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5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
1/108MATEMTICA
Consideremos um tringulo retngulo ABC, reto emA. Os outros dois ngulos B e C so agudos e comple -mentares, isto , B + C = 90. Para ngulos agudos,temos por definio:
Observaesa) Os senos e cossenos de ngulos agudos so
meros compreendidos entre 0 e 1, pois a medida cateto sempre menor do que a medida da hipotenu
b) O seno de um ngulo igual ao cosseno do scomplemento e reciprocamente:
c) No tringulo retngulo vale o teorema de Pitras: a2 = b2 + c2
sen x = cos(90 x) cos x = sen(90 x
cateto oposto a B btg B = =
cateto adjacente a B c
cateto oposto a C ctg C = = cateto adjacente a C b
cateto adjacente a B ccos B= =
hipotenusa a
cateto adjacente a C bcos C= =
hipotenusa a
cateto oposto a B bsen B= =
hipotenusa a
cateto oposto a C csen C = =
hipotenusa a
rigonometria dulos
17 Seno, cosseno e tangente no
tringulo retngulo
18 Arcos notveis
19 Arcos notveis
20 Arcos notveis
21 Relaes fundamentais
22 Relaes fundamentais
23 Medidas de arcos e ngulos
24 Ciclo trigonomtrico
determinaes
25 Funo seno
26 Equaes e inequaes que
envolvem a funo seno
27 Funo cosseno
28 Equaes e inequaes que
envolvem a funo cosseno
29 Funo tangente
30 Equao e inequaes que
envolvem a funo tangente
31 Equaes trigonomtricas32 Equaes trigonomtricas
17Seno, cosseno e tangente no
tringulo retngulo
ngulos complementares Hipotenusa Cateto
Abul Wafa (940 998) Responsvelpor grande parte do conhecimento
da trigonometria de hoje.
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2/108MATEMTICA2
No tringulo retngulo da figura, determinar:a) a hipotenusa BC
b) sen^B
c) cos^B
d) tg^B
e) sen^C
f) cos^C
g) tg^C
RESOLUO:
a) 5 b) c) d)
e) f) g)
A partir da questo anterior, falso afirmar que:
a)^B +
^C = 90 b) cos B = sen C c) sen B = cos C
d) tg B < 1 e) tg C < 1RESOLUO:
tg C = > 1
Resposta: E
(MODELO ENEM) Um ciclista sobe, em linha reta, umarampa com inclinao de 3 graus a uma velocidade constantede 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa emrelao ao ponto de partida 30 m.
Use a aproximao sen 3 = 0,05 e responda. O tempo, em
minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente arampa a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.
RESOLUO:I) Sendo x, em metros, o comprimento da rampa, temos:
sen 3= x = x = 600
II) Observando que 4 metros por segundo correspondem a 240metros por minuto e sendo t o tempo, em minutos, que ociclista levou para percorrer completamente a rampa, temos:
t = = 2,5
Resposta: A
600
240
300,05
30x
43
43
35
45
34
45
35
(MODELO ENEM)
Um observador situado em A, na margem deum rio, avista o topo de uma rvore, situada namargem oposta, sob um ngulo de 72 em rela-o horizontal. Desejando calcular a altura darvore, sem atravessar o rio, afasta-se do ponto
A na direo da reta AC at que o ngulo deviso, seja a metade do anterior, chegandoassim em B, distante 50m de A.
A altura da rvore, desprezando a do observa-dor, considerando sen 72 0,95 , em metros:
a) 42,4 b) 45,5 c) 47d) 47,5 e) 49Resoluo
Sendo h a altura da r vore e o ngulo B^PA
temos:
a) + 36+ 108= 180 =36
b) A^BP = B
^PA = 36 AP = AB = 50
hc) sen 72 =
AP
h 0,95 = h = 47,5
50
Resposta: D
Para saber mais sobre o assunto, acesse oPORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br)
e, em localizar, digiteMAT1M201 e MAT1M202
No Portal Objetivo
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3/108MATEMTICA
Um folha de papel retangular dobrada, conforme a figuraa seguir. Determine o valor de 40 . tg .
RESOLUO:
I) x2 + 82 = 102
x = 6
II) tg
= = =
III) 40 . tg
= 40 . = 30
(UNESP MODELO ENEM) A figura mostra ducircunferncias de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre stangentes reta r. C e D so os centros das circunferncias
Se a medida do ngulo CP, o valor de sen :
a) b) c) d) e)
RESOLUO:
No tringulo retngulo DEC, temos:
sen
= =
Resposta: B
511
53 + 8
38
823
12
511
16
34
34
68
x8
1. Sen 45, cos 45, tg 45Num tringulo retngulo issceles qualquer, se for
a medida de cada cateto ento 2 ser a medida da
hipotenusa pois (BC)2 = 2 + 2 (BC)2 = 22
BC = 2.
Assim sendo:
a) sen^B = sen 45 =
sen 45 = sen 45 =
b) cos^B = cos 45 =
cos 45 = cos 45 =
c) tg^B = tg 45 = tg 45 =
AC
AB
2
2
12
2
AB
BC
2
2
12
2
AC
BC
18 a 20 Arcos notveis Tringulo retngulo issceles Tringulo equiltero
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2. Sen 60, cos 60 e tg 60Num tringulo equiltero qualquer, se for a medida
de cada um dos lados ento ser a medida da
altura, pois:
(AC)2 = (AM)2 + (MC)2 2 =2
+ (MC)2
(MC)2 = 2
(MC)2 = MC =
Assim sendo:
a) sen^A = sen 60 =
sen 60 =
b) cos^A = cos 60 =
cos 60 =
c) tg^
A = tg 60 = tg 60 =
3
3. Sen 30, cos 30 e tg 30No tringulo retngulo AMC do item anterior temos:
a) sen^C = sen 30 =
sen 30 =
b) cos^C = cos 30 =
cos 30 =
c) tg C = tg 30 =
tg 30 = tg 30 =
Note que:
sen 30 = cos 60 =
cos 30 = sen 60 =
sen 45 = cos 45 =
4. Valores notveis (30, 45, 60)
x sen x cos x tg x
301
2
3
2
3
3
45 2
2
2
21
60 3
2
12 3
2
2
32
12
3
3
13
23
2
AMMC
3
2
32
MC
AC
1
2
2
AM
AC
3
2
2
MC
AM
1
2
2
AM
AC
3
2
32
MC
AC
32
32
4
2
4
2
3
2
MATEMTICA4
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5/108MATEMTICA
(MODELO ENEM) Para determinar a altura de uma montanha,um topgrafo colocou-se com seu teodolito a 300 m da montanha.
Posiciona o aparelho que lhe fornece a medida do ngulo de visadaparte do morro, igual a 60o.Sabendo que o teodolito tem altura de 1,60 m, o topgrafo podeterminar a altura da montanha. Adotando 3 = 1,7, a altura deternada :
a) 510 m. b) 420 m. c) 511,6 m.
d) 421,6 m. e) 610 m.
ResoluoNo tringulo OAB, retngulo em A, temos:
tg 60o = 3 = AB = 300.3 = 300 . 1,7 = 510 m.
O topgrafo conclui que a montanha tem 510 + 1,6 = 511,6 maltura.Resposta: C
AB300
ABOA
Exerccio Resolvido Mdulos 18 a 20
(USF MODELO ENEM) Na figura abaixo, uma rvore vista sob um ngulo de 30, a uma distncia de 30 m de suabase. A altura da rvore, em metros, igual a
a) 35 b) 17 c) 14 d) 28 e) 30
RESOLUO:
tg 30 =
= x = 10 .
3
10 . 1,7
17 m
Resposta: B
(MACKENZIE) Na figura, a medida da bissetriz AD :
a) 2 b) 1 c) d) e) 3
RESOLUO:
Sendo o ABC issceles e AD mediana, tem-se que AD altura
Como 4
+
+
= 180
= 30
Ento, no BDA, retngulo em D, tem-se:
sen 30 = = AD = 1
Resposta: B
AD
2
12
AD
2
23
53
x30
3
3
x30
Exerccios Propostos Mdulo 18
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6/108MATEMTICA6
Duas rodovias A e B encontram-se em O, formando umngulo de 30. Na rodovia A existe um posto de gasolina que
dista 5 km de O. A distncia do posto de gasolina rodovia B
a) 5 km b) 10 km c) 2,5 kmd) 15 km e) 1,25 km
RESOLUO:
sen 30 = = d = 2,5km
Resposta: C
(UNESP MODELO ENEM) Trs cidades, A, B e C, sointerligadas por estradas, conforme mostra a figura.
As estradas AC e AB so asfaltadas. A estrada CB de terra eser asfaltada. Saben do-se que AC tem 30 km, o ngulo entreAC e AB de 30, e o tringulo ABC retngulo em C, a quan-tidade de quilmetros da estrada que ser asfaltada
a) 303 b) 103 c) d) 83 e)
RESOLUO:
No tringulo ABC, retngulo em C, tem-se
tg 30 =
=
BC = 10
3 km
Resposta: B
3
3
BC30km
BCAC
33
2
103
3d
5km
12
d5km
(MODELO ENEM) Uma escada apoiada em uma parede,num ponto distante 5 m do solo, forma com essa parede umngulo de 30. Qual o comprimento da escada, em metros?
RESOLUO:
cos 30 = = x = =
Resposta: m
Determinar o valor de x, na figura abaixo:
10 3
3
10 3
310
3
5x
3
25
x
Exerccios Propostos Mdulo 19
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7/108MATEMTICA
RESOLUO:
O tringulo ABD issceles.
AB = BD
BD = 60
tg 30 =
=
BC = 20
3
x = 60 20
3 = 20(3
3 )
(MODELO ENEM) A figura indica um terreno retangularrepartido em dois lotes, um na forma de tringulo e o outro nade trapzio:
Lembrando que a rea de um tringulo ,
conclumos que a rea do lote na forma de trapzio, em m2, igual a
a) 503 b) 603 c) 6(15 + 3 )
d) 24(30 3) e) 60(15 3 )
RESOLUO:
I) tg 30 = = ED = 4
3
II) SADE = = = 24 3
III) SABCE = 60 . 12 = 720
IV) SABCD = 720 24 3 = 24(30 3)
Resposta: D
(MACKENZIE) Na figura, tg vale
a)
b)
c)
d)
e)
RESOLUO:1) No tringulo retngulo ABC, tem-se
tg 30 = = AC
2) No tringulo retngulo ABD, tem
tg(
+ 30) =
tg(
+ 30) = =
3
+ 30 = 60 = 30
Portanto tg
= tg 30 = =
Resposta: C
1
3
3
3
3
3
ADAB
3
3
AC 3
ACAB
23
34
13
23
13
4
3 . 12
2
DE . AE
2
ED12
3
3
base
altura
2
BC60
33
BC60
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8/108MATEMTICA8
(MODELO ENEM) Um volume lanado de um avioque est a 3 km de altitude.
Devido velocidade do avio e
ao do vento o volume cai se-
gundo uma reta que forma um
ngulo de 30 com a vertical.Assumindo que 3 = 1,7, cal-cular:
a) a distncia percorrida por este volume desde o lanamentoat tocar o cho.
b) a distncia do ponto A at o ponto em que o volume toca ocho.
RESOLUO:
a) cos 30 =
=
x =
x = 2 .
3
x = 3,4 km
b) tg 30 =
=
y =
3
y = 1,7 km
(MODELO ENEM) Ao meio-dia, Sol a pino, um garotoempina pipa, e a linha que a segura, bem esticada, forma com
o cho um ngulo de 60. Como a sombra da pipa est distante
20 m de onde se encontra o garoto e considerando 3 = 1,73,podemos afirmar que a pipa est a uma altura de:
a) 17,40 m b) 28,10 m c) 34,60 m
d) 38,50 m e) 35,14 m
RESOLUO:
tg 60 =
3 =
x = 20 . 3
x = 34,6 m
Resposta: C
x20
x20
y3
3
3
y3
6
3
3x
32
3x
(VUNESP) Do quadriltero ABCD da figura, sabe-se queos ngulos internos de vrtices A e C so retos; os ngulos
CD^
B e AD^
B medem, respectivamente, 45 e 30; o lado CD
mede 2dm. Ento os lados AD e AB medem, respectivamente,
em dm:
a) 6 e 3
b) 5 e 3
c) 6 e 2
d) 6 e 5
e) 3 e 5
RESOLUO:
I) BCD issceles (BC = CD = 2 e BD = 2 . 2 )
II) sen 30 =
=
AB =
2
III)cos 30 =
= AD =
6
Resposta: C
AD
2 .
2
32
AD
2 .
2
AB
2 .
2
12
AB
2 .
2
Exerccios Propostos Mdulo 20
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9/108MATEMTICA
(VUNESP MODELO ENEM) Um pequeno aviodeveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte,distante 60 quilmetros de A. Por um problema de orientao,o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber oerro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120 direita emum ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com otrajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproxima-damente, um tringulo retngulo ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, a distncia em quilmetros que o aviovoou partindo de A at chegar a B
a) 30
3 b) 40
3 c) 60
3 d) 80
3 e) 90
3
RESOLUO:A partir do enunciado, no tringulo ABC, temos:
sen 60 =
=
BC = 40
3
tg 60 =
3 =
AC = 20
3
A distncia em quilmetros, que o avio percorreu partindo de A
at chegar a B, : AC + BC = 20 3 + 40 3 = 60 3
Resposta: C
(VUNESP) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou txi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito p
txi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, e
esboado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o pon
H indica o hotel, BCF um tringulo retngulo com o ng
reto em C, o ngulo no vrtice B mede 60 e DE paralelo
BC.
Assumindo o valor 3 = 1,7 e sabendo-se que AB = 2 kBC = 3 km, DE = 1 km e FH = 3,3 km, determinea) as medidas dos segmentos BD e EF em quilmetros;b) o preo que a pessoa pagou pela corrida (em reais),
bendo-se que o valor da corrida do txi dado pela funy = 4 + 0,8x sendo x a distncia percorrida em quilmete y o valor da corrida em reais.
RESOLUO:
a) De acordo com o enunciado, CB^
D = ED^
F = 60 (ngulos corr
pondentes). No tringulo retngulo DEF, temos:
tg 60 = 3 = EF = 3 EF = 1,7km.
Na figura seguinte, com DC
1 //
EC, temos o tringulo BC
retngulo em C1 e portanto
cos 60 =
=
BD = 4km
b) A distncia de A a H, em quilmetros, igual a
AB + BD + DE + EF + FH = 2 + 4 + 1 + 1,7 + 3,3 = 12
Como o preo da corrida do txi dado pela funo
y = 4 + 0,8 . x, para x = 12km, tem-se:
y = 4 + 0,8 . 12
y = 13,60 reais
Respostas:a) BD = 4km e EF = 1,7km
b) R$ 13,60
2
BD
1
2
BC1BD
EF
1
EFED
60AC
60AC
60BC
3
260BC
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10/108MATEMTICA10
1.
Num tringulo retngulode catetos b e c e hipotenu-sa a temos, de acordo com oteorema de Pitgoras:
a2 = b2 + c2.
Assim sendo, se x for amedida do ngulo agudo Bento:
sen2x + cos2x =2
+2
=
= + = = = 1
Note que
a) sen2x = (sen x)2 b) cos2x = (cos x)2
c) sen2x = 1 cos2x d) cos2x = 1 sen2x
2.
Num tringulo retngulo de catetos b e c ehipotenusa a, se x for a medida do ngulo agudo B ento
tg x = = = tg x =
3. CotangenteA cotangente de um ngulo agudo x , por definio
o inverso da tangente. representada com o smbolo
cotg x. Assim sendo:
4. SecanteA secante de um ngulo agudo x , por definio, o
inverso do cosseno. representada com o smbolosec x. Assim sendo:
5. CossecanteA cossecante de um ngulo agudo x , por defi-
nio, o inverso do seno. representada com o sm-bolo cossec x.
Assim sendo:
6. Relaes auxiliaresa) Dividindo ambos os membros da relao funda-
mental, sen2x + cos2x = 1, por cos2x, temos:
+ = tg2x + 1 = sec2x
b) Dividindo ambos os membros da relao funda-
mental, sen2x + cos2x = 1, por sen2x, temos:
+ =
1 + cotg2x = cossec2xDe (a) e (b) temos:
7. ConclusesSendo x a medida de um ngulo agudo qualquer,
valem as seguintes relaes:
sen2x + cos2x = 1
sen xtg x =
cos x
cos x 1cotg x = =
sen x tgx
1sec x =
cos x
1cossec x =
sen x
sec
2
x = 1 + tg
2
xcossec2x = 1 + cotg2x
cossec2x = 1 + cotg2x
sec2x = 1 + tg2x
1sen2x
cos2xsen2x
sen2xsen2x
1cos2x
cos2xcos2x
sen2xcos2x
1cossec x =
sen x
1
sec x = cos x
1 cos x cotg x = =
tg x sen x
sen xcos x
sen xcos x
ba
ca
bc
sen xtg x =
cos x
a2a2
b2 + c2
a2c2
a2
b2a2
caba
sen2x + cos2x = 1
21 e 22 Relaes fundamentais Seno Cosseno Tangente
Cotangente Secante Cossecante
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11/108MATEMTICA 1
(MODELO ENEM) Uma prefeiturapretende asfaltar um caminho, em uma regio
plana, desde um ponto inicial P at um monu-
mento de 30 metros de altura, ao custo de
R$ 50,00 o metro quadrado. Do ponto P ao
topo do monumento foi determinado um
ngulo de inclinao , com o plano desse
caminho. Sabendo que sen = , cos =
e que o caminho deve ter 2 metros de largura,
calcular o valor do menor custo dessa obra.
a) R$ 2 000,00 b) R$ 4 000,00c) R$ 1 000,00 d) R$ 40 000,00e) R$ 20 000,00
Resoluo
O menor custo da obra ser obtido quando doponto nicial P ao monumento, o caminho forrepresentado por um segmento de reta, con-forme figura.
Sendo sen = 3/5 e cos = 4/5, temos:
tg = = .
Portanto, na figura temos:
tg = = x = 40 m.
O custo da obra, com 2 m de largura e R$ 50,00o metro quadrado, resulta:C = 2 . 40 . R$ 50,00 = R$ 4 000,00
Resposta: B
(MODELO ENEM)
Um volume lanado de um avio que est3 km de altitude. Devido velocidade do ave ao do vento, o volume cai segundo ureta que forma um ngulo de 25 com a vtical. Que distncia aproximadamente d, mdida no solo, esse volume percorreu?
Dado: sen 25 = 0,42
a) 1,38 km b) 1,08 kmc) 2,13 km d) 1,75 kme) 0,98 km
Resoluo
tg 25 = d = 3 . tg 25
Se sen 25 = 0,42 e sen225 + cos225 = 1
ento, cos 25 = 1 sen2 25 =
= 1 (0,42)2 = 0,91
Logo: tg 25 = = = 0,46
Ento, d = 3 . 0,46 d = 1,38 km
Resposta: A
0,420,91
sen 25cos 25
d3
34
30x
3545
34
45
35
Se 0 < x < 90 ento a expresso igual a:a) sen x b) cos x c) tg xd) cotg x e) sec x
RESOLUO:
= = sec x
Resposta: E
(UN.ESTCIO DE S) Simplificando a expres soy = sen 17 . cotg 17 . cotg 73 . sec 73, encontramos:a) 2 b) 1 c) 2 d) 1 e) 5
RESOLUO:
y = sen 17 . . .
y = cos 17 .
Sendo 17 + 73 = 90, resulta sen 73 = cos 17, portanto
y = cos 17 . = 1
Resposta: D
Simplificando a expresso tg x . cos x . cossec x, p0 < x < 90, obtm-se:a) 0 b) 1 c) 1 d) sen x e) sec x
RESOLUO:
tg x . cos x . cossec x = . cos x . = 1
Resposta: B
sen xcos x
1sen x
1cos 17
1
sen 73
1
cos 73
cos 73
sen 73
cos 17
sen 17
1cos x
sen2x + cos2x
cos x
sen2x + cos2xcos x
Exerccios Propostos Mdulo 21
Exerccios Resolvidos Mdulos 21 e 22
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12/108
Se 0 < x < 90 e cos4x sen4x = ento sen x ser
igual a:
a) b) c) d) e)
RESOLUO:
cos4x sen4x = (cos2x + sen2x)(cos2x sen2x) =
1 2sen2x = sen2x = sen x =
(pois 0 < x < 90)
(MODELO ENEM) Uma empresa precisa comprar umatampa para o seu reservatrio, que tem aforma de um tronco de cone circular reto,conforme mostrado na figura.Considere que a base do reservatrio tenharaio r = 23 m e que sua lateral faa umngulo de 60 com o solo.Se a altura do reservatrio 12 m, a tampa
a ser comprada dever ter raio igual a
a) 33 m. b) 43 m. c) 53 m.d) 63 m. e) 73 m.
RESOLUO:Se r = 23 m o raio da base, o raio datampa r + x, sendo
tg 60 = = 3
x = 43
O raio da tampa (23 + 43)m = 63 m
Resposta: D
725
12x
35
925
725
725
725
110
15
25
35
45
MATEMTICA12
Sabendo que 0 < x < 90 e sen x = , calcular
cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x.
RESOLUO:
sen2x + cos2x = 1
cos2x = 1 sen2x
cos2x = 1 =
cos x = (ngulo agudo)
tg x = =
tg x =
cotg x = =
cotg x =
sec x = =
sec x =
cossec x = =
cossec x =
Se 0 < x < 90 e tg x =33, ento o valor de
a) b) 1 c) 2 d) e) 3
RESOLUO:
= =
= = = 2
Resposta: C
tg3x + 1tg3x 1
3 + 1
3 1
sen3x + cos3x
sen3x cos3x
sen3x cos3x + cos3x cos3x
sen3x cos3x
cos3x cos3x
12
52
sen3x + cos3x
sen3x cos3x
53
1
35
1sen x
54
1
45
1cos x
4
3
1
34
1
tg x
34
35
4
5
sen xcos x
45
1625
925
35
Exerccios Propostos Mdulo 22
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
13/108MATEMTICA 1
(MACKENZIE) Observando o tringulo da figura, pode-
mos afirmar que vale:
a) b)
c) d)
e)
RESOLUO:
= = =
= cos
=
Resposta: A
(UFPB MODELO ENEM) Em um determinado edifcio,os primeiros andares so destinados s garagens e ao salo defestas e os demais andares, aos apartamentos. Interessadonas dimenses desse prdio, um topgrafo coloca umteodolito (instrumento ptico para medir ngulos horizontais engulos verticais) a uma distncia d do prdio. Com um ngulovertical de 30, esse topgrafo observou que o primeiro piso de
apartamentos est a uma altura de 11,80 m do solo; e com ngulo vertical de 60, avistou o topo do edifcio, conformefigura abaixo.
De acordo com esses dados e sabendo-se que a luneta teodolito est a 1,70 m do solo, a altura do edifcio :a) 31 m b) 23,60 m c) 30,30 md) 21,90 m e) 32 m
RESOLUO:Sendo h, em metros, a altura do prdio temos:
tg 30 = =
= 3 h = 32tg 60 = 3 =Resposta: E
15
(cos
sen
)
cos
sen
cos
(cos
sen
)
sen
1 cos
cos sen
1 tg
25
5
25
5
5
125
15
cos sen
1 tg
h 1,7
10,1h 1,7
d
10,1
d
3
3
23 Medidas de arcos e ngulos Graus Radianos
1. Arcos na circunfernciaSeja uma circunferncia, na qual so tomados dois
pontos A e B. A circunferncia ficar dividida em duas
partes chamadas arcos. Os pontos A e B so as extremi-
dades desses arcos.Quando A e B coincidem, um desses arcos cha-
mado arco nulo e o outro, arco de uma volta.
2. Medida de um arco em grausO arco de uma volta mede 360 e o arco nulo mede 0
Assim sendo, o arco de 1 grau (representado p
smbolo 1) um arco igual a do arco de um
volta.Os submltiplos do grau so o minuto e o segund
O arco de um minuto (representado pelo smbolo
um arco igual a do arco de um grau.
Simbolicamente:
O arco de um segundo (representado pelo smbo
1) um arco igual a do arco de um minuto.
1
360
160
1 = 60
1
60
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
14/108
Simbolicamente:
Note, ainda que:
3. Medida deum arco em radianosA medida de um arco, em radianos, a razo entre
o comprimento do arco e o raio da circunferncia sobrea qual este arco est determinado; assim:
Observaes
O arco AB mede 1 radiano (1 rad), se o seu com-
primento for igual ao raio da circunferncia. A medida de um arco, em radianos, um nmero
real puro e portanto costume omitir o smbolo rad.Ao dizer ou escrever que um certo arco mede 3, porexemplo, fica subentendido que sua medida de 3 radia-nos ou seja, que o comprimento do arco o triplo da me-dida do raio.
O arco de uma volta, cuja medida 360, temcomprimento igual a 2 . . r. e sua medida em radianos
ser, portanto, 2pois = = = 2 6,28.
4. ConversesSendo G a medida do arco em graus e R a medida
em radianos, as converses de unidades (Graus-Radia-nos) so feitas atravs de uma regra de trs simples apartir da correspondncia 360 2 ou 180 .Assim sendo:
5. Medida de ngulosSeja rO
^s um ngulo de vrtice O e lados nas semir-
retas Or
e Os
. Tomemos uma circunferncia de centro no
ponto O e raio qualquer.
Os pontos da circunferncia e que pertencem
regio angular formam um arco AB . Adota-se como
medida do ngulo AO^
B, a prpria medida (em graus ou
radianos) do arco AB
. Assim sendo, a medida (em grausou radianos) de um arco AB igual medida do ngulo
central AO^
B correspondente ao arco.
360 2360 2 180
= = G R G RG R
AB
r
2..r
r
compr(AB) =
r
1 = 60 = 3600
1 = 60
MATEMTICA14
Converter 120 em radianos.Resoluo
=
= 3 R =
Resposta:
(FUVEST) O permetro de um setorcircular de raio R e ngulo central medindo radianos igual ao permetro de um quadradode lado R. Ento, igual aa) /3 b) 2 c) 1 d) 2/3 e) /2Resoluo
R + R + x = 4R x = 2R
= = = 2
Resposta: B
(FGV MODELO ENEM) Dois pontos,na linha do Equador, apresentam o sol a pino
com defasagem de 3 horas. Sabe-se que amenor distncia percorrida sobre essa linha, deum ponto ao outro, 5.000 km. Qual deve sero dimetro aproximado do planeta Terra, emquilmetros?
a) b)
c) d)
e)
ResoluoI) Para cada hora corresponde um ngulo
equatorial de
= = 15, assim, para uma
defasagem de 3 horas, o ngulo equatorial
ser 3 . 15 = 45 ou rad.
II)
= R = km
2R = km
Resposta: B
2R
R
xR
2
3
2
3
2
R
2
R
360120
360 2
120 R
30000
2
40000
20000
1
30000( 2)2
40000
2 2
360
24
180
12
4
20000
5000 km
R
4
40000
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15/108MATEMTICA 1
Quantos minutos tem o arco de 30?
RESOLUO:1 6030 xx = 1800
Quantos segundos tem o arco de 5 15?
RESOLUO:
1 3600 1 60
5 x 15 y
x = 18000 y = 900
515 = 18900
Converter as seguintes medidas de graus para radianos.
a) 30 b) 36 c) 240
RESOLUO:
Converter as seguintes medidas de radianos para graus.
a) b) 3 4
RESOLUO:
a) rad = = = 60
b) rad = = = 45
(MODELO ENEM) Uma pessoa caminha em uma pcircular, com raio igual a 30 m. Se essa pessoa percorr
nessa pista, um ngulo central correspondente a radian
qual ser a distncia percorrida em metros? (adotar = 3,1a) 31,4 b) 73,6 c) 85,1 d) 62,8 e) 58,7
RESOLUO:
Pela definio de medida de arco, em radianos, temos:
=
= comp(AB) = 20.
m
comp(AB) = 20.3,14 m = 62,8 m
Resposta: D
(MACKENZIE) O segmento OA descreve um ngulo30 em torno da origem, como indica a figura. Adotando =
a distncia percorrida pelo ponto A :
a) 2,5
b) 5,5
c) 1,7
d) 3,4
e) 4,5
RESOLUO:
A distncia do ponto A(4;3) origem O(0;0)
dAO = R =
42 + 32 = 5.
O arco de circunferncia de raio R = 5 e ngulo cen
30 = radiano tem comprimento igual a
AP, tal que:
=
=
Para = 3, resulta comp(
AP) = = = 2,5.
Resposta: A
a) 180x 30
x =
6
b) 180 36 x
36x =
180
x =
5
c) 180 240 x
240x =
180
4x =
3
3
rad
3
180
3
4
rad
4
180
4
23
comp (AB)
r
2
3
comp (AB)
30
6
comp(
AP)
5
6
comp(
AP)
OA
6
52
5 . 3
6
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
16/108MATEMTICA16
24Ciclo trigonomtrico determinaes
Quadrantes Determinaespositivas Determinaes negativas
1. Ciclo trigonomtricoChamamos de ciclo trigonomtrico a uma circun-
ferncia de raio unitrio na qual fixamos um ponto (A)
como origem dos arcos e adotamos o sentido anti-hor-rio como sendo o positivo.
2. Arco trigonomtricoChamamos de arco trigonomtrico AP
ao conjunto
dos infinitos arcos de origem A e extremidade P.
Esses arcos so obtidos partindo-se da origem A e
girando em qualquer sentido (positivo ou negativo) at a
extremidade P, seja na primeira passagem ou apsvrias voltas completas no ciclo trigonomtrico.
Analogamente, chamamos de ngulo trigono m-
trico A^OP ao conjunto dos infinitos ngulos de lado
inicial OA e lado terminal OP.
3. Conjunto dasdeterminaes de um arco
Seja P um ponto qualquer de um ciclo trigonom-
trico de origem A. A medida do arco AP
, de origem A eextremidade P, , por conveno:
O ponto P extremidade de infinitos arcos de
origem A e a medida de cada um deles chamada
determinao. A medida 0 do arco AP
, tal que0 0 < 2, chamada primeira determinao positiva
do arco.
Adicionando primeira determinao positiva o
nmero 2, que equivale a percorrer uma volta do
sentido anti-horrio, obtm-se o nmero 0 + 2que
a segunda determinao positiva de AP
.
Adicionando primeira determinao positiva o n-
mero 2 . 2= 4, que equivale a percorrer duas voltasno sentido anti-horrio, obtm-se o nmero 0 + 4
que a terceira determinao positiva do arco AP
, e
assim por diante.
Subtraindo da primeira determinao positiva o n-
mero 2, que equivale a percorrer uma volta no
sentido horrio, obtm-se 0 2 que a primeira
determinao negativa do arco AP
.
Subtraindo da primeira determinao positiva o
nmero 2 . 2 = 4, que equivale a percorrer duasvoltas no sentido horrio, obtm-se 0 4 que a
segunda determinao negativa, e assim por diante.a) Positivase o sentido de percurso de A para Pfor o anti-horrio.
b) Negativase o sentido de percurso de A para Pfor o horrio.
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17/108MATEMTICA 1
As infinitas determinaes dos arcos de origem A e
extremidade P so, pois:
Todas estas determinaes so do tipo 0 + n . 2,
com n , e portanto o conjunto das determinaes do
arco trigonomtrico AP
:
Observaes
a) Se a medida dos arcos for expressa em gradevemos escrever = 0 + n . 360, n .
b) O nmero 0, utilizado no conjunto das detminaes, pode ser o valor de uma qualquer das detminaes. costume, porm, escolher o valor da pmeira determinao positiva ou negativa.
c) A cada ponto P esto associados infinitos nmros reais, mas a cada nmero real est associado unico ponto P.
ExemploO conjunto das determi
es dos arcos de origem
e extremidade P assinaladna figura
x x = + n . 2
com n
76
{ = 0+ n . 2, n }
Determinaespositivas
Determinaesnegativas
Primeira 0 0 1 . 2
Segunda 0 + 1 . 2 0 2 . 2
Terceira 0 + 2 . 2 0 3 . 2Quarta 0 + 3 . 2 0 4 . 2
Determinar o conjunto das determinaes dos arcos indicados, para cada figura.
ResoluoA partir das figuras, temos:
I) 30 + n . 360 (n ) II) 30 + n . 180 (n ) III) + n . 2(n ) IV) + n . (n )6
6
Escreva a 1.a determinao positiva dos arcos assinaladosem cada ciclo trigonomtrico:a)
RESOLUO:
150, 210 e 330
b)
RESOLUO:
120, 240 e 300
c)
RESOLUO:
135, 225 e 315
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18/108MATEMTICA18
Calcular a 1a. determinao positiva dos arcos:a) 1630 b) 1630 c) 2100
RESOLUO:
a) 1.630 360
a0 = 190190 4
b) a0 = 360 190 = 170
c) 2.100 360 a0 = 300300 5
Escrever o conjunto das determinaes dos arcosassinalados, com extremidades no ponto P.a) b)
RESOLUO:
a) V = {x
x = 30 + n . 360, n
}
b) V = x x = + n . 2, n
Escrever, em uma nica expresso, o conjunto dos arcosassinalados, com extremos em P e Q, conforme o caso.
a) b)
RESOLUO:
a) V = {x | x = 30 + n . 180, n }
b) V = {x | x = + n . , n }
Escrever, em uma nica expresso, o conjunto dos arcos
com extremos em P, Q, M e N.
RESOLUO:
V = {x | x = 30 + n . 90, n }
4
23
25 Funo seno Seno
1. IntroduoConsideremos, no ciclo trigonomtrico de origem A,
um sistema cartesiano ortogonal xOy conforme mostra a
figura. Os pontos A(1; 0), B(0; 1), C(1;0) e D(0; 1)
dividem o ciclo trigonomtrico em quatro quadrantes.
Quando dizemos que um arco AP pertence ao segundo
quadrante, por exemplo, queremos dizer que a
extremidade P pertence ao segundo quadrante.
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19/108MATEMTICA 1
2. Definio da funo senoO seno de um arco trigonomtrico AP
, de ex-
tremidade P, a ordenada do ponto P.
Representa-se:
A cada nmero real x corresponde um nico ponto P,
extremidade do arco AP
de medida x. A cada ponto P, por
sua vez, corresponde uma nica ordenada chamada
seno de x.
A funo de em que a cada nmero real x as-socia a ordenada do ponto P , por definio, a funoseno.
Simbolicamente
ObservaoA definio coerente com aquela apresentada
tringulo retngulo.
De fato, se 0 < x < ento P pertence ao p
meiro quadrante e alm disso OP = 1 (raio) e MP = O
Assim sendo, no tringulo OMP retngulo em
temos:
sen x =
sen x =
2
f : tal que f(x) = sen x = ON
sen AP = ON
MPOP
cateto opostosen x =
hipotenusa
ON
1sen x = ON
3. Variao da funo senoEnquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horrio, o nmero real x varia de 0 a 360 e o se
de x varia de 1 a 1. Observe, na tabela abaixo, as vrias situaes possveis.
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
20/108MATEMTICA20
a) Positiva no primeiro e segun-do quadrantes; negativa no terceiroe quarto quadrantes.
b) Crescente no primeiro equarto quadrantes; decrescente nosegundo e terceiro quadrantes.
c) mpar pois sen (x) = sen x.
d) Peridica de perodo 2.
sen 20 > sen 10
sen 135 > sen 140
sen 220 > sen 230
sen 320 > sen 315
sen ( 50) = sen 50
sen 40 > 0
sen 100 > 0
sen 200 < 0
sen 290 < 0
4. GrficoNotando que sen x = sen (x 2), pois x e x 2so as medidas de arcos de mesma extremidade, e de acordo
com a tabela do item anterior, conclumos que o grfico da funo f : tal que f(x) = sen x :
e o conjunto imagem {y 1 y 1}.
5. PropriedadesDo que foi apresentado nos itens (2), (3) e (4), podemos concluir que a funo seno :
Resolver a equao sen x = sabendo que 0 x 360
Resoluo
x = 30 ou x = 150
Resposta: V = {30; 150}
Esboar o grfico da funo g(x) = 1 + sen x, no intervalo [0; 2].Resoluo
Observe que o grfico do seno se deslocou de uma unidade para cima,resultando imagem Im [g(x)] = [0; 2] e mantendo o perodo P = 2.
1
sen x = 2
0 x 360
12
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21/108MATEMTICA 2
Utilizando a figura, complete as definies:
RESOLUO:
sen AP = OM sen AQ = ON
Utilizando o ciclo trigonomtrico abaixo, complete:
a) sen 30 = sen 150 =
b) sen 210 = sen 330 =
c) sen 45 = sen 135 =
d) sen 225 = sen 315 =
e) sen 60 = sen 120 =
f) sen 240 = sen 300 =
g) sen 0 = sen 180 = sen 360 =
h) sen 90 =
i) sen 270 =
Esboce o grfico da funo f:[0; 2] definida f(x) = sen x
RESOLUO:
Com base no grfico do exerccio anterior, complete:
a) O perodo da funo f : tal que
f(x) = sen x
b) O conjunto imagem da funo f : tal que f(x) = se
Im(f) = [ 1; 1]
p = 2
1
1
0
3
2
3
2
2
2
2
2
1 2
12
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22/108MATEMTICA22
(MODELO ENEM) Uma rampa lisa de 40 m de com-primento faz ngulo de 30 com o plano horizontal. Umapessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se verticalmentea) 10 m b) 16 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m
RESOLUO:
Seja
AB a rampa e
BC a elevao vertical, ento
AB = 40 m, B^AC = 30 e senB
^AC =
=
BC = 20 m
Resposta: C
BC40
12
BCAB
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M203
No Portal Objetivo
26Equaes e inequaes queenvolvem a funo seno
Resumo tericoA funo seno definida em por f(x) = sen x tem as
seguintes caractersticas:
a) Domnio de f: D(f) =
b) Contradomnio de f: CD(f) =
c) Conjunto imagem: Im(f) = [ 1; 1]
d) Grfico: senoide
e) Para 30, 150, 210 e 330 temos:
sen 30 = sen 150 =
sen 210 = sen 330 =
f) Para 45, 135, 225, 315 temos:
sen 45 = sen 135 =
sen 225 = sen 315 =
g) Para 60, 120, 240 e 300 temos:
sen 60 = sen 120 =
sen 240 = sen 300 =
h) Para 0, 90, 180, 270 e 360 temos:
sen 0 = sen 180 = sen 360 = 0
sen 90 = 1
sen 270 = 1
22
22
12
12
32
32
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23/108MATEMTICA 2
Resolver a equao
2 sen x 2 = 0 sabendo que 0 x 360.
RESOLUO:
2 sen x
2 = 0
2 sen x = 2
sen x =
V = {45, 135}
(FGV) A equao 4 . sen2x = 1, para 0 x 360, temconjunto verdade igual a:
a) {30} b) {60} c) {30; 210}
d) {30; 150} e) {30; 150; 210; 330}
RESOLUO:
Para 0
x
360, temos:
sen2x = sen x =
Portanto:
x = 30 ou x = 150 ou x = 210 ou x = 330
Resposta: E
Os valores de x tal que sen2x 1 = 0 e 0 x 2so:
a) 0 e b) e c) e
d) e e) e
RESOLUO:
sen2x 1 = 0
sen2x = 1
sen x =
1
sen x = 1
V = ,
Resposta: B
Resolver a inequao 2 sen x 1 > 0 sabendo que0 x 360.
RESOLUO:
2 sen x 1 > 0
2 sen x > 1
sen x >
V = {x | 30 < x < 150}
12
}3
2
2{
53
3
34
4
3
6
32
2
12
14
2
2
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
24/108MATEMTICA24
27 Funo cosseno Cosseno
2. Variao da funo cosseno
Enquanto o ponto P percorre a primeira volta, no sentido anti-horrio, o nmero real x varia de 0 a 360 e o cossenode x varia de 1 a 1. Observe, na tabela a seguir, as vrias situaes possveis:
1. DefinioO cosseno de um arco trigonomtrico AP
, de ex-
tremidade P, a abscissa do ponto P. Representa-se:
A cada nmero real x corresponde um nico ponto P,
extremidade do arco AP
de medida x. A cada ponto P, por
sua vez, corresponde uma nica abscissa chamada cos-
seno de x.A funo de em que a cada nmero real x
associa a abscissa do ponto P , por definio, afuno cosseno.
Simbolicamente
Observaes
A definio dada coerente com aquela apresentada
no tringulo retngulo.
De fato, se 0 < x < ento P pertence ao primeiro
quadrante e alm disso OP = 1 (raio).Assim sendo, no tringulo OMP retngulo em M,
temos:
cos x =
cos x =
cateto adjacentecos x =
hipotenusa
OMOP
2
cos AP
= OM
f : tal que f(x) = cos x = OM cos x = OMOM
1
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25/108MATEMTICA 2
a) Positiva no primeiro e quartoquadrantes; negativa no segundo eterceiro quadrantes.
b) Crescente no terceiro equarto quadrantes; decrescente noprimeiro e segundo quadrantes.
c) Par, pois cos ( x) = cos x.
d) Peridica de perodo 2.
cos 40 > 0
cos 100 < 0
cos 200 < 0
cos 290 > 0
cos 10 > cos 20
cos 135 > cos 140
cos 230 > cos 220
cos 320 > cos 315
cos ( 50) = cos 50
3. GrficoNotando que cos x = cos(x 2), pois x e x 2so as medidas de arcos de mesma extremidade, e de acor
com a tabela do item anterior, conclumos que o grfico da funo f : tal que f(x) = cos x :
e o conjunto imagem {y 1 y 1}.
4. PropriedadesDo que foi apresentado nos itens (1), (2) e (3), podemos concluir que a funo cosseno :
Resolver a equao cos x = sabendo que 0 x 360
Resoluo
x = 120 ou x = 240
Resposta: V = {120; 240}
Esboar o grfico da funo g(x) = 2 . cos x, no intervalo [0; 2].
Resoluo
Observe que o grfico do cosseno abriu no sentido vertical, resultaimagem Im [g(x)] = [ 2; 2] e mantendo o perodo P = 2.
1
cos x = 2
0 x 360
12
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26/108MATEMTICA26
Utilizando a figura, complete as definies:
RESOLUO:
cos AP = OM cos AQ = ON
Utilizando o ciclo trigonomtrico abaixo, complete a tabela.
a) cos 30 = cos 330 =
b) cos 150 = cos 210 =
c) cos 45 = cos 315 =
d) cos 135 = cos 225 =
e) cos 60 = cos 300 =
f) cos 120 = cos 240 =
g) cos 90 = cos 270 =
h) cos 0 = cos 360 =
i) cos 180 = 1
1
0
1
2
12
2
2
22
3
2
3
2
(MODELO ENEM) Duas plataformas martimas (A e B) estolocalizadas de tal forma que os ngulos de emisso de sinais de comu-nicao com a base de um poo submarino so, respectivamente,iguais a 120 e 30, conforme indica a figura a seguir:
Admitindo-se que os sinais se desloquem em linha reta at a base dopoo e que a distncia entre as plataformas A e B, em linha reta, sejaAB = 1 km, a maior distncia entre a base do poo e uma das duas
plataformas, em km, , aproximadamente, igual a:a) 1,7 b) 1,5 c) 1,3 d) 1,1 e) 1,0Resoluo
cos 30 = = d = 3 1,7
Resposta: A
d/2
1
3
2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT1M204
No Portal Objetivo
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
27/108MATEMTICA 2
Esboce o grfico da funo f:[0; 2] definida porf(x) = cos x
RESOLUO:
Com base no grfico do exerccio anterior, complete:
a) O perodo da funo f : tal que
f(x) = cos x
b) O conjunto imagem da funo f : tal que
f(x) = cos x
(MODELO ENEM) Uma mquina produz diariamentdezenas de certo tipo de peas. Sabe-se que o custo produo C(x) e o valor de venda V(x) so dados, aproxi mamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas fun
C(x) = 2 cos e V(x) = 32 sen , 0 x
O lucro, em reais, obtido na produo de 3 dezenas de peaa) 500. b) 750. c) 1000. d) 2000. e) 3000
RESOLUO:Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reai
obtido por: L(x) = V(x) C(x)
Para x = 3, resulta:
L(3) = 3 . 2 . sen 2 cos == 3 . 2 . sen 2 + cos =
= 3 .
2 . 2 + 0 = 3 2 = 1.
Portanto, o lucro, em reais, obtido na produo de 3 deze
dessas peas 1000.
Resposta: C
22
24
3 .6
3 . 12
x6 x
12
Im(f) = [ 1; 1]
p = 2
28Equaes e inequaes queenvolvem a funo cosseno
Resumo tericoA funo cosseno definida em por f(x) = cos x tem
as seguintes caractersticas:a) Domnio de f: D(f) =
b) Contradomnio de f: CD(f) =
c) Conjunto-imagem: Im(f) = [ 1; 1]d) Grfico: cossenoide
e) Para 30, 150, 210 e 330 temos:
cos 30 = cos 330 =
cos 150 = cos 210 =
f) Para 45, 135, 225, 315 temos:
cos 45 = cos 315 =
cos 135 = cos 225 = 22
22
32
3
2
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
28/108MATEMTICA28
(MODELO ENEM) No setor de pintura de peas em uma fbrica,a presso em um tambor de ar comprimido varia com o tempoconforme a expresso:
P(t) = 50 + 30 . cos t + , t > 0.O valor de t para o qual a presso mnima pode ser:
a) 3 b) c) 2 d)e)Resoluo
Como 1 cos t + 1, o valor mnimo de P(t) obtido
quando cos t + = 1. Como t > 0, temos:
t + = + n . 2(n ) t = + n . 2(n ).
Os possveis valores de t, so: ; ; ;
Dentre as alternativas, temos: t =
Resposta: D
2
5
2
9
2
5
2
2
2
2
2
3
2
5
2
2
g) Para 60, 120, 240 e 300 temos:
cos 60 = cos 300 =
cos 120 = cos 240 =
h) Para 0, 90, 180, 270 e 360 temos:
cos 0 = cos 360 = 1
cos 90 = cos 270 = 0
cos 180 = 112
12
Resolver a equao 2 cos x 1 = 0 sabendo que0 x 2.
RESOLUO:
2 cos x 1 = 0
2 cos x = 1
cos x =
V = ;
O valor de x, 0 x , tal que
4 . (1 sen2
x) = 3 a) b) c) d) e) 0
RESOLUO:
4 . (1 sen2x) = 3 4 . cos2x = 3
cos2x = cos x =
Para 0
x
, resulta x = .
Resposta: D
Resolva a equao 4 cos2x 3 = 0 sabendo que0 x 360.
RESOLUO:4 cos2x 3 = 0
cos2x =
cos x =
V = {30; 150; 210; 330}
Resolver a inequao 2 cos x 1 < 0 sabendo que0 x 360.
RESOLUO:
2 cos x 1 < 0
2 cos x < 1
cos x 0} o conjunto dos nmerosreais estritamente positivos.
d) _ = {x x 0} o conjunto dos nmerosreais negativos.
e) *_ = {x x < 0} o conjuntos dos nmerosreais estritamente negativos.
5. Desigualdade em Sendo a, b , assumimos que:
I) equivalente a
II) equivalente a
III) equivalente a
IV) equivalente a
V) equivalente a
VI)
VII) ou
VIII) ou
a . b < 0
a < 0 e b > 0a > 0 e b < 0
a . b > 0
a < 0 e b < 0a > 0 e b > 0
a + b > 0a > 0 e b > 0
a b 0a b
a b > 0a > b
a b < 0a < b
b > aa < b
a < b ou a = ba b
6. IntervalosSendo {a, b} , com a < b, intervalo qualquer um
dos subconjuntos de definidos e representados aseguir como subconjuntos da reta real.
a) [a;b] = {x | a x b}
b) ]a, b[ = {x | a < x < b}
c) [a, b[ = [a, b) = {x | a x < b}
d) ]a, b] = (a, b] = {x | a < x b}
1) O nmero inteiro 3, por exemplo, racional pois
3 = = = =
2) O nmero decimal exato 4,17, por exemplo,
racional pois 4,17 = = =
3) O nmero decimal no-exato e peridico (chamado
dzima peridica) 0,414141, por exemplo,
racional pois 0,414141 =
4) chamada geratriz da dzima peridica
0,414141 . Para obter a dzima, a partir dageratriz, basta dividir 41 por 99.
5) 0,414141 a dzima peridica. Para obter a
geratriz a regra :
a) O numerador 41 o perodo da dzima.
b) O denominador sempre formado por tantosnoves quantos forem os algarsmos do perodo
Como no caso o perodo (41) de 2 algarismoso denominador formado por 2 algarismosiguais a 9.
6) Os nicos nmeros reais que no so racionais soos decimais no exatos e no peridicos. Essesnmeros so os irracionais.
Nmeros irracionaisSo aqueles que no podem ser escritos na forma
com a e b *. Os nicos nmeros desse
tipo so os decimais no exatos e no peridicosRepresenta-se o conjunto dos nmeros irracionais po .
Exemplosa) 2 = 1,4142135b) = 3,1415926
c) n, qualquer que seja n e no quadradoperfeito.
d) e = 2,718281827
ab
4199
4199
4199
834200
417100
3010
62
31
Saiba mais
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
52/108MATEMTICA52
e) [a, + [ = [a, + ) = {x | x a}
f) ]a, + [ = (a, + ) = {x | x > a}
g) ] , a] = ( , a] = {x | x a}
h) ] , a[ = ( , a) = {x | x < a}
Provar que se {a;b} *+ entoa2 > b2 a > b
Resoluo
a2 > b2 a2 b2 > 0
(a + b)(a b) > 0
a b > 0 (pois a + b > 0) a > b
Dos nmeros abaixo, o mais prximo de
:
a) 1500 b) 150 c) 25d) 15 e) 2,5
Resoluo
O nmero mais prximo de :
= = 150
Resposta: B
Para cada nmero real x, admita que [x]seja igual a x se x for inteiro, e igual ao maiorinteiro menor que x se x no for inteiro.
O valor de :
a) 2 b) 1 c) 0
d) 1 e) 2
Resoluo
161) 2, 7 = 3; 0,7 = 0; = 53
[ 2, 7] 32)
=
=
16 0 + 5[0,7] + 33
= = [ 0,6] = 15
Resposta: B
6 .6 . 6 . 2 . 2 . 5 . 5
2 . 2 . 6 . 6
63 . 102
122
(6,01)3 . (9,92)2
(11,9)2
[ 2,7]
16[0,7] + 3(6,01)3 . (9,92)2
(11,9)2
Na reta real, marque aproximadamente a posio dos
nmeros 1,6 , 2, , , 5 e
RESOLUO:
Represente na reta real os conjuntos:a) {x x < 2}
RESOLUO:
b) {x 3 < x 5}
RESOLUO:
c) {x x 3 ou x > 5}
RESOLUO:
Descreva os conjuntos representados nas retas reais por
uma propriedade e tambm na forma [a,b], [a,b[, ]a,b[ ou ]a,b].
a)
RESOLUO:
{x x < 3} = ] , 3[
b)
RESOLUO:
{x x 2} = [2, + [
c)
RESOLUO:{x
1 x < 3} = [ 1, 3[
d)
RESOLUO:
{x
x
2 ou x > 3} = ]
, 2] ]3, +
[
32
37
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
53/108MATEMTICA 5
Sendo A = {x 1 x < 3} e B = {x x 1 ou x > 2},determinar:a) A B b) A B c) A B
RESOLUO:
a)
b) {1} ]2, 3[ c) ]1, 2]
(MODELO ENEM) Na receita de bolo de Maria constamas seguintes informaes:
dois ovos
meio quilograma de farinha de trigoduzentos gramas de manteiga
Asse-o temperatura de duzentos graus celsius e resfrie-o temperatura de cinco graus abaixo de zero.
Para melhor representar as quantidades de ovos, farinha, man-teiga e as temperaturas citadas na receita, podemos utilizar,respectivamente, nmeros:a) naturais, racionais, naturais, inteirosb) naturais, inteiros, racionais, reaisc) inteiros, naturais, reais, racionais
d) racionais, inteiros, inteiros, naturaise) naturais, racionais, inteiros, naturais
RESOLUO:A quantidade de ovos sempre expressa por nmeros natura
meio quilograma de farinha expressa por um nm
racional; 200g de manteiga expressa por um nmero natu 5C expressa por um nmero inteiro.Resposta: A
(MODELO ENEM) Os nmeros de identificautilizados no cotidia(de contas bancrias, CPF, de Carteira de Id
tidade etc.) usualmepossuem um dgito verificao, normalmerepresentado aps o fen, como em 17326Esse dgito adicional ta finalidade de everros no preenchime
ou na digitao de documentos. Um dos mtodos usados pgerar esse dgito compe-se dos seguintes passos:
multiplica-se o ltimo algarismo do nmero por 1, o pentimo por 2, o antepenltimo por 1 e assim por diante, sepre alternando multiplicaes por 1 e por 2;
soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicaque for maior do que 10 ou igual a 10;
somam-se os resultados obtidos; calcula-se o resto da diviso dessa soma por 10, obtendo-
assim, o dgito de verificao.
O dgito de verificao para o nmero 24685 fornecido pprocesso descrito anteriormente :a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
RESOLUO:1) 1 . 2 + 2 . 4 + 1 . 6 + (2 . 8 + 1) + 1 . 5 = 2 + 8 + 6 + 17 + 5 = 38
2)
3) O dgito 8.
Resposta: E
10
3
38
8
1
kg2
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54/108MATEMTICA54
1. DefinioChama-se funo polinomial do 1o. grau a toda fun-
o f : definida por:
, a * e b
2. Como obter o grficoExemplo 1
Construir o grfico da funo f : definida porf(x) = 2x 4.
Resoluo
Construmos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos no sistema decoordenadas cartesianas.
Exemplo 2Construir o grfico da funo f : definida por
f(x) = x + 3Resoluo
Construmos uma tabela atribuindo alguns valores ax e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos no sistema decoordenadas cartesianas.
Demonstra-se que:
a) O grfico da funo polinomial do 1o. grau sem-pre uma reta oblqua.
b) Se a > 0 ento a funo estritamente crescen-te.
c) Se a < 0 ento a funo estritamente decres-cente.
d) O grfico de f intercepta o eixo
Ox no ponto
; 0 ou seja: a raiz de f.
e) O grfico de f intercepta o eixo
Oy no ponto (0; b)
ba
ba
x y = x + 3 x
1 y = ( 1) + 3 = 4 ( 1; 4)
0 y = 0 + 3 = 3 (0; 3)
1 y = 1 + 3 = 2 (1; 2)
2 y = 2 + 3 = 1 (2; 1)
3 y = 3 + 3 = 0 (3; 0)
4 y = 4 + 3 = 1 (4; 1)
x y = 2x 4 x
1 y = 2 . ( 1) 4 = 6 ( 1; 6)
0 y = 2 . 0 4 = 4 (0; 4)
1 y = 2 . 1 4 = 2 (1; 2)
2 y = 2 . 2 4 = 0 (2; 0)
3 y = 2 . 3 4 = 2 (3; 2)
f(x) = ax + b
24 Funo polinomial do 1o. grau Reta
Crescente Decrescente
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55/108MATEMTICA 5
f) A funo f : definida por f(x) = ax + b bijetora e seu grfico sempre do tipo:
Analisando o grfico conclui-se que:
a) Se a > 0 ento:
f(x) > 0 x >
f(x) = 0 x =
f(x) < 0 x <
b) Se a < 0 ento:
f(x) > 0 x <
f(x) = 0 x =
f(x) < 0 x > b
a
b
a
ba
ba
ba
ba
Saiba mais
(ENEM) Um experimento consiste em
colocar certa quantida-de de bolas de vidroidnticas em um copocom gua at certonvel e medir o nvel dagua, conforme ilustra-do na figura ao lado.Como resultado do ex-perimento, concluiu-seque o nvel da gua funo do nmero debolas de vidro que socolocadas dentro docopo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados doexperimento realizado.
Disponvel em; www.penta.ufrgs.br
Acesso em: 13 jan 2009 (adaptado)
Qual a expresso algbrica que permite cal-cular o nvel da gua (y) em funo do nmerode bolas (x)?
a) y = 30x. b) y = 25x + 20,2.
c) y = 1,27x. d) y = 0,7x.
e) y = 0,07x + 6.
Resoluo
Se a expresso algbrica que permite calcular
o nvel da gua (y) em funo do nmero de
bolas (x) do primeiro grau, ento y = ax + b.
Para os resultados do experimento, temos:
Logo, y = 0,07x + 6.
Resposta: E
(MODELO ENEM) Uma artes queproduz pequenas esculturas em argila.Pensando em ampliar seu negcio, elaborou atabela a seguir para calcular seus custos
mensais.
Utilizando-se os dados da tabela, a relaentre o custo C e o nmero de peasproduzidas mensalmente pode ser esbelecida na sentena matemtica dapor:a) C = 740N b) C = 4 + 740Nc) C = 740 4N d) C = 4N + 740e) C = 4N + 820Resoluo
O custo C para produzir N peas :
C = 450 + 60 + 160 + 70 + 3,40N + 0,60N
C = 740 + 4N
Resposta: D
Salrio do auxiliar R$ 450,00
Energia eltrica e gua R$ 60,00
Impostos R$ 160,00
Combustvel R$ 70,00
Material para uma pea R$ 3,40
Embalagem de uma pea R$ 0,60
a . 5 + b = 6,35a . 10 + b = 6,70 a . 15 + b = 7,05
a = 0,07b = 6
nmero de bolas (x) nvel da gua (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
56/108MATEMTICA56
Seja f: a funo definida por f(x) = 2x 4.Complete a tabela e esboce o grfico de f.
RESOLUO:
Analisando o grfico da funo f do exerccio anterior,complete as sentenas abaixo:
a) A funo f : definida por f(x) = 2x 4 estritamente
b) O conjunto soluo da equao f(x) = 0 ou
2x 4 = 0
c) O conjunto soluo da inequao f(x) > 0 ou
2x 4 > 0
d) O conjunto soluo da inequao f(x) < 0 ou
2x 4 < 0
Seja g : a funo definida por g(x) = x + 2.Complete a tabela e esboce o grfico de g.
RESOLUO:
A funo f, do 1o. grau, definida por f(x) = 3x + k. Deter-mine:a) O valor de k para que o grfico de f corte o eixo das
ordenadas no ponto de ordenada 5.b) O ponto em que o grfico de f corta o eixo das abscissas.c) O grfico de f.
RESOLUO:a) O grfico de f corta o eixo das ordenadas no ponto (0; 5),
logo, f(0) = 5.Assim: f(0) = 5 3 . 0 + k = 5 k = 5
b) A funo f definida por f(x) = 3x + 5 e seu grfico corta oeixo das abscissas no ponto (x; 0), logo, f(x) = 0.
Assim: f(x) = 0 3x + 5 = 0 x =
Portanto, o ponto ; 0
c) Utilizando as interseces com os eixos, temos o seguintegrfico:
x g(x)
0 2
2 0
x g(x)
0
2
x f(x)
0 4
2 0
x f(x)
02
5
3
53
V = {x x < 2}
V = {x x > 2}
V = {2}
crescente
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57/108MATEMTICA 5
(MODELO ENEM) Um grande poluente produzido pelaqueima de combustveis fsseis o SO2 (dixido de enxofre).Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revistaScience em 1972 concluiu que o nmero (N) de mortes porsemana, causadas pela inalao de SO2, estava relacionadocom a concentrao mdia (C), em g/m3, do SO2 conforme ogrfico abaixo: os pontos (C, N) dessa relao esto sobre osegmento de reta da figura.
Com base nos dados apresentados, a relao entre N eC(100 C 700) pode ser dada por:
a) N = 100 700 C b) N = 94 + 0,03 C
c) N = 97 + 0,03 C d) N = 115 94 C
e) N = 97 + 600 C
RESOLUO:
O grfico representa uma funo do 1o. grau do tipo N = a . C + b,
passando pelos pontos (100; 97) e (700; 115), ento:
Portanto, a relao entre N e C N = 0,03 . C + 94
Resposta: B
(MODELO ENEM) Vrias escalas podem ser usadas pa graduao de um termmetro. As mais usadas so a Celse a Fahrenheit.Na tabela a seguir, so mostrados alguns valores dessescalas.
Se uma temperatura corresponde a x graus na Celsius e a
graus na Fahrenheit, a relao entre essas duas escalas da
por y = x + 32. Com base nessas informaes, em um
em que a diferena entre a temperatura mxima e a mnima
18 graus na escala Fahrenheit, correto afirmar que es
diferena, na escala Celsius, foi de
a) 32 graus. b) 18 graus. c) 14 graus.
d) 10 graus. e) 12 graus.
RESOLUO:
Sejam yM e ym as temperaturas mxima e mnima em gra
Fahrenheit e sejam ainda xM e xm as temperaturas mxima
mnima em graus Celsius. Assim:
Resposta: D
9 18 = . (xM xm) xM xm = 105
9
yM ym = . (xM xm) 5
9yM = xM + 325
9ym = xm + 325
95
Celsius Fahrenhei
Temperatura de fuso do gelo 0 grau 32 graus
Temperaturade ebulio da gua
100 graus 212 graus
97 = a . 100 + b115 = a . 700 + b 97 = 100 . a b115 = 700 . a + b
18 = 600 . a115 = 700 . a + b a = 0,03b = 94
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58/108MATEMTICA58
1. DefinioChama-se funo polinomial do 2o. grau, ou funo
quadrtica, a toda funo f : definida por:
, a *, b e c
2. Como obter o grficoExemplo 1
Construir o grfico da funo f : definida por
y = f(x) = x2 2x 3.
Resoluo
Construmos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas:
Exemplo 2
Construir o grfico da funo f : definida por
f(x) = x2 2x + 3.
ResoluoConstrumos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas:
Exemplo 3Construir o grfico da funo f : definida por
y = f(x) = x2 4x + 4.
ResoluoConstrumos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
x y = x2 4x + 4 = (x 2)2 (x; y)
0 y = (0 2)2 = 4 (0; 4)
1 y = (1 2)2 = 1 (1; 1)
2 y = (2 2)2 = 0 (2; 0)
3 y = (3 2)2 = 1 (3; 1)
4 y = (4 2)2 = 4 (4; 4)
x y = x2 2x + 3 (x; y)
4 y = ( 4)2 2 . ( 4) + 3 = 5 ( 4; 5)
3 y = ( 3)2 2 . ( 3) + 3 = 0 ( 3; 0)
2 y = ( 2)2 2 . ( 2) + 3 = 3 ( 2; 3)
1 y = ( 1)2 2 . ( 1) + 3 = 4 ( 1; 4)
0 y = 02 2 . 0 + 3 = 3 (0; 3)
1 y = 12 2 . 1 + 3 = 0 (1; 0)
2 y = 22 2 . 2 + 3 = 5 (2; 5)
x y = x2 2x 3 (x; y)
2 y = ( 2)2 2 . ( 2) 3 = 5 ( 2; 5)
1 y = ( 1)2 2 . ( 1) 3 = 0 ( 1; 0)
0 y = 02 2 . 0 3 = 3 (0; 3)
1 y = 12 2 . 1 3 = 4 (1; 4)
2 y = 22 2 . 2 3 = 3 (2; 3)
3 y = 32 2 . 3 3 = 0 (3; 0)
4 y = 42 2 . 4 3 = 5 (4; 5)
f(x) = ax2+ bx + c
25 Funo polinomial do 2o. grau
Parbola Concavidade
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
59/108MATEMTICA 5
Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas.
Exemplo 4Construir o grfico da funo f : definida por
f(x) = x2 + 2x 3.
Resoluo
Construmos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema decoordenadas cartesianas.
3. Tipos de grficoO grfico da funo polinomial do 2o. grau sempre
uma parbola. Dependendo do valor de a e do valor detemos os seguintes tipos de grficos:
x y = x2 + 2x 3 (x; y)
1 y = (1)2 + 2 . ( 1) 3 = 6 ( 1; 6)
0 y = 02 + 2 . 0 3 = 3 (0; 3)
1 y = 12 + 2 . 1 3 = 2 (1; 2)
2 y = 22 + 2 . 2 3 = 3 (2; 3)
3 y = 32 + 2 . 3 3 = 6 (3; 6)a) O grfico de f sempre uma parbola com eixo
de simetria paralelo ao eixo
Oy.
b) Se a > 0 ento a parbola tem a concavidadevoltada para cima.
c) Se a < 0 ento a parbola tem a concavidadevoltada para baixo.
d) A parbola sempre intercepta o eixo
Oy noponto (0; c)
e) Se = b2 4ac < 0 ento f no admite razereais. A parbola no intercepta o eixo
Ox.
f) Se = b2 4ac = 0 ento f admite uma nicraiz. A parbola tangencia o eixo
Ox.
g) Se = b2 4ac > 0 ento f admite duas razereais distintas. A parbola intercepta o eixo
Oem dois pontos.
h) A funo polinomial do 2o. grau, definida em no nem injetora e nem sobrejetora.
Saiba mais
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digite MAT1M208
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60/108MATEMTICA60
(ENEM) Um posto de combustvel vende 10.000 litros de lcoolpor dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietrio percebeu que, para cadacentavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros amais por dia. Por exemplo, no dia em que o preo do lcool foi R$ 1,48,foram vendidos 10.200 litros.Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preo de
cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do lcool,ento a expresso que relaciona V e x a) V = 10 000 + 50x x2. b) V = 10 000 + 50x + x2.
c) V = 15 000 50 x x2. d) V = 15 000 + 50x x2.e) V = 15 000 50x + x2.
ResoluoA partir do enunciado, o valor arrecadado V, em R$, por dia, com avenda do lcool, deve obedecer seguinte expresso:
V = (10000 + 100 . x) . (1,50 0,01 . x)
V = 15000 + 150 . x 100 . x x2
V = 15000 + 50 . x x2
Resposta: D
Complete a tabela e esboce o grfico da funo f : definida por f(x) = x2 4x + 3.
RESOLUO:
(UNESP) A expresso que define a funo quadrticaf(x), cujo grfico est esboado, :
a) f(x) = 2x2 2x + 4. b) f(x) = x2 + 2x 4.c) f(x) = x2 + x 2. d) f(x) = 2x2 + 2x 4.e) f(x) = 2x2 + 2x 2.
RESOLUO:
Sugesto: A sentena que define f, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, pode
tambm assumir a forma f(x) = a(x x1)(x x
2) onde x
1e x
2so as
razes.
Sendo 2 e 1, as razes da funo quadrtica, a expres so que
define a funo f, cujo grfico foi dado, tal que
4 = a . 2 . ( 1) a = 2
Portanto, a expresso f(x) = 2(x + 2)(x 1) f(x) = 2x2 + 2x 4
Resposta: D
(MODELO ENEM) Pretende-se fazer, numa escola, umjardim na forma de um quadrado ABCD de 7 m de lado, comomostra a figura.
A rea hachurada representa o lugar onde se pretende plantar
grama e o quadrado EFGH o local destinado ao plantio deroseiras. Tem-se, em metros, AE = BF = CG = DH = x.
x f(x)
0 31 0
2 1
3 0
4 3
x f(x)
0
12
3
4 f(x) = a(x + 2)(x 1)f(0) = 4
5/21/2018 Caderno 2 Bimestre Matemc3a1tica
61/108MATEMTICA 6
A funo em x, para 0 x 7, que permite calcular a rea A(x),em metros quadrados, em que ser plantada a grama definida por:a) A(x) = 14x 2x2 b) A(x) = 7x x2
c) A(x) = d) A(x) = x(x 4)
e) A(x) = x2 + 4x
RESOLUO:
A rea do tringulo retngulo FBG
A rea reservada ao plantio de grama
A(x) = 4 . = 2x(7 x) = 14x 2x2
Resposta: A
Um homem-bala lanado de um canho e sua trajetdescreve uma parabla. Considerando que no instante lanamento (t = 0) ele est a 3 metros do solo, 1 segundo apele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos apslanamento ele atinge o solo, pede-se:a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir
cho, em funo do tempo t, medido em segundos.b) O valor de h para t = 2.
RESOLUO:a) A sentena que permite calcular a altura h em funo do tem
t do tipo h(t) = at2 + bt + c passando esta funo pelos pon
(0; 3), (1; 4) e (3; 0). Logo:
h(t) = t2 + 2t + 3
b) t = 2
h(2) = 22 + 2 . 2 + 3 = 3
7x x2
2
x(7 x)
2
x(7 x)
2
a = 1b = 2c = 3
c = 3a + b = 13a + b = 1
3 = a . 02 + b . 0 + c4 = a . 12 + b . 1 + c0 = a . 32 + b . 3 + c
1. Vrtice da parbolaO grfico da funo f: definida por
f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, uma parbola com eixo
de simetria paralelo ao eixo
Oy.
O vrtice da parbola, representado por V, o ponto
de ordenada mnima (quando a > 0) ou o ponto de
ordenada mxima (quando a < 0).
A abscissa do vrtice xv = e coincide com o
ponto mdio entre as razes reais, quando estas existe
A ordenada de V pode ser obtida apenas substitu
do, na sentena que define f, x pela abscissa j enco
trada.
Pode tambm ser calculada utilizando a frm
yv = onde = b2 4ac
Assim sendo:b
V
;
2a 4a
4a
b
2a
26 e 27 Vrtice e conjunto-imagem Vrtice Mximo Mnimo
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62/108MATEMTICA62
2. Conjunto-imagema) Se a > 0 ento V ser ponto de mnimo da funo
f: definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a 0. Oconjunto-imagem de f, representado por Im(f), ser:
b) Se a < 0 ento V ser ponto de mximo da fun-o f: definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a 0.
O conjunto-imagem de f, representado por Im(f), ser:
Im(f) =
y y
=
; 4a 4a
Im(f) =
y
y
=
; +
4a 4a
(MODELO ENEM) Pretende-se fazer, numa escola, um jardimna forma de um quadrado ABCD de 7 m de lado, como mostra a figura.
A rea hachurada representa o lugar onde se pretende plantar grama eo quadrado EFGH o local destinado ao plantio de roseiras. Cadaroseira precisa, para poder se desenvolver, de uma rea equivalente de um quadrado de 20 cm de lado.Tem-se, em metros, AE = BF = CG = DH = x.
Visto que muito caro plantar e cuidar das roseiras, deseja-se que a
rea a elas reservada seja a menor possvel. Supondo que isso acon -tea, podemos concluir que a rea em que ser plantada a grama, emmetros quadrados, :a) 20 b) 21,5 c) 24 d) 24,5 e) 26
Resoluo
A rea reservada ao plantio de grama A(x) = 4 .
A(x) = 2 . x . (7 x) e o grfico dessa funo do tipo
A rea mxima, reservada ao plantio de grama, acontece para x = 3,5
e o seu valor Amx = 2 . 3,5 . (7 3,5) = 24,5
Resposta: D
x . (7 x)2
Exerccio Resolvido Mdulos 26 e 27
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63/108MATEMTICA 6
Obter o vrtice e o conjunto-imagem da funof: definida por f(x) = x2 6x + 5.
RESOLUO:
xv = = = 3
yv = =
yv = = 4
V = (3; 4)
Im(f) = {y
y
4}
Esboar o grfico e obter o conjunto imagem da funof: [ 1; 4] definida por f(x) = x2 2x 3.
RESOLUO:
Im(f) = {y
4
y
5}
(GV) A rea do quadrado ABCD 4 cm2. Sobre os lados
AB e
AD do quadrado so tomados dois pontos M e N, tais que
AM + AN = AB. Desse modo, o maior valor que pode assumir
a rea do tringulo AMN :
a) cm2 b) 2 cm2
c) cm2 d) 4 cm2
e) cm2
RESOLUO:
Sendo x e y as medidas, em centmetros, dos segmentos AM
AN, respectivamente, S a rea, em centmetros quadrados,
tringulo AMN, e 4 cm2 a rea do quadrado ABCD, temos:
I) AM + AN = AB
x + y = 2
y = 2 x
II) S = = , que possui valor mximo igual a pois o grfico da funo S(x) = do tipo:
Resposta: C
(MODELO ENEM) A empresa WQTU Cosmtico venuma quantidade x de determinado produto, cujo custo fabricao dado por 3x2 + 232, e o seu valor de venda presso pela funo 180x 116. A empresa vendeu 10 unidaddo produto, contudo a mesma deseja saber quantas unidadprecisa vender para obter um lucro mximo.Considerando que o lucro obtido dado pela diferena entre
valores de venda e custo, a quantidade de unidades a serevendidas para se obter lucro mximo :a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232
RESOLUO:Sendo x a quantidade vendida do produto, (3x2 + 232)(180x 116) respectivamente o custo de produo e a receita pvenda, temos o lucro:
L (x) = (180x 116) (3x2 + 232) = 3x2 + 180x 348 que mxi
quando x = = 30, como ilustra a figura:
Resposta: B
(+180)2 . ( 3)
x . (2 x)
2
1
2
x(2 x)
2
x . y
2
18
12
14
16
4
(( 6)2 4 . 1 . 5)
4 . 14a
62
b2a
Exerccios Propostos Mdulo 26
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64/108MATEMTICA64
(MODELO ENEM) Considere as funes f e g, de em, definidas por f(x) = x2 2x + 8 e g(x) = 2x + 2.
O valor mnimo da funo h, de em , definida porh(x) = f(x) g(x) :
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUO:
I) h(x) = f(x) g(x) = (x2 2x + 8) (2x + 2) = x2 4x + 6
II) O vrtice da parbola de equao h(x) = x2 4x + 6 V(2; 2); pois
4
xv = = 22h(2) = 22 4 . 2 + 6 = 2
III)O grfico da funo h do tipo
IV) A funo h assume valor mnimo igual a 2.
Resposta: B
(MODELO ENEM) O alcance horizontal de cada salto deuma r, que parablico, de 4dm.
O grfico representa dois saltos consecutivos e iguais dessa r,contm o ponto (1; 0,75) e permite obter a altura h em funode x, ambos em decmetros. A altura mxima atingida pela r,em decmetros, :a) 0,8 b) 0,9 c) 1 d) 1,5 e) 1,8
RESOLUO:
h(x) = a . (x 0) . (x 4) = a . x . (x 4), para 0
x
4
h(1) = a . 1 . ( 3) = 0,75 a = 0,25
Assim, h(x) = 0,25 . x . (x 4)
Portanto, xv = 2 e a altura mxima
hv = h(2) = 0,25 . 2 . (2 4) = 1
Resposta: C
(MODELO ENEM) Uma indstria tem seu lucro mensal,L(x), em reais, dado em funo do nmero de peas produzidas(x) pela expresso L(x) = 400x x2. Desta forma, incorretoafirmar quea) o lucro obtido pela produo de 300 peas menor que o
lucro obtido pela produo de 250 peas.
b) o lucro mximo que pode ser obtido de R$ 40000,00.c) produzindo 100 peas, obtm-se mais lucro que produzindo
350 peas.d) para ter lucro de R$ 17 500,00 deve-se produzir,
obrigatoriamente, 50 peas.e) o lucro mximo que pode ser obtido ocorre se, e somente
se, a indstria produzir 200 peas.
RESOLUO:1) L(x) = 400x x2
L(x) = (x 0) (x 400)
2) O grfico da funoL(x) = (x 0) (x 400), para x
0, do tipo
e deste grfico conclumos que
3) L(250) > L(300) e portanto a afirmao a correta.
4) O lucro mximo ocorre se, e somente se, x = 200; o valor desse lucromximo L(200) = (200 0) (200 400) = 40 000.
Assim sendo, as alternativas b e e so corretas.
5) L(100) = L(300) > L(350) e portanto c verdadeira.
6) L(50) = (50 0) (50 400) = 17500
7) L(50) = L(350) = 17500 e portanto o lucro de R$ 17 500,00 pode
tambm ser obtido com x = 350. A alternativa d incorreta.
Resposta: D
Exerccios Propostos Mdulo 27
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65/108MATEMTICA 6
(GV-Adaptado) Quando uma pizzaria cobra R$ 14,00 porpizza, 80 unidades so vendidas por dia. Quando o preo R$ 12,00 por pizza, 90 unidades so vendidas. Admitindo quea quantidade vendida (y) seja funo do 1o. grau do preo (x),dada pela expresso y = 5x + 150, qual o preo que deve sercobrado para maximizar a receita diria?
RESOLUO:
A equao da funo que determina a quantidade vendida (y) em
funo do preo (x), em reais, y = 5x + 150Desta forma, a receita R, em funo de x,
R(x) = x . y = x ( 5x + 150) = 5x2 + 150x, e mxima para
x = 15, pois seu grfico
Resposta: R$ 15,00
1. DefinioChama-se inequao do 1o. grau a toda sentena
aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b 0 ou ax + b < 0 ou
ax + b 0, onde a * e b .
2. Resoluoa) Resolver, em , uma inequao do 1o. grau do
tipo ax + b > 0 determinar o conjunto de todos os va-lores da varivel x para os quais o grfico def(x) = ax + b se encontra acima do eixo x.
b) Resolver, em , uma inequao do 1o. grau do ti-po ax + b < 0 determinar o conjunto de todos os valo-
res da varivel x para os quais o grfico de f(x) = ax +se encontra abaixo do eixo x.
mais prtico, porm, apenas isolar o x le
brando que:
x
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66/108MATEMTICA66
Resolver, em :
a) 3x 6 < 0
RESOLUO:
3x 6 < 0 x < 2
V = {x
x < 2} = ]
, 2[
b) 3x + 6 < 0
RESOLUO:
3x + 6 < 0 x > 2
V = {x x > 2} = ]2, + [
Resolva, em , os sistemas:
a)
RESOLUO:
V = {x 6 x < 3} = [ 6, 3[
b) 0 < 2
RESOLUO:
0
< 2 0
x + 1 < 6 1
x < 5
V = {x 1 x < 5} = [ 1; 5[
As idades, em anos, de trs crianas so nmeros pares econsecutivos. A diferena entre a soma das idades das duasmais novas e a idade da mais velha menor que 5 anos.Sabendo que a soma das idades maior que 23 anos,determine a idade de cada criana.
RESOLUO:Sendo x, x + 2 e x + 4 as idades das trs crianas, temos:
x = 6, pois x
*
Logo, as idades so 6, 8 e 10 anos.
(MACKENZIE MODELO ENEM) Uma escola paga,pelo aluguel anual do ginsio de esportes de um clube A, uma
taxa fixa de R$ 1 000,00 e mais R$ 50,00 por aluno. Um clubeB cobraria pelo aluguel anual de um ginsio o equivalente auma taxa fixa de R$ 1 900,00, mais R$ 45,00 por aluno. Paraque o clube B seja mais vantajoso economicamente para aescola, o menor nmero N de alunos que a escola deve ter tal que:a) 100 N < 150 b) 75 N < 100 c) 190 N < 220d) 150 N < 190 e) 220 N < 250
RESOLUO:Se n for o nmero de alunos da escola, ento o clube B ser maisvantajoso que o clube A se, e somente se,
1900 + 45n
< 1000 + 50n
5n
> 900n
> 180.Se N for o menor nmero de alunos para o qual o clube B maisvantajoso, ento N = 181 e, portanto, 150 N < 190.Resposta: D
x < 717
x > 3
x 2 < 53x + 6 > 23(x + x + 2) (x + 4) < 5x + (x + 2) + (x + 4) > 23
x + 1
3
x + 1
3
6
x < 3x < 3
x
64x 12 < 0
3x + 18
0
4x 12 < 0
3x + 18 0
Exerccios Propostos
1. DefinioChama-se inequao do 2o. grau a toda sentena
aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c 0 ouax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c 0, com a *, b e c .
2. Resoluoa) Resolver, em , uma inequao do 2o. grau do
tipo ax2 + bx + c > 0 (a 0) determinar o conjunto detodos os valores da varivel x para os quais o grfico def(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do eixo x.
b) Resolver, em , uma inequao do 2o. grau dotipo ax2 + bx + c < 0 (a 0) determinar o conjunto de
todos os valores da varivel x para os quais o grfico def(x) = ax2 + bx + c se encontra abaixo do eixo x.
29 Inequaes do 2o. grau Parbola Razes Concavidade
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67/108MATEMTICA 6
Resolver a inequao x2 + x + 6 0ResoluoO grfico da funo f(x) = x2 + x + 6 do tipo:
O conjunto verdade da inequao
x2 + x + 6 0 , pois:
{x
x
2 ou x
3}
(MODELO ENEM) No grfico estorepresentadas as funes f e g, de em ,definidas por f(x) = x2 2x + 8 e g(x) = 2x + 2.
A reta r, paralela a 0y intercepta f e g em A e B,
respectivamente. A funo h, de em ,
definida por h(x) = f(x) g(x) fornece a medida
do segmento
AB. Se a medida de
AB for menor
do que 3, ento:
a) x < 0 b) 0 < x < 2 c) 1 < x < 3
d) 2 < x < 4 e) 3 < x < 5
Resoluo
a) h(x) = f(x) g(x)
h(x) = (x2 2x + 8) (2x + 2)
h(x) = x2 4x + 6
b) h(x) < 3 x2 4x + 6 < 3
x2
4x + 3 < 0 1 < x < 3,pois o grfico de p(x) = x2 4x + 3 do
Resposta: C
Resolver, em , as inequaes de a.
x2 7x + 6 0
RESOLUO:Razes: 1 e 6
x2 7x + 6
0V = {x
1 x 6}
x2 < 4
RESOLUO:Razes: 2 e 2
x2 < 4
x2 4 < 0V = {x
2 < x < 2}
x2 < 4x
RESOLUO:Razes: 0 e 4
x2 < 4x
x2 4x < 0V = {x
0 < x < 4}
x2 x + 2 < 0
RESOLUO:Razes: 2 e 1
x2 x + 2 < 0V = {x
x < 2 ou x > 1}
x2 + 4 > 0
RESOLUO:
Razes: no tem raiz real
x2 + 4 > 0
V =
Exerccios Propostos
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68/108MATEMTICA68
(UNESP-adaptado MODELO ENEM) Considere asfunes polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x 1 e g(x) = x3 + 3x + 1,cujos grficos se interceptam em dois pontos como esboadona figura (no em escala).
O conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) g(x) :
a) [ 2; 0] b) [ 1; 1] c) [ 1; 2]
d) [ 2; 2] e) [0; 2]
RESOLUO:
f(x)
g(x) f(x) g(x)
0 (x3 + x2 + 2x 1) (x3 + 3x + 1) 0
x2 x 2
0 1
x
2, pois o grfico da funo
h(x) = x2 x 2 do tipo
Resposta: C
Exemplo
Resolver o sistema
Resoluo
a) De acordo com o grfico da funo f(x) = x2 4x + 3concluimos que o conjunto verdade da inequaox2 4x + 3 > 0 V1 = { x x < 1 ou x > 3}
b) De acordo com o grfico da funo g(x) = x2 + x + 2
concluimos que o conjunto verdade da inequao x2 + x + 2 0 V2 = { x x 1 ou x 2}
c) O conjunto verdade do sistema V = V1 V2
V = {x x 1 ou x > 3}
x2 4x + 3 > 0 x2+ x + 2 0
30 Sistemas de inequaes Interseco Soluo comum
Exerccios Propostos
Resolver, em , os sistemas de a.
RESOLUO:
1) Razes: x2 5x + 6 = 0x1 = 2 ou x2 = 3
V1 = {x x 2 ou x 3}
x2 5x + 6 0
x 1 > 0
x2 5x + 6
0
x 1 > 0
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69/108MATEMTICA 6
2) Raiz: x 1 = 0 x = 1
V2 = {x x > 1}
V = {x 1< x 2 ou x 3}
RESOLUO:
1) Razes: x2 x = 0x1 = 0 ou x2 = 1
V1 = {x 0 x 1}
2) Razes: x2 1 = 0x1 = 1 ou x2 = 1
V2 = {x x 1 ou x 1}
RESOLUO:
1) Razes: x2 3x 4 = 0
x1 = 1 ou x2 = 4
V1 = {x 1 x 4}
2) 1 < x 2
3 (+ 2)1 < x
5
V2 = {x 1 < x 5}
V = {x
1 < x 4}
RESOLUO:
1) 3 < < 5 . (3)
9 < 2x 1 < 15 (+ 1)
10 < 2x < 16 (: 2)
5 < x < 8
V1 = {x 5 < x < 8}2) Razes: x2 49 = 0
x1 = 7 ou x2 = 7
V2 = {x 7 x 7}
V = {x 5 < x 7}
x2 x 0
x2 1 0
x2 x
0
x2
1 0
x2 3x 4 0
1 < x 2 3
x2 3x 4
0 1 < x 2
3
2x 1
3 < < 53
x2 49 0
2x 1
3 < < 5
3
x2 49 0
2x 1
3
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70/108MATEMTICA70
1. Fatorao
do trinmio do 2o
. grauSe {x1; x2} for o conjunto verdade, em , da equaoax2 + bx + c = 0, com a 0, ento a forma fatorada def(x) = ax2 + bx + c ser:
Se x1 = x2 ento a forma fatorada ser:
2. PropriedadeLembrando que a regra de sinais para a mul-
tiplicao e para a diviso a mesma, concluimos que:
f(x) > 0 f(x) . g(x) > 0g(x)
f(x) 0 f(x) . g(x) 0 e g(x) 0g(x)
f(x) < 0 f(x) . g(x) < 0
g(x)
f(x) 0 f(x) . g(x) 0 e g(x) 0g(x)
f(x) = a . (x x1)2
f(x) = a . (x x1) . (x x2)
31Inequaes tipoquociente e tipo produto Sinal da funo
Toda inequao do tipo quociente pode ser trans-formada numa inequao equivalente do tipo pro-duto.
Saiba mais
Fatorar f(x) = 2x2 10x + 12Resoluo
As razes da equao
2x2 10x + 12 = 0 sero 2 e 3 pois:
2x2 10x + 12 = 0 x2 5x + 6 = 0
5 1 x = x = 2 ou x = 3
2A forma fatorada , pois: f(x) = 2 . (x 2) . (x 3)
Resolver, em , a inequao (x 1)(x 6) > 0
RESOLUO:
(x 1) (x 6) > 0
V = {x x < 1 ou x > 6}
Resolver, em , as inequaes de a.
> 0
RESOLUO:
x 1 > 0x 6
(x 1) (x 6) > 0
V = {x x < 1 ou x > 6}
x 1x 6
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0
RESOLUO:
2x + 1
03 x
(2x + 1) (3 x)
0 e x 3
1V =
x
x < 3
2
< 0
RESOLUO:
1 < 0
(x 1) (x 3)1 . (x 1) (x 3) < 0
V = {x
1 < x < 3}
< 1
RESOLUO:
2x 1 < 1x 3
2x 1 1 < 0x 3
2x 1 (x 3) < 0
x 3x + 2
< 0x 3
(x + 2) . (x 3) < 0 V = {x 2 < x < 3}
3
RESOLUO:
x + 1
3x
x + 1 3 0x
x + 1 3x
0x
2x + 1
0x
( 2x + 1) . x
0 e x 0
1V = x 0 < x 2
x + 1
x
2x 1
x 3
1(x 1)(x 3)
2x + 1
3 x
32 Quadro de sinais Sinal da funo
ExemploResolver, em , a inequao
Resoluoa) Analisamos, separadamente, os sinais de x 1 ex2 5x + 6 utilizando o grfico de f(x) = x 1 e deg(x) = x2 5x + 6.
b) Deduzimos os sinais de pelo quadro desinais.
Assim sendo, o conjunto verdade da inequa
< 0 :
Observao
Lembrando que a regra de sinais para a multiplica
e para a diviso a mesma, concluimos que o conjunverdade da inequao (x 1) (x2 5x + 6) < 0 tambm
{x x < 1 ou 2 < x < 3}
{x x < 1 ou 2 < x < 3}x 1
x2 5x + 6
f(x)
g(x)
x 1 < 0
x2 5x + 6
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Resolver, em , as inequaes de a.
0
RESOLUO:
0
x 1 0
x 1
f(x) = x2 x 6
g(x) = x 1
V = {x 2 x < 1 ou x 3}
< 0
RESOLUO:
< 0
f(x) = x2 5x + 6
g(x) = x2 5x + 4
V = {x
1 < x < 2 ou 3 < x < 4}
(x2 + 3x 2) (x2 x) < 0
RESOLUO:( x2 + 3x 2) (x2 x) < 0f(x) = x2 + 3x 2
g(x) = x2 x
V = {x
x < 0 ou x > 2}
4
RESOLUO:
4
4
0
0
0
x 0
f(x) = x2 4x 12
g(x) = x
V = {x x 2 ou 0 < x 6}
x2 4x 12
x
x2 12 4x
x
x2 12
x
x2 12
x
x2 12
x
x2 5x + 6x2 5x + 4
x2 5x + 6x2 5x + 4
x2 x 6x 1
x2 x 6
x 1
Exerccios Propostos
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FRENTE 1
Mdulo 17 Seno, cosseno e tangente notringulo retngulo
Obter x e y no tringulo da figura,
dado tg = 1,5.
A altura h, relativa ao ladoBC, vale:
a) a . sen
b) a . cos
c) b . sen
d) b . cos
e) b . tg
Um barco avista a torre de um farol segundo um ngulo de6 com o nvel do mar. Sabendo que a altura do farol de42 m, determinar a distncia do barco at o farol.
Dado tg 6 = 0,105.
Quando o sol est x acima do horizonte (ver figura), asombra de um edifcio de 80 m de altura tem que compri-mento?
Considere tg x =
a) 132 m b) 136 m c) 140 md) 142 m e) 146 m
Se um cateto e a hipotenusa de um tringulo retngmedem a e 3a, respectivamente, ento o cosseno do ngoposto ao menor lado
a) b) c) d) e) 22
Mdulo 18 Arcos notveis
(FGV) Num tringulo retngulo, a hipotenusa mede 1um ngulo mede 60. A soma das medidas dos catetos vale
a) b) c) 15(1 + 3)
d) e)
Na figura abaixo, determinar o valor de AB.
Num tringulo ABC, sabe-se que ^B = 60, ^C = 45 eAB = 4 m. Determinar a medida do lado
BC.
1017
10
1022
3
13
2
3
15(1 + 3)
4
15
4
15
2
15(1 + 3)
2
EXERCCIOS-TAREFAS
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Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista3 m do solo, forma, com essa parede, um ngulo de 30.
Calcular a distncia da parede ao p da escada.
O lado de um tringulo equiltero mede 6 cm. O com -primento da sua altura, em cm, :
a) 23 b) 33 c) 32 d) 42 e) 43
Mdulo 19 Arcos notveis
De acordo com os dados da figura, resolver as questes e.
O valor de x :
a) 43 b) 83 c) 12 d) 123 e) 15
O valor de y :
a) 43 b) 83 c) 12 d) 123 e) 15
Um helicptero est a 200 metros de altura, na vertical,sobre uma estrada. Na posio em que se encontra, o piloto do
helicptero enxerga um carro quebrado em uma direo queforma 60 com a vertical e, na mesma estrada, um guincho emuma direo de 30 com a mesma vertical, conforme odesenho a seguir. Sabendo que 3 1,73, a distncia aproxi-mada entre o carro quebrado e o guincho, nesse momento, igual a:
a) 230 m b) 270 m c) 320 md) 340 m e) 380 m
(FUVEST) Calcular x indicado na figura.
(UNIP) Duas rodovias, A e B, encontram-se em O,formando um ngulo de 30. Na rodovia A, existe um posto degasolina que dista 5 km de O. O posto dista da rodovia Ba) 5 km b) 10 km c) 2,5 kmd) 15 km e) 1,25 km
Mdulo 20 Arcos notveis
Um mastro vertical est instalado em um local em que oterr