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INTRODUCCIÓN
Existe una gran semejanza entre el conjunto formado por las matrices y el conjunto formado por los vectores, en el sentido de que en ambos se definen las operaciones de adición y producto por escalares, las que satisfacen propiedades idénticas.
Estas propiedades se pueden generalizar a una serie de objetos matemáticos. El concepto de espacio vectorial espacio vectorial nos permite tal generalización.
1 2( , ,..., )na a a
VECTOR n - DIMENSIONAL
Definición
A los n números reales ordenados
le llamaremos n-upla ó vector n-dimensional.
ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO
Los números reciben el nombre de coordenadas o componentes del vector. Al conjunto de todas las n-uplas lo denotaremos y lo llamaremos Espacio Vectorial Euclidiano.
1 2, ,..., na a a
RnRn
Igualdad
Adición
Producto por un escalarSi
DEFINICIONES
1,2,...,i ia b i n a b
1 1( ,...., )n na b a b a b
1 2, ,..., na a aa
1. u + 0 = u
2. u + v = v + u
3. u + (v + w ) = (u + v) + w
4. c(u+v) = cu + cv
5. (c+d) u = cu+ du
6. (cd) u = c (du)
7. 1 u = u
8. u + (-u) = 0
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y DEL PRODUCTO POR UN
ESCALAR
ESPACIO VECTORIALAXIOMAS DE CLAUSURA
Definición
Sea V un conjunto en el cual han sido definidas dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares.
Si u y v se encuentran en V y si es un escalar, la suma de u y v, denotada por
u + v, y el múltiplo escalar de u por , denotado por u, son tales que:
o Para cada u,v V, u + v V.o Para cada R y u V, u V.
Propiedades de Clausura
ESPACIO VECTORIAL AXIOMAS
Si V es un Espacio Vectorial, se cumplen lossiguientes axiomas:
1. x + y = y + x para todo x, y de V. (Ley conmutativa de la suma).
2. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z de V. (Ley asociativa de la suma).
3. Existe un vector 0 de V, tal que para todox de V : 0 + x = x+ 0 = x. (Elemento nulo).
4. Para todo x de V existe un elemento –x en V tal que x + (-x) = 0. (Elemento opuesto).
ESPACIO VECTORIAL AXIOMAS (SIGUE)
5. 1x = x , para todo x de V.
6. (x)= ()x , para todo , reales y x en V.
7. ( + )x=x + x para todo , reales y x en V. (Ley distributiva para los escalares).
8. (x + y) = x +y para todo real y x, y en V. (Ley distributiva para los vectores).
OBSERVACIONES
● Las operaciones de adición y producto por escalares conjuntamente con los 8 axiomas dotan al conjunto V de la estructura de un Espacio Vectorial.
● A los elementos del Espacio Vectorial les llamamos vectores.
● A los elementos de R se les llama escalares.
ALGORITMO PARA VERIFICACIÓN
Para demostrar que un cierto conjunto V es un Espacio Vectorial, hay que verificar que en él están definidas las operaciones de adición y multiplicación por un escalar, que cumplan las propiedades de clausura y los 8 axiomas anteriores.
EJEMPLOS
1. Espacio Rn: Llamados también espacios euclidianos R2 ,R3,...,etc.
2. Espacio Pn: Es el Espacio Vectorial de todos los polinomios de grado menor ó igual a n.
3. El conjunto {0}: Es el llamado Espacio Trivial.
EJEMPLOS
4. El conjunto {(2t, 3t, 5t) / t} de los puntos del plano que están sobre una recta que pasa por el origen.
5. El conjunto F de todas las funciones reales con dominio R.
6. El conjunto F[a; b] de todas las funciones reales definidas en [a; b].
EJEMPLOS
No son espacios vectoriales (indique un axioma
que no cumplan):1. El conjunto de todas las matrices no singulares.
2. El conjunto de todos los vectores del plano con módulo uno.
3. El conjunto V = R2 con la definición habitual de adición y con la siguiente definición de multiplicación por escalar:
0
cx
y
xc
TEOREMA
Si V es un Espacio Vectorial, se tiene que:
1. 0 = 0 para todo real.
2. 0x = 0 para todo x en V.
3. x = 0 → = 0 ó x = 0.
4. (-1)x = -x para todo x en V.
SUBESPACIO
Sea V un espacio vectorial. WV es un subespacio vectorial de V, si W en sí mismo es un espacio vectorial con las mismas operaciones de adición y multiplicación por escalares definidos en V.
TEOREMA
Sea V un espacio vectorial y WV, entonces W es subespacio de V si, y sólo si:
1. 0 W
2. u,v W u + v W
3. Si u W y R u W
EJEMPLOS
1. Pn es un S.E.V. del espacio P de todos los polinomios.
2. El conjunto D de todas las funciones
diferenciables es un S.E.V. de F.
3. El conjunto C de todas las funciones
continuas es un S.E.V. de F, pero no
es un S.E.V. de D.
COMBINACIÓN LINEALCOMBINACIÓN LINEAL
● : Vectores de un E.V. “V”
● : Escalares
● La expresión:
se llama combinación lineal de:
1 2, ,... nv v v
1 2, ,... na a a
1 1 2 2 ... n na a a v v v
1 2, ,..., nv v v1 2, ,..., nv v v
ESPACIO GENERADO
● Sea “V” un E.V. y A ={u1,u2 ... un} V.
● Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de A, se le denomina espacio generado por A y se denota por gen (A).
● Ejercicio: Demuestre que gen(A) es un S.E.V. de V.
USO DE CLASSPAD
El programa echelon solicitará el ingreso de la matriz,la escalonará y almacenará el resultado en la variable A.
dba
cba
ba
a
540000
430000
2/5,05,05,10
1312
EJEMPLO
Determine el espacio generado por:
A={(1,2,0),(-3,1,1)}.
● ¿Pertenece el vector ( 3, -2 , 1) a gen(A)?● ¿Qué representa gen (A) geométricamente?
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Sea V un espacio vectorial.Se dice que el conjunto
es LINEALMENTE INDEPENDIENTE si dado que:entonces:
Si al menos un ai es diferente de cero, A se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE.
1 2, ,... kA V v v v
1 1 2 2 ... k ka a a v v v 0
1 2 ... 0ka a a
TEOREMA
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si al menos uno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los otros.
1 2, ,... kv v v
TEOREMA
1. es y es
2. es y es
3. es
V V U U
V U V U
V V
LD LD
LI LI
0 LD
n
det , ,..., .
4. Un conjunto de vectores de
es L.I. si y sólo si 1 2v v vn 0
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
DefiniciónUn subconjunto B de un Espacio Vectorial V es una basebase para V si:
1) B genera a V.
2) B es un conjunto L.I.
1. Pruebe que el conjunto de vectoresS={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base
de R3.
2. Pruebe que en P2 el conjunto A={1, x, x2} es una base.
3. Pruebe que en R3 el conjunto que sigue: B={(1,1,3),(2,1,4),(1,0,1)} nono es base.
EJEMPLOS
TEOREMA
Sea V un espacio vectorial y B una base para V. Para todo vector , existe exactamente una manera de expresar v como una combinación de los vectores del conjunto B.
Vv
COORDENADAS DE UN VECTOR
Sea B = {v1, v2, … vn} una base para un espacio vectorial V.
Sea vV tal que v = c1v1 + c2v2 +…+ cnvn.
entonces,
[v]B se denomina coordenadas de v con respecto a la base B.
1
2
B
n
c
c
c
v
En R3 tenemos el conjunto A = {(1,1,0),
(-1,1,1)}. Es fácil demostrar que A es LI, pero que no genera a R3.
¿Podemos agregar vectores al conjunto A, de modo que se convierta en una base de R3?
EJEMPLOEJEMPLO
Si A es un conjunto de vectores linealmente independientes de un Espacio Vectorial V de dimensión finita, que no es generador de V, entonces es posible añadir vectores de V a A, de modo que el nuevo conjunto sea una BASE de V.
TEOREMATEOREMA
1. ¿Cuántos vectores LI se necesitan para generar P2?
2. ¿Es correcto afirmar que todas las basesde Rn, tienen n vectores? de P2 tienen 3 vectores?
EJEMPLOSEJEMPLOS
DefiniciónAl número n de elementos que tiene una BASE de un Espacio Vectorial V se le llama dimensión de V y se denota dim (V) = n.
Si V = {0} se le llama espacio nulo y se conviene en que dim (V) = 0.
DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
TEOREMA
Sea B = {v1, v2, … vn} una base para un espacio vectorial V.
a) Cualquier conjunto con más de n vectores en V es LD.
b) Cualquier conjunto con menos de n vectores no puede generar a V.