Post on 03-Jan-2016
description
Chapter 3
the foundation of Computer graphics
23/4/20 上理机械 吴恩启 2
教学要求和教学提示教学提示: 本章主要介绍计算机绘图软件的类型和功能、绘图程序的基本设计
方法、图形软件标准和图形变换 ( 二维图形和三维图形的几何变换教学要求: 了解计算机绘图系统的类型及组成 掌握图形变换(比例、对称、错切、平移、旋转、复合变换等)的
原理和方法 了解常用自由曲线
23/4/20 上理机械 吴恩启 3
Contents 1.Outline of computer drawing 2.Computer drawing software 3.Coordinate system 4.Graphics transformation 5.Transform of 3D graphics 6.Projection transform of 3D graphics 7.Free form curve and surface
23/4/20 上理机械 吴恩启 4
计算机绘图是 CAD/CAM 的重要组成部分。其发展有力地推动了 CAD/CAM 的研究和应用,为 CAD/CAM 提供了高效的工具和手段;CAD/CAM 的发展又不断提出新的要求和设想,其中包括对计算机绘图的要求因此 CAD/CAM 的发展与计算机绘图的发展有着密不可分的关系。 Computer drawing is the important part of CAD/CAM. The development of computer drawing powerfully drove the researches and applications of CAD/CAM, and provided highly effective tools and methods for CAD/CAM; in addition, the development of CAD/CAM constantly sets forth new requirements and ideas, including the requirements for computer drawing. Thus, there is a inseparable relationship between the development of CAD/CAM and the development of computer drawing.
3.1 Outline of computer drawing
23/4/20 上理机械 吴恩启 5
Applications:
Mechanics Architecture Costume design Video
3.1 Outline of computer drawing
23/4/20 上理机械 吴恩启 6
3.2 Computer drawing software 计算机绘图软件的主要功能
Graphic descriptions Graphic edit and transformation Graphic control Graphic files processing Interactive processing
可画点、线、圆、圆弧、文本、多边形、椭圆、曲线等能进行几何计算。如求交点、切点等 对图形进行删除、修改实现图形的几何变换,如缩放、旋转、投影等 显示控制、图形输出控制可将不同方位或不同内容的图形定义成文件进行处理,便于统一调度管理人机界面良好,因为 CAD 过程是个反复试探、修改的过程
23/4/20 上理机械 吴恩启 7
class
coordinate system
DCS: device coordinate systemVDCS: virtual device coordinate systemNDCS: normalized device coordinate system
WCS: world coordinate system
MCS: modeling coordinate systemVCS: viewing coordinate system
直角坐标系仿射坐标系圆柱坐标系 球坐标系
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 8
DCS: 用于在图形显示设备上定义图形或窗口的位置。计算机对图形对象进行了必要的处理之后,要将它在图形显示器或者绘图纸上绘制出来,这就要在显示屏幕上或绘图纸上定义一个坐标系,这个坐标系叫做屏幕坐标系或者设备坐标系设备坐标系的 z 轴垂直于屏幕平面。利用设备坐标系编写图形程序时,在不同显示设备上显示图形是不同的。
x
yy
x
xy
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 9
NDCS and VDCS :规格化设备坐标系是直角坐标系,它是将二维的设备坐标系规格化到( 0.0 , 0.0 )~( 1.0,1.0 )的坐标范围内形成的,规范化坐标系保证了观察变换独立于输出设备。其原点常位于显示器左下角, x,y 分别指向右方和上方。规格化坐标系是用于定义视图的。虚拟设备坐标系和规格化坐标系类似,是编写图形程序时采用的。
x
y
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 10
WCS : 用于描述现实世界的整体布局,又称为用户坐标系。1) 直角坐标系,又称笛卡尔坐标系,由一个原点(坐标为(0,0,0) )和三个通过原点的、相互垂直的坐标轴构成。分右手坐标系和左手坐标系两种。任一点可用 p ( x,y,z )表示。
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 11
2)仿射坐标系 其三个坐标轴不是相互垂直的
cbaOP
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 12
3) 圆柱坐标系用来描述旋转体的形状。
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 13
4) 球坐标系3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 14
MCS : 用于描述世界坐标系中每个具体物体的形状,又称为局部坐标系。当物体空间位置发生变化时,由造型坐标系定义的物体上各点的坐标值不变。
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 15
VCS :为了在世界坐标系中实现对三维物体的观察而建立的坐标系。
有两个主要用途:用于指定裁剪空间确定的那一部分形体的显示输出;通过定义观察平面,把三维形体的世界坐标变换成规格化的设备坐标
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 16
Coordinates transform :3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 17
不同的坐标系之间通过变换矩阵建立联系MCS
WCS
VCS
DCS
造型变换
观察变换
VDCS投影变换
3.3 coordinate system
23/4/20 上理机械 吴恩启 18
3.4 Transform of 2D graphics1. 二维图形几何变换的一般表示将二维空间中的任意点 P ( x , y )变换到一个新位置,其数学表达为:
矩阵表达
令 ,称该矩阵为变换矩阵
dybxcyaxdc
bayxyx
''
dybxy
cyaxx
'
'
dc
baT
23/4/20 上理机械 吴恩启 19
3.4 Transform of 2D graphics 二维基本变换
比例变换 对称变换 旋转变换 错切变换 平移变换
23/4/20 上理机械 吴恩启 20
3.4 Transform of 2D graphics1) 比例变换 将原有图形在 x 、 y 两个方向上进行放大或缩小的变换,其变换矩阵为:
当 a=d=1 ,变换为恒等变换,即变换后点的坐标不变当 a=d≠1 ,变换为等比例变换,即变换为等比例放大或缩小当 a ≠ d , 变换后的图形会产生畸变
)0,0(0
0
da
d
aTs
23/4/20 上理机械 吴恩启 21
2 )对称变换 对称变换又称为镜像变换,主要包括以下几种:
对 x 轴的对称变换 对 y 轴的对称变换 对直线 y = x 的对称变换 对直线 y = -x 的对称变换 对坐标原点的对称变换
3.4 Transform of 2D graphics
23/4/20 上理机械 吴恩启 22
3.4 Transform of 2D graphics关于 x 轴的对称变换: x’=x , y’=-y
变换矩阵为: 点关于 x 轴的对称变换为:
10
01,xmT
yxyxyx
10
01''
23/4/20 上理机械 吴恩启 23
关于 y 轴的对称变换: x’=-x , y’=y
变换矩阵:
点关于 y 轴的对称变换:
10
01,ymT
yxyxyx
10
01''
3.4 Transform of 2D graphics
23/4/20 上理机械 吴恩启 24
3.4 Transform of 2D graphics关于直线 y=x 的对称变换 : x’= y , y’=x
变换矩阵:
点关于直线 y=x 的对称变换为:
01
10, xymT
xyyxyx
01
10''
23/4/20 上理机械 吴恩启 25
3.4 Transform of 2D graphics关于直线 y=-x 的对称变换 : x’= -y , y’=-x
变换矩阵为:
点关于直线 y=-x 的对称变换为:
01
10, xymT
xyyxyx
01
10''
23/4/20 上理机械 吴恩启 26
3.4 Transform of 2D graphics关于坐标原点的对称变换 : x’=-x , y’=-y
变换矩阵为:
点关于坐标原点的对称变换为:
10
01,OmT
yxyxyx
10
01''
23/4/20 上理机械 吴恩启 27
3.4 Transform of 2D graphics3) 旋转变换 : 逆时针方向逆时针方向
为正为正
cossin
sincosrT
绕原点旋转的变换矩阵为:点绕原点旋转的变换为:
α
θρ (x,y)
(x’,y’)
sin
cos
y
x
cossinsincoscossin)sin(
sincossinsincoscos)cos(
yxy
yxx
cossinsincos
cossin
sincos'' yxyxyxyx
23/4/20 上理机械 吴恩启 28
3.4 Transform of 2D graphics4) 错切变换 使图形沿错切方向的坐标发生变化,
而另一方向的坐标值不变,从而达到使原图形发生特定变化的目的,分为以下两种形式:
• 沿 y 轴方向的错切
cy
bx
• 沿 x 轴方向的错切
23/4/20 上理机械 吴恩启 29
沿 x 轴方向的错切变换: x’=x+x , y’=y ,
变换矩阵为:
点沿 x 轴措切变换
3.4 Transform of 2D graphics
cy
1
01, c
T xsh
ycyxc
yxyx
1
01''
23/4/20 上理机械 吴恩启 30
沿 y 轴方向的错切变换 : x’=x , y’=y + y ,
变换矩阵为:
点沿 y 轴方向的错切变换为:
bx
10
1,
bT ysh
ybxxb
yxyx
10
1''
3.4 Transform of 2D graphics
23/4/20 上理机械 吴恩启 31
3.4 Transform of 2D graphics5) 平移变换 x’=x+m y’=y+n 矩阵表示: [x’ y’]=[x y]+[m n]=[x y]+Ti
变换矩阵??
23/4/20 上理机械 吴恩启 32
2. 点的齐次坐标表示
所谓齐次坐标表示法就是用 n+1 维向量表示一个 n 维向
量
[x y] [hx hy h] ;
令 h=1 [x y 1] 齐次坐标的正常化齐次坐标的正常化
•
3.4 Transform of 2D graphics
23/4/20 上理机械 吴恩启 33
点的矩阵表达 :
齐次坐标 :
yxP
mm yx
yx
yx
22
11
1yxP
1
1
1
22
11
mm yx
yx
yx
3.4 Transform of 2D graphics
23/4/20 上理机械 吴恩启 34
引入齐次坐标后,可以用一个统一的 3X3 矩阵来描述包括平移在内的全部二维图形变换,即:
其中: 产生比例、对称、旋转和错切 变换;产生平移变换;
[p q] 产生投影变换,通常不做投影变换时取 p=0 , q=0
[s] 为全比例因子,使图形产生总体的比例变化,通常取S=1 ;
3.4 Transform of 2D graphics
dc
ba
nm
23/4/20 上理机械 吴恩启 35
平移变换:
P(x,y)
P’(x’y’)mn
X
Y
1
010
001
nm
TM变换矩阵:
点的平移变换则可用矩阵表示为:
3.4 Transform of 2D graphics
1
1
010
001
11'' nymx
nm
yxyx
引入坐标的齐次表示法,各基本变换的矩阵:
23/4/20 上理机械 吴恩启 36
3.4 Transform of 2D graphics 比例变换
100
0d0
00a
ST变换矩阵:
a=d=1 a=d>1 a=d<1 a≠d
23/4/20 上理机械 吴恩启 37
3.4 Transform of 2D graphics对称变换
以 x 轴对称
100
010
001
T
23/4/20 上理机械 吴恩启 38
3.4 Transform of 2D graphics对称变换
以 y 轴对称
100
010
001
T
23/4/20 上理机械 吴恩启 39
3.4 Transform of 2D graphics对称变换
以原点对称
100
010
001
T
23/4/20 上理机械 吴恩启 40
3.4 Transform of 2D graphics对称变换
以 y=x 直线对称
100
001
010
T
23/4/20 上理机械 吴恩启 41
3.4 Transform of 2D graphics对称变换
以 y=-x 直线对称
100
001
010
T
23/4/20 上理机械 吴恩启 42
错切变换 变换矩阵:
3.4 Transform of 2D graphics
100
010
01
100
01
001
,
,
b
T
cT
ysh
xsh
cy
bx
23/4/20 上理机械 吴恩启 43
3.4 Transform of 2D graphics
100
0cossin
0sincos
RT
旋转变换 逆时针方向为正逆时针方向为正
23/4/20 上理机械 吴恩启 44
3.4 Transform of 2D graphics
3. 二维组合变换: here ex: 一平面图形绕任意点旋转角,求其旋转矩阵 T1 – 旋转中心平移到坐标原点的变换矩阵 T2 – 绕坐标原点旋转角的变换矩阵 T3 – 将旋转中心平移回原位置的变换矩阵
1
010
001
100
0cossin
0sincos
1
010
001
321
pppp yxyx
TTTT
23/4/20 上理机械 吴恩启 45
3.4 Transform of 2D graphics 上机作业: 利用 VB 语言编写程序:实现矩形绕任意一点
的旋转变换