Post on 05-Apr-2015
Branch and Bound 1
Branch and Bound
Das Verfahren zur Lösung von IP-Problemen
Idee * Entscheidungsbaum * Lösungen
Branch and Bound 2
Branching
Branching = Verzweigen Eine sinnvolle Verzweigung muss ein im
Prinzip in einfacher zu lösende Probleme erfolgen.
Beim Verzweigen durch Problemteilung darf keine relevante Lösung verloren gehen.
Branch and Bound 3
Bounding
Bounding = Beschränken Für Max-Probleme sucht man obere
Schranken Für Min-Probleme untere Schranken Das relaxierte Problem liefert immer eine
obere bzw. untere Schränke
Branch and Bound 4
Entscheidungsbaum
Branch and Bound 5
Abbruchkriterien (1)
FC1: L(LPj) = Ø → L(IPj) = Ø
FC2: Lösung des LPj ist schlechter als die beste bisher bekannte Lösung des IP:zj ≤ zlfd
FC3: Falls die Lösung von LPj eine Lösung des IPj ist, wird geprüft, ob sie besser ist als die beste bekannte Losung: zj > zlfd → zlfd*= zj
Branch and Bound 6
Abbruchkriterien (2)
Branch and Bound 7
Branch and Bound – Beispiel LP0
1 2
1 2
1 2
Max
mit 21 11
u.d.N. 6x 4 15
, 0
z
z x x
x
x x
Max x1 x2 RS Max x3 x2 RS
z0 21 11 0 z0 72 3 521
2
x3 6 4 15 x1 16 2
3 52
1 1entweder ist 2 oder 3x x
Branch and Bound 8
B&B – Graph LP0
Branch and Bound 9
B&B – LP11 und LP12
Max x1 x2 RS Max x1' x2 RS Max x1' x3 RS
z11 21 11 0 z11 21 11 42 z11 9
2 114 501
4
x3 6 4 15 x3 6 4 3 x2 32 1
4 34
x1' 1 0 2 x1 1 0 2 x1 1 2
Max x1 x2 RS Max x4 x2 RS
z21 21 11 0 z21 21 11 63
x3 6 4 15 x3 6 4 3 keine zul. Lösung!
x4 1 0 3 x1 1 0 3
Branch and Bound 10
B&B – Graph LP11 und LP12
Branch and Bound 11
B&B – Baumtiefe 1
0 0
51 22
: 52,5
; 0
LP z
x x
1 2x
0 0
51 22
: 52,5
; 0
LP z
x x
12 :
FC1
LP 11 11
1 2
: 50,25
2; 0,75
LP z
x x
1 3x 1 2x
0 0
51 22
: 52,5
; 0
LP z
x x
Branch and Bound 12
B&B – Graph LP21 und LP22
Branch and Bound 13
B&B – Baumtiefe 2
2 0x
22 22
1 2
: 49,5
11/ 6; 1
LP z
x x
21 21
1 2
: 42
2; 0
LP z
x x
0 0
51 22
: 52,5
; 0
LP z
x x
1 3x 1 2x
11 11
1 2
: 50,25
2; 0,75
LP z
x x
12 :
FC1
LP
2 1x 2 0x 2 1x
21 21
1 2
: 42
2; 0
LP z
x x
FC1
Branch and Bound 14
B&B – Grph LP31 und LP 32
Branch and Bound 15
B&B – Baumtiefe 3
22 22
1 2
: 49,5
11/ 6; 1
LP z
x x
0 0
51 22
: 52,5
; 0
LP z
x x
1 3x 1 2x
11 11
1 2
: 50,25
2; 0,75
LP z
x x
12 :
FC1
LP
2 0x 2 1x
21 21
1 2
: 42
2; 0
LP z
x x
331 31 4
11 2 4
: 43
1; 2
LP z
x x
32 :
FC1
LP
1 1x 1 2x
FC1
FC3
Branch and Bound 16
B&B – Graph LP41 und LP42
Branch and Bound 17
B&B – Vollständiger Entscheidungsbaum
41 31
1 2
: 43
1; 2
FC3
LP z
x x
142 42 2
11 22
: 43
; 3
FC2
LP z
x x
22 22
1 2
: 49,5
11/ 6; 1
LP z
x x
0 0
51 22
: 52,5
; 0
LP z
x x
1 3x 1 2x
11 11
1 2
: 50,25
2; 0,75
LP z
x x
12 :
FC1
LP
2 0x 2 1x
21 21
1 2
: 42
2; 0
FC3
LP z
x x
2 1x 1 2x
331 31 4
11 2 4
: 43
1; 2
LP z
x x
32 :
FC1
LP
2 2x 2 3x
Branch and Bound 18
B&B – Problemlösung
Da alle Knoten abgearbeitet sind, ist die gesuchte Lösung erreicht und …
…es wurde nachgewiesen, dass die Lösung wirklich optimal ist.
Branching: Grundsätzlich auch in mehr als einen Knoten möglich. Alle so erzeugten Knoten kommen in die sog. Kandidatenliste.
Bounding: An dieser Stelle können alle Hilfsmittel eingesetzt werden, um eine möglichst Schranke zu berechnen.
Branch and Bound 19
B&B – Vor- und Nachteile
Anbindung an den LP-Modul Gestaltungsfreiheit des Baumbaus Heuristische Unterstützung Verwendbarkeit der Lösung bei Abbruch Hoher Speicheraufwand Hoher Rechenaufwand Veränderliche Problemgröße