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PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
Universidad Simón Bolívar
Departamento de matemáticas Puras y Aplicadas
1.- Compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada:
a)
dydx
−2 y=e3ta) y=e3 x+10 e2 x
b)
dydx
+ y=x+1 b) y=x+3e− x
c)
d2 ydx2
−7dydx
+12 y=0 c) y=2e3 x−5e4 x
d)
dydx
=25+ y2 d) y=5 tan 5 x
e)
d2 ydx2
−3dydx
+2 y=0e) y=ex+2 x2+6 x+7
f) (1+x2) d2 y
dx2+4 x
dydx
+2 y=0f)
y= 1
1+x2
g)
dydt
=(2−x )(1−x )g)
Ln2−x1−x
=t
2.- Demuestre que la función f definida por y=(2 x2+2 e3 x+3)e−2 x satisface la ecuación diferencial
dydx
+2 y=6 ex+4 xe−2 x
que satisface la condición f (0)=5 .
3.- Demuestre que la función f definida por y=3 e2 x−2 xe 2 x−cos(2 x ) satisface la ecuación diferencial
d2 ydx2
−4dydx
+4 y=−8 sen(2 x ) que satisface las condiciones iniciales f (0)=2 y f
'( 0)=4
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EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLESRESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES
1) dydx
= y−1
x2+1Solución
dydx
=y−1
x2+1
dyy−1
=dxx2+1
Integrando se tiene : ∫ dy
y−1=∫ dx
x2+1 de aquí se tiene Ln( y−1 )K=arctgx , K constante luego
( y−1 )K=earctgx , entonces y= earctgx
K+1 ,
2 ) dx=( x−2 )sentdtSolución:
dx=( x−2 )sentdt entonces ∫ dx
x−2=∫ sentdt
de aquí ln( x-2) K=−sent , luego x-2 =e−sent K 1
x =e−sent K1+2
3 ) dydx
=(1+ y2 )(x2−1)
Solucióndy
1+ y2=( x2−1)dx
entonces ∫ dy
1+ y2=∫( x2−1 )dx
de aquí se tiene a rctgy= x3
3−x+C
4 ) (ex+1 ) dydx
= y (1−e x)
Solución:
∫ dyy
=∫ 1−e x
1+exdx
∫ dyy
=∫ 11+ex
dx−∫ ex
1+e xdx
ln (yK )=Ln(2+e x)−Ln (1+ex )
y=Ln(2+ex )(1+ex )
C, C constante
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5 ) 2 sen ycos x dx+cos y senx dy=0Solución
2 sen y cos x dx+cos y senx dy=0 entonces 2 sen y cos x dx=−cos y senx dy de aquí se tiene
2∫ cos xsenx
dx=−∫ cos yseny
dy entonces 2Ln| senx|=−Ln|seny|+Ln C luego Ln| senx|2+Ln|seny|=Ln C de aquí
sen y sen2 x dx=C luego y= arcsen( C
sen2 x ) , x≠∏ k , k=1,2,3,. ..
6 ) dydx
=xy+x−2 y−2 ; y (0)=2
Solución
dydx
=xy+x−2 y−2 la podemos escribir como
dydx
=( x−2 )( y+1) separando variables
dyy+1
=( x−2 )dx
Luego ln ( y+1)=1
2x2−2x+C
y+1=exp( 12
x2−2 x+C ) para y (0)=2
2+1=exp (12
0−2(0)+C) así C=Ln3=2
y=exp( 12
x2−2 x+ ln 3)−1
7.- ( x2 y− y )dx+( x2−2 yx2 )dy con y (2 )=1
Solución
( x2 y− y )dx+( x2−2 yx2 )dy la podemos escribir como
dydx
=y (1−x2 )
x2 (1−2 y ) separando variables
∫ 1−2 y
ydy=∫ (1−x2 )
x2dx
de aquí ∫ dy
y−2∫ dy=∫ dx
x2−∫dx
Luego ln ( y )−2 y=−1
x−x+C
Como y (2 )=1 se tiene ln (1 )−2(1 )=−1
2−2+C
de aquí C=1
2 luego la solución es
ln ( y )−2 y=−1x−x+1/2
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8.- cos2 xsenxdy+( ycos3 x−1 )dx=0 y ( π /4 )=1Solución.
cos2 xsenxdy+( ycos3 x−1 )dx=0 y ( π /4 )=1
(cos2 xsenx ) dydx
=1− y cos3 x
dydx
= 1cos2 xsenx
− y cos3 xcos2 xsenx
= 1cos2 xsenx
− y cos xsenx
dydx
+cos xsenx
y= 1
cos2 x senx Ecuación diferencial lineal
Sea μ=e∫ cosx
senxdx=e Ln( senx )=senx de aquí μ=senx
senxdydx
+ y cos x= 1
cos2 x
( y senx )′= 1
cos2 x integrando se tiene y senx=∫ dx
cos2 x=∫sec2 xdx
y senx=tgx+C como y (π /4)=1
1 sen ( π4 )=tg( π
4 )+C de aquí
C=√22
−1 luego la solución es:
y senx=tgx+ √22
−1
7-. Una ecuación cartesiana y=f ( x ) pasa por el origen; por un punto arbitrario de la curva en el primer cuadrante se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados que forman un rectángulo con ellos. La curva divide al rectángulo en dos regiones A y B, A es la región superior y B la región inferior.
Si el área de A es n veces el área de B e y=f ( x ) es una función creciente en el primer cuadrante. Hallar f ( x )Solución-
Area A = n área B
x f ( x )−∫0
x f ( t )dt=n ∫0
x f (t )dt
Derivando se tiene
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f ( x )+x f ' (x )− f ( x )=n f ( x )
x f ' ( x )=n f ( x ); si y=f ( x )
x y' ( x )=n y Ecuación Diferencial
dydx
=nyx
luego
dyy
=ndxx
Ecuación diferencial de variables separables
Ln|y|=nLn|xc| luego y=K xn, como f es creciente K>0 , así f ( x )=K xn
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables;
a ) ( x−4 ) y4dx−x3( y2−3)dy=0 b) y '=(1+ y2)(3 x2−1)
c )( x2 y− y )dx+( x2−2 yx 2 )dy=0 d ) { y '=Ky3 (1+x2 )−1/2¿
e ) xsenydx+(x2+1)cos y=0 , y (1)=π
2 f ) dy
dx= yex , y(0 )=2e
g ) (ex+1) y '=( x2 y− y )dx+( y2− y )ex h ) y=2 eex
i) dydx
=(x−1) y5
x2 (2 y3− y ) j )
13
y3−2y=1
x+Ln|x|+C
k ) dy
dx=( x+ y+3 )2
l) y=tan( x−c )−x−3
m) 2 y
dydx
=x (16−x2)−1/2, y (5 )=2
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES
a ) dydx
=f ( ax+by+c ) b≠0
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1) dydx
=(x+ y+1 )2
Solución
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dydx
=(x+ y+1 )2 Sea u=x+ y+1 luego
dudx
=1+ dydx entonces
dydx
=dudx
−1 así
dudx
−1=u2
luego
dudx
=u2+1 así
du
u2+1=dx
Entonces arcotg u=x+C sustituyendo el valor de u
arcotg ( x+ y+1)−x=C entonces x+ y+1=tg(C+x ) luego y=tg(C+x ) -x-1
2 )
dydx
= 1
√x+ y , y (0 )=1
Solución
dydx
= 1
√x+ y
Sea u=x+ y luego
dudx
=1+ dydx entonces
dydx
=dudx
−1 así
dudx
−1= 1
√u luego
dudx
= 1
√u+1
así √u du
1+√u=dx
sea u=z2 entonces d u=2 zdz
Sustituyendo en la ecuación se tiene
2z2
1+ z=dx
luego 2(z-1+ 1
1+ z )dz=dx entonces integrando
2( z2
2-z+Ln (1+z ))=x+C
luego z2 -2z+Ln (1+z )2=x+C sustituyendo u=z2 se tiene
u-2√u+Ln (1+√u )2=x+C sustituyendo u=x+ y se tiene
x+y-2 √x+ y+Ln (1+√x+ y )2=x+C
Usando las condiciones iniciales
0+1-2 √0+1+Ln (1+√0+ y )2=0+C luego C=Ln 2−1 Así la solución es
y-2√x+ y+Ln (1+√ x+ y )2=Ln 2−1
3 )
dydx
=cos( x+ y+1)1−cos ( x+ y+1)
,
Solución:
dydx
=cos ( x+ y+1)1−cos ( x+ y+1)
,Sea u=x+ y luego
dudx
=1+ dydx entonces
dydx
=dudx
−1 así
dudx
−1=cosu1−cosu luego
dudx
=cosu1−cosu
+1 así
dudx
= 11−cosu entonces (1−cos u)du=dx
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u -senu=x +C luego x+ y+1-sen( x+ y+1)=x +C entonces y+1-sen( x+ y+1)=C
EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION LINEAL
dydx
+P (x ) y=f ( x )
.-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Lineales
1.- (1+ex ) dy
dx+ex y=0
Solución
(1+ex ) dydx
+ex y=0 luego
dydx
+ ex
1+exy=0
Ecuación lineal donde P (x )= e x
1+ex , y f ( x )=0
El factor integrante es: u( x )=eP (x )ds=e∫ ex
1+exdx
=1+ex
Multiplicando la ecuación por el factor integrante se tiene :
(1+ex ) dydx
+(1+e x) ex
1+exy=0
de aquí se tiene d (1+ex ) y=0 integrando se tiene (1+ex ) y=C
Entonces y= C
1+ex
2.- y '−2y
x-1=( x−1 )3
Solución:
y '−2yx-1
=( x−1 )3 donde
P (x )= −2x−1 y u( x )=eP (x )ds=e
−∫ 2x−1
dx=e−2 Ln( x−1)
Multiplicando la ecuación por el factor integrante se tiene :
e-2L(x-1 ) y '−e-2L(x-1)2yx-1
=e-2L(x-1 )( x−1)3
(y e-2L( x-1))′=e-2L(x-1)( x−1 )3
y e-2L(x-1)=∫e-2L(x-1)( x−1)3 dx+C
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y e-2L(x-1)=∫( x−1)−2( x−1 )3 dx+C
y =( x−1 )2(C+( x−1 )2
2 )3.- x { y '−2y=x3 , y (1)=2¿Solución:
x { y '−2y=x3 , y (1)=2¿ x≠0
dydx
− 2x
y= x2
Ecuación Lineal
donde P (x )=−2
x y u( x )=eP (x )ds=e−∫ 2
xdx=x−2=
así x-2dy
dx− 2
x3y=1
entonces ( x-2 y )′=1 entonces x
-2 y=x+CHaciendo uso de las condiciones iniciales y (1)=2 se tiene
(1)(2 )=1+C luego C=1 Así la solución es: x-2 y=x+1 lo que es y=x3+x2
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA ECUACION LINEAL
9.-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:
dydx
+P (x ) y=Q( x )
e) { y '+1
2y=senx ¿ b) x y '+( x+1) y=x3
c) { y '+2 x+1
xy=e−2 x¿
d)
dxdt
+( ln|t|) x=t−t
e) x y '+ y=3 xy ; y (1 )=0 f) (1+x ) y '+ y=cos x ; y (0)=1
g) (1+x2) y '+4 xy=x y (2)=1h)
dydx
+3yx=6 x2
i)
dydx
+3 y=3 x2 e−3 x
j)
dydx
+ 1x
y= 12 x
k) { y ' (e y−x )= y ¿l)
x dydx
−2 y=x4 y3 y (2 )=8
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EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION DE BERNOULLIResolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli
1.- dydx
−3x
y=x3 y2/5 ; y (1)=32
Solución:dydx
−3x
y=x3 y2/5 ; y (1)=1 Ecuación de Bernoulli con
n=25 , Consideremos
w= y1−2/5= y3 /5 luego w= y3 /5
luego dwdx
=35
y-2/5 dydx luego tenemos
dydx
=53
y2/5 dwdx sustituyendo en la ecuación original
53
y2/5 dwdx
−5x
y=x3 y2/5
simplificando se tiene dwdx
−3x
w=35
x3
Ecuación Lineal
Sea μ( x )=e∫−3
xdx=x−3
luego μ( x )=x−3
x−3 w '−3 x−2 w=35
( x−3 w )′=35 luego
x−3w=35
x+C así
w=35
x4+Cx3
sustituyendo w= y3 /5
y3/5=35
x4+Cx3
sustituyendo el valor inicial se tiene (32)3 /5=3
5+C
Entonces C=37
5 luego la solución de la ecuación es y3/5=3
5x4+37
5x3
2.- y y '= y2
x− x+1
2, x≠0
Solución
y y '= y2
x− x+1
2, x,y≠0
tenemos { y '= y
x−1
y ( x+12 ) , x,y≠0¿
Ecuación de Bernoullin=-1 sea
w= y2 derivando
dwdx
=2 y y '
luego
dydx
= 12 y
dwdx
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1
2 ydwdx
−1x
y=(−x−12 ) y−1
dwdx
−2x
y2=−x−1
dwdx
−2x
w=−x−1 Ecuación lineal
μ (x )=e-2∫dx
x = 1x2
1
x2 ( dw
dx−2
xw)= 1
x2(−x−1 )
( wx2 )
′
= 1x2
(−x−1 ) Integramos
w
x2=∫ 1
x2(−x−1 ) dx
luego w=x2( 1
x−Ln( x ))
y2=x2( 1x−Ln( x ))
+C
3.- ex ( y+2 y2(1−ex ))dx−( ex−1 )dy=0Solución
ex ( y+2 y2(1−ex ))dx−( ex−1 )dy entonces ex ( y+2 y2(1−ex ))dx=( ex−1 )dy
ex ( y+2 y2(1−ex ))=(ex−1) dydx luego
ex ( y+2 y2 (1−ex ))ex−1
=dydx
dydx
=e x ( y+2 y2(1−ex))
ex−1=
ex y+2 y2 ex(1−ex )ex−1
= ex y
e x−1+
2 y2 e x(1−e x)ex−1
= ex y
ex−1−2 y2 ex
dydx
− ex ye x−1
=−2 y2e x
, Ecuación de Bernoulli con n=2
Sea w= y−1 luego
dwdx
=− y−2 dydx , entonces
dydx
=− y2 dwdx
− y2 dwdx
− ex
ex−1y=−2 y2ex
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dwdx
+ e x
ex−1y−1=2ex
de aquí
dwdx
+ e x
ex−1w=2 ex
es una ecuación lineal
Sea μ=e∫ ex
ex−1dx
= ex−1
(ex−1) dwdx
+(e x−1 ) ex
ex−1w=2ex (ex−1)
((ex−1)w )′=2 ex (ex−1)
(ex−1)w=e2 x− ex
2
w= e2 x
ex−1− ex
2( ex−1 ) de aquí se tiene y-1= e2 x
e x−1− ex
2(ex−1) luego
y=2(e x−1 )2e2 x−e x
4.- y y '= y2
x− x+1
2, x≠0
Solución
y y '= y2
x− x+1
2, x,y≠0
tenemos { y '= y
x−1
y ( x+12 ) , x,y≠0¿
Ecuación de Bernoullin=-1 sea
w= y2 derivando
dwdx
=2 y y '
luego
dydx
= 12 y
dwdx
1
2 ydwdx
−1x
y=(−x−12 ) y−1
dwdx
−2x
y2=−x−1
dwdx
−2x
w=−x−1 Ecuación lineal
μ (x )=e-2∫dx
x = 1x2
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1
x2 ( dw
dx−2
xw)= 1
x2(−x−1 )
( wx2 )
′
= 1x2
(−x−1 ) Integramos
w
x2=∫ 1
x2(−x−1 ) dx
luego w=x2( 1
x−Ln( x ))
y2=x2( 1x−Ln( x ))
+C
5.- Resolver la ecuación diferencial dydx
= y− x e- 2 x y3
Solución.-
La ecuación
dydx
= y− x e- 2 x y3
(1) es una ecuación de Bernoulli con n=3. Sea u= y- 2luego
u'= - 2 y- 3 y '. Despejando y
'. Tenemos
y '−12
u' y3
(2) Multiplicando la ecuación (1) por la
ecuación (2) resulta -
12
u' y3= y−x e−2 x y3
-12
u'= y−2−x e−2 x
de aquí -
12
u'−u=−xe−2 x
de aquí u'+2 u=2 x e−2 x
(3) Ecuación lineal
Con solución u=x2e−2 x+Ce−2 x con C∈R .
Ahora como u= y- 2 se tiene y
- 2=( x2+K ) e- 2x
6.- Resolver la ecuación diferencial con valor inicial y y '= y2
x+x-1
2 , y (1)= 1
SOLUCIÓN.
y y '= y2
x+x-1
2 De aquí y '= y
x+x-1
2y lo que es equivalente y '− y
x=x-1
2y Ecuación de Bernoulli. n=-1. sea
w= y2 entonces
dwdx
=2 y y '
luego
dydx
= 12 y
dwdx Asi se tiene
12 y
dwdx
−1x
y= y−1 x−12 luego
dwdx
−2x
w=x−1 Ecuación Lineal u( x )=e
∫−2dxx =x−2
12
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(x−2 dwdx
−x−2 2x
w)′
= ( x−1 ) x−2
luego (x−2 dw
dx−x−3 2
w)=∫( x−1−x−2 )dxentonces
x−2w=∫( x−1−x−2 )dx=Lnx+ 1x+C
entonces w=x2 Lnx+ x+Cx
y2=x2 Lnx+x+Cx Usando la condición y (1)=1 se tiene 1=1 Ln 1+1+C 1 , luego C=0 y por lo tanto la
solución es y2=x2 Lnx+x .
7.- Determine la solución de la ecuación diferencial
e x( y−3 y2 (ex+1 )2)dx+( ex+1)dy=0SOLUCION:
e x( y−3 y2 (ex+1 )2)dx+( ex+1)dy=0
e x (( y−3 y2 (ex+1 )2 )+(ex+1)) dydx
=0
dydx
=ex (3 y2( ex+1)2− y ))
ex+1 de aquí se tiene
dydx
=3 y2(e x+1)− ex ye x+1
dydx
+ ex
e x+1y=3 y2 (ex+1 )ex
Ecuación de Bernoulli con n=2
Sea w= y−1 entonces
dwdx
= y−2 dydx así
dydx
=− y2 dwdx
− y2 dwdx
+ e x
ex+1y=3 ex (ex+1 ) y2
dwdx
− ex
ex+1w=−3ex (ex+1 )
Ecuación lineal de primer orden
u( x )=e−∫ ex
e x+1dx
= 1ex+1
1ex+1
dwdx
− ex
(ex+1 )2w=−3ex
( wex+1 )
′
=−3e x
entonces se tiene
w
ex+1=−3∫e x dx
luego w=−3 (ex+1 )e x+C Entonces
1y=−3(ex+1)ex+C
entonces y= 1
−3( ex+1)e x+C
8.- Resolver la ecuación diferencial 3 t { x ' -2x= t3
x2¿
Solución
13
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3 t { x ' -2x= t3
x2¿
tenemos x '− 2
3t x=t2
3x−2
Ecuación de Bernoulli
x2 x '− 23t
x3= t2
3 Hacemos el cambio u= x3 luego u
'= 3 x2 x'
13
u'− 23t
u= t2
3 entonces u'−2
t u=t2
Ecuación lineal en u(t) (*)
μ (x )=e-2∫dx
t = 1t2
Multiplicando (*) por el factor integrante
1
t2u'− 2
t3u=1
( 1t2
u)′
=1 Integramos
1
t2u =t+C
luego u=t3+C t2, así
x ( t )=(t3+Ct2 ))1/3+C
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA ECUACION DE BERNOULLI
10.-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Bernoulli:
dydx
+P (x ) y=Q( x ) y(n)
a) { y '+ y=3 xy ; y (1 )=0¿ b) { y '+ y=cos x ; y( 0)=1¿
c)
dydx
+ y=xy 3
d) { y '+ 1
xy= 1
2 xy2¿
e)
dydx
− yx=− y2
x f)
dydx
+ y2 x
= x
y3 , y (1)=2
g) x
dydx
+6 y=3 xy4 /3
h) ( x2+1) dy
dx+4 xy=3 x
i) ex y−3( ex+1)2 dx+(ex+1)dy=0j)
( x2+x−2 ) dydx
+3( x+1 ) y=( x−1 ) y3
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEA
14
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Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1) x y3 y '=2 y4+x4
Solución
x y3 y '=2 y4+ x4 es una ecuación homogénea
Sea y=x v , entonces
dydx
= v +x dvdx sustituyendo en la ecuación se tiene
x (x v )3(v+xdvdx )=2( xv )4+x4
simplificando se tiene v4+ x v3 dv
dx=2 v4+1
luego x
dvdx
= v4+1v3
Así
dxx
= v3
v4+1dx
integrando se tiene
Ln|x|−14
Ln( v4+1)=C luego
Lnx
(v 4+1 )1/4=0
así ( x k )4=v4+1
Como v= y
x se tiene ( x k )4= y4
x4+1
entonces x 8 C = y4+x4 si C=k 4
se tiene
y4= x 8 C −x4
2 ) (x - ycos( yx ))dx+xcos ( y
x )dy x≠0
Solución:
(x - ycos( yx ))dx+xcos( y
x )dy =0
(1 -yx
cos( yx ))dx+cos ( y
x )dy =0 entonces
(1 -yx
cos( yx ))dx=-cos( y
x )dy , luego
(1 -yx
cos( yx ))=-cos( y
x ) dydx de aquí
-dydx
=1 -
yx
cos( yx )
cos( yx )
, cos ( yx )≠0
sea u= y
x entonces y=ux
Entonces Sea y=x u , entonces
dydx
= u +x dudx sustituyendo en la ecuación se tiene
u +x dydx
=−( 1−ucosucos u )
entonces x
dydx
=−( 1−ucosucosu )−u
simplificando x
dydx
= −1cosu
- cosu du =dxx entonces integrando senu =−Ln (x )+C sustituyendo el valor de
u= yx se tiene
15
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
senyx
=−Ln( x )+C entonces
yx
=arcsen (−Ln( x )+C ) entonces
y =xarcsen (−Ln( x )+C )
3 ) 2 y x { y ' cos2( yx )dx=2 y2 cos2( y
x )+xysen2 ( yx )¿
Solución
2 y x { y ' cos2( yx )dx=2 y2 cos2( y
x )+xysen2( yx )¿
simplificando se tiene { y '= y
x+ 1
2tg 2( y
x )¿
Sea y=x u , entonces
dydx
= u +x dudx sustituyendo en la ecuación se tiene
u +x dudx
=u+ 12
tg2 u
dudx
=12
tg2u entonces
du
tg2 u= 1
2 xdx
luego -c tgu -u=1
2ln|x|+C
entonces c tg( y
x ) -yx=1
2ln|x|+C
Si y=0 se tiene solución singular ya que al sustituir en la ecuación diferencial se tiene 0=0
4 ) ( x− yLn|y|+ yLn|x|)dx+x ( Ln|y|−Ln|x )dy=0|Solución:
( x− yLn|y|+ yLn|x|)dx+x ( Ln|y|−Ln|x )dy=0|
(1 -yx
cos( yx ))dx+cos ( y
x )dy =0 entonces
(1 -yx
cos( yx ))dx=-cos( y
x )dy , luego
dydx
=y (Ln|y|−Ln|x|)−x
x (Ln|y|−Ln|x|)= y
x− 1
Ln( yx )
de aquí
dydx
= yx− 1
Ln( yx )
,
dydx
+ 1
Ln( yx )
= yx
sea u= y
x entonces y=ux
Entonces Sea y=x u , entonces
dydx
= u +x dudx sustituyendo en la ecuación se tiene
u +x dudx
+ 1Lnu
=u entonces
x dudx
+ 1Lnu
=0 entonces integrando
x
dudx
=− 1Lnu de aquí
Lnu du =−dxx integrando u Lnu -u=−Lnx+LnC sustituyendo el
valor de u= y
x se tiene
yx
Lnyx− y
x=−L nx+LnC
5.- ( x3+ y3 )dx−3 x y2 dy=0Solución
( x3+ y3 )dx−3 x y2 dy=0 simplificando se tiene ( x3+ y3 ) −3 x y2 dy
dx=0
16
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
dydx
= x3+ y3
3 x y2=
1+( yx )
3
3( yx )
2
luego
dydx
=1+( y
x )3
3 ( yx )
2
Sea y=x u , entonces
dydx
= u +x dudx sustituyendo en la ecuación se tiene
u+xdudx
=1+u3
3u2
x
dudx
=1+u3
3u2 integrando
∫3u2
1-2u3du=∫ dx
x de aquí
12
Ln (1−2 u3 )=Ln( xC )⇒
Ln (1−2u3)1/2=Ln( xC )⇒ √1−2u3=xC⇒1−2 u3=x2 C2
luego 2 u3=1−x2C2 ⇒2( y
x )3
=1−x2C2
y3= x3
2(1−x2 C2)
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAA
1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas;
dydx
=f ( yx)
1) { y '= x2+ y2
x2¿
2 ) ( x+ y )dx−(x− y )dy=0
3 ) ( x2−3 y2 )dx+2 xydy=0 4 ) { y '=cos ( x+ y+1)1-cos( y+x+1)
¿
5 .)−( y+√ x2+ y2 )dx−xdy=0 ,y (0 )=0 6 ) 2 xy { y '=4 x2+3 y2¿
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEA
Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales
1 .− ( y−2 x+2 ) dx+(3x−4 y−3 )dy=0 Solución:
17
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
( y−2 x+2 ) dx+(3x−4 y−3 )dy=0 dydx
= 2 x− y−23x−4 y−3 Ecuación Reducible a Homogénea
Consideremosl1 :2 x− y−2=0l2 : 3x−4 y−3=0
Pendientes de las rectas:
ml1=2
ml2=:−34 luego l1 sec ortacon l2
Puntos de Corte:2 x− y−2=03x−4 y−3=0 luego (1,0) es el punto de corteConsideremos x=u+1y=v de aquí
dydx
=dvdu
dvdu
= 2u+2−v−23u+3−4 v−3
= 2 u−v3 u−4 v
dvdu
= 2u−v3 u−4 v Ecuación Homogénea
Sea z= v
u luego v=u z entonces
dvdu
=z+udzdu
dvdu
=2− v
u
3−4vu
=2−z3−z
de aquí
dvdu
=2−z3−z luego
z+udzdu
=2−z3−z luego
udzdu
=2−z3−z
−z= z2−4 z+23−z Ecuación de Variable separables
udzdu
= z2−4 z+23− z entonces
∫ 3−z
z2−4 z+2 dz=∫ du
u lo que es equivalente
∫ z−3
z2−4 z+2 dz=−∫ du
u
Resolviendo la integral de la izquierda ∫ z−3
z2−4 z+2 dz
se tiene:
18
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
∫ z−3
z2−4 z+2 dz=1
2∫2 z−6
z2−4 z+2 dz=1
2∫2 z−4
z2−4 z+2 dz−1
2¿∫ ¿dz
z2−4 z+2 = ¿ ¿ ¿¿∫ ¿ ¿ 1
2ln ( z2−4 z+2 )−ln ( z−2−√2
z+2+√2 )+K=12
n(z2−4vu+2)−1
2ln ( z−2−√2
z+2+√2 )+K ¿¿
∫ z−3
z2−4 z+2 dz=
12
ln(( vu )
2
−4vu+2)−ln(
vu−2−√2
vu−2+√2 )+ K
∫ z−3
z2−4 z+2 dz=
12
ln(( yx−1 )
2
−4y
x−1+2)−ln(
yx−1
−2−√2
yx−1
−2+√2 )+ K
2 . (− y−3 x+2 ) dx+( x−1 )dy=0 Solución:
(− y−3 x+2 )+( x−1)dy=0 dydx
=3 x+ y−2x−1 Ecuación Reducible a Homogénea
Consideremosl1 :3 x+ y−2=0l2 : x−1=0
Pendientes de las rectas:
ml1=−3ml2=:1 luego l1 se corta con l2
Puntos de Corte: (1,-1) es el punto de corteConsideremos x=u+1y+1=v de aquí
dydx
=dvdu se tiene
dvdu
=3u+vu
=3+ vu
dvdu
=3 u+vu Ecuación Homogénea
Sea z= v
u luego v=u z entonces
dvdu
=z+udzdu
z+udzdu
=3+z luego
dzdu
=3u Ecuación de Variable separables
19
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
dz=3duu entonces
∫ dz=3∫ duu
Resolviendo la integral
z =3 Ln|u|++ C Devolviendo el cambio: y+1 x−1
=3 Ln|x−1|+C
y=3 ( x−1) Ln|x−1|+C (x−1)−1
3 . { y '=2 x+ y−1
x+2y-1 quue pasa por el punto (0,2)¿
Solución:
y '=2x+ y−1x+2y-1
y '=2x+ y−1x+2y-1
Ecuación Reducible a Homogénea
Consideremosl1 :2 x+ y−1=0l2 : x+2y−1=0
Pendientes de las rectas:
ml1=−2ml2=:−1 /2 luego l1 se corta con l2
Puntos de Corte: (1/3,1/3) es el punto de corteConsideremos x=u+1 /3y=v+1/3 de aquí
dydx
=dvdu
dvdu
=2(u+1/3 )+v+1/3−1u+1/3+2v+2/3−1
=2 u+vu+2v
dvdu
=2 u+vu+2 v Ecuación Homogénea
dvdu
=2+ v
u
1+2vu
Sea z= v
u luego v=u z entonces
dvdu
=z+udzdu
z+udzdu
= 2+ z1+2 z luego
u dzdu
=2−2 z2
1+2 z Ecuación de Variable separables
1+2z
2-2z2dz=du
u entonces ∫ 1+2z
2-2z2dz=∫ du
u
20
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
∫ dz
2(1-z2 )+ 1
2∫−4 z
2(1-z2 )=∫ du
u
12
Ln|1−z1+z
|+ 12
Ln|2−2 z2|=Ln|ku|
12
Ln|1− v
u
1+vu
|+12
Ln|2−2( vu )
2
|=Ln|ku|
entonces
12
Ln|1− y−1/3
x+1/3
1+y−1/3x+1/3
|+12
Ln|2−2( y−1/3x+1/3 )
2
|=Ln|k ( x+1 /3 )|
12
Ln|1−− y+2/3x+ y
|+ 12
Ln|2−2( 3 y−13 x+1 )
2
|=Ln|k ( x+1/3)|
Como se quiere que pase por el punto (0,2)
12
Ln|−2+2/32 /3
|+12
Ln|2−2( 6−11 )
2
|=Ln|k3|
3 ( 12
Ln 2+ 12
Ln 48)=Ln|k| entonces e
3 (12
Ln 2+ 12
Ln 48)=k=m
12
Ln|1−− y+2/3x+ y
|+ 12
Ln|2−2( 3 y−13 x+1 )
2
|=Ln|m( x+1/3 )|
4.- y '= x+2 y−4
2x+y-5
Solución:
y '= x+2 y−42x+y-5
y '= x+2 y−42x+y-5
Ecuación Reducible a Homogénea
Consideremos
21
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
l1 : x+2 y−4=0l2 : 2x+ y−5=0
Pendientes de las rectas:
ml1=−1/2ml2=:−2 luego l1 se corta con l2
Puntos de Corte: (2,1) Consideremos x=u+2y=v+1 de aquí
dydx
=dvdu
dvdu
=u+2 v2 u+v
dvdu
=u+2 v2u+v Ecuación Homogénea
dvdu
=1+2
vu
2+vu
Sea z= v
u luego v=u z entonces
dvdu
=z+udzdu
z+udzdu
=1+2 z2+ z luego
u dzdu
=1+2 z2
2+ z Ecuación de Variable separables
2+z
1-z2dz=du
u entonces ∫ 2+z
1-z2dz=∫ du
u
∫ 3/3 dz1-z
+ 12∫
1/21+z
=∫ duu
-32
Ln(1−z )+ 12
Ln(1+z )=Ln(u)+C
-32
Ln(1− vu)+ 1
2Ln(1+ v
u)=Ln (u )+C
entonces
-32
Ln|1− y−1x−2
|+ 12
Ln|1+ y−1x−2
|=Ln|x−2|+C
5.- ( x-2y+1)dx+(4x-3y-6 )dy=0Solución
22
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
dydx
=2y-x−14x-3y-6 Ecuación Homogenea
Consideremos l1 :2 y−x−1=0l2 : 4x−3y−6=0
Pendientes de las rectas:
ml1=1/2ml2=:4 /3 luego l1 se corta con l2
Puntos de Corte: (3,2) Consideremos x=u+3y=v+2 de aquí
dydx
=dvdu
dvdu
=2(v+2 )−(u+3)−1
4(u+3 )−3( v+2)−6=2 v−u
4 u−3
dvdu
= 2 v−u4 u−3 v Ecuación Homogénea
dvdu
=(2 v
u−1)u
(4−3vu )u
=(2 v
u−1)
(4−3vu ) luego
dvdu
=(2 v
u−1)
(4−3vu )
Sea z= v
u luego v=u z entonces
dvdu
=z+udzdu
z+udzdu
=2 z−14−3 z luego
u dzdu
= 2 z−14−3 z
−z=3 z2−2 z−14−3 z Ecuación de Variable separables
4−3 z
3 z2−2 z−1dz=du
u entonces integrando ∫ 4−3 z
3 z2−2 z−1dz=∫ du
u
12
Ln (3 z2−2 z−1 )−34
Ln( 3 z−33 z+1 )=−Ln(u )+ Ln(C )
Ln (3 z2−2 z−1 )2−34
Ln( 3 z−33 z+1 )
3
=−Ln( Ku4
)+Ln(C )
Ln(3 ( vu )
2
−2( vu )−1)
2
−34
Ln( 3( vu )−3
3( vu )+1 )
3
=Ln| ku4
|
23
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
Ln(3 ( y−2x−3 )
2
−2( y−2x−3 )−1)
2
−34
Ln( 3( y−2x−3 )−3
3( y−2x−3 )+1 )
3
=Ln| k( x−3 )4
|
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEA
1) { y '= x -y-4 y+x-10
¿ 2 ) { y '=4 x+3y+8 -6y+8 x-7
¿
3 ) { y '= x+2y-4 y+2x-5
¿4.- ( x−2 y+1 ) dx+(4x−3 y−6 )dy=0
5.- Determine la solución de la ecuación diferencial y ' =2x+y-1
x+2y-1 que pasa por el punto (0,2) .
EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
Resolver la ecuación diferencial de segundo orden
1 . x y ' '= y' Ln| y '
x|
SOLUCION
x y' '= y ' Ln| y '
x| ecuación de segundo orden falta la y.
Sea w= y ' entonces w
'= y ' '
x w'= w Ln|wx| luego
w '=wx
Ln|wx|=w
x Lnw-
wx
Lnx
dwdx
=wx
Lnw-wx
Lnx
Sea z=w
x entonces w=x z de aquí
dwdx
=z+xdzdx
24
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
z+xdzdx
=zLnzx−zLnx entonces
xdzdx
=zLnxz−zLnx−z=zLnz−z
dzdx
=1x
( zLnz− z) ecuación de VS.
dzzLnz−z
=dxx ,
∫ dzz ( Lnz−1 )
=∫ dxx
∫ dzz ( Lnz−1 )
=∫ dxx
, Ln|(Lnz-1)|k=Lnx luego (Lnz-1 ) k=x ,de aquí
Lnz= xk+1 ,
Lnz= x
k+1 ,
luego
z=eexk
de aquí
wx=ee
xk
luego w=xeexk
dydx
=xeexk
luego
y=k xexk −e
xk +C
2.- y y ' '=( y ' )2+ y Solución:La ecuación es de segundo orden no tiene x
y y ' '=( y ' )2+ y
Sea y { '=P ¿ luego y { ' '=dP
dx=dP
dydydx
=PdPdy
¿ luego
y { ' '=PdPdy
¿
Sustituyendo en la ecuación dada y { y ' dP
dy=P2+ y ¿
de aquí y P
dPdy
=P2+ y
dPdy
=Py+1
dPdy
−Py=1
Ecuación lineal
Consideremos u=e
−∫ 1y
dy= 1
y
u=1y
1y
dPdy
− 1
y2
Py=1
y
( 1y
P)′
= 1y luego
1y
P=ln( y )+C1
25
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
P= y ln( y )+C1 y
dydx
= y ln ( y )+C1 y luego
∫ dyy ( ln ( y )+C1 )
=∫dx sea z=ln( y )+C1 luego
d z=d yy
Luego
∫ dyy ( ln ( y )+C1 )
=∫dx=∫ dzz
=ln( z )+C2=x
ln ( ln( y )+C1 )+C2=x
ln ( ln ( y )+C1 )=x−C
3.- y' '=( x+ y ' )2
Solución:La ecuación es de segundo orden no tiene y
y ' '=( x+ y ' )2
Sea y { '=P ¿ luego y { ' '=dP
dx¿
Sustituyendo en la ecuación dada y' '=( x+ y ' )2 queda {u'=( x+u )2¿
Sea z= x+u luego { z '=1+u'¿ y queda
{ z '=1+z2¿ o lo que es equivalente
dzdx
=1+z2
Ecuación de variables separables
dz
1+z2=dx
luego ∫ dz
1+z2=x+C1
Luego x+C1=arctg / z )=arctg( x+u )=arctg ( x+ y ' ) de donde y '=tan( x+C1 )−x
y=∫ ( tan (x+C1 )−x )dx=−Ln|cos ( x+C1 )|−x2
2∗C2
4.- y { y ' '+( y ' )2=y { y ¿'¿Solución.-
y { y ' '+( y ' )2=y { y ¿'¿ Falta la variable x
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿
26
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
y P dPdy
+P2= yP . yP ≠0 de aquí
dPdy
+ Py=1 ⇒dP
dy=1− P
y Ec. Lineal Homogénea
Sea u=P
y⇒ P= u y ⇒dP
dy=u+ y
dudy de aquí se tiene
u+ y dudy
=1−u⇒ y dudy
=1−2u , 1−2u≠0
dudy
=1−2uy
⇒ du1−2u
= dy y integrando se tiene
- 12
Ln|1−2u|= Lny + Ln C
- 12
Ln|1−2u|= Ln( y C ) luego
1 -2u= 1
( y C)2 ⇒1 -
1
(y C)2=2u=2
Py entonces
y2 (1 -
1
( y C)2 )=P=dydx
⇒
dx= 2 ( y C)2
y ( y C )2−1⇒
integrando x=C1 Ln(( yC )2−1)+C2
5.- y { y ' '=( y ' )2¿Solución
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
y dPdy
=P Ecuación de variables separables:
dPP
=dyy integrando se tiene
P= y C luego
dydx
= y C ⇒ dyy
=C dx luego Lny=Cx+K ⇒ y= eC x+ K
entonces
y=K1 ex
6.- { y ' '=√1+( y ' )2¿Solución
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
y { P'=√1+P2¿ Ecuación de variables separables:
P dP
√1+P2=dy
integrando se tiene
√1+P2= y +C luego 1+P2=( y+C1)2 luego P
2=( y+C1)2−1 entonces
P=±√( y+C1 )2−1 integrando se tiene a rcsen ( y+C1 )= x+C2 entonces
27
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
y= sen (x+C2 )−C1
7.-
dydx (1+( dy
dx )2)=d2 y
dx2
Solución
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
1+P2=dPdy Ecuación de variables separables:
dP
1+P2=dy
integrando se tiene
a rct P= y +C luego P=tg ( y+C1) luego
dydx
= tg ( y+C ) integrando
∫ dytg( y+C )
= ∫ dx luego
∫ cos( y+C )dysen ( y+C )
= ∫ dx luego Ln|sen ( y+C )|=x+C1
sen ( y+C ) =Kex de aquí y =arcsen (Kex )+C
8.- y2 d
2 ydx2
= y '
Solución
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
P y2 dPdy
=P Ecuación de variables separables:
d P =dy
y2 integrando se tiene
P= - y-1+C luego P=− 1
y+C
luego
dydx
= C y-1
y integrando
∫ yC y-1
dy=dx de aquí
1C
y + 1
C2 ln|Cy-1 |=x+K
9.- { y ' (1+( y ' )2= y ' '¿
Solución
28
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
P (1+P2)=P P' , Z≠0 Ecuación de variables separables: 1+P2=P ' integrando se tiene
arctg P= -y +C luego arctg y '= y+C luego
dydx
= tg ( y+C ) integrando
∫ dytg ( y+C )
=x+C1 de aquí ln|sen ( y+C1 )|=x+K luego y=arcsen Kex+C1
10.- y { y ' '=( y ' )2+ y '¿Solución
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
y PdPdy
=P2+P=P( P+1 ) P≠0 Ecuación de variables separables:
y dPdy
=P+1 integrando se
tiene Ln|P+1|=Lny+LnC=Ln|yC| luego P+1== y+C1
dydx
= yC1 de aquí ln|(yk )|=C1 x luego yK= K1 ex
11.- {2 { y¿¿ ' '+ y '=y { y¿¿ ' ¿ ¿¿¿
Solución
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
2 PdPdy
+P= y P P≠0 Ecuación de variables separables:
2 dPdy
+1= y integrando se tiene
P=( y−1)2
4+ C
2 ⇒
dydx
=( y−1 )2
4+ C
2 ⇒
separando variables
∫ dy
( y−1 )2
4+(√C
2 )2=∫ dx ⇒
integrando
29
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
2C1
arctg ( √22√C1
( y−1)) √22√C1
=x+C2 ⇒ √22√C1
( y−1)=tg2√C1
√2⇒
y= 2√2
tg (( x−1 )√2 ) , y (1)= y '(1 )=1⇒
y '=2√C1
√2sec2 (Cx ) , y (1)= y '(1 )=1⇒ C=1
12.- { y ' '+ y' √ y2−1=0¿Solución:
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '= P
dPdy
¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
PdPdy
+P√ P2−1=0 Ecuación de variables separables: P (P'+√ P2−1)=0 ⇒P'+√P2−1=0
Entonces
dPdy
=−√P2−1 ⇒dP
√P2−1=− dy
haciendo P=senu ⇒dP=cosudu ⇒
∫ du=-y+C1⇒u=− y+C1 de aquí se tiene
arcsenP=− y+C1⇒ P=sen (− y+C1 )⇒dydx
=sen (− y+C1 )
∫ dysen (− y+C1 )
=∫dx+C2⇒Ln|cosc (C1− y )+ctg(C1− y )|=x+C2
cosc (C1− y )+ctg(C1− y )=C3 ex Ln||=x+C2
13.- { y ' ' x− y '=x2ex ¿ con las condiciones y (1)=1 , { y '(1 )= 0¿
Solución:Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '=P' ¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
P ' x−P=x2ex Ecuación diferencial lineal
{ P'−1x
P=xex ¿
Entonces el factor integrante μ (x )=e
−∫ 1x
dx=e−Lnx=1
x luego μ (x )=1
x
1x
P '− 1
x2P=e x
luego ( 1
x P)
′
=ex integrando se tiene
1x
P=ex +C1de aquí se tiene
30
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
P=xe x +xC1 sustituyendo el valor de P nos queda dydx
= xex +xC1 integrando tenemos
∫ dy=∫ ( xex +xC1)dx resultando y=xex−ex+
C1
2x2+C2
Haciendo uso de las condiciones y (1)=1 , { y '(1 )= 0¿ se tiene
1=e−ex+C1
21+C2 entonces C1+2C2=2
y '=xex+ xC1 como { y ' (1)= 0¿ nos queda C1=−e
La solución es
y=xex−ex− e2
x2+1+ e2
14.- y' '− y '=x ex
Solución:
y ' '− y '=x ex ecuación de segundo orden donde falta “y”
Sea y { '=P ⇒ { y ¿' '=P' ¿ luego la ecuación diferencial se transforma en
P '−1x
P=x ex
Ecuación diferencial lineal
Entonces el factor integrante μ (x )=e−∫dx=e−x
luego μ (x )=e− x
e-x P'−e−x P=e x luego (e-x P )′=ex integrando se tiene e
-x P=e x +C1de aquí se tiene
P=e2 x +C1 ex sustituyendo el valor de P nos queda ∫ dy=∫ e2 x dx +∫C1 e x dx integrando tenemos
y=12
e2 x+C1 ex+C2
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
13.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden.
:a) y { y ' '−( y ' )2=0¿ b) y2 y ' '= y '
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PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
c) x { y ' '= y ' Ln
y'
x¿
d) { y ' (1+( y ' )2= y ' '¿e) x { y ' '+2 y '= 6 x¿ f) x { y ' '= y '¿
g) y { y ' '+( y ' )2= y y ' ¿ h) y { y ' '+( y ' )2= y y ' ¿
i) { y ' '=2 y ( y ' )3¿ j) y y ' '=( y ' )2+ y { '¿
32
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
ALGUNAS APLICACIONES GEOMETRICASEJERCICIOS RESUELTOS DE CURVAS ORTOGONALES
1-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ke3 x k∈ RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
Se tiene y=2+ke3 x k∈ R de aquí k=( y−2)e−3 x
y '=3 k e3 x luego y'=3( y-2 )e-3x e3 x de aquí y
'=3( y-2 )
La ecuación ortogonal resulta: y '=-1
3(y-2 )
Luego ∫( y−2 )dy=∫ dx
3 integrando
( y−2 )2
2= x
3+C
luego x+C=
3 ( y−2)2
2
GRAFICAS
2-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+3 y2=k k∈R
Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
Se tiene x2+3 y2=C C∈R de aquí 2 x+6 y { y '=0 ¿entonces x+3 y { y '=0 ¿de aquí 3 y { y '=−x ¿
de aquí y '=− x
3 y
La ecuación ortogonal es y '=3 y
x
así
dyy
=3 dxx
integrando resulta
Ln( y )=3 Ln(cx )= Ln(cx )3 de aquí y=K x3
GRAFICAS:
33
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
3-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+ y2=k k∈ R
Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
Se tiene x2+ y2=k k∈ R familia de circunferencias de aquí 2 x+2 y { y '=0 ¿entonces
x+ y { y '=0 ¿de aquí y { y '=−x ¿de aquí y '=− x
y
La ecuación ortogonal es y '= y
x
así
dyy
= dxx
integrando resulta Ln( y )=Ln(cx ) de aquí y=K x
GRAFICAS:
4-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=Ln|k x2| k∈RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
Se tiene y=Ln|k x2| k∈R familia de logaritmos, de aquí y '=2
x
La ecuación ortogonal es y '=− x
2
así dy =− x dx
2
integrando resulta y=− x2
4+ C
.GRAFICAS:
34
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
5-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ce3 x Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
Se tiene y=2+ce3 x familia de exponenciales donde c=( y−2 )e−3 x , de aquí y'=3 c e3 x ,. así
y '=3( y−2) . La familia ortogonal es y '=− 1
3( y−2 )
3( y-2)dy =−dx integrando resulta
32(y-2 )2=−x
.de aquí 3( y-2)2+2 x= C1 luego
( y-2)2
1/3+ x
1/2= C1
GRAFICAS:
6-.Hallar los valores de K para los cuales las ecuaciones y=c x2 +K sean las trayectorias ortogonales
de las ecuaciones. x2+2 y2− y=C2
Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
Se tiene y=c x2 +K , donde c = y−K
x2 , de aquí
dydx
=2( y−K
x2 ) x,. así
dydx
=2 xy−2 xk
x2. Por otro lado
2 x+4 ydydx
− y '=0 ,
y '=− 2x4 y−1
como se pide que sean ortogonales:
( 2xy−2xk
x2 )( 2 x4 y−1 )=1
de aquí
(2 y−2k )2=4 y−1 luego k =1
4 .Entonces y=c x2 + 1
4
son las trayectorias ortogonales a las ecuaciones
x2+2 y2− y=C2 GRAFICAS:
35
PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLES SEPARABLES
1) dydx
= y−1
x2+1 2 ) dx=( x−2 )sentdt3 )
dydx
=(1+ y2 )(x2−1)
4 ) (ex+1 ) dydx
= y (1−e x)5 ) 2 sen ycos x dx+cos y senx dy=0
6 ) dydx
=y (1−e x)
1+e x
7 ) dydx
=xy+x−2 y−2 ; y (0)=2
ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES
.dydx
= f (ax+by+c ) b≠0 Se hace u=ax+by+c
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) dydx
=(x+ y+1 )2
2 ) dydx
= 1
√x+ y , y (0 )=1
3 ) dydx
=cos( x+ y+11−cos ( x+ y+1)
,
ECUACION DIFERENCIL LINEAL dydx
+P (x ) y=f ( x )
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Lineales
1.- (1+ex ) dy
dx+ex y=0
2.y '−2y
x-1=( x−1 )3
3.- x { y '−2y=x3 , y (1)=2¿
4.-cos2( x )sen ( x )dy+( y cos3( x )−1)dx=0 , y ( π
2 )=1
ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULLI
1.-
dydx
−3x
y=x3 y2/5 ; y (1)=322.-
y y '= y2
x− x+1
2, x≠0
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3.- ex ( y+2 y2(1−ex ))dx−( ex−1 )dy=0 4.- y y '= y2
x− x+1
2, x≠0
5.-
dydx
= y− x e- 2 x y3
6.- y y '= y2
x+x-1
2 y (1)= 1
7.- ex( y−3 y2 (ex+1 )2)dx+( ex+1)dy=0 8.-
3 t { x ' -2x= t3
x2¿
9.-x y'+2 y=2 y1/2 x . sec2( x ) , 10.- 3 t {x '=2 x+ t3
x2¿
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEA
Resolver las ecuaciones diferenciales
1) x y3 y '=2 y4+x4 2 ) (x - ycos( yx ))dx+xcos ( y
x )dy x≠0
3 ) 2 y x { y ' cos2( yx )dx=2 y2cos2( y
x )+xysen2( yx )¿
4 ) ( x− yLn|y|+ yLn|x|)dx+x [ Ln|y|−Ln|x|]|dy=0|
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEA
Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferencial reducibles homogéneas
1.- ( y−2 x+2 ) dx+(3x−4 y−3 )dy=0 2.-(− y−3 x+2 ) dx+( x−1 )dy=0
3.-, y '=6 x-3 y + 1
2 x - y + 2 4.- (2 x− y+1 ) dx+(3x−4 y−6 )dy=0
5.-( x+ y ) dx −( x-y )dy=0 ; y (1 )=0
EJERCICIOS RESUELTOS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
1.-x y' '= y ' Ln| y '
x|
2.- y y ' '=( y ' )2+ y 3.-y ' '=( x+ y ' )2
4.-x' '+x=0 5.-
x y' '=Lne y '
x x>0
6.-dydx
( y+( y ' )2)= y ' '+y dydx
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PRACTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDGAR CABELLO GIL MA 2115
7.-y ' '+ 1
( y ' )2=0
8.- y { y ' '+( y ' )2=y { y ¿'¿ 9 y { y ' '=( y ' )2¿
10.- { y ' '=√1+( y ' )2¿ 11.- - { y ' '=√1+( y ' )2¿ 12 {2 { y¿¿ ' '+ y '=y { y¿¿ ' ¿ ¿¿¿
13.- - { y ' '+ y' √ y2−1=0¿ 14.- y' '− y '=x ex
9.- y ' '= y { '(1+( y ' )2¿
13.- { y ' ' x− y '=x2ex ¿ con las condiciones y (1)=1 , { y '(1 )= 0¿
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EJERCICIOS RESUELTOS DE CURVAS ORTOGONALES
1-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ke3 x k∈ RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
GRAFICAS
2-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+3 y2=k k∈R
Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓN
GRAFICAS:
3-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. x2+ y2=k k∈ R
Represente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓNGRAFICAS:
4-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=Ln|k x2| k∈RRepresente ambas familias en un mismo plano SOLUCIÓNGRAFICAS:
5-.Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales de las ecuaciones. y=2+ce3 x Represente ambas familias en un mismo plano GRAFICAS:
6-.Hallar los valores de K para los cuales las ecuaciones y=c x2 +K sean las trayectorias ortogonales
de las ecuaciones. x2+2 y2− y=C2
Represente ambas familias en un mismo plano
GRAFICAS:
7-. Una ecuación cartesiana y=f ( x ) pasa por el origen; por un punto arbitrario de la curva en el primer cuadrante se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados que forman un rectángulo con ellos. La curva divide al rectángulo en dos regiones A y B, A es la región superior y B la región inferior.
Si el área de A es n veces el área de B e y=f ( x ) es una función creciente en el primer cuadrante. Hallar f ( x )
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