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2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 1
Cours d’algorithmique
1ère année SMI
2006/2007, Semestre 2
«Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément» [N. Boileau]
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Objectif et plan du cours Objectif:
• Apprendre les concepts de base de l'algorithmique et de la programmation
• Etre capable de mettre en oeuvre ces concepts pour analyser des problèmes simples et écrire les programmes correspondants
Plan: • Généralités (matériel d’un ordinateur, systèmes d’exploitation, langages de
programmation, …)
• Algorithmique (affectation, instructions conditionnelles, instructions itératives, fonctions, procédures, …)
• MAPLE (un outil de programmation)
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Système Informatique? Techniques du traitement automatique de l’information au
moyen des ordinateursSystème informatique = ordinateur + périphériques
Éléments d’un système informatique
LangagesLangages ((Java,C/C++, Fortran,etcJava,C/C++, Fortran,etc).).
Système d’exploitationSystème d’exploitation( ( DOS,Windows, Unix, etcDOS,Windows, Unix, etc).).
MatérielMatériel ((PC, Macintosh, station SUN, etcPC, Macintosh, station SUN, etc).).
ApplicationsApplications ((Word, Excel, Jeux, Maple, etcWord, Excel, Jeux, Maple, etc).).
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Matériel: Principaux éléments d’un PC
Unité centrale (le boîtier) Processeur ou CPU (Central Processing Unit)• Mémoire centrale
• Unité de calcul
• Unité de commande
Périphériques • Moniteur (l'écran), clavier, souris
• Modem, imprimante, scanner, …
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Qu’est-ce qu’un programme d’ordinateur?
Allumez un ordinateur, vous n’en tirerez rien!!
Pour le faire marcher il faut lui fournir un programmeOrdinateur = matériel + programme(s)
Un programme est une suite d’instructions d’ordinateur
Une instruction est un ordre compris par l’ordinateur et qui lui fait exécuté une action, c-a-d une modification de son environnement
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Les catégories d’ordres
les ordinateurs, quels qu’ils soient, ne sont fondamentalement capables de comprendre que quatre catégories d'ordres (en programmation, on n'emploiera pas le terme d'ordre, mais plutôt celui d'instructions). Ces quatre familles d'instructions sont :• l’affectation de variables
• la lecture / écriture
• les tests
• les boucles
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Actions d’un ordinateur : Exemple
Attendre qu’un nombre soit tapé au clavier Sortir à l’écran le nombre entré Attendre qu’un nombre soit tapé au clavier Sortir à l’écran le nombre entré Additionner les deux nombres entrés Sortir à l’écran le résultat de l’addition
Ces lignes forment un programme d’ordinateur
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Qu’est ce qu’un système d’exploitation? Ensemble de programmes qui gèrent le matériel et
contrôlent les applications
• Gestion des périphériquesGestion des périphériques (affichage à l'écran, lecture du clavier, pilotage d’une imprimante, …)
• Gestion des utilisateurs et de leurs donnéesGestion des utilisateurs et de leurs données (comptes, partage des ressources, gestion des fichiers et répertoires, …)
• Interface avec l’utilisateur (textuelle ou graphique):Interface avec l’utilisateur (textuelle ou graphique): Interprétation des commandes
• Contrôle des programmesContrôle des programmes (découpage en taches, partage du temps processeur, …)
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Langages informatiques
Un langage informatique est un outil permettant de donner des ordres (instructions) à la machine
• A chaque instruction correspond une action du processeur
Intérêt : écrire des programmes (suite consécutive d’instructions) déstinés à effectuer une tache donnée
• Exemple: un programme de gestion de comptes bancaires
Contrainte: être compréhensible par la machine
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Langage machine
Langage binaire: l’information est exprimée et manipulée sous forme d’une suite de bits
Un bit (binary digit) = 0 ou 1 (2 états électriques)
Une combinaison de 8 bits= 1 Octet possibilités qui permettent de coder tous les caractères alphabétiques, numériques, et symboles tels que ?,*,&, …
• Le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) donne les correspondances entre les caractères alphanumériques et leurs représentation binaire, Ex. A= 01000001, ?=00111111
Les opérations logiques et arithmétiques de base (addition, multiplication, … ) sont effectuées en binaire
25628
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L'assembleur Problème: le langage machine est difficile à comprendre par l'humain
Idée: trouver un langage compréhensible par l'homme qui sera ensuite converti en langage machine • AssembleurAssembleur (1er langage): exprimer les instructions élémentaires de façon
symbolique
• +: déjà plus accessible que le langage machine• -: dépend du type de la machine (n’est pas portableportable)• -: pas assez efficace pour développer des applications complexes
Apparition des langages évolués
ADD A, 4
LOAD B
MOV A, OUT
…
traducteur langage machine
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Langages haut niveau Intérêts multiples pour le haut niveau:
• proche du langage humain «anglais» (compréhensible)
• permet une plus grande portabilité (indépendant du matériel)
• Manipulation de données et d’expressions complexes (réels, objets, a*b/c, …)
Nécessité d’un traducteur (compilateur/interpréteur),
exécution plus ou moins lente selon le traducteur
Code sourceCode source
en langage évoluéen langage évolué
Compilateur ouCompilateur ouLangage machineLangage machine
interpréteurinterpréteur
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Compilateur/interpréteur Compilateur: traduire le programme entier une fois pour toutes
• + plus rapide à l’exécution• + sécurité du code source• - il faut recompiler à chaque modification
Interpréteur: traduire au fur et à mesure les instructions du programme à chaque exécution
• + exécution instantanée appréciable pour les débutants• - exécution lente par rapport à la compilation
exemple.c Compilateur Compilateur
fichier sourcefichier source exemple
fichier exécutablefichier exécutable
exécutionexécution
exemple.basfichier sourcefichier source
Interprétation+exécutionInterprétation+exécution
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Langages de programmation:
Deux types de langages:• Langages procéduraux : sont à base de procédures. Une
procédure est une portion de programme écrit en langage de haut niveau qui accomplit une tâche spécifique nécessaire au programme.
• Langages orientés objets : sont des langages non procéduraux dans lesquels les éléments du programme sont considérés comme des objets qui peuvent s'échanger des messages.
Choix d’un langage?
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Principaux Langages de programmation:
Pascal
Blaise PASCAL, mathématicien et inventeur de la première machine à calculer 1971
Langage compilé et structuré, dérivé d'ALGOL. c'est un langage de développement standard pour les micro-ordinateurs.
C
C'est une version améliorée du langage de programmation B du Bell Laboratory, créé en 1972
Langage de programmation structuré et compilé, très largement employé car ses programmes peuvent facilement se transférer d'un type d'ordinateur à un autre.
Maple Nasa 1980 de SUN couvrir tous les domaines
D’application formel
Java Microsystems 1990 Ce langage connaît un succès qu'aucun autre langage n'avait encore connu.
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Etapes de réalisation d’un programme
SpécificationSpécification
AnalyseAnalyse
Traduction en langageTraduction en langage
CompilationCompilation
Tests et modificationsTests et modifications
Enoncé du problème Enoncé du problème
Cahier des chargesCahier des charges
AlgorithmeAlgorithme
Programme sourceProgramme source
Programme exécutableProgramme exécutable
Version finale et résultatsVersion finale et résultats
La réalisation de programmes passe par l’écriture d’algorithmes D’où l’intérêt de
l’Algorithmique
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Pourquoi apprendre l’algorithmique pour apprendre à programmer ?
Un algorithme est une description complète et détaillée des actions à effectuer et de leur séquencement pour arriver à un résultat donné
• Intérêt: séparation analyse/codage (pas de préoccupation de syntaxe) l’algorithmique exprime les instructions résolvant un problème donné indépendamment des particularités de tel ou tel langage.
• Qualités: exact (fournit le résultat souhaité), efficace (temps d’exécution, mémoire occupée), clair (compréhensible), général (traite le plus grand nombre de cas possibles), …
Pour prendre une image, si un programme était une dissertation, l’algorithmique serait le plan, une fois mis de côté la rédaction et l’orthographe. Mieux faire d’abord le plan et rédiger ensuite que l’inverse…
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Représentation d’un algorithme
Historiquement, deux façons pour représenter un algorithme:
• L’Organigramme: L’Organigramme: représentation graphique avec des symboles
(carrés, losanges, etc.) • offre une vue d’ensemble de l’algorithme
• représentation quasiment abandonnée aujourd’hui
• Le pseudo-code: Le pseudo-code: représentation textuelle avec une série de conventions ressemblant à un langage de programmation (sans les problèmes de syntaxe)
• plus pratique pour écrire un algorithme
• représentation largement utilisée
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Exemple de pseudo code
problème du tri
• Entrée: une séquence de n nombres (a1, : : : ,an)
• Sortie: une permutation (a1’; : : : ;an’) de la séquence d’entrée: a1’<a2’<….<an’
• Exemple : (31;41;59;26;41;58) (26;31;41;41;58;59)
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Algorithmique
Notions et instructions de baseNotions et instructions de base
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Les catégories d’ordres
les ordinateurs, quels qu’ils soient, ne sont fondamentalement capables de comprendre que quatre catégories d'ordres (en programmation, on n'emploiera pas le terme d'ordre, mais plutôt celui d'instructions). Ces quatre familles d'instructions sont :
• Les variables et leurs affectation
• la lecture / écriture
• les tests
• les boucles
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Notions Fondamentales (1/2)
Karim possède 3 seaux : un seau en plastique d’une contenance de 10 litres, un seau en bois d’une contenance de 7 litres et un seau en fer d’une contenance de 9 litres.
• 10h00 : karim vide ses 3 seaux
• 10h05 : karim va rendre visite a Nabil, celui-ci met 6 litres dans le seau en bois de Karim
• 10h10 : karim transverse le contenu de son seau en bois dans le seau en fer
• 10h15 : karim revient vers nabil remplir à ras bord son seau en plastique
• 10h20 : karim déverse la moitié de son seau en plastique à l’égout
• 10h25 : karim transvase le contenu de son seau en plastique dans celui en bois
• 10h30 : karim transvase 2 litres de son seau en bois dans celui en fer
• 10h35 : karim informe Asmae du nombre de litres contenu dans ses seaux en plastique, en bois, en fer.
Quelles sont les quantités des trois seaux que Asmae a reçues?
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Notions Fondamentales (2/2)
Notion d’algorithme : si les huis phrases sont bien exécutée par Karim, alors l’histoire est un algorithme
Notion d’instruction : chacune de huis phrases est une instruction (un ordre)
Notion de valeur : { 0, 3, 5, 6, 8, 10 } Notion de mémoire : elle est matérialisée par les seaux qui « mémorisent »
les quantités de liquide Notion de variable : une variable est un emplacement mémoire, ici on a
trois variables (le seau en plastique, le seau en bois et le seau en fer) Notion d’environnement : c’est l’ensemble des objet, informations,
personnes qui on une existence hors de l’histoire mais qui interviennent dans son déroulement.
Notion des valeurs d’entrée et de sortie : c’est les valeurs que le processeur reçoit de l’environnement et celles qu’il donne à l’environnement durant l’exucution. Valeurs en entrée :{6, 10} Valeurs en sortie = {0, 3, 8}
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Notion de variable
Dans les langages de programmation une variable variable sert à stocker la valeur d’une donnée
Une variable désigne en fait un emplacement mémoire dont
le contenu peut changer au cours d’un programme (d’où le nom variable)
Règle : Les variables doivent être déclaréesdéclarées avant d’être utilisées, elle doivent être caractérisées par :
• un nom (IdentificateurIdentificateur)
• un typetype (entier, réel, caractère, chaîne de caractères, …)
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Choix des identificateurs (1)
Le choix des noms de variables est soumis à quelques règles qui varient selon le langage, mais en général:
Un nom doit commencer par une lettre alphabétique exemple valide: A1exemple valide: A1 exemple invalide: 1Aexemple invalide: 1A
doit être constitué uniquement de lettres, de chiffres et du soulignement _ (Eviter les caractères de ponctuation et les espaces) valides: SMI2007, SMI_2007valides: SMI2007, SMI_2007 invalides: SMI 2007, SMI-2007, invalides: SMI 2007, SMI-2007, SMI;2007SMI;2007
doit être différent des mots réservés du langage (par exemple en JavaJava: int, float, else, switch, case, default, for, main, returnint, float, else, switch, case, default, for, main, return, …)
La longueur du nom doit être inférieure à la taille maximale spécifiée par le langage utilisé
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Choix des identificateurs (2)Conseil: pour la lisibilité du code choisir des noms significatifs
qui décrivent les données manipulées
exemples: TotalVentes2006, Prix_TTC, Prix_HT
Remarque: en pseudo-code algorithmique, on va respecter les règles citées, même si on est libre dans la syntaxe
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 27
Types des variables Le type d’une variable détermine l’ensemble des valeurs qu’elle peut
prendre, les types offerts par la plus part des langages sont:
Type numérique (entier ou réel)Type numérique (entier ou réel)• ByteByte (codé sur 1octet): de 0 à 255
• Entier courtEntier court (codé sur 2 octets) : -32 768 à 32 767
• Entier long Entier long (codé sur 4 ou 8 octets)
• Réel simple précisionRéel simple précision (codé sur 4 octets)
• Réel double précisionRéel double précision (codé sur 8 octets)
Type logique ou booléenType logique ou booléen:: deux valeurs VRAI ou FAUX
Type caractère:Type caractère: lettres majuscules, minuscules, chiffres, symboles, …
exemples: ’A’, ’a’, ’1’, ’?’, …exemples: ’A’, ’a’, ’1’, ’?’, … Type chaîne de Type chaîne de caractère: toute suite de caractères,
exemples: " Nom, Prénom", "code postale: 1000", …exemples: " Nom, Prénom", "code postale: 1000", …
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Déclaration des variables Rappel: toute variable utilisée dans un programme doit avoir fait
l’objet d’une déclaration préalable En pseudo-code, on va adopter la forme suivante pour la
déclaration de variables
Variables liste d'identificateurs : typeVariables liste d'identificateurs : type Exemple:
Variables i, j,k : entier
x, y : réel
OK: booléen
ch1, ch2 : chaîne de caractères
Remarque: pour le type numérique on va se limiter aux entiers et réels sans considérer les sous types
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L’instruction d’affectation l’affectation consiste à attribuer une valeur à une variable (ça
consiste en fait à remplir où à modifier le contenu d'une zone mémoire)
En pseudo-code, l'affectation se note avec le signe ←
Var← e :Var← e : attribue la valeur de e à la variable Var attribue la valeur de e à la variable Var
- e peut être une valeur, une autre variable ou une expression
- Var et e doivent être de même type ou de types compatibles
- l’affectation ne modifie que ce qui est à gauche de la flèche
Ex valides: i ←1 j ←i k ←i+j
x ←10.3 x ←10.3 OK ←FAUX OK ←FAUX ch1 ←"SMI" ch1 ←"SMI"
ch2 ←ch1 ch2 ←ch1 x ←4 x ←4 x ←j x ←j
(voir la déclaration des variables dans le transparent précédent)
non valides: i ←10.3 i ←10.3 OK ←"SMI" OK ←"SMI" j ←xj ←x
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Quelques remarques Beaucoup de langages de programmation (C/C++, Java, …) utilisent
le signe égal = pour l’affectation ←. Attention aux confusions:
• l'affectation n'est pas commutative : A=B est différente de B=A
• l'affectation est différente d'une équation mathématique :
• A=A+1 a un sens en langages de programmation
• A+1=2 n'est pas possible en langages de programmation et n'est pas équivalente à A=1
Certains langages donnent des valeurs par défaut aux variables déclarées. Pour éviter tout problème il est préférable d'initialiser les variables déclarées
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Exercices simples sur l'affectation (1)
Donnez les valeurs des variables A, B et C après exécution des instructions suivantes ?
Variables A, B, C: EntierDébutA ← 3B ← 7A ← B
B ← A+5
C ← A + BC ← B – AFin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 32
Exercices simples sur l'affectation (2)
Donnez les valeurs des variables A et B après exécution des instructions suivantes ?
Variables A, B : EntierDébutA ← 1B ← 2A ← BB ← AFin
Les deux dernières instructions permettent-elles d’échanger les valeurs de A et B ?
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 33
Exercices simples sur l'affectation (3)
Ecrire un algorithme permettant d’échanger les
valeurs de deux variables A et B
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 34
Expressions et opérateurs Une expression peut être une valeur, une variable ou une opération
constituée de variables reliées par des opérateurs exemples: exemples: 1, b, a*2, a+ 3*b-c, … 1, b, a*2, a+ 3*b-c, …
L'évaluation de l'expression fournit une valeur unique qui est le résultat de l'opération
Les opérateurs dépendent du type de l'opération, ils peuvent être :
• des opérateurs arithmétiques: +, -, *, /, % (modulo), ^ (puissance)
• des opérateurs logiques: NON, OU, ET
• des opérateurs relationnels: =, , <, >, <=, >=
• des opérateurs sur les chaînes: & (concaténation)
Une expression est évaluée de gauche à droite mais en tenant compte de priorités
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 35
Priorité des opérateurs
Pour les opérateurs arithmétiques donnés ci-dessus, l'ordre de priorité est le suivant (du plus prioritaire au moins prioritaire) :
• ^ : (élévation à la puissance)
• * , / (multiplication, division)
• % (modulo)
• + , - (addition, soustraction)
exemple: exemple: 2 + 3 * 7 vaut 23 23
En cas de besoin (ou de doute), on utilise les parenthèses pour indiquer les opérations à effectuer en priorité
exemple: exemple: ((2 + 3) * 7 vaut 3 35
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 36
Les instructions d'entrées-sorties: lecture et écriture (1)
Les instructions de lecture et d'écriture permettent à la machine de communiquer avec l'utilisateur
La lecture permet d'entrer des donnés à partir du clavier
• En pseudo-code, on note: lire (var)lire (var)
lla machine met la valeur entrée au clavier dans la zone mémoire nommée var
• Remarque: Le programme s'arrête lorsqu'il rencontre une instruction Lire et ne se poursuit qu'après la frappe d’une valeur au clavier et de la touche Entrée
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 37
Les instructions d'entrées-sorties: lecture et écriture (2)
L'écriture permet d'afficher des résultats à l'écran (ou de les écrire dans un fichier)
• En pseudo-code, on note: écrire (var)écrire (var)
la machine affiche le contenu de la zone mémoire var
• Conseil: Avant de lire une variable, il est fortement conseillé d’écrire des messages à l’écran, afin de prévenir l’utilisateur de ce qu’il doit frapper
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 38
Exemple (lecture et écriture)Ecrire un algorithme qui demande un nombre entier à l'utilisateur, puis
qui calcule et affiche le double de ce nombre
Algorithme Calcul_double
variables A, B : entier
Début
écrire("entrer la valeur de A ")
lire(A)
B ← 2*A
écrire("le double de ", A, "est :", B)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 39
Exercice (lecture et écriture)
Ecrire un algorithme qui vous demande de saisir votre nom puis votre prénom et qui affiche ensuite votre nom complet
Algorithme AffichageNomComplet
variables Nom, Prenom, Nom_Complet : chaîne de caractères
Début
écrire("entrez votre nom")
lire(Nom)
écrire("entrez votre prénom")
lire(Prenom)
Nom_Complet ← Nom & Prenom
écrire("Votre nom complet est : ", Nom_Complet)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 40
Exercice (respect des règles) Chacun de ces quatre algorithmes contient une erreur. Laquelle?
Algorithme1
VariablesQuantité : entier
Prix_unit : réel
DébutLire (Quantité, Prix_unit)
Prix_total := Quantité * Prix_unit
Écrire (Prix_total)
Fin
Algorithme2
VariablesX, Y, Z : réel
DébutLire (X, Y, Z)
Z :=X-Y
Écrire (Z)
Fin
Algorithme3
VariablesA1, A2: entier
A3 : réel
DébutLire (A1, A2)
A2 := A1 * A3
Écrire (A2)
Fin
Algorithme4
VariablesX : réel
DébutLire (X)
X := X-1
X :=Pi * X
Écrire (X)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 41
Méthode de construction d’un algorithme simple (1/4)
Exemple :
Écrire un algorithme qui consiste a calculer l’air S d’un cercle selon la formule S = Pi * R2
Rappel : Pi = 3.14159 et R le rayon du cercle
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 42
Méthode de construction d’un algorithme simple (2/4)
Méthodologie a suivre : constantes : Pi = 3.14159
Variables : Rayon, Surface
Types : Rayon, Surface : réel
Expressions et affectation : Surface := Pi * (Rayon)2
Structures conditionnelles et les boucles : ------ Opérations d’entrée-sortie : Lire (Rayon),
Écrire (Surface)
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 43
Méthode de construction d’un algorithme simple (3/4)
AlgorithmeCalcul_Aire
Constantes
Pi = 3,14159
Variables
Rayon, Surface : réels
Début
lire (Rayon)
Surface := Pi * (Rayon)2
écrire (Surface)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 44
Méthode de construction d’un algorithme simple (3/4)
Programme Pascal Programme CProgram Calcul_Aire;
CONST
Pi = 3.14159
VAR
Rayon, Surface : REAL;
BEGIN
READLN (Rayon);
Surface := Pi * SQR (Rayon)
WRITELN (Surface)
END.
#include <stdio.h>
#include <math.h>
Main ( )
{
Float Pi = 3.14159;
Float rayon, surface;
Scanf (« °/°f », &rayon);
surface = pi*pow (rayon,2);
Printif (« °/°f\n »surface, )
Return 0;
}
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 45
Algorithmique
Les structures Conditionnelles et les boucles
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 46
Besoin a des concepts de ruptures de séquence
Rare les algorithme qui peuvent se décrire uniquement par un enchaînement séquentiel d’opération élémentaire
On a besoin a des concept de rupture de séquence comme les test et les boucles
Ex : un algorithme qui résout une
équation de deuxième degré un algorithme qui calcule une série
numérique
AlgorithmeCalcul_Aire
Constantes
Pi = 3,14159
Variables
Rayon, Surface : réels
Début
lire (Rayon)
Surface := Pi * (Rayon)2
écrire (Surface)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 47
Les structures conditionnelles et les boucles Les tests simples : permet de réaliser un choix parmi deux possibilités
(Ex :Booléenne : vrais ou faux) Les instructions conditionnelles : c’est un concept de tests
multiples, permet de comparer un objet à une série de valeurs, et exécuter si la condition est vérifier (Ex : recherche des nombres premier dans une ensemble)
Les itérations : consiste a exécuté un bloc d’instructions un certain nombre de fois (Ex : calcul d’une suite numérique)
Les boucles conditionnelles : consiste a exécuté un bloc d’instructions un certain nombre de fois si la condition est vérifier (Ex : On veut
afficher le 100 premiers nombres :. Tant que i est plus petit que 100, afficher la valeur de i).
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 48
Tests: instructions conditionnelles (1) Les instructions conditionnelles servent à n'exécuter une instruction ou une
séquence d'instructions que si une condition est vérifiée
On utilisera la forme suivante: Si Si condition alors alors
instruction ou suite d'instructions1
SinonSinon
instruction ou suite d'instructions2
FinsiFinsi
• la condition ne peut être que vraie ou fausse
• si la condition est vraie, se sont les instructions1 qui seront exécutées
• si la condition est fausse, se sont les instructions2 qui seront exécutées
• la condition peut être une condition simple ou une condition composée de plusieurs conditions
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 49
Tests: instructions conditionnelles (2) La partie Sinon n'est pas obligatoire, quand elle n'existe pas et que
la condition est fausse, aucun traitement n'est réalisé
• On utilisera dans ce cas la forme simplifiée suivante:
Si Si condition alors alors
instruction ou suite d'instructions1
FinsiFinsi
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 50
Exemple (Si…Alors…Sinon)
Algorithme AffichageValeurAbsolue (version1)
Variable x : réel
DébutEcrire " Entrez un réel : "
Lire (x)
Si x < 0 alors Ecrire ("la valeur absolue de ", x, "est:",-x)
Sinon Ecrire ("la valeur absolue de ", x, "est:",x)
FinsiFin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 51
Exemple (Si…Alors)
Algorithme AffichageValeurAbsolue (version2)
Variable x,y : réel
DébutEcrire " Entrez un réel : "
Lire (x)
y← x
Si x < 0 alors y ← -x
FinsiEcrire ("la valeur absolue de ", x, "est:",y)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 52
Exercice (tests)Ecrire un algorithme qui demande un nombre entier à l'utilisateur,
puis qui teste et affiche s'il est divisible par 3
Algorithme Divsible_par3
Variable n : entier
DébutEcrire " Entrez un entier : "
Lire (n)
Si (n%3=0) alors Ecrire (n," est divisible par 3")
Sinon Ecrire (n," n'est pas divisible par 3")
FinsiFin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 53
Conditions composées Une condition composée est une condition formée de plusieurs
conditions simples reliées par des opérateurs logiques:
ET, OU, OU exclusif (XOR) et NON
Exemples :
• x compris entre 2 et 6 : (x > 2) ET (x < 6)
• n divisible par 3 ou par 2 : (n%3=0) OU (n%2=0)
• deux valeurs et deux seulement sont identiques parmi a, b et c :
(a=b) XOR (a=c) XOR (b=c)
L'évaluation d'une condition composée se fait selon des règles présentées généralement dans ce qu'on appelle tables de vérité
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 54
Tables de vérité
C1 C2 C1 ET C2
VRAI VRAI VRAI
VRAI FAUX FAUX
FAUX VRAI FAUX
FAUX FAUX FAUX
C1 C2 C1 OU C2
VRAI VRAI VRAI
VRAI FAUX VRAI
FAUX VRAI VRAI
FAUX FAUX FAUX
C1 C2 C1 XOR C2
VRAI VRAI FAUX
VRAI FAUX VRAI
FAUX VRAI VRAI
FAUX FAUX FAUX
C1 NON C1
VRAI FAUX
FAUX VRAI
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 55
Tests imbriqués Les tests peuvent avoir un degré quelconque d'imbrications
Si Si condition1 alors alors
Si Si condition2 alors alors
instructionsA
SinonSinon
instructionsB
FinsiFinsi
Sinon Sinon
Si Si condition3 alors alors
instructionsC
FinsiFinsi
FinsiFinsi
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 56
Tests imbriqués: exemple (version 1)Variable n : entierDébut
Ecrire ("entrez un nombre : ")Lire (n)Si n < 0 alors
Ecrire ("Ce nombre est négatif")
Sinon
Si n = 0 alors Ecrire ("Ce nombre est nul")
Sinon Ecrire ("Ce nombre est positif")
FinsiFinsi
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 57
Tests imbriqués: exemple (version 2)Variable n : entier Début
Ecrire ("entrez un nombre : ")Lire (n)
Si n < 0 alors Ecrire ("Ce nombre est négatif")Finsi
Si n = 0 alors Ecrire ("Ce nombre est nul")
Finsi Si n > 0 alors Ecrire ("Ce nombre est positif")
Finsi
Fin
Remarque : dans la version 2 on fait trois tests systématiquement alors que dans la version 1, si le nombre est négatif on ne fait qu'un seul test
Conseil : utiliser les tests imbriqués pour limiter le nombre de tests et placer d'abord les conditions les plus probables (minimiser la complexité)
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 58
Tests imbriqués: exercice
Le prix de photocopies dans une reprographie varie selon le nombre demandé: 0,5 DH la copie pour un nombre de copies inférieur à 10, 0,4DH pour un nombre compris entre 10 et 20 et 0,3DH au-delà.
Ecrivez un algorithme qui demande à l’utilisateur le nombre de photocopies effectuées, qui calcule et affiche le prix à payer
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 59
Tests imbriqués: corrigé de l'exerciceVariables copies : entier
prix : réelDébut
Ecrire ("Nombre de photocopies : ")
Lire (copies)Si copies < 10 Alors
prix ← copies*0.5
Sinon Si copies < 20 prix ← copies*0.4
Sinon prix ← copies*0.3
Finsi
Finsi Ecrire (“Le prix à payer est : ”, prix)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 60
Tests imbriqués: Exercice 2
Écrire l’algorithme du traitement qui calcule le discriminant DELTA d’trinome du second degré AX2 + BX + C et qui, en fonction de son signe, calcule la ou les racines réelles du trinome ou afiche, si besoin est qu’il n’ya pas de racine réelle.
Les trois coefficients A, B et C seront saisis au clavier avant traitement.
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 61
Tests imbriqués: corrigé de l'exercice 2 Variables
A, B, C, Delta, X1, X2 : réelsDébut
Lire (A, B, C)Delta ← B2 – 4 AC
Si (Delta < 0) Alors
Ecrire (« le trinome n’a pas de racine réelle ») Sinon
Si (Delta > 0 AlorsX1 ← (-B + racine(delta)) / 2AX2 ← (-B - racine(delta)) / 2A
Ecrire (« le trinome possède deux racines réelles : », X1, X2)
Sinon
X1 ← (-B ) / 2AEcrire (« le trinome possède une racine réelle : », X1)
Finsi Finsi
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 62
Algorithmique
Les boucles
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 63
Les types de boucle
On distingue 2 types de boucles:
• Les boucles à compteur ou définie• On sait à l’avance combien de fois la boucle devra tourner et
une variable (le compteur ) compte les répétitions• Choisir 10 nombres au hasard. On fera dix fois l’opération choisir
un nombre au hasard.• Ex : la boucle Pour
• Les boucles à événement ou indéfinie• On ne sait pas à l’avance le nombre de fois que la boucle sera
exécutée.• Ça peut dépendre du nombre de données à traiter.• Ça peut dépendre du nombre d’essais que l’usager a effectués.• Ex : la boucle Tanque et la boucle jusqu’a
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 64
Les boucles Tant que
TantQueTantQue (condition)
instructions
FinTantQueFinTantQuecondition instructions
Faux
Vrai
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 65
Boucle Tant que : exemple simpleUn algorithme qui détermine le premier nombre entier N tel que la
somme de 1 à N dépasse strictement 100
Variables som, i : entierDebut
i ← 0
som← 0
TantQue (som <=100)
i ← i+1
som ← som+i
FinTantQueEcrire (" La valeur cherchée est N= ", i)
Fin
Boucle Tant que : exemple
Algorithme Plus-Grand-Element: Retourne la plus grande valeur d’une liste
Entrée: n entiers S1,…, Sn
Sortie: grand contenant le plus grand élément
Algo plus-grand (S,n)
grand := S1;
i:=2;
Tant que i ≤ n Faire
Début Si Si > grand alors // une plus grande valeur a été trouvée
grand := Si;
i := i+1;
Fin
ecrire (grand)
Fin plus-grand;
Trace de l’algorithme:
n=4; S1= -2; S2=6; S3=5; S4=6
grand =-2 i = 2
grand = 6 i = 3
i = 4
i = 5
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 67
Algorithme d’Euclide
Trouver le plus grand diviseur commun (pgcd) de deux entiers
Définition: q est un diviseur commun de m et n si q divise à la fois m et n (le reste de la division entière est 0)
Le pgdc de m et n est le plus grand entier q divisant à la fois m et n.
Exemple: pgcd(4, 6) = 2; pgcd(3,8) = 1; pgcd(9, 12) = 3;
Utile pour la simplification de fractions:9/12 = 3.3/4.3 = 3/4
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 68
Trouver le PGCD de a et b
Exemple: pgcd(30, 105) 1ère méthode: Trouver tous les diviseurs de a et b, et trouver le
diviseur commun le plus grand• Diviseurs de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30• Diviseurs de 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 pgcd(30, 105) = 15
• 2ème méthode: la méthode d’Euclide• 105 = 30.3 + 15. Donc pgcd(105, 30) = pgcd(30,15)• 30 = 15.2 + 0. Donc pgcd(30, 15) = pgcd(15,0)• pgcd(15,0)=15
pgcd(105,30)=pgcd(30,15)=pgcd(15,0)=15
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 69
Méthode d’Euclide : Algorithme
Soient r0, r1 deux entiers strictement positifs, tels que r0=r1.q+r2 avec 0≤r2<r1
Si r2 = 0, pgcd (r0, r1) = r1
Sinon, rediviser ri par ri+1 tant que ri+1 est différent de 0
Si rn est le premier reste nul, alorspgcd(r0,r1) = pgcd(r1,r2) = … =pgcd(rn-1,rn)= pgcd(rn-1,0) = rn-1
Algorithme d’EuclideEntrée: a, b deux entiers positifs
Sortie: pgcd(a,b)
Procédure pgcd(a,b)
Tant que b <> 0 Faire
Début
diviser a par b: a = b.q+r, 0 ≤ r < b;
a:=b;
b:=r;
Fin
Retourner (a)
Fin pgcd
Trace de l’algorithme pour
a=504 et b=396
504 396
1108
a
b 396 108
372
a
b 108 72
136
a
b72 36
20
a
b
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 71
Les boucles Pour
PourPour compteur allant deallant de initiale à à finale par paspas valeur du pas
instructions
FinPourFinPour
i n'a pas atteint finale instructions
Faux
Vrai
i ←initiale
i ← i + pas
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 72
Les boucles PourRemarques :
CompteurCompteur est une variable de type entier (ou caractère). Elle doit être déclarée
PasPas est un entier qui peut être positif ou négatif. PasPas peut ne pas être mentionné, car par défaut sa valeur est égal à 1. Dans ce cas, le nombre d'itérations est égal à finale - initiale+ 1
Initiale et finaleInitiale et finale peuvent être des valeurs, des variables définies avant le début de la boucle ou des expressions de même type que compteur
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 73
Déroulement des boucles Pour1) La valeur initiale est affectée à la variable compteur
2) On compare la valeur du compteur et la valeur de finale :
a) Si la valeur du compteur est > à la valeur finale dans le cas d'un pas positif (ou si compteur est < à finale pour un pas négatif), on sort de la boucle et on continue avec l'instruction qui suit FinPour
b) Si compteur est <= à finale dans le cas d'un pas positif (ou si compteur est >= à finale pour un pas négatif), instructions seront exécutées
i. Ensuite, la valeur de compteur est incrémentée de la valeur du pas si pas est positif (ou décrémenté si pas est négatif)
ii. On recommence l'étape 2 : La comparaison entre compteur et finale est de nouveau effectuée, et ainsi de suite …
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 74
Boucle Pour : exemple
Algorithme Plus-Grand-Element: Réécriture de l’algorithme précédent mais avec une boucle ``Pour’’
Entrée: n entiers S1,…, Sn Sortie: grand contenant le plus grand élément
Algo plus-grand (S,n)grand := S1; Pour i =1 à n Faire Si Si > grand alors // une plus grande valeur a été trouvée
grand := Si;ecrire (grand)Fin plus-grand;
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 75
Boucle Pour : remarque Il faut éviter de modifier la valeur du compteur (et de finale) à
l'intérieur de la boucle. En effet, une telle action :
• perturbe le nombre d'itérations prévu par la boucle Pour
• rend difficile la lecture de l'algorithme
• présente le risque d'aboutir à une boucle infinie
Exepmle : Pour i allant de 1 à 5
i i -1 écrire(" i = ", i)
Finpour
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 76
Lien entre Pour et TantQueLa boucle Pour est un cas particulier de Tant Que (cas où le nombre d'itérations
est connu et fixé) . Tout ce qu'on peut écrire avec Pour peut être remplacé avec TantQue (la réciproque est fausse)
Pour Pour compteur allant deallant de initiale à à finale par paspas valeur du pas
instructions
FinPourFinPour
peut être remplacé par : compteur ← initiale
(cas d'un pas positif) TantQueTantQue compteur <= finale
instructions
compteur ← compteur+pas
FinTantQueFinTantQue
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 77
Lien entre Pour et TantQue: exemple
Calcul de x à la puissance n avec la
boucle PourPour et la boucle TantQueTantQue
x : un réel non nul
n : entier positif ou nul
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 78
Solution avec la boucle Pour
Variables x, puiss : réel
n, i : entier
DebutEcrire (" Entrez respectivement les valeurs de x et n ")
Lire (x, n)
puiss ← 1
Pour i allant de 1 à n
puiss← puiss*x FinPour
Ecrire (x, " à la puissance ", n, " est égal à ", puiss)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 79
Solution avec la boucle Tant Que
Variables x, puiss : réel
n, i : entierDebutEcrire (" Entrez respectivement les valeurs de x et n ")
Lire (x, n)
puiss ← 1, i ← 1
TantQue (i<=n)
puiss← puiss*x i ← i+1
FinTantQue
Ecrire (x, " à la puissance ", n, " est égal à ", puiss)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 80
Algorithme de la fonction factorielle : Exemple
Écrire deux algorithmes qui calculent pour un entier positif donné n la valeur n!, un de ces algorithmes doit utilisé la boucle Pour et l’autre la boucle Tanque
Entrée : n de type naturel
Sortie : factoriel (n) = 1*2*3*…..*(n-1)*n
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 81
Algorithme de la fonction factorielle
Algorithme / tantqueCalcul factorielle 1
Variables
i, f, n : Naturel
Début
i ← 1
f ← 1 tant que (i < n)
i ← i+1
f ← f * i
Fin de tant que
écrire (f)
Fin
Algorithme / PourCalcul factorielle 2
Variables
i, f, n : Naturel
Début
f ← 1
pour i variant de 2 à n
f ← f * i
Fin pour
écrire (f)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 82
Algorithme de la recherche des nombres premiers : Exemple
Problème: Écrire l’algorithme estPremier, qui a partir d’un entier strictement positif donné, retourne le résultat booléen VRAI ou FAUX selon le nombre est premier ou non.
Procédure : pour déterminer si un entier m est un nombre premier. Il suffit de tester si m est divisible par un entier entre 2 et m/2• Ex : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47. (listes des nombres premier <=50)
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 83
La boucle tantque en langage de programmation
Langage C et Java
while (condition) {
Bloc d’instructions;
}
corps_boucle
test
Langage Pascal
While condition Do
Begin
Bloc d’instructions;
End;
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 84
La boucle Pour en langage de programmation
Langage C et Javafor (i=valeur initiale; i<= valeur finale; i++) {
Bloc d’instructions;
}
corps_boucle
incr
test
init
Langage PascalFor variable := valeur initiale To valeur finale Do
Begin
Bloc d’instructions
End;
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 85
Détecter l’erreur dans les deux essaie tant que et pour
AlgorithmeEssai de tant que
Variables
n : entier
Début
n ← 15 tant que (n<>0)
écrire (n)
n ← n - 2
Fin de tant que
Fin
AlgorithmeEssai pour
Variables
K, N : entier
Début
n ← 200
pour K variant de 1 à n
écrire (K)
K ← n – 100
Fin pour
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 86
Boucles imbriquées Les instructions d'une boucle peuvent être des instructions
itératives. Dans ce cas, on aboutit à des boucles imbriquéesboucles imbriquées
Exemple:Exemple: ExécutionExécution
Pour i allant de 1 à 5 OXOX
Pour j allant de 1 à i OOXOOX
écrire("O") OOOXOOOX
FinPour OOOOXOOOOX
écrire("X") OOOOOXOOOOOX
FinPour
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 87
La boucle Faire…Tant Que
• FaireInstruction(s)
Tant que (condition)
• doInstruction;
while (condition)
do{
f :=n;n--;
} while (n>1);
condition
Instruction(s) de la boucle
Vraie
FausseLa boucle s’exécute tant que la condition est vraie. La boucle cesse lorque la condition est fausse. À utiliser si l’on veut que la boucle soit exécutée au moins une fois
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 88
Les boucles Répéter … jusqu’à …
RépéterRépéter
instructions
Jusqu'à Jusqu'à condition
Condition est évaluée après chaque itération
les instructions entre Répéter et jusqu’à sont exécutées au moins une fois et leur exécution est répétée jusqu’à ce que condition soit vrai (tant qu'elle est fausse)
condition
instructions
Vrai
Faux
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 89
Boucle Répéter jusqu’à : exempleUn algorithme qui détermine le premier nombre entier N tel que la somme de 1
à N dépasse strictement 100 (version avec répéter jusqu'à)
Variables som, i : entierDebut
som ← 0
i ← 0Répéter
i ← i+1
som ← som+i
Jusqu'à ( som > 100)
Ecrire (" La valeur cherchée est N= ", i)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 90
Choix d'un type de boucle Si on peut déterminer le nombre d'itérations avant l'exécution de la
boucle, il est plus naturel d'utiliser la boucle Pour
S'il n'est pas possible de connaître le nombre d'itérations avant l'exécution de la boucle, on fera appel à l'une des boucles TantQue ou répéter jusqu'à
Pour le choix entre TantQue et jusqu'à :
• Si on doit tester la condition de contrôle avant de commencer les instructions de la boucle, on utilisera TantQue
• Si la valeur de la condition de contrôle dépend d'une première exécution des instructions de la boucle, on utilisera répéter jusqu'à ou faire tanque
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 91
Algorithme de la racine carrée : Exercice
Problème: Écrire l’algorithme qui calcul la racine carrée d’un nombre sans avoir recours a la fonction mathématique Racine Carrée prédéfinie.
Procédure : si n est le nombre dont on souhaite extraire la racine carrée. On construit une suite de nombres Xi dont le premier vaut 1 et dont le terme générale a pour expression :
Xi = (n/xi-1 + xi-1) / 2
Rq : Cette suite converge systématiquement vers racarrée (n)
2006/2007
Algorithme de la racine carrée
Algorithme Racine Carrée (RC)Variables
n, x : réels
i, max : entier
Début
Lire (n)
Lire (max)
x ← 1 pour i variant de 1 à max
écrire (n)
x ← ((n/x) + x) / 2
Fin de pour
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 93
MAPLE
Présentation générale et Présentation générale et syntaxe des instructions de syntaxe des instructions de
basebase
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 94
Maple Maple est un logiciel de calcul formel et numérique
• Calcul formel :Calcul formel : calcul sur des expressions littérales sans évaluation numérique (Maple peut calculer des dérivées, des intégrales, des développements limités, …)
> int(1-x+x^3,x);
> taylor(sin(x),x=0,6);
• Calcul numérique :Calcul numérique : calcul sur des valeurs (avec une grande précision)
> 30!; 265252859812191058636308480000000
> evalf(sqrt(2),50); 1.414213562373095048801688 7242096980785696718753769
)O(x120
x
6
x-x 6
53
4
x
2
x-x
42
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 95
Maple : quelques fonctions
abs (n) :renvoie la valeur absolue de son argument n
• ex: >abs(-4)
• 4 Ifactor(n) : donne la décomposition de n en facteur premiers
• Ex : >ifactor(1998)
• (2)(3)3(37) Irem(a,b) : renvoie le reste de la division entiere de a par b
• Ex: >Irem(5,2)
• 1 Sum(f(k),k=a..b) : calcul la sommes de f(k) de a jusqu’à b Product(f(k),k=a..b) : calcul le produit de f(k) de a jusqu’au b
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 96
Maple : les packages Maple dispose d'un certain nombre de packages packages (librairies). Chacun
de ces packages est spécialisé dans un traitement particulier. Comme exemples de ces packages, on a :
• linalg : linalg : pour l'algèbre linéaire
• plots :plots : pour le tracé des courbes
• geometry : geometry : pour la géométrie
• student :student : ce package est conçu pour assister l'enseignement des mathématiques de base (intéressant pour les étudiants)
Pour utiliser certaines commandes et fonctions de Maple, il faut d'abord charger le package qui les contient avec la commande with with :
• with with (NomLibrairie) : charge le package NomLibrairie
• with with (NomLib, NomCmd) : charge la commande NomCmd du package NomLib
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 97
Maple : Généralités
Chaque instruction Maple doit se terminer par ;; ou ::
• Si l'instruction se termine par ;; Maple l'exécute et affiche le résultat
• Si l'instruction se termine par :: Maple l'exécute sans afficher le résultat
Pour introduire un texte en tant que commentairecommentaire, il suffit de précéder la ligne par # # ( le texte est alors ignoré par Maple)
Maple fait la distinction entre les lettres majuscules et minuscules (SMI, Smi, smI et smi sont différents pour Maple)
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 98
Maple : nom et type des variables• Le nom d'une variablenom d'une variable peut être une combinaison de lettres et de
chiffres, mais qui commence par une lettre, qui ne contient pas d'espaces et qui est différente des mots réservés (commandes Maple)
• Le type d'une variabletype d'une variable est attribué automatiquement par Maple selon le contexte (exemple : si A prend la valeur 2, A sera de type integerinteger, si A prend la valeur , A sera de type floatfloat)
• Les principaux types prédéfinis en Maple sont : integerinteger (entier), float float (réel), fractionfraction (rationnel), complex complex (complexe), stringstring (chaîne de caractères), booleanboolean (booléen), arrayarray (tableau), matrixmatrix (matrice)
• Maple offre quelques commandes relatifs aux types : ex : whattype whattype(var) donne le type de la variable var
2
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 99
Maple : l'affectation Le symbole d'affectationaffectation ← se note en Maple avec :=:=
exemple : i:= 1; j:= i+1;
Attention : Attention : en Maple a=b a=b n'est pas une instruction d'affectation, mais une expression de type logique (booleanboolean) qui est vrai si les deux valeurs a et b sont égales et fausse sinon
Maple n'évalue l'expression logique a=b que si on le demande explicitement. Pour cela, on utilisera la commande evalbevalb
exemple : a:= 1; b:= 2;
> a=b; 1=2
> evalb (a=b); false
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 100
Maple : instructions d'entrées-sorties print(print(var) ) permet d'afficher la valeur de la variable var (c'est l'équivalent de
écrireécrire en pseudo code). Si var n'a pas de valeur, Maple affiche le nom de la
variable
print(`print(`chaine`)`) permet d'afficher la chaîne de caractères qui est entre ` `` `
> a:=1: b:=2: print(`a vaut`,a, `et b vaut`,b);
a vaut ,1 et b vaut, 2
readstatreadstat permet de saisir des données à partir du clavier (c'est l'équivalent de lirelire en pseudo code)
• Syntaxe:Syntaxe: var:=readstatreadstat(`texte`) Maple affiche le texte entre ` ` et attend qu'on entre une valeur au clavier qui doit être suivie de ; ou :
> n:=readstat(`entrez la valeur de n : `);
Remarque : il existe d'autres commandes pour les entrées-sorties en Maple
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 101
Maple : syntaxe des tests Écriture en pseudo codeÉcriture en pseudo code Traduction en MapleTraduction en Maple
SiSi condition alors alors if if condition then then instructions instructions
FinsiFinsi fi;
SiSi condition alorsalors ifif condition thenthen
instructions 1 instructions1
SinonSinon elseelse
instructions2 instructions2
FinsiFinsi fi;fi;
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 102
Maple : syntaxe des boucles Écriture en pseudo codeÉcriture en pseudo code Traduction en MapleTraduction en Maple
TantQueTantQue condition while while condition do do instructions instructions
FinTantQueFinTantQue odod;
Pour Pour i allant de allant de v1 à à v2v2 par pas pas p forfor i fromfrom v1 to v2 by p do
instructions instructions
FinPourFinPour od;od;
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 103
Algorithmique
Fonctions et procéduresFonctions et procédures
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 104
Fonctions et procédures
Lorsqu’une séquence d’instructions se répète plusieurs fois, il est intéressant de faire un sous-programme correspondant à ce bloc d’instructions et de l’utiliser autant de fois que nécessaire
Cette séquence d’instructions sera définie dans un sous-programme qui peut prendre la forme d’une procédure ou d’une fonction
De plus, un programme est presque toujours décomposable en modules qui peuvent alors être définis de manière indépendante.
Cela permet de modifier éventuellement un module sans pour autant changer le corps du programme et de rendre le programme plus compréhensible (lisibilité)
Un programme est alors un ensemble de procédures / fonctions
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 105
Notion de bloc dans un programme
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 106
Fonctions
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 107
Forme d’une Fonction Une fonction s'écrit en dehors du programme principal sous la forme
FonctionFonction identificateur (paramètres et leurs types) : type_fonction
Instructions constituant le corps de la fonctionretourneretourne …
FinFonctionFinFonction
type de fonction : le type du résultat renvoyé par la fonction Identificateur : le nom que l’on a donné à la fonction liste de paramètres : la liste des paramètres formels donnés en entrée
avec leurs types corps de la fonction : un bloc d’instructions, pouvant comprendre la
déclaration des « variables locales » a la fonctionsRemarque : le corps de la fonction doit comporter une instruction de la forme :
return(expression); où expression est du type du résultat de la fonction
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 108
Exemple de programme / fonction
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 109
Exemple de fonction / fonction
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 110
Fonctions : exemples La fonction SommeCarre suivante calcule la somme des carrées
de deux réels x et y :
FonctionFonction SommeCarre (x : réel, y: réel ) : réel
variable z : réel
z ←x^2+y^2
retourneretourne (z)
FinFonctionFinFonction
La fonction Pair suivante détermine si un nombre est pair :
FonctionFonction Pair (n : entier ) : booléen
retourneretourne (n%2=0)
FinFonctionFinFonction
Paramètres formels
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 111
Utilisation des fonctions L'utilisation d'une fonction se fera par simple écriture de son nom
dans le programme principale. Le résultat étant une valeur, devra être affecté ou être utilisé dans une expression, une écriture, ...
Exepmle : Exepmle : Algorithme exepmleAppelFonctionAlgorithme exepmleAppelFonction
variables z : réel, b : booléen
DébutDébut
b ←Pair(3)
z ←5*SommeCarre(7,2)+1
écrire("SommeCarre(3,5)= ", SommeCarre(3,5))
FinFin
Lors de l'appel Pair(3) le paramètre formelparamètre formel n est remplacé par le paramètre effectifparamètre effectif 3
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 112
Subdivision d’un problème en un ensemble de fonctions
Problème: Trouver le plus petit nombre premier strictement supérieur à un entier positif donné n
• Utiliser l’algorithme qu’on a déjà fait estPremier (le plus petit nombre premier p supérieur à un entier n) en tant que fonction.
• Fait appel a cette fonction a l’intérieur de l’algorithme premier-plus-grand
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 113
La fonction de recherche des nombres premiers
FonctionFonction estPremier
FonctionFonction est-premier (m : entier) : booléen
Pour i := 2 à ENT(m/2) Faire
Si m mod i = 0 alors // i divise m
Retourne (Faux)
Retourne (Vrai)
FinFonctionFinFonction est-premier
Entrée: Un entier positif m
Sortie: Vrai si m est premier, Faux si non.
Fonction est-premier (m)
Pour i := 2 à ENT(m/2) Faire
Si m mod i = 0 alors // i divise m
Retourne (Faux)
Retourne (Vrai)
Fin est-premier
Entrée: Un entier positif n
Sortie: Le plus petit nb premier m > n
Algorithme premier-plus-grand (n)
m := n+1;
Tant que est-premier(m) est Faux Faire
m := m+1;
Retourne(m)
Fin est-premier
Trace de premier-plus-grand pour n=8:
m = 9
Trace de est-premier pour m=9:
i=2 9 mod 2 = 19 mod 3 = 0i=3
m = 10
Trace de est-premier pour m=10:
10 mod 2 = 0
m = 11
Trace de est-premier pour m=11:
11 mod 2 = 1
i=5 11 mod 5 = 1
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 115
Procèdures Dans certains cas, on peut avoir besoin de répéter une tache dans plusieurs
endroits du programme, mais que dans cette tache on ne calcule pas de résultats ou qu'on calcule plusieurs résultats à la fois
Dans ces cas on ne peut pas utiliser une fonction, on utilise une procédureprocédure
Une procédureprocédure est un sous-programme semblable à une fonction mais qui ne retourne rienne retourne rien
Une procédure s'écrit en dehors du programme principal sous la forme :
ProcédureProcédure nom_procédure (paramètres et leurs types)
Instructions constituant le corps de la procédure
FinProcédureFinProcédure Remarque : une procédure peut ne pas avoir de paramètres
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 116
Appel d'une procédure L'appel d'une procédure, se fait dans le programme principale ou dans une
autre procédure par une instruction indiquant le nom de la procédure :
ProcédureProcédure exemple_proc (…) …
FinProcédure FinProcédure
Algorithme exepmleAppelProcédureAlgorithme exepmleAppelProcédure
DébutDébut
exemple_proc (…) …
FinFin
Remarque : contrairement à l'appel d'une fonction, on ne peut pas affecter la procédure appelée ou l'utiliser dans une expression. L'appel d'une procédure est une instruction autonome
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 117
Paramètres d'une procédure Les paramètres servent à échanger des données entre le programme
principale (ou la procédure appelante) et la procédure appelée
Comme avec les fonctions :
• Les paramètres placés dans la déclaration d'une procédure sont appelés paramètres formelsparamètres formels. Ces paramètres peuvent prendre toutes les valeurs possibles mais ils sont abstraits (n'existent pas réellement)
• Les paramètres placés dans l'appel d'une procédure sont appelés paramètres paramètres effectifseffectifs. ils contiennent les valeurs pour effectuer le traitement
Le nombre de paramètres effectifs doit être égal au nombre de paramètres formels. L'ordre et le type des paramètres doivent correspondre
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 118
Transmission des paramètresIl existe deux modes de transmission de paramètres dans les langages de
programmation :
La transmission par valeur La transmission par valeur : les valeurs des paramètres effectifs sont affectées aux paramètres formels correspondants au moment de l'appel de la procédure. Dans ce mode le paramètre effectif ne subit aucune modification
La transmission par adresse (ou par référence) La transmission par adresse (ou par référence) : les adresses des paramètres effectifs sont transmises à la procédure appelante. Dans ce mode, le paramètre effectif subit les mêmes modifications que le paramètre formel lors de l'exécution de la procédure
• Remarque : Remarque : le paramètre effectif doit être une variable (et non une valeur) lorsqu'il s'agit d'une transmission par adresse
En pseudo-code, on va préciser explicitement le mode de transmission dans la déclaration de la procédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 119
Transmission des paramètres : exemplesProcédureProcédure incrementer1 (xx : entier par valeur, par valeur, yy : entier par adressepar adresse)
x ← x+1
y ← y+1
FinProcédure FinProcédure
Algorithme Test_incrementerAlgorithme Test_incrementer1
variables n, m : entier
Début Début
n ← 3
m ← 3
incrementer1(n, m) résultat :résultat :
écrire (" n= ", n, " et m= ", m) n=3 et m=4n=3 et m=4
FinFin
Remarque :Remarque : l'instruction l'instruction x ← x+1 n'a pas de sens avec un passage par valeur
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 120
Transmission par valeur, par adresse : exemples
Procédure qui calcule la somme et le produit de deux entiers :Procédure qui calcule la somme et le produit de deux entiers :ProcédureProcédure SommeProduit (xx,y: entier par valeur, par valeur, som, prodsom, prod : entier par adressepar adresse)
som ← x+y
prod ← x*y
FinProcédure FinProcédure
Procédure qui échange le contenu de deux variabales :Procédure qui échange le contenu de deux variabales :ProcédureProcédure Echange (xx : réel par adresse, par adresse, yy : réel par adressepar adresse)
variables z : réel
z ← x
x ← y
y ← z
FinProcédureFinProcédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 121
Variables locales et globales (1) On peut manipuler 2 types de variables dans un module (procédure ou
fonction) : des variables localesvariables locales et des variables globalesvariables globales. Elles se distinguent par ce qu'on appelle leur portée portée (leur "champ de définition", leur "durée de vie")
Une variable localevariable locale n'est connue qu'à l'intérieur du module ou elle a été définie. Elle est créée à l'appel du module et détruite à la fin de son exécution
Une variable globalevariable globale est connue par l'ensemble des modules et le programme principale. Elle est définie durant toute l’application et peut être utilisée et modifiée par les différents modules du programme
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 122
Variables locales et globales (2) La manière de distinguer la déclaration des variables locales et globales
diffère selon le langage
• En général, les variables déclarées à l'intérieur d'une fonction ou procédure sont considérées comme variables locales
• En pseudo-code, on va adopter cette règle pour les variables locales et on déclarera les variables globales dans le programme principale
• Conseil :Conseil : Il faut utiliser autant que possible des variables locales plutôt que des variables globales. Ceci permet d'économiser la mémoire et d'assurer l'indépendance de la procédure ou de la fonction
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 123
Fonctions et procédures en Maple (1) En Maple, il n'y a pas de distinction entre les notions de fonction et
procédure. Les deux se déclarent de la même façon comme suit :
identificateur:= proc proc (paramètres)
locallocal ;;
global global ;;
instructions
résultat
end;end;
Identificateur est le nom de la fonction ou de la procédure
En Maple, on précise explicitement si les variables sont locales ou globales par les mots clés locallocal et globalglobal
n1 l ..., ,l
k1 g ..., ,g
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 124
Fonctions et procédures en Maple (2) Une variable globale est connue en dehors de la procédure où elle a été
définie dans l'ensemble de la session de calcul
Les paramètres, les variables locales et globales sont facultatifs, ils peuvent ne pas figurer dans la déclaration
Une procédure Maple peut rendre un seul résultat (comme une fonction), plusieurs résultats ou aucun résultat
Pour rendre plusieurs résultats, on peut utiliser une liste, un ensemble, un tableau (on verra ces structures la séance prochaine)
Le résultat de la procédure est donné soit implicitement par la dernière instruction, soit par la commande RETURN
RETURN ( ) arrête le déroulement de la procédure et renvoie les valeurs de sous forme d'une séquencen1 v, ... ,v
n1 v, ... ,v
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 125
Procédures Maple : remarques Maple interdit la modification de la valeur d'un paramètre à
l'intérieur d'une procédure (pas de transmission par adresse)
Après end;end; Maple affiche le texte de la procédure. Dans le cas où endend est suivi de :: rien n'est affiché
> carre:=proc(x,y)
> x^2+y^2;
> end; carre:=proc (x, y) x^2+y^2 end proc
En Maple, une procédure peut être appelée sans être affectée. Elle peut aussi être affectée à une variable > carre(1,2); 55
> a:=carre(3,3); a := 18a := 18
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 126
Procédures Maple : exemples (1)
> exemple:=proc(a,b)
> local c,d,e;
> c:=a+b; d:=a-b; e:=a*b;
> RETURN(c,d,e);
> d:=c+e;
> end:
> exemple(4,7); 11, -3, 28
Remarque : l'exécution s'arrête après RETURN. L'instruction d:=c+e n'est pas exécutée
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 127
Procédures Maple : exemples (2)Exemple : procédure qui calcule la somme des n premiers entiers
> somme:=proc()
> local n,i,som;
> som:=0;
> n:=readstat(`entrez la valeur de n : `);
> for i from 1 to n do
> som:=som+i;
> od;
> print(`somme=`,som);
> end;
> somme(); sur l'écran apparaît le message :entrez la valeur de n : si on entre 3, on obtient somme=,6
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 128
Algorithmique
La Récursivité La Récursivité
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 129
Récursivité
Définition :Un algorithme est dit récursif lorsqu’il est défini en fonction de lui-même.
Récursivité simpleLa fonction puissance x xn. Cette fonction peut être définie récursivement :
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 130
Types de Récursivité
• Récursivité multiple : Une définition récursive peut contenir plus d’un appel récursif. Nous voulons calculer ici les combinaisons Cn
p en se servant de la relation de Pascal
• Récursivité mutuelle : Des définitions sont dites mutuellement récursives si elles dépendent les unes des autres. Ça peut être le cas pour la définition de la parité :
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 131
Itération et Récursivité : Exemple
Calcul fact,Variables N,f : entierDebut f 1 tantque (n > 1) f f * (n−1); fintantqueEcrire(f)End;
Calcul de factoriel :
Version itérative
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 132
Itération et Récursivité : Exemple
Un module (fonction ou procédure) peut s'appeler lui-même: on dit que c'est un module récursif
Tout module récursif doit posséder un cas limite (cas trivial) qui arrête la récursivité
FonctionFonction fact (n : entier ) : entierSi (n=0) alors
retourneretourne (11)Sinon retourneretourne (n*fact(n-1)n*fact(n-1))Finsi
FinFonctionFinFonction
Version récursive
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 133
Liste des appels de la fonction factoriel (cas du n=4)
Version récursive Version itérative
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 134
Récursivité : observations
Une fonction est définie récursivement lorsque la valeur de la fonction en un point x est définie par rapport à sa valeur en un point strictement « plus petit »
De ce fait, le calcul se fait de proche en proche, jusqu’à atteindre le plus petit élément pour lequel il faut une valeur immédiate (c’est-à-dire non récursive)
Le corps d’une fonction récursive doit toujours exprimer un choix, soit par une expression conditionnelle, soit par une définition par cas
Au moins un cas terminal rend une valeur qui n’utilise pas la fonction définie
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 135
Fonctions récursives : exercice
La version itérative qui calcule la somme des n premier nombres entier :
Écrivez une fonction récursive
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 136
Fonctions récursives : exercice
La version récursive
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 137
Fonctions récursives : exercice Ecrivez une fonction récursive (puis itérative) qui calcule le terme n
de la suite de Fibonacci définie par : U(0)=U(1)=1
U(n)=U(n-1)+U(n-2)
FonctionFonction Fib (n : entier ) : entier
Variable res : entier
Si (n=1 OU n=0) alors
res ←1
Sinon
res ← Fib(n-1)+Fib(n-2)
Finsi
retourneretourne (res)
FinFonctionFinFonction
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 138
Fonctions récursives : exercice (suite) Une fonction itérative pour le calcul de la suite de Fibonacci :
FonctionFonction Fib (n : entier ) : entier
Variables i, AvantDernier, Dernier, Nouveau : entier
Si (n=1 OU n=0) alors retourneretourne (1)
Finsi
AvantDernier ←1, Dernier ←1
Pour i allant de 2 à n
Nouveau← Dernier+ AvantDernier
AvantDernier ←Dernier
Dernier ←Nouveau
FinPour
retourneretourne (Nouveau)
FinFonctionFinFonction Remarque: la solution récursive est plus facile à écrire
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 139
Algorithmique
Les tableauxLes tableaux
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 140
Exemple introductif Supposons qu'on veut conserver les notes d'une classe de 30 étudiants
pour extraire quelques informations. Par exemple : calcul du nombre d'étudiants ayant une note supérieure à 10
Le seul moyen dont nous disposons actuellement consiste à déclarer 30 variables, par exemple N1, …, N30N1, …, N30. Après 30 instructions lire, on doit écrire 30 instructions Si pour faire le calcul
nbre nbre ← 0← 0
Si (N1 >10) alors Si (N1 >10) alors nbre nbre ←nbre+1 FinSi←nbre+1 FinSi
……..
Si (N30>10) alors Si (N30>10) alors nbre nbre ←nbre+1 FinSi←nbre+1 FinSi
c'est lourd à écrire Heureusement, les langages de programmation offrent la possibilité de
rassembler toutes ces variables dans une seuleune seule structure de donnéestructure de donnée appelée tableautableau
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 141
Tableaux Un tableautableau est un ensemble d'éléments de même type désignés par un
identificateur unique
Une variable entière nommée indiceindice permet d'indiquer la position d'un élément donné au sein du tableau et de déterminer sa valeur
La déclarationdéclaration d'un tableau s'effectue en précisant le typetype de ses éléments et sa dimensiondimension (le nombre de ses éléments)
• En pseudo code :
variable tableautableau identificateur[[dimensiondimension] : ] : typetype
• Exemple :
variable tableautableau notes[[3030] : réel] : réel
On peut définir des tableaux de tous types : tableaux d'entiers, de réels, de caractères, de booléens, de chaînes de caractères, …
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 142
Tableaux : remarques L'accès à un élément du tableau se fait au moyen de l'indice. Par exemple,
notes[i]notes[i] donne la valeur de l'élément i du tableau notes
Selon les langages, le premier indice du tableau est soit 0, soit 1. Le plus souvent c'est 0 (c'est ce qu'on va adopter en pseudo-code). Dans ce cas, notes[i]notes[i] désigne l'élément i+1 du tableau notes
Il est possible de déclarer un tableau sans préciser au départ sa dimension. Cette précision est faite ultérieurement.
• Par exemple, quand on déclare un tableau comme paramètre d'une procédure, on peut ne préciser sa dimension qu'au moment de l'appel
• En tous cas, un tableau est inutilisable tant qu’on n’a pas précisé le nombre de ses éléments
Un grand avantage des tableaux est qu'on peut traiter les données qui y sont stockées de façon simple en utilisant des boucles
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 143
Tableaux : exemples (1) Pour le calcul du nombre d'étudiants ayant une note supérieure à
10 avec les tableaux, on peut écrire :
Variables i ,nbre : entier
tableautableau notes[30] : ] : réel
DébutDébutnbre ← 0
PourPour ii allant de 0 à 29 SiSi (notes[i]notes[i] >10) alors
nbre ←nbre+1
FinSiFinSi
FinPourFinPour
écrire ("le nombre de notes supérieures à 10 est : ", nbre)
FinFin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 144
Tableaux : saisie et affichage Procédures qui permettent de saisir et d'afficher les éléments d'un tableau :
ProcédureProcédure SaisieTab(n : entier par valeur, tableautableau T : réel par référence ) variable i: entier
PourPour i allant de 0 à n-1 écrire ("Saisie de l'élément ", i + 1)
lire (T[i] )
FinPourFinPour
Fin ProcédureFin Procédure
ProcédureProcédure AfficheTab(n : entier par valeur, tableautableau T : réel par valeur ) variable i: entier
PourPour i allant de 0 à n-1 écrire ("T[",i, "] =", T[i])
FinPourFinPour
Fin ProcédureFin Procédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 145
Tableaux : exemples d'appel Algorithme principale où on fait l'appel des procédures SaisieTab et
AfficheTab :
Algorithme TableauxAlgorithme Tableaux
variable p : entier
tableautableau A[10] : : réel
DébutDébut
p ← 10
SaisieTab(p, A)
AfficheTab(p,A)
FinFin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 146
Tableaux : fonction longueurLa plus part des langages offrent une fonction longueurlongueur qui donne la dimension
du tableau. Les procédures Saisie et Affiche peuvent être réécrites comme suit :
ProcédureProcédure SaisieTab( tableautableau T : réel par référence ) variable i: entier
PourPour i allant de 0 à longueur(T)-longueur(T)-1 écrire ("Saisie de l'élément ", i + 1)
lire (T[i] )
FinPourFinPour
Fin ProcédureFin Procédure
ProcédureProcédure AfficheTab(tableautableau T : réel par valeur ) variable i: entier
PourPour i allant de 0 à longueur(T)longueur(T)-1 écrire ("T[",i, "] =", T[i])
FinPourFinPour
Fin ProcédureFin Procédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 147
Tableaux : syntaxe Maple En Maple, un tableau se définit en utilisant le type arrayarray comme suit :
identificateur:= array (a..b)array (a..b)
• Identificateur est le nom du tableau
• a et b sont les bornes de l'indice du tableau
Il est possible d'entrer directement toutes les valeurs d'un tableau.
Exemple: > A:=array(1..4,[5,8,1,7]);> A:=array(1..4,[5,8,1,7]);
Il est également possible de les entrer un par un comme suit :
Exemple : > T:=array(1..3);> T:=array(1..3);> T[1]:=1: T[2]:=3: T[3]:=5:> T[1]:=1: T[2]:=3: T[3]:=5:
Pour afficher tous les éléments d'un tableau, il suffit d'utiliser la commande print > print(T); > print(T); [1, 3, 5][1, 3, 5]
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 148
Tableaux en malpe : exemple Une procédure qui calcule la moyenne des éléments d'un tableau :
> moyenne:=proc(n,T)
> local i,s;
> s:=0;
> for i from 1 to n do
> s:=s+T[i];
> od;
> end;
> A:=array(1..4,[5,8,1,7]);
> moyenne(4,A); résultat : 21/4
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 149
Tableaux à deux dimensions Les langages de programmation permettent de déclarer des
tableaux dans lesquels les valeurs sont repérées par deux indicesdeux indices. Ceci est utile par exemple pour représenter des matrices
En pseudo code, un tableau à deux dimensions se déclaredéclare ainsi :
variable tableau tableau identificateur[[dimension1dimension1] [] [dimension2dimension2] : type] : type
• Exemple : une matrice A de 3 lignes et 4 colonnes dont les éléments sont réels
variable tableau tableau A[3][4] : réel[3][4] : réel
A[i][j]A[i][j] permet d'accéder à l’élément de la matrice qui se trouve à l’intersection de la ligne i et de la colonne j
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 150
Exemples : lecture d'une matrice Procédure qui permet de saisir les éléments d'une matrice :
ProcédureProcédure SaisieMatrice(n : entier par valeur, m : entier par valeur ,tableautableau A : réel par référence )
DébutDébut
variables i,j : entier
PourPour i allant de 0 à n-1écrire ("saisie de la ligne ", i + 1)
PourPour j allant de 0 à m-1
écrire ("Entrez l'élément de la ligne ", i + 1, " et de la colonne ", j+1)
lire (A[i][j])
FinPourFinPour
FinPourFinPour
Fin ProcédureFin Procédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 151
Exemples : affichage d'une matrice Procédure qui permet d'afficher les éléments d'une matrice :
ProcédureProcédure AfficheMatrice(n : entier par valeur, m : entier par valeur ,tableautableau A : réel
par valeur )DébutDébut
variables i,j : entier
PourPour i allant de 0 à n-1PourPour j allant de 0 à m-1
écrire ("A[",i, "] [",j,"]=", A[i][j])
FinPourFinPour
FinPourFinPour
Fin ProcédureFin Procédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 152
Exemples : somme de deux matrices Procédure qui calcule la somme de deux matrices :
ProcédureProcédure SommeMatrices(n, m : entier par valeur,
tableautableau A, B : réel par valeur , tableautableau C : réel par référence )DébutDébut
variables i,j : entier
PourPour i allant de 0 à n-1PourPour j allant de 0 à m-1
C[i][j] ← A[i][j]+B[i][j]
FinPourFinPour
FinPourFinPour
Fin ProcédureFin Procédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 153
Appel des procédures définies sur les matrices Exemple d'algorithme principale où on fait l'appel des procédures définies
précédemment pour la saisie, l'affichage et la somme des matrices :
Algorithme MatricesAlgorithme Matrices
variables tableautableau M1[3][4],M2 [3][4],M3 [3][4] : : réel
DébutDébut
SaisieMatrice(3, 4, M1)
SaisieMatrice(3, 4, M2)
AfficheMatrice(3,4, M1)
AfficheMatrice(3,4, M2)
SommeMatrice(3, 4, M1,M2,M3)
AfficheMatrice(3,4, M3)
FinFin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 154
Matrices : syntaxe Maple Pour définir une matrice en Maple, on peut utiliser le type arrayarray ou le type
matrixmatrix comme suit :
identificateur:= array (a1..b1, a2..b2)array (a1..b1, a2..b2)
identificateur:= matrix(n, m)matrix(n, m)
• a1 et b1 sont les bornes du premier indice du tableau
• a2 et b2 sont les bornes du deuxième indice du tableau
• n est le nombre de lignes et m le nombre de colonnes
Il est possible d'entrer directement toutes les valeurs d'une matrice
Exemple: > A:=matrix(2, 3, [ [7,0,1], [2,4,3]] );> A:=matrix(2, 3, [ [7,0,1], [2,4,3]] );
Le type matrixmatrix est disponible dans le package linalgpackage linalg. Il faut donc charger ce package avec la commande with(linalg) with(linalg) avant d'utiliser ce type
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 155
Tableaux : trouver l’erreur
Algorithme 1Essai de tableau 1
Variables
i : entier
Tab(10) : tableau d’entiers
Début
tant que (i <= 10)
lire tab(i)
i ← i+1
Fin de tant que
Fin
Algorithme 2Essai de tableau 2
Variables
i, x : entiers
Tab(10) : tableau d’entiers
Début
pour i variant de 1 à 10
Si Tab(i+1) < Tab(i) alors
permute Tab(i), Tab(i+1)
Fin de Si
Fin de pour
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 156
Tableaux : Exemple d’exercice
Écrire l’algorithme du traitement qui permet de saisir 10 nombres entiers dans un tableau à une dimension, puis qui recherche et affiche la valeur minimale entrée dans un tableau. L’affichage mentionnera également l’indice auquel se trouve ce minimum.
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 157
Algorithme recherche MiniRecherche Mini
Variables
i, Indice_Mini, Mini : entiers
Tab(10) : tableau d’entiers
Début
pour i variant de 1 à 10
Lire Tab(i)
Fin de pour
Mini Tab(1)
Indice_Mini 1
pour i variant de 2 à 10
Si Tab(i) < Mini alors
Mini Tab(i)
Indice_Mini i
Fin de Si
Fin de pour
ecrire (Mini, Indice_Mini)
Fin
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 158
Tableaux : 2 problèmes classiques
Recherche d’un élément dans un tableauRecherche d’un élément dans un tableau
• Recherche séquentielle
• Recherche dichotomique
Tri d'un tableauTri d'un tableau
• Tri par sélection
• Tri rapide
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 159
Recherche séquentielle Recherche de la valeur x dans un tableau T de N éléments :
Variables i: entier, Trouvé : booléen…
i←0 , Trouvé ← FauxTantQue (i < N) ET (Trouvé=Faux) Si (T[i]=x) alors Trouvé ← Vrai
Sinon
i←i+1
FinSiFinTantQue
Si Trouvé alors // c'est équivalent à écrire Si Trouvé=Vrai alors
écrire ("x appartient au tableau")Sinon écrire ("x n'appartient pas au tableau")FinSi
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 160
Recherche séquentielle (version 2) Une fonction Recherche qui retourne un booléen pour indiquer si une valeur
x appartient à un tableau T de dimension N.
x , N et T sont des paramètres de la fonction
Fonction Recherche(x : réel, N: entier, tableau T : réel ) : booléen
Variable i: entier
Pour i allant de 0 à N-1 Si (T[i]=x) alors retourne (Vrai)
FinSiFinPour
retourne (Faux)
FinFonction
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 161
Notion de complexité d'un algorithme Pour évaluer l’efficacitéefficacité d'un algorithme, on calcule sa complexitécomplexité
Mesurer la complexitécomplexité revient à quantifier le tempstemps d'exécution et l'espace mémoiremémoire nécessaire
Le temps d'exécution est proportionnel au nombre des opérationsnombre des opérations effectuées. Pour mesurer la complexité en temps, on met en évidence certaines opérations fondamentales, puis on les compte
Le nombre d'opérations dépend généralement du nombre de données nombre de données à traiter. Ainsi, la complexité est une fonction de la taille des données. On s'intéresse souvent à son ordre de grandeurordre de grandeur asymptotique
En général, on s'intéresse à la complexité complexité dans le pire des cas le pire des cas et à la complexité moyenne complexité moyenne
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 162
Recherche séquentielle : complexité Pour évaluer l’efficacité de l'algorithme de recherche séquentielle, on va
calculer sa complexité dans le pire des cas. Pour cela on va compter le nombre de tests effectués
Le pire des cas pour cet algorithme correspond au cas où x n'est pas dans le tableau T
Si x n’est pas dans le tableau, on effectue 3N tests : on répète N fois les tests (i < N), (Trouvé=Faux) et (T[i]=x)
La complexitécomplexité dans le pire des cas est d'ordre Nd'ordre N, (on note O(N)O(N))
Pour un ordinateur qui effectue 106 tests par seconde on a :
N 103 106 109
temps 1ms 1s 16mn40s
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 163
Recherche dichotomique Dans le cas où le tableau est ordonné, on peut améliorer l'efficacité
de la recherche en utilisant la méthode de recherche dichotomique
Principe :Principe : diviser par 2 le nombre d'éléments dans lesquels on cherche la valeur x à chaque étape de la recherche. Pour cela on compare x avec T[milieu] :
• Si x < T[milieu], il suffit de chercher x dans la 1ère moitié du tableau entre (T[0] et T[milieu-1])
• Si x > T[milieu], il suffit de chercher x dans la 2ème moitié du tableau entre (T[milieu+1] et T[N-1])
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 164
Recherche dichotomique : algorithme inf←0 , sup←N-1, Trouvé ← Faux
TantQue (inf <=sup) ET (Trouvé=Faux) milieu←(inf+sup)div2
Si (x=T[milieu]) alors
Trouvé ← Vrai
SinonSi (x>T[milieu]) alors inf←milieu+1
Sinon sup←milieu-1
FinSiFinSi
FinTantQue
Si Trouvé alors écrire ("x appartient au tableau")
Sinon écrire ("x n'appartient pas au tableau")
FinSi
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 165
Exemple d'exécution Considérons le tableau T :
Si la valeur cherché est 20 alors les indices inf, sup et milieu vont évoluer comme suit :
Si la valeur cherché est 10 alors les indices inf, sup et milieu vont évoluer comme suit :
4 6 10 15 17 18 24 27 30
inf 0 5 5 6
sup 8 8 5 5
milieu 4 6 5
inf 0 0 2
sup 8 3 3
milieu 4 1 2
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 166
Recherche dichotomique : complexité La complexité dans le pire des cas est d'ordre
L'écart de performances entre la recherche séquentielle et la recherche
dichotomique est considérable pour les grandes valeurs de N
• Exemple: au lieu de N=1milion ≈220 opérations à effectuer avec une recherche séquentielle il suffit de 20 opérations avec une recherche dichotomique
Nlog 2
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 167
Algorithmique
Les méthodes de TrisLes méthodes de Tris
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 168
Tris d’un tableau
La méthode de tri
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 169
Les algorithmes de Tri
Il existe plusieurs algorithmes connus pour trier les éléments d’un tableau : • Tris élémentaires
• Le tri par sélection
• Le tri par insertion
• Le tri à bulles
• Tris avancées• Tri rapide
• …..
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 170
Tri par sélection
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 171
Nous avions une certaine situation sur l’intervalle [ 0 .. i-1 ] :
• les éléments jusqu’à i-1 sont triés,
• ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.
Nous retrouvons la même situation sur l’intervalle [ 0 .. i ] :
• les éléments jusqu’à i sont triés,
• ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.
Cette propriété est donc invariante avec i, on l’appelle
Tri par sélection : méthodologie
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 172
Tri par sélection : algorithme Supposons que le tableau est noté T et sa taille N
PourPour i allant de 0 à N-2
indice ← i
PourPour j allant de i + 1 à N-1 SiSi T[j] <T[indice] alorsalors indice ← j FinsiFinsi FinPourFinPour
temp ← T[indice] T[indice] ← T[i] T[i] ← temp
FinPourFinPour
Permutation des deux valeurs
Réservation de la case
Recherche de l’élément concerné
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 173
Tri par sélection : exemple
Simuler l’algorithme du tri par sélection sur le tableau suivant on montrant les étapes d’exécution.
99 44 11 77 33
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 174
Tri par sélection : exemple PrincipePrincipe : à l'étape i, on sélectionne le plus petit élément parmi les
(n - i +1) éléments du tableau les plus à droite. On l'échange ensuite avec l'élément i du tableau
Exemple :Exemple :
• Étape 1: on cherche le plus petit parmi les 5 éléments du tableau. On l’identifie en troisième position, et on l’échange alors avec l’élément 1 :
• Étape 2: on cherche le plus petit élément, mais cette fois à partir du deuxième élément. On le trouve en dernière position, on l'échange avec le deuxième:
• Étape 3:
99 44 11 77 33
11 44 99 77 33
11 33 99 77 44
11 33 44 77 99
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 175
Tri par sélection : complexité
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 176
Tri par insertion
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 177
Tri par insertion : algorithme
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 178
Tri par insertion : exemple
Simuler l’algorithme du tri par insertion sur le tableau suivant on montrant les étapes d’exécution.
22 5656 44 77 00
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 179
Tri par insertion : Exemple
- Prendre l’élément i- Insérer i dans l’ordre entre 0 et i- Continuer à partir de i+1
2, 56, 4, 7, 0 2, 56, 4, 7, 0 2, 56, 4, 7, 0 2, 4, 56, 7, 0 2, 4, 7, 56, 0 0, 2, 4, 7, 56
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 180
Tri à bulles
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 181
Tri à bulles : algorithme
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 182
Tri à bulles : exemple
Simuler l’algorithme du tri à bulles sur le tableau suivant on montrant les étapes d’exécution.
44 11 55 33 22
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 183
peuvent être éliminés
14
235
4
1235
4
2135
4
2315
4
2351
4
2351
Un balayage
54
123
45
123
45
123
45
123
Suite des balayages
Tri à bulles : exemple
Sens de lecture de tableau
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 184
Tri rapide Le tri rapide est un tri récursif basé sur l'approche "diviser pour régner"
(consiste à décomposer un problème d'une taille donnée à des sous problèmes similaires mais de taille inférieure faciles à résoudre)
Description du tri rapide :
• 1) on considère un élément du tableau qu'on appelle pivot
• 2) on partitionne le tableau en 2 sous tableaux : les éléments inférieurs ou égaux à pivot et les éléments supérieurs à pivot. on peut placer ainsi la valeur du pivot à sa place définitive entre les deux sous tableaux
• 3) on répète récursivement ce partitionnement sur chacun des sous tableaux crées jusqu'à ce qu'ils soient réduits à un à un seul élément
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 185
Tri Rapide
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 186
Procédure Tri rapideProcédureProcédure TriRapide(tableau TT : réel par adresse, p,rp,r: entier par valeur)
variable q: entier
SiSi p <r alorsalors Partition(T,p,r,q)
TriRapide(T,p,q-1)
TriRapide(T,q+1,r)
FinSiFinSi
Fin ProcédureFin Procédure
A chaque étape de récursivité on partitionne un tableau T[p..r] en deux sous tableaux T[p..q-1] et T[q+1..r] tel que chaque élément de T[p..q-1] soit inférieur ou égal à chaque élément de A[q+1..r] . L'indice q est calculé pendant la procédure de partitionnement
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 187
Procédure de partitionProcédureProcédure Partition(tableau TT : réel par adresse, p,rp,r: entier par valeur,
qq: entier par adresse )
Variables i, j: entier
pivot: réel
pivot← T[p], i←p+1, j ← r
TantQue (i<=j)
TantQue (i<=r etet T[i] <=pivot) i ← i+1 FinTantQue
TantQue (j>=p etet T[j] >pivot ) j ← j-1 FinTantQue
SiSi i <j alors alors
Echanger(T[i], T[j]), i ← i+1, j ← j-1
FinSiFinSi
FinTantQue
Echanger(T[j], T[p])
q ← j
Fin ProcédureFin Procédure
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 188
Partage avec pivot = 3
32 4 1 7 2 3 6
32 2 1 7 4 3 6
32 2 1 3 4 7 6
31 2 2 3 4 6 7
TRI TRI
< 3 3
Suite du tri
Tri Rapide : Exemple
2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 189
Tri rapide : complexité et remarques
La complexité du tri rapide dans le pire des cas est en O(N²)
La complexité du tri rapide en moyenne est en O(N log N)
Le choix du pivot influence largement les performances du tri rapide
Le pire des cas correspond au cas où le pivot est à chaque choix le plus petit élément du tableau (tableau déjà trié)