Post on 02-Dec-2015
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana
adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses
Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika
bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705).
Suatu sebaran Bernoulli merupakan performans dari suatu percobaan
dengan hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”.
Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal
dilambangkan dengan q dimana p+q = 1. Sedangkan sebaran binomial berasal dari
percobaan binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan
tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali.
Berdasarkan latar belakang diatas, penulis memberi judu lmakalah ini
“Bernoulli dan Binomial”. Tujuan penulis menyusun makalah ini adalah untuk
mengetahui lebih lanjut tentang sebaran Bernoulli dan binomial terkait tentang fungsi
kepekatan peluang, nilai harapan, ragam, fungsi pembangkit momen, dan fungsi
pembangkit momen faktorial. Dan agar dapat mengetahui kemungkinan (peluang)
kesuksesan maupun kegagalan dari sebuah percobaan.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dari
penulisan ini adalah :
1. Apa pengertian sebaran bernoulli
2. Apa pengertian sebaran binomial
1.3 Tujuan Penyusunan Makalah
1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Bernoulli, ciri-ciri Bernoulli,
dan sifat sebarannya.
2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Binomial, ciri-ciri Binomial,
dan sifat sebarannya.
2
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Sebaran Bernoulli
Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu hasil dari suatu percobaan yang
hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “sukses” atau “gagal”. Percobaan tersebut
disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit
Nugroho : 2008). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:
1. Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”
2. Jika peluang sukses p, maka peluang gagal q = 1 – p
2.1.1 Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi
kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak
mempunyai nilai. Jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q dan f(1)=p dan
peubah acak Bernoullinya adalah : 1 jika e E
X (e) =
0 jika e E◦
Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernouli dapat diekspresikan sebagai
berikut : ƒ(x) = px q1-x untuk x = 0 atau 1 dan besarnya q = 1-p dan 0 < p < 1.
Dalam percobaan Bernoulli, dimana p adalah peluang “sukses” dan q = 1- p
adalah peluang “gagal”, dan jika X adalah peubah acak yang menyatakan kejadian
sukses, maka sebaran peluang Bernoulli dapat didefinisikan sebagai :
px q1-x ; x = 0, 1 , dimana 0 < p < 1
ƒ (x;p) =
0 ; x 0 atau 1 ( x lainnya ).
3
2.1.2 Nilai Harapan
Nilai harapan adalah sebuah ukuran rata-rata dari suatu peubah acak.
Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau
gagal (1 atau 0) maka rumus nilai harapan dari sebaran Bernoulli didefinisikan
sebagai x = E(X) = p. Pembuktian rumus nilai harapan Bernoulli sebagai berikut :
Definisi 2.1.2
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang ƒ(x),
maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
( ) ∑ ( )
Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu “sukses” atau
“gagal” ( x = 0, atau , x = 1 ) dan jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q
dan f(1)=p, maka berdasarkan definisi 2.1.2 rumus nilai harapan Bernoulli dapat
ditulis sebagai berikut :
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
Dari pembuktian rumus diatas, terbukti bahwa nilai harapan (x) Bernoulli adalah
p, secara umum ditulis x = E(X) = p.
2.1.3 Ragam
Ragam adalah sebuah ukuran dispersi dari peubah acak. Rumus ragam
sebaran Bernoulli dapat diperoleh dari rumus nilai harapan yaitu :
Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q
Bukti :
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2x = Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q
Jadi rumus ragam sebaran Bernoulli dapat ditulis : 2x = p q.
4
2.1.4 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen adalah suatu teknik atau cara mencari distribusi
fungsi dengan beberapa peubah acak, fungsi tersebut merupakan jumlah peubah
acak bebas.
Definisi 2.1.4
Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh E(etX) dan
dinyatakan dengan MX(t). Jadi fungsi pembangkit momen dirumuskan
sebagai berikut : MX(t) = E(etX)
( ) ∑
( )
( ) ∫ ( )
(Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers : 1986).
Karena sebaran Bernoulli merupakan peubah acak diskret, maka berdasarkan
definisi 2.1.4 rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli dapat ditulis
sebagai berikut :
( ) ∑
( ) ∑
∑( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Jadi rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli adalah ( ) ( ).
2.1.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial
Momen faktorial adalah bentuk khusus lain dari nilai harapan peubah acak.
Definisi 2.1.5
Momen faktorial ke-r peubah acak X didefinisikan sebagai
E [ ( ) ( )]
dan fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak didefinisikan sebagai
Gx(t) = E(tx)
jika nilai harapannya ada untuk semua t dalam beberapa interval terbuka
yang mencakup nilai 1 dalam bentuk 1- .
5
Berdasarkan definisi 2.1.5 rumus fungsi pembangkit momen faktorial dapat ditulis
sebagai berikut :
( ) ( ) ∑
( ) ∑
∑( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
Jadi rumus fungsi pembangkit momen factorial adalah ( ) ( )
2.2 Sebaran Binomial
Sebaran Binomial berasal dari suatu proses percobaan yang terdiri dari
sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. Dalam
percobaan binomial, kuantitas yang diamati adalah banyaknya ‘sukses’ dari
sebanyak n tindakan pengulangan. Secara langsung, percobaan binomial memiliki
ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali
2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai
gagal dan sukses
3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain
4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas.
2.2.1 Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi
kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak
mempunyai nilai. Karena percobaan Binomial merupakan percobaan Bernaulli
yang dilakukan berulang-ulang, maka percobaan binomial menghasikan peluang
sukses atau gagal yang jumlah suksesnya dihitung dalam setiap n percobaan. Jika
peluang ‘sukses’ pada setiap tindakan Bernoulli tersebut adalah p, dan X
melambangkan banyaknya kejadian ‘sukses’, maka fungsi kepekatan peluang dari
peubah acak X dalam percobaan Binomial didefinisikan sebagai
( ) ( )
Fungsi kepekatan peluang Binomial diatas diperoleh dari uraian berikut ini :
6
1. Pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu.
Karena ulangan semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda
dapat digandakan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan
peluang q=1 – p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah pxqn-x.
2. Tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang
menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama
dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok
sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya, n-x hasil,
pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan
dengan ( ).
3. Karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x
sukses diperoleh dari hasil penggandaan ( ) dengan pxqn-x.
Hal yang harus diperhatikan adalah
∑ ( )
∑ ( ) ( )
Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka
sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(X > r), dengan r<n, adalah:
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )
2.2.2 Nilai harapan
Nilai harapan X dari sebaran Binomial dengan parameter n dan p adalah :
x = E(X) =np
Bukti rumus :
7
( ) ∑ ( )
∑
( )
∑ ( )
( ) ( )
( ) ( )
∑ (
) ( )
( ( )) ∑ ( ) ( )
∑ ( )
( )
∑ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∑ (
) ( ) ( )
2.2.3 Ragam
Ragam dari peubah acak X berdistribusi Binomial didefinisikan sebagai :
2x =Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq
Bukti :
Karena E[X(X-1)] = E[X2-X] = E(X2) – E(X), maka E(X2) = E[X(X-1)]+E[X]
Dari rumus nilai harapan distribusi Binomial, telah diperoleh nilai E(X) dan
nilai E[X(X-1)], sehingga nilai E(X2) dapat dicari seperti berikut ini :
E(X2) = E[X(X-1)]+E[X] = n(n-1)p2 + np= n2p2
– np2 + np = np(np) + np(1-p)
= np(np+q).
Jadi rumus ragam distribusi Binomial dapat ditulis sebagai berikut :
2x =Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q) – (np)2 = npq.
8
2.2.4 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen sebaran binomial X dapat diambil dari definisi
Definisi 2.1.4 yaitu :
( ) ( ) ∑
( ) ∑
(
) ∑ (
) (
)
Berdasarkan penguraian binomial (pet + q)n maka dapat diperoleh
Mx(t) = (pet + q)n.
2.2.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial
Fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak x yang berdistribusi
binomial didefinisikan sebagai :
( ) ( ) ∑ ( )
∑ ( )
( ) ( )
2.3 Ilustrasi Percobaan Bernoulli dan Percobaan Benomial
2.3.1 Ilustrasi Percobaan Bernoulli
Pada saat pelemparan sebuah koin maka terdapat dua macam
kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.
2.3.2 Ilustrasi Percobaan Binomial
Ruang sampel A untuk percobaan E yang terdiri dari himpunan tak hingga
tetapi masih terhitung dari titik – titik sampel:
Jika S = Sukses dan G = Gagal
E1: S (sukses pada percobaan pertama)
E2: GS (gagal pada percobaan pertama dan sukses pada percobaan kedua)
E3: SG (sukses pada percobaan pertama, gagal pada percobaan kedua)
E4: GGS (gagal pada percobaan 1 dan 2, sukses pada percobaan ketiga)
E5: GSG (gagal pada percobaan 1 dan 3, sukses pada percobaan kedua)
E6: SGG (gagal pada percobaan 2 dan 3, sukses pada percobaan pertama)
En : SSS....S GGG...G (sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n – x kali).
9
Jika peluang sukses dinotasikan dengan p maka peluang gagal adalah
q = 1 – p. Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan
yang saling bebas. Maka peluang X pada masing – masing percobaan E adalah:
P(X) = p untuk E1
P(X) = qp = pq untuk E2
P(X)=pq untuk E3
P(X)=q2p = pq2 untuk E4
P(X)=qpq = pq2 untuk E5
P(X)= pqq = pq2 untuk E6
P(X) = Pxqn-x untuk En
10
BAB III
HASIL DARI PEMBAHASAN
3.1 Contoh dan Pembahasan
3.1.1 Contoh sebaran Bernoulli
1. Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli
rapido untuk keperluan menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis
rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti
bersama dengan cartridgenya. Data yang ada selama ini menunjukkan
bahwa 30% mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika
variabel acak X menyatakan mahasiswa yang membeli rapido yang tintanya
dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut:
Jawab :
1 jika mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat isi ulang
X =
0 jika mahasiswa membeli rapido yang cartidgenya harus diganti
p(1) = p(X = 1) = 0,3
p(0) = p(X = 0) = 1 – 0,3 = 0,7
p(x 0 atau 1) = P(X 0 atau 1) = 0
Maka fungsi kepekatan peluang fungsi Bernoulli dengan satu parameter
p = 0,3 adalah :
ƒ (x;p) = (p)x (q)1-x = ƒ (x;0,3) = (0,3)x (0,7)1-x ; x = 0 , 1 0 < p < 1
2. Anggap ada ilmuan yang melakukan percobaan, p adalah percobaan
probabilitas sukses. Anggap p =
(percobaan seperti ini hanya mempunyai
dua hasil yaitu sukses atau gagal, dan disebut percobaan Bernoulli). Misal X
adalah variabel acak yang sama dengan jumlah keberhasilan pada hari
11
tertentu. Dengan demikian X hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1.
Hitunglah fungsi kepekatan peluang ?
f(0) = P(X = 0) = 1 – p Grafik fungsi kepekatan untuk p =
f(1) = P(X = 1) = p F(X)
f(a) = 0 untuk semua nilai a yang lain 1-
0.8-
0,6-
0,4-
0,2-
0 1 2
Gambar 1.1
Selanjutnya kita dapat menghitung fungsi sebaran kumulatif :
f(a) = 0 jika a < 0 F(x) Gambar fungsi untuk p =
f(a) = 1-p jika a < a < 1 1-
f(a) = 1 jika a > 1 0.8-
0.6-
0.4-
0.2-
0 1 2 z
Gambar 1.2
3. Berdasarkan soal di atas, hitunglah nilai harapan ?
Jawab : Karena hanya memiliki nilai 0 atau 1 maka x = E(X) = p =
4. Berdasarkan soal di atas hitunglah varians ?
Jawab : Varians untuk p =
12
Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = 0.2 (1-0.2)
= 0.2 (0.8) = 0.16.
4.1.1 Contoh sebaran Binomial
1. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah
. Apakah
peluang dari tepat empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan
sebanyak tujuh kali?
Solusi : Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin.
Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka diantara tujuh pelemparan
adalah ( ) Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang
untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah :
(p)x(q)n-x=.(
)
(
)
(
)
(
)
. Akibatnya, peluang kemunculan tepat
empat muka adalah ( ) (
)
(
)
= (
).
2. Peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang
kegagalan adalah 5/6. Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap
keberhasilan maka : ƒ(3,5,
) =
( ) .(
)3 (
)5-3 = 0,032.
5. Untuk b(5; 5 0.20), di mana x = 5, n = 5 dan p = 0.20 sehingga q = 0.80
maka
μ = 5 ×0.20 = 1.00
σ² = 5 ×0.20 × 0.80 = 0.80
σ = 080. = 0.8944
6. 10 % dari semacam benda tergolong kategori A. Sebuah sampel berukuran
30 diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisi benda
kategori A :
a. Semuanya
b. Paling banyak 2 buah
Jawab : n = 30, p = 0,1
a. X =30
P (X = 30) = [
] ( ) ( )
13
artinya untuk mendapatkan benda kategori A sebanyak 30 peluang nyaris
nol
b. X paling banyak 2, berarti X ≤ 2
P(x≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
P (x=0) = [
] ( ) ( )
P (x=1) = [
] ( ) ( )
P (x=2) = [
] ( ) ( )
maka P(x≤2) = 0,0423 + 0,1409 + 0,227 = 0,4102.
7. Seorang penjual mengatakan bahwa 25% dari seluruh dagangannya rusak
akibat truk yang membawa barang itu mengalami kecelakaan. Jika seseorang
membeli barang dagangan itu sebanyak 10 buah, tentukan :
a. peluang orang itu akan mendapat 5 barang yang rusak
b. peluang orang tersebut memperoleh minimal 3 tetapi kurang dari 7 barang
yang rusak
c. rata-rata dan simpangan baku barang yang rusak
penyelesaian: Misalkan X = banyaknya barang yang rusak p = 0.25, n = 10
a. P(X =5) =P(X < 5) – P(X < 4) = 0.9803 – 0.9219 = 0.0584
b. P(3 < X<7)=P(3 < X < 6) = P(X < 6) – P(X < 2) =0.9991-0.6778 = 0.3213
c. μ = n.p = 10x0.25 = 25, = n.p.(1-p) = 10x0.25x0.75 = 1.875
14
BAB IV
KESIMPULAN
1. Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu performans dari suatu percobaan,
percobaan itu hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau
“Gagal”.Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau
percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit Nugroho : 2008)
2. Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernoulli dapat diekspresikan
sebagai berikut : ƒ(x) = pxq1-x untuk x=0 atau 1 danbesarnya q = 1-p dan
0 < p < 1.
3. Rumus nilai harapan sebaran Bernoulli : x= E(X) = p.
4. Rumus ragam saebaran bernoulli : 2x = p q
5. Fungsi pembangkit momen sebaran bernoulli
( ) ∑
( ) ∑
∑( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
6. Sebaran Binomial berasal dari percobaan Binomial yaitu suatu proses
percobaan yang terdiri dari sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas
dan diulang sebanyak n kali.
7. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran binomial : b(x; n, p) = pxqn-x dimana x
= 0, 1, 2, …., n.
8. Nilai harapan binomial x = E(X) =np
9. Varian sebaran binomial adalah :
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq.
10. Fungsi pembangkit momen sebaran binomial : Mx(t) = (pet + q)n
11. Fungsi pembangkit momen faktorial
( ) ( ) ∑ ( )
∑ ( )
( ) ( )