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1AT 2006
Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
2AT 2006
Aula
9a• Resposta em
Frequência– conceito base– filtros
• passa-baixo• passa-alto• passa e rejeita banda
• MATLAB– freqz()– butter()
3AT 2006
• Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a resposta de sistemas a sinusóides
• Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas LTI são completamente caracterizados pela sua resposta a sinusóides
• Esta caracterização é conhecida como função de transferência – porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao serem
transferidos através do sistema• Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das
suas características pelos sistemas LTI (fase e amplitude) é conveniente dividir em duas partes– resposta em amplitude e resposta de fase
4AT 2006
O conceito base• Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides
de várias frequências – para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa– considerando a resposta em amplitude só temos de medir a
amplitude na saída• Exemplo (Amplitude de entrada 2 V)
Frequência Amplitude da sáida125 Hz 2 V250 Hz 2 V500 Hz 1.98 V1000 Hz 1.42 V1500 Hz 0.50 V2000 Hz 0.18 V3000 Hz 0.02 V
5AT 2006
Problema• E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide
de 400 Hz ou 1733 Hz ?
• Para poder prever a resposta a uma sinusóide de qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela com uma linha para todas as possíveis frequências – ou seja um número infinito de entradas !!!
• A solução passa pela utilização de um gráfico,– com frequência no eixo horizontal– e amplitude no eixo vertical
6AT 2006
400 Hz 2 V
1733 Hz 0.3 V
7AT 2006
Passa-baixo• Vantagem importante:
– o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta
• No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de frequência a amplitude de saída é igual à de entrada
• Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou atenuada
• Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da frequência) é conhecida por passa-baixo– devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo
sistema sem alteração
– enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas
8AT 2006
Respostas como quocientes• No primeiro exemplo todas as medições
usaram a mesma amplitude (2V)• No entanto nem sempre é possível ou
desejável essa situação• Generaliza-se o conceito fazendo com que a
resposta seja o quociente (razão) entre o nível do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada, ambos função da frequência
Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)
9AT 2006
Aplicando ao exemplo anterior• Tabela:
Frequência Amplitude da sáida Amplitude de Entrada saida/entrada125 Hz 2 V 2 1250 Hz 2 V 2 1500 Hz 1.98 V 2 0.991000 Hz 1.42 V 2 0.701500 Hz 0.50 V 2 0.252000 Hz 0.18 V 2 0.093000 Hz 0.02 V 2 0.01
10AT 2006
Filtros• Sistemas que deixam passar uma gama de
frequências melhor que outras são conhecidos em geral por filtros
• Existem dois tipos principais de filtros– passa-baixo– passa-alto
11AT 2006
Comando MATLAB freqz• Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos
das experiências com o comando filter() ) pode obter-se facilmente a resposta em frequência– freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1– freqz(b,a,N,freq_amostragem);
• N = número de pontos para calcular– [h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem);
• h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores• f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta
12AT 2006
Passa-baixo• idealmente não afecta as sinusóides abaixo de
uma determinada frequência, designada por frequência de corte
fc
amplitude1
0
“pass band”banda de passagem
“stop band”banda de corte
13AT 2006
• Na vida real um passa baixo será por exemplo
em dB
transição não instantânea
frequência de corte definida pela frequência onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo
14AT 2006
Passa-alto• Deixam passar sinusóides acima de um certa
frequência
• Idealmente
fc
amplitude1
0
“stop band”banda de corte
“pass band”banda de passagem
15AT 2006
Filtros em paralelo
1
0
fc1
1
0
fc2 +1
0
Rejeita banda
16AT 2006
Filtros em cascata
fc2
1
0
1
0
fc1
1
0
Passa banda
17AT 2006
Comando MATLAB butter• BUTTER Butterworth digital and analog filter
design.• [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order
lowpass digital Butterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). – The coefficients are listed in descending powers of
z. – The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0,
with 1.0 corresponding to half the sample rate.
18AT 2006
• If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].
19AT 2006
Resposta de fase• Geralmente muito menos relevante que a
resposta em amplitude– motivações perceptuais
• Define-se como a diferença entre as fases das sinusóides de entrada e saída
Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f)
• Uma resposta de fase linear atrasa de um mesmo valor temporal todas as sinusóides
20AT 2006
TPC • Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell
21AT 2006
Aula
9b• Análise em frequência de
sinais– Síntese– Análise– Conceito de espectro
• Análise espectral de sinais digitais
– a DFT e FFT• Análise em frequência de
sinais reais– analógicos– digitais
• MATLAB– fft
22AT 2006
Análise de Fourier
Para sinais analógicos periódicos
23AT 2006
Fourier • Joseph Fourier foi um matemático Francês
– do sec XIX• Descoberta importante:
– Qualquer sinal (periódico) pode ser decomposto num conjunto de sinusóides com frequências múltiplas da frequência do sinal
24AT 2006
Exemplo• Frequência fundamental
= 2.5 Hz– Cada período dura 0.4
segundos
0 0.5 1 1.5-2
0
2soma de 3 sinusóides de 2.5, 5 e 7.5 Hz de amplitutes 1,0.5 e 0.3
0 0.5 1 1.5-1
0
1
0 0.5 1 1.5-0.5
0
0.5
0 0.5 1 1.5-0.5
0
0.5
T
25AT 2006
Espectro• Representando as
amplitudes das várias sinusóides
• obtém-se o espectro de riscas (line spectrum)
2 4 6 8 10 12 14 160
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1/T
26AT 2006
Harmónicos• Sons periódicos apenas podem ter sinusóides
que sejam múltiplas da sua frequência fundamental– Ex:
• frequência fundamental: 100 Hz• Contem sinusóides de 100, 200, 300, etc Hz
• As componentes de sons periódicos chamam-se harmónicos
27AT 2006
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
Exemplo: síntese onda dente de serran F (Hz) Amplitude (V)
1 100 1.002 200 ½=0.53 300 1/3=0.334 400 ¼=0.255 500 1/5=0.26 600 1/6=0.17
28AT 2006
Espectro
0 100 200 300 400 500 600 7000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequência (Hz)
Am
plitu
de (V
)
•Representação das amplitudes (fases) dos harmónicos
29AT 2006
Que acontece se reduzir a freq. Fundamental ?
0 100 200 300 400 500 600 7000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequência (Hz)
Amplitu
de (V
)
Pitch=100 Hz
0 100 200 300 400 500 600 7000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequência (Hz)
Amplitu
de (V
)
Pitch=100 Hz
• Os harmónicos ficam mais próximos– No primeiro estão
espaçados de 100 Hz– No segundo caso
espaçados de 50 Hz
– ...
30AT 2006
E se os sinais não forem periódicos ?• O período de repetição será infinito• As riscas do espectro ficam separadas de 1/T
que neste caso será zero– Tem-se assim neste caso um número infinito de
riscas – O sinal pode conter todas as frequências desde 0
até infinito– Trata-se da chamada Transformada de Fourier
31AT 2006
Análise de Fourier• Normalmente não sabemos quais as sinusóides
e amplitudes que devemos somar• Temos de obter com base no sinal
– o Teorema de Fourier diz como se faz • um sinal periódico apenas contem frequências que são
múltiplos inteiros de uma frequência base ou “fundamental”
– conhecidas por harmónicos (ou componentes espectrais)
• Esta sequência de termos relacionados é conhecida por série
– Sendo o processo conhecido por Série de Fourier
32AT 2006
fseriesdemo
33AT 2006
Análise de Fourier de sinais digitais
DFT, FFT
34AT 2006
DTF e FFT• Vimos que a série de Fourier converte uma
onda num conjunto de sinusóides, tal que quando somadas, se obtém o sinal original
• A operação que converte uma onda digital em sinusóides (digitais) é a Discrete Fourier Transform (DFT)– A FFT é um algoritmo rápido de cálculo da DFT
35AT 2006
Exemplo• Considere-se o sinal
– x = [ -8 –8 –4 5 –2 4 7 9]• Aplicando a DFT
– Obtém-se 8 sinusóides – tantas como o número de amostras do sinal – de 0, 1, 2 ... 7 ciclos
36AT 2006
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7 8-10
0
10
37AT 2006
Exemplo
38AT 2006
Aplicação a uma vogal
0 100 200 300 400 500 600-0.1
0
0.1
0 100 200 300 400 500 6000
2
4
0 50 100 150 200 250 300-50
0
50
39AT 2006
Aplicação de análise de Fourier ao sinal de voz
cujas características variam no tempo
40AT 2006
Segmentos (Frames)• A análise pela DFT assume que o sinal
mantém as suas características a seguir ao bloco analisado– O que não se verifica no sinal de voz
• A análise é efectuada em pequenos segmentos em que o sinal tem características estáveis– Cerca de 10 a 20 ms
• Cada segmento é designado em Inglês por frame
41AT 2006
Janelas• Ao obter-se um segmento está implícito que se
colocam a zero todos os valores fora do segmento– Isto corresponde à aplicação do que se chama
janela rectangular• Problema: o que se vê na FFT não são apenas as
componentes devidas ao sinal mas também componentes devidas à janela
• Para evitar parcialmente este problema utilizam-se outras janelas, como as de Hamming e Hann
42AT 2006
Janelas • Hamming
• Aplicada ao sinal
0 50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 50 100 150 200 250 300-0.1
-0.05
0
0.05
0.1sinal aplicando janela rectangular de 256 pontos
0 50 100 150 200 250 300-0.1
-0.05
0
0.05
0.1sinal aplicando janela de hamming de 256 pontos
43AT 2006
Efeito na FFT
0 20 40 60 80 100 120 140-50
-40
-30
-20
-10
0
10
vermelho= rectangular preto=hamming
44AT 2006
Tamanho das janelas• Para se usar DFT deve ser potência de 2
– 32, 64, 128, 256, 512, 1024
• Resolução na frequência pretendida– N amostras resultam em N pontos na frequência
entre 0 e a freq. Amostragem• Intervalo entre frequências= fa/N
– N=fa/intervalo– Intervalo = 45 Hz => 10000/45=222 => 256 amostras– Intervalo = 300 Hz => 10000/300=34 => 32 amostras
45AT 2006
Análise em frequência de sinais reais
sinais analógicos
46AT 2006
O problema base• Até agora os espectros (análise espectral) referia-se a
sinais com uma representação matemática “simples”• Mas o que acontece quando pretendemos o espectro
de sinais do mundo real, não definidos por uma fórmula matemática?– a transformada/série de Fourier apenas funciona com sinais
abstractos “no papel”
47AT 2006
Uma solução• Até recentemente, apenas existia uma forma prática de
determinar o espectro nestes casos, utilizando filtros passa-banda– este tipo de filtro possui a propriedade de selectivamente atenuar as
frequências abaixo e acima da região a que são mais sensíveis
• para saber a energia que existe numa gama de frequência apenas temos de fazer passar o sinal por um filtro passa-banda ajustado para essa gama
• Para ter o espectro numa gama de frequências teremos de ter vários filtros com a frequência central cobrindo o intervalo– o conjunto de filtros chama-se BANCO DE FILTROS– Por vezes a utilização de vários filtros não é viável (por exemplo pelo
seu custo) utilizando-se um filtros com frequência central ajustável
48AT 2006
Exemplo: análise da onda triangular• O sinal
– período = 5 ms
49AT 2006
filtro para frequência central=200• filtro e saída
•Max=0.3748
50AT 2006
filtro para frequência central=300• filtro e saída
•Max aprox 0
51AT 2006
usando vários filtros...
52AT 2006
o caso digital• aplica-se a DFT/FFT
•tantos pontos como os do sinal
53AT 2006
em termos de frequências