Post on 08-Sep-2015
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UNIVERSIDADE DE LISBOA
F A C U L D A D E D E A R Q U I T E C T U R A
Complementos de
Matemtica e Estatstica
Clculo Vectorial
SUSANA ROSADO
JORGE MANUEL TAVARES RIBEIRO
ANTNIO JOS VINAGRE
2004, 2013
FA - UL, LISBOA
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
No Plano: P (x1 ; x2) 2 dimenses Espao em R2
No Espao: P (x1 ; x2 ; x3 ) 3 dimenses Espao em R3
Generalizando: P (x1 ; x2 ; x3 ......... xn ) n dimenses Espao em Rn
- Direco de uma recta:
Duas ou mais rectas tm a mesma direco se so paralelas
- Sentido de uma recta orientada: r
Ao segmento de recta corresponde o
segmento orientado de A para B AB
A
B
- Direco
- Sentido
- Comprimento (mdulo ou Norma)
- Ponto de aplicao
Vector um segmento orientado
caracterizado por:
- Vector:
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
r
A
B
ABuAB
A recta r
orientada de A para B
s A
B
BAvBA
A recta s
orientada de B para A
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
- Vectores Equipolentes
Ao conjunto de vectores com a mesma DIRECO, o mesmo SENTIDO e o
mesmo COMPRIMENTO, designam-se VECTORES EQUIPOLENTES.
- Soma de um Ponto com um Vector
Dados um ponto A e um vector aplicado a A. u
BuA ABu
Representa-se um Vector pela diferena entre os pontos EXTREMIDADE e ORIGEM
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
uAB
Somando ao ponto A o vector , obtm-se o ponto B (extremidade do
segmento orientado ).
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
- Soma de dois Vectores
A soma de dois ou mais vectores um Vector com ORIGEM na origem do
primeiro e EXTREMIDADE na extremidade do segundo.
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
A
B
u
C
v
vu
ACvuBCABvu
Somando os vectores e e sendo e , vem: u v ABu BCv
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
- Produto de um Nmero Real (Escalar) por um Vector
Conclui-se assim que:
A multiplicao de um nmero real (escalar) por um vector, outro vector.
1. Com a mesma DIRECO;
2. Com o mesmo SENTIDO ou o contrrio, consoante o escalar positivo ou negativo e
3. Cujo MDULO o produto do mdulo do escalar, pelo mdulo do vector. ukuk .
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
Se multiplicarmos o vector pelo escalar 3, obtm-se o vector u u3
Se multiplicarmos o vector pelo escalar (- 2), obtm-se o vector u u2
Se multiplicarmos o vector pelo escalar , obtm-se o vector u u2
1
2
1
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
- Vector Simtrico
Um vector Simtrico de um vector o vector , vector com a mesma
DIRECO, o SENTIDO contrrio e o mesmo COMPRIMENTO (Mdulo ou
Norma).
u u
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
u u
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
- Diferena de dois vectores
A diferena dos vectores e , o vector que se obtm somando ao
vector , o simtrico do vector u
u
v
v
ADvuvu
A
B
u
C
v
vu
v
D
vu
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
- Norma ou Mdulo de um Vector
- Versor de um Vector
um Vector com a mesma DIRECO e SENTIDO do vector dado e cujo
Mdulo igual UNIDADE.
O Mdulo de um vector , o COMPRIMENTO do segmento
orientado . Sendo representa-se o mdulo por: AB ABu
ABu
ABu
Sendo um vector, o Versor representa-se por, , e assim tem-se: u uvers
u
uuversuversuu .
Vector Unitrio um vector cujo Mdulo igual unidade.
Clculo Vectorial Generalidades Sobre Vectores
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
Considere-se um Sistema de 3 eixos no espao, no necessariamente ortogonais
(eixo dos xx ou das abcissas), (eixo dos yy ou das ordenadas), (eixo dos zz ou eixo das cotas)
Clculo Vectorial Espao Tridimensional
Sendo P um ponto no espao a 3 Dimenses, espao R3, projectando o ponto P sobre o plano
(xoy) segundo a direco do eixo dos zz, obtm-se o ponto A. Pelo ponto A tiram-se
paralelas aos eixos das abcissas e ordenadas e obtm-se os pontos B e C.
a abcissa do ponto P.
a ordenada do ponto P.
a cota do ponto P.
OB
OC
AP
Coordenadas do ponto P (a,b,c)
cAPbOCaOB ; ;
A C
B
P
O x
y
z
C
B
A
O x
y
z
P (a,b,c)
a
b c
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
Clculo Vectorial Espao Tridimensional
- Vectores Colineares
Dois vectores que tenham a mesma
direco chamam-se COLINEARES.
- Combinao Linear de Vectores
Considerem-se n vectores aplicados em A e sejam k1, k2, kn, n escalares. nvvv ,..., 21
vku
C
B
A
v
Se existir um vector aplicado em A tal que:
Diz-se que o vector uma COMBINAO LINEAR dos n vectores.
u
u
nn vkvkvku .......2211
u
u
nn vkvkvku 2211
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
Clculo Vectorial Espao Tridimensional
- Vectores Complanares
Desde que dois vectores e no sejam colineares, qualquer vector se
pode exprimir em e , isto , qualquer vector do plano uma
COMBINAO LINEAR dos vectores e .
u
u
u
v
v
v
w
Nestas condies igual a soma de e multiplicados por escalares. w u v
Vectores sobre o mesmo plano:
so complanares
no so colineares
wvu ,,
veu vkukw 21
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
Clculo Vectorial Espao Tridimensional
- Referenciais Cartesianos e Ortonormais
21
2 .. : eyexuR 3213 ... : ezeyexuR
Qualquer vector do plano e do espao uma COMBINAO LINEAR dos vectores base
multiplicados por escalares que so as coordenadas do ponto extremidade. 321 , , eee
COMPLEMENTOS DE MATEMTICA E ESTATSTICA Clculo Vectorial
O PRODUTO INTERNO de e representa-se por:
Por definio tem-se ento: .
u v
0 , cos.. | vuvu
n
i
iivuvuvu1
| ou .
Clculo Vectorial Produto Interno ou Produto Escalar de Vectores
O PRODUTO INTERNO de dois vectores um escalar e igual ao produto dos mdulos dos
dois vectores pelo co-seno do ngulo por eles formado.
Num espao vectorial Real E est definido um Produto Interno,
quando a cada par de vectores e pertencentes a E est
associado um escalar com:
u v
v | u
000.4
00.3
||.2
.1
2121
|
u seu | u
R, com vuvu v | uu
u| v v | u
212121
- Interpretao geomtrica:
A
B
C
u
v
B
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Clculo Vectorial Produto Interno ou Produto Escalar de Vectores
- Norma de um Vector:
- Propriedades da Norma de um Vector :
n real no negativo
Vector unitrio , normado ou normalizado
So vectores ortogonais ou perpendiculares
uuuuu 2
|
u u se 1
v e u vu se 0|
R , . . )
)
00 0 0 )
uuc
MinkowskideouTriangulardedesigualdavuvub
euseua
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Clculo Vectorial Distncia entre dois vectores
- Distncia entre dois vectores :
- Propriedades:
vuvud ,
w,vdu,vdw,ud) d
u,vdv,uc) d
u,ub) d
vu se v,ua) d
0
0
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