Post on 25-Jun-2020
Aula 4 de FT II
Prof. Gerônimo
Equação diferencial de Condução
Vamos considerar a taxa de geração interna de calor q’’’ = 𝐸 g .
Coordenada x, y e z. Regime transiente.
Volume de controle diferencial, dx dy dz, para análise de condução em coordenadas cartesianas.
Considerando: q = q”
Da primeira lei da TD, temos:
(1) mas, (2) e dU = mc (3)
Vamos aplicar o balanço de energia somente na dimensão x:
(4)
Em função do fluxo te
v
entra sai gera acum
Q dU Qq T
t t t
E E E E
mos:
(5)
Mas para sólidos e líquidos sabe-se que c
e da definição de massa específica, = ou m= V
da figura tem-se que, V=A x. Su
x x x v
GeraEntra SaiAcumula
p v
TAq Aq q V mc
t
c c
m
V
bst. na (5) temos:
( A x)
ou
levando ao limite quando x 0 e t 0
aplicando o conceito de derivada parcial, temos:
x x x
x x x x x x
TAq Aq q V cA x
t
q q q qT Tq c q c
x t x t
mas da lei de Fourrier, q = -k
- (6)
q T Tq c
x t x
T T T Tk q c k q c
x x t x x t
(6)
Considerando a condutividade térmica constante k = cte
ou
Mas .....difusividade térmica (relacionada a capaci
T Tk q c
x x t
T T T q c Tk q c
x x t x x k k t
k
c
2
2
2 2 2
2 2 2
dade
de conduzir calor pela capacidade de armazenar calor)
1 forma conservativa T = T(x, t)
1 forma dissipativa
Em 3D, temos:
T q T
x x k t
T q T
x k t
T T T q
x y z k
1 T
t
2
1 1p
T T T Tkr k k q c
r r r z z tr
• Coordenada cilíndrica:
Volume de controle diferencial, dr rd dz, para análise de condução em coordenadas
cilíndricas (r, , z).
• Coordenada Esférica
2
2 2 2 2
1 1 1sin
sin sinp
T T T Tkr k k q c
r r tr r r
Volume de controle diferencial, dr rsen()d rd, para análise de condução em
coordenadas cilíndricas (r, , ).
Condições de contorno (CC)
1. Temperatura da superfície constante
2. Fluxo térmico na superfície constante
a) Fluxo térmico diferente de zero
b) Superfície isolada termicamente ou adiabática
0|x s
Tk q
x
0, sT t T
0| 0x
T
x
0| 0x
Tk
x
Condições de contorno (CC)
3. Condição de convecção na superfície
0| 0,x
Tk h T T t
x
Uma forma usando o operador diferencial del (nabla).
2 2 2
2 2 2
2
1
1
T T T q T
x y z k t
q TT
k t
As propriedades térmicas da matéria
• Para usar a lei de Fourier, a condutividade térmica do material deve ser conhecida, o qual é uma propriedade de transporte que fornece uma indicação da taxa na qual a energia é transferida pelo processo de difusão.
• A taxa depende da estrutura física da matéria, atômica e molecular, que está relacionada ao estado da matéria.
• A condutividade térmica depende da temperatura
• Em geral a condutividade térmica de um sólido é maior do que de um líquido, que por sua vez, é maior do que a de um gás.
/
xx
qk
T x
Faixas de condutividade térmica de vários estados da matéria a
temperaturas e pressões normais.
Dependência da condutividade
térmica com a temperatura de
Alguns sólidos selecionados.
Outra propriedade relevante:
Difusividade Térmica ()
É a capacidade de conduzir
energia térmica em relação à
sua capacidade de
armazená-la
p
k
C
Exercícios literais
1. Para a parede plana mostrada a seguir e considerando o processo
em regime permanente, calcule o perfil de temperatura T(x) e a
posição e o valor da temperatura máxima Tmáx. Considere que a
taxa de geração interna de calor seja constante, q”’ = cte.
q”’
k
T1 T2
L
x
2 1q TT
k t
Exercícios literais
2. Considere o cilindro mostrado a seguir, onde adota-se condições de
regime permanente, 1D (unidimensional), geração interna de calor q”’ =
cte e conhecidas também a temperatura na superfície da parede (Ts), a
condutividade térmica do material (k) e o raio do cilindro R. Determine:
a) O perfil de temperatura T(r);
b) A temperatura máxima e a posição onde ela ocorre.
2 1q TT
k t
K q”’
R
Ts
Exercício
3. Uma parede plana é composta por duas camadas de materiais, A e B. Na parede de material A há geração de calor uniforme q”’ = 1,5 x 106 W/m3, kA = 75 W/(mk) e a espessura é LA = 50 mm. A parede de material B não apresenta geração de calor, kB = 150 W/(mk) e a espessura é LB = 20 mm. A superfície interna do material A está perfeitamente isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de água com T∞ = 30 C e h = 1000 W/(m2K).
a) Esboce a distribuição de temperatura que existe na parede composta em condições de regime estacionário.
b) Determine a temperatura T0 na superfície isolada e T2 na superfície resfriada.
2 1q TT
k t