Post on 23-Jan-2016
description
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
CIMENTACIÓN DE MAQUINAS
PRELIMINARES
Capitulo 1
PRELIMINARES
En las
figuras mostradas se tiene un bloque de concreto y una placa del mismo material que se usan para construir elementos que transmiten al terreno las cargas generadas por los pesos propios y por cargas de tipo dinámico generadas por maquinas que hacen que la resultante de la combinación de ambas caiga en algún punto de la base; cuya posición es variable debido a que la resultante tiene una fuerza variable Fo. . Esta condición hace que si el eje neutro corta a la sección transversal la divida en dos partes, en una de las cuales todos los puntos que se encuentren en ella están en tracción, mientras que los puntos que se encuentran en la otra parte están en compresión.
El concreto material usado en cimentación de maquinas es un material compuesto ( mezcla de piedra , arena cemento y agua) que soporta muy bien los esfuerzos de compresión, pero la resistencia a esfuerzos de tracción es pequeña y en la práctica se considera que es cero.
Debemos evitar que en los cimientos, elementos sometidos generalmente a flexo compresión el eje neutro corte a la base.
Veremos a continuación que en todas las sesiones transversales existe una porción de área denominada núcleo central que tiene una propiedad muy importante, que consiste en que si la fuerza resultante de la cargas de las fuerzas que actúan sobre el cimiento caen dentro de esta área o en su periferia el eje neutro no cortará a la sección transversal y por lo tanto en el cimiento no se presentaran esfuerzos de tracción.
El estudio que realizaremos a continuación tiene por finalidad la determinación de esta área para diversas secciones transversales
1
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Núcleo Central
Cuando se tiene un elemento sometido a una fuerza Normal y momentos flectores el eje neutro puede o no cortar a la sección transversal. Con referencia a la figura 1.1, cuando el eje neutro a-a la corta en la sección aparece dos zonas una que está en tracción, y otra que en compresión. Si el eje neutro b-b no corta a la sección transversal los esfuerzos serán sólo de tracción o solo de compresión.
Si en cambio el eje fuera tangente a un punto cualquier de la sección (eje c-c y eje d-d, etc. ) los esfuerzos en estos puntos serían nulos y máximos en puntos opuestos pero siempre del mismo signo.Si se trazan todas las líneas neutras posibles alrededor de una sección , los puntos de aplicación de todas las fuerzas correspondientesdarán origen a un perímetro que encerrara una porción de superficie S que se llama Núcleo Central de la Sección al l cual lo definiremos como el lugar geométrico de la sección en donde si se aplica una fuerza excéntrica de compresión, los esfuerzos que genera esta fuerza en toda la sesión transversal serán de compresión(o de tracción en caso que la fuerza sea de
tracción )
El núcleo central es de vital importancia cuando se estudia elementos construidos con materiales frágiles, los cuales como ya se dijo su resistencia a la tracción es casi nula, y que serán sometidos a flexo-compresión. Entre los materiales frágiles que carecen de capacidad para resistir esfuerzos de tracción, tenemos el hierro colado, la fundición gris, el hormigón la piedra, etc. estos dos últimos materiales usados en la construcción en cimentación de maquinas.
Con referencia a la sección transversal 1.2 los ejes x-y son ejes principales y centrales y forman con el eje z un triedro derecho. Supondremos que la sección transversal está sometida a una fuerza axial de
tracción N (+) y a los momentos positivos y .
El eje neutro generado por estas cargas está ligado en la determinación del núcleo central .
Cuando se tiene una sección sometida a la acción de la
fuerza normal N y dos momentos flectores el
Fig. 1.2
2
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
esfuerzo normal en cualquier punto de la sección es:
1.1
La ecuación del eje neutro se obtiene haciendo con lo cual la ecuación del eje neutro será:
Que corresponde a la de una recta de la forma y= mx+b, en la cual la pendiente de la recta es el coeficiente de la variable x de la ecuación 1.3
El sistema mostrado en la figura 12 es equivalente a una fuerza aplicada en un punto P de coordenadas P = ( xo , yo ) siendo
Siendo A el área de la
sección transversal y kxx, y kyy los radios de giros con respecto a los ejes x e y respectivamente. Remplazando en los datos indicados en la ecuación 1.1 tenemos
o su equivalente
Como N y A no son nulas el termino entre paréntesis debe ser nulo para que se cumpla la ecuación (1.5) en consecuencia el eje neutro es independiente de la carga N y el área A y su ecuación es y su ecuación se reduce a la ecuación (1.6)
3
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
La cual se puede escribir de la siguiente forma
eje x, y b es el punto donde el eje neutro corta al eje y siendo sus valores
( 1.8)
Teorema 1
Si los momentos de inercia con respecto a los ejes
principales y centrales son iguales el
eje neutro es paralelo al vector momento
cuya pendiente es
Fig 1.3
Siendo las inercias iguales, la ecuación 1.4 nos da lar pendiente del eje neutro
que igual a la pendiente con lo cual se concluye que el eje neutro y el
vector momento son paralelos.
Teorema 2
Si los momentos de inercia y el vector momento es paralelo al eje neutro
uno de los momentos son mulos.
Si el vector momento es paralelo al eje neutro se tiene por el teorema 1 que m = m1
Es decir
O su equivalente
4
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
El termino entre paréntesis no puede ser nulo por ser lo que implica que
si las tangentes son iguales sus cotangentes también lo son por lo tanto se
tiene
Para que se cumpla la ecuación anterior es necesario que M xx =0
Corolario 1
Si la carga actúa en uno de los ejes el eje neutro es paralelo al otro eje . Si la fuerza
N actúa en el punto
Figura 1,4
Teorema 3
Si el punto de aplicación de la carga N se desplaza sobre una recta L el eje neutro gira en torno de un Punto P = (x, y) que puede considerarse que se encuentra en el infinito si la recta pasa por G
Si P1 = (x0 , yo) pertenece a la recta L, y p es la distancia del origen a la recta siendo eP el vector unitario perpendicular a la recta L que forma un ángulo α con el eje de las x . Las componentes del vector ep será . La ecuación de la
recta L tiene por valor
5
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Efectuando la ecuación (1.9)
tenemos las ecuaciones
Fig. 1.4
En la ecuación (1.11) son variables
Obsérvese que de la Figura (4) se puede obtener
La ecuación 1.11 es la ecuación de la recta L , por ser variables.
El eje neutro según la ecuación (1.6) es
Obsérvese que la ecuación 1.6 no representa ahora un solo eje neutro sino infinitos
ejes neutros Para tenemos el eje neutro
6
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Y así para se tiene
Vamos ahora a demostrar que los infinitos ejes neutros representados por la ecuación 1.6 pasan por un punto P. se tiene que cortar en un punto o ser paralelos Punto que puede suponerse en el infinito cuando la recta L pase por G. y sus coordenadas serían
Sumando las ecuaciones (1.6) con (1.11).se tiene la ecuación de las familias de rectas que satisfacen a ambas ecuaciones
o su equivalente
(1.13)
Para que se cumpla la ecuación (1.13) es necesario que cada paréntesis sea iguales a cero y a partir de los cuales se obtienen la coordenadas del Punto P =(x,y)
Luego todos los ejes neutros dados por la ecuación (1,6) pasan por el punto
Las ecuaciones (1.9ª) y (1.9b) que se obtuvieron de la figura 1.4 tienen por valor
7
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Cuando la carga pasa por G, el valor de p es 0 remplazando en la ecuación 1.14 se
tiene que Los ejes neutros se cortan en el infinito al ser
Los valor (1.14 a)y (1.14b) remplazando en la ecuación (1.11) definen a la ecuación de la recta L
L :
Y el punto P donde giran los ejes neutros cuando la carga se desplaza sobre la recta L como
Fig. 1.5
CASOS PARTICULARES
Si la recta L es paralela al eje x
El vector unitario perpendicular a L y p será b
siendo ,
Primer Caso
Cuando la carga se desplaza sobre la recta L paralela al eje x. de ecuación L : y = yo los ejes neutros giran en torno de P Situado sobre el otro eje
Fig. 1.6
En este caso b = yo, y Empleando (1,15)
(1.16)
8
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Segundo caso Cuando la carga se desplaza sobre una recta L paralela al eje y, de ecuación L : x =xo
Los ejes neutros giran en torno del punto P situado sobre el otro eje
Fig.1.7 En este caso a = xo,
Teorema 4
Si el punto de la carga N se desplaza sobre la recta L los ejes neutros giran en torno del
punto pero cuando la carga se aplique en P el eje neutro es L
La recta L definida por la ecuación 1.10 se puede escribir como
El punto de aplicación de la carga según se vio por la ecuación (1.14) y (1,15)
Fig.1.8
Punto que satisface a la ecuación del eje neutro determinado por la ecu Remplazando los valores de xo e yo en la ecuación (1.6) tenemos
La cual simplificada se reduce a la ecuación de la recta L definida por (1.11)
Con lo cual queda demostrado el teorema 4
Si la ecuación (1.6) la expresamos como
9
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
La ecuación del eje neutro es de la forma
Fig.1.9
Siendo
l En la figura 8 se muestra una sección rectangular de base b y altura h en el cual se pueden trazar cuatro rectas
tangente : que coincide con AB
que coincide con BC que
coincide CD y que coincide con DA
Como existen cuatro rectas tangentes al contorno que coinciden con los lados del rectángulo el núcleo central tendrá 4 vértices 1,2,3,y4
Usando el teorema 3. Cuando la carga recorra la recta L1
que pasa por A y B los ejes neutros giran en torno de 1. El punto 1 se determina cuando la carga N esta en el punto medio P1, de AB Cuando la carga se desplaza sobre
la recta L2 recta que pasa por B y C los ejes neutros giran en torno del punto 2. El punto 2 se determina cuando la carga N esta en P2,,punto medio de BC. Cuando la carga N recorre la recta L3 los ejes neutros giran en torno del punto 3. El cual se determina cuando la carga esta en el punto media P3 en forma análoga se determina el punto 4.
Según el teorema 4 Cuando la carga N recorra la recta determinada por 1-2 los ejes neutros giran en torno de B. Siendo AB eje neutro, cuando la carga N esta en 1 y BC cuando la carga esta en 2.
10
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Para una sección T. Usando el método usado en el caso del rectángulo de Tiene que cuando la carga N se desplaza sobre L1. Los ejes neutros giran en torno al punto 1 .
Cuando la carga se aplique en 1 El eje neutro coincide con AB . En forma análoga cuando la carga se aplique en 2 el eje neutro pasa por Ay B en forma similar se procede para los puntos 3 y 4
MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS VÉRTICES DEL NÚCLEO CENTRAL
La determinación de los vértices del núcleo central se basa en la aplicación de los teoremas 3,y 4 los casos particulares que de ellos se concluyen , El procedimiento a seguir seria;
1 Determinemos el centroides G de la sección
2.- Determinar los ejes principales y centrales de inercia ( que pasan
por G, 3.- Determinar los momentos de inercia con respecto a los ejes principales y centrales 4.-Determinar los radios de giro con respecto a los mejes principales y centrales 5.- Determinar el número de tangentes que se pueden trazar al perímetro de la sección de la sección cuyo núcleo central se quiere determinar 6.- Considerar que sobre estas tangentes se desplazara la carga N de compresión 7.- Se debe determinar los puntos en que estas tangentes cortan a los ejes principales y centrales (al eje x en ai y al eje y en bi)
8) Determinar las coordenadas del punto = en
donde giran los ejes neutros cuando la carga se desplaza sobre la tangente
11
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
punto que será el vértice del múleo central. Procediendo de la misma manera para las demás tangentes se tienen los n vértices del núcleo central. En consecuencia el núcleo central tendrá tantos vértices como tangentes se tengan .
Ejemplo N 1
Determinar el núcleo central de un rectángulo de base b y altura h
Los ejes x- y son ejes principales y centrales .Las inercias y los radios de giro serán
Al contorno del rectángulo se pueden trazar 4tangentes .La rectas L11 que corta al eje x en
y al eje y en cuando la carga se desplace
sobre esta recta los ejes neutros giran en torno del punto
La recta L22 corta a x en y
al eje y en . Cuando la cargase desplace sobre la recta L22 el punto P2 tendrá por coordenada
L a recta L33 cota a x en
y a y en obteniéndose el punto . La recta L44
12
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
corta al eje x en y al eje y en obteniéndose el punto Los cuatro
puntos son los vértices del núcleo
Ejemplo Nº2
Determinar el núcleo central de una sección circular de radio R
Para el circulo cualquier sistema de ejes ortogonales que pasen pos G son ejes principales y centrales, es decir que existen infinitos sistemas ortogonales que son principales y centrales L
os momentos con respecto a cualquiera de los ejes x e y son
En el círculo existen infinitas tangentes que cortan a los ejes principales en ai = y bi = R .
Para las infinitas rectas tangentes al contorno del círculo existen infinitos puntos
de coordenadas
Lo que nos indica que todos los puntos distan del G una distancia R/4. En consecuencia el núcleo central es un
círculo de radio
13
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Ejemplo 3 Determinar el núcleo central del triangulo rectángulo ABG cuyos ejes centrales son e son ejes centrales pero no centrales .Sabemos que los momentos de inercia con respecto al eje u-u y al eje son:
Siendo el producto de inercia igual a
en donde A es el área del
triangulo
Determinemos los ejes principales y centrales que pasan por G para lo cual se necesita determinar previamente los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes e
Determinemos los momentos de inercia con respecto a los ejes principales
=
Determinemos el ángulo α que forman los ejes principales y centrales con respecto al eje
14
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Determinemos los radios de giro
Coordenadas de os vértices referidas a los ejes e
Determinemos las coordenadas en de A ,B, y C con referencia a los ejes x-y Usando la transformación de coordenadas
cm
Ecuación de la recta AB referida al sistema x-y
Recta que corta a los ejes en
15
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Ecuación de la recta AC
La recta corta a los ejes en
Ecuación de la recta BC
La recta corta a los ejes en
Determinemos la coordenada de los vértices del núcleo central que serán
Cuando el eje neutro sea AB se tendrá el punto P1 de
coordenadas
Cuando el eje neutro sea BC se tendrá P2
Cuando el eje neutro es BC se tiene el punto P2 . Cuando el eje neutro es AC el punto será P2
Ejemplo Nº4
Determine el núcleo central para la figura mostrada
16
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Solución determinemos el centro de gravedad G Considerando el rectángulo de 80 cm x20 cm y el triángulo de 80x50
A1 = 80x20 = 1600 mm2
A2 = 80x30/2 = 1200 mm2
Área total = 2800 mm2
Cuando la recta AE es el eje neutro su ecuación es
y = - 18.75 y corta a los ejes en
de donde se obtiene el punto 1
Cuando el eje neutro es DE se obtiene el P2
Cuando el eje neutro es AB el punto se obtiene es
17
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Cuando recta CD es el eje neutro pendiente y que pasa por C de
coordenadas de ecuación
Que corta a los ejes en x = a = 41.90 mm y =b = 31.43 mm se obtiene el punto P4
Cuando el eje neutro es CD se obtiene el punto P5 uniendo los cinco
puntos se tiene el núcleo central
Ejemplo 2
Para el angular L de 10cm x10 cm x1cm Se conoce los momentos de inercia y los radio de giro con respecto a los ejes principales y centrales x-y
Para determinar el núcleo, Los ejes neutros deben ser la recta AE, la recta AB la recta BC, la recta DC y la recta DE . para ello es necesario determinar en donde estas rectas cortan a los ejes x e y esto se consigue si se determinan BG , GT y GM (Ver figura)
18
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
Cuando el eje neutro es AE de obtiene de un punto de
en donde
Cuando CD es el eje neutro se obtiene , CD esta recta corta a los ejes x.y en a =
10,15, b = -10,15 siendo . Cuando la fuerzai se aplique en el
eje neutro será DE
Si la carga se desplaza sobre ED los ejes neutros giran en torno de un punto la recta
ED corta al eje x en y al eje y en el punto
los cinco puntos determinados forman el
perímetro del núcleo central.
19
Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola
i
20