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8/13/2019 Diapositivas Resistencia de Materiales II
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Mg. Flix Gilberto
Prrigo Sarmiento
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Clculo de Deformaciones ( Desplazamientos y Giros)Estructuras Isostticas e Hiperestticas.
- Mtodos : lnea o curva elstica, rea de mtodos y vigaconjugada.
Energa de Deformacin o Mtodo Energtico:
- Mtodo de trabajos virtuales.
- 1 teorema de Castigliano.
Mtodo de las Fuerzas.
Estructuras Hiperestticas: Vigas y Prticos en estructuras sinAcartelamiento y con Acartelamiento:
- Ecuacin de 3 momentos y Mtodo de Hordy Cross
Columnas.
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BIBLIOGRAFA
LOS SIETE RUSOSEditorial MIR , Mosc.
SIMN TIMOSHENKO.
FEODOSIEV. SINGER.
HIBELER.
ANLISIS ESTRUCTURAL DE BIAGGIO ARBUL.
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DEFORMACIONES
(DESPLAZAMIENTOS OGIROS) :
ESTRUCTURASESTATICAMENTE
DETERMINADAS
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1) Mtodo de la Curva Elstica o de Doble Integracin
Cuando las cargas son
simtricasla flecha mx. es en elcentro
CURVA ELASTICA
d
R
l
L l
R/l = (R+y)/(l+El)
R/(R+y) = l/(l+El)
1/(1+y/R) = 1/(1+E)
1+y/R = 1+E
E = y/R (1)
Del clculo diferencial:
R = [1+(y/x)]3 2 2)y/x = 0ngulo pequeo
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Remplazando:
R = 1/(y/x) (2`)
(2) en (1) E = (y/1)/( y/x) (3)
E = /E (4)
= (My)/I (5)(5) en (4)
E = (My)/(EI) (6)
(3) en (6) (y/1)/(y/x) = (My)/(EI)
Ec. de laCurva
Elstica:
( y/x ) = M/EI
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Calcular la ecuacin de la pendiente (giro) y deldesplazamiento; as como la flecha mx.. En lasiguiente viga.
P/2 P/2
L
PL/2
x 0 x L/2
Mx = (P/2)(x)Aplicando la ec. de
la Curva Elstica:
(y/x) = M/EI
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Remplazando: (y/x) = (P/2)(x)/(EI)
Integrando: (y/x) = (Px)/(4EI) + C1
Condiciones de Borde o Frontera
`
Si: x = 0 y = 0
Si: x = 0 y/x 0
Si: x = L y = 0Si: x = L y/x 0
y mx.
Si: x = L/2 y = y mx.
Si: x = L/2 y/x = 0
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Entonces para x = L/2 y/x = 0
C1 = -(PL)/(16EI)
Reemplazando:
(y/x) = (Px)/(4EI) - (PLx)/(16EI)
Integrando nuevamente:
y = (Px )/(12EI) - (PLx)/(16EI) + C2
Si x = 0 y = 0 C2= 0
Reemplazando:
y = (Px )/(12EI) - (PLx)/(16EI)
Para x = L/2 ; y = y mx.
Y mx = P(L/2) /(12EI) - PL(L/2)/(16EI)
Y mx = (PL )/(48EI)
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Calcular las ecuaciones de la pendiente,desplazamiento y flecha mx. de la siguiente viga
x
L
L/2 L/20 x LMx = (L/2)(x) - (x)(x/2) = (Lx)/(2) - (x/2)Aplicando la ec. de la Curva Elstica:
(y/x) = M/EI
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Remplazando:
(y/x) = [(Lx/2) - (x/2)]/(EI)
Integrando:
(y/x) = Lx/(4EI) - x/6EI) + C
1
Entonces para x = L/2 y/x = 0
C1 = -L(L/2)/(4EI) + (L/2)/(6EI) = - L/(24EI)
Reemplazando:
(y/x) = (Lx)/(4EI) - (x)/6EI) - L/(24EI)Integrando nuevamente:
y = Lx/(12EI) - x4/(24EI) - Lx/(24EI) + C2
Si x = 0 y = 0 C2= 0
Reemplazando: y = Lx/(12EI) - x4/(24EI) - Lx/(24EI)
Para x = L/2 ; y = y mx.
Y mx = L(L/2)/(12EI) - (L/2)4/(24EI) - L(L/2)/(24EI)
Y mx = = (5/384) [L4/(EI)]
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Determinar la ecuacin de la pendiente y la flecha enla siguiente estructura.
P PL
PPa a
x
x 0 x L
Mx = Px
Aplicando la ec. de la
Curva Elstica:(y/x) = M/EI
R l d
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Remplazando:
(y/x) = Px/(EI)
Integrando:
(y/x) = Px/2EI) + C1
... (1)
Integrando nuevamente:
y = Px/(6EI) + C1x + C2
Si x = 0 y = 0 C2= 0
Reemplazando: y = Px/(6EI) + C1x (2)
Para a x L - a
Mx = PxP (x-a) = Pa
Aplicando la ec. De la Curva Elstica: (y/x) = Pa/(EI)
Integrando:
(y/x) = Pax/(EI) + C3
Entonces para x = L/2 y/x = 0
/ ) P (L/2)/(EI) C
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(y/x) = Pa(L/2)/(EI) + C3C3 = -PaL/(2EI)
Reemplazando:
(y/x) = Pax/(EI) - PaL/(2EI) ...(3)
Integrando nuevamente:
y = Pax /(2EI) - PaLx/(2EI) + C4 ...(4)
Entonces para x = a y/x en (4) y (3) son iguales:En (1): (y/x) = Pa/(2EI) + C1... (1`)
En (3): (y/x) = Pa/(EI) - PaL/(2EI) ...(3)
(1`) = (3`) : Pa/(2EI) + C1= Pa/(EI) - PaL/(2EI)C1= Pa/(2EI) - PaL/(2EI)
Reemplazando el valor de C1 en (1):
(y/x) = Px/(2EI) + Pa/(2EI) - PaL/(2EI)
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Entonces para x = a y es la misma:
En (2): y = Pa3/(6EI) + Pa3/(2EI) - PaL/(2EI)... (2`)
En (4): y = Pa3/(2EI) - PaL/(2EI) + C4 ...(4)
(2`) = (4`) : C4= Pa3/(6EI)
Reemplazando en (4):
y = Pax/(2EI) - PaLx/(2EI) + Pa3/(6EI)
Ecuaciones Finales:
Cuando: 0 x a:
(y/x) = Px/(2EI) + Pa/(2EI) - PaL/(2EI)
y = Px3/(6EI) + Pa/(2EI) - PaL/(2EI)Cuando: a x L - a:
(y/x) = Pax/(2EI) - PaL/(2EI)
y = Pax/(2EI) - PaLx/(2EI) + Pa3/(6EI)
i l i d l di l
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Determinar la ecuacin de la pendiente y elgiro de la siguiente viga:
q = sen (x/L)V/x = -q
(y/x) = M/(EI)
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V/x = - sen (x/L)
Integrando:
V = (L/).cos(x/L) + C1
Integrando nuevamente:
M = -L/().sen(x/L) + C1x
+ C
2
Si x = 0 M = 0 C2= 0Si x = L M = 0 C
1= 0
Integrando:
y/x = -(1/EI).L/(). sen(x/L) C3x+ C4Si x = 0 y = 0 C
4= 0
Si x = L y = 0 C3= 0
y= - 1/EI).L4/ 4). sen x/L)
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1 Teorema de Mohr: El ngulo
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A B
M N
x
Cg
M/(EI)
1 Teorema de Mohr:El nguloque forma las tangentes en 2 puntosde la curva elstica es igual aldiagrama M/(EI) entre estos dos
puntos:
2 Teorema de Mohr:Ladistancia de un punto B de la elsticaa otro punto A de la elstica es igualal momento esttico del rea deldiagrama M/(EI), entre estos 2
puntos con respecto al punto B. Ladistancia se mide sobre la vertical ala posicin de la viga horizontal.
= (1/EI).Mxx
tAB = x M/(EI)xAB
E t l d l i t ti l l i
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Encontrar el desplazamiento vertical y el giro enel punto de aplicacin de la carga de la viga que
se indica en la figura; EI = constante.
a bP
A BC
L
Diagrama M/(EI)x = a/3 x = 2b/3
Pab/(LEI)
RB =Pa/LRA =Pb/L
A BC
A c
B
ATangentede C
Tangente
de A
Z
CACA
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C = ? C= CAA ... (1)
C = ? C= Z CA ... (2) Clculo de CA
CA = 1/2 . Pab/(LEI).a = Pa2b/(2LEI) ... (3)
A = tg A = BA/L ... (4)
Clculo de BA:
BA= 1/2 . Pab/(LEI).a . (a/3 + b) + 1/2. Pab/(LEI).b . 2/3 . b BA= Pab/(6LEI).[(a
2+ 3ab) + 2b2)]
BA= Pab/(6LEI).[(a2+ 2ab + b2) + (ab + b2)]
BA= Pab/(6LEI).[(a + b)2+ b(a + b)] BA= Pab/(6LEI).(L
2+ Lb) = Pab/(6EI) . (L + b)... (5)
Reemplazando (5) en (4):
A = Pab/(6LEI) . (L + b)... (6)
( ) ( ) ( )
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(3) y (6) en (1):C= Pa
2b/(2LEI) - Pab/(6EI) . (L + b)C= Pab/(6LEI) (3 + L - b)
Clculo de Z:Z = a . A ... (7)tg A= A= Z/A
(6) en (7):Z = Pa2b/(6LEI) (1 + b) ... (8)Clculo de CA(2 teorema de Mohr):CA= . Pa
2b/(LEI).(a/3)CA= Pa3b/(6LEI) ...(9)Reemplazando (8) y (9) en (2):C= Pa
2b/(6LEI).(L+b)Pa3b/(6LEI)
C= Pa2b/(6LEI).(L + ba)
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AREA DE MOMENTO
CG. h
cL
X = 1/3 (L+c)
A = L.h
CG. h
X = 3/8 . LL
A = 2/3 L.h
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CG.h
L
X = 1/4 . L
A = 1/3 L.h
A = 1/4 L.h
CG.h
L
X = 1/5 . L
Parabola de Grado n: A =L.h. 1/(n+1) y x = L. 1/(n+2)
P l i t l fi l l l
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Para la viga que se muestra en la figura, calcular lamagnitud de la fuerza P en funcin de L para quela deflexin sea cero en el punto A, si EI = constante
2L2P
L 2L
3PL/EI
2L2/EI( - )
( + ) 2L2/EI
A ( PL/(EI) 2L L 2PL/EI 2L 2/3 2L) ( 1/3
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A = (-PL/(EI) . 2L.L. 2PL/EI . 2L . 2/3.2L) + (- 1/3 .2L2/(EI) . 2L . . 2L) + (2L2/(EI) . 2L.L) = 0
14 PL3/3 = 2L4 P = 3L/4
B = (1/2 . 3PL/(EI) . 3L . 2/3 . 3L) + (- 1/3 . 2L2/(EI) .2L . ( . 2L + L)) - (2L2/(EI) . 2L. (L+ L) = 0
B = -9PL3/(EI) + 14/3 . L4/(EI)
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METODO DE LA VIGA
CONJUGADA
METODO DE LA VIGA CONJUGADA
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METODO DE LA VIGA CONJUGADA
Este mtodo supone una viga ficticia
denominada viga conjugada que tiene la mismalongitud real pero con apoyos tales si la vigaconjugada se carga con el diagrama M/EI de la
viga real , la fuerza cortante de la vigaconjugada en una seccin cualquiera es igual ala pendiente de la tangente en ese punto y el
momento flexinate de la viga conjugada en unpunto cualquiera es el desplazamiento de esepunto en la viga real.
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VIGA REAL VIGA CONJUGADA
-GIRO (A)-DESPLAZAMIENTO
-CORTANTE (VA)-MOMENTO (MA)
Pab/LEI
P
a b
L
A B
RA =Pa/L RB=Pb/L
APOYOS EN LA VIGA CONJUGADA
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APOYOS EN LA VIGA CONJUGADA
Para que se cumplan las dos proposicionesindicada s en vigas reales , la viga conjugadacorrespondiente debe incluir apoyos que sean
congruentes en los tipos de deformacioneslineal y angular que sufrir la viga real.
A B C
VIGA REAL
b ca
VIGA CONJUGADA
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El empotramiento de la viga real indica que no hay giro sidesplazamiento, luego en la viga conjugada no hay cortante nimomento flexinate luego se trata de un extremo libre o en
voladizo (a).
En el apoyo simple (c) no hay desplazamiento; pero si haygiro en la viga real y por lo tanto en la viga conjugada no hay
momento pero si cortante .
En(b) existe una articulacin intermedia en la viga real, haydesplazamiento y puede haber discontinuidad en la
pendiente. Por lo que en la viga conjugada hay cortante y senecesita una viga continua para resistir momento flexionante,por lo tanto una articulacin intermedia en la viga realcorresponde a un apoyo simple interior en la viga conjugada .
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Problema N 1 :Encontrar los giros y los desplazamientos en los
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2
P
P
h
21 34.5Ph
1.5h
CG
CGCG
Problema N 1 :Encontrar los giros y los desplazamientos en lospuntos 1,2y3 de la viga mostrada en la figura EI=constante
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-1 CALCULAMOS LOS GIROS:2.5Ph+2Ph= 4.5Ph 1=0 2 =
2 =
3= x1.5- x1.5h =-4.125
2 CALCULAMOS LOS DESPLAZAMIENTOS:
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2 CALCULAMOS LOS DESPLAZAMIENTOS:
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VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADASO VIGAS HIPERESTATICAS
Determinar los momentos de empotramiento en la vigasiguiente:
P
A Ba b
L
MA MB
RA RB
GRADO DE HIPERESTATICIDAD (G.H.)=4-2=2
3HIPOTESIS DE CARGA2HIPOTESIS DE CARGA
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BA A B
MA
BA A B
MB
TANGENTE DE ATANGENTE DE B
AB
A B
P
CG CGCG
3HIPOTESIS DE CARGA2HIPOTESIS DE CARGA1HIPOTESIS DE CARGA
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ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
A= A +A+A=0A=A+A ------------------A
B= B +B+B=0
B=B+B-------------------B
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CALCULO DE DEFORMACIONES
PRIMERA HIPOTESIS DE CARGA
CALCULO DeA:
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REMPLAZANDO 2Y1
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CALCULO DeB :
REMPLAZANDO 5Y4
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SEGUNDA HIPOTESIS DE CARGA
CALCULO DeA Y B :
REMPLAZANDO 7Y8
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REEMPLAZANDO 10 Y 11
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TERCERA HIPOTESIS DE CARGA
CALCULO DeA Y B :
REEMPLAZANDO 13Y14
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REEMPLAZANDO 16Y17
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REEMPLAZANDO EXPRESIONES
RESOLVIENDO A Y B
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METODO DE
TRABAJO
VIRTUAL
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METODO DE TRABAJO VIRTUAL(DETERMINAMOS DESPLAZAMIENTOS)
P2
P3
P4
P1
Pn
ESTRUCTURAS DE
CARGAS REALES
1
ESTRUCTURAS DE
CARGAS UNITARIAS
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1.ARMADURAS:
4
23
5 61
P P
u1=1
4
23
5 61
P P
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ELEMENTO Li Si u1 A Su1L/A
1-22-3
...
S=estructura con cargas realesU1=estructura con carga unitaria enel punto donde se desea calcular el
2 ELEMENTOS DE ALMA LLENA:
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2.ELEMENTOS DE ALMA LLENA:
2.1 FLEXION :
WL
1XX/21.5X
X
M m
ESTRUCTURAS CON CARGAS REALES ESTRUCTURAS CON CARGAS UNITARIA
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2.2.CORTANTE:
2.3.TORSION:
2.4.AXIAL:
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TEOREMA DE
CASTIGLIANO
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TEOREMA DE CASTIGLIANO
P2
P3
P4
P1
Pu
Las derivadas parciales del trabajo de la derivada del a deformacin
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elstica , expresado en funcin de las fuerzas exteriores respecto a unade estas fuerzas igual al desplazamiento de su punto de aplicacin ,medio en la direccin y sentido de la fuerza
POR FLEXION:
REEMPLAZANDO:
POR CORTANTE
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POR CORTANTE:
POR TORSION
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POR TORSION:
POR TRACCION O COMPRESION (CARGA AXIAL)
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POR TRACCION O COMPRESION (CARGA AXIAL)
TEOREMA DE METODO DE TRABAJO
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CASTIGLIANOMETODO DE TRABAJO
VIRTUAL
METODO DE LAS FUERZAS
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METODO DE LAS FUERZAS
Se aplica a estructuras rectanguladas hiperestticos(armaduras) y para elementos de lama llena (estructurascontinuas , aporticos ,etc.)
ARMADURAS O ESTRUCTURAS RECTICULADAS HIPERESTATICAS
1. HIPERESTATICIDAD EXTERNA2. HIPERESTATICIDAD INTERNA
3. HIPERESTATICIDAD EXTERNA E INTERNA
1 ARMADURAS HIPERSTATICAS EXTERNAMENTE
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1.ARMADURAS HIPERSTATICAS EXTERNAMENTE
P3P1 P2
1
43
2
567
GH=4-3=1 (INCOGNITAS REDUNDANTES) SIGNIFAQUE HAY QUE PALNEAR UNA ECUACION ADICIONA ALAS DEL EQUILIBRIO ESTATICO EN BASE A LAS
DEFORMACIONES.
P3P1 P2 43
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P3P1 P2
1
432
567
R7
(Si)= ESTRUCTURA HIPERESTATICA
+
1
(u)=UNITARIA(S0)= ESTRUCTURA ISOSTTICACON CARGAS REALES
ECUACION DE COMPATIBILIDAD
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+ ECUACION DE COMPATIBILIDAD :
Si=S0+R7u
Si=S0+R1u1+R2u2+. +Rnun
ECUACION DE DEFORMACION
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+ ECUACION DE DEFORMACION :
PARA EL CASO PARTICULAR:
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ECUACION DE COMPATIBILIDAD :
Si=S0+R7u
Remplazando Si en
1.ARMADURAS HIPERSTATICAS INTERNAMENTE
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1.ARMADURAS HIPERSTATICAS INTERNAMENTE
A
C
B
D
=
A
C
B
D
1
1
=
A
C
B
D
A
C
B
D
X
X
u
Si
S0 GENERALIZANDO :
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GENERALIZANDO :
PARA EL CASO PARTICULAR:
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Si=S0+Xu
FACTORES DE FORMA FACTORES DE CARGA Y GIROS EN
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FACTORES DE FORMA FACTORES DE CARGA Y GIROS ENELEMENTOS DE SECCION VARIABLE
ACARTELAMIENTO RECTO ACARTELAMIENTO PARABOLICO
hci j
li
L L
li
hchi
hi5 6
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ACARTELAMIENTOS RECTOS ACARTELAMIENTOS PARABOLICOS
hc hc
L liliL
7 8
hihihihi
I CALCULO DE LOS FACTORES DE FORMA DE 1 ESPECIE
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I.CALCULO DE LOS FACTORES DE FORMA DE 1 ESPECIE
I.1.ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE :
I.2.ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE :
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Ai B
Giro unitario 1
i j
II. CALCULO DE LSO FACTORES DE
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FORMA DE 2 ESPECIE
II.1.ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE
II.2.ELEMENTOS DE SECCION VERIABLE
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i j
9 10
ji
j
Li=Li Li=L j
11 12
ii
Li=L jLi=Li
j
TABLA 11 Y 12 : ENCIMA
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TABLA 11 Y 12 :
TABLA 9Y 10 :
ENCIMA
ENCIMA
DEBAJO
DEBAJO
EN MEDIO
III.CALCULO DE LOS FACTORES DE CARGA DE
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1 ESPECIE
III.1.ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE
III.2.ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE:
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III.2.1 CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA
j
Li=Li Li=L j
1516
ii
Li=L jLi=Li
j
W W
i j
13 14
ji
W W
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III 2 2CARGA UNIFORMEMENTE CONCENTRADA
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III.2.2CARGA UNIFORMEMENTE CONCENTRADA
i j
17 18
jiP PE LE L
Li
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j
19
20
ii
Li
j
PPE L
E L
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83/114
j
Li=Li Li=L j
23 24
ii
Li=L jLi=Li
j
W W
IV.2. CARGA UNIFORMEMENTE CONCENTRADA:
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ij
25 26
ji
P PE L E L
Li
j
2728
ii
Li
j
PPE L
E L
ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS
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i j k
i j
kj
F
CALCULAR LOS MOMETOS
EN LOS APOYOS
I. PARA LAS VIGAS CON TRAMOS DE SECCION CONSATANTE
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I. PARA LAS VIGAS CON TRAMOS DE SECCION CONSATANTE
II. PARA LAS VIGAS CON TRAMOS DE SECCION VARIABLE
O empleando puntos de forma , de carga reducida
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RESOLVER LA VIGA CONTINUA QUE SE MUESTRACONSIDERRA Ic=0.0033
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10m
4tn
6m8m
3m
W=1.6tn/m
1 32 4I1=0.003 I2=0.0067 I3=0.0020
M0=0 M3=0
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APLICANDO ECUACION DE TRES MOMENTOS A LOS TRAMOS 0-1-2Y1-
2-3
TRAMO 1-2
TRAMO 1-2-3
Al no haber desnivelacin entre apoyos , los
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giros son nulos considerando I
c=0.0033, tenemos los siguientes longitudes
reducidas
Calculo de los factores de carga reducidos de TABLA N 4(caso1)
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(caso1y 30)
REEMPLAZANDO1Y2: (M0=0 ; M3=0)
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O ( 0 ; 0)
EN 1:
EN 2:
REEMPLAZANDO1Y 2 SE TIENE: M1=-13.21tn-mM 12 27t
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M2=-12.27tn-m
Planteando la expresin del momento flector en cada apoyo
se tiene:
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Calculo de las fuerzas cortantes
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTORES
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+ +
- -
7.07
-12.27
7.26
-13.21
7.62
20.00
13.2
METODO DE CROSS O METODO DEDISTRIBUCION DE MOMENTOS
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DISTRIBUCION DE MOMENTOS
calculo M i j M j i hiperestticos yI.ELMENTOS DE SECCION CONSTANTE
3
2
1
4
I 1
L1
I 2 , L2
I 3, L3
1 CALCULO DE RIGIDEZ (K)
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ELEMENTOS SIN ARTICULACION EXTERNA ELEMENTOS CON ARTICULACION INTERNA
2 CALCULO DE COEFICINTE DE DISTRIBUCION
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NUDO 2:
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Pasamos el siguiente nudo y repetimos paso anterior y as
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g y p p ysucesivamente hasta llegar a valores de momentos muypequeos
Finalmente e suman los momentos finales se obtienesumando en cada nudo los momentos de empotramiento ,los momentos distribuidos y los de transporte que llegan al
nudo
RESOLVER LA SIGUIENTE VIGA POR EL METODO DE CROSS
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8tn
2m4m
6tn6tn
2.5m8m 2m3m
W=3.5tn/m
1 32 4
-72.5tn-m
I1=1 I2=1 I3=1
1 CALCULO DE RIGIDEZ
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2 COEFICIENTE DE DISTRIBUCION
NUDO 1:
NUDO 2:
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NUDO 3:
NUDO 4:
3 CALCULO DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOPERFECTO
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ELEMENTO 1-2
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ELEMENTO 2-3
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ELEMENTO 3-4
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4 PROCESO DE DISTRIBUCION
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3
+0.23
-0.033
42
1 0.5390.461 0.521 0.79
+31.24-36.25+10.92
-18.67+12.76
+18.67+6.38
+31.37
0 0
-72.50
0 -0.76 +1.65-0.89+3.29-0.44
+3.03 0
0 -0.06 +0.12-0.06
+0.21 0
-72.25 -5.09 -5.09 +28.12 -28.12
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EMPEZAMOS NUDO 2SEGIMOS NUDO3
VOLVEMOS NUDO2SEGUIMOS NUDO3
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