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CHAPITRE?
COMPENSATION
DE S
SYSTEMES ASSERVIS DISCRETS
7.1. NECESSITE
D UNE
CORRECTION
D ES
SYSTEMES
7.1.1. Avantages du numérique
L'analyse d'un système asservi, qu'il soit continu ou discret, conduit
immanquablement à se poser le problème de l 'adjonction au système d'un circuit
correcteur, afin de confé rer à l'ensemble les meilleures performances possibles.
Ainsi, étant donnée une installation de fonction de transfert connue, réaliser sa
synthèse consiste à rechercher un réseau correcteur d'expression C(z), conçu de telle
façon q ue l'ensemble corrigé satisfasse un certain nombre de spécifications qui peuvent
se traduire soit dans le domaine temporel, soit dans le domaine fréquentiel :
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exigences temporelles - réponse temporelle imposée,
- temps de réponse minimal,
- dépassement maximal contrôlé,
- précision statique imposée,
ou fréquentielles - marge d e phase imposée,
- bande passante à respecter,
- résonance spécifiée,
Ces
approches complémentaires et interactives
permettent
de façonner la
réponse
du
système
à une
entrée donnée
et
donc de modeler
le système à ses
desiderata.
L'utilisation de machines numériques (microprocesseur et autres, plus ou moins
importantes) pour commander les systèmes automatiques facilite grandement cette
façon
de
procéder
; en effet, il est
alors relativement aisé
de
programmer également
de s
éléments
correcteurs q ui permettent d'obtenir de s
effets
très intéressants sur les signaux
de commande du processus, difficilement réalisables p ar éléments câblés.
7.1.2. Différents types
de
correcteurs
Le
circuit correcteur
es t
alors programmé
au
cœur
de la
machine numérique
e t
tout
se passe comme si le système répondait au diagramme fonctionnel suivant :
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S.A.E. chapitre
7 :
Compensation
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Il
peut
se
trouver cependant
qu e
l'on soit obligé d'utiliser
de s
correcteurs
de
type
câblé
;
dans
ce
cas,
o n
dispose
de la
structure-série classique
:
ou ,
quelques
fois, de la
structure-parallèle, beaucoup moins usuelle, mais
qu i
permet
d'obtenir
à
partir d'éléments simples
de s
effets spéciaux
d es
plus intéressants
:
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a
Exemple : J(p) =
p + a
Z[^(P)J(P)] =
— avec g =
e-
aT
z a
C z ) = z - g
=
1 -
g
z"
1
z +
(l-2a)
1+(1-2^7-
Ce correcteur peut être
effectivement
réalisé par éléments câblés, ou simplement
programmé ; dans ce cas on obtient y
n
par l'équation récurrente suivante :
y
n
= ( 2 g - l ) y
n
_ i + e
n
- g £
n
- i
7.2. FAISABILITE
DES
CORRECTEURS
Afin de déterminer le réseau correcteur (câblé ou programmé) qui convient le
mieux à un système asservi commandé numériquement, on ramènera, dans la suite de ce
chapitre, tout système
à un
diagramme fonctionnel
à
retour unitaire
:
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Dans ce cas, la fo nction de transfert en boucle fermée s'exprime par :
C(z)F(z)
Hbf(z)
-l
+
C(z).F(
Z
)
Le
cahier
des
charges im posant certaines contraintes
(de
rapidité,
de
précision,...)
au
système bouclé, on connaît
a priori
la forme à donner à
H
bf
(z).
Le processus de
fonction de transfert
F(z)
étant lui-même connu, on en déduit que le correcteur doit
répondre à :
C
(
Z
)
= MM(^
MZJ
F(z)[l-H
bi
(
Z
)]
Généralement, le correcteur se présentera sous la forme d'un rapport de
polynômes
en z :
_ b
0
+b
l Z
+ b
2
z
2
+
+ b
n
z
n
^ ~~ 2 d
a
0
+a
1
z
+ a
2
z + + a
d
z
La
réalisation pratique
du
correcteur, déterminé
par le
calcul, implique
que le
développement en série de sa fonction de transfert
C(z)
ne comporte pas de puissances
positives de z
(principe
de
causalité
à
respecter impérativement). Cette condition
se
traduit par :
l imf z '
1
C(z)]
= 0
Z-»oo
L
J
c'est-à-dire que l'on doit avoir : n
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Cette condition
e st
nécessaire, mais
il y a des cas où
elle n'e st
pa s suffisante ;
Par exemple ,
supposons
que : y
n
= a £
n
+ (3 £
n
_
{
-jy
n
.
{
+
On
voit qu'à l'instant nT le signal d e sortie
y
n
du correcteur doit être synchron e
de sa commande
8
n
.
Or les conversions AN et NA, d'une part , et le calcul de
l'expression de y
n
,
d'autre
part, n e sont pas instantanés ; il faut un certain temps entre la
prise d'échantillon
£
et la commande y du proce ssus. Si ce temps est faible vis-à-vis de
la
période d'échantillonnage,
il n'y a pas de
problème. M ais
si
l'échantillonnage
est
très
rapide,
ou si les
calculs sont complexes
et
nombreux,
on ne
pourra
pas réaliser la
simultanéité
de
l'acquisition
et de la
commande. Dans
ce
cas,
on
aura tout intérêt
à
prévoir
une
condition plus restrictive pour
la
faisabilité
du
correcteur
:
lim C(z) = o
Z—>oo
c'est-à-dire
: n < d
7.3. CRITERE DE CHOIX DES CORRECTEURS
7.3.1. Conditions générales et critères temporels
La
déterminat ion
des
organes
de
compensat ion d 'un asservissement
échantillonné
s'appuie sur un
certain nombre
de
démarches, plus
o u
moins
efficaces, qu i
font
appel à des
critères
spécifiques.
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Une m éthode classique, dite d es pôles dominants de ZDAN consiste à
imposer
à un système asservi de présenter une fonction de
transfert
en boucle fermé e dont le
comportement soit voisin de celui
d un
système du deuxième ordre,
c'est-à-dire
caractérisé essentiellement
par une
paire
de
pôles dom inants. Cette méthode, basée
su r
la transformation en z, peut amener des résultats intéressants.
On peut aussi s'appuyer sur des considérations de précision statique et/ou de
rapidité. Il s 'agit pour l'essentiel de critères temporels, qui imposent au système de
répondre à une entrée
donnée,
selon certaines spécifications sur ses ré gimes transitoire
et permanent.
En fait, on définit un signal de sortie qui doit répondre à certaines
spécifications
:
progression d'un échantillon
à
l'autre, dépassement contrôlé,
loi
d'évolution
en
régime permanent, erreur permanente
admise,... Le s
méthodes
d e
calcul
des réseaux correcteurs qui résultent de cette approche sont donc caractérisées par
l'utilisation directe des spécifications sur la réponse du système à des entrées
déterminées.
Il est bien entendu que, quelque soit le critère utilisé, il faudra en dernier lieu
vérifier la faisabilité de la solution préconisée.
7.3.2. Méthode de calcul
Soit l a structure fonctionnelle retenue pou r représenter le système à corriger :
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On
peut exprimer
le
signal
d'erreur :
8(z) =
e(z)
-
s(z)
soit:
8(z)
= e(z)[l-H
bf
(z)]
On a vu que la transformée en z d'une entrée canonique d'ordre m peut se
mettre sous
la
forme
:
(l-z- )
m+1
où
A(z)
est un polynôme en z"
1
, de degré au plus égal à m et dépourvu de racines
égales à
l'unité
:
^d-^L.'
1
- ^]
On
peut définir u n système en évaluant sa fonction de transfert en boucle fermée
de
telle
façon que, sollicité par une entrée
donnée,
il présente certaines conditions de
précision en régime permanent :
lim
8(nT)=lim(l-z-
1
)8(z)
n — > ° o
z — > 1
soit
: lim £(nT) = lim
[A(z)
(1 - z'
1
)'
1
[l - H
bf
(z)]]
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Ainsi, pour une entrée (d'ordre m fixé), on peut vouloir que :
lim 8(nT) = 0 précision parfaite
n — > o o
ou
lim £(nT) = este précision relative
n-^oo
Partant de ces considérations, la relation précédente permet de calculer
H
bt
(z),
puis d'en déduire
la
fonction
de
transfert C(z)
du
correcteur qui,
à
partir
d u
système
initial F(z), conduit à obtenir les performances souhaitées ; bien évidemment, il
conviendra d e vérifier la faisabilité de la solution préconisée.
Pa r
exemple
:
S i
l'on désire parvenir
à un
système présentant
un e
précision parfaite
pour une entrée d'ordre m (la précision ne peut être définie que par rapport à
l'ordre
de
la
commande),
il
faudra
que :
l- H
bf
{
Z
) = (l-z-i)
m+1
B(z)
Alors : lim
e(nT)
= lim
(l
- z~ ' ) A(z) B(z) = 0
n->oo
Z
_>1
V
/
et
ceci
quelque soit le polynôme B(z), pourvu que celui-ci ne présente pas de racines
égales à
l'unité.
On
déduit alors
:
H
b f
( z ) = l - ( l - z -
1
)
m + 1
B ( z )
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et
8(z)
= A(z) B(z)
Le correcteur qui permet d'atteindre ce résultat, s il remplit les conditions de
faisabilité, aura pour expression
:
i - f a - z 'T ^ . BCz)
C(
Z
) = t- - —i
(l-z-T
+I
.F(z).B(z)
En
fait,
le
calcul montre
que le
signal d'erreur
8*(t)
s 'annule
en un
nombre fini
d'échantillons [E(z) est un polynôme en
z"
1
].
Les systèmes répondant à ces spécifications
sont donc à temps
d établissement
fini, pour l'entrée considérée. On constate ainsi qu e
le s
considérations
sur la
précision entraînent
des
conséquences
sur la
rapidité
du
système,
e t
réciproquement.
7.3.3.
Système
rendu
minimal absolu
Le calcul précédent no us a conduit à :
8(z) = A(z) B(z)
et
l - H
M
( z )
= (l-z-
1
r
1
B(z)
A(z) étant imposé
par
l'entrée
choisie,
le
système considéré sera
dit
minimal
absolu,
si :
B(z) = 1
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Alors
:
£(z)
=
A(z)
et : H
bf
(z)=l-(l-z
l
r
+l
son régime transitoire sera alors minimal.
Comme A(z) est un polynôme en
z"
1
de degré au plus égal à m, on voit qu e
l erreur
d e
l asservissement s annulera
a u plus en (m + 1 )
périodes.
7.4.
EXEMPLES
DE
SYNTHESE DISCRETE
7.4.1.
Calcul
de systèmes
minima
absolus pour quelques entrées d ordre m
On
se
propose
ici de
calculer
à
chaque fois
la
fonction
de
transfert
en
boucle
fermée
d un
système qui serait astreint à être minimal absolu pour différentes entrées
canoniques : échelon de position,
rampe,
échelon d accélération.
pour une
entrée
en
échelon-unité
(m = 0)
e*(t) = T*(t)
=Sr ( t )
p \
—
~̂^
alors
:
£(z)
=
A(z)
= 1
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e*(t) = ô t)
il faut
donc : H
bf
(z ) =
z
soit : h*( t) = ô( t - T)
pour
un e
entrée
en
échelon
de
vitesse
(m = 1)
e * ( t ) =
T£n .
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^pour une entrée en échelon d accélération (m = 2)
T
2
e
*(t) =
— 2V
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7.4.2. Com portement d un système rendu minima absolu pour
une
entrée indicielle
On se propose ici de rendre compte d u comportement
d un
asservissement, dont
le correcteur a été calculé pour qu il soit minimal absolu pour une entrée en échelon-
unité,
lorsqu il
es t sollicité par
d autres
types de commande canonique.
On
a vu au
paragraphe précédent
qu e
dans
ce
c as
:
H
bf
(z) =
z"
1
le système corrigé est deven u un simple élément de retard pur
d'une période d'échantillonnage.
Le
correcteur
qu i
conduira
à c e
résultat doit avoir pour fo nction
d e
transfert
:
C(z)=
z
- *
FCzXl-z-
1
) F(z)(z-l)
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Les f igures ci-dessous représentent le s di fférents signaux qu i af fectent ce
système,
lorsqu'il est sollicité par une entrée-impulsion et une entrée en échelon de
vitesse.
7.5. SYNTHESE P AR ANTICIPATION - PREDICTEUR D E SMITH
Le prédicteur de Smith est un régulateur qui permet
d obtenir d intéressantes
performances dans
le cas où le
système
à
régler
comprend un retard
pur.
On
supposera
ici que le temps de retard T
d
dû à l'installation correspond à u n multiple entier k de la
période d'échantillonnage T.
Avant
de
présenter
ce
type
d e
correction,
il est
utile
de
rendre compte
d e l 'e ffe t
d'un retard sur les performances d'un système de commande.
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7.5.1. Influence
de la
présence d un retard
pur
dans
une
chaîne de régulation
Soit le système asservi suivant, qui présente un retard pur de k périodes :
Pa r
exemple, on peut s'intéresser à l 'e ffe t de ce retard pur sur un système du premier
ordre
:
F(p)
=
£
1
+
Tp
zk(p).-̂_]=K-̂ a = e~7
|_ 1
+
tpJ z - c x
TJ ~
H
(z) = —
bo
z
k
z-a
La
sensibilité du système bouclé est : E(z) = z
k+1
- a z
k
+ K(l - a)
Pour
que le
système soit
stable, il
faut
que les
racines
de
Z(z)
= 0
soient toutes
comprises dans
le
cercle
de
rayon-unité.
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En
fonction
du temps de retard, o n peut calculer les limites à respecter pour le
gain statique
en
boucle ouverte
K
pour assurer
la
stabilité d'un
te l
ensemble
:
1 +
X
k = 0
(pas
de
retard)
K <
1 a
k = 1 (retard d'un e période) K <
1-a
^
x
i t
̂ x .
t
^ , a +
w
2
+ 4
k = 2
(retard
de 2
périodes)
K <
v
^
2(1-a)
7.5.2.
L e prédicteur de SMITH
On
considère
un
système asservi
à
temps discret présentant
un
retard
pur de k
périodes, dont la fonction de transfert en boucle ouverte peut s'écrire :
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H
bo
(z)
= z-k (1 -
z
-l). z[M=
z-k
H '
(z)
P
où H'z) regroupe le bloqueur d'ordre zéro B
0
(p ) et le processus F(p).
< >
Considérons, dans
un
premier
temps,
le
système ci-dessous
où
C(z)
est un
correcteur monté en cascade avec les éléments
H'(z)
précédents :
La variable de sortie peut
s'exprimer
par :
.-M-
C(Z)H
'
(Z)
e(z)
l +
C(z )H
f
(z )
< >
Dans un deuxième temps, on
conçoit
un
système correctif, associé
à
l'asservissement
à
retard, dont
le
schéma fonctionnel
est
représenté ci-dessous
; ce
correcteur est appelé Prédicteur de Smith.
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La fonction de tran sfert du prédicteur de Smith est :
u(z)
=
C(z)
£(z)
l +
(l-z-
k
)C(z)H'(z)
d'où la fonction de transfert en boucle fermée de
l'ensemble
qui lui est
associé
:
s(z)
= z
_
k
C(z)H'(z)
e(z)
l +
C(z )H
f
(z )
< >
E n comparant ces deux montages, il vient :
s(z)
= z ~
k
s' (z)
On
en
conclut
que la
réponse
réelle
s(z)
est
égale
à la
sortie
s'(z),
retardée
de k
périodes d'échantillonnage. Les pôles du système com pensé par un prédicteur de
Smith,
sont simplement les zéros de l expression : 1 + C(z) H (z), complétés d un
pôle
nul de
multiplicité k.
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// en découle que la stabilité de la structure n est pas
affectée
par
l implantation d un prédicteur de Sm ith sur le processus physique avec retard pur.
L'effet de
prévision associé
au prédicteur de
Smith
e st
particulièremen t bien
m is
en
évidence lorsque
le
diagramme fonct ionnel
du
système
est mis
sous
la
forme
équivalente suivante
:
On
peut remarquer
que le
signal
r de
rétroaction, égal
à : z
k
s(z), correspond
au
signal
s'(z),
puisque
l'on
a vu précédemment que : s(z)
=
z ~
k
s'(z).
Il s'agit donc de la
grandeur
de
sortie s(z), avancée
de k
périodes
d'échantillonnage,
provoquant ainsi
l 'effet anticipateur recherché.
Remarque :
Un
inconvénient
du
prédicteur
de
Smith
est que sa
conception repose
sur le
modèle
z"
k
H'(z)
du processus à régler ; e n particulier, la valeur du retard
pu r doit être parfaitement connue.
7.6. CORRECTEURS EN DERIVATION
Dans tout calcul
de
systèmes
de
commande,
l'une
des
préoccupations
essentielles
du
concepteur
est
d'assurer
la
fiabilité
de
l'ensemble, c'est-à-dire
de
veiller
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à ce que la
défaillance d'une partie
de la
chaîne n'entraîne
pas la
détérioration
de
tout
l'ensemble.
On se souvient que les régulateurs
P.I.D.
universels continus sont prévus pour
autoriser
une
conduite manuelle
du
processus
en cas de
panne
de
tout
ou
partie
du
régulateur. Dans le cas de la commande de systèmes échantillonnés, on suppose que
l'on peut être confronté à des incidents similaires dus au calculateur numérique qui
pilote le
processus
et qui
assure
en
particulier
la
fonction-régulateur.
U ne
structure intermédiaire consiste
à faire
assurer
la
sûreté
de
fonctionnement
pa r un équipement continu (analogique) et à provoquer des performances plus élaborées
par une
commande numérique
du
système.
Le diagramme fonctionnel ci-dessous illustre ce type de conception hybride.
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NOTES PERSONNELLES
Le correcteur numérique est en dérivation, ou en parallèle, avec une connexion
continue entre le signal
d'erreur
et l'installation. Ainsi le signal de commande de
l'installation
résulte
de la
somme
d e
signaux continu
et
numérique
:
U(p)
= 8(p) + C*(p).8*(p)
Si le correcteur numérique es t temporairement défaillant, le système asservi
analogique continue à
opérer
;
l installation fonctionne alors sous mode dégradé.
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