Post on 23-Oct-2015
SOAL CONTOH 38.1
Sebuah electron denngan energy kinetik sebesar
20 GeV (yang disebut sebagai electron 20 GeV)
dapat ditunjukkan memiliki laju = 0, 999 999
999 67 . apabila elektron seperti itu mempercepat
pulsa cahaya menuju bintang terdekat di luar
sistem tata surya (Proxima Centauri, 4,3 tahun
cahaya, atau 4,0 × 1016
m). dengan berapa lam
pulsa cahaya akan mencapai sasaran?
PENYELESAIAN : Apabila L adalah jarak ke
bintang, perbedaan waktu tempuh adalah
.
Sekarang sangat dekat dengan yang dapat kita
ambil = didalam penyebut dari ekspresi ini
(tetapi bukan didalam pembilang!). Apabila kita
melakukan itu, maka kita mendapatkan
.
( )
.
.
SOAL CONTOH 38.2
Anda berada didalam pesawat uang-alik yang
melintasi bumi dengan kelajuan relative sebesar
. Setelah perjalanan selama 10,0 tahun
(waktu anda), anda berhenti di pos LP13, berputar,
dan kemudian kembali ke Bumi dengan kelajuan
relatif yang sama. Perjalanan waktu kembali
memakan waktu 10,0 tahun (waktu anda). Berapa
lama waktu perjalanan yang diperllukan menurut
pengukuran yang dibuat di Bumi? (Abaikan
sembarangan pengaruh yang ditimbulkan oleh
percepatan yang terkait dengan penghentian dan
perputaran).
PENYELESAIAN : Pada perjalanan keluar,
mulai dan akhir perjalanan terjadi pada lokasi
yang sama didalam kerangka acuan kita, yaitu
pada pesawat Ulak-alik kita. Oleh karena itu,
Anda mengukur waktu tepat o untuk perjalanan,
yang diketahui 10,0 tahun. Pers. 38.6 memberikan
kita waktu yang berpadanan ketika di ukur di
dalam kerangka acuan Bumi:
√ .
√ .
.
Pada perjalanan kembali, kita memiliki situasi
yang sama. Dengan demikian perjalanan
keseluruhan membutuhkan 20 tahun dari waktu
anda, tetapi
= (2)(224 tahun) = 448 tahun.
Dari waktu Bumi. Dengan kata lain, Anda sudah
berusia 20 tahun sementara Bumi berusia 448
tahun. Meskipun anda tidak dapat berjalan kemasa
lalu, (sejauh yang kita tahu). Anda dapat berjalan
kemasa depan, misalkan, Bumi dengan
menggunakan gerak relatif kelajuan tinggi untuk
menyesuaikan laju pada waktu yang dilalui.
SOAL CONTOH 38.3
Partikel elementer yang diketahui sebagai kaon
positif (K+) memiliki waktu hidup rata-rata
sebesar 0,1237 ketika stasioner, yaitu apabila
waktu hidup diukur didalam kerangka diam kaon.
Apabila kaon positif dengan kelajuan sebesar
0,990c relatif terhadap kerangka acuan
laboratorium yang dihasilkan, seberapa jauh
partikel-partikel itu dapat melintas didalam
kerangka itu selama waktu hidupnya?
PENYELESAIAN : Didalam laboratorium, jarak
d yang dilalu oleh sebuah kaon dihubungkan
dengan kelajuannya v(= 0,990c) dan waktu
tempuhnya oleh . (Pernyataan ini
tidak melibatkan relativitas karena semua besaran
diukur didalam kerangka acuan yang sama).
Apabila relativitas khusus tidak diaplikasikan,
waktu tempuh akan tepat 0,1237 waktu hidup
dari partikel tersebut. Dengan demikian, jarak
tempuh akan menjadi
(Jawaban salah)
Namun, relativitas khusus diaplikasikan dalam
waktu tempuh dari kaon didalam kerangka
laboratorium adalah dilasi waktu hidupnya .
Dengan Pers. 38.6, kita dapat menemukan dari
waktu tepat kaon o (=0,127 ), seperti yang
terukur di dalam kerangka acuan diamnya :
√ .
√ .
Ini adalah tujuhkali lebih lama dari pada waktu
hidup tepat kaon. (Perhitungan ini melibatkan
relativitas karena kita harus mengubah data dari
kerangka diam partikel ke kerangka laboratorium).
Sekarang kita dapat mencari jarak tempuh di
dalam kerangka laboratorium sebagai
(Jawaban)
Ini sekitar tujuh kali jawaban pertama kita (yang
salah). Eksprimen seperti yang diuraikan disini,
yang membuktikan relativitas khusus, menjadi hal
rutin di laboratorium fisika beberapa puluh tahun
yanng lalu.
SOAL CONTOH 38.4
Didalam gambar 38.8, pesawat sally (di titik A)
dalam pesawat sam (panjang tepat L0 = 230 In)
melintas satu sama lain dengan kelajuan relatif
konstanta v. sally mengukur sebuah interval waktu
sebesar 3.57 µs untuk pesawat yang melintasinya
(dari lintasan titik B ke lintasan titik C). berapa
parameter kelajuan B antara sally dan pesawat
tersebut?
PENYELESAIAN: Apabila kelajuan relatif v
antara Sally dan Sam bernilai, misalkan kurang
dari 0,1c, kita mungkin melihat situasi ini didalam
bab 2, dimana kita akan menyatakan bahwa
sebuah pesawat sepanjang L dan kelajuan v
melintasi Sally di dalam interval waktu
(Tidak ada relativitas yang dilibatkan dalam
pernyataan ini)
Akan tetapi, disini kita mungkin memiliki suatu
masalah relativistik, dengan v >0,1c. didalam
kasus ini, kita tahu bahwa panjang L yang akan
Sally ukur bukan merupakan panjang Tepat L0
dari pesawat tersebut, tetapi suatu panjang
terkontraksi, yang diberikan oleh Pers. 38.9:
√ .
(Pernyataan ini melibatkan relativitas karena kita
mentransformasikan data antara kerangka Sally
dan Sam). Menurut Sally, waktu yang dibutuhkan
untuk melintasi sekarang ditulis sebagai
√
Penyelesaian untuk dan kemudian subtitusi data
yang diberikan setelah sedikit proses aljabar, kita
dapatkan
√ .
√ .
Dengan demikian, kelajuan relatif antara Sally
dan pesawat adalah 21% dari kelajuan cahaya.
Perhatikan hanya gerak relatif dari Sally dan Sam
yang diperhatikan disini; apakah salah satunya
relatif stasioner terhadap, misalkan, sebuah
stasiun luar angkasa tidak relevan. Didalam
gambar 38.8 kita ambil Sally menjadi stasioner,
tetapi kita akan mengganti pesawat menjadi
stasioner, dengan Sally terbang melintasinya.
Tidak akan ada yang berubah dalam hasil kita.
SOAL CONTOH 38.5
Karena terkejut dengan ledakan supernova, anda
yang berada dalam pesawat mempercepat laju
pesawat agar menjauh dari ledakan. Anda
berharap dapat berlari lebih cepat dari bahan
kelajuan tinggi yang menyembur mengarah pada
anda. Faktor Lorentz anda yang relatif terhadap
kerangka acuan inersia dari bintang lokal adalah
22,4.
(a) Untuk mencapai jarak aman, anda
menghitung kebutuhan anda untuk menempuh
9,00 X 1016
m ketika diukur ke dalam kerangka
acuan dari bintang lokal. Berapa lama
penerbangan akan berlangsung, ketika diukur di
dalam kerangka itu ?
PENYELESAIAN : Panjang L0 = 9,00 X 1016
m
adalah panjang tepat di dalam kerangka acuan dari
bintang lokal karena dua ujungnya diam di dalam
kerangka itu. gambar 38.6 menyatakan bahwa
dengan faktor Lorentz sepanjang itu, kelajuan
anda relatif terhadap bintang lokal adalah v ≈ c.
Jadi, dengan pendekatan ini, untuk bergerak
sepanjang L0 membutuhkan waktu
.
.
= 3,00X 108 s = 9,49 tahun
(b) Berapa lama pesawat itu terbang menurut
anda (di dalam kerangka acuan anda)?
PENYELESAIAN : dari kerangka acuan anda,
jarak yang anda tempuh adalah panjang
terkontrasi L yang melintasi anda pada kelajuan
relatif v ≈ c. Pers. 38.9 menyatakan bahwa L=L0 /
ᵞ. Jadi, waktu yang anda ukur untuk melintasi
panjang terkontraksi itu adalah
⁄
(
)
= 1,339 X 107 s = 0,424 tahun
Ini adalah waktu tepat karena bintang dan ujung
dari lintasan terjadi pada titik yang sama di dalam
kerangka acuan (pada pesawat anda). Anda dapat
memeriksa kebenaran dari kedua jawaban tersebut
dengan mensubtitusikan ke dalam pers. 38.8
(untuk dilatasi waktu ) dan penyelesaian untuk ᵞ.
SOAL CONTOH 38.6
Sebuah pesawat ruang angkasa dari bumi dikirim
untuk mengecek titik terjauh bumi di planet
P1407, yang satelitnya menampung sebuah
pasukan tempur dari reptulian yang sering
bermusuhan. Ketika pesawat itu mengikuti garis
lurus, pertama kali meninggalkan planet dan
kemudian meninggalkan satelit. Pesawat
mendeteksi gelombang mikro energi tinggi
meledak pada dasar satelit reptulian dan 1,10 s
kemudian, sebuah ledakan pada titik terjauh bumi,
yaitu 4,00X 108
m dari dasar reptulian ketika
diukur dari kerangka acuan pesawat.reptulian
dengan jelas diserang di titik terjauh bumi; jadi
pesawat ruang angkasa tersebut mulai
mempersiapkan penyerangan dengannya.
(a) Kelajuan dari pesawat relatif terhadap
bidang planet dan satelit adalah 0,980c. Berapa
jarak antara ledakan dengan letusan dan interval
waktu antara keduanya ketika diukur di dalam
kerangka inersia planet-satelit (dan dengan
demikian menurut penghuni stasiun tersebut)?
PENYELESAIAN : Keadaan tersebut di
tunjukkan di dalam gambar 38.10, dimana
kerangka planet-satelit S’ dipilih menjadi
bergerak dengan kecepatan positif (ke kanan). (ini
adalah pilihan sembarang: sebagai ganti, kita
dapat memilih kerangka planet-satelit menjadi
stasioner. Kemudian kita akan menggambar v di
dalam gambar 38.10 ketika ditarik ke kerangka S
dan mengarah ke kiri ; v kemudian akan menjadi
besaran negatif. Hasil akan menjadi sama).
Subscrip e dan b masing-masing menyatakan
letusan dan ledakan. Kemudian data diberikan,
semua di dalam kerangka acuan tanpa tanda petik,
adalah
m
Dan s
Di sini ∆x’ adalah besaran positif karena di dalam
gambar 38.10, koordinat xe untuk letusan lebih
besar daripada koordinat xb untuk ledakan; ∆t juga
merupakan besaran positif karena waktu te dari
ledakan lebih besar (kemudian ) dari pada waktu
tb dari ledakan.
Kita mencari ∆x’ dan ∆t’, yang kita akan
dapatkandengan mengubah data kerangka S yang
diberikan pada kerangka planet-satelit S’. Karena
kita meninjau sepasang kejadian. Kita memilih
persamaan transformasi dari tabel 38.2, yaitu pers.
1’ dan 2’:
.
Dan
).
Di sini, v=+0,980c, dan faktor Lorentz adalah
√ ⁄
√ ⁄
.
Jadi, pers. 38.20 menjadi
∆x’ = (5,0252)X[4,00X108 m –
(+0,980)(3,00X108m/s)(1,10s)]
=3,85X108 m,
Dan pers.38.21 menjadi
]
=-1,04 s
(b) Apa arti dari tanda minus di dalam nilai
yang terhitung untuk ∆t’ ?
PENYELESAIAN : ingat kembali bagaimana
kita pada awalnya mendefinisikan waktu antara
ledakan dan letusan: agar
konsisten dengan pilihan notasi itu, definisi kita
dari ∆t’ harus menjadi te’ - tb’ ; dengan demikian,
kita menentukan bahwa
s.
Ini menyatakan bahwa te’ - tb’; yaitu, didalam
kerangka acuan planet-satelit, ledakan terjadi 1,04
s setelah letusan bukan 1,10s sebelum letusan
ketika terdeteksi di dalam kerangka pesawat
tersebut.
(c) Apakah ledakan menyebabkan letusan,
atau apakah letusan menyebabkan
ledakan ?
PENYELESAIAN : rangkaian yang terukur di
dalam kerangka acuan plenet-satelit adalah
berlawanan terhadap kejadian yang terukur di
dalam kerangka pesawat. Di dalam salah satu
keadaan, apabila terdapat hubungan sebab akibat
antara dua kejadian, informasi harus berjalan dari
satu kejadian untuk menyebabkan kejadian yang
lain. Sekarang kita periksa kelajuan dari informasi
yang dibutuhkan. Di dalam kerangka pesawat,
kelajuan ini adalah
Tetapi kelajuan itu tidak mungkin karena ini
melebihi c. Di dalam kerangka planet-satelit,
kelajuan menjadi 3,70X108 m/s, juga tidak
mungkin. Maka, tidak ada suatu kejadian yang
dapat terjadi menyebabkan kejadian yang lain;
artinya, kedua kejadian adalah kejadian yang tidak
saling terkait. Dengan demikian pesawat ulang-
alik seharusnya tidak menghadapi reptulian.
y. y’
s s’ v
x x’
satelit Pelanet
(Ledakan) (Letusan)
SOAL CONTOH 38.7
Gambar 38.11 menunjukkan suatu kerangka
acuan inersia S di mana kejadian 1 (sebuah batu
dilempar ke atas oleh sebuah truk pada koordinat
x1 dan t1 ) menyebabkan kejadian 2 (batu
menabrak anda pada koordinat x2 dan t2). Apakah
terdapat kerangka acuan inersia lain S’ yang mana
kejadian itu dapat diukur dengan membalik urutan
kejadian sehingga efeknya terjadi sebelum
penyebabnya ? (dapatkah anda dilukai sekarang
sebagai hasil dari kejadian dari kejadian yang
akan datang)?
PENYELESAIAN : untuk mendapatkan
pemisahan temporal ∆t’ dari sepasang kejadian di
dalam kerangka S’ apabila kita memiliki data
untuk kerangka S, kita gunakan pers. 2’ dari tabel
38.2:
)
Ingat kembali bahwa v adalah kecepatan relatif
antara S dan S’. Kita ambil kerangka S menjadi
stasioner; kerangka S’ kemudian memiliki
kecepatan v.
Aturan ∆t=t2 – t1. Kemudian ∆t adalah besaran
positif dan menjadi konsisten dengan notasi ini,
kita harus memiliki ∆x=x2 – x1 dan ∆t=t2 ‘– t1’
seperti gambar 38.11 tunjukan, ∆x adalah besaran
positif karena x2>x1.
kita tertarik di dalam kemungkinan bahwa ∆t’
adalah besaran negatif, yang akan berarti bahwa
waktu t1’dari kejadian 1 lebih lama (lebih
besar)dari pada waktu t2‘ dari kejadian 2. Dari
pers. 38.22, kita melihat bahwa ∆t dapat menjadi
negatif hanya apabila
.
Keadaan ini dapat disusun kembali untuk
menghasilkan keadaan yang ekuivalen
⁄
y
● ●
s (x1,t1) (x2,t2)
x
Gambar 38.11 soal contoh 38.7. kejadian 1 pada
koordinat ruang (x1,t1)menyebabkan kejadian 2
pada koordinat ruang waktu (x2,t2). Dapatkah
urutan dari penyebab dan kejadian dibalik di
dalam kerangka acuan lain ?
Perbandingan ∆x/∆t adalah kelajuan pada saat
informasi (di sinimelalui sebuah batu) merambat
dari kejadian 1 untuk menghasilkan kejadian 2.
Kelajuan itu tidak dapat melebihi c. (informasi
dapat berjalan pada c apabila datang melalui
cahaya; tentunya batu berjalan lebih lambat). Jadi,
(∆x/∆t)/c harus paling besar 1. Dan v/c tidak dapat
sama dengan atau melebihi 1. Dengan demikian,
sisi kiri dari ketaksamaan terakhir harus kurang
dari 1. Ketaksamaan tidak dapat dipenuhi.
Jadi, tidak terdapat kerangka S’ di dalam kejadian
2 yang terjadi sebelum penyebabnya, yaitu
kejadian 1. Secara lebih umum, meskipun urutan
kejadian yang tidak terkait kadang-kadang dapat
dibalik di dalam relativitas (seperti d dalam soal
contoh 38.6), kejadian yang melibatkan penyebab
dan akibat tidak akan pernah dapat dibalik.
SOAL CONTOH 38.8
(a) Berapa energi total E dari sebuah elektron
2,53 Mev?
PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.34 kita
memiliki
Dari Tabel 8.1, untuk sebuah elektron adalah
0,511Mev; maka
(Jawaban)
(b) Berapa momentum ?
PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.38,
,
Kita dapat menulis
.
Kemudian
√
,
Dan, memberikan momenum di dalam satuan
energi dibagi oleh c, kita memperoleh
(Jawaban)
(c) Berapa faktor Lorentz untuk elektron?
PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.34 kita
memiliki
.
Dengan dan
, kemudian kita memiliki
. (Jawaban)
SOAL CONTOH 38.9
Sebagian besar energi proton yang terdeteksi di
dalam sinar kosmik datang dari ruang yang
memiliki energi kinetik yang sangat
mengherankan sebesar (enerrgi
yang cukup untuk menghangatkan air sebanyak
satu endok teh menjadi beberapa derajat).
(a) Hitunglah faktor Lorentz dan kelanjutan v.
PENYELESAIAN : Penyelesaian Pers. 38.33
untuk , kita memperoleh
(Jawaban)
Di sini kita gunakan 938 MeV untuk energi diam
proton.
Nili terhitung ini untuk sangat besar sehingga
kita dapat menggunakan definisi dari (Pers.
38.7) untuk mendapatkan v. Coba hal itu;
kalkulator Anda akan menyampaikan pada Anda
bahwa secara efektif sama dengan 1 dan dengan
c. Sebenarnya, v hampir sama dengan c, tetapi kita
peroleh dengan pertama kali menyelesaikan Pers.
38.7 untuk 1- . Untuk memulai kita tulis
√
√
√ ,
Di mana kita sudah menggunakan kenyataan
bahwa sangat dekat sama dengan 1 sehingga 1+
sangat dekat dengan 2. Penyelesaian untuk 1-
kemudianmenghasilkan
jadi
dan karena ,
.
(Jawaban)
(b) Andaikan bahwa proton merambat di
sepanjang Galaksi Bimasakti dengan diameter
( tahun cahaya). Secara hampir,
beberapa lama proton mengitari diameter itu
ketika diukur dari kerangka acuan bersama Bumi
dan galaksi?
PENYELESAIAN : Kita baru saja melihat
bahwa proton ultrarelativistik ini berjalan pada
kelauan yang hampir dari c. Dengan definisi tahun
cahaya, cahaya menggunakan tahun,
dan proton ini seharusnya menempuh waktu yang
hampir sama. Jadi, dari kerangka acuan Galaksi
Bimasakti-Bumi kita perjalanan terjadi selama
tahun
(c) Berapa lama perjalanan yang
dilakukan ketika diukur dalam kerangka diam
proton?
PENYELESAIAN Karena awal perjalanan dan
akhir perjalanan terjadi pada lokasi yang sama
didalam kerangka diam proton, yaitu bersamaan
dengan proton itu sendiri apa yang kita lihat
adalah waktu tepat dari perjalanan tersebut. Kita
dapat menggunakan persamaan dilasi waktu (Pers.
38.8) untuk mentransformasikan dari kerangka
Bumi- Galaksi Bimasakti ke kerangka diam
proton :
9,7 detik. (Jawaban0
Di dalam kerangka itu, perjalanan terjadi selama
98.000 tahun. Di dalam kerangka proton,
perjalanan terjadi selama 9,7 detik! Seperti yang
dijanjikan di awal bab ini, gerak relatif dapat
mengubah laju pada saat waktu berlalu, dan di sini
kita memiliki sebuah cotoh ekstrem.
SOAL CONTOH 41.1
Di dalam magnet dalam percobaan Stern-Gerlach,
gradien medan magnetik melalui berkas
yang dilewatkan adalah 1,4 T/mm dan panjang w
dari lintasan berkas yang melalui magnet adalah
3,5 cm. Suhu oven di mana perak diuapkan diatur
sehingga kelajuan v yang paling mungkin untuk
atom dalam berkas adalah 750 m/s. Tentukan
pembelokan vertikal d dari subberkas yang lain
ketika muncul dari magnet. (Massa M dari atom
perak adalah kg dan momen magnetik efektifnya
adalah 1,0 magneton Bhor, atau
J/T.)
PENYELESAIAN : Percepatan vertikal dari
atom perak ketika melewati magnet, dari hukum
kedua Newton dan Pers 41.12 adalah,
.
Dengan menggerakkan secara horizontal pada
kelajuan v, setiap atom perak melewati panjang w
dari magnet dalam waktu t=w/v. Pembelokan
vertikal dari sembarang atom ketika
membersihkan magnet kemudian adalah
(
)
(
) .
Denganmembuat untuk pembelokan
maksimum dan memasukan data yang diketahui
kemudian menghasilkan
(
)
.
.
( )
. (Jawaban)
Pemisahaan antara dua subberkas adalah dua kali
hasil ini, atau 0,16 mm. Pemisahan ini tidak besar
tetapi mudah diukur.
SOAL CONTOH 41.2
Tetesan air digantungkan di dalam medan
magnetik B sebesar 1,80 T dan medan
elektromagnetik bolak-balik diaplikasikan,
frekuensinya diatur untuk menghasilkan
perputaran spin proton di dalam air. Komponen
dari momen dipol magnetik proton terukur
sepanjang arah B adalah .
Anggap bahwa medan magnetik lokal diabaikan
dibandingkan dengan B. Beraoa frekuensi f dan
panjang gelombang dari medanbolak-balik?
PENYELESAIAN : DARI Pers. 41.13,kita
memiliki
(
)
.
.
(Jawaban)
Panjang gelombang yang bersesuaian adalah
.
(Jawaban)
Frekuensi dan panjang gelombang ini berada
dalam daerah gelombang radio pendek dari
spektrum elektromagnetik.
SOAL CONTOH 42.1
Pada bab 41, kita gunakan pers. 41.21,
Untuk menghubungkan populasi N, Atom-atom
pada tingkat energi Ex terhadap populasi N0 pada
tingkat energi E0, di mana atom-atom merupakan
bagian dari system pada suhu T (dalam Kelvin).
Konstanta k adalah konstanta Boltzman (8,62 x
10-5
ev/K, dari pers.20.21).
Kita dapat menggunakan persamaan yang sama
untuk menetukan kemungkinan bahwa sebuah
elektron dalam isolator akan melompati celah
energy Eg dalam gambar 42.4a. untuk melakukan
hal tersebut, kita tetapkan Ex- E0 = Eg , kemudian
NX/N0 adalah perbandingan jumlah electron yang
persis di atas celah energy terhadap jumlah
electron yang persis di bawah celah energy.
Berapa probabilitasnya bahwa, pada suhu ruang
(300 K), sebuah electron pada bagian atas pita
valensi dalam intan akan melompati celah Eg yang,
utnuk intan , besarnya adalah 5,5 ev?
PENYELESAIAN : untuk intan, eksponen
dalam pers. 42.1 adalah
( ⁄ )
Maka probabilitas yang dibutuhkan adalah
(jawaban)
Tidak mengherankan intan merupakan isolator
yang baik. Walaupun intan sebesar bumi,
kesempatan untuk elektron tunggal melompati
celah pada suhu 300 K makin lama makin kecil.
SOAL CONTOH 41.3
Hitunglah untuk jumlah unsur dalam enam
periode horizontal dari tabel periodik dalam
bentuk banyaknya subkulit.
PENYELESAIAN : Seperti Lampiran G
perlihatkan, jumlah enam unsur dalam enam baris
horizontal adalah 2, 8, 8, 18, 18, dan 32. Banyak
subkulit tergantung hanya pada bilangan kuantum
l dan 2(2l + 1). Jadi,
BIANGAN KUANTUM
ORBITAL L
BANYAK
SUB KULI 2(2l+1)
0 2
1 6
2 10
3 14
NOMOR
PERIODE
UNSUR
DALAM
PERIODE
JUMLAH
BANYAK
SUBKULIT
1 2 2
2,3 8 2+6=8
4,5 18 2+6+10=18
6 32 2+6+10+14=32
Kita dapat menghitung untuk setiap periode
horizontal dalam bentuk subkulit tertutup dengan
cara ini:
SOAL CONTOH 41.4
Berkas elektron 35 keV menumbuk target
molybdenum, menghasilkan sinar X yang
spektrumnya diperlihatkan dalam gambar 41.4
Berapa panjang gelombang putusnya ?
PENYELESAIAN : Dari pers. 41.15, kita
memilki
λmin =
=
( )
)
= 3,55 X 10-11
m = 35,5 pm
(jawaban)
Anggap bahwa satu dari elektron yang datang
kehilangan energi kinetik dengan jumlah yang
kecil sehingga energinya direduksi dari 35,0 keV
menjadi 20,0 keV. Berapa panjang gelombang λ
yang bersesuaian dari foton kemudian akan
dihasilkan jika elektron kehilangan seluruh energi
kinetik yang tersisa dalam tumbukan berhadapan
tunggal dengan sebuah atom ?
PENYELESAIAN : Kita melakukan perhitungan
seperti dalam (a), substitusikan 20,0 keV untuk
35,0 keV. Hasilnya adalah
λmin = 62, 1 pm.
(jawaban)
panjang gelombang ini lebih besar dari pada
panjang gelombang minimum yng dihitung dalam
(a) karena sedikit energi yang terlibat.
SOAL CONTOH 41.5
Target kobalt ditembaki dengan elektron dan
panjang gelombang dari spektrum sinar X
karakteristik diukur. Terdapat juga spektrum
karakteristik kedua yang redup, yang ditimbulkan
oleh pengotoran dalam kobalt. Panjang
gelombang dari garis K adalah 178,9 pm
(kobalt) dan 143,5 pm (pengotor). Apakah jenis
pengotorannya ?
PENYELESAIAN : Marilah kita aplikasikan
persamaan 41.19 baik pada kobalt (Co) maupun
pengotor (X). Dengan mensubstitusikan
λ untuk f,
kita mendapatkan
√
λ = CZCo - C dan √
λ =
CZx - C
Dengan membagi persamaan pertama dengan
persamaan kedua menghasilkan
√λ
λ =
Dengan mensubstitusikan data yang diketahui,
dan ZCo = 27 menghasilkan
√
=
Penyelesaian untuk peubah, kita mendapatkan
bahwa
Zx = 30,0
(jawaban)
Dengan melihat sekilas pada tabel periodik dapat
dikenali bahwa pengotor tersebut adalah seng
(Zn).
CONTOH SOAL 41.6
(a) Hitung konstanta C dalam pers. 41.19.
PENYELESAIAN : Dengan membandingkan
pers. 41.18 dan pers.41.19 menyatakan bahwa
C = √ = 4,96 X 107 Hz
1/2
(jawaban)
(b) Buktikan dari plot Moseley dari gambar
41.17 bahwa C adalah kemiringan garis
lurus dalam gambar tersebut.
PENYELESAIAN : Jika kita mengukur garis hg
dan gj dalam Gambar 41.17, kita mendapatkan
bahwa
C =
=
= 4,96 X 107
Hz1/2
(jawaban)
Kedua hasil ini benar-benar bernilai sama.
Kesamaan itu tidaklah sebaik garis selain Kα
dalam spektrum sinar X; untuk mendapatkan
keduanya, seseorang harus membuat perhitungan
yang lebih teliti pada efek yang melingkupi
elektron ketika elektron menghasilkan garis.
SOAL CONTOH 41.7
Dalam laser helium-neon dari Gambar 41.21,
kerja laser terjadi diantara dua keadaan tereksitasi
dari atom neon. Namun, pada beberapa laser
(lasing) terjadi diantara keadaan dasar dan
keadaan tereksitasi, seperti disarankan dalam
Gambar 41.20
(a) Tinjau laser yang memancar pada panjang
gelombang λ = 550 nm. Jika inversi populasi tidak
dihasilkan, berapa perbandingan populasi atom
pada keadaan Ex dengan populasi atom pada
keadaan dasar E0 ?
PENYELESAIAN : Dari pers. 41.21
perbandingannya adalah
Nx /N0 = e-(Ex-E0)/kT
(41.222)
Pemisahan antara dua tingkat energy harus
(
)
Energi rata-rata dari agritasi kT untuk atom pada
suhu ruangan (300 K) adalah
(
)
Dengan mensubtitusikan dua hasil terakhir ke
dalam Pers. 41.22 menghasilkan
⁄
⁄
(Jawaban)
Ini Adalah jumlah yang sangat kecil. Hal ini
menjadi tidak masuk akal. Atom yang agitasi
termal rata-ratanya hanya 0,0259 eV tidak akan
member energy 2,26 eV ke atom yang lain dalam
suatu tumbukan.
(b) Untuk kondisi dari (a), pada suhu
berapakah perbandingan ⁄ menjadi
½?
PENYELESAIAN : Dengan melakukan
substitusi ini ke Pers. 41.22, mengambil logaritma
asli dari kedua ruas persamaan, dan
menyelesaikan untuk T mengahasilkan
⁄
(Jawaban)
Suhu ini lebih panas daripada permukaan
Matahari. Jelas bahwa jika kita balik populasi dari
dua tingkat ini, diperlukan beberapa mekanisme
spesifikasi untuk mendapatkan hal ini. Meskipun
tinggi, tidak ada suhu yang akan menghasilkan
invers populasi.
SOAL CONTOH 42.2
Sebuah kubus tembaga memiliki panjang rusuk
1,00 cm. di dalam pita yang terisi sebagian pada
Gambar 42.2b , berapa banyaknya N keadaan
kuantum dalam jangkauan energi dari E=5,000 ev
hingga E=5,010 ev? (nilai energi ini sangat dekat
sehingga kitta dapat mengasumsikan kerapatan
keadaan N(E) adalah konstan pada interval.)
PENYELESAIAN : Kita dapat menentukan
banyaknya keadaan N dari
(
)
(
) (
) (
)
Atau N=N (E) ∆EV,(42.7)
Dengan ∆E = 0,010 ev dan V adalah volume
sample kubus. Dari persamaan 42.2 dengan
E=5,000 ev, kita dapatkan
√
= (8 √ )(9,11x10-31
kg)3/2
= 9,48 x 1046
m-3
J-1
= 1,52 x 1028
m-3
ev-1
.
Karena V=a3
, dengan a adalah panjang rusuk
kubus , pers. 42.7 menghasilkan
N=N (E) ∆EV a3
= (1,52 x 1028
m-3
ev-1
) (0,010 ev) (1 x 10-2
m)3
= 1,52 x 1020
(jawaban)
Ini adalah jumlah keadaan yang sangat banyak
tetapi itulah yang diharapkan. Walaupun semua
keadaan ini terdapat dalam jangkauan energi yang
lebarnya hanya 0,01 ev, keadaan ini berasal dari
jumlah atom yang sangat banyak yang
membentuk sampel kita.
SOAL CONTOH 42.3
(a) Berapa probabilitas bahwa keadaan
kuantum yang memiliki energi 0,10 ev di atas
energi Fermi akan ditempati electron ? asumsikan
bahwa suhu sampel adalah 800 K.
PENYELESAIAN : kita dapat menentukan P(E)
dari pers. 42.3 akan tetapi, sebelum itu kita
menghitung eksponen (tak berdimensi) dalam
persamaan tersebut:
⁄
Dengan menyisipkan eksponen kedalam
persamaan 42.3 kita dapatkan
(b) Berapa probabilitas penempatan untuk
satu keadaan yang energinya 0,01 ev di
bawah energy Fermi?
PENYELESAIAN : eksponen dalam Pers. 42.3
memiliki nilai mutlak yang sama seperti pada (a),
tetapi sekarang bernilai negatif. Jadi, dari
persamaan ini
Untuk keadaan di bawah energi Fermi, kita sering
kali lebih tertarik dalam probabilitas bahwa
keadaan tidak ditempati. Ini kira-kira 1-P(E) atau
19%. Perhatikan bahwa nilai ini sama seperti
probabilitas penempatan dalam (a).
SOAL CONTOH 42.4
Kerapatan bilangan n0 dari elektron konduksi di
dalam silikon murni pada suhu ruang adalah 1016
m-3
. asumsikan bahwa , dengan mengotori kisi
silikon dengan fosfor , kita dapat meningkatkan
jumlah ini dengan faktor satu juta (106) . berapa
fraksi dari atom silikon yang harus kita gantikan
dengan atom fosfor ?(ingatlah bahwa pada suhu
ruang , agitasi termal sangat efektif yang pada
dasarnya setiap atom fosfor mendonorkan electron
“ekstra”-nya ke pita konduksi).
PENYELESAIAN : kerapatan bilangan dari
elektron konduksi yang ditambahkan melalui
pengukuran akn sama dengan np , yaitu kerapatan
bilangan atom fosfor yang ditambahkan. Kita
menginginkan kerapatan bilangan elektron total di
dalam pita konduksi setelah pengotoran , sebelum
dan sesudah ditambahkan elektron , menjadi 106
n0. Jadi,
106 n0=n0+np
Maka
np=106 n0-n0 ≈ 10
6 n0
= (106) (10
16 m
-3)=10
22 m
-3
Ini menjelaskan bahwa kita harus menambahkan
1022
atom fosfor pada setiap meter kubik silikon.
Kerapatan bilangan dari atom silikon didalam kisi
silikon murni mungkin ditentukan dari
Denga NA adalah konstanta Avogadro (6,02 x 1023
mol-1
), d adalah massa jenis silicon (2.330
kg/m3 ), dan A adalah masa molar silicon (28,1
g/mol atau 0,081 kg/mol.). pensubstitusian nilai-
nilai ini menghasilkan
Fraksi yang kita cari kira-kira
Jika itu hanya menggantikan satu atom silikon
dalam lima juta atom fosfor, kerapatan elektron di
dalam pita konduksi akan ditingkatkan oleh faktor
satu juta.
Bagaimana campuran fosfor yang sedikit ini dapat
mengakibatkan suatu efek yang tampaknya
besar ? jawabannya begini, walaupun efek ini
sangat penting, efek ini tidak “besar”. Kerapatan
bilangan dari elektron konduksi adalah 1016
m-3
setelah pengotoran. Namun untuk tembaga,
kerapatan bilangan elektron konduksi (diberikan
dalam table 42.1 ) sekitar 1029
m-3
. jadi, stelah
pengotoran, kerapatan bilangan dari elektron
konduksi di dalam silikon tetap lebih kecil
daripada logam tertentu, misalnya tembaga
dengan faktor sekitar 107.
SOAL CONTOOH42.5
Sebuah LED dibuat penghubung p-n yang
didasarkan pada material semikonduktor Ga-As-P
tertentu, yang memiliki celah energy sebesar 1,9
eV. Berapa panjang gelombang dari cahaya yang
dipancarkan?
PENYELESAIAN : Jika kita asumsikan bahwa
transisi terjadi dari bagian bawah pita konduksi ke
bagian atas valensi, maka berlaku Pers. 42.9. Dari
persamaan ini
( )
.
(Jawaban)
Cahaya dengan panjang gelombang sebesar ini
adalah cahaya merah.