Post on 26-Jun-2015
Resistência dos Resistência dos Materiais IMateriais IMateriais IMateriais I
AULA 8 AULA 8 –– DESLOCAMENTOS DESLOCAMENTOS EM VIGASEM VIGAS
Prof José Julio de C PitubaDepto de Engenharia Civil
Campus Catalão
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
8.1 Introdução
� A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga
em relação a sua posição inicial.
� Por isso, deve-se frequentemente limitar os valores de deflexão de � Por isso, deve-se frequentemente limitar os valores de deflexão de
maneira a impedir desalinhamentos em elementos de máquinas, e
deflexões excessivas de vigas em prédios na construção civil.
� Métodos de determinação de deflexão e inclinações em pontos
específicos da viga serão discutidos.
8.2 Linha elástica
� Definir a forma defletida da viga sob a carga a fim de visualizar todos os
resultados calculados.
� Diagrama de deflexão: linha elástica
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
� Apoios podem limitar o deslocamento e/ou a rotação
8.2 Linha elástica
� Se a linha elástica for difícil de traçar desenhar primeiro o diagrama de
momento fletor.
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8.3 Relação Momento-Curvatura
� Relação importante entre o momento fletor interno da viga e o raio de curvatura ρ da linha elástica em determinado ponto.
� Determinar a inclinação e o deslocamento da linha elástica de uma viga (ou eixo)
� No desenvolvimento da teoria de deflexão de vigas, deve-se considerar a hipótese fundamental da teoria da flexão na qual as seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão.
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
8.3 Relação Momento-Curvatura
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
A variação de comprimento ∆u das fibras pode ser expressa por:
onde du/ds é a deformação linear de uma fibra da viga a uma distância y do eixo neutro. Assim:
onde κ é definido como sendo a curvatura.
⇒I
My
E
−=σ
ε=σ
EI
M1 =ρ⇒
8.3 Relação Momento-Curvatura
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
Para regime elástico linear
dx
d1
ddx
θ=ρ
θρ=
Inclinação da curva de deflexão
⇓
8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta
� A linha elástica é expressa matematicamente como ν = f(x).
� Para obter esta equação, é preciso representar a curvatura (1/ρ) em termos da
deflexão ν e x.
dxd1 22ν
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
( )[ ]
( )[ ] EI
M
dxd1
dxd
dxd1
dxd1
23
2
22
23
2
22
=ν+
ν
ν+
ν=ρ Equação infinitesimal não-linear de segunda
ordem. Sua solução dá a forma exata da linha
elástica⇒
Inclinação da linha elástica ⇒ dx
dν=θ
� A inclinação da linha elástica determinada por dν/dx é muito pequena e seu
quadrado desprezível em comparação a unidade.
� A curvatura portanto, pode ser aproximada por:
Mdd1 22 νν
8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
EI
M
dx
d
dx
d12
2
2
2
=ν⇒
ν=ρ
ν=−⇒=−
ν=⇒=
2
2
2
2
2
2
dx
dEI
dx
dw
dx
dVw
dx
dEI
dx
d)x(V
dx
dMV
�É possível escrevê-la de duas formas:
� Os resultados podem ser
escritos da seguinte
forma:
8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
)x(Mdx
dEI
)x(Vdx
dEI
)x(wdx
dEI
2
2
3
3
4
4
=ν
=ν
−=ν
Como um exemplo geral de cálculo de deflexão de vigas, pode-se considerar uma viga com carga distribuída. A deflexão neste caso é obtida após quatro integrações sucessivas.
8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
As constantes C1, C2, C3 e C4 sãodeterminadas impondo as condições decontorno. Para o caso de w(x), V(x) econtorno. Para o caso de w(x), V(x) eM(x) descontínuos, a solução pode serachada para cada segmento da vigaonde as funções são contínuas,impondo a continuidade de deflexãonos contornos comuns de cadasegmento da viga.
� Convenção de sinais:
8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta
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� Condições de contorno:
8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
� Continuidade: equações usadas para determinar as constantes de integração
8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
)a()a(
)a()a(
21
21
ν=νθ=θ
APLICAÇÕES !!!APLICAÇÕES !!!
8.5 Superposição de efeitos
Deslocamentos e inclinação tabelados
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
( ) ( )( ) ( )2C1CC
2A1AA
ν+ν=νθ+θ=θ
8.5 Superposição de efeitos
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
8.5 Superposição de efeitos
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
8.5 Superposição de efeitos
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APLICAÇÕES !!!APLICAÇÕES !!!
8.6 Vigas estaticamente indeterminadas
PARA RESOLVER O
Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas
PROBLEMA: EQUAÇÕES
DE CONTORNO E/OU
CONTINUIDADE
APLICAÇÕES !!!APLICAÇÕES !!!