Post on 02-Jan-2016
description
Nội dung
1. Không gian vectơ
2. Không gian con của không gian vectơ
3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT
5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.
6. Không gian nghiệm.
7. Không gian dòng của ma trận.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
1. Không gian vectơ:
Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép toán:
i. Phép toán cộng (ký hiệu +)
V được gọi là không gian vectơ (KGVT) trên trường số thực R nếu thỏa mãn các tính chất sau đối với phép cộng và nhân vô hướng:
,u v VÎ u v V+ Î
(Phép hợp thành trong)
ii. Phép nhân vô hướng:
(Phép hợp thành ngoài)
, ,u V k ku VÎ Î ÎR
Các phần tử của V được gọi là các vectơ.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
i. Tính giao hoán của phép cộng
ii. Tính kết hợp của phép cộng:
iii. Tồn tại một phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn:
iv. tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là , thỏa mãn: u V" Î u-
, ,u v V u v v u" Î + = +
( ) ( ), , ,u v w V u v w u v w" Î + + = + +
, 0u V u u" Î + =
( ) 0u u+ - =v.
vi.
vii.
viii.
( ), , ,u v V k k u v ku kv" Î " Î + = +R
( ), , ,u V k h h k u hu ku" Î " Î + = +R
( ) ( ), , ,u V k h h ku hk u" Î " Î =R
,1.u V u u" Î =
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Tính chất:
Phép trừ trong KGVT được định nghĩa như sau:
( )u v u v- = + -
i. Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất.
ii.
iii.
,0.u V u" Î = 0
,k V" Î ÎR 0 .k =0 0
iv. Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0
v. ( )1u u- = -
• Ví dụ:
1. Không gian vectơ Rn:
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
1 2 1 2; , , , ,..., , , ,...,nn nk u v u u u u v v v v R R
1 1 2 2, ,..., n nu v u v u v u v
1 2, ,..., nku ku ku ku
0,0,...,00 phần tử không.
trong đó các ui và vi là các số thực và được gọi là các thành phần của vec tơ u và v.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
2. Cho X là tập khác rỗng, tập hợp các hàm số từ X và R ký hiệu:
:F f X RCác phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như sau:
, :
; :
f g F f g x f x g xx X
f F k kf x kf x
R
x XPhần tử không là các hàm đồng nhất không, tức là bằng không với mọi
3. Pn là tập tất cả các đa thức hệ số thực cấp 1n
Phép cộng: cộng đa thứcPhép nhân vô hướng: nhân số với đa thức
Pn là một KGVT trên trường số thực
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
4. Tập tất cả các ma trận cấp mxn:
Phép cộng: cộng ma trậnPhép nhân vô hướng: nhân vô hướng với một ma trận
là một KGVT trên trường số thực.
m nM
m nM
5. Trường số thực R là KGVT trên chính nó.
1. Không gian vectơ
2. Không gian con của không gian vectơ
3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT
5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.
6. Không gian nghiệm.
7. Không gian dòng của ma trận.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
2. Không gian con của KGVT:
Định nghĩa 2:
Không gian con của KGVT V trên trường số thực R (gọi tắt là không gian con) là một tập hợp W khác rỗng của V thỏa 2 tích chất sau:
i. , ,u v W u v W" Î + Î
ii. , ,u W k ku W" Î " Î ÎR
Nhận xét:
Hai tính chất trên có thể được thay bằng tính chất sau:
, , ,u v W k ku v W" Î " Î + ÎR
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Định lý:
Phần giao của một số bất kỳ các không gian con của KGVT V là không gian con của KGVT V.
Định lý:
Tập hợp nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trên R:AX = 0
trong đó và là không gian con của KGVT Rn.
Mm n´ÎA M 1n´ÎX
Chứng minh: RM 1;n k´Î ÎX,Y
M 1nk ´+ ÎX Ycần cm cũng là nghiệm của hệ AX = 0
( ) { {k k+ = + =0 0
A X Y AX AY 0
với X và Y là nghiệm của AX = 0
Suy ra điều phải chứng minh.
1. Không gian vectơ
2. Không gian con của không gian vectơ
3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT
5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.
6. Không gian nghiệm.
7. Không gian dòng của ma trận.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính:
Định nghĩa 3:
V là KGVT trên R. Cho . Vectơ có dạng
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
1 2, ,..., mv v v VÎ u VÎ
1 1 2 2 ... m mu v v va a a= + + +
trong đó , được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
, 1,i i ma Î =R1 2, ,...,
mv v v
Định nghĩa 4:
Hệ các vectơ v1, v2, …,vm của KGVT V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các vô hướng (các số thực), 1 2, ,..., ma a akhông đồng thời bằng không, sao cho:
1 1 2 2 ... m mv v va a a+ + + = 0Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
Định lý:
Các vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có
ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
1 2, ,..., mv v v VÎ
Chú ý:
i. Các vectơ độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu
1 2, ,..., mv v v VÎ
11
,..., , 0 0, 1,...m
m i i ii
v i ma a a a=
Î = Þ = " =åR
ii. Mọi hệ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
iii. , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu độc lập tuyến tính khi và chỉ khi .v V" Î { }v
v ¹ 0
Phương pháp kiểm tra hệ các vectơ ĐLTT hay PTTT:
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Bước 1:
Lập hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: =AX 0
1 2 mv v vé ù= ê úë ûA L
1 2
T
i i i niv v v vé ù= ê úë ûL
11 12 1
21 22 2
1
m
m
n nm
v v v
v v v
v v
é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û
A
L
L
M M O M
L L
trong đó A là ma trận có các cột là các vectơ v1, v2, …,vm.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
1 2 ma a aé ù= ê úë ûX L
và vectơ X có dạng:
Bước 2:
Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta được:
i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT
ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ
các vectơ PTTT
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
1. Không gian vectơ
2. Không gian con của không gian vectơ
3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT
5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.
6. Không gian nghiệm.
7. Không gian dòng của ma trận.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn:
Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT)
Tập gồm m vectơ của KGVT Rn lập thành một hệ các phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ , tức là có thể biểu diễn v dưới dạng:
{ }1 2, ,..., mff f=B
1 2, ,..., ma a a
1 1 2 ...m m mv ff fa a a= + + +
trong đó là các vô hướng.
1 2, ,..., mff f
Cơ sở của KGVT Rn là một hệ các phần tử sinh độc lập tuyến tính, tức là B thỏa mãn hai tính chất sau:
{ }1 2, ,..., nff f=B
i) được biểu diễn dưới dạngnv Î R
1 1 2 2 ... n nv ff fa a a= + + +
ii) Phương trình chỉ thỏa mãn khi 1 1 2 2 ... 0n nff fl l l+ + + =
1 2 ... 0nl l l= = = =
(công thức khai triển vectơ v thành các thành phần)
Các vô hướng được gọi là các tọa độ của vectơ v trong
cơ sở
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
{ }1 2, ,..., .nff f=B
1 2, ,..., na a a
Ký hiệu: 1
2
n
v
a
a
a
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷éù = ç ÷êú ç ÷ëû ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
B M
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Ví dụ:
1) Trong KGVT R2: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 2 vectơ không cùng phương. Và hai vectơ không cùng phương thì ĐLTT. Vậy cơ sở của R2 là một hệ gồm 2 vectơ không cùng phương.
2) Trong KGVT R3: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 3 vectơ không đồng phẳng (không nằm trên cùng mặt phẳng). Và 3 vectơ không đồng phẳng thì ĐLTT. Vậy cơ sở của R3 là một hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng.
( ) ( )1,2 ; 2,0a b= =
( )4,4 2c c a b= Þ = +
vậy: 2
1c
éùêúéù =êú êúëûêúëû
B
Chú ý:
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
{ }0 1 2, ,..., .ne e e=B
i) Mỗi vectơ v trong Rn được khai triển thành các thành phần một cách duy nhất
ii) Với mỗi cơ sở khác nhau, một vectơ được khai triển thành các thành phần khác nhau (trừ vectơ 0)
iii) Cơ sở chính tắc trong Rn: ký hiệu
1
2
3
1,0,0, ,0 ,
0,1,0, ,0 ,
0,0,1, ,0 ,
0,0,0, ,1 .n
e
e
e
e
é ù= ê úë ûé ù= ê úë ûé ù= ê úë û
é ù= ê úë û
K
K
K
M
K
( ) 1 2 31,2,3 2 3a a e e e= Þ = + +0
1
2
3
c
éùêúêúéù = êúêúëû êúêúëû
BVí dụ:
Định nghĩa 6: (chiều của của KGVT)
Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho KGVT V có một cơ sở gồm n vectơ, số nguyên này là duy nhất và được gọi là số chiều của KGVT.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Ký hiệu: n = dimV
Nhận xét:
i) Số chiều của một KGVT chính là số vectơ của mọi cơ sở của V và cũng là số tối đại các vectơ độc lập tuyến tính của KGVT V
ii) KGVT có số chiều hữu hạn thì gọi là KGVT hữu hạn chiều. KGVT trong đó có thể tìm được vô số vectơ độc lập tuyến tính được gọi là KGVT vô hạn chiều.
Định lý:
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Trong KGVT Rn, một hệ bất kỳ gồm n vectơ độc tuyến tính thì tạo thành một cơ sở
Định lý:
Hệ gồm n vectơ trong KGVT Rn độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của vectơ đó khác không.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
1. Không gian vectơ
2. Không gian con của không gian vectơ
3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT
5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.
6. Không gian nghiệm.
7. Không gian dòng của ma trận.
5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
là hai cơ sở khác nhau của KGVT Rn.
{ }1 2, ,..., ne e e=B { }1 2, ,..., nff f¢=B
Quy ước B là cơ sở cũ và B’ là cơ sở mới.
Tọa độ của các vectơ trong cơ sở mới được biểu diễn trong cơ sở cũ như sau:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
n n n nn n
f e e e
f e e e
f e e e
a a a
a a a
a a a
= + + +
= + + +
= + + +
M
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Ma trận vuông cấp n:
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
...
n
nB B
n n nn
P
a a a
a a a
a a a
¢®
é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û
M M M
được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở cũ B sang cơ sở mới B’ (hoặc ma trận chuyển).
Chương 3. Không gian vectơChương 3. Không gian vectơ
Định lý:
là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi}
và là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang cơ sở B. Khi đó
khả nghịch và
B BP ¢®
B BQ ¢®
B BP ¢®1
B B B BQ P -¢ ¢® ®=