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FIME COMPENSACIÓN EN ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA UANL
CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ 1
Compensador en adelanto
por el método de respuesta en frecuencia
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Compensador electrónico en adelanto con amplificadores operacionales
( )( )
22
11
23
14
22
11
31
4201
1
11
CRs
CRs
CRCR
sCRsCR
RRRR
sEsE
i +
+=
++
=
Ts
Ts
KTs
TsK cc
αα
α 1
1
11
+
+=
++
=
23
142211 CR
CRKCRTCRT c === α
11
22
31
42CRCR
RRRRKc == αα
Ésta es una red de adelanto si 2211 CRCR > o 1<α y una red de atraso si 2211 CRCR < . La ganancia del compensador en adelanto es αcK El compensador tiene un cero en Ts 1−= y un polo en ( )Ts α1−= . Dado que 10 <<α , vemos que el cero siempre se ubica a la izquierda del polo en el eje de frecuencia. El valor mínimo de α está limitado por la construcción física del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mínimo de α se ubica cerca de 0.05. (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce el compensador es de alrededor de 65°.)
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Diagrama de Bode de un compensador en adelanto con 1=cK y 1.0=α
αω
αω
αω
αω
αω
T
T
TT log log
T1log
T1 log 2log
T1log
T1 log
log
m
m
m
m
m
1
1
11
2
22
2
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
+=
( ) ( )11)( +∠−+∠=∠= TjTjjG mmmcm αωωωφ
TtanTtan m1
m1
m αωωφ −− −= ( )BABABA
tantan1tantantan
+−
=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= −−
αα
αφ 11
m tan1tantan tan
αα
αα
α
αα
αφ21
11
1−
=+
−=m tan
ααφ
+−
=11
msen
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Técnicas de compensación de adelanto
1. Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante estática de error determinada.
2. Usando la ganancia K determinada, dibuje la grafica de Bode de G(jω). Calcule el valor del Margen
de fase y el Margen de ganancia con sus respectivas frecuencias. Estos son las características originales del sistema
origMF = margen de fase original
cω = frecuencia de transición de ganancia original origMG = margen de ganancia original
fω = frecuencia de transición de fase original
3. Si las características originales no satisfacen lo especificado, entonces, calcule la cantidad de fase de adelanto mφ requerido que debe de entregar el compensador en adelanto.
4. espMF es el margen de fase especificado, adicφ son los grados adicionales que hay que agregar para compensar la caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia, producido por la magnitud ( )αlog10 que agrega el compensador en mω . El ángulo mφ no debe de ser mayor a 65°. (Hay que proponer el ángulo adicφ ).
5. De la cantidad de fase requerida, determine el factor de atenuación α a partir de la ecuación.
6. Determine la frecuencia mω a la cual la magnitud del sistema no compensado G(jω) es igual a ( )αlog10 . Seleccione ésta como la nueva frecuencia de transición de ganancia. Esta frecuencia corresponde a
y el cambio de fase máximo mφ ocurre en esta frecuencia.
7. Calcule la caída de ángulo, la cuál será, el defasamiento en la frecuencia de transición de ganancia original ( cω ) menos el defasamiento en la nueva frecuencia de transición de ganancia ( mω ).
( ) ( )mccaida jGjG ωωφ ∠−∠=
Esta caída deberá ser aproximadamente igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈ . Si no se cumple esta condición se deberá modificar los grados adicionales y repetir los pasos del 3 al 7
8. Determine las frecuencias de esquina del compensador de adelanto:
Cero del compensador de adelanto: T1
adicorigespm MFMF φφ +−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=m
m
sensen
φφα
11
αω
Tm1
=
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Polo del compensador de adelanto: Tα1
9. El compensador quedaría
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+
+=
++
=α
αα
11
1
11
Ts
Ts
TsTssGc
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Ejemplo 1 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
( ) ( )24+
=ss
KsG
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones
1. El coeficiente estático de error de velocidad 120 −= segKv 2. El margen de fase °≥ 50MF 3. El margen de ganancia dBMG 10≥
Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
( ) ( ) Kss
KsssGKssv 2
24limlim
00=
+==
→→
Como se desea que 120 −= segKv entonces
202 =K 10=K El sistema sería
( ) ( )240+
=ss
sG
El margen de fase para este sistema es
∞==°=
MGsegradMF c /17.696.17 ω
El ángulo que debe de proporcionar el compensador en adelanto
adicorigespm MFMF φφ +−=
Se propone 6° como grados adicionales
°=°+°−°= 04.38696.1750mφ
( )( ) 237.0
04.38104.381
11
=°+°−
=+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
( ) dB244.6237.0log10log10 −==α
En 95.8=ω tenemos una magnitud de -6.244 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia
95.8=mω
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La caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia de 6.17 a 8.95 es el defasamiento en la frecuencia de transición de ganancia original ( )cω menos el defasamiento en la nueva frecuencia de transición de ganancia ( )mω
( ) ( )mccaida jGjG ωωφ ∠−∠=
Esta caída deberá ser menor o igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈
( ) °=°−−°−= 36.54.16704.162caidaφ Como caidaadic φφ ≈ , se continúa con el diseño, si no lo fueran habría que modificar los grados adicionales y volver a diseñar. El cero del compensador sería
357.4237.095.81=== αωmT
El polo
384.18237.0357.41
==Tα
El compensador sería
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+=
384.18357.4
237.01
1
11
ss
Ts
Ts
sGc
αα
El sistema compensado es
( ) ( ) ( ) 237.01
384.18357.4
240
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=ss
sssGsG c
Para el sistema compensado
∞==°=
MGsegradMF m /96.866.50 ω
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Ejemplo 2 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
( ) ( )( )6224
++=
sssKsG
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones:
El error en estado estable para una entrada rampa con pendiente π2 debe ser menor o iguala 10π
Un margen de fase °≥ 45MF La frecuencia de cruce de ganancia seg
radc 1≥ω
Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
( ) ( )( ) Ksss
KsssGKssv 2
6224limlim
00=
++==
→→
Como se desea que 10π
=sse entonces
KKKR
ev
ssππ
===221 como
10ππ
=K
entonces 10=K
El sistema sería
( ) ( )( )62240
++=
ssssG
El margen de fase para este sistema es
segraddBMGsegradMF c
/47.393.7/3.578.20
=−==°−=
ωω
Ya que el sistema es muy inestable, para llevar al sistema de -20.78° hasta 45° se necesitarán 65.78° más los grados adicionales, un compensador no es suficiente, por lo que se necesitarán dos compensadores en adelanto, Para facilitar el diseño se utilizaran dos compensadores iguales, el ángulo que debe de proporcionar cada compensador en adelanto sería:
2adicorigesp
mMFMF φ
φ+−
=
Se propone 31° como grados adicionales
°=°+°−°
= 39.482
3178.2045mφ
( )( ) 144.0
39.48139.481
11
=°+°−
=+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
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( ) dB83.16144.0log20log10*2 −==α en 3.11=ω tenemos una magnitud de -16.83 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia
3.11=mω
La caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia de 5.3 a 11.3 es el defasamiento en la frecuencia de transición de ganancia original ( )cω menos el defasamiento en la nueva frecuencia de transición de ganancia ( )mω
( ) ( )mccaida jGjG ωωφ ∠−∠=
Esta caída deberá ser menor o igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≥
( ) °=°−−°−= 22.3123278.200caidaφ Como caidaadic φφ ≈ se continúa con el diseño, si no lo fueran habría que modificar los grados adicionales y volver a calcular El cero del compensador sería
288.4144.03.111=== αωmT
El polo
778.29144.0288.41
==Tα
El compensador sería
( )22
2
2
778.29288.4
144.01
1
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ss
Ts
Ts
sGc
αα
El sistema compensado es
( ) ( ) ( )( )22
144.01
778.29288.4
62240
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=ss
ssssGsG c
Para el sistema compensado En 3.11== mωω ( ) ( ) dBjGjG mcm 039.0=ωω y ( ) ( ) °−=∠ 12.135mcm jGjG ωω
segraddBMGsegradMF
f
m
/2.2986.12/3.1188.44
===°=
ωω
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Ejemplo 3 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
( ) ( )( )21 ++=
sssKsG
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones: El coeficiente estático de error de velocidad 110 −= segKv Un margen de fase °= 50MF Un margen de ganancia de dBMG 10≥ Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
( ) ( )( ) 221limlim
00
Ksss
KsssGKssv =
++==
→→
Como se desea que 10=vK entonces
102=
K por lo que 20=K
El sistema sería
( ) ( )( )2120
++=
ssssG
El margen de fase para este sistema es
segraddBMGsegradMF
f
c
/41.151.10/43.217.28
=−==°−=
ωω
Ya que el sistema es muy inestable, para llevar al sistema de -28.17° hasta 50° se necesitarán 78.17° más los grados adicionales por lo que se necesitarán dos compensadores en adelanto, El ángulo que debe de proporcionar cada compensador en adelanto sería
2adicorigesp
mMFMF φ
φ+−
=
Se propone 20° como grados adicionales
( )°=
°+°−−°= 08.49
22017.2850
mφ
( )( ) 139.0
08.49108.491
11
=°+°−
=+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
( ) dB127.17139.0log20log10*2 −==α
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en 08.5=ω tenemos una magnitud de -17.127 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia
08.5=mω
La caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia de 2.43 a 5.08 es el defasamiento en la frecuencia de transición de ganancia original ( )cω menos el defasamiento en la nueva frecuencia de transición de ganancia ( )mω
( ) ( )mccaida jGjG ωωφ ∠−∠=
Esta caída deberá ser aproximadamente igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈
( ) °=°−−°−= 2.2937.23717.208caidaφ
Como la caída de ángulo es mayor que los grados adicionales se procede a recalcular modificando los grados adicionales. Se propone 34° como grados adicionales
( )°=
°+°−−°= 08.56
23417.2850
mφ
( )( ) 093.0
08.56108.561
11
=°+°−
=+−
=sensen
sensen
m
m
φφ
α
( ) dB63.20093.0log20log10*2 −==α
en 85.5=ω tenemos una magnitud de -20.63 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia
85.5=mω
La caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia de 2.43 a 5.85 es el defasamiento en la frecuencia de transición de ganancia original ( )cω menos el defasamiento en la nueva frecuencia de transición de ganancia ( )mω
( ) ( )mccaida jGjG ωωφ ∠−∠=
Esta caída deberá ser aproximadamente igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈
( ) °=°−−°−= 25.3342.24117.208caidaφ Como son aproximadamente iguales caidaadic φφ ≈ se continua con el diseño, si no lo fueran habría que modificar los grados adicionales y volver a calcular El cero del compensador sería
784.1093.085.51=== αωmT
El polo
183.19093.0784.11
==Tα
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El compensador sería
( )22
2
2
183.19784.1
093.01
1
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ss
Ts
Ts
sGc
αα
El sistema compensado es
( ) ( ) ( )( )22
093.01
183.19784.1
2120
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=ss
ssssGsG c
Para el sistema compensado En 85.5== mωω ( ) ( ) dBjGjG mcm 016.0=ωω y ( ) ( ) °−=∠ 26.129mcm jGjG ωω
segraddBMGsegradMF
f
m
/61.1817.15/85.574.50
===°=
ωω
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