Distribución de probabilidad

Hablando de distribución…

¿Recuerda distribución de frecuencias?¿Distribución de frecuencias relativa?

Estadística

Descriptiva – El pasado.Inferencial – El futuro.

Distribución de probabilidad• Una distribución de probabilidad aporta el rango

completo de valores susceptibles de ocurrir con base en un experimento.

Lanzamiento de una moneda

Resultado posible Primero Segundo Tercero

Número de "águilas"

1 Cara Cara Cara 02 Cara Cara Águila 13 Cara Águila Águila 24 Cara Águila Cara 15 Águila Águila Águila 36 Águila Águila Cara 27 Águila Cara Cara 18 Águila Cara Águila 2

Número de "Águilas"

Probabilidad del resultado

0 1/8 0.1251 3/8 0.3752 3/8 0.3753 1/8 0.125

Distribución de probabilidad para los eventos de cero, uno, dos y tres “Águilas” en tres lanzamientos de moneda.

1

3 3

1

0 1 2 3

Gráfico del número de “Águilas” que son resultado de tres lanzamientos de una moneda.

Características de una distribución de probabilidad

• La probabilidad de un resultado es un número entre 0 y 1.

• La suma de las probabilidades de todos los resultados es igual a 1.

Variables aleatorias

Discreta

• Sólo puede tomar valores enteros, definidos de un experimento de interés.

Continua

• Puede tomar un número de valores infinitamente grande, con ciertas limitaciones.

Distribución de Probabilidad

Variables discretas

Binomial

Hipergeométrica

Poisson

Variables continuas

Normal

Distribución de probabilidad discreta

• Un conjunto de variables aleatorias discretas organizadas en una distribución de probabilidad.

La media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad

• La media informa de la tendencia central de los datos y la varianza describe la dispersión en éstos.

Media

• La media de una distribución de probabilidad se conoce también como valor esperado, E(x).

• Es un promedio ponderado, en el que los valores posibles de la variable aleatoria se ponderan según las probabilidades correspondientes a una ocurrencia.

• Se multiplica cada valor de x por la probabilidad de que ocurra, luego se suman estos productos.

)]([)( xxPxE

Varianza

• Describe la cantidad de dispersión (variación) en una distribución.

)]()[( 22 xPx

Desviación estándar

• Es la raíz cuadrada de la varianza.

)]()[( 2 xPx

Ejemplo

• Juan vende coches en una agencia. Normalmente, el sábado es el día de más ventas para Juan. Si tomamos la información de sus ventas, formaríamos la siguiente distribución de probabilidad.

Número de autmóviles

vendidos por Juanx

Probabilidad, P(x)

0 0.11 0.22 0.33 0.34 0.1

Total 1

Número de autmóviles

vendidos por Juanx

Probabilidad, P(x)

x*P(x)

0 0.1 0.00001 0.2 0.20002 0.3 0.60003 0.3 0.90004 0.1 0.4000

Total 1 2.1000

Interpretación: Juan venderá 2.1 autos el sábado (valor esperado).

Número de autmóviles

vendidos por Juanx

Probabilidad, P(x)

x*P(x) x-µ

0 0.1 0.0000 -2.1000 4.41 0.44101 0.2 0.2000 -1.1000 1.21 0.24202 0.3 0.6000 -0.1000 0.01 0.00303 0.3 0.9000 0.9000 0.81 0.24304 0.1 0.4000 1.9000 3.61 0.3610

Total 1 2.1000 1.2900

2)( x )()( 2 xPx

2

Interpretación: Las ventas sabatinas de Juan tendrán una dispersión (variación) de 1.29.

binomial

Características de una distribución de probabilidad binomial

• Es un tipo de distribución de probabilidad discreta. • Sólo existen dos resultados posibles para un ensayo de un

experimento (éxito o fracaso).• Los resultados son mutuamente excluyentes. • La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en un

número fijo de ensayos. • La probabilidad de éxito permanece igual en cada ensayo.

Pasa lo mismo con la probabilidad de un fracaso. • Los ensayos son independientes.

Para construir una distribución de probabilidad binomial

1. Conozca el número de ensayos.

2. Conozca la probabilidad de éxito de cada ensayo (debe ser igual).

3. Defina éxito. 4. Encuentre la

distribución mediante:

xnx PPxnx

nxP

)1()!(!

!)(

Donde: P = Probabilidad de éxito de cada ensayo. x = Número de éxitos. n = Número de ensayos. C = Denota una combinación.

Ejemplo

• Un operador de telemarketing realiza cinco llamadas telefónicas por hora y es capaz de cerrar una venta en el 80 por ciento de los contactos. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente en una de las llamadas no cierre la venta?

• Variable discreta. • Eventos independientes. • Excluyente. • Número de ensayos: 5• Éxito: No cerrar la venta. • Probabilidad de éxito de cada

ensayo: 0.2 (Debido a que 1-0.8=0.2).

• Número de éxitos: 0• Aplique la siguiente fórmula:

xnx PPxnx

nxP

)1()!(!

!)(

• La probabilidad de que no cierre una venta en la próxima hora es de 0.3277.xnx PP

xnxnxP

)1()!(!

!)(

Problema con el profesor

• Con los datos del problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de que en la próxima hora no cierre la venta en una de las cinco llamadas?

Solución• Variable discreta. • Eventos independientes. • Excluyente. • Número de ensayos: 5• Éxito: No cerrar la venta. • Probabilidad de éxito de

cada ensayo: 0.2 (Debido a que 1-0.8=0.2).

• Número de éxitos: 1• Aplique la siguiente fórmula:

xnx PPxnx

nxP

)1()!(!

!)(

• La probabilidad de que no cierre una de las cinco ventas en la próxima hora es de 0.4096.

xnx PPxnx

nxP

)1()!(!

!)(

Media, varianza y desviación estándar de una distribución binomial

Media

nPVarianza

)1(2 PnP

Acumulativa

• A veces, querrá conocer acumulada, como la probabilidad acertar en cuatro o más ensayos de cada serie de seis; por ejemplo.

• También podría querer conocer la probabilidad de vender en menos de dos ocasiones en la próxima hora.

Ejemplo

• 60 por ciento de los visitantes al restaurante regresan en menos de tres meses.

• Se eligen 10 comensales. • ¿Qué probabilidad hay de que 7 regresen en menos

de tres meses?• ¿Cuál es la probabilidad de que 7 o menos no

regresen en menos de tres meses?

Solución

• Para la primera pregunta, utilice el apéndice A. • Para la segunda pregunta, recuerde la regla especial

de la adición (eventos independientes, mutuamente excluyentes).

P(A ó B)= P(A) + P(B)

Distribuciones de probabilidad acumulada• Hipergeométrica. • Poisson.