Bab 3MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

Gaya dan Pergerakan

Sistem dinamik untuk memodelkan pergerakan seseorang yang melakukanterjun payung.

Terdapat 2 fase:

1. Tahap jatuh bebas

2. Tahap parasut

Dimulai dengan memodelkan pergerakan bola yang dilempar seseorang dariatas jembatan:

1. dengan mengabaikan gesekan udara

2. dengan mempertimbangkan gesekan udara

Kecepatan dan Percepatan

Laju perubahan dari posisi (𝑠) terhadap waktu (𝑡) disebut kecepatan(𝑣).

Laju perubahan dari kecepatan terhadap waktu disebut percepatan (𝑎).

Pergerakan Bola Tanpa Gaya Gesek

Turunan akan digunakan untuk memodelkan pergerakan bola yang dilemparke atas oleh seseorang yang berdiri di atas jembatan, di hari yang tidakberangin.

Quick Review Question 1a. Determine four variables for the model and their units in the metric system.b. Give a differential equation relating time (t), position (s), and velocity (v).c. Give a differential equation relating time (t), velocity (v), and acceleration(a).d. Ignoring friction, give any of the following that are constant in a fall: time, distance, velocity, acceleration.

Model Diagram

Grafik Posisi dan Kecepatan

Misalkan percepatan gravitasi adalah – 9.81 𝑚/𝑠2.

kecepatan awal adalah 15 m/s.

posisi awal adalah 11 m, yang merupakan tinggi jembatan.

Laju

Laju memberikan besar laju perubahan terhadap waktu.

Hukum Newton dan StokesHukum Kedua Newton

Gaya 𝐹 yang bekerja pada obyek dengan massa 𝑚 memberikan obyek tersebut percepatan a sesuaidengan 𝑭 = 𝒎𝒂.

Berat adalah gaya, dan tidak sama dengan massa. Gaya gesek juga merupakan gaya.

Pergerakan Bola Dengan Gaya Gesek

Quick Review Question 5

This question reflects on refinement of the model of an object falling through sealevel air to account for friction.

a. Give the inputs to compute drag friction.

b. Give a formula for air friction in a system dynamics tool’s model with v for velocity, A for projected area, and ABS for the absolute value function.

c. Give the force(s) acting on the object.

d. Give a formula for an object’s weight in a system dynamics tool’s model, where g is the acceleration due to gravity and m is the mass of the object.

e. Give a formula for an object’s acceleration in a system dynamics tool’s model, where F is the total force on the object (weight + air friction) and m is the mass of an object.

Model Diagram

Algoritma

mass = 0.5 kg

acceleration_due_to_gravity = –9.81 m/s2

weight = mass * acceleration_due_to_gravity

radius = 0.05 m

projected_area = 3.14159 * radius^2

air_friction = –0.65 * projected_area * velocity * ABS(velocity)

total_force = weight + air_friction

acceleration = total_force/mass

change_in_velocity = acceleration

change_in_position = velocity

speed = ABS(velocity)

velocity(0) = 0 m/s

velocity(t) = velocity(t – Δt) + (change_in_velocity) * Δt

position(0) = 400 m

position(t) = position(t – Δt) + (change_in_position) * Δt

Hasil Simulasi dan Modifikasi

a. At the terminal velocity, give the relationship between weight and air_friction:

A. weight < air_friction B. weight = air_friction C. weight > air_friction

b. Give the phases of the fall during the simulation.

c. Give the variable whose value we can use to trigger the change in phase: acceleration, mass, position, velocity, weight

d. Give the value(s) that change upon opening of the parachute: acceleration_due_to_gravity, mass, projected_area, weight.

e. Describe anticipated changes to the graphs after deployment of a parachute.

Terjun Payung

Dalam memodelkan terjun payung, akan digunakan pergerakan benda jatuh dengan gaya gesek.

Misalkan seseorang melompat dari helikopter yang tidak bergerak pada ketinggian 2000 m dan kitamengabaikan perubahan kepadatan udara.

Untuk memodelkan terjun payung dari helicopter, akan dipertimbangkan 2 tahap:

1. pada saat orang tersebut mengalami jatuh bebas

2. setelah parasut terbuka, di mana luas permukaan yang lebih besar akan memberikan gayagesek yang lebih besar.

Dalam model ini, perbedaan mendasar dari kedua tahapan di atas adalah luas daerah yang terproyeksi pada arah pergerakan (turun/ke bawah).

Diasumsikan luas penampang seorang penerjun payung pada saat tangan terbentang dan kaki tertekuk di lutut (stable arch position) adalah 0.4 m2. Luas parasut akan tergantung pada desain, tapi kita mengasumsikan 28 m2 sebagai luas parasut.

Tali penahan parasut akan ditarik pada ketinggian 1000 m di atas permukaan tanah.

Model Diagram

Hasil Simulasi

a. How does the terminal speed of a skydiver who curls into a ball compare to that of the same skydiver who is in a stable arch position?

A. Less B. Equal C. Greater

b. Referring to Figure, approximately how long does it take for the skydiver in freefall to be close to terminal speed?

A. 13 s B. 21 s C. 40 s

c. Referring to Figure, at approximately what time does the skydiver pull the ripcord?

A. 13 s B. 21 s C. 40 s

Bungee Jumping

Pergerakan yang terjadi pada tali bungee serupa dengan yang terjadi pada pegas.

Akibatnya, dalam memodelkan bungee jumping kita menggunakan hukum Fisikayang berkaitan dengan pegas, Hukum Hooke.

Hukum Hooke menyatakan bahwa pegas bersifat elastis, sehingga dapat “bergerakke posisi awal” sepenuhnya. Dalam hal ini, hukum Hooke dapat diterapkan hanyapada saat pegas tidak diregangkan terlalu banyak.

Hukum Hooke menyatakan bahwa dalam batasan elastisitas pegas, gayapengembalian posisi (𝐹) yang terjadi pada pegas sebanding, namun pada arah yang berbeda, dengan jarak perubahan pegas (𝑠) ke titik setimbang. Maka, untukkonstanta pegas 𝑘:

𝑭 = –𝒌𝒔

Hukum Hooke

weight_displacement = -weight/spring_constant

acceleration due_to_gravity is +9.81 m/s2

restoring_spring_force = –spring_constant * (length – unweighted_length)

Pegas Tanpa Gaya Gesek

Hasil Simulasi Pegas Tanpa Gaya Gesek

Hail Simulasi Pegas dengan Gaya Gesek

Model Bungee Jumping

Berat tali bungee akan diabaikan dalam model ini.

Gaya yang terlibat adalah berat pelompat, gaya pegas dari tali, dan gaya gesek denganudara.

Perbedaan antara model bungee jumping dengan model pegas dengan gaya gesek adalahformula untuk restoring_spring_force. Pada pegas, sewaktu beban berada di atas titikkesetimbangan, pegas akan memberikan gaya ke arah yang berlawanan. Namun pada saatpelompat berada di atas panjang tali bungee, tali tidak memberikan gaya apapun.

Panjang tali bungee (unweighted_length) adalah panjang normal tali sebelum diberi beban.

Akibatnya restoring_spring_force merupakan ekspresi kondisional. Jika panjang melebihiunweighted_length, maka gaya pegas dari tali akan memenuhi hukum Hooke’s law denganposisi adalah (length – unweighted length).

if (length > unweighted_length) then restoring_spring_force ← –spring_constant * (length - unweighted_length)elserestoring_spring_force ← 0

Model Diagram

Perumusan Model

With down being the positive direction, give the formulas for each of the following

components of the diagram for a bungee jump (Figure 3.2.6).

a. total_force

b. acceleration

c. weight

d. acceleration_due_to_gravity with two digits after the decimal

e. air_friction assuming Newtonian friction, sea-level air density, and absolute

value function ABS

f. restoring_spring_force when length is greater than unweighted_length

g. restoring_spring_force when length is less than unweighted_length

Hasil Simulasi