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Aula 03: Método gráfico e modelagemOtimização Linear e Inteira
Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br
BCC464/PCC174 – 2019/2Slides baseados no material de Haroldo Gambini
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Breve histórico
Exemplos básicos de Modelagem
Método Gráfico
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Exercício
Exercício1 Desenhe no gráfico a região factível (região de soluções) que satisfaz
as restrições abaixo:5x1 + 2x2 ≥ 254x1 − 3x2 ≥ −3x1 ≥ 0x1 ≤ 2x2 ≥ 0
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/ 12
x1
x2
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
5x1+2x2 ≥ 254x1−3x2 ≥ −3x1 2x1, 0
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x2 ≥
≤
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x1
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−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1
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5x1+2x2 ≥ 254x1−3x2 ≥ −3x1 ≥ 2x1, x2 ≥ 0
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Aula de Hoje
1 Definições e método gráfico
2 Forma Canônica e Forma Padrão
3 Soluções Básicas
4 Dicas de Modelagem
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Aula de Hoje
1 Definições e método gráfico
2 Forma Canônica e Forma Padrão
3 Soluções Básicas
4 Dicas de Modelagem
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Definições Preliminares
Conjunto Convexo
Um conjunto de pontos S é um Conjunto Convexo se o segmento delinha juntando qualquer par de pontos em S é completamente contido emS.
Convexo ou não?
a b c d
A
A
A B
B
E B
C D
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Definições Preliminares
Ponto Extremo
Em um conjunto convexo S um ponto P é um Ponto Extremo se cadasegmento de linha que fica completamente em S e contém P tem Pcomo final (ou início) da linha.
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Definições Preliminares
E
F
D
B
C Ax1
60
50
10 20 30 40 50 60
40
30
20
10HS
Quais são os pontos extremos?
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Mais sobre o método gráfico
Na última aula modelamos o problema a seguir (Problema da Dieta):
Minimizar: 3x1 + 2, 5x2 (1)
Sujeito a: 8x1 + 4x2 ≥ 32 (2)
6x1 + 6x2 ≥ 36 (3)
x1 ≥ 0 (4)
x2 ≥ 0 (5)
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Mais sobre o método gráfico
E modelamos também o problema de decisão de quantos sacos de soja(x1) e milho (x2) comprar:
Maximizar: 300x1 + 280x2 (6)
Sujeito a: 70x1 + 50x2 ≤ 350 (7)
50x1 + 80x2 ≤ 400 (8)
x1 ≤ 4 (9)
x1, x2 ≥ 0 (10)
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Aula de Hoje
1 Definições e método gráfico
2 Forma Canônica e Forma Padrão
3 Soluções Básicas
4 Dicas de Modelagem
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Notações utilizadas
Um modelo de PL pode ser escrito como (forma canônica):
maximizar ctx
sujeito a Ax ≤ b
x ≥ 0
No exemplo do slide anterior teríamos:
A =
70 5050 801 0
x =
[x1x2
], b =
3504004
, c =
[300280
]
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Forma Canônica
Um modelo está no forma canônica se:
1 todas as restrições são do tipo ≤ (menor ou igual)2 todas as variáveis são não negativas (≥ 0)3 o objetivo é de maximização
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Forma Padrão
Um Programa Linear (PL) está na forma padrão se:
1 todas as restrições são de igualdade2 todas as variáveis são não negativas (≥ 0)
O modelo a seguir está na forma padrão?
Minimize: 3x1+2, 5x2
Sujeito a: 8x1+ 4x2 ≥ 32
6x1+ 6x2 ≥ 36
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
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Forma Padrão
É possível converter qualquer PL para a forma padrão:
1 Restrições de ≤ e ≥ se tornam restrições de = por meio daintrodução de variáveis de folga
Variáveis de folga indicam falta ou excesso
2 Variáveis que podem ser negativas são substituídas por duasvariáveis, uma indicando a parte positiva e outra a parte negativa damesma
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Exemplo
3x1 + 2x2 ≥ 6⇓
3x1 + 2x2 − s1 = 6...
50x1 + 35x3 ≤ 80⇓
50x1 + 35x3 + s3 = 80
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Exemplo
Problema da dieta (apresentado na aula anterior):
min. 3x1+2, 5x2
s.a. 8x1+ 4x2 ≥ 32
6x1+ 6x2 ≥ 36
x1, x2 ≥ 0
Na forma padrão:
min. 3x1+2, 5x2
s.a. 8x1+ 4x2− s1 = 32
6x1+ 6x2− s2 = 36
x1, x2 ≥ 0
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Forma Padrão
ExercícioColoque na forma padrão:
min. 3x1+x2
s.a. x1 ≥ 3
x1+x2 ≤ 4
2x1−x2 = 3
x1, x2 ≥ 0
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Forma Padrão
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
x =
x1x2...xn
, b =
b1b2...bm
Então as restrições de um PL pode ser escrito como:
Ax = b
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Aula de Hoje
1 Definições e método gráfico
2 Forma Canônica e Forma Padrão
3 Soluções Básicas
4 Dicas de Modelagem
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Variáveis Básicas
Definição
Em um sistema de equações com n variáveis e m restrições definimos comosolução básica uma solução onde temos:
m variáveis para as quais o sistema é resolvido, essas sãochamadas Variáveis Básicas (VB)
m− n o restante das variáveis permanece fixada em zero - as VariáveisNão-Básicas (VNB)
Exemplo
x1 +x2−x2
= 3+x3 = −1
Verifique as soluções para V B = {x1, x2} e V B = {x2, x3}
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Variáveis Básicas
Todo conjunto de VB permite a obtenção de uma solução básica ?
x1 +2x2 +x3 = 12x1 +4x2 +x3 = 3
Tente VB = {x1, x2}....
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Pontos Extremos e Soluções Básicas Factíveis
Definição
Qualquer solução básica onde todas as variáveis são não negativas éuma Solução Básica Factível - SBF.
TeoremaUm ponto na região factível de um PL é um Ponto Extremo se e somentese é uma Solução Básica Factível para o PL.
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max. 4x1+3x2
s.a. x1 +x2 ≤ 40
2x1 +x2 ≤ 60
x1, x2 ≥ 0
⇓
max. 4x1+3x2
s.a. x1 +x2 + x3 = 40
2x1 +x2 +x4 = 60
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
E
F
D
B
C A
x2
x1
60
50
10 20 30 40 50 60
40
30
20
10
Ex.: VB = {x1, x3} corresponde a qual ponto?Qual o valor de x2 e x4 na SBF desse ponto?
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PLs Degenerados
Degeneração
Eventualmente, mais de um Conjunto de Variáveis Básicas podecorresponder a um mesmo Ponto Extremo. Nesse caso dizemos que oPrograma Linear é Degenerado.
O impacto de soluções degeneradas na resolução dos PLs será discutidoposteriormente.
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Direção Ilimitada
Definição
Em um PL com região factível S e restrições Ax = b, x ≥ 0 dizemos qued é uma Direção Ilimitada se para qualquer solução x ∈ S e qualquerc ≥ 0:
x+ c× d ∈ S
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Direção Ilimitada
min : 50x1 +100x2s.a. : 7x1 +2x2 −x3 = 28
2x1 +12x2 −x4 = 24
d =
11914
z= 600
z= 320
(10)
(4, 4)
B
E
C
x2
x1
4
2(11)
6
8
10
12
14
2 4 6 8 10 12 14
z= 600z= 320
(10)
(4, 4)
B
E
C
x2
x1
4
2(11)
6
8
10
12
14
2 4 6 8 10 12 14
d A
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Pontos Extremos e Soluções Factíveis
Teorema:
Considere um PL na forma padrão com SBF:
b1, b2, . . . , bk
Qualquer ponto x na região factível pode ser escrito como:
x = d+
k∑i=1
σibi
em que d = 0 ou é a direção ilimitada ek∑
i=1
σi = 1.
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Combinações Convexas de SBFs (PL Limitado)
max : 4x1 +3x2
s.a. : x1 +x2 ≤ 402x1 +x2 ≤ 60
x1, x2 ≥ 0
Ponto H (24,12) não é SBF.
Pode ser escrito como a combinaçãoconvexa de E e C:
H = 0,6 E + 0,4 C
Ponto G também não é BFS.
Pode ser escrito como :
G = 16F + 5
6H
⇓G = 1
6F + 5
6(0, 6E + 0, 4C)
E
F
D
B
C Ax1
60
50
10 20 30 40 50 60
40
30
20
10H
G
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Combinações Convexas de SBFs (PL Ilimitado)
7x1 +2x2 −x3 = 282x1 +12x2 −x4 = 24
Descrevendo F em termos de SBFs:
Direção Ilimitada:Inclinação para ir de C a F : 4−0
14−12
d =
242252
b1 =
120560
x =
1447852
Desse modo obtemos:
x = d+ b1
z= 600z= 320
(10)
(4, 4)
B
E
C
F
AD
x2
x1
4
2(11)
6
8
10
12
14
2 4 6 8 10 12 14
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2 Forma Canônica e Forma Padrão
3 Soluções Básicas
4 Dicas de Modelagem
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Passo-a-passo para modelar um problema:
1 Elabore um esquema do problema.
2 Encontre e escreva uma solução qualquer para o problema.
3 Olhando para a solução, defina as variáveis de decisão.
4 Observando as variáveis de decisão, defina a função objetivo, ouseja, o que deve ser maximizado ou minimizado.
5 Finalmente, defina as restrições do problema.
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Perguntas?