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Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.1 Jürgen Roth
Didaktik der Grundschulmathematik II
Didaktik der MathematikUniversität Würzburg
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.2 Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4: Didaktik der Geometrie 4.34.1 Geometrie in der GS – Was und warum? 4.44.2 Raumvorstellung – Räumliches Denken 4.134.3 Begriffsbildung in der Geometrie 4.474.4 Geometrische Kompetenzen bei
Grundschülern 4.644.5 Räumliche Objekte 4.744.6 Ebene Figuren 4.1074.7 Symmetrie 4.1244.8 Messen 4.1434.9 Zeichnen 4.163
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Kapitel 4:Didaktik der Geometrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.4 Jürgen Roth
4.1 Geometrie in der GS Was und warum?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.5 Jürgen Roth
Was ist Geometrie?
Geometrie ist die Wissenschaft vom uns umgebenden Raum. • Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Viele
Jahrhunderte lang war Mathematik im wesentlichen Geometrie.• Zunächst war Geometrie einen (reinen) Naturwissenschaft.• Die alten Griechen entdeckten die Macht des Denkens:
Man kann durch reines Denken Erkenntnisse erzielen!• Das Denken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik:
Wenn die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben sind, dann gilt automatisch auch die Folgerung.
• Die Griechen entdeckten die Logik und damit auch die Möglichkeit der Mathematik.
• Im Mittelalter gab es den Ausdruck „more geometrico” („nach geometrischer Art”). Damit wurden Argumentationsketten bezeichnet, die streng logisch aufgebaut waren.
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Grundideen der (Elementar-)Geometrie
• Geometrische Formen und ihre Konstruktion im uns umgebenden dreidimensionalen Raum
• Operationen mit Formen
• Koordinaten
• Messen
• Muster / Strukturen
• Formen in der Umwelt und ihre Beziehungen mit Hilfe der Geometrie beschreiben
• Geometrisieren
• Begründen und Beweisen
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Warum Geometrie in der Grundschule?
• Fast jedes Denken, jede kognitive Kompetenz bedient sich visueller geometrischer Stützen.
• Fähigkeit, zur Umwelterschließung � vorwiegend geometrische
Struktur des Raumes
• Vorbereitung auf die Geometrie in den Sekundarstufen
• …
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Lehrplan Geometrie 1. Klasse
Raumerfahrung und -vorstellung• Lagebeziehungen am eigenen
Körper erfahren und erfassen.• Die Lage von Gegenständen
im Raum erfassen und beschreiben.
• Beziehungen von Gegenstän-den – zum eigenen Körper– zueinander
• Wege im Raum realisieren und beschreiben
• Begriffe der räumlichen Lage sicher gebrauchenoben – unten, über – unter – auf, hinten – vorne, hinter – vor, links (von) –rechts (von), zwischen – neben
Flächenformen• entdecken• untersuchen, beschreiben,
benennen und herstellen• nach selbst gefundenen und
vorgegebenen Kriterien vergleichen und klassifizieren
• Fachbegriffe:– Viereck, Rechteck, Quadrat– Dreieck– Kreis– *Drachen, Raute
• Figuren, Muster, Parkette und Ornamente aus geometrischen Grundformen zusammen-setzen und beschreiben
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Lehrplan Geometrie 2. Klasse
Raumerfahrung und -vorstellung• Die Lage von Gegenständen
im Raum erfassen und beschreiben– von verschiedenen
Standorten aus– aus der Vorstellung
• Wege im Raum beschreiben• Begriffe der räumlichen Lage
sicher gebrauchen
Flächen- und Körperformen• Mit Flächenformen handeln• Körperformen in der Umwelt
entdecken• Mit Körpermodellen handeln
Körpermodelle herstellen• Körperformen untersuchen,
beschreiben, benennen, nach selbst gefundenen und vorgegebenen Kriterien vergleichen und klassifizieren
• Fachbegriffe:– Würfel, Quader, Kugel– Ecke, Kante, Fläche
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Lehrplan Geometrie 3. KlasseFlächen- und Körperformen• Körperformen untersuchen,
beschreiben, vergleichen, klassifizieren und benennen und daran bekannte Flächenformen entdecken
• Körperformen in der Umwelt entdecken
• Der Würfel als geometrische Körperform
• Modelle herstellen• Eigenschaften an Modellen
erschließen (Ecken, Kanten, quadratische Flächen)
• Zusammenhang zwischen Netzen und Würfel konkret und in der Vorstellung erkunden
• Fachbegriffe:– Zylinder, Pyramide, Kegel– rechter Winkel
Raumerfahrung und -vorstellung• Grundrisse und Lagepläne lesen• Wege in Plänen beschreiben• Lageskizzen erstellenAchsensymmetrie• Eigenschaften symmetrischer
Figuren entdecken• Symmetrische Figuren
entdecken, erstellen, zeichnen und beschreiben
• Symmetrien in der Umwelt auffinden
• Fachbegriffe:– Symmetrieachse, – symmetrisch, deckungsgleich
Geometrische Figuren zeichnen• Strecken exakt messen und
zeichnen• Freihändig zeichnen
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Lehrplan Geometrie 4. Klasse
Raumerfahrung und -vorstellung• Karten, Lagepläne und Netzpläne lesen, Wege beschreiben• Einen einfachen Grundriss, Lageplan maßstabsgetreu erstellen• Maßstabsgetreue Grundrisszeichnungen, Pläne und Karten lesenFlächen- und Körperformen• Körperformen
– konkrete oder räumlich dargestellte Gegenstände und Körper von verschiedenen Seiten betrachten
– Flächendarstellungen von Gegenständen und Körpern dem Standort des Betrachters zuordnen
• Der Quader als geometrische Körperform– Modelle herstellen– Eigenschaften an Modellen erschließen; Würfel als
besonderen Quader erkennen (Ecken; Kanten; rechteckige bzw. quadratische Flächen)
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Lehrplan Geometrie 4. Klasse– aus der Abwicklung von Quadermodellen Netze erschließen;
verschiedene Netze finden– Quadernetze konkret und in der Vorstellung erproben– Kippbewegungen am Quader– Mit Einheitswürfeln bauen
• frei und nach Plan bauen• Körperinhalte handelnd und in der Vorstellung vergleichen
Symmetrie • Achsensymmetrische Figuren zeichnen • Einfache Figuren nach Vorschrift verschieben bzw. drehen• Eigenschaften der Drehsymmetrie entdecken• Drehsymmetrie in der Umwelt auffinden Geometrische Figuren zeichnen• Linien und Strecken zeichnen, abmessen• Mit Zeichendreieck und Zirkel zeichnen• Freihändig zeichnen
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4.2 Raumvorstellung –Räumliches Denken
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Raumvorstellung ist ein Intelligenzfaktor
Thurstone: Es gibt sieben Primärfaktoren der Intelligenz
1. Sprachverständnis
2. Wortflüssigkeit
3. Rechenfertigkeit
4. Wahrnehmungstempo
5. Räumliches Vorstellungsvermögen
6. Merkfähigkeit
7. Logisches Denken
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Komponenten des Räumlichen Denkens
Rechts-Links-Unterscheidung
Räumliche Orientierung
Personbefindet
sichinnerhalb
Räumliche WahrnehmungVorstellungsfähigkeit
von Rotationen
Räumliche BeziehungenVeranschaulichungPersonbefindet
sichaußerhalb
Statische DenkvorgängeRäumliche Relationen
am Objekt veränderlich;Relation der Person
zum Objekt veränderlich
DynamischeDenkvorgänge
Räumliche Relationenam Objekt veränderlich
Standpunkt der
Probanten
Maier (1999)
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.16 Jürgen Roth
Räumliche Wahrnehmung
Fähigkeit die Senkrechte und Waagrechte identifizieren, also räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper erfassen zu können.
Beispiel: Wasseroberfläche
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Veranschaulichung (räuml. Visualisierung)
Fähigkeit, sich gedanklich Aktivitäten wie Verschieben, Falten und Schneiden von räumlichen Objekten oder Objektteilen vorstellen zu können.
Beispiel:Welche Buchstaben des Schrägbilds entsprechen den Ziffern im Netz?
n vorsteellen zu könnnen.
staben dees ntsprechen Netz?
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Mentale Rotation
Fähigkeit, sich Rotationen von zwei- oder drei-dimensionalen Objekten vorstellen zu können.
Beispiel:Welche der vierFiguren (a – d)stimmen mit deroben links überein?
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Räumliche Beziehungen
Fähigkeit räumliche Konfigurationen von mehreren Objekten oder Objektteilen zu erfassen.
Beispiel: Drei der vier Schrägbilder zeigen den selben Würfel. Welches Bild zeigt einen anderen?
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Räumliche Orientierung
Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die Perspektive unter der etwas betrachtet wird, zu wechseln.
Beispiel: Ein Urlauber ist mit dem Boot von Westen kommend die Küste entlang-gefahren. In welcher Reihenfolge hat er die sechs Fotos aufgenommen?
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Visuelle Wahrnehmung
• Visuomotorische Koordination
• Figur-Grund-Diskriminierung
• Wahrnehmungskonstanz
• Wahrnehmung räumlicher Beziehungen
• Wahrnehmung der Raumlage
• Visuelle Unterscheidung
• Visuelles Gedächtnis
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Visuomotorische Koordination
Fähigkeit das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des eigenen Körpers zu koordinieren.
Beispiel:Zeichne nach!
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Figur-Grund-Diskriminierung
Fähigkeit aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren.Diese Fähigkeit benötigt man u. a. um sich auf einer Schulbuchseite zurechtzufinden oder einen Gegenstand aus einem Regal zu holen.
Beispiel: Färbe das Rechteck!
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.24 Jürgen Roth
Wahrnehmungskonstanz
Fähigkeit Figuren in verschiedenen Größen, Anord-nungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden.
Beispiel:
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Wahrnehmung räumlicher Beziehungen
Fähigkeit Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu erkennen und zu beschreiben.
Beispiel: Wo steht der Quader?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.26 Jürgen Roth
Wahrnehmung der Raumlage
Fähigkeit zum Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines Gegenstandes zum Standpunkt der Person, die diesen Gegenstand wahrnimmt.
Beispiele:1. Drei-Berge-Versuch von Piaget2.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.27 Jürgen Roth
Visuelle Unterscheidung
Fähigkeit nicht nur Gemeinsamkeiten sondern auch Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen.
Beispiele:1. Sortieren und Klassifizieren geometrischer Körper2.
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Visuelles Gedächtnis
Fähigkeit charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes vorstellungsmäßig auf andere präsente Objekte zu beziehen.
Beispiele:1. Würfelförmigen
Baustein suchen.2.
felförmigenfelförmigen stein suchenn.
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Kopfgeometrie
Eine Möglichkeit zur Förderung des räumlichenVorstellungsvermögens ist die Kopfgeometrie.
– Kopfgeometrie ist hilfsmittelfreie Geometrie,sie kommt ohne gegenständliche Modelle oderBilder aus.
– Nur Vorstellungen über geometrische Objekteund sprachlich formuliertes Wissen über siebilden das „Handwerkszeug” zum Lösen kopf-geometrischer Aufgaben.
– Die Aufgaben werden mündlich oder schriftlich(evtl. auch bildhaft oder handelnd) gestellt,aber nur im Kopf gelöst (ohne Papier & Blei-stift, Computer …)
– Die Ergebnisse werden mündlich oder schrift-lich dargestellt.
Senftleben_Erkundungen_zur_Kopfgeometrie
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Kopfgeometrie � Kopfrechnen
Kopfrechnen und Kopfgeometrie unterscheiden sich wesentlichen voneinander!
– Kopfrechnen:An elementaren Aufgaben werden Algorithmenabgearbeitet und automatisiert.
– Kopfgeometrie:Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopferfordert die Fähigkeit sich geometrischeGebilde vorstellen zu können, ihre Lage, ihreGröße und ihre Form zu variieren, sie zukombinieren und dabei das Wissen über sieanzuwenden.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.31 Jürgen Roth
Kopfgeometrie besteht aus drei Phasen
1. Phase: Vorstellung der Fragestellung• Sprache
• Sprache + Gestik
• Sprache + Bild bzw. Modell
2. Phase: Räumliches Vorstellen, Operieren im Kopf
3. Phase: Präsentation der Ergebnisse• Sprache
• Sprache + Gestik
• Sprache + Bild bzw. Modell
In Abhängigkeit von den Mitteln, die in der 1. und 3. Phase erlaubt sind ergibt sich einen Abfolge des Schwierigkeitsgrades.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.32 Jürgen Roth
Kopfgeometrie muss vorbereitet werden!
• PIAGET (1971): Das Denken basiert auf verinnerlichte Handlungen.
• Empirische Untersuchungen belegen: Der handlungsorientierteund experimentelle Einsatz von Modellen ist für die Entwicklungder Raumvorstellung im Geometrieunterricht äußerst wichtig ist.
• Durch sinnliche Wahrnehmungen entstehen Vorstellungsbilder,die auch ohne das Vorhandensein der realen Objekte verfügbarsind und gedanklich verändert werden können.
• Die Schüler sollten durch operative Aktivitäten auf niedrigererStufe (z. B. Arbeiten mit konkreten Materialien, Anfertigen vonZeichnungen, … ) ausreichend Gelegenheit zur Ausbildung undStärkung ihrer räumlichen Vorstellungen bekommen.
• Bei Vorstellungsproblemen sollte, auf die handelnde Ebene mitMaterialen zurückgegriffen werden.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.33 Jürgen Roth
Papierfalten (im Kopf)
Wie sieht das auf-gefaltete Papier nun aus?
Quadratfalten
einschneidenfalten
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Papierfalten (im Kopf)
Wie sieht das aufgefaltete Papier jeweils anschließend aus?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.35 Jürgen Roth
Papierfalten (im Kopf)
Lösungen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.36 Jürgen Roth
Methodische Anmerkungen
• Abstufung des Schwierigkeitsrades(bei „Faltaufgaben“ z. B. zunächst nur einmal falten)
• Bei Schwierigkeiten evtl. Kontrollinformationen anbieten von denen nur eine richtig ist.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.37 Jürgen Roth
Methodische Anmerkungen
• Kontrollfragen der Lehrerin– Wie viel Schichten Papier liegen nach dem Falten
übereinander?– Wo befinden sich beim zusammengefalteten Papier
• die Faltachsen?• die Ränder des aufgefalteten Blattes?
– Wie würde das aufgefaltete Blatt aussehen, wenn man nach dem Falten nur die Ecken abgeschnitten hätte?
• Vorstellungen konkretisieren– Beim vorgestellten Operieren die Augen schließen.
(Keine Ablenkung durch Umwelt bzw. statische Aufgabenstellungen.)– Vorstellend kinästhetisch arbeiten.
Z. B. ein imaginäres Blatt mit den Händen falten, Schnitte ausführen (z. B. durch deuten mit dem Zeigefinger auf die Schnittkanten).
Solche Vorstellungen helfen wirklich! Probieren Sie es aus.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.38 Jürgen Roth
Würfelschnitte
Lassen sich die Schnittflächen der geschnittenen Würfel mit einem Schnitt erzeugen?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.39 Jürgen Roth
Würfelschnitte - Lösungshinweis
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.40 Jürgen Roth
Würfelteile
Welche der acht Teile lassen sich zu einem Würfel zusammensetzen?
A – C; B – H; D – F; E – G
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.41 Jürgen Roth
Drei-Tafel-Bilder
Existiert der jeweilige Körper?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.42 Jürgen Roth
Verdecktes Viereck
Um welche Vierecke könnte es sich jeweils handeln?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.43 Jürgen Roth
Körperansichten
Aus welcher Richtung siehst du die Körper im linken Bild so?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.44 Jürgen Roth
Puzzle
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.45 Jürgen Roth
Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)
Topologische BeziehungenKategoriale Relationen• offen / geschlossen• verbunden / unverbunden• innen / außen• nah / fern …
Euklidische BeziehungenDistanzrelationen• Konstruktion von Linien• Figur, Körper• konstante Maßeinheit• Konstantes Bezugssystem
Projektive BeziehungenOrdnungsrelationen• A kommt vor B• X liegt rechts von Y …Relativität der Standpunkte
Präoperationale Phase(ca. 2 bis ca. 7 Jahre)
Konkret-operationale Phase(ab ca. 7 Jahre)
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Entwicklung des Räumlichen Denkens (Piaget)
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4.3 Begriffsbildung in der Geometrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.48 Jürgen Roth
Was ist ein Begriff?Begriffe
– sind die Bausteine menschlichen Wissens,– bezeichnen keinen Einzelobjekte sondern
charakterisieren eine ganze Klasse von Objekten,– können durch
• Konstruktion (genetische Definition), • Abstraktion (Konventionaldefinition) oder• Spezifikation aus einem Oberbegriff (Realdefinition)
gewonnen werden,– verdichten Informationen,– organisieren das Verhalten, – sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation, – beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und
das Problemlösen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.49 Jürgen Roth
Rolle von Begriffen
Leitbegriff eines Themenstrangs• Figur, Messen …
Schlüsselbegriff einer Unterrichtssequenz• Symmetrie, Vierecke …
Zentraler Begriff einer Unterrichtseinheit• Begriff, der in der Unterrichtseinheit erarbeitet wird.• rechter Winkel, Symmetrieachse …
Arbeitsbegriff• Benennung, um über Sachverhalte überhaupt
ohne Umschreibung sprechen zu können.• Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den
Gebrauch vertraut.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.50 Jürgen Roth
Stufen des Begriffsverständnisses
1. Intuitives Begriffsverständnis• Der Begriff als Phänomen.• Beispiele kennen.
2. Inhaltliches Begriffsverständnis• Der Begriff als Träger von Eigenschaften• Eigenschaften kennen.
3. Integriertes Begriffsverständnis• Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes• Beziehungen von Eigenschaften untereinander
und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen.
4. Formales Begriffsverständnis• Einbettung des Begriffs in einen
axiomatischen Aufbau der Geometrie.
Seiten
Rechteck
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.51 Jürgen Roth
Modelle langfristigen Begriffslernens
Lernen durch AnsammelnWeitgehend isolierte Einzelheiten.
Lernen als Ersteigen von StufenReflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens führt zu Wissen höherer Qualität. � Höhere Stufe(u. U. mehrere Stufen nacheinander)
Lernen durch ErweiterungNeue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim operieren mit den bisherigen Objekten stößt. � Vertrautes wird nun in neuem Licht gesehen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.52 Jürgen Roth
Begriffe als …
Quelle von ProblemstellungenUmkreis � Welche Polygone besitzen einen Umkreis?
Mittel zur Präzisierung von Problemstellungen„Wann sind Figuren ähnlich?“ � Ähnlichkeitsabbildung
Lösungshilfe für ProblemeDreieckskonstruktion � Ortslinie
Lösungen von ProblemenSchnittfläche beim Schneiden einer Wurst � Ellipse
Mittel zur Sicherung von ProblemlösungenWo liegen die Orte, von denen man eine Strecke unter einem rechten Winkel sieht? � Thaleskreis
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.53 Jürgen Roth
Verstehen eines Begriffs
Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie
• Bezeichnung des Begriffs kennen,
• Beispiele angeben und jeweils begründen können, warum es sich um ein Beispiel handelt,
• begründen können, weshalb etwas nicht unter einen Begriff fällt,
• charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,
• Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.54 Jürgen Roth
Erarbeiten eines Begriffs
• Erfahrungen zum Begriff sammeln• Handlungen (enaktive Repräsentation)
• Objekte darbieten• Beispiele für Begriffe
(ikonische Repräsentation)• Merkmale entdecken
• Prinzip der Variation• Prinzip des Kontrasts• Sprache (benennen, beschreiben)
• Definition erarbeiten• Charakterisierende Definition• Genetische Definition• Oberbegriff angeben• Definierende Eigenschaft � notwendige und
hinreichende Bedingung für den Begriff• Kritisch Reflektieren
• Definition durch möglichst „schwache“ Forderung• Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.55 Jürgen Roth
Unterrichtsphasen bei zentralen Begriffen
EinstiegIn einem geeigneten Problemkontext können ersten Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden.
ErarbeitungUmfang und Inhalt des Begriffs werden herausgearbeitet.
SicherungBeispiele und Gegenbeispiele helfen den Begriff gegen andere Begriffe abzugrenzen und die Existenzfrage zu klären.
VertiefungEs werden Querverbindungen zu anderen Begriffen hergestellt und Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachtet. (Z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften.)
Vertiefung & Sicherung � Verankerung in der kognitiven Struktur
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.56 Jürgen Roth
Einstieg: Wie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben?
Erarbeitung:
Ergebnisse:Tangente, Berührpunkt,Sekante, 2 Schnittpunkte,Passante, keine gem. Punkte.
Sicherung: Tangente zeichnen!
Vertiefung: Besitzt die Figur aus Kreis und Tangente eine Symmetrieachse?�Tangente steht senkrecht auf
dem Berührpunktradius.
Wie kann man die Tangentekonstruieren?
Beispiel: Tangente an einen Kreis
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.57 Jürgen Roth
M P
Vertiefung: Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P?Skizziere Sie!Wie kann man die Tangenten konstruieren?
Beispiel: Tangente an einen Kreis
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.58 Jürgen Roth
van-Hiele-Modell
Pierre und Dina van Hiele beschreiben fünf Denkebenen,die bei der Entwicklung des geometrischen Denkens durch-laufen werden.
0. Niveaustufe: Anschauungsgebundenes Denken
1. Niveaustufe: Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen
2. Niveaustufe: Erstes Ableiten und Schließen
3. Niveaustufe: Geometrisches Schließen / Deduktion
4. Niveaustufe: Strenge, abstrakte Geometrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.59 Jürgen Roth
0. Anschauungsgebundenes Denken
• Räumliche Beziehungen werden nur in der unmittelbaren Umgebung von den Schülern erfasst.
• Geometrische Figuren werden als Ganzheiten gesehen, Einzelheiten oder Eigenschaften werden noch nicht erfasst.
• Geometrische Bezeichnungen bzw. Namen können gelernt werden und anschauliche Unterscheidungen zwischen ebenen Figuren oder Körperformen sind möglich, ohne dass spezifische Eigenschaften miteinander verglichen werden.
• Auf dieser Stufe ist das geometrische Arbeiten weitgehend material-gebunden.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.60 Jürgen Roth
1. Analysieren geom. Figuren & Beziehungen
• Durch Handlungserfahrungen und genaueres Betrachten können Schüler Einzelaspekte geometrischer Figuren unterscheiden und feinere Klasseneinteilungen vornehmen (z. B. zwischen den Dreiecksformen).
• Beziehungen zwischen Figuren (z. B. Rechteck - Quadrat) und Eigenschaften oder Größen (z.B. Umfang - Flächeninhalt) sind noch nicht einsehbar.
• Beispiele: – Geometrische Figuren
durch Aufzählen ihrer Eigenschaften beschreiben.
– Spiegelachsen in Figuren durch Falten, Legen u. a. herstellen bzw. bestimmen.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.61 Jürgen Roth
2. Erstes Ableiten und Schließen
• Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und den Eigenschaften verwandter Figuren können erkannt werden.
• Es sind Klasseninklusionen möglich und geometrische Definitionen verständlich.
• Dieses Verständnis erwächst aus experimentellen Erfahrungen, nicht über geometrische Axiome.
• Beispiele:– Vergleich der Eigenschaften von Quadrat und Rechteck.
� Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.– Bewusstes Verändern von Viereckformen am Geobrett.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.62 Jürgen Roth
3. Geometrisches Schließen/ Deduktion
• Diese und die nächste Niveaustufe sind für das Geometrie-lernen im Grundschulalter nicht mehr relevant!
• Schlussfolgerungen als Grundlagen eines geometrischen Systems werden verstanden und angewandt.
• Zwischen geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen, Beweisen u. a. kann unterschieden werden.
4. Strenge, abstrakte Geometrie
• Arbeiten in einem Axiomensystem und Vergleichen bzgl. verschiedener geometrischer Theorien.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.63 Jürgen Roth
van-Hiele-Modell Schlussbemerkungen
• Von besonderer Bedeutung auf den ersten Stufen des geometrischen Denkens ist für die VAN HIELES das Sammeln von Erkenntnissen über Handlungserfahrungen mit konkreten Materialien.
• Falten, Schneiden, Auslegen, Zerlegen, Kleben, Bemalen, Pflastern, Einpassen usw.
• Dabei kommt es darauf an, dass diese Materialien nicht einfach nur Spielzeuge sind, sondern dass die Schüler damit denkend handeln.
• Achtung: – Das Denkniveau ist Kontext- und Aufgabenabhängig!– Eine Zuordnung zu Klassenstufen ist nicht möglich!– Anforderungen müssen dem aktuellen Denkniveau
der Schülerinnen und Schüler angepasst werden!
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.64 Jürgen Roth
4.4 Geometrische Kompetenzen bei Grundschülern
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.65 Jürgen Roth
Test zu den Geometrischen Fähigkeiten
Richtige Lösungen:
CZ D
97 % 98 %
Richtige Lösungen:
CZ D
68 % 18 %
2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.66 Jürgen Roth
Test zu den Geometrischen Fähigkeiten
Richtige Lösungen:
CZ D
95 % 82 %
Richtige Lösungen:
CZ D
73 % 55 %
2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.67 Jürgen Roth
Test zu den Geometrischen Fähigkeiten
Richtige Lösungen:
CZ D
66 % 57 %
Richtige Lösungen:
CZ D
44 % 44 %
2 Wochen nach Beginn des 1. Schuljahres
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.68 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.69 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.70 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.71 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.72 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.73 Jürgen Roth
TIMSS-Grundschule3./4. Klasse
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.74 Jürgen Roth
4.5 Räumliche Objekte
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.75 Jürgen Roth
Die Umwelt ist dreidimensionalen!
• im Raum– an Grenzen Stoßen (Ecken, Kanten, …)
• außerhalb geschlossener Räume– vieles wird nur in Teilen erfasst
• Objekte als Ganzes– geometrische Körperformen– vielfältige Aktivitäten– Eigenschaften analysieren
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.76 Jürgen Roth
Körperansichten
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.77 Jürgen Roth
Wer sieht was?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.78 Jürgen Roth
Schloss Neuschwanstein
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.79 Jürgen Roth
Schloss Neuschwanstein
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.80 Jürgen Roth
Karten lesen und herstellen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.81 Jürgen Roth
Geostadt
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.82 Jürgen Roth
Karte lesen – Orientierung im Raum
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.83 Jürgen Roth
Karte lesen – Orientierung im Raum
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.84 Jürgen Roth
Aktivitäten
• Körperformen bauen– mit heterogenem Material– mit homogenem Material
• Körperformen ordnen und sortieren(Modelle, Gebrauchsgegenstände, Bilder, …)– kategoriesuchend– kategoriegeleitet
Mögliche Vorgaben:• Modell oder Abbildung als Prototyp • Begriffswort und /oder klassenbildende Merkmale
Form / Anzahl der Flächen, Größe (Länge der Kanten), Anzahl der Ecken, Größe der Winkel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.85 Jürgen Roth
Mit Würfeln bauen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.86 Jürgen Roth
Mit Würfeln bauen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.87 Jürgen Roth
Mit Würfeln bauen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.88 Jürgen Roth
Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.89 Jürgen Roth
Würfel, Quader (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel)
• Herstellen– Vollkörper
(Kartoffel, Holzstab, Knet, Styropor)– Kantenmodell
(Knetkugeln & Zahnstocher, Trinkhalme und Pfeifenputzer,Papier)
– Flächenmodell(Aus Würfelnetzen: Vom Netz
zum Würfel & umgekehrt!)– Erkennen von Würfelnetzen– Würfelschnitte– Netz � Schrägbild
• Schrägbilder– Schatten eines Kantenmodells
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.90 Jürgen Roth
Vollkörperwürfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.91 Jürgen Roth
Soma-Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.92 Jürgen Roth
Würfel – Flächenmodell - Netz
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.93 Jürgen Roth
Würfelnetze?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.94 Jürgen Roth
Würfelnetze?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.95 Jürgen Roth
Quader und Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.96 Jürgen Roth
Quader und Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.97 Jürgen Roth
Quader und Würfel
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.98 Jürgen Roth
Quader
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.99 Jürgen Roth
Quader
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.100 Jürgen Roth
Schatten eines Kantenmodells
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.101 Jürgen Roth
Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.102 Jürgen Roth
Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.103 Jürgen Roth
Körperformen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.104 Jürgen Roth
Platonische Körper
Tetraeder
Hexaeder
Oktaeder
Ikosaeder
Dodekaeder
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.105 Jürgen Roth
Platonische Körper
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.106 Jürgen Roth
Platonische Körper
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.107 Jürgen Roth
4.6 Ebene Figuren
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.108 Jürgen Roth
Aktivitäten
• Legen• freies Legen, Legen nach Vorgabe• Auslegen, Umlegen vorgegebener Teile
– Material• heterogen (Postkartenpuzzle, Tangram)• homogen
(identische Quadrate � alle Zwillinge, Drillinge, …)
• Falten– Grundtechniken, – ebene (und räumliche) Objekte, – Faltbücher/-poster
• Spannen am Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.109 Jürgen Roth
Legen und Zeichnen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.110 Jürgen Roth
Legen mit Quadraten
Bau diese neun Formen aus Quadraten nach.
Welche Formen sind Vierlinge, Drillinge, Zwillinge?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.111 Jürgen Roth
Legen mit Quadraten
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.112 Jürgen Roth
Tangram
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.113 Jürgen Roth
Tangram
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.114 Jürgen Roth
Tangram
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.115 Jürgen Roth
Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.116 Jürgen Roth
Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.117 Jürgen Roth
Geobrett
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.118 Jürgen Roth
Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.119 Jürgen Roth
Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.120 Jürgen Roth
Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.121 Jürgen Roth
Regelmäßige Vielecke – Zeichenuhr
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.122 Jürgen Roth
Ähnlichkeit
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.123 Jürgen Roth
Ähnlichkeit
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.124 Jürgen Roth
4.7 Symmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.125 Jürgen Roth
Symmetrie in der Umwelt
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.126 Jürgen Roth
M. C. Escher
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.127 Jürgen Roth
M. C. Escher
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.128 Jürgen Roth
M. C. Escher
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.129 Jürgen Roth
Achsensymmetrie - Spiegeln
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.130 Jürgen Roth
Achsensymmetrie - Spiegeln
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.131 Jürgen Roth
Achsensymmetrie - Spiegeln
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.132 Jürgen Roth
Spiegelbuch
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.133 Jürgen Roth
Spiegelbuch
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.134 Jürgen Roth
Drehsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.135 Jürgen Roth
Drehsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.136 Jürgen Roth
Drehsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.137 Jürgen Roth
Verschieben, Spiegeln, Drehen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.138 Jürgen Roth
Spiegelsymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.139 Jürgen Roth
Verschiebungssymmetrie
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.140 Jürgen Roth
Verschieben, Spiegeln, Drehen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.141 Jürgen Roth
Parkettierung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.142 Jürgen Roth
Parkettierung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.143 Jürgen Roth
4.8 Messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.144 Jürgen Roth
Stufen bei der Behandlung von Größen
1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln
2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten
3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter Maßeinheiten
– ein drittes Objekt als Vermittler benutzen– ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen
4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten
5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten
6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen
7. Stufe: Rechnen mit Größen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.145 Jürgen Roth
Messen und Zeichnen
Zeichne Strecken von 3 cm, 5 cm, 6 cm und 9 cm Länge.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.146 Jürgen Roth
Längen messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.147 Jürgen Roth
Längen messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.148 Jürgen Roth
Flächen messen
Wie viele Meterfliesen (Quadratmeter) passen ungefähr in das Klassenzimmer?
Wie viele Kinder können sich bequem auf eine Meterfliese stellen?
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.149 Jürgen Roth
Flächen messen
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.150 Jürgen Roth
Seitenlängenaus R+
Zerlegungs-gleichheit
Ergänzungs-gleichheit
Flächen-messung
Flächen-vergleich
Axiome des Flächeninhalts
Themenkreis Flächeninhalt
Flächeninhalt?!
Seitenlängenaus N
Seitenlängenaus Q+
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.151 Jürgen Roth
Axiome des Flächeninhalts
1. Nichtnegativität:Die Maßzahl A des Flächeninhalts ist nicht negativ.
A � 0
2. Normierung:Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE hat den Flächeninhalt
A � 1 LE2.
3. Additivität:Der Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe derFlächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegtwerden kann.
�j �k j � k � Fj � Fk � �
� A(F) � A(F1 … Fn) � A(F1) … A(Fn)
4. Kongruenzaxiom:Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.152 Jürgen Roth
Rechtecksflächeninhalt
1 LE²
a
bFlächenmessung:
� Auslegen mitEinheitsquadraten.
� b Reihen, zu je aEinheitsquadraten.
� A = a ·b
(a,b � N)
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.153 Jürgen Roth
+�Qsr,q
p
Rechtecksflächeninhalt
Flächenmessung:
� Auslegen mit Teilquadraten des Einheitsquadrates.
� p·s Reihen, zu je r·q Teilquadraten.
qp
sr
q sp r( , � Q+)
·s·s
·q·q
Zerlegung des Einheits-quadrates in (qs)² Teil-quadrate des Flächeninhalts : (q·s)²
1 LE²
sr
qp ��
sqrp��
�sqsqqrsp������
� �sq
12�
�qr �� �sp ��A��
1
1
qs Teil-strecken
qs Teil-strecken
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.154 Jürgen Roth
Rechtecksflächeninhalt (a,b � R)
a1 a2
a3a4
A1A2
A3A4
a
B1B2B3
B4
b1
b2b3
b4b
�Qnnnn B,A,b,amit
� �� �� nn A;aa� �� �� nn B;bb
� �� �nn A;a� nb nB� abist eine Intervallschachtelungfür den Flächeninhalt.
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.155 Jürgen Roth
Flächeninhaltsbestimmung
Rechteck
Dreieck
Polygon
Kreis
• Flächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten (bzw. Intervall-schachtelung)
• Flächenvergleich mit dem Rechteck
• Triangulierung (Einteilen in Dreiecke)
• Intervall-schachtelung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.156 Jürgen Roth
Kreisinhaltsbestimmung
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.157 Jürgen Roth
Fläche eines Kontinents (Antarktika)
Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.
(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe0
200 400 600 8001000
Kilometer
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.158 Jürgen Roth
Idee: „Auslegen“ mit einer Einheitsfläche
0200 400 600 800
1000
Kilometer
Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.
(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe
Fläche mit Schelfeistafeln:13 975 000 km2
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.159 Jürgen Roth
Parallelogramm
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.160 Jürgen Roth
A B
CD EF
Parallelogramm
Parallelogrammflächen, die in der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstim-men sind zerlegungsgleich.
Beweisidee: �ADF ~ �BCE
A B
CDEF
Voraussetzung: [CD] � [EF] � �
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.161 Jürgen Roth
Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez
Didaktik der Grundschulmathematik II WS 2004/05 4.162 Jürgen Roth
Volumen messen (Größenvorstellung)