Multiplicação de Monómios

22 3xy xy 22 3 xy xy22 3 x x y y

22 3 x x y y2 36 x y

2 36 x y

O Quadrado de um Monómio

22 34a b 2 3 2 34 4a b a b 2 2 3 34 4 a a b b

2 2 3 34 4 a a b b 4 616 a b

4 616a b

OU

22 34a b 2 22 2 34 a b 4 616 a b

4 616a b

5 3 4 x x

Multiplicação de um Monómio

por um Polinómio

5 3 5 4 x x x

215 20 x x

Geometricamente:

5x

3x

4

Área do rectângulo 5 3 4 x x

5 3 x x 215 20 x x5 4 x

3x

4

5x5x

Multiplicação de Polinómios

2 2 3a a 2 2 3 2 2 3a a a a 22 6 2 6a a a 22 8 6a a

Geometricamente:

2a

2 2 3a a Área do rectângulo

a

2

3

2a a

22 6 2 6a a a 22 8 6a a

222a2a

aa

33

2 3a 2 a 2 3

Casos Notáveis da Multiplicação

pode ser visto como o produto de 2 polinómios, então:

25x

25x 55 xx

25552 xxx

25102 xx

Temos 2 termos semelhantes que podemos simplificar

Já vimos que

Este quadrado de um binómio pode ser visto como a área de um quadrado de lado 5x

25 xAquadrado

Decompondo a figura a área é igual à soma das áreas de cada uma das figuras

2510

2555 2

2

xx

xxxA

25x

2x

x5 25

x5

Praticando

23x 223 yx

33 xx

9332 xxx

962 xx

yxyx 2323

22 4669 yxyxyx 22 4129 yxyx

Tenta descobrir uma lei que te permita escrever directamente o quadrado de um binómio!

a

b

a b

A B

D C

1) Observa a figura

1.1) Qual é a medida do comprimento do lado do quadrado [ABCD]?

A medida do lado é a + b

a

b

a b

A B

D C

1.2) E qual é a sua área?

A área é (a+b)(a+b)=(a+b)²

1.3) Recorta a figura pelo tracejado. Qual é a área de cada uma das figuras obtidas?

As figuras obtidas são dois quadrados de áreas a² e b² e dois rectângulos de área ab.

aba² b²ab

aba² b²ab

aba² b²ab

aba² b²ab

1.4) Estes quatro quadriláteros obtidos têm origem no quadrado original. Portanto a área do quadrado original é igual à soma das áreas destes quatro quadriláteros, ou seja,

2 2 2a b a ab ab b

ou ainda,

2 2 22a b a ab b

Esta fórmula é conhecida porFórmula do Quadrado do Binómio

Esta fórmula é um Caso Notável da Multiplicação

1.5) Vejamos o que acontece algebricamente. Sabemos que

2a b a b a b

Então, aplicando a propriedade distributiva, duas vezes, obtemos

2 2 2 2 22a b a b a b a ab ba b a ab b

2 2 22a b a ab b

Resulta daqui que:

Esta fórmula é conhecida porFórmula do Quadrado do Binómio

2)( ba ))(( baba 22 bbaaba

22 2 baba

2)( ba 22 2 baba

Repara que:

Quadrado de um binómio:a é o 1.º termo do binómiob é o 2.º termo do binómio

Quadrado do 1.º termo

Dobro do produto do 1.º termo pelo 2.º termo

Quadrado do 2.º termo

2.1)

Exemplos

2.2)

2.3)

2.4)

22x 2x 2 2x 22

23 1y 23y 2 3 1y 21

25x 2x 2 5x 2

5

22 3y 2

2y 2 2 3y 23

2x 4x 4

29y 6y 1

2x 10x 25

24y 912y

3.1) 2 2

2

22 11 1

2 1

x x x

x x

Exercícios

3.2) 2 2

2

22 2 2 4 4

4 16 16

2 4 x x

x

x

x

3.3) 22

2

22 9 9

1

9

8 81

y yy

y y

3.4) 2 2

2

2

2

5 53 2 3

2 25

32

30 259

2 425

9 154

y y

y y

y

y

y

2 2

2

22 11 1

2 1

x x x

x x

2 2

2

22 11 1

2 1

x x x

x x

55 xx 25552 xxx

252 xsimétricos

22 5x

O termo 25 pode ser escrito como um quadrado

55522 xxx

x

5 e 5 xx

Queremos mostrar que:

Pode ser visto como a área de um quadrado de lado

Pode ser visto como a área de um quadrado de lado 5

Pode ser visto como a área de um rectângulo de lados

55522 xxx

- =2x25

Vamos tentar manipular a figura para chegar ao resultado que queremos

5

x 5x

5xRecortando pelo tracejado

Deslocando o rectângulo

55 xx

))(( baba 22 bbaaba 22 ba

))(( baba 22 ba

Repara que:

Quadrado do 1.º termo

Quadrado do 2.º termo

1º 2º 1º 2º

O produto de dois binómios que só diferem no sinal de um dos termos é igual à diferença dos quadrados dos termos.

)5)(5( xx

O sinal -, da diferença, fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente.

Exemplo:

22 5 x

Praticando

22 52 x254 2 x

22 63 x

5252 xx 6363 xx

369 2 x

4343 xx

22 43 x

169 2 x

6

3

26

3

2xx

22

63

2

x 36

9

4 2 x