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Chapitre II : Triangles, droites remarquables. 29 octobre 2012
I- L’inégalité triangulaire.
1- Propriété :
Dans un triangle la longueur d’un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des deux autres côtés.
SoientA ,B et Ctrois points du plan on a : AC≤ AB+BC
Remarque :
SiAC+CB<AB, alors le triangleABCn’est pas constructible.
On dit aussi que les pointsA ,B et Cn’existent pas.
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Chapitre II : Triangles, droites remarquables. 29 octobre 2012
Remarque :
SiAB=AC+CB, alors le pointCappartient au segment[AB ].(C∈ [AB ] )
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Remarque :
SiAB<AC+CB Le triangle est constructible. On dit aussi que les trois points existent.
II- Mesurer des angles.
1-1-1-1-1-
On place 2- le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.3- On coïncide l’un des côtés de l’angle avec l’un des zéros du rapporteur.4- On lit la mesure de l’angle sur les graduations qui correspondent au « 0° » choisi.
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Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 1800.
III- Cercle circonscrit à un triangle.
1- Médiatrice d’un segment.
Définition : On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment en
son milieu.
Propriété :La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance
des deux extrémités du segment.
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MA=MBDonc le pointMappartient à la médiatrice du segment[AB ].
2- Cercle circonscrit.
Pour qu’un cercle passe par les pointsAet B, il faut que son centre soit sur la
médiatrice du segment[AB ] .
Remarque : Un cercle passe par les points A , B et C ; si son centre appartient aux médiatrices des trois segments: [AB ] , [BC ]et [CA ] .
IV- Hauteurs d’un triangle.
Définition : Dans un triangle, on appelle hauteur la droite qui passe par un sommet et qui
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est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Remarque : Dans un triangle il y’a trois hauteurs.
Propriété : Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes, leur point
d’intersection noté souvent H est appelé l’orthocentre du triangle.
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Vocabulaire :
On dit que (CH ) est la hauteur issue de C ou bien la hauteur relative au côté[AB ] .
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V- Médianes d’un triangle.
Définition : On appelle médiane d’un triangle la droite qui relie le sommet d’un
triangle au milieu du côté opposé à ce sommet.
1 Remarque : Dans un triangle il y’a trois médianes.
Propriété : Les médianes d’un triangle ont un point d’intersection on dit qu’elles
sont concourantes. Ce point de concours, noté souvent G. On l’appelle le centre de gravité du triangle.
VI- Bissectrices d’un triangle :
Définition 1 : (Bissectrice d’un angle.)On appelle bissectrice d’un angle : La droite qui partage l’angle en deux
angles de même mesure.
Définition propriété :Dans un triangle les trois bissectrices sont concourantes, leur point de
concours est le centre du cercle inscrit.