Post on 07-Mar-2021
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
DefiníciaLineárna diferenciálna rovnica 1. rádu je diferenciálna rovnicatvaru
y′ + p(x)y = q(x)
kde p(x), q(x) sú funkcie jednej reálnej premennej.
Pri riešení rovnice tohto typu použijeme substitúciu y = u · v (pozn.u, v sú funkcie premennej x). Potom y′ = u′ · v + u · v′ adosadením do pôvodnej diferenciálnej rovnice máme
u′ · v + u · v′ + p(x)u · v = q(x)
v(u′ + p(x)u) + u · v′ = q(x) (�)
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Funkciu u zvolíme tak, aby platilo
u′ + p(x)u = 0
čo je diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými:
dudx
+ p(x)u = 0
dudx
= −p(x)u
duu
= −p(x) dx∫duu
= −∫p(x) dx
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Tedaln |u| = −
∫p(x) dx+ C
|u| = e−∫p(x) dx+C
u = Ke−∫p(x) dx
Získanú funkciu u dosadíme späť do (�) (po dosadení člen s vvypadne), dostávame tak opäť rovnicu so separovateľnýmipremennými:
u(x) · v′ = q(x)
u(x)dvdx
= q(x)
dv =q(x)u(x)
dx
v =∫
q(x)u(x)
dx =∫
q(x)Ke−
∫p(x) dx
dx =1K
∫q(x)e
∫p(x) dx dx+ L
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Teda riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice bude
y = u · v = Ke−∫p(x) dx ·
(1K
∫q(x)e
∫p(x) dx dx+ L
)=
e−∫p(x) dx
(∫q(x)e
∫p(x) dx dx+K · L
)Súčin konštánt KL môžeme nahradiť novou konštantou M .
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Príklad
Riešte diferenciálnu rovnicu xy′ + (1 + x)y = x2.
Ide o lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu, použijeme tedasubstitúciu y = u · v; po vyjadrení y′ = u′v + uv′ a dosadení dorovnice dostávame
x(u′v + uv′) + (1 + x)uv = x2
v(xu′ + (1 + x)u) + xuv′ = x2
1) Riešime najprv rovnicu xu′ + (1 + x)u = 0:
xdudx
+ (1 + x)u = 0
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Príklad (pokr.)
xdudx
= −(1 + x)u
duu
= −1 + x
xdx
ln |u| = −∫
1 + x
xdx = −
∫ (1x
+ 1)
dx = −(ln |x|+ x) + C
|u| = e−(ln |x|+x)+C = Ke−(ln |x|+x) = Ke−xe− ln |x| =
= Ke−xeln |x|−1
= Ke−x|x|−1 = Ke−x
x
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Príklad (pokr.)
2) Ďalej riešime rovnicu xuv′ = x2:
x ·Ke−x
x· dvdx
= x2
dv =1K· x
2
e−xdx =
1Kx2ex dx
v =∫
1K· x2ex dx =
1K· ex(x2 − 2x+ 2) + L
Teda
y = u · v = Ke−x
x· ( 1Kex(x2 − 2x+ 2) + L) =
= Ke−x
x· 1Kex(x2 − 2x+ 2) +KL · e
−x
x=x2 − 2x+ 2
x+M
1xex
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Iný spôsob riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu jemetóda variácie konštanty, kde najprv riešime rovnicuy′ + p(x)y = 0:
dydx
= −p(x)y
dyy
= −p(x) dx
ln |y| =∫
dyy
= −∫p(x) dx+ C
|y| = e−∫p(x) dx+C
y = Ke−∫p(x) dx
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
Riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice budeme hľadať v tvare
y = K(x)e−∫p(x) dx
kde K(x) je nejaká funkcia premennej x. Pre deriváciu y′ platí
y′ =(K(x)e−
∫p(x) dx
)′=
= K ′(x) · e−∫p(x) dx +K(x) · e−
∫p(x) dx · (−p(x))
Ak toto vyjadrenie y′ dosadíme do pôvodnej rovnice, dostaneme
K ′(x)e−∫p(x) dx−K(x)p(x)e−
∫p(x) dx+p(x)K(x)e−
∫p(x) dx = q(x)
tedaK ′(x)e−
∫p(x) dx = q(x)
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu
K ′(x) =q(x)
e−∫p(x) dx
= q(x)e∫p(x) dx
z čoho máme
K(x) =∫q(x)e
∫p(x) dx dx+M
Teda riešenie pôvodnej rovnice je
y = e−∫p(x) dx
(∫q(x)e
∫p(x) dx dx+M
)
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Bernoulliho diferenciálne rovnice
DefiníciaBernoulliho diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica tvaru
y′ + p(x)y = q(x)yn
kde p(x), q(x) sú funkcie jednej reálnej premennej a n 6= 0, 1.
Pri riešení rovnice tohto typu obe strany rovnice vydelíme yn, čímdostaneme
y′
yn+p(x)yn−1
= q(x)
Ďalej použijeme substitúciu z =1
yn−1; z toho derivovaním
dostávame z′ = (y1−n)′ = (1− n)y−n · y′ = (1− n)y′
yn, teda
y′
yn=
z′
1− n. Po dosadení dostávame
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Bernoulliho diferenciálne rovnice
z′
1− n+ p(x)z = q(x)
z′ + (1− n)p(x)z = (1− n)q(x)
čo je lineárna diferenciálna rovnica. Jej riešenie je
z = e−(1−n)∫p(x) dx
(∫(1− n)q(x)e
∫(1−n)p(x) dx dx+K · L
)=
= e(n−1)∫p(x) dx
(∫(1− n)q(x)e
∫(1−n)p(x) dx dx+M
)Z rovnosti yn−1 =
1zpotom dostaneme
y =(
1z
) 1n−1
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Bernoulliho diferenciálne rovnice
Príklad
Riešte diferenciálnu rovnicu y′ + xy = x3y3.
Je to Bernoulliho diferenciálna rovnica pre n = 3, po vydelení
oboch strán rovnice y3 máme rovnicuy′
y3+
x
y2= x3. Použijeme
substitúciu z =1y2
, z čoho derivovaním máme z′ =−2y3y′ a
y′
y3= −z
2. Po dosadení dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu 1.
rádu:
−z′
2+ xz = x3
z′ − 2xz = −2x3
Položme z = u · v; potom z′ = u′v + uv′ a
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Bernoulliho diferenciálne rovnice
Príklad (pokr.)
u′v + uv′ − 2xuv = −2x3
v(u′ − 2xu) + uv′ = −2x3
1) Riešime najprv diferenciálnu rovnicu u′ − 2xu = 0:
dudx
= 2xu
duu
= 2x dx
ln |u| =∫
duu
=∫
2x dx = x2 + C
|u| = ex2+C
u = Kex2
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Bernoulliho diferenciálne rovnice
Príklad (pokr.)
2) Ďalej riešime diferenciálnu rovnicu uv′ = −2x3:
Kex2 dvdx
= −2x3
dv = − 2K· x
3
ex2 dx
v = − 2K
∫x3
ex2 dx
Platí (overíme napr. derivovaním)∫−2x3
ex2 dx =1 + x2
ex2 .
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Bernoulliho diferenciálne rovnice
Príklad (pokr.)
Z toho dostávame
z = u · v = ex2
(∫−2x3e−x
2dx+M
)=
ex2((1 + x2)e−x
2+M
)= 1 + x2 +Mex
2
Keďže z =1y2
, je y =1√za tak dostávame, že riešenie pôvodnej
Bernoulliho diferenciálnej rovnice je
y =1√
1 + x2 +Mex2
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu
DefiníciaLineárna diferenciálna rovnica 2. rádu je diferenciálna rovnica
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x)
Ak r(x) = 0, tak rovnica je bez pravej strany. Ak funkciep(x), q(x) sú konštantné, daná rovnica sa nazýva lineárnadiferenciálna rovnica 2. rádu s konštantnými koeficientami.
VetaNech y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 je lineárna diferenciálna rovnica 2.rádu bez pravej strany a nech y1, y2 sú jej riešenia. Potom ajfunkcia y = C1y1 + C2y2 (kde C1, C2 sú konštanty) je riešenímtejto diferenciálnej rovnice.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu
Dôkaz: Ak y1, y2 sú riešenia danej rovnice, taky′′1 + p(x)y′1 + q(x)y1 = 0, y′′2 + p(x)y′2 + q(x)y2 = 0. Položmey = C1y1 + C2y2. Potom y′ = C1y
′1 + C2y
′2, y
′′ = C1y′′1 + C2y
′′2 a
po dosadení do danej diferenciálnej rovnice dostávame
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = C1y′′1 + C2y
′′2 + p(x)(C1y
′1 + C2y
′2)+
q(x)(C1y1 + C2y2) = C1(y′′1 + p(x)y′1 + q(x)y1)+
C2(y′′2 + p(x)y′2 + q(x)y2) = C1 · 0 + C2 · 0 = 0.
Teda y je tiež riešenie.
DefiníciaNech funkcie y1 = y1(x), y2 = y2(x) sú definované na nejakomintervale I. Potom y1, y2 sú lineárne závislé, ak existuje konštantak taká, že pre všetky x ∈ I je y1(x) = k · y2(x). Funkcie y1, y2 súlineárne nezávislé, ak nie sú lineárne závislé.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu
VetaNech y1, y2 sú dve lineárne nezávislé riešenia lineárnej diferenciálnejrovnice y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 2. rádu bez pravej strany. Potomkaždé riešenie tejto rovnice sa dá vyjadriť v tvare y = C1y1 + C2y2.
VetaNech y∗ je riešenie diferenciálnej rovnice y′′ + p(x)y′ + q(x)y= r(x) 2. rádu a y1, y2 sú dve lineárne nezávislé riešenia lineárnejdiferenciálnej rovnice y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 2. rádu bez pravejstrany. Potom všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou sa dávyjadriť v tvare y = C1y1 + C2y2 + y∗.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami
DefiníciaCharakteristická rovnica lineárnej diferenciálnej rovnice
y′′ + Py′ +Qy = 0 (�)
2. rádu s konštantnými koeficientami bez pravej strany jekvadratická rovnica z2 + Pz +Q = 0.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami
Veta
Nech z2 + Pz +Q = 0 je charakteristická rovnica diferenciálnejrovnice (�).
1 Ak má táto rovnica dva rôzne reálne korene α, β, takvšeobecné riešenie rovnice (�) je
y = C1eαx + C2e
βx.
2 Ak má táto rovnica dvojnásobný reálny koreň ω, tak všeobecnériešenie rovnice (�) je
y = eωx(C1 + C2x).
3 Ak má táto rovnica dva komplexne združené komplexné koreneκ+ λi, κ− λi, tak všeobecné riešenie rovnice (�) je
y = eκx(C1 cos(λx) + C2 sin(λx)).IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Ak je daná lineárna diferenciálna rovnica y′′ + Py′ +Qy = r(x) 2.rádu s konštantnými koeficientami s pravou stranou, tak jejvšeobecné riešenie je y = C1y1 + C2y2 + y∗, kde y1, y2 sú riešeniarovnice bez pravej strany (získané pomocou koreňov jejcharakteristickej rovnice) a y∗ je nejaké partikulárne riešenie rovnices pravou stranou. V prípade, že pravá strana r(x) má špeciálnytvar, y∗ sa dá nájsť ľahko - predpokladáme, že y∗ je funkciarovnakého "typu" (najčastejšie sa uvažujú polynómy, exponenciálnefunkcie, goniometrické funkcie a ich vzájomné súčiny), ako funkciana pravej strane a obsahuje niekoľko neznámych koeficientov.Potom určíme derivácie y∗′, y∗′′, dosadíme do danej diferenciálnejrovnice a z porovnania neznámych koeficientov na ľavej strane soznámymi zodpovedajúcimi koeficientami na pravej strane (spôsobporovnania závisí od typu r(x)) zostavíme sústavu lineárnych rovnícpre neznáme koeficienty; jej riešením získame úplné vyjadrenie y∗.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Výnimočný prípad nastáva, ak funkcia r(x) je už riešenímdiferenciálnej rovnice y′′ + Py′ +Qy = 0 bez pravej strany: vtedypo dosadení y∗, y∗′ a y∗′′ do diferenciálnej rovnice nedokážemeurčiť hodnoty neznámych koeficientov. V takomto prípade uvedenýpostup zopakujeme s tým, že predpokladaný tvar pre y∗
vynásobíme s x resp. s x2 (činiteľ závisí povahe riešenia rovnicebez pravej strany).
1. r(x) je polynóm n-tého stupňa.Partikulárne riešenie y∗ hľadáme v tvare
y∗ = A0 +A1x+A2x2 + · · ·+Anx
n.
Konštanty A0, A1, . . . , An vypočítame tak, že z predpokladanéhotvaru y∗ vyjadríme
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
y∗′ = A1 + 2A2x+ · · ·+ kAkxk−1 + · · ·+ nAnx
n−1,y∗′′ = 2A2 +6A3x+ · · ·+k(k− 1)Akxk−2 + · · ·+n(n− 1)Anxn−2
a dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice; po dosadení je ľaváaj pravá strana rovnice rovná nejakému polynómu stupňa n, možnoteda porovnať ich koeficienty a dostať tak sústavu lineárnych rovnícpre A0, A1, . . . , An.
Ak je jeden z koreňov charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnicebez pravej strany rovný 0, ale nie je dvojnásobný, tak uvedenýmpostupom nezískame hodnoty A0, A1, . . . , An. V takomto prípadetreba y∗ hľadať v tvare
y∗ = x(A0 +A1x+A2x2 + · · ·+Anx
n).
Ak by charakteristická rovnica mala dvojnásobný koreň rovný 0, taky∗ treba hľadať v tvare
y∗ = x2(A0 +A1x+A2x2 + · · ·+Anx
n).IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Príklad
Riešte diferenciálnu rovnicu y′′ + 6y′ + 9y = 3x2 + 1.
Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 + 6z + 9 a má dvojnásobný koreň −3. Preto dvojicalineárne nezávislých riešení je y1 = e−3x, y2 = xe−3x. Pravá stranapôvodnej diferenciálnej rovnice je polynóm druhého stupňa,partikulárne riešenie budeme teda hľadať v tvare
y∗ = A0 +A1x+A2x2
Potom y∗′ = A1 + 2A2x, y∗′′ = 2A2 a po dosadení dostávame
2A2 + 6(A1 + 2A2x) + 9(A0 +A1x+A2x2) = 3x2 + 1
9A2x2 + x(12A2 + 9A1) + (2A2 + 6A1 + 9A0) = 3x2 + 1
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Príklad (pokr.)
Z porovnania koeficientov na ľavej a pravej strane vyplýva
9A2 = 312A2 + 9A1 = 0
2A2 + 6A1 + 9A0 = 1
⇔A2 = 1
3A1 = −4
9A0 = 1
3
Teda všeobecné riešenie danej diferenciálnej rovnice je
y = e−3x(C1 + C2x) +13− 4
9x+
13x2.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
PríkladRiešte diferenciálnu rovnicu y′′ − 9y′ = 3x+ 2.
Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 − 9z = 0 a má dva rôzne reálne korene 0, 9. Pretodvojica lineárne nezávislých riešení je y1 = e0x = 1, y2 = e9x. Pravástrana pôvodnej diferenciálnej rovnice je polynóm prvého stupňa;vzhľadom na to, že jeden z koreňov charakteristickej rovnice je 0,partikulárne riešenie budeme hľadať v tvare
y∗ = x(A0 +A1x) = A0x+A1x2
Potom y∗′ = A0 + 2A1x, y∗′′ = 2A1 a po dosadení dostávame
2A1 − 9(A0 + 2A1x) = 3x+ 2
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Príklad (pokr.)
(2A1 − 9A0)− 18A1x = 3x+ 2
z čoho máme A1 = −16 , A0 = − 7
27 , y∗ = x
(− 7
27 −16x). Teda
všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je
y = C1 + C2e9x − 7
27x− 1
6x2.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
2. r(x) = P (x)ekx je súčin polynómu n-tého stupňa aexponenciálnej funkcie so základom e.Partikulárne riešenie y∗ hľadáme v tvare
y∗ = ekx(A0 +A1x+ · · ·+Anxn).
Konštanty A0, A1, . . . , An vypočítame tak, že z predpokladanéhotvaru y∗ vyjadríme y∗′, y∗′′ (pomocou vzťahu pre derivovaniesúčinu) a dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice; po dosadeníje ľavá aj pravá strana rovnice rovná súčinu ekx a nejakéhopolynómu. Možno teda obe strany rovnice vydeliť členom ekx aporovnať koeficienty vzniknutých polynómov; dostaneme taksústavu lineárnych rovníc pre A0, A1, . . . , An.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Ak ekx je už jedným z riešení diferenciálnej rovnice bez pravejstrany (to nastáva v prípade, že k je koreňom charakteristickejrovnice), tak uvedeným postupom nezískame hodnotyA0, A1, . . . , An. V takomto prípade treba y∗ hľadať v tvare
y∗ = x(ekx(A0 +A1x+ · · ·+Anxn)).
V prípade, že k je dvojnásobný koreň charakteristickej rovnice,treba y∗ hľadať v tvare
y∗ = x2(ekx(A0 +A1x+ · · ·+Anxn)).
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Príklad
Riešte diferenciálnu rovnicu y′′ + 9y = e2x(4 + x).
Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 + 9 = 0 a má dva rôzne komplexné korene 3i,−3i.Preto dvojica lineárne nezávislých riešení jey1 = e0x cos(3x) = cos(3x), y2 = e0x sin(3x) = sin(3x). Pravástrana pôvodnej diferenciálnej rovnice je súčinom exponenciálnejfunkcie a polynómu prvého stupňa a 2 z exponentu na pravej stranenie je koreňom charakteristickej rovnice; partikulárne riešeniebudeme teda hľadať v tvare
y∗ = e2x(A0 +A1x).
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Príklad (pokr.)
Potom y∗′ = 2e2x(A0 +A1x) + e2x ·A1 = e2x(2A0 +A1 + 2A1x),y∗′′ = 2e2x(2A0 +A1 + 2A1x) + e2x(2A1) =4e2x(A0 +A1 +A1x) a po dosadení dostávame
4e2x(A0 +A1 +A1x) + 9e2x(A0 +A1x) = e2x(4 + x)
4A0 + 4A1 + 4A1x+ 9A0 + 9A1x = 4 + x
(13A0 + 4A1) + 13A1x = 4 + x
z čoho máme 13A1 = 1, teda A1 = 113 a 13A0 + 4A1 = 4, teda
A0 = 48169 . Teda všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je
y = C1 sin(3x) + C2 cos(3x) + e2x(
48169
+113x
).
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
3. r(x) = ekx(p cos(sx) + r sin(sx)) je súčin exponenciálnejfunkcie so základom e a lineárnej kombinácie goniometrickýchfunkcií sin, cos argumentu sx.Partikulárne riešenie y∗ hľadáme v tvare
y∗ = ekx(A0 cos(sx) +A1 sin(sx)).Konštanty A0, A1, . . . , An vypočítame tak, že z predpokladanéhotvaru y∗ vyjadríme y∗′, y∗′′ (pomocou vzťahu pre derivovaniesúčinu) a dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice; po dosadeníje ľavá aj pravá strana rovnice rovná súčinu ekx a nejakého výrazuobsahujúceho sin(sx), cos(sx). Možno teda obe strany rovnicevydeliť členom ekx a porovnať koeficienty pri sin(sx) aj cos(sx) naoboch stranách (aby sa dosiahla rovnosť pre všetky x z nejakéhointervalu, koeficienty pri zodpovedajúcich si goniometrickýchfunkciách musia byť tie isté); dostaneme tak sústavu lineárnychrovníc pre A0, A1.
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
PríkladRiešte diferenciálnu rovnicu y′′ + 4y′ + 4y = sin(2x).
Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany je z2 + 4z + 4 = 0 a má jeden dvojnásobný koreň −2. Pretodvojica lineárne nezávislých riešení je y1 = e−2x, y2 = xe−2x. Pravástrana pôvodnej diferenciálnej rovnice je goniometrická funkciaargumentu 2x; partikulárne riešenie budeme teda hľadať v tvare
y∗ = A cos(2x) +B sin(2x).
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Príklad (pokr.)
Potom y∗′ = 2A(− sin(2x)) + 2B cos(2x),y∗′′ = −4A cos(2x) + 4B(− sin(2x)) a po dosadení dostávame
−4A cos(2x) + 4B(− sin(2x)) + 4(2A(− sin(2x))
+2B cos(2x)) + 4(A cos(2x) +B sin(2x)) = sin(2x)
sin(2x)(−8A−3B)+cos(2x)(2B) = sin(2x) = 1·sin(2x)+0·cos(2x)
z čoho máme 2B = 0, teda B = 0 a −8A− 3B = 1, tedaA = −1
8 . Teda všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je
y = C1e−2x + C2xe
−2x − 18
cos(2x).
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientamimožno tiež riešiť metódou variácie konštánt: najprv nájdemevšeobecné riešenie y = C1y1 + C2y2 diferenciálnej rovnice bezpravej strany. Budeme ďalej predpokladať, že všeobecné riešeniepôvodnej diferenciálnej rovnice možno uvažovať v tvare
y = C1(x)y1 + C2(x)y2
kde C1(x), C2(x) sú nejaké funkcie. Potom
y′ = C ′1(x)y1 + C1(x)y′1 + C ′2(x)y2 + C2(x)y′2
Funkcie C1(x), C2(x) budeme voliť tak, aby platila podmienka
C ′1(x)y1 + C ′2(x)y2 = 0
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Pri takejto voľbe C1(x), C2(x) je
y′ = C1(x)y′1 + C2(x)y′2
z čoho máme
y′′ = C ′1(x)y′1 + C1y
′′1 + C ′2(x)y
′2 + C2y
′′2
Po dosadení do pôvodnej diferenciálnej rovnice dostávame
y′′ + Py′ +Qy = C ′1(x)y′1 + C1(x)y′′1 + C ′2(x)y
′2 + C2(x)y′′2+
P (C1(x)y′1 + C2(x)y′2) +Q(C1(x)y1 + C2(x)y2) =
C1(x)(y′′1+Py′1+Qy1)+C2(x)(y′′2+Py′2+Qy2)+C ′1(x)y′1+C
′2(x)y
′2 =
C1(x)·0+C2(x)·0+C ′1(x)y′1+C
′2(x)y
′2 = C ′1(x)y
′1+C
′2(x)y
′2 = r(x)
IMA1
c©Tomáš Madaras 2009
Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnýmikoeficientami s pravou stranou
Dostávame takto sústavu dvoch lineárnych rovníc premennýchC ′1(x), C
′2(x):
C ′1(x)y1 + C ′2(x)y2 = 0C ′1(x)y
′1 + C ′2(x)y
′2 = r(x)
Jej riešením získame derivácie C ′1(x), C′2(x) a ich integráciou aj
hľadané funkcie C1(x), C2(x).
IMA1