Ekonometria.

czyli jak prognozowaći jak odczytywać prognozę?

?

PrzykładPrzykład Całkowite koszty produkcji (w mln zł) pewnego wyrobu oraz wielkość produkcji tego wyrobu (w tys. sztuk) kształtowały się następująco:

Rok Koszt Produkcjat Y X1 5 22 6 33 14 64 16 75 12 66 20 97 21 108 20 99 20 10

10 24 12

I. Przyjmując hipotezę, że całkowity koszt produkcji zależy liniowo od wielkości produkcji, oszacować parametry modelu hipotetycznego klasyczną metoda najmniejszych kwadratów.II. Ocenić dopasowanie modelu do wyników obserwacji.III. Oszacować błędy średnie parametrów modelu hipotetycznego i zbadać istotność zmiennych objaśniających.IV. Sporządzić prognozę wielkości kosztu całkowitego w roku t=11 i 12, przyjmując, że produkcja wyrobu będzie się kształtować na poziomie odpowiednio 13 i 15 tys. szt.

y - wartości zmiennej objaśnianej (endogenicznej, zależnej)

x - wartości zmiennej objaśniającej (egzogenicznej, niezależnej)

y - wartości teoretyczne (z modelu)

minˆ1

2

n

ttt yySKR

21ˆ bxby

ttt yye ˆ e- składnik resztowy (reszta)

n - liczba obserwacji

xbybxxn

yxyxnb n

tt

n

tt

n

tt

n

tt

n

ttt

12

2

11

2

1111

)(

)()(

Jak oszacować parametry?Jak oszacować parametry?

n

tt

n

ttt

n

tt

n

ttt ybyxbyyySKR

12

11

1

2

1

2ˆ

2

11

2

1

2)(

1

n

tt

n

tt

n

ttt y

nyyyOSK

Suma Kwadratów Reszt

Ogólna Suma Kwadratów

Jakość modeluJakość modelu

OSK

SKR

yy

yy

n

ii

n

iii

1

2

1

2

2

)(

)ˆ( 10 2

Współczynnik rozbieżności

[%]

Jaka część zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wytłumaczona przy pomocy modelu.

W s p ó ł c z y n n i k d e t e r m i n a c j i

D l a m o d e l i l i n i o w y c h < 0 , 1 >

J a k a c z ę ś ć z m i e n n o ś c i z m i e n n e j o b j a ś n i a n e j j e s tw y t ł u m a c z o n a p r z y p o m o c y m o d e l u .

m i a r a d o p a s o w a n i a m o d e l u d o d a n y c h r z e c z y w i s t y c h

[ % ]

10, 1 222 RR

Błąd standardowy Odchylenie standardowe reszt modelu (s)

przeciętne odchylenia wartości teoretycznych od rzeczywistych

Najważniejszy wskaźnik do oceny dokładności prognozy

Współczynnik wyrazistości (w)

100y

sw

część wartości zmiennej Y stanowiąca odchylenie standardowe

[%]

Jakość modeluJakość modelu

[~Y] kn

SKRs

co to jest zmienna losowa?

Repetytorium z rachunku prawdopodobieństwa, czyli

Prawdopodobieństwoliczba z zakresu <0,1> określająca siłę przekonania, że zajdzie niepewne zdarzenie

Zmienna losowa zmienna, która przyjmuje różne wartości wyznaczone przez los funkcja

Charakterystyki zmiennej losowej N()

Funkcja gęstości rozkładu normalnego N (0,1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

f(x)

Zakres zmienności x2

2

2

)(

21

)(

x

exfFunkcja gęstości

Rozkłady normalne przy różnych

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

f(x)

Rozkłady normalne przy różnych

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

f(x)

Przedziały prawdopodobieństwa dla rozkładu Normalnego

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

f(x)

Ekonometria.

czyli jak prognozowaći jak odczytywać prognozę?

?

II. Konstrukcja modelu

II. Konstrukcja modelu

III. Estymacja parametrów

III. Estymacja parametrów

IV. Weryfikacja modelu

IV. Weryfikacja modelu

V. PrognozaV. Prognoza

I. Specyfikacja zmiennych

I. Specyfikacja zmiennych

Etapy budowy modelu ekonometrycznegoEtapy budowy modelu ekonometrycznego

III. Estymacja parametrów

czyli jak „zmierzyć” model?

Y - zmienna objaśniana - składnik systematyczny - składnik przypadkowy (losowy)

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

YY= = + +

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

Wszystkie możliwe wyniki obserwacjiModel hipotetyczny

),(XfY

Posiadane wyniki obserwacjiModel ekonometryczny(oszacowanie modelu hipotetycznego)

21XY

21ˆ bXby

21ˆ bXby

?Wnioskowanie z określonym

prawdopodobieństwem

y

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

Estymatory - funkcje zmiennych losowych np.

yXXXb TT 1)(

21XY

Dobre estymatory

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

metody szacowania parametrów

nieobciążonenieobciążone przy dużej liczbie prób średnie ocen b bliskie

zgodnezgodne przy dużej liczbie obserwacji w próbie oceny b bliskie

efektywneefektywne małe średnie kwadratów odchyleń (b- )2

)(bE

1)(lim

n

bP

KlasycznaMetodaNajmniejszychKwadratów

n - liczba obserwacjik - liczba zmiennych objaśniającychy - wektor obserwacji empirycznych zmiennej objaśnianej (endogenicznej, zależnej)

X - macierz obserwacji zmiennych objaśniających (egzogenicznych, niezależnych)

ny

yy

y...

2

1

nknn

k

k

xxx

xxxxxx

X

,...,,...

,...,,,...,,

21

22221

11211

EkonometriaEkonometria

- wektor obserwacji teoretycznych (z modelu) b - wektor parametrów modelu

y

Klasyczna Metoda Najmniejszych KwadratówKlasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów

XbyXbXbXby kk ˆ...ˆ 2211

minˆ1

2

n

ttt yySKR

kb

b

b ...1

yXXXb TT 1)(

Założenia modelu standardowego

KMNK

1. Zmienna objaśniająca ( XX ) jest nielosowa

2. Składnik losowy ma rozkład normalny : N(,)

Założenia modelu standardowego

3. Zakłócenia mają tendencję do wzajemnej redukcjiE() = 0

Wykorzystanie reguł

elementarnej statystyki

Wnioskowanie statystyczne w oparciu o rozkład

t-Studenta i F

Uchylenie =>estymatory nie są

nieobciążone4. Składnik losowy jest sferyczny: - brak autokorelacji - homoskedastyczność

Utrata efektywności estymatorów

ji Brak autokorelacji składnika losowego

cov( i, j ) = 0

Założenia modelu standardowego

e E(Y)

AutokorelacjaAutokorelacja

e E(Y)

Podstawowe przyczyny autokorelacji składnika losowego:- pominięcie sezonowości- błędny dobór postaci funkcji.

Podstawowe przyczyny autokorelacji składnika losowego:- pominięcie sezonowości- błędny dobór postaci funkcji.

Założenia modelu standardowego

AutokorelacjaAutokorelacja

e E(Y)

e E(Y)

homoskedastyczny

HomoskedastycznośćHomoskedastyczność Składnik losowy jest o takiej samej wariancji D2() = 2

heteroskedastyczny

IV. Weryfikacja modelu

czyli jak ocenić model?

Weryfikacja modelu

Weryfikacja merytoryczna

Weryfikacja statystyczna

Ocena jakości modelu

Badanie istotności zmiennych

znaki parametrów• skala parametrów• konsekwencje prognostyczne• konsekwencje modelowe

Co oznacza weryfikacja merytoryczna?

Co oznacza badanie istotności zmiennych ?

Zmienna objaśniająca jest istotna jeżeli w zauważalny (wyraźny) sposób wpływa na zmienną objaśnianą

• Wszystkie zmienne objaśniające muszą być istotne• Metoda - wnioskowanie statystyczne w oparciu o statystykę t-Studenta• - poziom istotności (=0,05 =0,10)

d(bi) - Średni błąd parametru modelud(b1) = 0,104 d(b2) = 0,832

Istotność zmiennych

)832,0()104,0(12ˆ xy

Test statystyczny t-Studenta

)( i

iemp bd

bt ),( knt

0:

0:

1

0

i

i

H

H

10 HrzecznaodrzucamyHttemp

))(;)((1iiiii bdtbbdtbU

Przedział ufności parametru i

V. Prognoza

czyli jak wykorzystać model?

y

y

Przedziały ufności dla linii regresjiPrzedziały ufności dla linii regresji

21ˆ bxby

y

x

11

1

2

2*

nxx

xxsV n

tt

t

Przedział ufności dla prognozy

];[ **tknttkntt VtyVtyy

Odpowiedzi wynikające z podejścia stochastycznego:Odpowiedzi wynikające z podejścia stochastycznego:

- Jaką metodę najlepiej zastosować przy szacowaniu parametrów modelu? - Jaki błąd może zostać popełniony przy szacowaniu?- Na jaki błąd się narażamy dokonując prognozy?

Odczyt z arkuszakalkulacyjnego

Statystyki regresjiWielokrotność R 0,98935R kwadrat 0,97881Dopasowany R kwadrat 0,97617Błąd standardowy 1Obserwacje 10

ANALIZA WARIANCJIdf SS MS F Istotność F

Regresja 1 369,6 369,6 369,6 5,5565E-08Resztkowy 8 8 1Razem 9 377,6

WspółczynnikiBłąd

standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95%Przecięcie 1 0,8323 1,2016 0,2639 -0,9192 2,9192Produkcja 2 0,1040 19,2250 5,557E-08 1,7601 2,2399

Ekonometria

jak dobierać funkcje?

Next:

B.Guzik, W.Jurek Podstawowe metody ekonometrii Materiały dydaktyczne 143 AE Poznań’2003

A. Aczel Statystyka w zarządzaniu PWN 2000 A.Welfe Ekonometria, PWE’95

Z.Czerwiński Dylematy ekonomiczne, PWE’92

Z. Czerwiński Moje zmagania z ekonomią, Wydawnictwo AE Poznań 2002

A. Zeliaś Teoria prognozy PWE’97

J.Gajda Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, Wydawnictwo C.H. Beck 2001

K.Jajuga (red.) Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O.Langego we Wrocławiu’99W.Kordecki Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje twierdzenia wzory. Oficyna Wydawnicza GIS 2001

W.Samuelson, S.Marks Ekonomia menedżerska, PWE’98

W.Sadowski (red.) Elementy ekonometrii i programowania matematycznego. PWN’80

M.Cieślak (red.) Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN’97

G.Chow Ekonometria, PWN’95

LiteraturaLiteratura