Post on 07-Feb-2018
1
ELEKTROMANYETK ALANLARA GR
Ders Notlar
Blm 1: Vektrler, Koordinat Sistemleri, Zamanla Deien Alanlar ve Elektrostatik
Yararlanlan Kaynaklar:
1) Elektromagnetik Alan Teorisi, H. Ergun Bayrak, Birsen Yaynevi, 2000.2) Theory and Problems of Electromagnetics, J. A. Edminister, McGraw-Hill, 1993.3) Elektrik Alanlarna Giri I, Ahmet Akhunlar, T Yaynlar, 1971.
2
1. VEKTRLER
1.1 Vektrel Cebir
Tanm: Vektr
1) Balang noktas2) Dorultu ve yn3) Genlik
elerine sahip byklktr.
Gsterim: Vektr
A
vektrnn negatifi:
Toplama:
karma:
Vektrel Cebirin kurallar:
1. ABBA
2. CBACBA
)()(
AX
A
A
X
X
A
X
X B
A
B
BA
X
A
X
B
X B
XA
BA
3
3. )()()( AmnAmnAnm
4. AnAmAnm
)(
5. BmAmBAm
)(
(Yukarda m ve nbirer skalerdir.)
Birim vektr, || vektrn genliini gstermek zere,|| A
A
dr. nk
1|||||||
|||
A
A
A
A
eitlii geerlidir.
Kartezyen koordinatlar: Biz sa dikdrtgensel koordinat sistemlerini kullanacaz. Yani,Ox den Oy ye 90 derece dndrlen bir sa yivli vida pozitif z ynnde ilerleyecektir.
Bir vektrn Kartezyen bileenleri: kAjAiAA
321 .
Kartezyen bileenleri cinsinden bir A
vektrnn genlii:
23
22
21|| AAAAA
.
Konum vektr: kzjyixr
. Konum vektrnn genlii: 222|| zyxr .
Tanm: Noktasal (Skaler) arpma
cos|||| BABA
: A
ve B
arasndaki a.
Noktasal (Skaler) arpmann kurallar:
1) ABBA
2) CABACBA
)(
3) mBABmABAmBAm )()()()(
(Burada m bir skalerdir.)
O
k
i j
x
y
z
4
4) 0,1 kikjjikkjjii
5) Eer kAjAiAA
321 ve kBjBiBB
321 ise,
332211 BABABABA
23
22
21 AAAAA
23
22
21 BBBBB
6) Eer 0BA
ve BA
, sfr vektr deilse, A
ve B
diktir.
Tanm: Vektrel arpma
uBABA sin|||| : A
ve B
arasndaki a, u
: A
dan B
ye pozitif burgu
ynnde A
ve B
vektrlerine dik birim vektr.
Vektrel arpmann kurallar:
1) ABBA
2) CABACBA
)(
3) mBABmABAmBAm )()()()(
(Burada m bir skalerdir.)
4) jikikjkjikkjjii
,,,0
5) Eer kAjAiAA
321 ve kBjBiBB
321 ise,
)()()( 321332123211 kBjBiBkAkBjBiBjAkBjBiBiA
iBAjBAiBAkBAjBAkBA
231332123121
6) Eer 0BA
ve BA
, sfr vektr deilse, A
ve B
paraleldir.
Vektrel arpma iin yukarda 5) deki ynteme alternatif yntem:
kBABAjBABAiBABA
BBB
AAA
kji
BA
)()()( 122131132332
321
321
1.2 Vektrel Analiz
kAjAiAA
321 ise A
nn trevi yle tanmldr:
kdu
dAj
du
dAi
du
dA
du
Ad
321 .
)()( 321321 kBjBiBkAjAiABA
5
,u nun bir skaler fonksiyonu olmak zere,
)()}({)( 321321 kAjAiAdud
kAjAiAdu
d
du
Ad
, veya
du
AdA
du
d
du
Ad
)( .
Benzer ekilde,
du
BdAB
du
Ad
du
BAd
)( ,
du
BdAB
du
Ad
du
BAd
)( .
rnek:
kxyzjyeixyA z
)(sin3 ,
kxyziyxB
1.5)(sinln ise
kxzjyeixy
A z
)(sin3 2 ,
kxziyxy
B
1.5)(cosln ,
)(sin1.5)(sinln 2 zyzxxyxBy
A
,
)(sin1.5)(cosln 2 zyzxyxxyy
BA
,
)(sin2.10)(cosln)(sinln 2 zyzxyxxyyxxy
BAB
y
A
.
Gerekten de )(sin1.5)(sinln 22 zzyxyxxyBA
ve
y
BAB
y
AzyxyxxyyxxBA
y
)(sin2.10)(cos(ln)(sinln)( 2 bulunur.
Gradyant, diverjans, rotasyonel:
(nabla) operatr:
6
kz
jy
ix
Gradyant: kz
jy
ix
Diverjans:z
A
y
A
x
AA
321
Rotasyonel: ky
A
x
Aj
x
A
z
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
A
)()()( 123123
321
rnek: )sin(23 xyeyx z ;
kxyeyxjxyeyxxyyexixyeyxxyeyx zzzzz
)sin()]cos()sin(2[)]cos()sin(3[ 232433322
rnek: kzxjxeixyxA y
lnsinsin23 ;
z
xxexyxxyxA y sincossin3 2322
kxyxxejz
zxxeyxzyx
kji
A y
y
)sin2cos(ln
lnsin
3
23
operatr ile ilgili formller:
1) vuvu )(
2) BABA
)(
3) BABA
)(
4) 22
2
2
2
22
z
u
y
u
x
uuu
(Laplasyen)
5) 0)(
6) 0)( A
7) AAA
2)( Not: kAjAiAA
321 ise,
kz
A
y
A
x
Aj
z
A
y
A
x
Ai
z
A
y
A
x
AA
)()()( 2
32
23
2
23
2
22
2
22
2
22
2
21
2
21
2
21
22
rnek: vuvu )( olduunu Kartezyen koordinatlarda gsterin.
7
zm: kvuz
jvuy
ivux
vu
)()()()(
kz
v
z
uj
y
v
y
ui
x
v
x
uvu
)()()()(
kz
vk
z
uj
y
vj
y
ui
x
vi
x
u
vukz
vj
y
vi
x
vk
z
uj
y
ui
x
u
)()(
.
8
2. KOORDNAT SSTEMLER
2.1. Kartezyen (Dikdrtgensel) koordinat sistemi
Deikenlerin aralklar:
z
y
x
Uzunluk eleman: kdzjdyidxld
Yzey elemanlar:
dydxdS xy kn
dzdxdS xz jn
dzdydS yz in
Hacm eleman: dzdydxdV
2.2. Silindirik koordinat sistemi
X
X
X
X
X X
X
dx
dz
dy
x
y
xy
z
z
),,( zrP X
r
z
re
e
ze
9
Birim vektrler zr eee ,, birbirine diktir.
Deikenlerin aralklar:
z
r
200
Silindirik ve Kartezyen koordinat sistemleri deikenlerinin birbirine dnm:
cosrx 22 yxr
sinry )/arctan( xy
zz zz
Uzunluk, yzey, hacm elemanlar:
Uzunluk eleman: zr edzedredrld
Yzey elemanlar:
ddrrdS r zen
dzdrdSrz en
dzrddS z ren
Hacm eleman: dzddrrdV
dr
dr
dz
d
r
x
y
z
10
2.3. Kresel Koordinat Sistemi
Birim vektrler eeer ,, birbirine diktir.
Deikenlerin aralklar:
20
00
r
Kresel ve Kartezyen koordinat sistemleri deikenlerinin birbirine dnm:
sincosrx 222 zyxr
sinsinry )arctan(22
z
yx
cosrz )/arctan( xy
Uzunluk, yzey, hacm elemanlar:
d
X),,( rP
r
re
e
e
x
z
y
dr
dr sin
dr rP
x
y
d
z
11
Uzunluk eleman: edredredrld r sin
Yzey elemanlar:
ddrdS sin2 ren
drdrdSr sin en
drdrdS r en
Hacm eleman: dddrrdV sin2
2.4. Metrik arpanlar:
Metrik arpanlar321 ,, eee
321 ,, uuu1h 2h 3hKartezyen ko. sistemi 1 1 1 kji
,, zyx ,,
Silindirik ko. sistemi 1 r 1 zr eee ,, zr ,,
Kresel ko. sistemi 1 r sinr eeer ,, ,,r
eitli koordinat sistemlerinde gradyant, diverjans, rotasyonel:
333
222
111
111e
uhe
uhe
uh
,
)]()()([1 3213
2312
1321321
Ahhu
Ahhu
Ahhuhhh
A
,
332211
321
332211
321
1
AhAhAhuuu
eheheh
hhhA
.
12
3. DVERJANS VE STOKES TEOREMLER
3.1 Diverjans teoremi
SV
dSnAdVA)(
rnek: )(3
102
3
m
Couli
xD
olarak verilmise her bir kenar m2 olan merkezi orijinde ve
kenarlar Kartezyen koordinat eksenlerine paralel bir kpn hacm iin diverjans teoremininher iki tarafn hesaplayn.
zm: SV
dSnDdVD )( dzdydxdVxD ,10 2
Sol taraf: )(3
80320|
31010)(
1
1
1
1
1
1
1
1
11
31
1
1
1
1
1
2 Couldzdydzdyx
dzdydxxdVDV
.
Sa taraf:
)(3
4043
103
101
1
1
11 CouldzdyiiI
03
101
1
1
1
32
dydxkixI
)(3
4043
10)()1(3
101
1
1
1
33 CouldzdyiiI
0)(3
101
1
1
1
34
dydxkixI
03
101
1
1
1
35
dzdxjixI
0)(3
101
1
1
1
36
dzdxjixI
)(3
806CoulIdSnD
mm
S
.
3.2 Stokes Teoremi
S C
ldAdSnA )(
13
4. ETL RNEKLER-1
1) Kartezyen koordinatlarda )1,4,2( P noktasndan, )0,2,0( Q noktasna ynelmi A
vektrn ve bu dorultudaki birim vektr bulun.
kjikjiA
22)10()]4(2[)20( ,
kjikji
A
Aa
31
32
32
322
||
2) Silindirik koordinatlarda )0,2/3,5( P ve )10,2/,5( Q noktalar arasndaki uzaklbulun.
1. yol:
:P
0)2/3cos(5
cos
rx
5)2/3sin(5
sin
ry
0 zz
:Q
0cos
rx
5sin
ry
10 zz
210)010()55()00(|| 222 QPd
2. yol:
3) kjiBkjiA
44,24 ise iki vektrn dik olduunu gsterin.
zm: ki vektrn skaler arpmnn sfr olmas diklik iin gerek ve yeter kouldur.
210 10
55
2/3P
Q
x
y
z
14
0)4)(1()4)(2(14 BA
4) jiA
42 ve kjB
46 ise A
ve B
arasndaki ay
a) skaler arpm kullanarak
b) vektrel arpm kullanarak bulun.
zm:
a) cos|||| BABA
,
cos)1636)(164(24)4(06402 ,
o9.415220
24cos .
b) |sin|5220|12816||sin||||||| kjiBABA
,
o9.411040464
522014464256|sin| .
5) kiBjiA
2, ve kjC
2 ise )(),(,)( CBACBACBA
ve
CBA
)( byklklerini bulun.
zm:
kjikjiBA
22)10()20()02(
kjCBA
42)(
kjiCBA
322)(
kjiCB
24
514)( CBA
514)( CBA
6) Silindirik koordinatlarda z ekseni zerindeki z koordinat hz olan P noktasndan)0,,( rQ noktasna ynelmi birim vektr nedir?
15
zm:
1. yol:
:Q :P
cosrx 0x
sinry 0y
0z hz
khjrirPQ
)sin()cos(
khr
hj
hr
ri
hr
r
PQ
PQa
222222
sincos
||
2. yol:
zehPO
, rerOQ
zr eherPQOQPO
22|| hr
eher
PQ
PQa zr
Gerekten de eer burada jier sincos yazlrsa 1. yol ile bulunan sonu elde edilir.
h
r
),0,0( zP
)0,,( rQx
y
z
O
16
7) 5z dzlemi zerindeki rastgele bir noktadan orijine ynelmi birim vektr yazn.
zm:
kjyixPOA
5
25
5|| 22
yx
kjyix
A
Aa
8) i- ar , ile tanml kresel bantn alan nedir? ii- Ayn soru ,0iin?
zm:
i- )cos(cos2|)cos(2sin 222
0
2
aaddrdSS .
ii- 22 4)]1(1[2 aaS .
9) Kresel koordinatlarda diferansiyel hacm ifadesini kullanarak yarap aolan kreninhacmini bulun.
zm: 30 0
2
0
2
34sin adddrrdVV
a
rV
.
-5x
X
y
z
)5,,( yxP
O
x
y
z
17
5. ZAMANLA DEEN ELEKTROMANYETK ALANLAR
5.1. Elektromanyetiin aksiyom denklemleri (Maxwell denklemleri)
t
BE
D
Jt
DH
0 B
E
: Elektrik alan iddeti vektr )/( mV .
H
: Manyetik alan iddeti vektr )/( mA .
D
: Deplasman vektr ( 2/ mCoul ).
B
: Manyetik endksiyon vektr ( 2/ mWeb ).
J
: Akm younluu ( 2/ mA ).
: Yk younluu ( 3/ mCoul ).
5.2 Maxwell denklemlerinin integral formu
SCS t
dSnt
BldEdSnE
S SCS
dSnJdSnt
DldHdSnH
V V
QdVdVD )(
veya S
QdSnD
V S
dSnBdVB 0)(
Sreklilik denklemi (Maxwell denklemlerinin bir sonucu):
0)(0
)(0
)(
tJJD
t
Jt
D
Jt
DH
18
5.2 Sinzoidal srekli halde Maxwell denklemleri
),(~ jrE
ile }),(~Re{),( tjejrEtrE
olarak tanml fazr byklk gsterilirse, veMaxwell denklemlerindeki dier byklkler iin benzer tanmlar yaplrsa, sinzoidal sreklihalde Maxwell denklemleri yle yazlabilir:
BjE ~~ ~~ D
JDjH ~~~ 0~ B
5.3 Ortamlarn tanmlanmas
EJHBED
,,
a) Homojen ortam: Eer matrisi konum vektr r den bamsz ise ortam elektrikselolarak homojendir denir.Eer matrisi konum vektr r den bamsz ise ortam manyetik olarak homojendir
denir.Eer matrisi konum vektr r den bamsz ise ortam iletkenlik olarak homojendirdenir.
b) Dorusal ortam: Eer matrisi E
den bamsz ise ortam elektriksel olarakdorusaldr denir.Eer matrisi H
den bamsz ise ortam manyetik olarak dorusaldr denir.
Eer matrisi E
den bamsz ise ortam iletkenlik olarak dorusaldr denir.c) zotrop ortam: Elektriksel olarak izotrop ortam:
100010001
)(0 rr ,
z
y
x
r
z
y
x
r
E
E
E
r
E
E
E
rED )(100010001
)( 00 .
Manyetik olarak izotrop ortam:
100010001
)(0 rr ,
z
y
x
r
z
y
x
r
H
H
H
r
H
H
H
rHB )(100010001
)( 00 .
letkenlik olarak izotrop ortam:
100010001
)(0 r ,
z
y
x
z
y
x
E
E
E
r
E
E
E
rEJ )(100010001
)( 00 .
d) Basit ortam:Bir ortam elektriksel olarak homojen, dorusal ve izotrop ise elektriksel olarak basitortam olarak isimlendirilir.
19
Bir ortam manyetik olarak homojen, dorusal ve izotrop ise manyetik olarak basitortam olarak isimlendirilir.Bir ortam iletkenlik olarak homojen, dorusal ve izotrop ise iletkenlik olarak basitortam olarak isimlendirilir.Bir ortam elektriksel, manyetik, iletkenlik olarak basitse, basit ortam olarakisimlendirilir.
5.4 Poynting vektr
)/(),(),(),( 2mWatttrHtrEtrP
ile tanmlanan Poynting vektr elektromanyetikenerjinin yaylma ynn belirler.
Ortalama Poynting vektr
T
ort dttrHtrETP
0
),(),(1
olarak tanmlanr. Burada T sinzoidal dalgann periyodudur.
}),(~Re{),( tjejrEtrE
, }),(~Re{),( tjejrHtrH
ise
dtejrHejrHejrEejrET
dttrHtrET
P tjtjT
tjtjT
ort ]),(~),(~[]),(~),(~[
211),(),(1
00
yazlr. Bu eitlikte simgesi kompleks elenii gstermektedir. Buradan, }~~Re{21 HEP
bulunur. Bundan byle fazr byklkleri gstermek iin kullandmz ~ simgesiyazlmayacaktr.
rnek: Kaypsz ve kaynaksz elektriksel ve manyetik olarak basit bir ortamdaelektromanyetik dalgann manyetik alan sinzoidal srekli halde yle verilmektedir:
zjx ea
xa
ajH
)sin( ,
0yH ,
zjz ea
xH
)cos( .
te yandan sinzoidal srekli halde elektromanyetik dalgann Poynting vektrelektromanyetik enerjinin yaylma ynn verir ve u ifadeye sahiptir:
}Re{21 HEP
.
Yukarda verilen manyetik alan iin elektrik alann bulun ve Poynting vektrn hesaplayn.
zm:
20
jea
x
aje
a
xa
aj
ea
xe
a
xa
ajzyx
kji
H zjzj
zjzj
])sin()()sin([
)cos(0)sin(
zjea
xa
aj
)sin(])([ 22
,
zj
rr
ea
x
aj
aj
j
HE
)sin(])([1 2200
.
21
6. ELEKTROSTATK
6.1 Elektrostatiin aksiyom denklemleri
Varsaymlar:
1) Ykler haraketsiz2) Zamanla deime yok3) Manyetik alan yok
000
000
0
B
DD
Jt
DH
Et
BE
Elektrostatiin aksiyom denklemleri:
0 E
D
6.2 Elektrostatiin tanmlar:
Tanm 1- Elektrik alan
Birim yke etkiyen kuvvettir. )/( mVoltq
FE
Tanm 2- Deplasman vektr
)/( 2mCoulED
Tanm 3- Elektrostatikte potansiyel
0 E
ve 0)( olduu iin E
yazlabilir.
Uzunluk eleman: kdzjdyidxld
Toplam diferansiyel: dzz
dyy
dxx
d
. O halde:
lddldd
)(
22
)(VoltldEA
A
. Sonsuzdaki bir birim pozitif yk A noktasna tamak iin elektrik
alanna kar yaplan ie A noktasnn potansiyeli denir.
Tanm 4- Elektrostatikte gerilim
)()(
)(
VoltldEldEldE
ldEldEldEldE
B
AB
A
BABA
BAAB
Tanm 5- Deplasman aks
S
CoulombdSnD )(
Tanm 6- E potansiyel yzey
Elektrostatik alan iinde eit potansiyeldeki noktalarn oluturduu yzey.
Bu yzey zerinde 0 ldldE
Tanm 7- Elektrostatik alanda iletken
Elektrostatik alanda e potansiyel yzey oluturan madde. Elektrostatik alanda iletkeniindeki elektrik alan 0E
. nk E
ve sabit .
Tanm 8- Dielektrik
(a) (+) ve (-) yklerin arlk merkezi: Bu yklerin arlklarnn ayn d etkiyi yaratmakzere younlatn kabul edeceimiz etki merkezidir. Eer bir moleklde (+) ve (-)yklerin arlk merkezleri akrsa molekle polar olmayan ya da kutupsal olmayanmolekl denir. Eer akmyorsa polar molekl denir.
(b) Dipol: Aralarndaki uzaklk alann hesapland noktaya gre ok kk olan, eitfakat zt iaretli iki noktasal ykn oluturduu sisteme dipol ad verilir.
ld 2
qX
Xq
dd
l
P
x
z
y
23
Polar molekl - alan yokken:
Polar olmayan molekl alan yokken:
Polar molekl - alan varken:
Ynlenme polarizasyonu
Polar olmayan molekl - alan varken:
Kayma polarizasyonu
Kayma ve ynlenme polarizasyonunun grld malzemelere dielektrik denir. Bir dielektrikmalzemede her iki trden polarizasyon mevcuttur. Polar molekllerde alan iinde daimi dipolmomenti hizaya gelir: Ynlenme polarizasyonu (HCl, H2O) . Polar olmayan maddelerde alaniinde indklenen dipol momenti daha byktr (hava, metil alkol, helyum, amonyak buhar).
6.3 Elektrostatikte snr koullar teoremi
a) ki dielektrik arasndaki snr koullar teoremi
i-Elektrostatiin 1. aksiyom denklemi: 0 E
. Stokes teoremi ile
0)( CS
ldEdSnE bulunur.
24
mll
mll
mEE
mEE
tt
tt
2
1
22
11
lh olduundan h boyunca integrale katk olmad varsaylabilir.
tttt
C
EEmlmEmlmEldE 2121 0)()()()(
.
ii- Dielektriklerde serbest yk bulunmadndan elektrostatiin ikinci aksiyom denklemi0 D
olarak yazlabilir. Diverjans teoremi ile
V S
dSnDdVD 0
bulunur.
Shnn 221 , alnrsa, 22112211 0 nDnDSnDSnDdSnD nn
S
nn
,
ve nihayet nn DD 21 bulunur.
b) Bir iletken ve bir dielektrik arasndaki snr koullar teoremi
i-Elektrostatiin 1. aksiyom denklemi: 0 E
. Stokes teoremi ile
S
C
h
l
tE1
tE2
)( vektrbirimm
1. dielektrik
2. dielektrik
S
S
nD1
1n
nD2 2
n
h 1. dielektrik
2. dielektrik
25
0)( CS
ldEdSnE bulunur.
mll
mll
mEE
mEE
tt
tt
2
1
22
11
lh olduundan h boyunca integrale katk olmad varsaylabilir.
tttt
C
EEmlmEmlmEldE 2121 0)()()()(
.
te yandan iletken iinde 0E
021 tt EE elde edilir. Bunun bir sonucuelektrostatikte elektrik alannn iletkene dik olmasdr.
ii- Elektrostatiin ikinci aksiyom denklemi D
dur. Diverjans teoremi ile
V S V
QdVdSnDdVD
bulunur. Yani kapal bir yzeyden geen deplasman
aks o yzeyin iindeki yklerin toplamna eittir (Gauss teoremi). O halde bir iletkeniniinde her V hamc iin 0Q dr. Yk ancak iletkenin yzeyinde olabilir.
V S
S SdSnDdV
.
SnSDnSD Snn )()( 2211
,
S
C
h
l
tE1
tE2
)( vektrbirimm
1. ortam (dielektrik)
2. ortam (iletken)
26
21 nn
olduu iin ve iletkenin iinde elektrik alan sfr olduu iin ( 02 D
), Sn nD 11
ve nihayet, 11
1 nES
n
bulunur.
nD1
1n
6.4 Gauss teoremi
D
V V
QdVdVD
S V
QdVdSnD
Gauss teoremi: Kapal bir yzeyden geen deplasman aks o yzeyin iindeki yklerincebirsel toplamna eittir.
rnek:
)(321 Coulombqqq
6.4.1.Gauss teoreminin uygulamalar
1. Noktasal ykn alan ve potansiyeli
S
SnD2
2n
h 1. ortam ( dielektrik)
2. ortam (iletken)
S
X1q
X 2qX3q
S
X
rQ
re
x
y
z
27
),,( rD
:
i- D
, ve den bamszdr.
ii- D
yalnz re bileenine sahiptir.
O halde rr erDD )( ,
2
0 0
222 sin)(sin)(sin)( ddrDrddrrDddreerD rS
rrr
S
r
QrDr r 22)(2 ,
)/(44
)( 22 mVerQ
Er
QrD rr
.
Noktasal ykn potansiyeli:
)(4
|44
)sin(4 22
Vr
Q
r
Qdr
r
Qedredredre
r
QldE
A
AA
r
A
r
A
A
2) Sonsuz uzun izgisel ykn alan ve potansiyeli
:)/( mCl izgisel yk younluu
),,( zrD
:
i- D
, ve z den bamszdr.
ii- D
yalnz re bileenine sahiptir.
O halde rr erDD )( .
dzdreerDddrreerDddrreerDdSnD rrS
rzr
S
rzr
S
r
S IIIIII
)()()()()(
l
)/( mCl
2'E
1'E
(I) (II)(III)
z
28
)/(22
)(2)( mVer
Er
rEllrrD rll
rlr
.
izgisel ykn potansiyeli:
)(ln22
)(2
0
0
Voltr
r
r
dredzedredre
rldE
A
lr
r
lz
A
rrl
A
A
A
.
2) Sonsuz ince, sonsuz geni dzlemsel yk yzeyinin alan ve potansiyeli
:)/( 2mCl dzlemin yzeysel yk younluu
),,( zrD
:
i- D
, r ve den bamszdr.
ii- D
yalnz ze bileenine sahiptir.
O halde:
0)(0)(
zezD
zezDD
zz
zz
.
IBIIAII
III
S
Szzrz
S
zrz
S
z
zz
S
zzz
S
z
S
aaDddrrDdSeezDdSeezD
ddrreezDddrreezDdSnD
2222)()(
)()()(
22
Sz
Sz ED
(I)
(II)
(IIIA)
(IIIB)x
z
y
1'E
2'E
)/( 2mCS
29
Dzlemsel ykn potansiyeli:
A
zzS
A
A edzeldE )(2
Sfr potansiyelli nokta olarak sonsuzu deil, 0z alrsak:
)()(2 0
Vzz AS
A
.
6.4.2. Gauss teoremi ile ilgili rnek problemler
1) a- mzmymx 10,10,10 ile tanmlanm bir V hacmi iinde younluu
)/(30 32 mCyx olarak verilmi bir yk dalm varsa V iindeki toplam ykbulun. b- Bu V hacmini saran kapal bir S yzeyinden geen toplam deplasman aksnedir?
zm: a) )(5301
0
1
0
1
0
2 CdzdydxyxdVQV z y x
.
b- S
CQdSnD )(5
.
2) )(70),(150),(30 321 nCQnCQnCQ yklerini iinde bulundurankapalyzeyden geen net deplasman aks nedir?
zm: )(1107015030 nC .
3) Yarap )(4 m , yk younluu )/(2
sin 22 mCoulr
olan dairesel diski ieren bir
kapal yzeyden geen net deplasman aks nedir?
zm: )(22
sin 2Coulddrr
rdSdVdSnD
S V S S
S
.
4) mz 5.0 dzleminde 2/40 mCS younluklu yk tayan bir dzlem merkeziorijinle akk kenarlar OzOyOx ,, eksenlerine paralel ve her ayrt m2 olan bir kpkesmektedir. Ayrca Oy ekseni boyunca yk younluu mCl /6 olan izgisel biryk kp delip gemektedir. Kpn yzeyinden geen deplasman aksn bulun.
zm: CSQmS SS 16040442 ,
ClQml ll 12)6(22 ,CQCQQQ lS 148,148 .
30
5) Bir noktasal Q yk Kartezyen koordinatlarda balang noktasndadr. CnQ 30 isem)4,3,1( noktasndaki deplasman vektr D
yi bulun.
zm:
rer
QD
24
26)4(31 2222 r , )/(26
)43(264
1030 29 mCoulkjiD
,
)/(82.91|| 2mpCD
.
6) mCl /20 izgisel yk younluu hem Ox ve hem Oy eksenleri boyuncauzanmaktadr. mP )3,3,3( noktasnda D
nedir?
zm:
izgisel yk iin: rl er
D
2 , ve geometriden mr 23 .
)/()(12
102023
)33(232
1020 266 mCoulkjkjDx
,
)/()(12
102023
)33(232
1020 266 mCoulkikiDy
,
)/()2(3105 26 mCoulkjiDDD yx
.
7) )/(10 2mCixD
ise mx 3 de , Ox eksenine dik, 21m alanl yzeyden geendeplasman aksn bulun.
XQ
x
y
z
m)4,3,1( X
x
y
z
P
l
l
31
zm:
S S S
x CoulombdzdydzdyiixdSnD 3013030|)10( 3 .
x
y
X m3
21m
z
32
7. KONDANSATRLER
7.1 Tek dielektrikli kondansatrler
a) Paralel levhal kondansatr
Bir iletken ve bir dielektrik arasndaki snr koullarndan: zS eE
,
)/(3610,
9
00 mFr
.
ddzedxedyedzeldEU sd
sxyzz
s
0
)(
)(Fd
SdS
U
QC
s
s
b) Silindirik kondansatr
Sonsuz uzun izgisel ykn alanndan , rerE
2 .
)ln(22
)(2 a
b
r
dredre
rldEU
b
a
rr
.
)/ln(2
)ln(2
ab
l
a
bl
U
QC
Birim uzunluk bana kapasitans: )/()/ln(
2mF
abC
.
- - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + +
d
S
U
a
b
U
r
33
c) Kresel kondansatr
Noktasal ykn alanndan, rerQ
E
24 ,
)(4
)11(44
)(4 22
abba
Q
ba
Q
r
drQedre
r
QldEU
b
a
rr
,
)(4
)(4
Fab
ba
abba
U
QC
7.2 ift dielektrikli kondansatrler
a.1) Paralel levhal seri dielektrikli kondansatr
Bir iletken ve bir dielektrik arasndaki snr koulundan, zz eEeE
22
11 ,
dir.
22
11
1212
1121
)()()( ddddddedzeedzeldEU zzzz
212
2
1
12
21
1
1111
CCS
d
S
ddd
S
U
QC
Q
a
b
Q
U
r
- - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + +
1d
2d
z S
1
2
1E
2E
U
34
a.2) Paralel levhal paralel dielektrikli kondansatr
ki dielektrik arasndaki snr koullar teoreminden alanlarn teetsel bileenlerinin her ikiortamda eit olmasndan unlar yazabiliriz:
z
z
eE
eE
2
22
1
11
1
212
2
2
1
1
ddzedzeldEUd
zz1
1
01
1
1
1 )(
)(/
212
22
1
11
11
212111
11
2211 FCCd
S
d
Sd
SSd
SS
U
QC
b) ift dielektrikli silindirik kondansatr
izgisel ykn alanndan; rr erEe
rE
22
11 2
,2
)ln(2
)ln(2
)(2
)(2 2121 b
c
a
bedre
redre
rldEU
c
b
rr
b
a
rr
1dU
2
11 , S 22 , Sz
1
a
b
U
r
c
2
35
)/()ln()ln(
2|
)ln(2
)ln(2 12
211
21
mF
b
c
a
b
b
c
a
bl
U
QC ml
c) ift dielektrikli kresel kondansatr
Noktasal ykn alanndan , rerQ
E
24 ,
)11(4
)11(4
)(4
)(4 21
22
21 cb
Q
ba
Qedre
r
Qedre
r
QldEU
c
b
rr
b
a
rr
,
)()()(
4
)(4
)(4
12
21
21
Fbcaabc
bca
bcbc
Qab
ba
U
QC
7.3 rnekler
1)
5,1,1,200 212 rrmSVoltU ise her iki dielektriin ularndaki gerilimi bulun.
1Q
a
b
Q
U
r
c
2
U
S
11 r52 r
mm3mm1
36
zm:
22
222
11
111
ddEU
ddEU
VoltddUUU 2002
21
121
0
393
9
3
9
3
2
2
1
1 )5/13(10200
)5/13(361010200
)36/(10510
)36/(10103
200200
dd
Voltd
Ur
5.187)5/13(
32001031)5/13(
10200 31
3
1
11
VoltUUU 5.1212
2)
)/(3610,10,2
9
032 mFmdmS
ise bileke kapasitans nedir?
zm: )(7210)73(
1021
105.3
105.1 5
0330
302211
21 Fd
S
d
SCCC
3) Levhalar arasnda serbest uzay bulunan bir paralel levhal kondansatr bir sabit gerilimkaynana balanmtr. 2r olan bir dielektrik, levhalar arasna yerletirildii zaman,
QC , ve s nin nasl deitiini bulun.
zm:
d
SC
12 2CC
CUQ 21 UU olduundan, 12 2QQ
S
Q 12 2 .
5.32 r5.11 r
21 m 21 m d
1
ELEKTROMANYETK ALANLARA GR
Ders Notlar
Blm 2: Manyetik Alan
Yararlanlan Kaynaklar:
1) Elektromagnetik Alan Teorisi, H. Ergun Bayrak, Birsen Yaynevi, 2000.2) Theory and Problems of Electromagnetics, J. A. Edminister, McGraw-Hill, 1993.3) Elektrik Alanlarna Giri II, Ahmet Akhunlar, T Yaynlar, 1971.
2
1. STASYONER MANYETK ALANLAR
Doada manyetik alanlarn varl demir filizinin tanecikleri ekme zellii ile ortayakar. Manyetik zellikler gsteren demir filizi doal mknats olarak adlandrlr. Bumknatsn kuzey ve gney kutuplar N ve S harfleri ile gsterilir.
Bir I doru akm tayan bir akm eleman da stasyoner manyetik alan retir. Sa elkuralna gre sa elin ba parma akm ynne iaret ederken ve akm eleman avuiinde iken drt parmak manyetik alan ynne iaret eder.
Stasyoner zamanla deimeyen demektir. Elektrostatik alan statik ykler tarafndanretilirken, stasyoner manyetik alan hareket eden ykl paracklar tarafndan retilir. Buykl paracklar bir elektrik akmna neden olur ve elektrik akm bir stasyoner manyetikalana yol aar.
1.1 Tanmlar
Tanm 1-Manyetik endksiyon
Dzgn manyetik alan iinde alanla as yapan v hznda bir q yk konduunudnelim.
O zaman )( BvqF
. Sol el kuralna gre: Alan sol el avu iine girecek (alan yn;alana sokulan mknats ibresinin kuzey kutbunun bakt yn, dolays ile yukardakiekilde N den 'S ye), drt parmak v hzn gsterecek. Ba parmak kuvvet ynngsterir.
)/(|sin|
|||||sin||)(||| 2mWbqv
FBqvBBvqF
ifadesi manyetik endksiyonu
verir. (Yn ise yukarda tanmlanan alan yn ile ayn)
Tanm 2 Manyetik alan iddeti
)/( mABH
N SF
v
Xq
3
Tanm 3 Yzeysel elektrik akm younluu
)/(|| 2mAAIJ
Tanm 4 Manyetik ak
)(WbdSnBS
Tanm 5 Manyetomotor kuvvet
)(AldH
Tanm 6 Manyetik Diren (Relktans)
1)(
HenryRm
Tanm 7 Vektr potansiyel )(A
ABB
0
Tanm 8 Manyetik skaler potansiyel ( )
inde elektrik akm younluu bulunmayan ( 0J
) bir blgede
HH
0
1.2 Manyetik ortamlarn tanm ve zellikleri
HB
ortamlarn manyetik olarak dorusallk, homojenlik ve izotropluk zelliklerini
belirleyen bantdr.
Bir ok maddede )(0 MHB
bants mevcuttur. Burada
H
: toplam manyetik alan iddeti ve
M
: manyetik kutuplanmadr. M
nin boyutu )/( mA dir. zotrop ortamlarda deneysel
olarak HM m
bants bulunmutur. Burada m manyetik alnganlktr. Eer
yukardaki B
ifadesinde yerine konursa HB m
)1(0 bulunur. Manyetik geirgenlik
katsays )1(0 m dir. Bal geirgenlik mr 1 dir.
HHB r
0 .
Manyetik ortamlar snfa ayrlr.
4
1. Diyamanyetik ortamlar: )1(0 rm . rnein bizmut ve bakr iin
99983.0r ve 999991.0r2. Paramanyetik ortamlar: )1(0 rm . rnein aluminyum iin 00002.1r .
3. Ferromanyetik ortamlar: r nin 1 den ok byk deerler ald ortamlardr. rmanyetik alann deerine bal olarak deiir (dorusal olmayan ortam). rnek demir,nikel, kobalt ve bunlarn alamlar.
1.3 Stasyoner manyetik alanlarn aksiyomlar
0, BJH
1.4 Stasyoner manyetik alanlarda snr koullar teoremi
a) Manyetik olarak basit iki ortamn ara yzndeki koullar
i- Stasyoner manyetik alanlarn birinci aksiyom denklemi: (Yzeysel akm younluu yalnzmkemmel iletkenlerle mmkn olduu iin) 0 H
. Stokes teoremi ile
0)( CS
ldHdSnH bulunur.
mll
mll
mHH
mHH
tt
tt
2
1
22
11
lh olduundan h boyunca integrale katk olmad varsaylabilir.
ttttC
HHmlmHmlmHldH 2121 0)()()()(
.
S
Ch
l
tH1
tH 2
)( vektrbirimm
1. manyetik ortam
2. manyetik ortam
5
ii- Stasyoner manyetik alanlarn ikinci aksiyom denklemi: 0 B
olarak yazlr.Diverjans teoremi ile
V S
dSnBdVB 0
bulunur.
Shnn 221 , alnrsa, 12112211 0 nBnBSnBSnBdSnB nn
Snn
ve nihayet nn BB 21 bulunur.
b) kinci ortam mkemmel geirgen bir ortamsa ( 2 ).
02 H
. Bu durumda HB
olduu iin 02 B
olmas gerekmez.
nntt BBHH 2121 ,0
.
1.5 Ampere Teoremi
SS
dSnJdSnHJH )( . Stokes teoremi ile
C
IldH
1.5.1 Ampere teoreminin uygulamalar ve rnek problemler
1. ok ince ve sonsuz uzun akm elemannn rettii manyetik alan
r
S
SnB2
2n
h 1. manyetik ortam2. manyetik ortam
H
I
nB1
1n
6
C
IldH
. Ayrca dairesel simetriden tr ve alann yalnz e bileenine sahip
olduu varsaym ile erHH )( olup IdrrH
2
0
)( , e
rIH
2 bulunur.
2. Yarap aolan ve iinden I akm akan bir iletkenin iinde ve dndaki manyetik alan
a) letkenin iinde 222 )(arIr
aII ksmi
1
2)(2C a
rIHrdrH
)(2 2a
rIH
)/( mA
b) letkenin dnda II , IHrdrHC
2
2 , )/(2mA
rIH
3. I akmn tayan sonsuz uzun ii bo akm elemannn blgesindeki manyetik alan
a) ar ; 0I , 0,0 HH
a
r
r
1C2C
a
r
r
1C2C
r
b
3C
7
b) ;bra )(
),( 2222
abI
SIJabS
toplamtoplam
)()(
)( 222222 ar
abISJIarS ksmiksmiksmi
)/()(2
)()()(
2 2222
2222
2
mAabr
arIHarab
IrHdrHC
c) rb ; II , IHrdrHC
3
2 , )/(2mA
rIH
4. Dalmnn kesiti verilen ok ince ve sonsuz uzun drt akm elemannn Onoktasnda oluturaca manyetik alan
)(4
),(22),(
22),(
2 4321i
aIHi
aIHj
aIHj
aIH
)325(
2)
2122(
24321ji
aIiijj
aIHHHHH
5. Problem: Sonsuz uzun akm elemannn manyetik alan iindeki birdikdrtgensel ereve ekildeki gibidir. ereveden geen manyetik aky bulun.
X
X
a
a
a2
a .
.
I2
I I2
I
O x
y
1 2
3
4
a
b
h
I
y
xX B
8
zm:
)2
(,x
IkBkndSnBS
)()(ln2
)2
(0
WeberabhIdydx
xIh
y
b
ax
6. Problem: 4/ dzleminin mr 05.001.0 ve mz 20 ile tanmlananblmnden geen aky bulun. A5.2 akm tayan bir akm eleman Oz ekseniboyuncadr. )/(104 70 mH
zm:
e
rIHB
2 , dzdrdS , dzdree
rIdSnB
SS
20 ,
Wbrdzdrdzdr
r z rz r
61.12)5(ln105105
25.2104 7
2
0
05.0
01.0
72
0
05.0
01.0
7
7. Problem: Kresel koordinatlarda bir vektr alan eA sin10 olarak
verilmise )0,2
,2( P noktasnda A
y bulun. Not:
4/ m01.0m05.0
m2
z
A5.2
x
y
9
eAArrr
erAr
Ar
eAAr
A
r
rr
])([1
)](sin
1[1])sin([sin1
.
zm: er
rre
rA r
)]sin10([1)]sin10([sin1
eeA P
5)2
sin(1021|
8. Problem: Yarap cmr 10 olan bir dairesel iletken u i alana sahiptir:
)/()]cos()sin(1[10 24
mAeararar
arH
.
Burada02 r
a . letkendeki toplam akm bulun.
zm:
dararar
ar
redzedredrHldHI zr )]cos()sin(
1[10)( 22
0
4
)(8)10(810810)2
(210121022
42
042042
4 Arra
.
9. Problem: Serbest uzayda )/(cos1039.26
mAer
H r olarak verilen bir alan
mevcuttur. mz 10,44
ile tanmlanan yzeyden geen manyetik aky
bulun.zm:
)/(cos3 20 mWberHB r
,
)(24.4)cos3(1
0
4/
4/
Wber
edzdrdSnB rz
r
10. Silindirik koordinatlarda )/(2 2mWber
B
verilmektedir. mr 5.25.0 ve
4/ 4/x
y
z
m1
10
mz 20 ile tanmlanan dzlemsel yzeyden geen manyetik aky bulun.
)(44.6)(22
0
5.2
5.0
Weberedzdrer
dSnB
11. Yarap aolan uzun dorusal bir iletken ierisinde )( ar e
arIH
22
ile
verilen bir manyetik alan iddetine sahiptir. Dnda ise ( ar ) e
rIH
2 dir.
Her iki blgede J
yi bulun. Not:
zrzr
rz eAAr
rre
rA
zAe
zAA
rA
])([1)()1(
dir.
zm:
a) ar iin: zzr eaIe
arI
rre
arI
zHJ
22
2
2 )2(1)
2(
Bylece J
kesit alan olan 2a zerine dzgn olarak dalm Oz ynnde birakma kar der.
b) ra iin: 0)2
(1)2
(
zr erIr
rre
rI
zHJ
.
11
1.6 Bir iletkene etkiyen manyetik kuvvetler
Ayn bir noktasal yk iin olduu gibi, iinden akm geen bir iletken zerine de bir kuvvetetkir. Gerekte bu kuvvet akm oluturan serbest elektronlar zerine etkiyen manyetikkuvvetlerin bir sonucudur. rnein elektrik motorlarnn rotor diye adlandrlan dnenksmlarn veya l aletlerinin sarglarn dndren kuvvetler bu manyetik kuvvettir.
ekilde B
dzgndr ve iletken endksiyon izgilerine diktir. letkenden geen akm ynsaa doru olduu iin serbest elektronlar sola doru hareket eder. Eer elektronlarn hz vyk e ise ( )106.1 19 Ce her bir elektrona etkiyen kuvvet
oveBveBf 90(sin )
olacaktr. te yandan eer birim hacm iindeki serbest elektron says n ile gsterilirse,telden geen I akm iin unu yazabiliriz:
SventSnel
tqI
. nk vt
l
.
Bu iki bantdan bir elektrona etkiyen kuvvet olarak
SnIBf
yazlabilir. Uzunluu l olan bir teldeki serbest elektronlarn says nSlN olduundan bizimtel paramza etkiyen kuvvet
IBlSn
IBnSlSnIBNfnF
olarak bulunur. Elektronlara etkiyen kuvveti bulmak iin eq diyerek Bvef
yazabiliriz. Elektronlarn hz v sola doru olduundan bu ifadeye gre kuvvetin yn ekildzlemine dolaysyla iletkene diktir ve ne dorudur. Bu yn sol el kural ile saptanabilir:alan sol el avu iine, drt parmak akm ( q hareket) ynn gsterirken ba parmak kuvvetigsterir.
I
S
l
B
12
Yukardaki son denklem yalnz iletken alana dikse geerlidir. Eer iletken ynmanyetik alan yn ile asn yaparsa bu denklem u biimi alr:
sinIlBF .
Eer akm yn yani ve ile ayn yne sahip uzunluk vektr l
ile gsterilirse,
BlIF
olur.
Elde edilen bu banty yukardaki deney dzenei ile gereklemek mmkndr.
Eer manyetik alan dzgn deil veya iletken paras bir dorusal izgi deilseyukardaki bantlar kullanamayz. Ayn ey alan dzgn deil ve iletken paras birdorusal izgi deilse de dorudur.
Byle bir durumda akm ynndeki uzunluk eleman (diferansiyel uzunluk vektr)sd ve manyetik endksiyonun B
olduu bir noktada bu uzunluk elemanna etkiyen kuvvet
)( BsdIFd
olur. sin|| BdsIdFFd
olup, burada B
, ve sd arasndaki adr. Fd
nin yn hem sd
ve hem de B
ye diktir. Bu nedenle bu iki vektrn tanmlad dzleme diktir. letkenintamamna etkiyen kuvvet ancak entegrasyon ile bulunabilir.
cva
cvaB
l
I
I
sd I
B
Fd
F
13
1.7 Akm tayan ereveye etkiyen kuvvetler
Aadaki ekilde dzgn manyetik alan iindeki dikdrtgensel tel sarg gsterilmektedir.Sarg dzlemi normali ve manyetik alan yn arasndaki a dr.
1 no.lu kenarda (b uzunluklu) akm ne doru: Alan avu iineAkm kat dzlemine dik (ne doru)Kuvvet kat dzleminde, yukar doru
2 no.lu kenarda (b uzunluklu) akm arkaya doru: Alan avu iineAkm kat dzlemine dik (arkaya doru)Kuvvet kat dzleminde, aa doru
Yukarda belirtildii gibi sol el kural ile 1 ve 2 no.lu kenarlara etkiyen kuvvetlerin eitgenlikli ve zt ynl olduu grlebilir. Fakat uygulama dorultular farkldr. IbBFF 21olduu iin bu kuvvetler dan bamszdr. ( )'sin,2/' IbBIlB . Dier ikikenara etkiyen kuvvetler eit genlikli ayn dorultulu fakat zt ynldr. Bu nedenlebilekeleri sfrdr.
Ayn uygulama dorultularna sahip olmayan 1F ve 2F kuvvetlerinin Onoktasna gremomentleri:
sinsinsin
sinsin2
sin2
1
121
ISBIbaBaFM
aFaFaFM
1.8 rnek Problemlera) )(5.0 TeslaB olan dzgn manyetik alan iinde bulunan ve iinden )(20 AI geentelin her metresine etkiyen kuvvet 000 30,60,90 iin hesaplanacaktr.zm:
)(1090sin2015.0sin 090
NIlBF o ,)(66.860sin2015.0sin 0
60NIlBF o ,
.
X
2/a
2/a
u sin2au
1F
I
B
1
2
2F
n
u
O
14
)(530sin2015.0sin 030
NIlBF o .
b) Kinetik enerjisi MeVK 5.2 olan bir proton )(8.0 TeslaB olan dzgn manyetik alaniinde endksiyon izgilerine dik olarak hareket ettiine gre paraca etkiyen kuvvetibulun.Not: Protonun ktlesi .)(106.1),(106.11),(107.1 191927 CoulqJouleeVkgm pp
zm:
)/(1017.22,21)(104 7213 sm
mKvvmJouleKp
p
)(1082.2)(1076.28.01017.2106.1 1112719 kgNBvqF p
( )102.01 kgN c) Yukardaki ekildeki ereveye etkiyen moment, dzgn manyetik alann erevedengeirdii manyetik ak bulunacaktr. ,)(10),(5),(2.0 msarWAITeslaB
)(10 cmba . Manyetik alan ereve dzlemi ile 060 asn yapmaktadr.zm:ekildeki iaretlemelere bakarak:( 00 3090 )
)(05.030sin5)101002.0(10
sinsin)sin2
(2
04
1
NmM
ISBaIbBaFM
)(10732.130cos101002.0cos 304 WeberSB
d) )(4,0 mxz ye yerletirilmi )(5.2 m uzunluklu bir iletken j
ynnde 12.0 Ampere
deerinde bir akm tamaktadr. Eer iletkene etkiyen kuvvet2
ki
ynnde )(102.1 2 N
iddetinde ise, blgedeki dzgn alan B
yi bulun.zm:
)(30)()5.2(12)2
(1020.1 2 iBkBkBjBiBjkiBlIF zxzyx
)(2
104 4 TBB zx
ve B
nin yB bileeni herhangi bir deeri alabilir.
e) ekildeki iletkeni bir tam tur hareket ettirmek iin yaplmas gereken ii bulun. Silindirikkoordinatlarda )(105.2 3 TeB r
ve )(0.45 AI dir. )(03.0 mr dir.
m10.0
r
x
y
z
I
15
)()105.2()1.0(45 3 NewtoneeBlIF rz ,
203.01025.111025.11)(1025.11
32
0
32
0
3
dredreldFW
)(12.2 mJouleW
1.9 Biot-Savart Teoremi
Biot- Savart teoremi 'rrR
olmak zere, 3'
4 RRldIH
dir.
1.Biot-Savart Teoremi Uygulamalara) Sonsuz ince, sonsuz uzun, akm tayan filamann manyetik alan
zrz ezearrRedzld '',''
e
zadzaI
zaeadzI
zaezeaedzI
RRldIH zrz
2/3222/3222/3223 ])'(['
4])'(['
4])'([)'('
4'
4
)/(2
)44
(|'
'4
|''
4 22222mAe
aIe
aI
aIe
azz
aIe
azazaIH
r
'r
R
)',','(' zyxPX
X ),,( zyxP
x
y
z
Hr
O
O'r
a
'ld
z
I
I
16
b) Sonsuz ince, sonlu uzunluklu, akm tayan filamann manyetik alan
sin4
'4 23 R
zdIdHR
RzdIHd
zr ezeaOKOPrrR ''
edzaezeaedzRzd zrz ')'(''
22223
'sin')sin('|'
||'|Rdz
Rdz
Rdz
Ra
RRedza
RRzd
2'sin
4 RdzIH
, sin)sin( RRa
cot' az
dadz 2sin1'
)(
)(22
2
1
sin4
1sin
sin4
B
A
da
IdR
aIH
(nk sinRa )
)cos(cos4 21
a
IH
cossin900 ve dd dr.
e
aIHd
aIdH
)sin(sin
4cos
4 12
P
12a
r
A BOI
K
R
1
'r 2
z
17
c) Sonsuz ince, yar sonsuz, akm tayan filamann manyetik alan
Yukardaki problemde tanaz olduu iin 2 , pozitif z ynnde olduundan (+)
alnmal ve 1 , negatif z ynnde olduundan (-) alnmaldr. Buna gre:
e
aIH
)sin(sin
4 12 ,
2/1 ( z tarafnda), 02 ,
e
aIe
aIH
4)]
2sin(0[
4 .
2/1 ( z tarafnda),
6/2 ( z tarafnda),
e
aIe
aIH
83)]
2sin(5.0[
4 .
2/1 ( z tarafnda),
6/1 ( z tarafnda),
e
aIe
aIH
8)]
2sin()
6[sin(
4
I
a P
z
O
I
O
090
030
z
P
2
1
z
O
I
P
18
d) Problem: ekildeki dikdrtgen sarmda I akm akmaktadr. Merkezde manyetikendksiyon vektr nedir? 0
zm:
22
20
2222
012
0
2)(
4)sin(sin
4 baa
abI
baa
baa
bI
bIBB CDAB
22
20
2222
012
0
2)(
4)sin(sin
4 bab
abI
bab
bab
aI
aIBB ADBC
220
22
220
22
0
22
022 baabI
baba
abI
bab
aI
baa
bIBBB BCABM
e) Problem: ekildeki P noktasndaki manyetik endksiyon vektrn bulun.
cma 50 , AI 15
0
A
BC
D
I a2
b2
1 2
21
b
O Iz
X X.I I2 Ia
a a
1B
3B
13BB
1 2 3
P
M
19
zm:
)(25.410250215104
2||||
2
7
1031 Teslar
IBB
)(125.02
301042
||7
02 TeslaaIB
)(622225.4245cos||| 0113 TeslaBB
)(6612|||||| 132 TeslaBBB
f) Tek bir spirin manyetik alan
A- ,2211 uauaR
olup 1' uld
(yarap n ve teet) ve 2' uld
( 2u spir
dzlemine diktir). O halde Rld
' .B- rHd
,Oz ye dik olan spir dzlemine paraleldir. Biot-Savart teoremine gre ayn
zamanda 'ld
ne diktir. O halde spir dzleminde bulunan ve 'ld
ne dik olan 1u e
paraleldir. 2u hem rHd
hem de 1u
e diktir. Dolays ile kendilerini birletiren Oz
ekseni ve bu nedenle zHd
ile birlikte 1u , rHd
hep ayn dzlemin iindedir.
Ra
sin,
|sin|'4
|'|4
|| 23 RdlI
RRldIHd
, olup 0' Rld
den tr, 2/ .
2
'4
||RdlIHd
, 222,' zaRdadl ,
)(4|| 22 za
daIHd
2/322
2
22 )(4)(4sin||
zadaI
Ra
zadaIHddH z
1u
2u
zHd
rHd
H
.'ld R
a
20
2/322
22
02/322
2
2/322
2
)(2)(42
)(4 zaaI
zaaI
zadaIH z
rdH in hibir katks yoktur.
g- Problem :
AIN 4,100 ise , a) || OH
=? ( 0z )
b) ?|| PH
( mz 2 )
zm:
a) )/(4002)(2
|| 2/322
mANaIN
aaIHO
b) )/(706.5)25.04(225.01004|| 2/3 mAH P
h- Solenoid sargnn alan
2/322
2
])([2 zdaaz
lINdH z
dadzazdzd
a )sin
1(tan
,tan 2
X
.O POH
PH
m2
ma 5.0
IN ,
XXXX X X
.....
l
1 2a
Pd
z
z
21
32/3
2
22
2
sin11
2]tan
[2 alIzN
aa
al
IzNdH z
2
1
)cos(cossin2 21
lINd
lNIdH z
h- Problem:
AIsarimNcmlcma 5.1,500,35,4 iin a) ortadaki ve b) ulardaki manyetikalan iddeti bulunacaktr.
zm:
a) 9749.0)2/(
2/cos),cos(cos2 22121
la
llINH z
9749.0coscos,180 1210
2
)/(2089)9749.0(235.02
5.1500 mAH M
b) ),cos(cos2 21
lINH z
01 90 , 222cos la
l
(Not: 10
2 180 )
)/(10652 22
mAla
llINHO
.
XXXX X X
.....
l
a
O MA1
2