Post on 28-Jan-2021
1
Elektrostatyka
Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
2
Potencjał pola elektrycznego
Energia potencjalna zależy od q (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
zwana potencjałem pola elektrycznego zależy tylko od ładunku wytwarzającego pole Q.
Potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną!
qrUr )()( jednostki [ 1 Volt = 1 V = 1 J /C = 1 N·m / C ]
i
i RR )()(
Zgodnie z zasadą superpozycji pól elektrycznych w przypadku nakładania się pól elektrycznych (pochodzących od różnych ładunków Qi) ich potencjały sumują się algebraicznie
Uwaga! Tutaj sumujemy wielkości skalarne!
3
Natężenie pola jako gradient potencjału
W ogólności trzeba zapisać
)(gradEczyli
zz
yy
xx
E ˆˆˆ
To jest recepta jak policzyć E znając potencjał
Wniosek: natężenie pola E wskazuje kierunek w którym potencjał najszybciej maleje
Stąd praca przenoszenia ładunku próbnego między tymi punktami
Trzeba zauważyć że różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami wynosi
)()()(
)()()()(
1221
1212
RRqRRW
qRURURR
Dlatego można zapisać, że
2
1
)()( 12R
R
drERR
4
Potencjał ładunku punktowego
2
1
20
12 4
R
R rdrQ
RQR
04)(
5
Powierzchnie ekwipotencjalnePowierzchnie gdzie wartości potencjału są stałe
- powierzchnie ekwipotencjalne• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni
6
Powierzchnie ekwipotencjalne
Powierzchnie gdzie wartości potencjału są takie same - powierzchnie ekwipotencjalne
• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni
7
Strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię zamkniętą
• dzielimy powierzchnię na małe elementy s.• znajdujemy wektor „normalny” (wektor prostopadły) do powierzchni s• sumujemy wszystkie iloczyny skalarne
Strumień pola elektrycznego
SdE
SE
E
E
cosSESE
Uwaga! Strumień zależy od kąta pomiędzy wektorami
Wektor s zawsze skierowany jest na zewnątrz powierzchni zamkniętej !
8
0)()()(
cba
E SdESdESdESdE
ESSdE
SdE
ESdSEdSESdE
c
b
a
)(
)(
0
)(
0
180cos
Strumień pola elektrycznego
Przykład! Zamknięta powierzchnia cylindryczna w jednorodnym polu elektrycznym
9
Prawo Gaussa
EQ1Q2
0i
EQ
Strumień przez pow. Zamkniętą:
Nie zależy od sposobu ułożenia ład.
Nie zależy od wartości ład. zewnętrznych
Przykład! Zamknięta powierzchnia sferyczna w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek punktowy
Prawo Gaussa mówi :
strumień natężenia pola elektrycznego w próżni przez
dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy
algebraicznej ładunków elektrycznych otoczonych przez
tę powierzchnię
s
EqSdE
0
powierzchnia sfery
zależy tylko od ładunku zawartego wewnątrz!
s
Eq
RRqSdE
02
0
2
44
10
Prawo Gaussa – postać różniczkowa
0
2
0
0
0
),,(),,(
zyxqzyx
qE
qzE
yE
xE
qEdiv
zyx
zz
yy
xx
ˆˆˆ
gdzie operator
Równanie Poisson’a,
Pozwala obliczyć rozkłady potencjału (pole skalarne potencjału) na podstawie znajomości rozkładu ładunku2
2
2
2
2
22
zyx
Weźmy nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie prostopadłościanu o wym. dx, dy, dz
Po przekształceniach matematycznych można Prawo Gaussa przedstawić w postaci różniczkowej
11
Prawo Gaussa - konsekwencje
Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku rozmieszcza się na jego powierzchni
Jeśli E=0 wewnątrz (a to można zmierzyć) to nie może być ładunku wewnątrz takiego przewodnika – lokuje się on na zewnątrz
Na powierzchni przewodnika 0E
constwartość potencjału pola el.0
Ewartość nat. pola el. gęstość powierzchniowa ładunku
12
Prawo Gaussa - konsekwencje
Nienaładowany przewodnik umieszczony w polu elektrycznym. Ładunki elektryczne (np. elektrony) rozkładają się na powierzchni tak, aby w środku E=0 , a na zewnątrz pole E było prostopadłe do powierzchni przewodnika
Wyładowanie elektryczne przechodzące przez samochód. Pole elektryczne wewnątrz E=0
13
Prawo Gaussa – zastosowanianieskończony przewodnik liniowy
RE
02
Przyjmijmy, że gęstość liniowa ładunku jednorodna wynosi L
Qdldq
0
0cos90cos2qEBEA ooE
0
2 hrhE
Do obliczeń wartości natężenia pola elektrycznego można zastosować prawo Gaussa w przypadkach, gdy pole ma pewną symetrię
Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień
s
EqSdE
0
021
qBAAE
t
A– powierzchnia podstawy walcaB – powierzchnia boczna
14
Prawo Gaussa – zastosowania,pole elektryczne naładowanej kuli
Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętąE=∮ E d S= q0
E
R
r
dla r > R
dla r < R
E= q4 0 r
2
E=0
Jak policzyć potencjał takiego pola w punkcie r ?
Jak policzyć natężenie takiego pola?
Jest to takie samo wyrażenie jak dla ładunku punktowego!
E= q4 0r
2
E 4 r2= q0
r =−∫∞
r
E ° dr =−∫∞
r q4 r20
dr = q4 r 0
15
Prawo Gaussa – zastosowaniajednorodnie naładowana płaszczyzna
Zakładamy że gęstość powierzchniowa ładunku jest jednorodna i wynosi
przez A przez B przez powierzchnięboczną = 0
E=ABD=q0
Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień
E=∮ E d S= q0
Tutaj pole elektryczne jest stałe i nie zależy od odległości od płaszczyzny
E= 20
ale A=B
E=EA cos0oEB cos0o= q
0
E=2 EA= A0
=dqds
=QS
Slajd 1Slajd 2Slajd 3Slajd 4Slajd 5Slajd 6Slajd 7Slajd 8Slajd 9Slajd 10Slajd 11Slajd 12Slajd 13Slajd 14Slajd 15