Post on 20-Jul-2015
Curs 5: ConexitateTeoria grafurilor
Radu Dumbraveanu
Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale
Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)
Balt, i, 2013
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 1 / 1
Mult, imi separatoare
Fiind dat un graf G, o mult, ime U ⊆ V (G) se numes, te mult, imeseparatoare de vırfuri (sau mult, ime de articulare) daca G −U are maimulte componenete conexe decıt G.
Daca se cunoas, te ca |U | = k atunci U se numes, te k-mult, imeseparatoare de vırfuri (sau k-mult, ime de articulare).
Daca k = 1, adica U = {v}, atunci v se numes, te vırf de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 2 / 1
Mult, imi separatoare
Fiind dat un graf G, o mult, ime U ⊆ V (G) se numes, te mult, imeseparatoare de vırfuri (sau mult, ime de articulare) daca G −U are maimulte componenete conexe decıt G.
Daca se cunoas, te ca |U | = k atunci U se numes, te k-mult, imeseparatoare de vırfuri (sau k-mult, ime de articulare).
Daca k = 1, adica U = {v}, atunci v se numes, te vırf de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 2 / 1
Mult, imi separatoare
Fiind dat un graf G, o mult, ime U ⊆ V (G) se numes, te mult, imeseparatoare de vırfuri (sau mult, ime de articulare) daca G −U are maimulte componenete conexe decıt G.
Daca se cunoas, te ca |U | = k atunci U se numes, te k-mult, imeseparatoare de vırfuri (sau k-mult, ime de articulare).
Daca k = 1, adica U = {v}, atunci v se numes, te vırf de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 2 / 1
Mult, imi separatoare
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 3 / 1
Mult, imi separatoare
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 3 / 1
Mult, imi separatoare
Vırfurile albe (graful din stınga) formeaza o 4-mult, ime de articulare. Suprimındaceste vırfuri obt, inem un graf (din dreapta) cu patru componenet conexe.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 3 / 1
Mult, imi separatoare
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 3 / 1
Mult, imi separatoare
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 3 / 1
Mult, imi separatoare
Suprimarea vırfului alb (stınga) rezulta ıntr-un graf (dreapta) cu opt componenteconexe. Cu s, apte componente mai mult decıt cel din stınga. Vırful alb este un
vırf de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 3 / 1
Mult, imi separatoare
As, adar printre grafurile conexe sınt grafuri care pot fi “rupte” doar prinsuprimarea unui vırf sau a doua vırfuri, iar ın altele pentru a le “rupe” estenevoie de a ınlatura mai multe vırfuri.
Un fel de “grad al conexitat, ii”.
Not, iunea de k-conexitate
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 4 / 1
Mult, imi separatoare
As, adar printre grafurile conexe sınt grafuri care pot fi “rupte” doar prinsuprimarea unui vırf sau a doua vırfuri, iar ın altele pentru a le “rupe” estenevoie de a ınlatura mai multe vırfuri.
Un fel de “grad al conexitat, ii”.
Not, iunea de k-conexitate
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 4 / 1
Mult, imi separatoare
As, adar printre grafurile conexe sınt grafuri care pot fi “rupte” doar prinsuprimarea unui vırf sau a doua vırfuri, iar ın altele pentru a le “rupe” estenevoie de a ınlatura mai multe vırfuri.
Un fel de “grad al conexitat, ii”.
Not, iunea de k-conexitate
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 4 / 1
k-conexitate
Un graf G este k-conex, k ∈ N, daca:
I |G| > k;I G −U este conex pentru orice U ⊆ V cu |U | < k.
Cu alte cuvinte un graf este k-conex daca are mai mult de k vırfuri s, i nuexista mult, imi de articulare cu mai put, in de k vırfuri.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 5 / 1
k-conexitate
Un graf G este k-conex, k ∈ N, daca:
I |G| > k;I G −U este conex pentru orice U ⊆ V cu |U | < k.
Cu alte cuvinte un graf este k-conex daca are mai mult de k vırfuri s, i nuexista mult, imi de articulare cu mai put, in de k vırfuri.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 5 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
Exemplu: graful W9
s
tu
v
w
xy
z
p
I W9 Cont, ine vırfuri de articulare?I Nu;I Deci este 2-conex.
I W9 Cont, ine 2-mult, imi de articulare?I Nu;I Deci este 3-conex.
I W9 Cont, ine 3-mult, imi de articulare?I Da, de exemplu, {p, v, t};I Deci nu este 4-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 6 / 1
W13 este 3-conex, dar nu s, i 4-conex C7 este 2-conex, dar nu s, i 3-conex
S9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex K9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 7 / 1
W13 este 3-conex, dar nu s, i 4-conex C7 este 2-conex, dar nu s, i 3-conex
S9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex K9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 7 / 1
W13 este 3-conex, dar nu s, i 4-conex C7 este 2-conex, dar nu s, i 3-conex
S9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex K9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 7 / 1
W13 este 3-conex, dar nu s, i 4-conex C7 este 2-conex, dar nu s, i 3-conex
S9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex K9 este ???-conex, dar nu s, i ???-conex
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 7 / 1
Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn?Dar despre Nn?
Exista grafuri 0-conexe?Care grafuri sınt 1-conexe?
Pentru a raspunde aceste ıntrebari vom considera negat, ia condit, iilor dindefinit, ia k-conexitat, ii s, i anume:
Un graf G nu este k-conex daca:
I |G| ≤ k sauI exista U ⊆ V ıncıt |U | < k s, i G −U nu este conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 8 / 1
Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn?Dar despre Nn?
Exista grafuri 0-conexe?Care grafuri sınt 1-conexe?
Pentru a raspunde aceste ıntrebari vom considera negat, ia condit, iilor dindefinit, ia k-conexitat, ii s, i anume:
Un graf G nu este k-conex daca:
I |G| ≤ k sauI exista U ⊆ V ıncıt |U | < k s, i G −U nu este conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 8 / 1
Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn?Dar despre Nn?
Exista grafuri 0-conexe?Care grafuri sınt 1-conexe?
Pentru a raspunde aceste ıntrebari vom considera negat, ia condit, iilor dindefinit, ia k-conexitat, ii s, i anume:
Un graf G nu este k-conex daca:
I |G| ≤ k sauI exista U ⊆ V ıncıt |U | < k s, i G −U nu este conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 8 / 1
Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn?Dar despre Nn?
Exista grafuri 0-conexe?Care grafuri sınt 1-conexe?
Pentru a raspunde aceste ıntrebari vom considera negat, ia condit, iilor dindefinit, ia k-conexitat, ii s, i anume:
Un graf G nu este k-conex daca:
I |G| ≤ k sauI exista U ⊆ V ıncıt |U | < k s, i G −U nu este conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 8 / 1
Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn?Dar despre Nn?
Exista grafuri 0-conexe?Care grafuri sınt 1-conexe?
Pentru a raspunde aceste ıntrebari vom considera negat, ia condit, iilor dindefinit, ia k-conexitat, ii s, i anume:
Un graf G nu este k-conex daca:
I |G| ≤ k sauI exista U ⊆ V ıncıt |U | < k s, i G −U nu este conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 8 / 1
Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn?Dar despre Nn?
Exista grafuri 0-conexe?Care grafuri sınt 1-conexe?
Pentru a raspunde aceste ıntrebari vom considera negat, ia condit, iilor dindefinit, ia k-conexitat, ii s, i anume:
Un graf G nu este k-conex daca:
I |G| ≤ k sauI exista U ⊆ V ıncıt |U | < k s, i G −U nu este conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 8 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale
I Kn este este 1-conex, 2-conex, ... s, i (n − 1)-conex;I Insa Kn nu este n-conex deoarce |Kn| 6> n.
I Sn , n ≥ 2, este 1-conex;I Sn nu este 2-conex ıntrucıt are vırfuri de articulare (de fapt doar unul).
I N1 este 0-conex (ıncercat, i sa utilizat, i negat, ia definit, iei pentru a arataca nu este 0-conex);
I N1 nu este 1-conex.I Nn este 0-conex;I Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 9 / 1
Exemple extremale; Concluzii
I Orice graf conex netrivial este 1-conex.I Un graf netrivial este 1-conex doar daca este conex.
I Orice graf neconex s, i nevid este 0-conex.I Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 10 / 1
Exemple extremale; Concluzii
I Orice graf conex netrivial este 1-conex.I Un graf netrivial este 1-conex doar daca este conex.
I Orice graf neconex s, i nevid este 0-conex.I Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 10 / 1
Exemple extremale; Concluzii
I Orice graf conex netrivial este 1-conex.I Un graf netrivial este 1-conex doar daca este conex.
I Orice graf neconex s, i nevid este 0-conex.I Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 10 / 1
Exemple extremale; Concluzii
I Orice graf conex netrivial este 1-conex.I Un graf netrivial este 1-conex doar daca este conex.
I Orice graf neconex s, i nevid este 0-conex.I Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 10 / 1
Numar de conexiune
Cel mai mare numar k ∈ N pentru care G este k-conex se numes, teconexitatea (sau numar de conexiune a) grafului s, i se noteaza prink(G).
As, adar:
I k(Kn) = n − 1;I k(G) = 0 daca s, i numai daca G nu este conex sau |G| ≤ 1;I k(G) = 1 daca G are vırfuri de articulare;I k(G) ≥ 2 daca G nua re vırfuri de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 11 / 1
Numar de conexiune
Cel mai mare numar k ∈ N pentru care G este k-conex se numes, teconexitatea (sau numar de conexiune a) grafului s, i se noteaza prink(G).
As, adar:
I k(Kn) = n − 1;I k(G) = 0 daca s, i numai daca G nu este conex sau |G| ≤ 1;I k(G) = 1 daca G are vırfuri de articulare;I k(G) ≥ 2 daca G nua re vırfuri de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 11 / 1
Numar de conexiune
Cel mai mare numar k ∈ N pentru care G este k-conex se numes, teconexitatea (sau numar de conexiune a) grafului s, i se noteaza prink(G).
As, adar:
I k(Kn) = n − 1;I k(G) = 0 daca s, i numai daca G nu este conex sau |G| ≤ 1;I k(G) = 1 daca G are vırfuri de articulare;I k(G) ≥ 2 daca G nua re vırfuri de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 11 / 1
Numar de conexiune
Cel mai mare numar k ∈ N pentru care G este k-conex se numes, teconexitatea (sau numar de conexiune a) grafului s, i se noteaza prink(G).
As, adar:
I k(Kn) = n − 1;I k(G) = 0 daca s, i numai daca G nu este conex sau |G| ≤ 1;I k(G) = 1 daca G are vırfuri de articulare;I k(G) ≥ 2 daca G nua re vırfuri de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 11 / 1
Numar de conexiune
Cel mai mare numar k ∈ N pentru care G este k-conex se numes, teconexitatea (sau numar de conexiune a) grafului s, i se noteaza prink(G).
As, adar:
I k(Kn) = n − 1;I k(G) = 0 daca s, i numai daca G nu este conex sau |G| ≤ 1;I k(G) = 1 daca G are vırfuri de articulare;I k(G) ≥ 2 daca G nua re vırfuri de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 11 / 1
Mult, imi separatoare
Fiind dat un graf G, o mult, ime F ⊆ E(G) se numes, te mult, imeseparatoare de muchii daca G − F are mai multe componenete conexedecıt G.
Daca se cunoas, te ca |F | = k atunci F se numes, te k-mult, imeseparatoare de muchii.
Daca k = 1, adica F = {e}, atunci e se numes, te punte.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 12 / 1
Mult, imi separatoare
Fiind dat un graf G, o mult, ime F ⊆ E(G) se numes, te mult, imeseparatoare de muchii daca G − F are mai multe componenete conexedecıt G.
Daca se cunoas, te ca |F | = k atunci F se numes, te k-mult, imeseparatoare de muchii.
Daca k = 1, adica F = {e}, atunci e se numes, te punte.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 12 / 1
Mult, imi separatoare
Fiind dat un graf G, o mult, ime F ⊆ E(G) se numes, te mult, imeseparatoare de muchii daca G − F are mai multe componenete conexedecıt G.
Daca se cunoas, te ca |F | = k atunci F se numes, te k-mult, imeseparatoare de muchii.
Daca k = 1, adica F = {e}, atunci e se numes, te punte.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 12 / 1
Mult, imi separatoare
Fiind dat un graf G, o mult, ime F ⊆ E(G) se numes, te mult, imeseparatoare de muchii daca G − F are mai multe componenete conexedecıt G.
Daca se cunoas, te ca |F | = k atunci F se numes, te k-mult, imeseparatoare de muchii.
Daca k = 1, adica F = {e}, atunci e se numes, te punte.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 12 / 1
λ-muchie-conexitate
Un graf G se numes, te λ-muchie-conex, λ ∈ N, daca:
I |G| > 1;I G − F este conex pentru orice F ⊆ E cu |F | < λ.
Cu alte cuvinte G este λ-muchie-conex daca nu este trivial s, i nu cont, inemult, imi separatoare de muchii din mai put, in de λ elemente.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 13 / 1
λ-muchie-conexitate
Un graf G se numes, te λ-muchie-conex, λ ∈ N, daca:
I |G| > 1;I G − F este conex pentru orice F ⊆ E cu |F | < λ.
Cu alte cuvinte G este λ-muchie-conex daca nu este trivial s, i nu cont, inemult, imi separatoare de muchii din mai put, in de λ elemente.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 13 / 1
Exemple
fe
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 14 / 1
Exemple
fe
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 14 / 1
Exemple
fe
Graf 2-muchie-conex (stınga), dar nu s, i 3-muchie-conex pentru ca dupasuprimarea muchiilor e s, i f devine neconex
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 14 / 1
Numar de muchie-conexiune
Cel mai mare numar λ ∈ N pentru care G este λ-muchie-conex se numes, tenumar de muchie-conexiune a grafului G s, i se noteaza prin λ(G) (sauk ′(G)).
Din perspectiva “conexitat, ii muchie” conexitatea simpla se mai numes, te“conexitatea vırf”.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 15 / 1
Numar de muchie-conexiune
Cel mai mare numar λ ∈ N pentru care G este λ-muchie-conex se numes, tenumar de muchie-conexiune a grafului G s, i se noteaza prin λ(G) (sauk ′(G)).
Din perspectiva “conexitat, ii muchie” conexitatea simpla se mai numes, te“conexitatea vırf”.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 15 / 1
Exemple
λ(G) = 2, k(G) = 3
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 16 / 1
Exemple
λ(G) = 2, k(G) = 3
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 16 / 1
k(G) vs. λ(G)
TeoremaPentru orice graf G avem k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)
Este evident ca λ(G) ≤ δ(G); daca la un vırf de gradul δ(G) ınlaturamtoate muchiile incidente cu acesta numarul de componente conexe vacres, te cu 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 17 / 1
k(G) vs. λ(G)
TeoremaPentru orice graf G avem k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)
Este evident ca λ(G) ≤ δ(G); daca la un vırf de gradul δ(G) ınlaturamtoate muchiile incidente cu acesta numarul de componente conexe vacres, te cu 1.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 17 / 1
Grafuri 2-conexe
In cazul cınd un graf nu este conex acesta este format din mai multecomponente conexe.
Vrem sa extindem not, iunea de componenta conexa pentru grafurile carenu-s 2-conexe.
Adica, daca un graf nu este 2-conex atunci el consta din mai multe“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex s, i fara vırfuri dearticulare.
Punctele de legatura ıntre blocurile unui graf sınt vırfurile de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 18 / 1
Grafuri 2-conexe
In cazul cınd un graf nu este conex acesta este format din mai multecomponente conexe.
Vrem sa extindem not, iunea de componenta conexa pentru grafurile carenu-s 2-conexe.
Adica, daca un graf nu este 2-conex atunci el consta din mai multe“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex s, i fara vırfuri dearticulare.
Punctele de legatura ıntre blocurile unui graf sınt vırfurile de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 18 / 1
Grafuri 2-conexe
In cazul cınd un graf nu este conex acesta este format din mai multecomponente conexe.
Vrem sa extindem not, iunea de componenta conexa pentru grafurile carenu-s 2-conexe.
Adica, daca un graf nu este 2-conex atunci el consta din mai multe“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex s, i fara vırfuri dearticulare.
Punctele de legatura ıntre blocurile unui graf sınt vırfurile de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 18 / 1
Grafuri 2-conexe
In cazul cınd un graf nu este conex acesta este format din mai multecomponente conexe.
Vrem sa extindem not, iunea de componenta conexa pentru grafurile carenu-s 2-conexe.
Adica, daca un graf nu este 2-conex atunci el consta din mai multe“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex s, i fara vırfuri dearticulare.
Punctele de legatura ıntre blocurile unui graf sınt vırfurile de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 18 / 1
Grafuri 2-conexe
In cazul cınd un graf nu este conex acesta este format din mai multecomponente conexe.
Vrem sa extindem not, iunea de componenta conexa pentru grafurile carenu-s 2-conexe.
Adica, daca un graf nu este 2-conex atunci el consta din mai multe“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex s, i fara vırfuri dearticulare.
Punctele de legatura ıntre blocurile unui graf sınt vırfurile de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 18 / 1
Grafuri 2-conexe
In cazul cınd un graf nu este conex acesta este format din mai multecomponente conexe.
Vrem sa extindem not, iunea de componenta conexa pentru grafurile carenu-s 2-conexe.
Adica, daca un graf nu este 2-conex atunci el consta din mai multe“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex s, i fara vırfuri dearticulare.
Punctele de legatura ıntre blocurile unui graf sınt vırfurile de articulare.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 18 / 1
Exemplu
Blocurile acestui graf sınt:
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 19 / 1
Exemplu
Blocurile acestui graf sınt:
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 19 / 1
Exemplu
Blocurile acestui graf sınt:
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 19 / 1
Blocuri
TeoremaPentru orice graf G orice cilcu part, ine ın ıntregime unui bloc.
Demonstratie.Orice ciclu este un subgraf conex s, i fara vırfuri de articulare.Deci apart, ine unui subgraf maximal cu acesta proprietate.Astfel de subgrafuri se numesc blocuri.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 20 / 1
Blocuri
TeoremaPentru orice graf G orice cilcu part, ine ın ıntregime unui bloc.
Demonstratie.Orice ciclu este un subgraf conex s, i fara vırfuri de articulare.Deci apart, ine unui subgraf maximal cu acesta proprietate.Astfel de subgrafuri se numesc blocuri.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 20 / 1
Blocuri
TeoremaFie G un graf conex cu cel put, in 3 vırfuri. Atunci urmatoarele sıntechivalente:
1. G este un bloc;2. Orice doua vırfuri din G apart, in unui ciclu comun;3. Orice vırf s, i muchie din G apart, in unui ciclu comun;4. Orice doua muchii din G apart, in unui ciclu comun;
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 21 / 1
Ilustrare
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 22 / 1
Teoremele Menger
Doua sau mai multe lant, uri se numesc independente daca au cel multdoua vırfuri comune - capetele.
Teorema (Menger 1927)[?] Fie G = (V ,E) un graf s, i U ,W ⊆ V . Atunci numarul minim devırfuri care separa U s, i W ın G este egal cu numarul maxim de(U ,W )-lant, uri independente.
Teorema (Menger 1932)[?] Un graf G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex daca s, i numai daca ıntre oricedoua vırfuri exista cel put, in doua lant, uri independente.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 23 / 1
Teoremele Menger
Doua sau mai multe lant, uri se numesc independente daca au cel multdoua vırfuri comune - capetele.
Teorema (Menger 1927)[?] Fie G = (V ,E) un graf s, i U ,W ⊆ V . Atunci numarul minim devırfuri care separa U s, i W ın G este egal cu numarul maxim de(U ,W )-lant, uri independente.
Teorema (Menger 1932)[?] Un graf G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex daca s, i numai daca ıntre oricedoua vırfuri exista cel put, in doua lant, uri independente.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 23 / 1
Teoremele Menger
Doua sau mai multe lant, uri se numesc independente daca au cel multdoua vırfuri comune - capetele.
Teorema (Menger 1927)[?] Fie G = (V ,E) un graf s, i U ,W ⊆ V . Atunci numarul minim devırfuri care separa U s, i W ın G este egal cu numarul maxim de(U ,W )-lant, uri independente.
Teorema (Menger 1932)[?] Un graf G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex daca s, i numai daca ıntre oricedoua vırfuri exista cel put, in doua lant, uri independente.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 23 / 1
Demonstratie.Suficient, a. Daca ıntre orice doua vırfuri ale lui G exista cel put, in doualant, uri independente atunci nici un vırf al lui G nu poate fi vırf dearticulare. Deci G este 2-conex.Necesitatea. Fie G un graf 2-conex. Vom demonstra teorema prin induct, iepe distant, a d(v,w) dintre doua vırfuri v s, i w.Fie d(v,w) = 1, ıntrucıt G este 2-conex reiese ca v s, i w nu pot fi vırfuride articulare s, i evident muchia {v,w} nu poate fi punte, ceea cepresupune ca exista un ciclu C ın G care cont, ine muchia {v,w}. Iata celedoua lant, uri independente cautate: v,w s, i vCw.Presupunem ca teorema este adevarata pentru orice doua vırfuri cudistant, a mai mica decıt k ∈ N. Fie v s, i w doua vırfuri cu d(v,w) ≥ 2.Consideram un (v,w)-lant, de lungimea k s, i fie x un vırf care ıl precede pew ın acest lant, . Intrucıt d(v, x) < k, din ipoteza induct, iei, pentru acestedoua vırfuri exista doua lant, uri independente P s, i Q. Pe de alta parte,ıntrucıt G este 2-conex, G − x este conex s, i respectiv cont, ine un(v,w)-lant, P ′.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 24 / 1
CorolarDaca G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex atunci pentru orice doua vırfuriexista un ciclu care le cont, ine.
CorolarDaca G este un bloc cu |G| = n ≥ 3 atunci pentru orice doua muchiiexista un ciclu care le cont, ine.
Demonstratie.Fie e1 s, i e2 doua muchii. Subdividem aceste doua muchii s, i notam vırfurilenoi prin v1 s, i v2. Graful nou la fel este bloc s, i deci putem aplica corolarulde mai sus. Adica exista un cilcu care cont, ine aceste doua vırfuri. Daraceste doua vırfuri nu alt, i vecini decıt extremitat, ile mucgiilor e1 s, i e2. Decis, i ele paart, in ciclului.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 25 / 1
CorolarDaca G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex atunci pentru orice doua vırfuriexista un ciclu care le cont, ine.
CorolarDaca G este un bloc cu |G| = n ≥ 3 atunci pentru orice doua muchiiexista un ciclu care le cont, ine.
Demonstratie.Fie e1 s, i e2 doua muchii. Subdividem aceste doua muchii s, i notam vırfurilenoi prin v1 s, i v2. Graful nou la fel este bloc s, i deci putem aplica corolarulde mai sus. Adica exista un cilcu care cont, ine aceste doua vırfuri. Daraceste doua vırfuri nu alt, i vecini decıt extremitat, ile mucgiilor e1 s, i e2. Decis, i ele paart, in ciclului.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 25 / 1
CorolarDaca G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex atunci pentru orice doua vırfuriexista un ciclu care le cont, ine.
CorolarDaca G este un bloc cu |G| = n ≥ 3 atunci pentru orice doua muchiiexista un ciclu care le cont, ine.
Demonstratie.Fie e1 s, i e2 doua muchii. Subdividem aceste doua muchii s, i notam vırfurilenoi prin v1 s, i v2. Graful nou la fel este bloc s, i deci putem aplica corolarulde mai sus. Adica exista un cilcu care cont, ine aceste doua vırfuri. Daraceste doua vırfuri nu alt, i vecini decıt extremitat, ile mucgiilor e1 s, i e2. Decis, i ele paart, in ciclului.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 25 / 1
Teorema Menger; Versiunea globala
Teorema (Menger-Whitney)Daca |G| ≥ k + 1 este k-conex daca s, i numai daca orice doua vırfuri sıntunite prin cel put, in k lant, uri indepenedente.
R. Dumbraveanu (USARB) Conexitate Balt,i, 2013 26 / 1