DIVISIBILIDAD

ConceptosConceptosDivisibilidadDivisibilidadCriterios de DivisibilidadCriterios de Divisibilidad

Divisibilidad

Si encargamos a un marmolistaque nos enlose un cuarto de bañode forma rectangular, interesaráque al obtener las baldosas noaparezcan trozos que rompan laestética ; entonces lo habitual seráencargar baldosas cuadradasque tengan el tamaño mayorposible.

Para resolver esta situación , se utilizan losconceptos de múltiplo y de divisor.

Matemagia – La Magia del 9Indicaciones Piensa en un númeroMultiplícalo por 9Tacha uno de sus dígitos que no sea CERODime la suma de los otros dígitos.

Veamos….Adivinaré el dígito que tachaste.!El digito es….

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Magia9.asp

Juego de las PiedrecillasIndicaciones De un montón de fichas entre 25 a 30.Juegan 2 participantes.Cada uno retira entre 1 a 6 fichas.Gana quien retira al último.

Plantee una estrategia ganadora.

Variante: Cambie el tamaño del montón. Y el máximo número de fichas a retirar.Fuente: Miguel de Guzmán

Bloques Lógicos - SeriesIndicaciones

En grupos de 4 participantes:Se les muestra la serie:V =Ficha Verde A=Ficha Azul R=Rojo V A V A V A... Qué color tendrá la ficha que ocupe el lugar 4.153? y el 20.000 ? V V A V V R V V A V V R . . .¿Qué color tendrá la ficha que ocupe el lugar 54? ¿Y el 27? ¿Y el 41?

Dinámica Cartas – La fila de Nueve

Indicaciones

Retira una carta de cualquier esquina (tú eliges). 3 vecesSuma los valores de las tres cartas retiradas.Divide el resultado por 6 –¡la división es exacta!– y busca la carta de la el lugar indicado por el cociente (contando de izquierda a derecha).

Evolución Histórica

Los hindúes llegaron a conocer la divisibilidad por 3, 7 y 9, y los griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares e impares.

El matemático francés Blaise Pascal (siglo XVII) propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número.

MotivaciónMotivación

Blaise Pascal1623-1662

Divisibilidad

Decimos que un número entero b es divisible por otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que b = a·c.

Se suele expresar de la forma b/a, que se lee a divide a b o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a.Ejm6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

ConceptosConceptosCriba de ErastótenesCriba de ErastótenesAplicacionesAplicaciones

Criba de Eratóstenes-MétodoEncierra en un círculo el 2Tacha, los múltiplos de 2, excepto el 2. Encierra el 2Tacha, los múltiplos de 3, excepto el 3. Encierra el 3Tacha, los múltiplos de 5, excepto el 5. Encierra el 5Tacha, los múltiplos de 7, excepto el 7. Encierra el 7

¿Qué números NO quedaron marcados? Enciérralos con un Círculo

Eratosthenes276 a. C. 194 a. C.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31,37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N

Eratosthenes276 a. C. 194 a. C.

Número Primo

Son aquellos que son divisibles por simismo y por la unidad; es decirEstos números solamente presentandos divisores

Número Primo de Fermat

Pierre de Fermat1601-1665

Los números primos menores que cien son 25, asaber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31,37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Aplicaciones- Criptografía

El algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes (mayores que 10100) que sean primos.

La seguridad de este algoritmo radica en que no hay maneras rápidas de factorizar un número grande en sus factores primos

Criterios de Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si

acaba en 0 o en cifra par.

Ejemplos: Números divisibles por 2:

36, 94, 521342, 40,...

9436

52134240

Criterios de Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 si

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplos: Números divisibles por 3: 36, 2142, 42

36

2142

42

3 + 6 = 12

2+1+4+2= 9 4+2 = 6

Criterios de Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5 si

si la última de sus cifras es 5 o es 0.

Ejemplos: Números divisibles por 5:

35, 2145, 40,...

35

214540

Criterios de Divisibilidad por 7

Un número es divisible por 7 si

“Se separa la última cifra de la derecha; esta cifra se duplica y se resta al número que queda a la izquierda , con el resultado se hace lo mismo y así sucesivamente hasta llegar a un número pequeño tal, que a simple vista se puede ver si es o no múltiplo de 7. Si lo es el número dado es divisible por 7”

Ejemplo: 3523289

3 5 2 3 2 8 9

Resolución

2(9) =181 8

3 5 2 3 1 0 2(0) = 00

3 5 2 3 1 2(1) = 22

3 5 2 1 2(1) = 2

2

3 5 0 2(0) = 0

0

3 5

3 5

= 7 o

Otra estrategia

3 5 2 3 2 8 9

21

1321 -1-2-3

(9+24+4+3) -(10+6+3)

40 - 19

7 o

Criterios de Divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11 si

“Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11”

Ejemplo: a) 3553

b) 48657

Resolución

a) 3 5 5 3

(3 + 5) - (5+3)

8 - 80

b) 4 8 6 5 7

(4+ 6+7) -(8+5)17 -13

4

4 8 6 5 7 = 11+4o

a) 3 5 5 3

(3 + 5) - (5+3)

8 - 80

b) 4 8 6 5 7

(4+ 6+7) -(8+5)

17 -134

4 8 6 5 7 = 11+4o

MCM Mínimo Común Múltiplo

En el aeropuerto JorgeChavez, los vuelos haciaArequipa salen cada 15minutos, y hacia CuscoCada 25 minutos. LaPrimera salida a los dossitios, es a las 8:00 am ¿En que hora vuelven a coincidir?

Deben obtener los múltiplos de 15 y 25

ConceptosNúmero Compuesto: Es todo número no primoMúltiplo: cuando la división del primero entre el segundo

es exactaDivisor: si lo divide exactamente

MÍNIMO COMÚN MULTIPLOEl menor múltiplo que contenga exactamente alos números dados.MÁXIMO COMÚN DIVISOREl mayor divisor común de ellos.

Descomposición en Factores Primos

MCM - Método

Para calcular el MCM de varios números, sedescomponen simultáneamente en susfactores primos. Luego se obtiene el producto.

3 6 93 3 9 21 1 3 31 1 1 3

El producto. 2x3x3 = 18 MCM(3,6,9)=18

MCD - Método

Para calcular el MCD de varios números, seDividen por términos comunes imultáneamente. Luego se obtiene el producto.

El producto. 2x3 = 6 MCD(6,12,18) = 6

6 12 183 6 9 21 2 3 3

Propiedades MCD - MCM

1.- Si un número es múltiplo de otro, el más grande será el mcm de los dos y el más pequeño será su mcd.

Ejm12 es múltiplo de 6 y 6 es divisor de 12.

MCM (6, 12) = 12

MCD (6, 12) = 6

Propiedades MCD - MCM

2.- Los divisores comunes de dos o más números son divisores del mcd de estos números.

EJEMPLO

El 2 es divisor de 12 y 18

MCD (12, 18) = 6

El 2 también es divisor de 6.

Propiedades MCD - MCM

3.- El MCM de dos números primos entre sí es igual al producto de estos números.

EJEMPLO

7 y 12 son primos (PESI) entre ellos

MCM (7, 12) = 7 .12 = 84

Propiedades MCD - MCM

4.- Los múltiplos comunes de dos o más números son múltiplos del MCM de estos números.

EJEMPLO

El MCM (15, 18) = 90. Cualquier múltiplo común de 15 y 18, por ejemplo 360, también lo es de 90.

Propiedades MCD - MCM5.- El producto del MCM por el MCD de dos números

cualesquiera es igual al producto de estos números.

EJEMPLO

MCM (12, 15) = 60 MCD (12, 15) = 3

MCM . MCD = 60 . 3 = 180

(12 . 15 = 180)

Propiedades MCD - MCM

Si dividimos dos números por su MCD, los cocientes que se obtienen son primos entre ellos.

EJEMPLO

El MCD (25, 80) = 5. Si dividimos 25 y 80 entre5, obtenemos, respectivamente 5 y 16. Estosnúmeros son primos entre ellos.