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8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim
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Sistemas Dinâmicos LinearesELT 060 – Cap. 3
Prof. Maurílio Nunes VieiraDepto. Engenharia Eletrônica - UFMG
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3.2 Reposta de SLITs a exponenciais
complexas
SLIT
)( 0
0)(
ω σ
ω σ
e
e
eet x
st
t j
t jt
=
=
⋅=
+ )(t h
∫∞
−∞=
⋅−⋅=
τ
τ τ τ d t xht y )()()(
∫∞
−∞=
−⋅⋅=
τ τ τ d eh
t s )()(
O sinal exponencial complexo não altera a sua forma sob umatransformação linear
0σ jsonde +=
0σ
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Combinações lineares de autofunções
SLIT
Importância das exponenciais complexas em sistemas LIT
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3.10 – Resposta em freqüência/filtragem em SLITs
SLITt jst eet x
js
ω
σ
σ
==
=
+=
)(
então,0Se
0
Oscilações harmônicas nãoamortecidas
t je j H t y ω ω ⋅= )()(
“reposta em freqüência”
Importância das exponenciais complexas em sistemas LIT
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3.10 – Resposta em freqüência/filtragem em SLITs
2)(1
1)(
RC j H
⋅+
=
ω
ω
Frequência de corte
1
2
1
Filtro passa-baixas de 1ª. ordem
)( RC atang−=
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Autovetores e autovalores
→
=
⋅
2
1
2
1
2221
1211
y
y
x
x
hh
hh
entrada saídaTransformação
yxH =⋅
Representação matricial
linear
Se
x
⋅H =
xy λ =
Entrada e saídacolineares
autovetor autovalor
IxxxH λ λ ==⋅
0xHI =⋅− )(λ
21,0 λ λ λ K→=−HI
Representação de sitemas por Espaço de Estados...
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Noção de espaço de estados
)()(012
2
t ut yadt
dya
dt
yd =⋅+⋅+
u ya ya y =⋅+⋅+ 01 &&&
&&&
Equaçãodiferencial de
ordem N
N equações de1ª. ordem
Equaçãode estado
entradasaída
=
=
→ +⋅−⋅−==
==
→ =
=
Cx y
u
u xa xa y x y x 1021221
2
1
&&&&
[ ]01,1
0,
10,
212
1=
=
−−
=
= CBAx
aa x
x
Equaçãode saída
Uso de técnicas de álgebra linear; controle multivariável
“estados”
(representaçãointerna dosistema)
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Combinação linear de sinais de umconjunto básico (base ortogonal)
Debate matemático: Euler (1748)
configurações da corda vibrante = ∑modos normais
3.1 Séries de Fourier (história) Euler
Bernoulli
Bernoulli (1753): Superposição supostamente válida para todos os
movimentos físicos
Lagrange (1758): crítico do uso de sériestrigonométricas (não válidas para representarquebras ou descontinuidades)
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Fourier (1807-1822) –Propagação e difusão do calor “qualquer” sinal periódico poderia
ser representado por um somatório(série trigonométrica) → Ira deLagrange; apoio de Laplace,Lacroix e Monge.
Lagrange Fourier
mas, a série trigonométrica: aplica-se a quase todos os sinais deinteresse na engenharia → condições de Dirichlet
Grande contribuição:representação de sinaisaperiódicos por uma integral(“Transformada de Fourier”)
Laplace
Dirichlet
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3.3 Série de Fourier (forma exponencial)
Sinal periódico Série de Fourier
LL t
0
)(t x T
2=
0⋅k
k A
0 1 2 3 4 5
L
SF
↔
1−2−3−4−5−
magnitude
θ
Espectrode frequências
T
t k j
k k eat x
)( 0)( ω ⋅=
∑
∞
−∞=
fasores 0k ase
Demonstração (editor de áudio)
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Série complexa de Fourier
x(t ) periódico
ak é, em geral, complexo
t k j
k
k eat x )( 0)( ω ⋅= ∑
∞
−∞=
T π 2
0 =
k k
j
k k jC Be Aa k +=⋅= θ
( ) ( )22 k k k C B A +=
) / (tan 1
k k k BC −
=θ
re
im
k B
k C
k
Ak θ
ak = coeficientes a serer determinados!
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Ex 3.2
k a
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Ex. 3.3
Ver Exemplo 3.4
Complete:Complete:
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Formas alternativas
x(t ) periódico e real
)]()[cos()( 00 t k jsent k at xk
k ω ω +⋅= ∑∞
−∞=∞∞
)( k k aa −∗=
4 4 4 34 4 4 214 4 4 34 4 4 21)()(0
0
0,
)cos()cos(
0
0,
0
θ θ θ θ −−==
≠−∞=
−=
≠−∞=
sensen pois
k k
k
k k
k
)cos(2)( 00,
0 t k aat xk k
k ω ⋅+= ∑∞
≠−∞=
∑∞
=
+=1
0 ][2 0
k
t jk
k ea Rea ω
ak = em geral, complexo, no livro texto (Oppenheim & Willsky)
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Formas alternativas
Se x(t ) é periódico e real
)cos(2)( 01
0 t k aat xk
k ω ⋅+= ∑
∞
=
ak = Bk + jC k
⋅=
∞
1k =
43421 )cos(2)cos(2
0
1
0
1
0 t k jC t k Ba
k
k
k
k ω ω ⋅+⋅+= ∑∑ ∞
=
∞
=
)]sen()cos([2)(00
1
0 t k C t k Bat x k
k
k ω ω −⋅+= ∑∞
=
Bk e C k = reais; determinam a fase do k-ésimo harmônico!
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Formas alternativas
Se x(t ) é periódico e real
∑∞
=
⋅+=1
0 ][2)( 0
k
t jk jk ee Areat x
k ω θ
∞
) / (tan 1
k k k BC −
=θ
k k
j
k k jC Be Aa k +=⋅= θ
( ) ( )22 k k k C B A +=
∑=+
⋅+=1
)(
0 ][2 0
k
t k j
k k
e Area θ
∑
∞
=
+⋅+=1
00 )cos(2)( k k k t k Aat x
θ ω
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Determinação dos coeficientes ak
*síntese
T dt e
T
j
∫ =⋅0
0Área do período deuma (co)senoide
k n
k nT an
≠
=⋅
,0
,
* análise
Valor médio (DC)
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Ex. 3.5
)(
)(2
10
101
T k
T k sen
T
T
⋅⋅
⋅⋅=
ω
continua...
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Ex. 3.5
)(
)(2
10
101
T k
T k sen
T
T ak
⋅⋅
⋅⋅=
ω
14T T =
zeros4 /
1 =T T
SF
18T T =
116T T =
0)(10 =⋅⋅ T k sen ω
π π
mT T
k =⋅⋅ 12
12 T
T mk =→
zeros
T aumenta , ω0 diminui. Espectro mais denso
inteiro
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Ex. 3.62 (retificador de onda completa)
∫
−⋅=
T
t jk
k dt et xT a
0
)(
1 ω
∫ −⋅=
T dt t k jt k t xT )]sen()[cos()(
1
00 ω ω
−⋅= 1
] / [2],[,|)cos(|)(0 srad sT t t x === ω π
⋅= 1
2π
2π −
π π −
t
)(t x
LL
k dt kt t T
∀=⋅∫ ,0)2(sen)cos(
T π
T π
=−++= ∫2 /
0
21 )]21cos()21[cos(2
1 π
π dt k t k =
−
−+
+
+=
2 /
021
)21(
21
)21(1 π
π k
t k sen
k
t k sen
−
−+
+
+=
k
k sen
k
k sen
21
)(
21
)(1 22 π π
π
π π
k )1(−
)41(
)1(22
k a
k
k −
−=→π
Ex.: use a fórmula de Euler e mostre que k k senk sen )1()()( 22 −=−=+ π π π π
,...)4,2,0(1 ±±=k
,...)3,1(1 ±±=− k Traçar espectro...
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Analisadores harmônicos (séc. XIX)
Erro nas descontinuidades de ondas quadradas → Josiah Gibbs (1989)
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3.4 Convergência da série de Fourier
Sinal c/ descontinuidades: série sintetizada difere do sinaloriginal. Exemplo: (Fenômeno de Gibbs) média da descontinuidade
Motivo da discórdia de Euler eLagrange
Convergência pela minimização daenergia do “sinal de erro”→ aplicação adiversos sinais com discontinuidade deinteresse na engenharia
Amplitude dos picosnão diminui comaumento de N
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Minimização da energia do erro Seja a aproximação por uma série de N elementos:
(reais)
0=∂
∂
k
N
a
E
02)(2 00 2
=⋅+⋅− ∫∫T
t k j
k
T
t jk
N dt eadt et x ω ω
Detalhes nopróximo slide
(energia do erro)
∫ ∑−= T k t jk
k N N dt eat x E 2
])([ 0ω
∫ ∑∑ +−=T k
t k j
k
k
t jk
k N N dt eaeat xt x ])(2)([ 00 222 ω ω
∫∫ =⋅−
T
k
T
t jk k N
t k j dt adt eat xe 00 )(2 ω ω
∫ −⋅=
T
t jk
N k dt et xT
a 0)(1 ω
x N (t ) e sua série não são necessariamente iguais, mas 0→ N E
(reais)
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=+−= ∫ ∑∑T k
t k j
k
k
t jk
k N N n dt eaeat xt x E ])(2)([ 00 222 ω ω
∫
∫
++++
++++−
+=
t N j
N
t k j
k
t jt j
T
t jN N t jk k t jt j N
T
N
dt eaeaeaea
dt eaeaeaeat x
dt x
][
])[(2
][
0000
0000
222242
2
22
1
2
21
2
ω ω ω ω
ω ω ω ω
LL
LL
LL +− ∫T
t jk
N k dt et xa 0)(2
ω
T
0=∂
∂
k
N
a
E 02)(2 00
2=⋅+⋅−∴ ∫∫
T
t k j
k
T
t jk
N dt eadt et x ω ω
LL ++ ∫T
t k j
k dt ea 022 ω
∫∫ =⋅→T
t k j
k
T
t jk
N dt eadt et x 00 2)( ω ω
∫∫ −−
=⋅→
T
t k jt k j
k
T
t jk
N
t k jdt eeadt et xe 0000
222)(
ω ω ω ω
∫∫ =⋅→ −
T
k
T
t jk N dt adt et x
0)( ω T adt et x k T
t jk N ⋅=⋅→ ∫
− 0)( ω ∫ −⋅=→
T
t jk N k dt et x
T a 0)(1 ω
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Condições de existência da série
Energia finita por período
Descontinuidades → Condições de Dirichlet: x(t ) é equivalente à série exceto nas descontinuidades
Condição 1: Integrabilidade absoluta Viola Condição 1
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Condições de existência da série
Descontinuidades → Condições de Dirichlet: x(t ) é equivalente à série exceto nas descontinuidades
Condição 2: número finito demáximos e mínimos num
período qualquer
Condição 3: número finito dedescontinuidades num
período qualquer
Viola Condição 2 Viola Condição 3
Sinais de menor interesse na Engenharia
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Sumário (convergência)
x(t ) periódico e sem descontinuidades: a série de Fourierconverge e é igual a x(t ) para todo t .
x(t ) periódico e com no
finito de descontinuidades porperíodo: a série de Fourier converge e é igual a x(t ) paratodo t exceto nas descontinuidades
descontinuidade. A energia do sinal de erro é nula
0])([ 20 =−=
∫ ∑
∞
−∞=T k
t k
k dt eat x E ω
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Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo (1/2)
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Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo (2/2)
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Propriedades principais
Deslocamento no tempo
defasagem
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Retificador de onda completa revisitado
|)cos(|)( t t x =)41(
)1(22
k a
k
k
S
−
−= →←π
F
2π
2π −
π π −
t
)(t x
LL
|)cos(||)cos(||)en(|)(02
t t t t st y ±=±== π
t
)(t y
LL
t jk S 00⋅⋅− ω F
2, == ω π T
Ex. 3.62
22−
π − k k
)41(
)1(22
)2 / ()2(
k eb
k jk
k −
−⋅=∴
±⋅⋅−
π
π
)41(
)1(22
k e
k jk
−
−⋅=
⋅±
π
π
−
)41(
12
)41(
)1(222
2
k b
k k
k
−=→
−
−=
π π
Propriedade do deslocamento; ver também Ex. 3.6
0T 2=ω
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)(
)(
210
101
T k
T k sen
T
T
ak s
⋅⋅
⋅⋅
= →← ω
F
)(t x
1
4,11
== T T
2
20
π π ω ==
T
1 22− 1−
2
12 1
0 +==T
T a
≠⋅⋅− 0,00 k ae t jk ω )(t y
L´hopital
)('
)('lim
)(
)(lim
00 xg
x f
xg
x f
x x →→=)2 / (
)2 / (
2
1
π
π
⋅
⋅=
k
k senak
Ex. 3.6)
)2 / (
)2 / (
2
12 /
0 π
π π
k
k seneb
jk
k
k
⋅−
≠
=→
Aplicação da propriedade do deslocamento
2
−−= t xt y
==−
=→←
0,021 k ak k
k
jk
k
k aeb 1)2 / (
0
⋅⋅−
≠
=∴ π
10 =T
( ) k k j je )(2 / −=⋅− π
2 / 0 π =
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Algumas simetrias do espectro
∫ −⋅=
T
t jk
k dt et xT
a 0)(1 ω
par erealé t xSe )(
∫ −⋅=T
dt t k jt k t xT
)]sen()[cos()(1
00 ω ω
∫∫ ⋅⋅−⋅⋅=T T
dt t k t xT
jdt t k t xT
)sen()(1
)cos()(1
00 ω ω
)( par erealé ak S F
↔
k k k jC Ba +=
0=k C 0≠k B
ímpar erealé t xSe )(
∫∫ ⋅⋅−⋅⋅=T T
k dt t k t xT
jdt t k t xT
a )sen()(1)cos()(100
ω ω
0=k B 0≠k C
)( ímpar eimaginárioé ak
S F
↔
k jk k e Aa θ = ímpar par Arealt xsequese Demonstra k k ==− θ ,:)(
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Propriedades: algumas demonstrações
Relação de Parserval
Potência média do sinal
∞
∫ ∫ ∑−∞=== T T k t jk
k dt eaT dt t xT
22
|||)(| 0ω
∫∑∞
−∞=
⋅=
T k
k dt aT
2||
1
T =
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Propriedades: algumas demonstrações Derivação e integração no tempo
∴⋅= ∑∞
−∞=
t k j
k
k eat x )( 0)( ω
t k jea
t x )( 0)( ω ⋅∂
=∂ ∞
Se
Então
Prova (derivação)
k t t ∂∂
−∞=
t k j
k
k eak j )(
00)(
ω ω ⋅⋅= ∑
∞
−∞=
k S a jk
t t x ⋅ →←
∂∂
0)( ω F
k
S
a jk dt t x0
1
)( ω →←⋅∫ F
Prova (integração) é similar
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Ex. 3.7
=
≠=
⋅−
0,0
0,)2 / (
)2 / (
2
12 /
k
k k
k sene
g jk
k π
π π
)(t g
k ok x jk g
s
t d
t dxt g
⋅=
=
)(
)(
)()(
ω
Fb
2 /
0 )2 / (
)2 / (
2
1
)2 / (
1 π
π
π
π
⋅−
≠
= jk
k k e
k
k sen
jk x
24
22 π π π ω ===
T o
k o
k
g jk
xω
1=
)(t x
?)( k
s
xt xF
↔
2 /
20 )2 / (
)2 / (
2
1 π
π
π ⋅−
≠
= jk
k k e
k
k sen
j x
→⋅= ∫T
dt t xT
x )(1
0
4=T
22
14
=
×
=
2
10 = x
4=T
2
)2 / (
)2 / (
2
1
=
π
π
k
k sen
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Propriedades importantes
Multiplicação convolução
Para x(t ) real Magnitude do espectro ( Ak ) = par Fase (θ k ) = ímpar
k = Parte imaginária do espectro (C k ) = ímpar
Demonstrações apresentadas/discutidas oportunamente
e/ou em exercícios
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Exercícios recomendados
Básicos (sem respostas)
3.22, 3.23, 3.24, 3.25 Básicos com respostas: 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.13, 3.20
Básicos avançados 3.40, 3.42, 3.46a-b, 3.62,
Problemas de Extensão 3.65a (pares a, c, d), 3.65b, 3.65d, 3.71
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Exercícios
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8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim
41/47
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Propriedade
da derivada
8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim
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Há forma mais elegante de resolver o problema com a propriedade da derivada...
8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim
44/47
8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim
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Simetrias
8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim
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Simetrias
8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim
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autofunção
Resposta emfrequência