravac odgovara pravcu normale na površinu, a smer se određuje po pravilu desne zavojnice (desne šake) u odnosu na usvojenu orjentaciju konture na koju se ta površina oslanja.

4.2 FLUKS VEKTORA ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Fluks vektora elektrostatičkog polja E kroz neku površinu S proporcionalan je broju linija polja koje prodiru tu površinu.

Fluks vektora je skalarna veličina i obeležavamo je sa .

4.2.1 FLUKS HOMOGENOG ELEKTROSTATIČKOG POLJA

U homogenom elektrostatičkom polju fluks vektora E kroz ravnu

površinu S izračunava se kao skalarni proizvod vektora E i vektora

te površine S :

S

Specijalni slučajevi ( , )E S

0 , onda maxES

090 , onda 0

0180 , onda ES

S

S

S

4.2.2 FLUKS NEHOMOGENOG ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Elementarni fluks vektora jačine električnog polja E kroz površinu dS iznosi:

Ukupni fluks vektora E kroz površinu S iznosi:

4.2.3 FLUKS KROZ ZATVORENU POVRŠINU

Zatvorena površina nema konturu C na koju se oslanja pa se ne može govoriti o smeru vektora površine.

Tada se koriste pojmovi ulazne i izlazne normale n .

Fluks vektora jačine elektrostatičkog polja kroz zatvorenu površinu može se izračunati u smeru ulazne (ulazni fluks) ili izlazne (izlazni fluks) normale.

Ova dva fluksa su ista po apsolutnoj vrednosti ali suprotna po znaku.

U elektrotehnici se isključivo koristi fluks u smeru izlazne normale – izlazni fluks.

4.2.4 GAUSOV ZAKON

Gausov zakon važi samo za elektrostatička polja u vakumu.

Izlazni fluks vektora jačine električnog polja E kroz zatvorenu površinu S jednak je količniku algebarskog zbira svih količina naelektrisanja koja su obuhvaćena tom površinom i dielektrične konstante vakuma 0 :

Namena. Gausov zakon iskazuje izvorni karakter elektrostatičkog polja.

0 - linije polja izviru sa „+“naelektrisanja. 0 - linije polja poniru na „-"naelektrisanja.

+ -

+ +

+

- +

+

PRIMENA GAUSOVOG ZAKONA

Gausov zakon služi za određivanje jačine elektrostatičkog polja naelektrisanih tela koja imaju neku simetriju.

Usamljeno tačkasto naelektrisanje u vakumu

Za zatvorenu površ S usvajamo loptu sa centom u tačkastom naelektrisanju.

2

0

4S S

QEdS EdS r E

2 2

04

Q QE k

r r

2 2

1/ 1/

r r r

Q drEdr k dr kQ

r r

QkQ r k

r

Q

S

+

Površinski naelektrisana metalna sfera

Za zatvorenu površ S usvajamo loptu čiji se centar poklapa sa centom sfere.

r R 2

0

4S S

QEdS EdS r E

2 2

04

Q QE k

r r

2 21/ 1/

r r r

Q dr QEdr k dr kQ kQ r k

r r r

r R 0E , jer u unutrašnjosti sfere nema naelektrisanja

20

R

r r R R

Q QEdr E dr Edr k dr k

r R

Polje je nula a potencijal je konstantan i različit od nule!

Polje i potencijal su isti kao i kod tačkastog naelektrisanja!

Površinski naelektrisana beskonačna ravan

Za zatvorenu površ S usvajamo valjak simetrično postavljen u odnosu na naelektrisanu ravan.

Q S , 1 2S S S

simetrija 1 2E E E

0 1 2

1 2

0 1 2

0

1 2

1 2

0 0

0 2

2

S S S S

S S

EdS EdS EdS EdS

EdS EdS

ES ES ES

Q SES

02E

Polje je homogeno (ne zavisi od rastojanja od ravni)

Dve površinski naelektrisane beskonačne ravani sa suprotnim naelektrisanjima

1. Električno polje

Polje van ploča se oduzima i iznosi 0.

0 0

02 2

E

0E

Polje između ploča se sabira i iznosi:

1 2 1

0 0

2 22

E E E E

0

E

2. Napon između ploča

0

B B d

A A

U Edr Edr E dr Ed U Ed

Polje postoji samo između dve ploče i homogeno je.

4.2.5 ELEKTROSTATIČKI DIPOL

Elektrostatički dipol čine dva tačkasta naelektrisanja, Q i

Q , postavljena na malom međusobnom rastojanju.

Električni moment dipola: p Qd

Vektorski oblik: p Qd

Posmatramo N dipola proizvoljno orjentisanih u određenoj zapremini V.

Vektor polarizacije predstavlja zapreminsku gustinu električnih mometa posmatranih dipola

ipP

V

4.3 ELEKTRIČNO POLJE U SUPSTANCAMA

Podela supstanci u odnosu na sadržaj slobodnih elementarnih nosioca naelektrisanja:

Provodnici – sadrže veliki broj slobodnih elementarnih naelektrisanja

srebro, zlato, platina, bakar, aluminijum, gvožđe,…

Dielektrici – skoro da ne sadrže slobodna elementarna naelektrisanja

staklo, porcelan, PVC, kvarc

Poluprovodnici – sadrže manji broj slobodnih nosioca naelektrisanja

silicijum, germanijum

4.3.1 PROVODNICI U ELEKTRIČNOM POLJU

USAMLJEN PROVODNIK U ELEKTROSTATIČKOM POLJU U VAKUMU

Pod dejstvom polja E , dolazi do kretanja slobodnih elektrona u provodniku u suprotnom smeru od linija polja.

Elektroni dolaze do ivice provodnika i prestaju sa daljim kretanjem (stacionarno stanje).

Posledica: U prisustvu spoljašnjeg polja dolazi do vrlo brze preraspodele slobodnih elektrona unutar provodnika.

Zaključak. Pošto nema usmerenog kretanja elektrona unutar provodnika, elektrostatičko polje unutar

provodnika ne postoji, tj. 0uE .

+ + +

- - -

RASPODELA NAELEKTRISANJA NA POVRŠINI PROVODNIKA

Neka su date dve provodne lopte poluprečnika a i b koje se nalaze na dovoljno velikom rastojanju d da se njihov međusobni uticaj na raspodelu naelektrisanja može zanemariti.

Lopte su spojene veoma tankim provodnikom. Ako se lopte opterete ukupnom količinom naelektrisanja Q , ona će se raspodeliti na obe lopte tako da će jedna biti

naelektriasana sa aQ a druga sa bQ . Takođe, potencijali na površini lopti su jednaki.

a bQ Q Q , a ba b

Q Qk k

d d

,a b

a bQ Q Q Q

a b a b

2

2

,4 4 ( )

4 4 ( )

aa

bb

Q Q

a a b a

Q Q

b a b b

Površinska gustina naelektrisanja će biti veća na lopti manjeg poluprečnika.

Površinska gustina naelektrisanja veća je na oštrijim ivicama.

Primeri raspodela naelektrisanja na provodnim telima

Površinska gustina slobodnih naelektrisanja je veća na oštrijim površinama.

Ječina eleltrostatičkog polja unutar provodnika jednaka je nuli.

ELEKTRIČNI KAPACITET (KAPACITIVNOST)

Kapacitivnost usamljenog provodnog tela

Posmatramo usamljeno provodno naelektrisano telo sa kol. nael. Q i

potencijalom R

M

Edl na površini tela.

Kapacitivnost usamljenog provodnog tela se definiše kao količnik njegove količine naelektrisanja Q i potencijala :

R

M

Q QC

Edl

Primer. Kapacitivnost sferičnog naelektrisanja poluprečnika r a

0

04

Q Qk

a a

0

0

4/ 4

QC a

Q a

, 04C a

Kondenzator i njegova kapacitivnost

Kondenzator je sistem od dva blisko postavljena provodna tela (elektrode) naelektrisana istom količinom naelektrisanja ali suprotnih znakova.

Kapacitivnost kondenzatora se definiše kao količnik količine naelektrisanja Q i napona između elektroda kondenzatora:

Q

CU

Primer. Pločasti kondenzator

0 0

QU Ed d d

S

0SQ

CU d

Energija kondenzatora

Energija elektrostatičkog polja kondenzatora iznosi

221 1 1

2 2 2

QW QU CU

C

4.3.2 DIELEKTRICI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU

Dielektrik je materijal koji, idealizovano posmatrano, nema slobodnih naelektrisanja.

Dielektrični materijali:

- čvrsti - papir, staklo, guma, PVC, ….

- tečni – čista voda, transformatorsko ulje, …

- gasoviti – vazduh, vodonik, …

Atom dielektrika je električno neutralan.

Molekuli dielektrika mogu biti polarni i nepolarni.

Kod nepolarnih dielektrika, centri pozitivnog i negativnog naelektrisanja se poklapaju.

Kod polarnih, centri pozitivnog i negativnog naelektrisanja ne poklapaju se.

POLARIZACIJA ATOMA DIELEKTRIKA

Dielektrik u stranom elektrostatičkom polju E :

Dolazi do pomeranja centara pozitivnog i negativnog naelektrisanja atoma dielektrika.

Nastaje diplol, čiji je električni moment:

p Qd

Električni moment dipola srazmeran je jačini elekrostatičkog polja:

p E

POLARIZACIJA DIELEKTRIKA KAO CELINE

pre polarizacije nakon polarizacije

E - strano polje,

pE - polje usled polarizacije,

rE - rezultujuće polje u dielektriku

rE E

Unutrašnjosti dielektrika je električno neutralna.

U unutrašnjosti dielektrika postoji elektrostatičko polje koje je po intenzitetu manje od jačine spoljašnjeg polja.

Negativno vezano naelektrisanje

Pozitivno vezano naelektrisanje

Polarizovani molekuli

0E 0E strano polje

UTICAJ DIELEKTRIKA NA PONAŠANJE ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Pločasti kondenzator

1. Vakumom između elektroda ( 0 )

0

0

E

, 0

0 0

0

SQ Q SC

U E d d d

2. Dielektrik izmeću elektroda ( 0 )

0

0 r r

EE

0

0

r r

Q Q Q SC

U Ed E d d

U prisustvu dielektrika:

jačina elektrostatičkog polja smanjuje se r puta,

kapacitet kondenzatora povećava se r puta.

ZAPREMINSKA GUSTINA ENERGIJE ELEKTROSTATIČKOG POLJA

Posmatramo pločasti kondenzator sa linearnim dielektrikom

E

Energija elektrostatičkog polja iznosi:

2

1 1 1

2 2 2

1

2

V

W QU SEd EE Sd

E V wV

Zapreminska gustina energije elektrostatičkog polja iznosi:

:W wV V 2

3

1

2

W Jw E

V m

Energija je lokalizovana u prostoru gde postoji elektrostatičko polje, bez obzira da li je taj prostor ispunjen vakumom ili nekim dielektrikom.

4.3.3 MEĐUSOBNO VEZIVANJE VIŠE KONDENZATORA

REDNA VEZA KONDENZATORA

1 2 1 1 2 2

1 2

1 21

1 1

,

1 1 1

n n ne

ni

nn

e i

QUQ Q Q C U C U C U

C

U U U U qC

C CC C

2 kondenzatora: 1 2

1 2

e

C CC

C C

PARALELNA VEZA KONDENZATORA

Uslovi:

1 1 2 2

1 2 1 2

1

,, , en n

nn

e i

i

n

QU

CQ C U Q C U Q C U

Q Q Q Q C CC

CC

U

MEŠOVITA VEZA KONDENZATORA

23 2 3C C C

1 2 31 2313

1 23 1 2 3

C C CC CC C

C C C C C