IX PREDAVANJE

DVOSTRUKO ZAKRIVLJENE POVRŠI

GEOMETRIJSKE POVRŠI U ARHITEKTURI

I PRAVOIZVODNE POVRŠI

I.1. RAZVOJNE:

I.1.1. POLIEDARSKE

I.1.1.1. Pravilni poliedri

I.1.1.2. Piramide i prizme

I.1.2. JEDNOSTRUKO-ZAKRIVLJENE

I.1.2.1. Konusi i oblice

I.1.2.2. Konvolutne površi

I.2. NERAZVOJNE:

I.2.1. JEDNOSTRUKO-IZVODNE

I.2.1.1. Helikoidi

I.2.1.2. Cilindroidi

I.2.1.3. Konoidi

I.2.1.4. Tetroidi

I.2.2. DVOSTRUKO-IZVODNE

I.2.2.1. Jednograni obrtni hiperboloid

I.2.2.2. Jednograni eliptični hiperboloid

I.2.2.3. Hiperbolički paraboloid

II DVOSTRUKO ZAKRIVLJENE POVRŠI

II.1. OPŠTE POVRŠI

II.1.1. LOPTA (SFERA)II.1.2. ELIPSOID

II.1.3. PARABOLOID

II.1.4. DVOGRANI HIPERBOLOID

II.2. OBRTNE POVRŠI

II.2.1. OPŠTE

II.2.2. TORUSI

II.3. KLIZNE (TRANSLACIJSKE) POVRŠI

DVOSTRUKO ZAKRIVLJENE POVRŠI

Glavna podela:

1. OPŠTE POVRŠI (sl.1)

2. OBRTNE POVRŠI (sl.2)

3. KLIZNE POVRŠI (sl.3)

Sl.1

Sl.2 Sl.3

k

l

OPŠTE POVRŠI II STEPENA (KVADRIKE)

Podela prema beskonačno dalekoj konici:

• elipsoid (sl.1)

• sfera (lopta) (sl.2)

• paraboloid (sl.3)

• dvograni hiperboloid (sl.4)

Sl.1 Sl.2 Sl.3 Sl.4

SFERA (LOPTA)

• vodilja – najveća kružnica d

kroz centar L

• izvodnica – kružnica i

SFERA (LOPTA)

d

i

L

kružnica poluprečnika r

SFERA (LOPTA)

Sl.3

Sl.1 Sl.4

L

LII

LI

Sl.2

centar L

poluprečnik r

Ravni preseci

• kružnica r₁ (sl.3,4)

SFERA (LOPTA)

Sl.1 Sl.2

Tangenta ravan Ravni preseci

SFERA (LOPTA)

Sfera (lopta) kao pomoćna površ

određivanje kontura konusa i oblica

Razni delovi lopte u arhitektonskoj formi

Sl.1

Sl.2

Sl.3

Sl.4

SFERA (LOPTA)

• skoro cela (90%) (sl.1)

• kao deo (sl.2)

• kupola - polulopta (sl.3)

• kalota - isečak (sl.4)

PRIMENA SFERE U ARHITEKTURI

Spomenik Njutnu, Pariz, Francuska, arh. Etienne-Louis Boullée, 1784.g

Primena 90% sfere u arhitekturi

Berlin Zeiss Planetarijum, Berlin, Nemačka, arh. Erhard Gifke, 1987.g

Primena 90% sfere u arhitekturi

Montreal Biosfera, Expo 67, Montreal, Kanada, arh.

Buckminster Fuller, 1967.g

Primena 90% sfere u arhitekturi

Primena 90% sfere u arhitekturi

Bibliosfera, Univerzitet u Duisburgu, Essen, Nemačka, arh. KSP Engel

Zimmermann, 2009.g

Mode Gakuen Kokon Toranj, Tokio, Japan, arh. K. Tange, 2008.g

Primena 90% sfere u arhitekturi

Primena 90% sfere u arhitekturi

Sferni vodeni toranj,

Nemačka, 1976.g

Istorijski vodeni toranj,

Duisburg Wedau, Rurska

oblast, Severna Raine

Westfalia, Nemačka

Primena 90% sfere u arhitekturi

Atomijum – Dečji Sferni Hotel, Brisel, Belgija, arh. André

Waterkeyn,1958.g

Primena 90% sfere u arhitekturi

Fudži TV zgrada u Odaiba, Tokio, Japan, arh. K.Tange, 1997.g

Primena 90% sfere u arhitekturi

Primena dela sfere u arhitekturi

Tihuana kulturni centar, Tihuana, Meksiko, arh. P. R. Vazques i M. R.

Morrison, 1982.g

Izložbeni paviljon, Njujork, SAD, arh. V. Lundi

Primena dela sfere u arhitekturi

Galileo Galilej planetarijum, Buenos Aires, Argentina,

arch. Enrique Jan, 1967.g

Primena sferne kupole u arhitekturi

Sportska dvorana “Arena”, Pitsburg, SAD, arh.

Mitchell and Ritchey, 2000.g

Primena sferne kupole u arhitekturi

osnova i presek

Primena sferne kupole u arhitekturi

Rotirajuća eko kupola,

kuća1, arh. Patrick

Marsilli

kvadratna osnova

Ravni preseci

Primena sferne kupole u arhitekturi

osnova i izgled

aksonometrija

• iste polukružnice

pravougana osnova

Primena sferne kupole u arhitekturi

Ravni preseci

osnova i izgled

aksonometrija

• različite polukružnice

trougaona osnova

Primena sferne kupole u arhitekturi

Ravni preseci

osnova i izgledi

aksonometrija

• iste polukružnice

Planetarijum, Bohum,

Nemačka, arh. D.

Balkovski, 1963.g

Primena sferne kupole u arhitekturi

Ravni preseci

trougaona osnova

Kresge Auditorijum, Kembridž, SAD, arh.

Eero Saarinen, 1953.g

Primena sferne kupole u arhitekturi

Ravni preseci

trougaona osnova

Nacionalna biblioteka i muzej Republike, Brazilija, Brazil, arh. O.

Niemeyer, 1954.g

Primena sferne kalote u arhitekturi

Skupštinska sala,Toronto,

Kanada, arh. V. Revel,

1958.g

Primena sferne kalote u arhitekturi

osnova i presek

Filipsov paviljon, Ajdhoven, Holandija, arh. R. Kalf, 1958.g

Primena sferne kalote u arhitekturi

Internacionalni centar, Tokio, Japan, arh. M.Murata i J.

Cuboi, 1959.g

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

osnova i izgledi

kvadratna osnova

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

osnova i izgled

• isti delovi kružnice

Beogradsko sajmište, hale 1,2 i 4

Beograd, Srbija, arh. M. Pantović i M.

Krstić, 1957.gpravougaona osnova

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci1

2

4

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci

Crkva milostivog oca, Rim, Italija,

arh. R. Majer, 1998.gpravougaona osnova

trougaona osnova

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

osnova i izgled

• isti delovi kružnice

šestougaona osnova

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

osnova i izgled

• isti delovi kružnica

Zgrada socijalnog centra, Frankfurt, Nemačka,

arh. Friedrich Wilhelm Krämer, 1963.g

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci

šestougaona osnova

trougaona osnova

Primena sferne kalote u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

osnova i izgledi

• isti delovi kružnice

Zgrada Opere, Sidnej, Australija, arh. J. Otzon i O.

Arur, 1973.g

Primena sferne kalote u arhitekturi

Primena sferne kalote u arhitekturi

Zgrada Opere, Sidnej, Australija, arh. J. Otzon i O.

Arur, 1973.g

Primena sfere u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

osnova i izgledi

• iste polukružnice

Primena sfere u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

osnova i izgledi

• iste polukružnice

Primena sfere u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

c

αγ

kP

Q

izgled

• polukružnica c

• kružnica k

zajedničke presečne tačke

.

.

P=Q.

Primena sfere u arhitekturi

Ravni preseci

aksonometrija

k

l

k l

c

c

P=Q

PQ

c

l

k

osnova i izgledi..

.

• polukružnica c

• kružnice k i l

zajedničke presečne

tačke i kružnica c

Φ1Φ2

Φ1

Φ2Φ1 Φ2

Primena sfere u arhitekturi

Ravni preseci

Sl.1 Sl.2

kvadratna osnova

kupola nad pandantifima

(sferni trouglovi)

Primena sfere u arhitekturi

Prodori

aksonometrija

osnova i izgled

• prostorna kriva –

raspada se u kružnicu c

c

c

Eden projekat, Kornvol, UK, arh. N. Grimshaw, and A. Hunt

Associates, 2000.g

Primena sfere u arhitekturi

Primena sfere u arhitekturi

Prodori

aksonometrija

osnova i izgled

• prostorna kriva

4. reda 1. vrste

aksonometrija

Primena sfere u arhitekturi

Prodori

osnova i izgled

• prostorna kriva

4. reda 1. vrste

aksonometrija

osnova i izgledi

• prostorna kriva –

raspada se u

kružnice

Primena sfere u arhitekturi

Prodori

Vodeni grad - Novi koncept višeporodičnog stanovanja, Dubai,

UAE, arh. Rem Koolhaas and OMA, 2008.g, konkursni rad

Primena sfere u arhitekturi

RAS Al Khaimah konferencijski centar, Dubai, arh. Rem

Koolhaas and OMA, 2008.g

Primena sfere u arhitekturi

Glavna podela:

1. Opšte površi (sl.1)

2. Obrtne površi (sl.2)

3. Klizne površi (sl.3)

DVOSTRUKO ZAKRIVLJENE POVRŠI

kl

Sl.1 Sl.2 Sl.3

Podela prema beskonačno dalekoj konici:

• elipsoid (sl.1)

• sfera (lopta) (sl.2)

• paraboloid (sl.3)

• dvograni hiperboloid (sl.4)

OPŠTE POVRŠI II STEPENA (KVADRIKE)

Sl.1 Sl.2 Sl.3 Sl.4

Razni delovi lopte u arhitektonskoj formi

Sl.1

Sl.2

Sl.3Sl.4

SFERA (LOPTA)

• skoro cela (90%) (sl.1)

• kao deo (sl.2)

• kupola - polulopta (sl.3)

• kalota – isečak (sl.4)

centar L

poluprečnik r

Studentski grafički radovi

Primena sfere u arhitekturi

Tamara Manojlović, grafički rad GPA, student, generacija 2009/10

Primena sfere u arhitekturi

Ana Vasiljević, grafički rad,

student, generacija 2010/11

Primena sfere u arhitekturi

Ljiljana Milivojević, grafički rad, student, generacija 2010/11

Primena sfere u arhitekturi

Milan Stevanović, grafički rad, student, generacija 2010/11

Primena sfere u arhitekturi

Srđan Sakan, grafički rad, student, generacija 2010/11

Primena sfere u arhitekturi

Hristina Krstić, grafički rad, student, generacija 2011/12

Primena sfere u arhitekturi

Marija Zlatković, grafički rad, student, generacija 2011/12

Primena sfere u arhitekturi

Jovana Ladić, grafički rad, student, generacija 2011/12

Primena sfere u arhitekturi

Bojana Anđelković , grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Branko Stanojević, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Dijana Mihajlović, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Dušan Lilić, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Milan Brzaković, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Milan Trifunović, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Miloš Miljković, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Nenad Jovanović, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Petar Avramović, grafički rad, student, generacija 2012/13

Primena sfere u arhitekturi

Aleksandar Nikolić, grafički rad, student, generacija 2013/14

Primena sfere u arhitekturi

Jovana Ilijev, grafički rad, student, generacija 2013/14

Primena sfere u arhitekturi

Nemanja Ljubenović, grafički rad, student, generacija 2013/14

Primena sfere u arhitekturi

Nikolaos Savidis, grafički rad, student, generacija 2013/14

Primena sfere u arhitekturi

Stefan Pešić, grafički rad, student, generacija 2013/14

Primena sfere u arhitekturi

Đorđe Jović, grafički rad,

student, generacija 2014/15

Primena sfere u arhitekturi

Milica Veljković, grafički rad, student, generacija 2014/15

Primena sfere u arhitekturi

Stefan Stanković, grafički rad, student, generacija 2014/15

Literatura:

Nacrtna geometrija, prof. Dr Miroslav Marković, Niš, 1998.g

http://www.google.rs/

Geometrija u graditeljstvu, Heinrich Brauner, Walter Kickinger, Školska knjiga,

Zagreb, 1980.g

Konstruktivni sistemi, Miodrag Nestorović, AF, Beograd ,2000.g

Konstruktivni sistemi, Desimir Dančević, GF, Niš, 1978.g

Crteži:

Petar Pejić, student, gen. 2010/11

Miloš Dačić, student, gen. 2009/10

Tamara Manojlović, student, gen.2009/10