Post on 13-Mar-2021
통계수학 Chapter 5. 행렬
| 127
행과 열로 이루어진 정사각형 숫자 모임을 행렬이라 한다. 본 장에서는 행렬의 사칙연산과
통계학 적용을 살펴보기로 한다.
5.1 정의
차수가 pn× 인 행렬 pnX × (matrix X of order pn× )라 부른다. i 는 행을, j 는 열을
나타내며 행렬의 간편 기호는 }{ ijpn xX =× 이다. ijx 을 원소(element)라 한다.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
npnn
ij
p
p
pn
... x xx
.....x..........
... x xx
... x xx
X
21
22221
11211
열의 차수가 1 인 행렬을 열 벡터(column vector), 행의 차수가 1 인 행렬을 행 벡터(row
vector)라 한다. 일반적으로 벡터라 함은 열 벡터를 의미한다. 벡터의 기호는 열 벡터 x , 행
벡터 'x 로 표시한다.
차수가 p 인 열 벡터
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
px...xx
x 2
1
, 차수가 q 인 행 벡터 [ ]pp ...xxxx 211 =×
행과 열의 차수 모두가 1 인 행렬을 스칼라(scalar)라 한다. 즉 -2, 3, 1.9…… 모든 실수는
행렬에서는 스칼라이다.
5.2 특수한 행렬
5.2.1 정방행렬
행과 열의 차수가 같은 행렬(즉, pn = )을 정방행렬(square matrix)이라 한다.
EXAMPLE 차수 3 인 정방 행렬의 예
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=×
112324232
33
A
통계수학 Chapter 5. 행렬
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(행렬 차수)
5.2.2 대각행렬
정방 행렬에서 대각선에 위치한 원소를 대각 원소(diagonal element)라 하며 대각 원소를
제외한 모든 원소가 0 인 행렬을 대각 행렬(diagonal matrix)이라 한다. 대각 행렬은 정방
행렬의 특수한 형태이다.
EXAMPLE 차수가 4 인 대각 행렬의 예
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=×
2000000000100001
44D
▣대각합
정방 행렬의 대각 원소의 합을 대각합(trace)이라 하고 ∑==
n
iiiAAtr
1)( 로 정의한다.
EXAMPLE 정방 행렬 예제의 행렬 A 의 대각합은 5122)( =++=Atr 이고, 대각 행렬
예제의 행렬 D 의 대각합은 22011)( =++−=Dtr 이다.
5.2.3 항등행렬
정방 행렬 중 대각 원소가 모두 1 이고 다른 원소는 모두 0 인 행렬을 항등 행렬(Identity
Matrix)라 하고 nI 라 표시한다. 항등행렬은 선형대수(Linear Algebra)의 곱에서 1 의 역할과
동일하다. 행렬대수(matrix algebra)의 역수의 개념은 역행렬(inverse matrix)이며 정방 행렬
A 에 대해 IAAAA == −− 11 가 성립하는 1−A 을 역행렬이라 한다.
통계수학 Chapter 5. 행렬
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EXAMPLE 차수가 3 인 항등행렬의 예
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
3
I
EXAMPLE 차수가 3 인 항등행렬의 예
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
112324232
A 이면 AAI =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
112324232
100010001
112324232
물론 IA=A 도 성립한다. (곱의 계산방법은 후에 다루기로 한다)
5.2.4 영행렬
행렬의 모든 원소가 0 인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 정방 행렬일 필요는 없다.
EXAMPLE 차수가 43× 인 영 행렬의 예
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=×
000000000000
43O
통계수학 Chapter 5. 행렬
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5.3 기초 연산
5.3.1 동일
(1)차수가 동일하고 (2)대응 원소가 같으면 두 행렬은 동일(equal)하다고 한다. 즉 BA =이면 ijij ba = , jiallfor , 이다.
EXAMPLE ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=113221
,13
21,
1321
CBA 인 경우
BA = 이나 CA ≠ 이다.
5.3.2 전치
행의 원소를 열로 보내고 열의 원소를 행으로 보내어 만들어진 행렬을 전치 행렬이라 하고
이 과정을 전치(transpose)라 하다. 행렬 pnX × 의 전치 행렬은 npX ×′ 이고 차수는
( np× )이다. 이를 간편 기호로 나타내면 다음과 같다. }{ jixX =′
EXAMPLE
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
225112324232
34
X 의 전치 행렬 43×′X 을 구하면
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=′ ×
213221235242
43
X
EXAMPLE 열 벡터
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
242
x 의 전치는 행 벡터 [ ] x 242=′ 이다.
벡터를 사용하여도 되나 행렬에서는 함수 matrix()로 설정하는 것이 편리하다.
EXAMPLE 행 벡터 [ ]011' −=x 의 전치는 열 벡터
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=01
1x 이다.
통계수학 Chapter 5. 행렬
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▣전치 성질
(1) AA =)''(
5.3.3 대칭행렬
행렬과 전치 행렬이 동일한 행렬, 즉 'AA = ( }{}{ jiij aa =⇔ )인 경우 행렬 A 를 대칭
행렬(Systematic Matrix)이라 한다. 대칭 행렬이 되려면 반드시 정방 행렬이어야 한다.
EXAMPLE
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=×
1 3 23 2 42 4 2
33A 은 대칭행렬이다.
EXAMPLE 항등행렬과 대각 행렬은 대칭행렬이다.
5.4 합 연산
행렬의 합을 구하는 경우 두 행렬의 차수는 동일해야 하며(conformable for addition: 합
연산 적합) 각 행렬에서 대응하는 원소들의 합을 그 위치에 적으면 된다.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++++
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+=+ ××
...b aba...............
...b aba ...baba
... b bb
.....b..........
... b ba
... bbb
... a aa
.....a..........
... a aa
aaa
baBA
nnnnnpnn
ij
p
p
npnn
ij
pijijpnpn
2211
22222121
121111
21
22221
11211
21
22221
11
}{}{
121p12 ...
EXAMPLE 행렬 A, B 에 대해 A+B 를 구하라.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
324242
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
024212
-
B ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
308450
BA
EXAMPLE 벡터 A, B 에 대해 A+B 를 구하시오.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4 2
a , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
42
b ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
ba80
통계수학 Chapter 5. 행렬
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▣합 성질
(1) '')'( BABA +=+ 단, 행렬 A, B 는 합의 연산이 적합하다.
(2) )()()( BtrAtrBAtr +=+ 단, 행렬 A 와 B 는 차수가 같은 정방 행렬이다.
(3)결합법칙(associate law): )()( CBACBA ++=++
5.5 곱 연산
두 벡터를 곱하기 위하여 (열 벡터)x(행 벡터), (행 벡터)x(열 벡터)만 가능하다. 이는 곱의
적합 조건 때문이다. 행렬에서 곱의 적합 조건은 앞 행렬(벡터)의 열의 차수와 뒤 행렬 행의
차수가 동일해야 한다. 곱의 결과는 (앞 행렬의 행 차수)x(뒤 행렬의 열의 차수)인 행렬(벡터,
스칼라)이다. [ i 번째 행]x[ j 번째 열]=[ ),( ji 원소]
5.5.1 (행 벡터)x(열 벡터)
벡터의 곱은 앞 벡터의 열의 원소와 대응하는 뒤 벡터의 행의 원소의 곱을 더한 값을
적으면 된다. 곱이 가능하기 위해서는 앞 행의 차수와 열의 차수는 같아야 하며 행
벡터(1xp 행렬)와 열 벡터(px1 행렬) 곱은 스칼라(1x1 행렬)이다.
[ ] ∑=+++=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′=
p
iiipp
p
p xaxaxaxa
x
xx
aaaxa1
22112
1
21 KM
K
EXAMPLE
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
101
,321
xa 이면
[ ] 2)1(302111
01
321'
13
31 −=−×+×+×=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
×
×xa
통계수학 Chapter 5. 행렬
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5.5.2 (열 벡터)x(행 벡터)
열 벡터 열 원소와 행 벡터의 행 원소의 곱을 (앞의 열 벡터 원소 위치) 행, (뒤의 행 벡터
원수 위치) 열로 하여 행렬을 만든다. 앞의 열 벡터와 차수와 뒤 열 벡터 차수는 같을
필요가 없다. 결과는 )( pn× 행렬이다.
[ ]
pnpnnn
p
p
p
n xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
a
aa
xa
×⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
L
M
L
L
KM
21
22212
12111
212
1
EXAMPLE
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
242
a ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
102
1
b ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
20
1
x 에서 xa′ 와 ′ba 를 구하시오.
[ ] 240220
1242 =++−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=′
xa , [ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=′
204240842042
1021242
ab
그러나 'xa 나 ba' 는 성립하지 않는다.
행렬(벡터)에 스칼라를 곱한다는 것은 모든 원소에 스칼라 배를 하는 것을 의미한다.
EXAMPLE ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 03
630121
3 ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
402
201
2
5.5.3 (벡터)x(행렬) 혹은 (행렬)x(벡터)
벡터와 행렬을 곱하기 위해서는 앞의 행렬(벡터)의 열의 차수와 뒤 행렬(벡터)의 행렬의
행의 차수는 동일해야 한다. 계산된 행렬의 차수는 앞에 곱해진 벡터(행렬)의 행의 차수와
뒤의 행렬(벡터)의 열의 차수이다.
통계수학 Chapter 5. 행렬
| 134
벡터
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
na
aa
aM
2
1
와 행렬
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
npnn
ij
p
p
pn
... x xx
.....x..........
... x xx
... x xx
X
21
22221
11211
에서 Xa′ 은 다음과 같다.
[ ] pnn
iiji
npnn
ij
p
p
n xa
... x xx
.....x..........
... x xx
... x xx
aaaXa ×=∑=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′ }{1
21
22221
11211
21 K
만약 pn ≠ 이면 aX 혹은 ′aX 은 존재하지 않는다.
EXAMPLE ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
42
a , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
132101
-
X 인 경우 [ ] [ ]21210132101
42 -
Xa =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′
EXAMPLE
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
142
a , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
132101
-
X 인 경우 [ ]171142
132101
-
aX =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 이다.
그러나 ′aX 혹은 Xa 은 존재하지 않는다.
5.5.4 (행렬)x(행렬)
앞 행렬의 열의 차수와 뒤 행렬의 행의 차수가 동일해야 행렬의 곱이 성립하며, 결과는 앞
행렬의 행의 차수와 뒤 행렬의 열의 차수가 된다.
통계수학 Chapter 5. 행렬
| 135
행렬
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
npnn
ij
ppn
... a aa
.....a..........
... a aa
aaa
A
21
22221
11
....
1p12 ...
,
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=×
pqpp
ij
q
q
qp
... b bb
.....b..........
... b bb
... bbb
B
21
22221
11211
...
에 대해 qnAB × 는 다음과 같이
표현된다.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++++
++++++=×
pqnpqnqnpnpnn
pqpqqppqn
babababababa
babababababaAB
LLL
MMM
LLL
22111212111
12121111121121111
이를 간편 기호로 표현하면 }{1∑=
=p
kkjik baAB 이고, AB 의 차수는 qn× 이다.
EXAMPLE 두 행렬의 곱을 구하시오. ( BAAB, 는 성립하지 않는다.)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
201102
A ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
111001
B
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′≠⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′
3122
201102
110101
3212
111001
210012
AB
BA
5.5..5 곱 관련 성질
▣곱 성질 qppn BA ×× ,
(1) BA의 연산이 가능하더라도 일반적으로 BAAB ≠ 이다.
(2) '')'( ABAB = 이 성립한다. (단 곱의 연산이 적합한 경우 가능하다)
(3)A, B 가 대칭 행렬이면 BAABAB =′′=′)(
(4) )()( BAtrABtr = 단, AB 가 정방 행렬일 때만 성립한다.
통계수학 Chapter 5. 행렬
| 136
▣곱 연산 법칙
(1)결합 법칙(Associate law): )()( CBACBA ++=++ , ABCBCACAB == )()(
(2)배분 법칙(Distribution law): ACABCBA +=+ )( (3)교환 법칙(Communication law): )()( ABBA +=+
▣멱등행렬
MMMM ==2 이면 행렬 M 은 멱등행렬(Idempotent matrix)이다.
M 이 멱등 행렬이면 MM k = ( k 는 양의 정수)이 성립한다.
▣항등벡터
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
0100
M
ie ( i 번째 원소만 1)를 항등벡터(Elementary vector)라 한다. 즉 항등벡터는 벡터 원소
중 i 번째 원소만 1 이고 나머지는 0 인 벡터이다.항등행렬을 항등벡터로 표현 하면
∑==
n
iiin eeI
1' 이고, 1' =ee i 이다.
▣모든 원소가 1 인 벡터와 행렬
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
11
1...n , '
nnnn
... ...
...
...
J 11
1111
11111111
1 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== , 그리고 n=′11 이다.
▣직교 행렬
IAAAA == '' 이면 행렬 A는 직교 행렬(Orthogonal matrix)이라 한다.
5.6 나
앞에서
행렬의
역행렬
5.6.1 행
차수가
행렬
차수가
⎢⎢⎢
⎣
⎡=A
|| =A
=|A|
=|A|
=|A|
이를
|| A =
| ijM
누기 연산
서는 행렬의
의 나누기 연
렬을 논의할
행렬식
가 2 일 경우
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
6437
A 의
가 3 일 경우
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎣
⎡
1098754321
의
210*5*1 +
75
11 11− +)(
14 12− +)(
95
11 11− +)(
확장하면 차
)1(1
in
iija
=−∑=
|를 minor 라
합, 빼기, 곱
연산이 바로
수 있다.
우: ⎢⎣
⎡=
c da b
A
의 행렬식(De
우:
의 행렬식은
38*7*2 +
210775
−+ (
510932
−+ (
410975
−+ (
차수 n 의 행
|| ijji M+ =
라 하고 (−
곱에 대해 설
역행렬(inve
⎥⎦
⎤db
=> A =||
eterminant)
(
은
5*39*4* −
10874
1 21+
)
1831
1 22− +
)
10932
1 12+
)
행렬의 행렬식
)1(1
n
jija
=−∑
|)1 ijji M+
설명하였으나
erse matrix)
bcad −=
은 7|| ×=A
(Wikipedia)
*7*18*5 −
130
1−+ +)(
170
2−+ )(
180
3−+ +)(
식은
|| ijji M+ 이
| 을 cofacto
나 나누기에
)을 구하는
436 =×−×
1*4*29* −
798543 =+
7982132 =+
775321 =+
(
이다.
or 라 한다.
통
대한 연산은
것이다. 정방
30= (scalar 이
710 =
혹은
7 (2 번째 행
(1 번째 열 이
통계수학 Chap
은 언급하지
방 행렬일 경
이다.)
행을 이용) 혹
이용) 모두
pter 5. 행렬
| 137
지 않았다.
경우만
혹은
동일
통계수학 Chapter 5. 행렬
| 138
5.6.2 행렬식 성질
(1) |||| AA =′ , |||||| BAAB = , |||| BAAB =
(2)행렬 A 의 두 행이 같으면 행렬식은 0 이다.
(3)한 행(열)의 상수를 곱하여 다른 행에 더해도 행렬식 값은 변하지 않는다.
(4)한 행(열)을 다른 행들의 선형 결합으로 표현할 수 있으면 행렬식의 값은 0 이다. (예:
다중공선성)
5.6.3 역행렬
정방 행렬 A 에서 IBAAB == 를 만족하는 행렬 B 를 A 의 역행렬이라 하고 1−A 로
나타낸다.
||1
||11
AadjA
AA ==− [A 원소를 cofactor 로 대치]’ 간단한 예를 들어 설명하기로 한다.
232414321
−=×−×=→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= AA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−= ++
++
1324
1234
1)1(2)1(3)1(4)1(
''
2212
2111adjA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=−2/12/3
121324
211A
21
1001
2/12/312
4321
IAA =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=− , 2
14321
2/12/312
IAA =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
역 행렬이 존재하려면 ①정방 행렬이고 ②행렬식이 0 이 아니어야 한다.
통계수학 Chapter 5. 행렬
| 139
연립방정식
412
522
=−=−+=−−
wuwvuwvu
을 행렬로 표시하면
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇔=
415
101211122
wvu
- - -
bxA 와 같다. 연립 방정식의
해는 bAxbAxIbAxAA 1111 −−−− =⇒=⇒= 이다. 행렬 A 의 역행렬만 구하면 해를 구할
수 있다.
▣역 행렬 성질
①역 행렬은 단 하나만 존재(unique)한다.
② ||/1|| 1 AA =− , AA =−− 11)( , )()( 11 ′=′ −− AA , 111)( −−− = ABAB
5.7 통계학 이용
회귀 모형:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⇒+=
np
npnn
p
p
n e
ee
b
bba
xxx
xxx
xxx
y
yy
ebXyM
MMM
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
.1
.1
.1
..
..
..
)(min)()(minminmin1
2 bXXbyXbbXyyybXybXyeeebb
n
i bb i′′+′′−′−′=−′−=∑ ′=
=
위를 b 에 대해 미분하면 yXbXX ′=′ ˆ 이므로 yXXXb ′′= −1)(ˆ
통계수학 Chapter 5. 행렬
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▣ 행렬 미분
상수 벡터
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
pa
aa
aM
2
1
, 확률 변수 벡터
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
px
xx
xM
2
1
라 하면
(1) axax
=′∂∂ )( (2) aax
x=′
∂∂ )(
(3) xAxAxAxx
′+=′∂∂ )( (A 는 정방 행렬)
(4) 만약 A 가 대칭 행렬이면 xAxAxx
2)( =′∂∂
▣ 단순 회귀분석
Id Y X
1 3 1
2 7 3
3 11 5
4 13 7
5 17 9
6 20 10
통계수학 Chapter 5. 행렬
| 141
5.6.4 역행렬 성질
(1)역행렬은 unique 하다.
(2) ||/1|| 1 AA =− , AA =−− 11)( , )(A)A( ′=′ −− 11 , 111)( −−− = ABAB
계수와 역행렬
행렬의 계수(rank)는 행렬에서 선형 독립인 행(그리고 열)의 수이고 )(Arank 로 표현한다.
정의(LIN: linearly independent vector): 0...2211 =+++ pp xaxaxa 가 모든 0=ia 일 때만
만족한다면 벡터 pxxx ...,, 21 는 선형 독립(linearly independent) 벡터라 하고, 0 이 아닌 ia
에 대해서 만족한다면 선형 종속(linearly dependent)인 벡터라 한다. 상호 종속인 벡터는
하나의 벡터를 다른 벡터들의 선형 결합으로 표시할 수 있다는 것을 의미한다.
정의(full rank): (nxn)정방 행렬에서 선형 독립인 행(열)의 개수( )(Arank )가 행렬의 차수 n 와
같다면 이 행렬은 full-rank 행렬이라 한다. 즉 nArank nn =× )( 이면 full-rank 이다. 행렬
nnA × 대해 다음과 같다.
역행렬이 존재한다.
full-rank 이다. rank(A)=n
A 는 non-singular 이다.
|A|≠0
Ax=b 의 해가 존재한다.
역행렬이 존재하지 않는다
full-rank 아니다. rank(A)<n
A 는 singular 이다.
|A|=0
Ax=b 의 해가 존재하지 않는다.