Post on 19-Jun-2022
Chapitre 1 : Applications et fonctions usuelles
1 Un peu de logique
1.1 Opérateurs logiques
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exemples. « 0 < 4 » est une assertion qui est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. « L’exponentielle est une fonction décroissante » est une assertion qui est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. « Il pleuvra demain » n’est pas une assertion mathématique.
Si P et Q sont deux assertions, nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de P et Qgrâce à des connecteurs logiques.
— Le connecteur logique « et ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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PQ V F
VF
Exemples 1. Si P est l’assertion « La carte tirée est un as » et Q l’assertion « La carte tirée est
un coeur », alors l’assertion (P et Q) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Si P est l’assertion « x < 4 » et Q l’assertion « x ⩾ 0 », alors l’assertion (P et Q) est . . . . . . . .
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— Le connecteur logique « ou ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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En voici la table de vérité :
PQ V F
VF
Exemples 1. Si P est l’assertion « La carte tirée est un as » et Q l’assertion « La carte tirée est
un coeur », alors l’assertion (P ou Q) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Si P est l’assertion « x < 4 » et Q l’assertion « x ⩾ 0 », alors l’assertion « P ou Q » est . . . . . .
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— La négation « non ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sa table de vérité est la suivante :P V F
non(P)
Exemples 1. Si Q est l’assertion « La carte tirée est un coeur », non(Q) est alors l’assertion . .
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2. Si P est l’assertion « x < 4 », alors l’assertion non(P) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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— L’implication ⇒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sa table de vérité est la suivante :
PQ V F
VF
Remarque Si l’assertion P ⇒ Q est vraie, on dit que P est une condition suffisante pour queQ soit vraie et que Q est une condition nécessaire pour que P soit vraie.
Exemples 1. L’assertion « 2 ⩽ 3⇒ 22 ⩽ 32 » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. L’assertion « (θ ∈ R et sin(θ) = 0)⇒ θ = 0 » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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— La réciproqueOn définit la réciproque de l’implication P ⇒ Q par l’assertion Q⇒ P .
Exemple La réciproque de « 2 ⩽ x⇒ 4 ⩽ x2 » est .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
— La contraposéeOn définit la contraposée de l’implication P ⇒ Q par l’assertion non(Q)⇒ non(P).
Exemple La contraposée de « 2 ⩽ x⇒ 4 ⩽ x2 » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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— L’équivalence ⇔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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PQ V F
VF
Dans le langage courant, P ⇔ Q s’énonce fréquemment :. P est vraie si et seulement si Q l’est.. Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q le soit.. Pour que Q soit vraie, il faut et il suffit que P le soit.
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Remarque Deux assertions sont équivalentes si et seulement si elles ont la même table de vérité.
Exemple Notons P l’assertion « x ∈ [0,1] » et Q l’assertion « 1 ⩽ 2x+1 ⩽ 3 ». L’assertion P ⇔ Qest elle vraie ?
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Proposition Étant données trois assertions P, Q et R, on a les résultats suivants :
. P et Q ⇒ ............................... et respectivement (P et Q)⇒ ..............
. P ⇒ ............................... et respectivement Q ⇒ .......................
. P ⇔ ........................................
. P et Q ⇔ ........................................
. P ou Q ⇔ ........................................
. P ⇒ Q ⇔ ........................................
. non(P et Q) ⇔ ........................................
. non(P ou Q) ⇔ ........................................
. non(P ⇒ Q) ⇔ ........................................
. (P et (Q ou R)) ⇔ ........................................
. (P ou (Q et R)) ⇔ ........................................
1.2 Quantificateurs
Une assertion P peut dépendre d’une variable x appartenant à un ensemble donné noté E (par exempleE = R, ou [0,1], ou N...) et on pourra la noter Px. Par exemple, l’assertion notée Px donnée par
ln(x) ⩾ 0
est définie pour x ∈ ........., elle est vraie pour tout x......... et fausse pour x..........
4
Si Px est une assertion dépendant d’une variable x (x ∈ E), trois cas peuvent se présenter :
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Le quantificateur ∀ se lit « pour tout ».
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Le quantificateur ∃ se lit « il existe ». Le symbole « : » est utilisé pour dire « tel que » (on pourraaussi rencontrer la notation slash « / » à la place des « : »).
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Notation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarques (Ordre des quantificateurs)Il est possible de combiner des quantificateurs pour créer de nouvelles assertions, par exemple :
∀x ∈ R,∃y ∈ R ∶ x + y > 0.
Cette assertion signifie que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
Attention : l’ordre des quantificateurs est important comme nous le montre l’exemple suivant : lesassertions
∀x ∈ R,∃y ∈ R ∶ x + y > 0 et ∃y ∈ R,∀x ∈ R, x + y > 0
sont différentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exemple Traduire à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes :. La fonction cosinus est minorée par -1 et majorée par 1 sur R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. L’équation ln(x) = 1 a une seule solution strictement positive : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proposition (Réciproque et contraposée avec quantificateurs)
● La réciproque de l’assertion « ∀x ∈ E,Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
● La réciproque de l’assertion « ∃x ∈ E ∶ Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
● La contraposée de l’assertion « ∀x ∈ E,Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
● La contraposée de l’assertion « ∃x ∈ E ∶ Px⇒ Qx » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples. La réciproque de « ∀x, y ∈ R, f(x) = f(y)⇒ x = y » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. La contraposée de « ∀x, y ∈ R, f(x) = f(y)⇒ x = y » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proposition (Négation des quantificateurs)Pour toute assertion Px portant sur les éléments x d’un ensemble E on a
● non(∀x ∈ E, Px) ⇔ ................................................................
● non(∃x ∈ E ∶ Px) ⇔ ................................................................
Exemples Donnons la négation des assertions suivantes :A : ∀x ∈ R, f(x) > 3.B : ∃x ∈ R− ∶ f(x) ⩽ 1.
6
C : ∀y ∈ R,∃x ∈ R ∶ y = f(x).D : ∀x, y ∈ R, f(x) = f(y)⇒ x = y.E : L’application f est croissante ⇔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F : L’application f est croissante et positive ⇔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Négations :non(A) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
non(B) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
non(C) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
non(D) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
non(E) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
non(F ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Notations d’ensemble
2.1 Les ensembles
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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On notera en majuscule les ensembles (ex : A, E, F, ...) et en minuscule les éléments (ex : x, y, a, b, ...).
Exemples E = {1,2,5} et F = {x ∈ R ∶ x2 − 4 > 0} sont des ensembles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définitions (Ensembles particuliers)
● On appelle ensemble vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
● On appelle singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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On considère E, F deux ensembles. On manipulera dans ce qui suit les notions suivantes :
— L’inclusion : on dit que E est inclus dans F et on note E ⊂ F si tout élément de E est aussi unélément de F :
E ⊂ F ⇔ .........................................
On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F .
7
— L’égalité : on dit que les ensembles E et F sont égaux si et seulement si E est inclus dans F etF est inclus dans E :
E = F ⇔ .........................................
— Ensemble des parties de E : on note P(E) l’ensemble des parties de l’ensemble E. Par exemple,si E = {1,2,3},
P(E) = ............................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque : quel que soit l’ensemble E considéré, P(E) contient toujours au moins deux éléments :∅ et E.
— Le complémentaire : Si E ⊂ F , on définit le complémentaire de E dans F par
Ec = ........................................................
Autres notations : F ∖E, ou E.Soient A et B deux parties de E.— L’union :
A ∪B = .....................................................Le « ou » n’est pas exclusif : x peut appartenir à A et à B.
— L’intersection :A ∩B = .....................................................
— Le produit cartésien :
A ×B = .....................................................
2.2 Opérations sur les ensembles
Proposition (Règles de calculs)Soient A,B et C des ensembles. On a
— A ∩ ∅ = ......., A ∩A = ........— A ∪ ∅ = ......., A ∪A = ........— A ∩B = B ∩A.— A ∪B = B ∪A.— A ∩ (B ∩C) = .......................................... on peut donc écrire A ∩B ∩C sans ambiguïté.— A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C on peut donc écrire A ∪B ∪C sans ambiguïté.
— A ∩ (B ∪C) = ...........................................— A ∪ (B ∩C) = ...........................................
8
Proposition Soient A et B deux ensembles. On a les résultats classiques suivants :— A ⊂ .................... et B ⊂ ....................— A ∩B ⊂ ....... et A ∩B ⊂ .......— A ⊂ B⇔ ....................
— (A ∪B)c = ....................— (A ∩B)c = ....................— (Ac)c = .......
2.3 L’ensemble des nombres réels RDéfinition L’ensemble des nombres réels R =] −∞,+∞[ possède les sous-ensembles suivants :
. R∗ = .....................
. R+ = ...................., et R− = ....................
. R∗
+= .................... = .................... et R∗
−= .................... = .....................
. N = {0,1,2,3, ....} l’ensemble des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Z = {..,−3,−2,−1,0,1,2,3, ...} l’ensemble des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Q = {pq, p ∈ Z, q ∈ N∗} l’ensemble des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. R ∖Q l’ensemble des .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarque ....................................................................................
Notation : R = .................... = ....................................... (attention à la notation, il ne s’agit pas ducomplémentaire de R !).
Proposition ∀a, b, c, d ∈ R
a × b = 0 ⇔ .......................................
a < b ⇔ .......................................
(a ⩽ b et b ⩽ a) ⇔ .......................................
(a ⩽ b et b ⩽ c) ⇒ .......................................
(a ⩽ b et c ⩽ d) ⇒ .......................................
(a ⩽ b et c ⩾ 0) ⇒ .......................................
(a ⩽ b et c ⩽ 0) ⇒ .......................................
9
Définitions Le maximum de deux réels a et b noté max(a, b) est défini de la façon suivante
max(a, b) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
.......................................
.......................................
Le minimum de deux réels a et b noté min(a, b) est défini de la façon suivante
min(a, b) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
.......................................
.......................................
3 ApplicationsDans toute la suite, on considère deux ensembles quelconques E et F .
3.1 Définitions
Définition Une application (ou fonction) c’est la donnée de trois choses :
1. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation Une application f sera notée
f ∶ E → F
x ↦ f(x),
où E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée et pour tout x ∈ A, f(x) est l’élément de F associéà x, appelé image de x par l’application f .
Définition Si f ∶ E → F est une application, l’ensemble E est appelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque En pratique, lorsque l’on a une application f ∶ E ⊂ R → F , pour trouver son domaine dedéfinition E, on cherche :. soit les x ∈ R pour lesquels f(x) n’existe pas et on les « enlève » de R (lorsque l’on a une fraction dansl’expression de la fonction et un dénominateur susceptible de s’annuler...).. soit on cherche directement les x pour lesquels f(x) existe (si on a une expression qui contient uneracine, un logarithme...).
10
Exemples Soient E1,E2 et E3 trois sous-ensembles de R. Déterminer les domaines de définition E1,E2
et E3 des applications f1, f2 et f3 suivantes :
f1 ∶ E1 → R f2 ∶ E2 → R f3 ∶ E3 → Rx ↦ 1
x x ↦√x + 1 x ↦ 1
√
x+1
. 1/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.√x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 1√
x+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Proposition Deux applications f1 ∶ E1 → F1 et f2 ∶ E2 → F2 sont égales si et seulement si les troispoints suivants sont vérifiés :
1. ............................. (égalité des ensembles de départ).
2. ............................. (égalité des ensembles d’arrivée).
3. ................................................................................. (égalité du processus de transformation).Si ces trois propriétés sont vérifiées, on note alors f1 = f2.
Exemples Les applications
f ∶ R → R et g ∶ [0,1] → Rx ↦ x + 1 x ↦ x + 1
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Définition Soient f ∶ E → F et g ∶ F ′ → G deux applications telles que .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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g ○ f ∶ ....... → .......
x ↦ ...............
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La composition g ○ f consiste à appliquer f puis g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque Si G ⊂ E on peut définir la composition f ○ g qui est donnée par
f ○ g ∶ ....... → .......
x ↦ ...............
Exemples On considère les applications :
f ∶ R → [−1,1], g ∶ R+ → R+ et h ∶ R → R+
x ↦ sin(x) x ↦ √x x ↦ x2.
Peut-on définir les applications f ○ g, g ○ f , g ○ h et h ○ f ? Si oui donnez-en la définition.
. g ○ f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. f ○ g : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. g ○ h : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. h ○ f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2 Applications fondamentales
Définition L’application identité de E notée IdE est définie par :
IdE ∶ ....... → .......
x ↦ .......
Proposition Soient f ∶ E → F et g ∶ F → E deux applications. Alors les applications f ○IdE ∶ .......→ .......et IdE ○ g ∶ .......→ ....... sont bien définies et vérifient les égalités suivantes
f ○ IdE = ....... et IdE ○ g = .......
Remarque L’identité dans R sera généralement notée Id plutôt que IdR.
12
Définition L’application valeur absolue notée ∣ . ∣ est définie par :
∣ . ∣ ∶ ....... → .......
x ↦⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
....... si ..............
....... si ..............
y = ∣x∣
Remarque Sur la droite numérique, ∣x − y∣ représente la distance entre les réels x et y, en particulier,∣x∣ représente la distance entre les réels x et 0.
Proposition La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes pour tout x et y dans R1. ∣x∣.............. , ∣ − x∣ = ....... et ∣x∣ > 0⇔ ..............
2.√x2 = .......
3. ∣xy∣ = ..............4. ∀r ∈ R+, ∣x∣ ⩽ r⇔ ...................................⇔ ...................................
5. ∀b ∈ R, ∣x∣ ⩾ b⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
................................... si b ⩾ 0
................................... si b < 0.
6. L’inégalité triangulaire : ∣x + y∣ ⩽ ..................................
7. Seconde inégalité triangulaire : ................................... ⩽ ∣x − y∣.
Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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Remarque
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y = b
Proposition ∀r ∈ R+, ∀a ∈ R
∣x − a∣ ⩽ r⇔ .......................................................⇔ .......................................................
3.3 Antécédent, graphe, image directe et image réciproque
Définitions Soient f ∶ E → F une application et B un sous-ensemble de F .
— On appelle antécédent de y ∈ F par l’application f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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— Le graphe de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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— L’image de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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— L’image réciproque de B par f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque Il ne faut pas confondre l’image de f notée I(f) et l’image de x par f notée f(x) car ce ne
sont pas le même type d’objet. En effet, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité
Définition Une application f ∶ E → F est dite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Méthodologie : Pour montrer qu’une application f ∶ E → F est injective, on considère deux points xet y quelconques de E tels que f(x) = f(y) et on manipule cette égalité pour montrer que cela impliquex = y.Pour montrer qu’une application n’est pas injective, il suffira d’exhiber deux points distincts ayant lamême image.
Exemples
1. L’application f ∶R Ð→ R
x z→ 2x + 1est injective. En effet,
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2. L’application g ∶R Ð→ R
x z→ x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. L’application g ∶R+ Ð→ R
x z→ x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. L’application h ∶R− Ð→ R+
x z→ ∣x∣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. L’application j ∶R ∖ {1} Ð→ R
x z→ x + 1
x − 1
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6. L’application k ∶R2 Ð→ R
(x1, x2) z→ x1 + x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque L’injectivité ou la non injectivité d’une application dépend fortement de son espace de départ,et pas seulement du procédé de transformation. En effet, on a vu que l’application g ci-dessus n’est pasinjective, mais sa restriction à R+ notée ici g l’est :
g ∶ R+ → Rx ↦ x2.
Définitions Soient A,B ⊂ R deux sous-ensembles de R et f ∶ A→ B une application.. On dit que f est croissante si
...............................................................................................................
. On dit que f est décroissante si
...............................................................................................................
. On dit que f est strictement croissante si
...............................................................................................................
16
. On dit que f est strictement décroissante si
...............................................................................................................
. On dit que f est monotone si elle est croissante ou décroissante.
. On dit que f est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Proposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Preuve. On suppose qu’une application f ∶ E → F est monotone et on souhaite montrer qu’elle est
injective c’est à dire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque Pour que la réciproque de cette proposition soit vraie, il faut que l’application soit de pluscontinue. On a le contre-exemple suivant : soit f ∶ R→ R la fonction définie par
f(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x si x ⩽ 0
1x si x > 0.
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Cf
17
Définition Une application f ∶ E → F est dite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Méthodologie : Pour montrer qu’une application f ∶ E → F est surjective, on pourra donner, pour touty ∈ F , une solution x ∈ E à l’équation f(x) = y.Pour montrer qu’elle n’est pas surjective, il suffira de trouver un y0 ∈ F tel que l’équation f(x) = y0 n’apas de solution.
Exemples
1. f ∶R Ð→ R
x z→ 2x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. f ∶R+ Ð→ R+
x z→ 2x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. g ∶R Ð→ R
x z→ x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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18
4. g ∶R Ð→ R+
x z→ x2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. h ∶R Ð→ [1,+∞[x z→
√1 + x2
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Remarque La surjectivité ou la non surjectivité d’une application dépend fortement de ses espaces dedépart et d’arrivée, et pas seulement du procédé de transformation. En effet, on a vu que g ci-dessus n’est
pas surjective, mais g ∶R Ð→ R+
x z→ x2l’est et g ∶
[1,+∞[ Ð→ R+
x z→ x2ne l’est plus car l’équation g(x) = 0
n’a pas de solution dans [1,+∞[.
Proposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Définition Une application f ∶E Ð→ F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Autrement dit, tout point de l’espace d’arrivée possède exactement un antécédent par f .
Méthodologie : Pour montrer qu’une application f ∶E Ð→ F est bijective, on pourra au choix :. Montrer qu’elle est injective et indépendamment qu’elle est surjective.. Ou alors montrer que pour tout y0 ∈ F , l’équation f(x) = y0 possède une unique solution x dans E.Pour montrer qu’elle n’est pas bijective, on pourra au choix :. Exhiber une valeur y0 ∈ F telle que l’équation f(x) = y0 n’a pas de solution.. Ou bien deux valeurs distinctes x1 ≠ x2 ∈ E telles que f(x1) = f(x2).
19
Exemple f ∶R ∖ {1} Ð→ R ∖ {2}
x z→ 2x + 1
x − 1
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Proposition Soit f ∶ E → F une application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Proposition Soient I ⊂ R un intervalle et f ∶ I Ð→ R une fonction dérivable sur I. . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque La conclusion de la proposition précédente reste vraie si f ′ s’annule en un nombre fini depoints mais sans jamais changer de signe.
20
Exemple L’application f ∶R+ Ð→ [1,+∞[x z→
√1 + x2
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xf ′
f
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3.5 Application réciproque
Définition Pour toute application bijective f ∶E Ð→ F , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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f−1 ∶....... Ð→y z→ ..........................................................................................
On remarquera que la condition « f bijective » est essentielle si l’on veut que le x tel que y = f(x) soitbien défini de manière unique.
Exemple On considère l’application f ∶] −∞,2] Ð→ I(f)
x z→ x2 − 4x + 3.Dresser le tableau de variations de f , déterminer I(f), montrer que f est une bijection et calculer f−1.
xf ′
f
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Proposition Soient f ∶E Ð→ F une application bijective et f−1 ∶F Ð→ E sa réciproque. Alors
f−1 ○ f = IdE, c’est à dire .........................................................,
etf ○ f−1 = IdF , c’est à dire .........................................................
Preuve.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. Réciproquement, montrons que f ○ f−1 = IdF . Soit y0 ∈ F . Par définition, f−1(y0) = x0, où x0 estunique et vérifie f(x0) = y0. En appliquant f à f−1(y0), on a f(f−1(y0)) = f(x0) = y0, ce qui prouvebien que f ○ f−1 = IdF .
22
4 Fonctions usuelles
4.1 Fonction polynomiale
Définition Soient n ∈ N, a0, a1, ..., an−1 ∈ R et an ∈ R∗. Alors la fonction
P ∶ R → R
x ↦n
∑k=0
akxk = ...........................................................,
est appelée fonction polynôme de degré n.
Définition Soit P ∶ R→ R un polynôme de degré n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exemple Le polynôme P défini pour tout x ∈ R par P (x) = x2 + x − 2 admet-il des racines ? . . . . . . . . . . .
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Proposition Soit P ∶ R→ R un polynôme de degré n. Alors :
. ......................................................................................................................
. ......................................................................................................................
Remarque Lorsque n = 2, si P (x) = ax2 + bx + c admet deux racines x1 et x2 alors une factorisation de
P est P (x) = .......................................................
Exemple 1 et −2 sont racines du polynôme Pdéfini par P (x) = x2 + x − 2, ainsi P (x) se factorise par
............. et ............., une factorisation est P (x) = ......................................................
4.2 Fonctions logarithme et exponentielle
Définition On appelle logarithme népérien l’unique fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Propriétés (Règles de calcul)Pour tout a, b ∈ R∗
+, n ∈ Z on a
ln(ab) = ...........................................................
ln(ab) = ...........................................................
ln(an) = ...........................................................
ln(1a) = ...........................................................
ln( 1
an) = ...........................................................
23
Théorème L’application logarithme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition La fonction exponentielle notée exp ∶ R→]0,+∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque On utilisera la notation exp(x) = ex. Comme elle est la réciproque de la fonction logarithme,on en déduit que la fonction exponentielle est bijective et vérifie
..................................................................................................................
Propriétés (Règles de calcul)Pour tout x, y ∈ R et pour tout n ∈ Z,
e0 = ......................,
ex+y = ......................,
e−x = ......................,
enx = ......................,
e−nx = (ex)−n = .......................
Définition Soit a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
expa ∶ ..... → ...................
x ↦ ...........................
4.3 Fonctions puissances et leurs réciproques
Définition Soit α ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Proposition Soit α ∈ R.
L’application ∶]0,+∞[ Ð→ ]0,+∞[
x z→ xαest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(et strictement décroissante si α < 0). Elle admet pour réciproque l’application ∶............. Ð→ .............
x z→ .........
Remarque Lorsque n ∈ N et n ⩾ 2, la réciproque de l’application x↦ xn est l’application . . . . . . . . . . . . . .
appelée racine n-ième. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4 Fonctions trigonométriques et leurs réciproques
cos(x) = ......................
sin(x) = ......................
tan(x) = ......................
x1
0
sin tan
cos
M ′M
B A
θ 0 π6
π4
π3
π2
cos(θ)√
32
√
32
√
22
12
√
32
sin(θ) 12
√
22
√
32
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OBM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Propriétés La fonction sinus sin ∶ R→ [−1,1] vérifie :
.∀x ∈ R, sin(−x) =.....................(elle est impaire).
.∀x ∈ R, sin(x + 2π) =.....................(elle est 2π-périodique).
.∀x, y ∈ R, sin(x+y) = .......................................................................
.∀x, y ∈ R, sin(x − y) = ..............................................................
.∀x ∈ R, sin(2x) = .....................................................................
Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Proposition La fonction sinus sin ∶ ..................→ .............. est bijective.
Définition On appelle fonction arccsinus, notée arcsin ∶ ..............→ ................., l’application réciproquede la fonction sin ∶ [−π2 , π2 ]→ [−1,1].
Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1,1], arcsin(y) est l’unique angle compris entre −π2 et π2 tel
que son sinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante :
Si x ∈ [−π2,π
2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).
Exemple d’application : Que vaut arcsin(12)?
Par définition,
θ = arcsin(12)⇔ ......................................................................
Par identification, θ = ......
25
Propriétés La fonction arcsinus est bijective de [−1,1] dans [−π2 , π2 ] et vérifie :
. arcsin(sin(x)) = .....................................
. sin(arcsin(y)) = ....................................
. arcsin(−y) = ..........................................
Exemple d’application : Que vaut arcsin(sin(13π3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Propriétés La fonction cosinus cos ∶ R→ [−1,1] vérifie :
.∀x ∈ R, cos(−x) =.....................(elle est paire).
.∀x ∈ R, cos(x + 2π) = .....................(elle est 2π-périodique).
.∀x, y ∈ R, cos(x − y) = ..............................................................
.∀x, y ∈ R, cos(x + y) = ..............................................................
.∀x ∈ R, cos(2x) = .....................................................................
Remarque Graphiquement, on voit que la fonction cosinus n’est pas injective sur R, elle n’est donc pasbijective de R dans R.
Proposition La fonction cos ∶ ..............→ .............. est bijective.
Définition On appelle fonction arccosinus, notée arccos ∶ ..............→ .............., l’application réciproquede la fonction cos ∶ [0, π]→ [−1,1].
Remarque Par définition, pour tout y ∈ [−1,1], arccos(y) est l’unique angle compris 0 et π tel que soncosinus soit égal à y. Ceci nous donne la relation suivante :
Si x ∈ [−π2,π
2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).
Exemple d’application : Que vaut arccos(12)?
Par définition,
θ = arccos(12)⇔ ......................................................................
Par identification, θ = ......
26
Propriétés La fonction arccosinus est bijective de [−1,1] dans [0, π] et vérifie :
. arccos(cos(x)) = ....................................
. cos(arccos(y)) = ....................................
Exemple d’application : Que vaut arccos(cos(13π3 )) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Propriétés La fonction tangente tan ∶Dtan → R est définie par tan(x) = sin(x) + +avec
Dtan = {x ∈ R ∶ ........................} = {x ∈ R ∶ ....................................................}.
Elle vérifie :. ∀x,−x ∈Dtan, tan(−x) = ...................... (elle est ..........................).
. ∀x ∈Dtan, tan(x + π) = ...................... (elle est ..........................................).
. ∀x ∈Dtan, 1 + tan2(x) = sin(x) + +
Remarque Graphiquement, on voit que la fonction tangente n’est pas injective sur son domaine dedéfinition, elle n’est donc pas bijective de Dtan vers R.
Proposition La fonction tangente tan ∶ ..................→ ......... est bijective.
Définition On appelle fonction arctangente, notée arctan ∶ ........→ ....................., l’applicationréciproque de la fonction tan ∶] − π
2 ,π2 [→ R.
Remarque Par définition, pour tout y ∈ R, arctan(y) est l’unique angle compris (strictement) entre −π2et π
2 tel que sa tangente soit égale à y. Ceci nous donne la relation suivante :
Si x ∈ [−π2,π
2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).
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Propriétés La fonction arctangente est bijective de R dans ] − π2 ,
π2 [ et vérifie :
. arctan(tan(x)) = ........................................
. tan(arctan(y)) = ........................................
. arctan(−y) = ..............................................
Exemple : En posant t = tan(x2) montrer que pour tout x ∈ R∖{y ∈ R ∶ y = π+2kπ, k ∈ Z}, cos(x) = 1 − t21 + t2 .
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Remarque Voici quelques valeurs remarquables à connaitre :
y −1 0 1
arccos(y) blabla blabla blabla
arcsin(y)
arctan(y) 1
2
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4.5 Fonctions hyperboliques directes et leurs réciproques
Définitions On appelle fonction sinus hyperbolique, notée ............................................, la fonctiondéfinie par
shx = ex − e−x + 788
, ∀x ∈ R.
On appelle fonction cosinus hyperbolique, notée ............................................, la fonction définie par
chx = ex − e−x + 788
, ∀x ∈ R.
Propriétés
1. La fonction sinus hyperbolique vérifie :
. sh est ......................................................................
. sh(−x) = ....................., ∀x ∈ R.2. La fonction cosinus hyperbolique vérifie :
. ch est ......................................................................
. ch(−x) = ....................., ∀x ∈ R.Définitions On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque Par ces définitions, on a
Si x ∈ [−π2,π
2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).
etSi x ∈ [−π
2,π
2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).
Propriétés
1. La fonction argument sinus hyperbolique est bijective de ......dans ...... et vérifie :
. argsh(−y) = ..............................., ∀y ∈ R.
. argsh(y) = ................................., ∀y ∈ R.
2. La fonction argument cosinus hyperbolique est bijective de............... dans ...... et vérifie :
. argch(y) = ................................., ∀y ∈ [1,+∞[.
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Définition On appelle fonction tangente hyperbolique, notée ............................................, la fonctiondéfinie par
thx = ex + 2 + + = e
x − e−x + 788, ∀x ∈ R.
Propriétés La fonction tangente hyperbolique vérifie :
. th est .................................................
. th(−x) = ............., ∀x ∈ R.
Définition On appelle fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque Par cette définition, on a
Si x ∈ [−π2,π
2], sin(x) = y⇔ x = arcsin(y).
Propriétés La fonction argument tangente hyperbolique est bijective de............. dans ...... et vérifie :
. argth(−y) = .............................., ∀y ∈] − 1,1[.
. argth(y) = ................................, ∀y ∈] − 1,1[.
Proposition Les fonctions sh, ch et th sont reliées par les relations suivantes, ∀x ∈ R
chx + shx = .....
chx − shx = .....
ch2 x − sh2 x = .....
1 − th2 x =12
ch2 x + 2.
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