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Las leyes de Biot-Savart y de Ampere
x
Rrq
q
P
Idx x
z
R
R
r
r
dB
dB
zq
q
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 1
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 2
Cules son las ecuaciones anlogas para el Campo Magntico?
Dos formas de calcular
Para cualquier
distribucin de
carga2
dq
dE k rr
Ley de Coulomb
Alta simetra"qSdE rr
0e
Ley de Gauss
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 3
Dos formas de calcular0
2
4
I dl rdB
r
I
Ley de Biot-Savart (Cualquier distribucin
de corriente)
Ley de Ampere (Alta simetra)
Estas son las ecuaciones anlogas
Superficie Amperiana(Trayectoria Amperiana.)
0B dl I
2 2
4
oKqv r qvxrBr r
24
o qvsenBr
El Campo Magntico en un punto p,
generado por una carga q en movimiento,
siempre apunta Perpendicular al plano
formado entre la Posicin del punto p (r) y
la velocidad de la partcula (v).
Cmo representamos la condicin de que B es perpendicular a v y r ?
23/11/2009 13:164FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
Gmg
r
2
kqE
r
2
KqvB
r
Analogas en las definiciones de g, E y B
Una carga puntual positiva se mueve directamente hacia un
punto P. El campo magntico que la carga puntual produce
en el punto P
Pregunta de concepto
1. Apunta desde la carga hacia el punto P
2. Apunta desde el punto P hacia la carga
3. Es perpendicular a la lnea que va desde el punto P
hasta la carga
4. Es cero
5. La respuesta depende de de la rapidez de la carga
puntual
2
4
o qvxrBr
23/11/2009 13:165FLORENCIO PINELA - ESPOL
Dos cargas puntuales positivas se mueven
paralelamente y en la misma direccin con la
misma velocidad.
La fuerza magntica que la carga superior ejerce
sobre la carga inferior
1. Est dirigida hacia la carga superior (esto es, la
fuerza es de atraccin)
2. Se dirige alejndose de la carga superior (esto
es, la fuerza es de repulsin)
3. Est en la direccin de la velocidad
4. Est en direccin opuesta a la velocidad
5. Ninguna es correcta
Pregunta de concepto
2
4
o qvxrBr
F qv B
23/11/2009 13:166FLORENCIO PINELA - ESPOL
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 7
La paradoja que dio origen a la teora especial de la relatividad
2
2
B
E
F v
F c
Cuando v es pequea comparada
con c, la fuerza magntica es mucho
menor que la fuerza elctrica
2 2 2
2 2
2
1
4 4
1
oE B
o
Bo o
E o o
q q vF F
r r
Fv c
F
e
e e
2
4
o qvxrBr
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 8
Contribucin diferencial del campo magntico ( dB ), en
un punto P, generado por un tramo diferencial ( dl ) de
conductor con corriente ( I )
2
4
o qvxrBr
Tenemos que adaptar la expresin
para el campo B de una carga, al de un flujo de cargas
dq = n(Adl)e
24
o ddqv sendBr
24
o qvsenBr
2
( )
4
o dnAdle v sendBr
24
o IdlsendBr
2
4
oI dlxrdBr
Campo generado por una
carga q movindose con
velocidad v
2
( )
4
o dnAv e dlsendBr
23/11/2009 13:169FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
4
oI dlxrdBr
24
oi dlsendBr
r - es la magnitud del vector posicin r, ste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se
mide la contribucin del campo.
dl - es la magnitud del vector dl, ste vector es tangente al
conductor y apunta en la direccin de la corriente convencional.
Expresin vectorial
Expresin escalar
23/11/2009 13:1610FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Representa el ngulo formadoentre los vectores dl y r.
o - Es una constante conocida como
permeabilidad magntica del espacio
libre (vaco), en SI su valor es:
4x10-7 Wb/A.m (T.m/A)
24
oi dlsendBr
7
0 2
N4 10
A
23/11/2009 13:1611FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
Mientras ms nos aproximamos al
alambre, el campo se vuelve ms intenso
Observe que el
campo B es siempre
tangente a una lnea
de campo.
El campo magntico circula alrededor del alambre
23/11/2009 13:1612FLORENCIO PINELA - ESPOL
Un alambre recto largo se encuentra a
lo largo del eje de y, y lleva la corriente
en la direccin positiva. Una carga
positiva se mueve a lo largo del eje x
en la direccin positiva. La fuerza
magntica que el alambre ejerce sobre
la carga
1. is in the positive x direction
2. is in the negative x direction
3. is in the positive y direction
4. is in the negative y direction
5. none of the above
Pregunta de concepto
F q v x B
23/11/2009 13:1613FLORENCIO PINELA - ESPOL
Dos hilos largos que llevan corrientes iguales se cruzan sin tocarse en ngulo recto segn se indica.
Existen puntos de intensidad de campo magntico cero en las regiones
a.- IV y IIb.- I y IIc.- II y IIId.- IV y III
III
III IV
Pregunta de concepto
23/11/2009 13:1614FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
4
oI dlxrdBr
23/11/2009 13:1615FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 r
dlsenidB o
q
24 rdlseni
dBB oq
24
oi dlsenBr
saquemos las constantes
fuera de la integral
q
Podemos sumar (integrar) esta contribucin
(dB) para encontrar el campo total en el punto
P, generada por un tramo de una longitud L?
Si!, ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccin
Recuerde que es una
integral de lnea, aqu
vemos 3 variables.
El punto P y el alambre se encuentran en el
plano de la pizarra
23/11/2009 13:1616FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsen
rq
rR
r
dliB o
24
34 rdliR
B o
3/ 2
2 24
oiR dlBR l
222 lRr
Pongamos r y q en funcin de l24
oi dlsenBr
q
23/11/2009 13:1617FLORENCIO PINELA - ESPOL
b
a
o
lR
dliRB
23
)(4 22
3
2 2 24
( )
oiR dlB
R l
0
23/11/2009 13:1618FLORENCIO PINELA - ESPOL
3 122 2 2 22 2
1(1)
( )( )
dx x
a x ax a
3 122 2 22 2
1(2)
( )( )
xdx
x ax a
Integrales tiles de recordar.
3 122 2 2 22 2
1(1)
( )( )
dx x
a x ax a
3 122 2 22 2
1(2)
( )( )
xdx
x ax a
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
bo
a
iR dlB
R l
122 2 21
4 ( )
b
o
a
iR lB
R l R
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
Este resultado lo podemos simplificar
23/11/2009 13:1619FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
Alambre muy largo (infinito), o R es pequea
comparada con la longitud del alambre, los
ngulos y tienden a cero grados(cos0 cos0 )
4
o ooiBR
2
oiBR
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
a b
P
R
Vlida para puntos ubicados fuera del alambre
23/11/2009 13:1620FLORENCIO PINELA - ESPOL
Dos alambres rectos y largos se
orientan perpendicular al plano xy.
Los alambres transportan corriente
de magnitud I en las direcciones
mostradas.
En el punto P, el campo magntico
debido a estas corrientes
1. Est en la direccin positiva x
2. Est en la direccin negativa x
3. Est en la direccin positiva y
4. Est en la direccin negativa y
5. Ninguna de las anteriores
Preguntas de concepto
q R
23/11/2009 13:1621FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magntico generado por dos alambres
paralelos perpendiculares a la pizarra, en puntos
sobre el eje x
(1)( )
2 (2 ) 2 (4 )
o ototal
I IB j
d d
23/11/2009 13:1622FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una lmina conductora muy larga de ancho w y
espesor muy delgado d, transporta corriente I como
se indica en la figura. Determine el campo magntico
en el punto p ubicado a una distancia b sobre el
plano del conductor.
23/11/2009 13:1623FLORENCIO PINELA - ESPOL
RiB o
2
'
2 ( )
oIdBw b x
'I I
wd dxd
' dxI Iw
2 ( )
oIdxdBw w b x
02
w
oI dxBw w b x
Dividimos la lmina en un conjunto muy grande de alambres muy
largos de dimetro dx
Adaptamos sta expresin para el
alambre
23/11/2009 13:1624FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magntico en un punto p ubicado sobre el eje
de una espira circular con corriente.
23/11/2009 13:1625FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
4
oI dlxrdBr
24
oI dlsendBr
0B dB
B dB dBcosq
0
24
I dl senB cos
r
q
cos
1
a
r
sen
q
Por simetria las componentes
perpendiculares a x se
cancelan
Suma de todas las
contribuciones
paralelas a x: ngulo entre dl y r
23/11/2009 13:1626FLORENCIO PINELA - ESPOL
34
oI adlBr
34
oIaB dlr
322 2
(2 )4 ( )
oIaB ax a
2
2 2 3/ 2
2( )
oIaB ix a
Espira con corriente Regla de la
mano derechaCampo similar al generado
por un magneto
23/11/2009 13:1627FLORENCIO PINELA - ESPOL
34
oI adlBr
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 28
Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si
el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras por unidad
de longitud. Determine la magnitud y direccin del campo magntico
en un punto ubicado a una distancia z medida desde uno de los
extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una
espira circular y aplquelo a la contribucin de un diferencial de espiras
y luego integre)
2
2 2 3/22( )
oIaBx a
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 29
2 2
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2
( )
2( ) 2( )
o oIa ndlI aB dBx a x a
2
2 2 3/ 22 ( )
z L
o
z
na I dxB
x a
(dl, l y x son la misma variable)
Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras
por unidad de longitud. Determine la magnitud y direccin del campo magntico en un punto ubicado a una distancia z medida
desde uno de los extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una espira circular y aplquelo a la contribucin
de un diferencial de espiras y luego integre)
2
2 2 3/22( )
oIaBx a
22 2 3/ 22( )
oIaBx a
2
oIBa
Para un arco de
circunferencia2 2
oIBa
q
Campo en un punto en el centro
de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto
sobre el eje de la espira
23/11/2009 13:1630FLORENCIO PINELA - ESPOL
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 31
Determine el valor del campo magntico en el punto P. Indique
adems, si al liberar las espiras, estas se atraen o se repelen.
2
2 2 3/ 22( )
oIaBx a
A wire consists of two straight sections with a semicircular
section between them. If current flows in the wire as shown,
what is the direction of the magnetic field at P due to the
current?
1. to the right
2. to the left
3. out of the plane of the figure
4. into the plane of the figure
5. none of the above
Preguntas de concepto
23/11/2009 13:1632FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
1 2B B B
1 2
1 1
4
oIBR R
Entrando al plano del papel
en el punto C.
Campo generado por un arco
de circunferencia
Las contribuciones de los dos
tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos
horizontales no
contribuyen al
campo en C.
2 2
oIBa
q
23/11/2009 13:1633FLORENCIO PINELA - ESPOL
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 34
Fuerza magntica entre conductores
paralelos
La corriente en cada uno de los alambres est inmersa en el
campo generado por la corriente vecina.
1 1 2 90odF I dlB sen
21 1
2
oIdF I dld
1 21
02
LoI IF dl
d
1 21
2
oI IF
L d
Corrientes en la misma
direccin se atraen.
Corrientes en direcciones
contrarias se repelen.
dF IdlxB
23/11/2009 13:1635FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY
LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO
HORIZONTAL. DETERMINE LA MAGNITUD Y
DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL
ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA.
1 21
2
oI IF
L d
23/11/2009 13:1636FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F
1 21
12
oI I LFd
2
1 2
1 1 2
oI LF jd d
Las fuerzas F3 y F4 se
cancelan
1 22
22
oI I LFd
d1=0,03m, d2=0,08m,
L=0,1m
23/11/2009 13:1637FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN: LEY DE BIOT-SAVART
24
oi dlsendBr
(cos cos )
4
oiBR
2
oIBR
2
2 2 3/ 22( )
oIaBx a
2 2
oIBa
q
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS
MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR
23/11/2009 13:1638FLORENCIO PINELA - ESPOL
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 39
LA LEY DE
AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que
presentan extrema simetra, muy similar a la ley de Gauss
para el campo elctrico, esta ley es de fcil aplicacin en
los casos que presentan distribuciones simtricas de
campos magnticos, producidos por determinadas
configuraciones de conductores con corriente.
dl
Superficie S atravesada
por la corriente I
Corriente
neta I
Trayectoria
cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos a lo largo de una trayectoria cerrada l
(circulacin del campo magntico), es directamente
proporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l.
B dl I
oB dl I
La suma de todos los
productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada, es proporcional a la corriente
neta I que encierra la trayectoria.
23/11/2009 13:1640FLORENCIO PINELA - ESPOL
B dl
oB dl I
I
Integral alrededor de unatrayectoria cerrada con suerte que sea simple
Corriente encerrada
por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una lnea de induccin
23/11/2009 13:1641FLORENCIO PINELA - ESPOL
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 42
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampre son
similares a los de la ley de Gauss.
1. Dada la distribucin de corrientes deducir la direccin del
campo magntico
2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por
corrientes y calcular la circulacin del campo magntico.
Generalmente el camino cerrado coincide con una lnea de
campo magntico
a) Corriente positiva por convencin
b) Corriente negativa por convencin
23/11/2009 13:1643FLORENCIO PINELA - ESPOL
3.Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta)
que atraviesa el camino cerrado
4. Aplicar la ley de Ampre y despejar el mdulo del campo
magntico.
23/11/2009 13:1644FLORENCIO PINELA - ESPOL
La figura muestra, en seccin transversal,
tres conductores que transportan corriente
perpendicular al plano de la figura.
Si las corrientes I1, I2, e I3 todas tienen las
misma magnitud, para cul trayectoria(s)
es cero la integral de lnea del campo
magntico?
1. Slo la trayectoria a
2. Las trayectorias a y c
3. Las trayectorias b y d
4. Las trayectorias a, b, c, y d
5. La respuesta depende de si la integral va en sentido
horario o anti-horario en la trayectoria cerrada
Pregunta de concepto
23/11/2009 13:1645FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNTICO GENERADO POR UN
CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magntico producido por una corriente rectilnea
Elegimos como camino cerrado una
circunferencia de radio R, centrada en la
corriente rectilnea, y que coincida con una
lnea de induccin.
El campo magntico B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.
El campo magntico B tiene el mismo mdulo en todos los puntos de dicha
circunferencia.
23/11/2009 13:1646FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacin (el primer miembro de la ley de Ampre) vale
Llegamos a la misma expresin obtenida aplicando la ley de Biot y Savart.
cos 2B dl Bdl B dl B rq
2 oB r i
2
oiBr
La corriente rectilnea i atraviesa la circunferencia de radio r.
Despejamos el mdulo del
campo magntico B.
El campo magntico para puntos fuera del cable se comporta
igual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
23/11/2009 13:1647FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r < R
0(2 ) 'B r I
, 2
2
I r
I R
22
oIB rR
20
2
IB
r
22
oIB rR
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B r
oB dl I
23/11/2009 13:1648FLORENCIO PINELA - ESPOL
I, fraccin de corriente
que atraviesa la superficie
de radio r.
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO
MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL.
23/11/2009 13:1649FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 < r < R3
2 2,
2
2 2
3 2
( )
( )o
r RI
I R R
0 (2 )o o netaB dl BdlCos B dl B r I
2 2
2
2 2
3 2
( )
( )o
r RI I
R R
2 2
2
2 2
3 2
( )1
( )neta o
r RI I
R R
2 2
3
2 2
3 2
(2 ) o oR r
B r IR R
2 2
3
2 2
3 2
1
2
o oI R rBR R r
23/11/2009 13:1650FLORENCIO PINELA - ESPOL
neta oI I I
Nota: estos problemas
se resuelven
fcilmente cuando en
lugar de la corriente
se dan la densidad de
corriente, J:
I= JA
lo nico que nos queda por encontrar!
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 51
TIPOS DE SOLENOIDES
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 52
CAMPO MAGNTICO DE UN
SOLENOIDE IDEAL
L
a
a
Las lneas de campo magntico
salen de uno de los extremos del
solenoide y retornan por el otro.
Las lneas de campo magntico se
vuelven paralelas en la parte central
del solenoide.
23/11/2009 13:1653FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL I
Ineta = la corriente que atraviesa el
rectngulo = nLI
BL = onLI B = o n I
n: nmero de espiras por
unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dl
Para las trayectorias,
excepto a-b
Tomemos como trayectoria de
integracin el rectngulo.
o neta
trayectcerrada
B dl I
23/11/2009 13:1654FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoide con n espiras por unidad de longitud
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 55
Solenoides
El campo magntico de un solenoide es esencialmenteidntico al de una barra imantada.
La grn diferencia es que nosotros podemos encender ony apagar off ! Y l atrae/repele otro imn permanente; siempre atrae materiales ferromagnticos.
23/11/2009 13:16FLORENCIO PINELA - ESPOL 56
El Toroide
El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i.
B=0 fuera del toroide! (Considere integrar Bsobre un crculo fuera del toroide)
Para encontrar B dentro, considere un crculo de radio r, centrado en el centro del toroide.
(2 ) o netaB dl B r I
netaI Ni
Aplique Ley de Ampere:
0 netaB dl I
02 Ni
Br