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Aulas 17 e 18: A Hipotese do Passeio Aleatorio (Random
Walk) e os Retornos Esperados de Equilıbrio
Walter Novaes
Departmento de Economia, PUC-Rio
13/05/2015
1 Motivacao
• Hoje em dia, pode-se dizer que ha consenso sobre os principais fundamentos
dos precos de bens e servicos.
– Consumidores em geral – economistas ou nao – e as mıdias impressa e
escrita frequentemente usam os conceitos da oferta e demanda para explicar
ou prever variacoes nos precos de bens e servicos.
• Em contraste, ainda nao existe uma analise padrao da formacao dos precos dos
ativos financeiros.
– Por um lado, profissionais do mercado financeiro tendem a adaptar a logica
da oferta e demanda por bens e servicos para os ativos financeiros.
– Por outro lado, academicos costumam explorar restricoes a existencia de
oportunidade de arbitragem, como as que usamos neste curso para derivar
o fator estocastico de desconto.
• Um bom exemplo dessa dicotomia e uma teoria de aprecamento de ativos – A
Hipotese do Passeio Aleatorio – cuja principal implicacao e a imprevisibilidade
de retornos.
– Em princıpio, deveria ser difıcil formular estrategias lucrativas de compras
e vendas de ativos se os retornos dos ativos fossem imprevisıveis.
– Segue, entao, a primeira razao para a popularidade da Hipotese do Passeio
Aleatorio. Ela racionaliza um crenca forte entre os profissionais do mercado
de capitais: nao e facil formular estrategias lucrativas de compras e vendas
de ativos em mercados de capitais competitivos.
• A segunda razao para a popularidade da Hipotese do Passeio Aleatorio e uma
interpretacao simples e aparentemente plausıvel para a imprevisibilidade de
retornos. Para explicar essa interpretacao, vamos supor que notıcias divulgadas
na data t induzem os investidores a crer que o preco de uma determinada acao
caira entre t e t+ 1.
– Nesse caso, os adeptos da Hipotese do Passeio Aleatorio argumentam que
2
a crenca da queda de preco estimula os investidores a vender a acao antes
que a queda ocorra.
– As ordens de venda em t criariam uma pressao de queda de preco ainda
na data t, que so terminaria quando a queda prevista para t + 1 fosse
incorporada ao preco em t.
– Mas, entao, a queda prevista para t+ 1 aconteceria em t, fazendo com que
o preco em t+ 1 seja imprevisıvel.
• A despeito da simplicidade e aparente plausibilidade da intuicao subjacente a
Hipotese do Passeio Aleatorio, varios estudos empıricos encontraram evidencia
de previsibilidade de retornos nos mercados acionarios. Como interpretar essa
evidencia?
• A intuicao para a Hipotese do Passeio Aleatoria ignora os dois fundamentos
economicos que norteiam as Teorias de Aprecamento de Ativos baseadas no
fator estocastico de desconto: a suavizacao de consumo ao longo do tempo e
entre estados da natureza.
– Veremos nesta nota de aula que os incentivos para suavizacao de consumo
implicam previsibilidade de retornos, sem dar espaco para as estrategias de
investimento que, segundo os adeptos da Hipotese do Passeio Aleatorio,
eliminam previsibilidade dos retornos.
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• A evidencia empırica contraria a Hipotese do Passeio Aleatorio, portanto, lanca
duvidas sobre o uso da abordagem de oferta e demanda em Financas, mas e
consistente com o aprecamento de ativos pelo fator estocastico de desconto.
• O restante desta nota de aula esta organizada da seguinte maneira.
– A proxima secao introduz a Hipotese do Passeio Aleatorio, deriva a sua
principal implicacao, isso e a imprevisibilidade dos retornos dos ativo, e
explica como ela pode ser testada.
– A secao seguinte caracteriza os retornos esperados de equilıbrio dos ativos
da economia.
– Por fim, a ultima secao usa a caracterizacao dos retornos de equilıbrio
para explicar por que a evidencia empırica existente rejeita a Hipotese do
Passeio Aleatorio.
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2 A Hipotese do Passeio Aleatorio (Random Walk)
• Para formalizarmos a Hipotese do Passeio Aleatorio, comecamos com uma
definicao. Se Sjt e o preco do ativo j na data t e δjt e o dividendo pago na
mesma data, entao o seu preco ajustado por dividendos – chame-o de Sjt – e
Sj0 = Sj
0,
Sj1 = Sj
1 + δj1,
Sj2 = Sj
2 + δj1 + δj2,
...
Sjt = Sj
t + δj1 + δj2 + ...+ δjt .
• Intuicao para o preco ajustado: E o valor de uma estrategia de investimento
que adquire o ativo j em t = 0 e, a partir dessa data, reinveste todo dividendo
pago em um ativo cujo retorno e igual a zero com probabilidade um.
• Objetivo do ajuste no preco: Permite que a Hipotese do Passeio Aleatorio
modele variacoes de precos sem se preocupar com a modelagem dos dividendos.
– O preco do ativoj em t tipicamente cai se o dividendo e pago nessa data,
pois o preco do dia anterior considerava o pagamento em t, que, pela
convencao de preco adotada no curso, nao e entregue a investidores que
comprem o ativo em t. O ajuste elimina a queda esperada de preco em t.
5
• Ajuste no preco se o ativo for uma acao
– Empresas com acoes listadas em bolsa geralmente parcelam os dividendos
anuais em dois, tres ou quatro pagamentos.
– Para eliminar o risco de pagamento de dividendos para investidores que
deixaram de ter o direito de recebe-los, as empresas listadas em bolsa fixam
uma data para registro dos nomes dos acionistas que receberao os proximos
dividendos.
– A data seguinte a de registro dos nomes dos acionistas – chamada de “ex-
day”– e o primeiro dia de negociacao em bolsa em que a aquisicao da acao
nao da ao comprador o direito ao proximo dividendo. Os profissionais do
mercado de acao conhecem as datas do ex-day.
– Se os precos dos ativos nao caissem no ex-day, investidores teriam incentivos
de vende-los apenas em ex-days para garantir o recebimento do dividendo
sem incorrer uma perda no preco de venda. Em contraste, investidores
ficariam mais estimulados a comprar ativos em dias que precedem o ex-
day, de forma a garantir o recebimento do proximo dividendo.
– Portanto, o preco de equilıbrio deve cair no ex-day para compensar a perda
do dividendo, implicando um retorno negativo que, pelo fato de o ex-day
ser uma data conhecida, e antecipado pelo mercado.
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– Ou seja, os retornos do teste do Passeio Aleatorio devem ser calculados a
partir de precos ajustados nas datas de ex-day. Mais precisamente, se o
dividendo δjti(τi) e pago na data τi mas o seu ex-day e na data ti < τi, entao
o dividendo δjti(τi) e ajustado ao preco do ativo j na data ti:
Sjt = Sj
t + δj1(τ1) + δj2(τ2) + ...+ δjt (τt).
– Varios bancos de dados de acoes (Bloomberg, CRSP, Economatica etc)
disponibilizam series de precos de acoes ajustados para ex-days.
• Hipotese do Passeio Aleatorio: Se Sjt e o preco do ativo j em t ajustado
pela soma dos pagamentos de dividendos entre as datas um e t, entao o preco
ajustado em t+ 1 e
Sjt+1 = Sj
t + εjt+1, com E[εjt+1|Ft] = 0. (1)
• Movendo o preco Sjt para o lado esquerdo da equacao (1) e tomando a esperanca
condicional ao conjunto de informacoes Ft nos da
E[Sjt+1 − S
jt |Ft] = E[εjt+1|Ft] = 0. (2)
• Inserindo as definicoes de precos ajustados em t+ 1 e t:
7
E[(Sjt+1 + δj1 + δj2 + ...+ δjt + δjt+1
)−(Sjt + δj1 + δj2 + ...δjt
)∣∣∣Ft
]= 0⇐⇒
E[Sjt+1 + δjt+1 − S
jt
∣∣∣Ft
]= 0.
• Dividindo os dois lados da equacao acima por Sjt :
1
Sjt
E[Sjt+1 + δjt+1 − S
jt |Ft] = 0.
• Por hipotese, o conjunto de informacoes disponıveis na data t, Ft, inclui os
precos dos ativos em t. Logo, 1Sjt
e uma constante em t, que pode ser movida
para dentro da esperanca condicional. Assim fazendo, obtemos a esperanca
condicional do retorno entre t e t+ 1:
E[Sj
t+1 + δjt+1 − Sjt
Sjt
∣∣∣Ft
]= 0⇐⇒ E
[rjt+1
∣∣∣Ft
]= 0. (3)
• Pela equacao (3), o retorno do ativo entre t e t+ 1 e imprevisıvel, no sentido de
sua esperanca condicional a estrutura de informacao em t ser igual a zero.
• Uma maneira simples de testar a Hipotese do Passeio Aleatorio regride retornos
de acoes listadas em bolsas de valores em constantes especıficas para cada acao
na amostra.
8
Sjt+1 + δjt+1 − S
jt
Sjt
= ηj + εjt+1.
• Para intepretar o parametro ηj, tome a esperanca condicional nos dois lados da
regressao para depois usar que ηj e uma constante e E[εjt+1|Ft] = 0:
E[Sj
t+1 + δjt+1 − Sjt
Sjt
∣∣∣Ft
]= E[ηj|Ft] + E[εjt+1|Ft] =⇒
E[Sj
t+1 + δjt+1 − Sjt
Sjt
∣∣∣Ft
]= ηj.
• A equacao acima mostra que ηj e o componente previsıvel do retorno da acao
j. Logo, os dados corroboram a Hipotese do Passeio Aleatorio se e somente se
a estimativa de ηj for estatisticamente igual a zero.
• Estudos empıricos rejeitam a Hipotese do Passeio Aleatorio para diversas acoes
negociadas nas bolsas americanas e em bolsas de valores de outros paıses.
• Por que os dados nao corroboram a Hipotese do Passeio Aleatorio?
– A proxima secao mostra que a Hipotese do Passeio Aleatorio ignora dois
fundamentos economicos que tornam os retornos de acoes previsıveis, sem
que a previsibilidade gere oportunidades para a formulacao de estrategias
de investimento associadas a lucros extraordinarios.
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3 Nem todo retorno e imprevisıvel: Os retornos esperados de
equilıbrio
• A implicacao que tornou famosa a Hipotese do Passeio Aleatorio e uma previsao
sobre a imprevisibilidade dos retornos dos ativos.
– Os adeptos da Hipotese do Passeio Aleatorio argumentam que os retornos
dos ativos nao podem ser previsıveis, pois, segundo eles, variacoes esperadas
de precos geram incentivos para compras ou vendas de ativos, que alteram
seus precos ate que a imprevisibilidade dos retornos seja restaurada.
– Em outras palavras, a imprevisibilidade de retornos seria uma consequencia
das condicoes de equilıbrio em mercados de capitais competitivos.
• Se a imprevisibilidade de retornos e consequencia das condicoes de equilıbrio
de mercado, entao ela deveria ser consistente com a equacao de precos de ativos:
Sj0 =
T∑s=1
E[msδjs]. (4)
– Afinal, a equacao geral de aprecamento e derivada do Equilıbrio de Arrow-
Debreu, que, entre outras coisas, satisfaz as condicoes de equilıbrio de
mercados.
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• As esperancas na equacao (4) sao incondicionais, pois as probabilidades associadas
as realizacoes de cada pagamento descontado, msδjs, so levam em consideracao
as informacoes disponıveis na data base, que, na equacao (4), e s = 0.
• Enquanto a esperanca incondicional e um numero, a esperanca condicional e
uma variavel aleatoria, cuja realizacao so sera conhecida em data futura. Para
lembrar por que, considere E[msδjs|Ft] com t ∈ (0, s).
– E[msδjs|Ft] e a media das realizacoes demsδ
js, ponderada pelas probabilidades
das realizacoes, condicionais ao conjunto de informacoes Ft.
– Como o conjunto de informacoes Ft so estara disponıvel na data t > 0, as
probabilidades usadas para avaliar a esperanca condicional E[msδjs|Ft] sao
variaveis aleatorias na data zero, implicando que a esperanca condicional
tambem e uma variavel aleatoria na data zero.
• Pela definicao de Ft, o conjunto de informacoes que atualiza as probabilidades
entre as datas zero e t estarao disponıveis em t, quando E[msδjs|Ft] nao mais
sera uma variavel aleatoria.
• Logo,E[msδjs|Ft] e uma esperanca incondicional na data t, que so nao e denotada
por E[msδjs], porque, tipicamente, essa notacao e reservada para a data zero.
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• Pelo mesmo argumento,∑T
s=t+1E[msδjs|Ft] e uma esperanca incondicional na
data t, que, sem perda de generalidade, poderia substituir∑T
s=1E[msδjs] no
lado direito da equacao (4). Para tanto, basta chamar a data zero de t. Segue,
entao, o seguinte preco de equilıbrio do ativo j em t ∈ [0, T ):
Sjt =
T∑s=t+1
E[msδjs|Ft]. (5)
• A equacao de preco (5) mostra que, dados o processo m do fator de desconto,
o processo de pagamento δj : Ω× t+ 1, t+ 2, ..., T → R determina o preco
de equilıbrio do ativo j, ou de qualquer outro ativo cujo processo de pagamento
seja economicamente equivalente a δj.
• Considere, por exemplo, um ativo k 6= j que paga Sjt+1 + δjt+1 em t+ 1, e nada
daı em diante.
– Mesmo que o pagamento δjt+1 seja pre-fixado, talvez o preco do ativo j em
t+ 1 nao seja conhecido na data t.
– Se assim for, o pagamento em t+ 1 do ativo k e uma variavel aleatoria em
t, pois ele dependera do preco do ativo j em t+ 1.
• Independentemente de Sjt+1 ser uma variavel aleatoria ou nao, a equacao geral
de aprecamento nos da o seguinte preco do ativo k em t:
12
Skt = E[mt+1(S
jt+1 + δjt+1)|Ft]. (6)
• A primeira vista, o preco do ativo k – caracterizado na equacao (6) – e diferente
do preco do ativo j – caracterizado na equacao (5). Porem, eu afirmo que, em
equilıbrio, os precos dos ativos j e k sao iguais.
• O mesmo argumento usado para derivar os precos dos ativos no Equilıbrio de
Arrow-Debreu prova que, em equilıbrio, Skt = Sj
t . Esse argumento explora o
conceito de oportunidade de arbitragem, definido abaixo.
• Definicao (Oportunidade de Arbitragem): Uma oportunidade de arbitragem
e uma estrategia de investimento que, com probabilidade positiva, gera um fluxo
de caixa positivo em algum instante do tempo, sem desembolso inicial ou risco
de fluxo de caixa negativo em qualquer instante do tempo.
• Em equilıbrio, nao pode existir oportunidade de arbitragem. Para entender por
que, suponha que (x?,Ψ?) seja um equilıbrio de Arrow-Debreu, que aloque a
cesta de consumo xi para o consumidor i.
• Se uma oportunidade de arbitragem existe, o consumidor i pode explora-la para
aumentar a sua riqueza em t = 0. Supondo nao-saciedade local, o consumidor
usara o aumento de riqueza associado a oportunidade de arbitragem para trocar
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a cesta xi por uma cesta preferıvel xi, violando uma das condicoes do equilıbrio
de Arrow-Debreu, ou seja, a cesta xi deve ser otima.
• Portanto, para provar que Sjt = Sk
t em equilıbrio, basta mostrar que existem
oportunidades de arbitragem sempre que Sjt for maior ou menor do que Sk
t .
• Suponha primeiro que Sjt > Sk
t . Nesse caso, a seguinte estrategia de investimento
e uma oportunidade de arbitragem.
1. Data t: Venda a descoberta o ativo j e compre o ativo k. O fluxo de caixa
na data t e: Sjt − Sk
t > 0
2. Data t+ 1: Com o pagamento do ativo k – Sjt+1 + δjt+1 – pague o montante
devido pela venda a descoberta do ativo j – δjt+1 – e, com a sobra – Sjt+1 –
compre o ativo j para encerrar a venda a descoberta. O fluxo de caixa em
t+ 1 da estrategia e (Sjt+1 + δjt+1)− S
jt+1 − δ
jt+1 = 0
3. De t + 2 em diante, o fluxo de caixa tambem e zero, pois a venda a
descoberta da data t foi encerrada e o ativo adquirido em t venceu.
• A estrategia acima e uma oportunidade de arbitragem, pois seu fluxo de caixa
em t e positivo enquanto os demais fluxos de caixa sao iguais a zero. Como
oportunidades de arbitragem nao podem existir em equilıbrio, podemos eliminar
Sjt > Sk
t .
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• Para provar que Sjt < Sk
t tambem nao pode acontecer em equilıbrio, considere
a seguinte estrategia de investimento:
1. Data t: Venda a descoberta o ativo k e compre o ativo j. O fluxo de caixa
na data t e: Skt − S
jt > 0
2. Data t + 1: Para pagar o montante devido pela venda a descoberta do
ativo k na data t – Sjt+1 + δjt+1 – venda o ativo j por Sj
t+1 e entregue o
pagamento em t + 1 do ativo j (δjt+1). O fluxo de caixa da estrategia e
−(Sjt+1 + δjt+1) + Sj
t+1 + δjt+1 = 0
3. De t + 2 em diante, o fluxo de caixa e zero, pois a venda a descoberta do
ativo k foi encerrada em t+ 1, quando o ativo j tambem foi vendido.
• A estrategia acima e uma oportunidade de arbitragem, pois o seu fluxo de caixa
e positivo em t e igual a zero nas datas futuras. Logo, podemos eliminar
Sjt < Sk
t . Como Sjt > Sk
t foi eliminado no caso anterior, fica provado que,
em equilıbrio, Sjt = Sk
t .
• A igualdade Sjt = Sk
t vale para qualquer ativo j. Ha, entao, duas formas
equivalentes de descrever o preco de equilıbrio de qualquer ativo.
– A equacao (5) descreve o preco do ativo como a soma das esperancas de
todos os seus pagamentos descontados.
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– E a equacao (7) descreve o preco como a esperanca da soma descontada do
preco do proximo perıodo e do pagamento no mesmo segundo perıodo.
Sjt = E[mt+1(S
jt+1 + δjt+1)|Ft]. (7)
• A equivalencia das equacoes (5) e (7) mostra que, para fins de aprecamento, nao
faz diferenca se o investidor compra o ativo em t e o mantem ate o vencimento
(equacao (5)) ou se ele compra o ativo em t para receber o pagamento no
perıodo seguinte e vende-lo nesse mesmo instante (equacao (7)).
– Intuitivamente, as duas estrategias sao equivalentes porque a equacao (7)
substitui os pagamentos descontados depois de t + 1 pelo preco do ativo
em t+1, que, em equilıbrio, incorpora os pagamentos descontados de t+2
em diante.
• Apesar de as equacoes (5) e (7) serem equivalentes para fins de aprecamento, a
ultima e a chave para as restricoes que as condicoes de equilıbrio impoem nos
retornos esperados dos ativos. Para ver que restricoes sao essas, divida os dois
lados da equacao (7) por Sjt :
1 =1
Sjt
E[mt+1(Sjt+1 + δjt+1)|Ft].
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• Por hipotese, o conjunto de informacoes disponıveis na data t, Ft, inclui os
precos dos ativos em t. Logo, 1Sjt
e uma constante em t, que pode ser movida
para dentro da esperanca condicional:
1 = E[mt+1
(Sjt+1 + δjt+1
Sjt
)∣∣∣Ft
].
• A razao entre parenteses no lado direito da equacao acima e o retorno bruto do
ativo j entre t e t + 1, 1 + rjt+1, que, daqui por diante, denotaremos Rjt+1 =
1 + rjt+1. Com essa notacao, a equacao geral de aprecamento de ativos implica
que, para quaisquer data t e ativo j com preco Sjt 6= 0:
E[mt+1R
jt+1
∣∣∣Ft
]= 1. (8)
• A equacao (8) e uma restricao sobre a esperanca do retorno descontado do ativo
j em t+ 1, condicionado ao conjunto de informacoes na data t.
• A seguinte propriedade da esperanca condicional nos permite escrever a equacao
(8) de uma forma mais intuitiva:
– Fato: A esperanca condicional de um produto de variaveis aleatorias e
igual a soma do produto das esperancas condicionais com a covariancia
condicional das variaveis aleatorias.
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• Aplicando o fato acima na equacao (8):
E[mt+1R
jt+1
∣∣∣Ft
]= E
[mt+1
∣∣∣Ft
]E[Rj
t+1
∣∣∣Ft
]+ covt
(mt+1, R
jt+1
), (9)
sendo covt(mt+1, R
jt+1
)a covariancia entremt+1 eRj
t+1 condicional a estrutura
de informacao Ft, isso e
covt
(mt+1, R
jt+1
)= E
[(mt+1 − E[mt+1|Ft]
)(Rj
t+1 − E[Rjt+1|Ft]
)∣∣∣Ft
].
• Substituindo a equacao (9) na equacao (8):
E[mt+1
∣∣∣Ft
]E[Rj
t+1
∣∣∣Ft
]+ covt
(mt+1, R
jt+1
)= 1
ou equivalentemente
E[Rj
t+1
∣∣∣Ft
]=
1
E[mt+1
∣∣∣Ft
] − 1
E[mt+1
∣∣∣Ft
]covt(mt+1, Rjt+1
).
• Se a unidade de tempo t for dia util, vimos em aula passada que 1E[mt+1] = (1 +
r0→t+1)t+1252 . Ou seja, o inverso da esperanca incondicional do fator estocastico
de desconto em t+1 e a taxa de juros para investimentos na data zero em ativos
pre-fixados que vencem em t+ 1.
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• De maneira analoga, o inverso da esperanca condicional aFt do fator estocastico
de desconto em t + 1 e a taxa de juros para investimentos na data t em ativos
pre-fixados que vencem em t+ 1.
• Suponha agora que t+ 1 seja um ano depois de t. Nesse caso, 1E[mt+1|Ft]
= 1 +
rt→t+1. Usando essa fato na equacao anterior e substituindo Rjt+1 por 1 + rjt+1:
E[1 + rjt+1
∣∣∣Ft
]= 1 + rt→t+1 − (1 + rt→t+1)covt
(mt+1, 1 + rjt+1
).
• Duas observacoes simplificam a equacao acima:
1. Podemos cancelar o numero um no lado esquerdo da equacao com o numero
um que precede rt→t+1 no lado direito da equacao.
2. O numero um dentro da covariancia pode ser cancelado, pois somas de
numeros reais nao alteram a covariancia entre duas variaveis aleatorias.
• O retorno esperado do ativo j para t+1, condicional ao conjunto de informacoes
Ft, pode entao ser escrito como
E[rjt+1
∣∣∣Ft
]= rt→t+1 − (1 + rt→t+1)covt
(mt+1, r
jt+1
). (10)
19
• A equacao (10) identifica os fundamentos economicos que determinam os retornos
esperados de equilıbrio.
• O primeiro termo no lado direito da equacao e a compensacao que os investidores
exigem para comprometer seus recursos no ativo, em vez de usa-los para aquisicao
de bens de consumo e servicos.
– Independentemente de o ativo ser arriscado ou nao, seu retorno esperado
aumenta com a compensacao que os agentes exigem para postergar consumo.
– Essa compensacao e dada pela taxa de juros sem risco vigente em t, rt→t+1,
para investimentos em ativos sem risco que vencem no mesmo intervalo de
tempo do retorno em questao, isso e, entre t e t+ 1.
• O segundo termo no lado direito da equacao e a compensacao pelo risco do
ativo. Para entender por que, suponha primeiro que o retorno em t+ 1 do ativo
j seja conhecido ja na data t.
– Nesse caso, a covariancia condicional do fator de desconto mt+1 com rjt+1
e zero, pois, dado o conjunto de informacoes Ft, o retorno rjt+1 e uma
constante.
– Segue, entao, que o retorno esperado do ativo j e igual a taxa de juros. Em
equilıbrio, nao ha razao para os investidores receberam do ativo j mais do
20
que a compensacao por postergar consumo, assim como nao ha razao para
eles aceitarem um retorno esperado menor do que a taxa de juros sem risco.
• O caso mais interessante acontece quando o retorno rjt+1 e arriscado, isso e,
ele e uma variavel aleatoria na data t. Pelas mesmas razoes discutidas na
analise dos precos de equilıbrio dos ativos financeiros, o risco do ativo j nao
e necessariamente indesejavel.
• O risco do ativo j e desejavel se, fixado o retorno esperado, a sua volatilidade
transfere retornos de estados da natureza em que a riqueza vale pouco, para
estados da natureza em que a riqueza vale muito.
– Um exemplo de ativo com risco desejavel e o seguro saude. Os retornos
desse ativo sao positivos apenas nos estados da natureza em que a capacidade
de gerar renda do segurado esta comprometida por problemas de saude.
• Se o risco do ativo j e desejavel, entao os investidores aceitam um retorno
esperado menor do que a taxa de juros sem risco.
– A diferenca entre o retorno esperado do ativo e a taxa de juros sem risco e
um premio de risco negativo, que reflete a atratividade do risco do retorno.
21
• A analise acima se extende naturalmente para o caso de risco indesejavel. O
risco do ativo j e indesejavel se, fixado o retorno esperado do ativo, seu risco
transfere retornos de estados da natureza em que a riqueza vale muito, para
estados da natureza em que a riqueza vale pouco.
– Um exemplo de ativo com risco indesejavel e uma acao de uma firma cuja
lucratividade e positivamente correlacionada com o crescimento do paıs.
• Se o risco do ativo j e indesejavel, entao os investidores exigem um retorno
esperado maior do que a taxa de juros sem risco. A diferenca entre o retorno
esperado do ativo j e a taxa de juros sem risco e o premio de risco do ativo j,
que, no caso em questao, e positivo.
• Por fim, os investidores sao indiferentes com relacao ao risco do ativo j se o
risco puder ser eliminado sem custo economico.
– O risco do ativo e economicamente irrelevante, por exemplo, se os agentes
economicos pulverizarem seus investimentos de forma que, em cada instante,
exista um ativo na carteira cujos ganhos extraordinarios compensem eventuais
perdas extraordinarias do ativo j.
• Se o mercado for indiferente com relacao ao risco do ativo j, entao o seu retorno
esperado de equilıbrio e igual a taxa de juros sem risco. Nesse caso, diremos
que o premio de risco do ativo j e igual a zero.
22
• A discussao acima sobre premio de risco e intuitiva, mas, infelizmente, nao da
indicacao de como quantificar os premios de risco dos ativos.
• A equacao (10) e um passo a frente na quantificacao do premio de risco, se os
academicos de Financas encontrarem uma especificacao empiricamente confiavel
para o fator estocastico de desconto.
– Assim que a especificacao do fator estocastico de desconto for conhecida,
as suas covariancias com os retornos dos ativos poderao ser estimadas,
determinando os premios de risco.
• A importancia da equacao (10) para a caracterizacao do premio de risco e a
razao de resumirmos essa caracterizacao na Proposicao abaixo.
Proposicao. Defina o premio de risco de um ativo j como a diferenca entre o seu
retorno esperado de equilıbrio e a taxa de juros sem risco, isso e,
λjt ≡ E[rjt+1
∣∣∣Ft
]− rt→t+1.
Entao, o premio de risco do ativo j na data t e
λjt = −(1 + rt→t+1)covt
(mt+1, r
jt+1
). (11)
23
• A chave para entender a equacao (11) e lembrar que o fator estocastico de
desconto e o preco por unidade de probabilidade do contrato de Arrow-Debreu
que entrega o numerario.
– Mais precisamente, se o estado da natureza ω pertence ao conjunto at+1,
entao m(ω, t + 1) =Ψ?
1,at+1
P (at+1) , sendo Ψ?1,at+1
o preco do contrato de Arrow-
Debreu que entrega o numerario em t + 1, condicionado ao estado da
naturreza estar em at+1.
• E facil ver que o fator de desconto mt+1 reflete a importancia para a economia
como um todo de uma unidade de riqueza em t+ 1.
– Se a utilidade marginal da riqueza em t + 1 e elevada no conjunto de
estados da natureza em at+1, entao o preco por unidade de probabilidade do
contrato que entrega o numerario em at+1 e alto, implicando quem(ω, t+1)
e alto nos estados da natureza em at+1.
• Dada a observacao acima, suponha que covt(mt+1, r
jt+1
)> 0. Nesse caso,
o retorno provavelmente sera alto nos estados da natureza em que o contrato
que entrega o numerario tambem tem alto valor para a economia (mt+1 alto),
enquanto o retorno do ativo sera provavelmente baixo nos estados da natureza
em que o contrato que entrega o numerario tambem tem baixo valor para a
economia.
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– Esse e o padrao de risco desejavel para economia, que, como explicamos
anteriormente, implica premio de risco negativo. Exatamente como acontece
com λjt = −(1+rt→t+1)covt
(mt+1, r
jt+1
)< 0, para covt
(mt+1, r
jt+1
)> 0.
• De forma analoga, covt(mt+1, r
jt+1
)< 0 implica risco indesejavel enquanto
covt
(mt+1, r
jt+1
)= 0 implica indiferenca frente ao risco do ativo.
– O premio λjt = −(1+rt→t+1)covt
(mt+1, r
jt+1
)e positivo no primeiro caso,
refletindo o acrescimo em relacao a taxa de juros sem risco que o mercado
exige para carregar o risco do ativo j.
– E o premio λjt = −(1 + rt→t+1)covt
(mt+1, r
jt+1
)e igual a zero no segundo
caso, refletindo a indiferenca do mercado com relacao ao risco do ativo j.
4 Por que os testes rejeitam a Hipotese do Passeio Aleatorio?
• A maioria das pessoas que trabalha ou ja trabalhou no mercados financeiro
aprendeu na pratica profissional uma dura licao:
– Na ausencia de informacoes privilegiadas, nao e facil obter lucros elevados
comprando e vendendo ativos financeiros, sem incorrer em um alto risco
de perdas elevadas.
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• Uma das provaveis razoes para a Hipotese do Passeio Aleatoria ter se tornado
tao popular e que sua implicacao principal e consistente com a dificuldade de
auferir lucros extraordinarios no mercado financeiro.
– Pela Hipotese do Passeio Aleatoria, a previsibilidade dos retornos seria
eliminada pelas condicoes de equilıbrio nos mercados financeiros.
• A despeito de a Hipotese do Passeio Aleatorio ser, a primeira vista, plausıvel,
varios trabalhos empıricos encontram evidencia de previsibilidade nos retornos
da acoes.
• A caracterizacao dos retornos de equilıbrio (equacao (10)) mostra que ha boas
razoes para que haja elementos de previsibilidade nos retornos de quaisquer
ativos; sejam eles arriscados ou nao.
• Os retornos esperados de equilıbrio devem estimular os investidores a prorrogar
consumo, alem de compensa-los pelo risco do retorno do ativo adquirido.
– A equacao (10) mostra como esses dois fundamentos economicos – os
estımulos a suavizacao de consumo ao longo do tempo e entre estados da
natureza – determinam os retornos esperados de equilıbrio, que, por sua
vez, sao consistentes com a previsibilidade dos retornos de acoes, encontrada
em diversos estudos empıricos.
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