แคลคูลัส (calculus)

ฟงกชัน f(x) = x3 + 3x2 – 5x -9 เรียกวา ฟงกชันหนึ่งตัวแปรฟงกชน f(x) x + 3x 5x 9 เรยกวา ฟงกชนหนงตวแปรf(x,y) = yx3 + 3xy2 – 5x -9 เรียกวา ฟงกชันสองตัวแปร

เรียก x วาเปน โดเมน (D) ของฟงกชัน f(x)เรยก x วาเปน โดเมน (D) ของฟงกชน f(x)เรียก y วาเปน เรนจ (R) ของฟงกชัน f(x)การหาลิมิต คือ การหาวาคาของฟงกชัน f(x) จะลเขาสคาใด เมื่อ x ลเขาคาใดคาหนึ่งการหาลมต คอ การหาวาคาของฟงกชน f(x) จะลูเขาสูคาใด เมอ x ลูเขาคาใดคาหนงเชน x = 1

ฟงกชัน f(x) = x3 + 3x2 – 5x -9 เรียกวา ฟงกชันหนึ่งตัวแปรั ั้ ิ ิ ื ฟ ั ใ ื่ ดังนันลิมิต คือ การหาวาคาของฟงกชัน f(x) จะลูเขาสูคาใด เมือ x ลูเขาคา x = 1

จะไดวา f(x) ลูเขาคา (1)3 + 3(1)2 – 5(1) -9 = -10

เขียนเปนสัญลักษ ของลิมิตไดดังนี้ หรือ

ิ ี่ ิ ิ ืจากนิยาม ทีมาของลิมิต คือ

คา x เขาใกลคา 1 บวก คือ x=1.001 หรือ 1.0000009 หรือ x = 1.0004 แตไมใช 1-1 0 1 2

คา x เขาใกลคา 1 ลบ คือ x=0.9951 หรือ 0.9989729 หรือ x = 0.99974 แตไมใช 1

จงหาคาลิมิตของฟงกชัน f(x) = x3 + 3x2 – 5x -9 เมื่อ x ลูเขาคา x = 1 ื่ ใ ื ไ ใ หาคา limit ของ f(x) เมือ x เขาใกลคา 1 บวก คือ x=1.001 แตไมใช 1

= -9.99599

หาคา limit ของ f(x) เมื่อ x เขาใกลคา 1 ลบ คือ x=0.999 แตไมใช 1

= -10.04

สรุปไดวา

ลิมิตของผลบวก ผลบวกของลิมิตลมตของผลบวก = ผลบวกของลมต

ลิมิตของผลคูณ = คาลิมิตคูณกัน

สรุป f(x) เปนฟงกชันตอเนื่องบนจุด x=2

ตัวอยางที่ 1 จงพิจารณาฟงกชัน f(x) ตอไปนี้ มีความตอเนื่องที่จุด x=2 หรือไม

ิ ี ํวิธีทํา1) ตรวจสอบวา f(x) หาคาไดที่จุด x=2 หรือไม

ื่ ใ 2) ตรวจสอบ limit ของ f(x) เมือ x เขาใกล x=2

3) จะเห็นวา

ตอบ f(x) เปนฟงกชันตอเนื่องบนจุด x=2

ตัวอยางที่ 2 จงพิจารณาฟงกชัน f(x) ตอไปนี้ ตอเนื่องที่จุด x=-1 หรือไม

ิ ี ํวิธีทํา1) ตรวจสอบวา f(x) หาคาไดที่จุด x=-1 หรือไม

ฟ ั ื่ ใ 2) ตรวจสอบ limit ของฟงกชัน f(x) เมือ x เขาใกล -1

การคูณดวย conjugate จะไดเปน ั ผลตางกําลังสอง แลวจะ

สามารถกําจัดพจนที่ทําให ปสวนเปน 0

สูตรผลตางกําลัง 2

จงแยกตัวประกอบผลตางกําลังสองตอไปนี้

การคูณดวย conjugate ของตัวเศษื่ ั ี่ ใ เพือกําจัดพจนทีทําใหสวน

เปน 0

การแยกตัวประกอบกําลังสองสมบูรณการจํา หนากําลังสอง บวก สองหนาหลัง บวกหลังกําลังสองการจา หนากาลงสอง บวก สองหนาหลง บวกหลงกาลงสอง หนากําลังสอง ลบ สองหนาหลัง บวกหลังกําลังสอง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ตัวอยางที่ 2 จงพิจารณาฟงกชัน f(x) ตอไปนี้ จงหาคา x ที่ทําใหฟงกชันนี้ไมตอเนื่อง

ิ ี ํวิธีทํา1) ตรวจสอบวา f(x) หาคาไดที่จุด x=1 หรือไม

ื่ ใ 2) ตรวจสอบ limit ของ f(x) เมือ x เขาใกล x=1

3) จะเห็นวา

สรุป f(x) เปนฟงกชันตอเนื่องบนจุด x=1

พิจารณาคา x ที่ทําใหฟงกชันนี้ไมตอเนื่อง

ิ ี ํวิธีทํา1) ตรวจสอบวา f(x) หาคาไดที่จุด x=-1 หรือไม

สรุป f(x) หาคาไดบนจุด x=-1 และ -∞<x<∞

จงหา limit ของฟงกชันตอไปนี้

จงหา limit ของฟงกชันตอไปนี้

จงหา limit ของฟงกชันตอไปนี้

สรุปการหา limit ของฟงกชัน1) แทนคา1) แทนคา2) คูณดวย conjugate ของสวน หรือ ของเศษ3) แยกตัวประกอบ3) แยกตวประกอบ4) นํากําลังสูงสุดหารทั้งเศษและสวน หรือ ใชวิธีการหารยาว

การแกสมการ อสมการ และ การหารยาวสมการ คือ ประโยคสัญลักษณที่มีสัญลักษณ = อยูในประโยค เชน

x + 5 = 0 หรือ 3x - 9 = 12คําตอบของสมการ คือ จํานวนใดๆ ที่เมื่อนําไปแทนในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง เชน x + 5 = 0 จะมี x=5 เปนคําตอบของสมการ

คําตอบของอสมการ สามารถนํามาเขียนบนเสนจํานวน ไดดังนี้คาตอบของอสมการ สามารถนามาเขยนบนเสนจานวน ไดดงนx > 5 5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 8

จงหาคําตอบของอสมการ

เอา 15 คูณตลอด

ืหรือ

-1 0 1 2

สมการกําลังสอง (Quadratic Equation)

การแยกตัวประกอบ

การหาคําตอบสมการ quadratic โดยใชสูตร

การหาคําตอบสมการกําลังสามและกําลังที่สูงกวา

หลักในการหาคําตอบคือ จะตองแยกตัวประกอบ พื้นลดกําลัง ตัวอยางเชนหลกในการหาคาตอบคอ จะตองแยกตวประกอบ พนลดกาลง ตวอยางเชน

ดังนั้นจะไดดงนนจะได(x + a) = 0 เปนคําตอบตัวที่ 1(x2 + 2x + 1) = 0 เปนคําตอบที่ 2 และใชวิธี quadratic eq(x + 2x + 1) = 0 เปนคาตอบท 2 และใชวธ quadratic eq.

ปญหาที่ตามมาคือ จะรูไดอยางไรวา (x + a) เปนตัวประกอบNote: ในสมการถา กําลังสงสดเปน 1 จะมี 1 คาํตอบNote: ในสมการถา กาลงสูงสุดเปน 1 จะม 1 คาตอบ

ในสมการถา กําลังสูงสุดเปน 2 จะมี 2 คาํตอบในสมการถา กําลังสงสดเปน 3 จะมี 3 คาํตอบในสมการถา กาลงสูงสุดเปน 3 จะม 3 คาตอบในสมการถา กําลังสูงสุดเปน n จะมี n คาํตอบ

การหาตัวประกอบรวม (การหารยาว)

ถาแทนคา x=1 ลงไปในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง แสดงวา x=1 เปนคําตอบ ถาแทนคา x=1 ลงไปในสมการแลวทาใหสมการเปนจรง แสดงวา x=1 เปนคาตอบ หรือกลาววา (x - 1) เปนตัวประกอบรวม

จะได ใชวิธีการหารยาว

พิจารณา x คูณอะไรได 3x3 จะไดนํา 3x2 คณกับตัวหาร แลว -/+นา 3x คูณกบตวหาร แลว -/+ พิจารณา x คูณอะไรได 5x2 จะไดเปลี่ยน -/+เปลยน /+ พิจารณา x คูณอะไรได 7x จะไดเปลี่ยน -/+เปลยน /+

แยกตัวประกอบ แยกไดก็ดี แยกไมไดใชสูตรู แยกตัวประกอบไมได ตองใชสูตร

คําตอบ (x – 1) = 0 จะได x = 1 เปนคําตอบคําตอบ

สรุป มี 3 คําตอบคือx = 1

เนื่องจาก (2x+3) เปนตัวประกอบ ดังนั้น แทนคา ในโจทย ถาลงตัว = 0 แสดงวาเนองจาก (2x+3) เปนตวประกอบ ดงนน แทนคา ในโจทย ถาลงตว 0 แสดงวาหารแลวไมเหลือเศษ แตถาไมเทากับศูนย จะหารแลวไดเศษ

แสดงวา เมื่อหารแลวจะไดเศษ = +4

ดังนั้น จะไดคําตอบ

ตรวจคําตอบ

การแกอสมการของพหุนามสมการในรูปคําตอบคือ

และ

-b 0 a

สมการในรูปคําตอบคือ

a 0 -b

แบบฝกหัด