Post on 17-Apr-2015
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
x
y
z
r
z
P , ,r z
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
, ,0r
Conversão de Coordenadas(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares, usamos as equações
cosx r sy r en z z
enquanto que para converter de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos as equações
2 2 2r x y tgy
x z z
Exemplo 1:
(a) Plote o ponto com coordenadas cilíndricas .
e determine suas coordenadas retangulares.
(b) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares
22, ,13
3, 3, 7 .
Exemplo 2: Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas .z r
Exemplo 3: Determine a equação em coordenadas cilíndricas para o elipsóide
2 2 24 4 1.x y z
é o ângulo entre o
eixo positivo e o
vetor .OP��������������
z
é o mesmo ângulo que em coordenadas cilíndricas.
Sistema de Coordenadas Esféricas
P , ,
onde
x
y
z
O
OP��������������
Note que:0 0
Conversão de Coordenadas(Esféricas -
Retangulares)
P , ,
x
y
z
O
P , ,x y z
x
y
'P , ,0x y
r
z
Do triângulo retângulo , temos
'OPP
Q
Do triângulo retângulo , temos 'OPP
cosz
cosz
senr
senr
Do triângulo retângulo , obtemos 'QOP
i
ii
cosx
r cosx r
seny
r seny r
iii
iv
cossenx sen seny
também, a distância entre dois nos mostrta que
Para converter de coordenadas esféricas para
coordenadas retangulares, substituímos em para
encontrar a coordenada e substituímos em para
encontrar a coordenada , daí
ii iiix ii ivy
cosz
usamos este resultado para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas.
2 2
OP��������������
2 2 2x y z
Exemplo 4: O ponto é dado em coordenadas
esféricas. Plote o ponto e determine suas
coordenadas retangulares.
2, ,4 3
Exemplo 5: O ponto é dado em coordenadas
retangulares. Determine as coordenadas
esféricas desse ponto.
0,2 3, 2
Exemplo 6: Determine uma equação em coordenadas esféricas para o hiperbolóide 2 2 2 1.x y z
Exemplo 7: Determine a equação em coordenadas retangulares da superfície cuja equação esférica é .sen sen