Post on 10-Oct-2014
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 1 Αθήνα 1999
Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς ενός αυτόματου συστήματος πλοήγησης
υπερηχητικού αεροπλάνου , το οποίο επικουρεί στην αεροδυναμική ευστάθεια του , κάνοντας την πτήση ποιο σταθερή και ποιο άνετη . Ζητείται να μελετηθεί με την βοήθεια του Comprehensive Control .
)2()1(2)( 2 +∗+∗=ssssG
Συγκεκριμένα ζητείται : ( α ) . Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter . ( β ) . Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να
αποδειχθεί Θεωρητικά . ( γ ) . Να σχεδιαστεί η βηματική και η κρουστική απόκριση του
συστήματος ανοιχτού και κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηση . Θεωρητική απόδειξη .
( δ ) . Να ελεγχθεί ως προς την ευστάθεια το σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηση ( routh – stability ) . Και θεωρητική απόδειξη .
( ε ) . Να χαραχθεί το διάγραμμα Bode του κλειστού συστήματος μοναδιαίας ανατροφοδότησης και έπειτα να σχεδιαστούν οι ασύμπτωτες πάνω στο διάγραμμα Bode . Να αποδειχθεί και θεωρητικά .
( στ ) . Να χαραχθεί το διάγραμμα τόπου ριζών του κλειστού συστήματος μοναδιαίας ανατροφοδότησης και να αποδειχθεί συνοπτικά θεωρητικά .
( ζ ) . Να μετασχηματιστεί η G(s) σε G(z) με όλους τους δυνατούς τρόπους και να αποδειχθούν θεωρητικά .
( η ) . Να σχεδιαστεί η βηματική και η κρουστική απόκριση του συστήματος ανοιχτού και κλειστού βρόχου G(z) με μοναδιαία ανατροφοδότηση . ( μέθοδος Sampled inverse Laplace transform ) Θεωρητική απόδειξη .
( θ ) . Να χαραχθεί το διάγραμμα Bode της Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου . ( ι ) . Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. του κλειστού συστήματος . Να μελετηθεί ως
προς την ευστάθεια . Θεωρητική απόδειξη . ( ια ) . Να μελετηθεί η G(z) στο χώρο κατάστασης . Κανονική μορφή . Να
εξαχθούν οι πίνακες ελεγξιμότητας – παρατηρησιμότητας και να εξαχθούν συμπεράσματα για την ευστάθεια μέσω της εντολής poles . Να εφαρμοστεί η εντολή Fadeeva Θεωρητική απόδειξη .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 2 Αθήνα 1999
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ :
Α – Β . Ερώτημα :
Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη : Η G(s) αναλύεται σε κλάσματα .
)2()1()1()2()1(2)( 2
21211
2 ++
++
+=
++=
sk
sk
sk
ssssG
Όπου :
[ ]
[ ]
[ ] 4)2(
2lim)2)((lim
4)2(
2)2(2lim)1)((lim
22
2lim)1)((lim
22222
1221
2
112
111
2
111
−=⇒
+
=+=
=⇒
+−+=+=
−=⇒
+
=+=
−→−→
−→−→
−→−→
kssssGk
ks
ssdsssGdk
kssssGk
ss
ss
ss
Οπότε :
ttttt etetgeetetgsGL
ssssG
221
2
4)42()(442)()]([
)2(4
)1(4
)1(2)(
−−−−−− −+−=⇒−+−==
+−
++
+−=
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 3 Αθήνα 1999
Γ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη : Βηματική απόκριση ανοιχτού βρόχου .
)2()1(21)()()()( 2 ++
=∗=∗=sss
sGsUsGsY
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace :
)2()1()1()( 212
211
++
++
+=
sk
sk
sksY
Οπότε έχουμε :
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 4 Αθήνα 1999
[ ]
[ ]
[ ] 2)1(
2lim)2)((lim
2)2(
2lim)1)((lim
2)2(
2lim)1)((lim
22222
1221
2
112
111
2
111
=⇒
+
=+=
−=⇒
+−=+=
=⇒
+
=+=
−→−→
−→−→
−→−→
ks
ssYk
ksds
ssYdk
ks
ssYk
ss
ss
ss
Άρα έχουμε :
)2(2
)1(2
)1(2)( 2 +
++
−+
=sss
sY
Εφαρμόζουμε αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace :
[ ]
<≥+−=
=
+−==
−−−
−−−−
0t 00 t222)(
)(
222)()(1
ttt
ttt
eetetyty
eetetysYL
Δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα και παρατηρούμε ότι οι τιμές
επαληθεύουν την γραφική παράσταση
t Y(t) 0 0
0.5 0.13 1 0.27 1.5 0.32 2 0.31
2.5 0.26 3 0.20
3,5 0.15 4 0.11
4.5 0.08 5 0.05
Κρουστική απόκριση ανοιχτού βρόχου :
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 5 Αθήνα 1999
<≥−+−
=
=⇒∗=
−−
0 t 00 t4)42(
)(
)()(1)()(
2tt eetty
tgtysGsY
Δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα και παρατηρούμε ότι οι τιμές
επαληθεύουν την γραφική παράσταση
t Y(t) 0 0
0.5 0.35 1 0.20 1.5 0.02 2 -0.07
2.5 0.11 3 -0.11
3,5 -0.09 4 -0.07
4.5 -0.06 5 -0.04
Δ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη :
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 6 Αθήνα 1999
Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου για Κ=1 ( stability ) δίνεται από την σχέση p(s) στην οποία θα εφαρμόσω το κριτήριο Routh
02740)(.. 23 =+++⇒=⇒ sssspEX
Πίνακας Routh
3s 1 7 2s 4 2 1s 6.5 0 0s 2
Το σύστημα είναι ευσταθές
Προφανώς το σύστημά για Κ=1 είναι ευσταθές αφού άλλωστε οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο .
Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου για άπειρες τιμές
του Κ ( Routh ) δίνεται από την σχέση p(s) στην οποία θα εφαρμόσω το κριτήριο Routh
02)25(40)(.. 23 =++++⇒=⇒ sKssspEX
Πίνακας Routh
3s 1 5+2Κ 2s 4 2 1s 2Κ+4.5 0 0s 2
Το σύστημα είναι ευσταθές Από τον πίνακα Routh Θα βρούμε το κρίσιμο Kcr . Έτσι θα είναι
(2Κ+4,5)=0 οπότε Kcr=-2.25
Το σύστημα κλειστού βρόχου θα είναι ΕΥΣΤΑΘΕΣ για τιμές του Κ μεγαλύτερες του –2.5 . Δηλαδή Κ : ( -2.5 , +00 )
Ε . Ερώτημα .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 7 Αθήνα 1999
Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη : Αν θέσω s=j*ω στην συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s)H(s)
+
+
=++
=1
2ω1
1ω
1ω
)2ω()1ω()ω(2)ω()ω( 22
jj
j
jjjjHjG
Οπότε έχουμε : Τρεις πόλους ω2= ω3=1 rad/sec ω4= 2 rad/sec
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 8 Αθήνα 1999
( ) 40db- κκλίσμε ευθεία
jω1 G(s)H(s) η ωω Για
20db- κκλίσμε ευθεία 1 G(s)H(s) η ωωωω Για
0db) , secrad 1 ( τταπό διερχόμενη 20db κκλίσμε ευθεία (jωj G(s)H(s) η ωω Για
24
432
2
→<
→<<=
+→<
Η φάση δίνεται από τον παρακάτω τύπο .
−∗−= −−
2ωtan)ω(tan290Φ 11ο
Έτσι για διάφορες τιμές του ω προκύπτει ο ποιο κάτω πίνακας . Οι τιμές αυτές
επαληθεύουν το διάγραμμα φάσης .
Ω rad/sec
Φ(ω) μοίρες
0.1 75.7 0.5 22.8 1.0 -26.6 5.0 -135.6 10.0 -157.3 50,0 -175.4 100.0 -177.8 500.0 -179.5
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 9 Αθήνα 1999
ΣΤ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Θεωρητική απόδειξη :
Η )2()1(
2)( 2 +∗+∗=ssssG έχει τρεις πόλους ( ένα διπλό και ένα απλό ) και ένα
μηδενικό
0z2p , 1
1
321
=−=−== pp
Άρα ο τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους . Στον πραγματικό άξονα θα
έχουμε τόπο μεταξύ του 1z και του 1p και μεταξύ του 2p και του 3p
Ασύμπτωτες :
=⇒=
=⇒==∗+∗=
−∗+∗=Φ
0α2
0α10
p
0
270φ 1μ
90φ 0μ091)μ2(
n1801)μ2(
znα
Άρα υπάρχουν δύο ασύμπτωτες στις 00 270 , 90 . Σημείο τομής των
ασύμπτωτων με τον πραγματικό άξονα .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 10 Αθήνα 1999
2σ13
0)211(σ αα −=⇒−−−−−=
−Σ−Σ=zp nnzp
Σημείο αποχωρισμού από τον πραγματικό άξονα . break way point
( ) ( )
−=
=⇒=−∗−∗
⇒=−∗−−+−∗
⇒=−
+−
αι απορρίπτετ 618.0σ
62.1σ02σ2σ2
σ1
1σ1σ1σ4σ2
σ1
2σ1
1σ2
b
bb
2b
bbb
bb
bbb
Άρα τελικά 62.1σ b −= .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 11 Αθήνα 1999
Ζ . Ερώτημα : Προσομοίωση : Forward rectangle :
Backward rectangle :
Bilinear :
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 12 Αθήνα 1999
Pole – Zero mapping :
Sampled inverse Laplace transform
Zero order hold :
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 13 Αθήνα 1999
Θεωρητική απόδειξη : Forward rectangle :
Θέτω στην G(s) την σχέση 1T , 1 =−=Tzs οπότε και παίρνω την παρακάτω
διακεκριμένη συνάρτηση .
)1()1()( 21 +
−∗= ∗ zzzzzF
Backward rectangle :
Θέτω στην G(s) την σχέση 1T , 1 =∗−=Tz
zs οπότε και παίρνω την παρακάτω
διακεκριμένη συνάρτηση .
)33.0()5.0()1(166.0)(
)21()11()1(2)( 2
2
2121
1
2 −∗−−∗∗=⇒
+−∗+−−= −−
−
zzzzzF
zzzzF
Bilinear :
Θέτω στην G(s) την σχέση 1T , )1()1(2
)1()1(2
1
1
=+∗−∗=
+∗−∗= −
−
zTz
zTzs οπότε και
παίρνω την παρακάτω διακεκριμένη συνάρτηση .
2
2
323 )333.0()1()1(111.0)
21121
112
114
)−∗
+∗−∗=⇒
+
+−∗∗
+
+−∗
+−∗
=zz
zzzF
zz
zz
zz
zF
Pole – Zero mapping : Εφαρμόζοντας την μεθοδολογία που αναπτύξαμε σε σχετική ενότητα ( εντολή
CONVERT )
)()()()1()1(
)( 2
2
4 TTTdc
ezezezzzKzF −−− −∗−∗−−∗+∗
=
Θέτουμε T=1 και υπολογίζουμε την dcK βάση της σχέσης
014 )()(==
=sz
sGzF Οπότε 086.0=dcK . Η τελική μορφή της συνάρτησης θα είναι .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 14 Αθήνα 1999
)135.0()368.0()1()1(086.0)( 2
2
4 −∗−+∗−∗=
zzzzzF
Sampled inverse Laplace transform :
tt etesssLsGL 2
211 4)24(
)2()1(2)]([ −−−− ∗−∗−∗=
+∗+
∗=
Θέτω t=kT οπότε και έχουμε :
kTkTkTkTkT ekTeeTkgeTkeTkg 22 424)(4)24()( −−−−− −−=∗⇒∗−∗∗−∗=∗
Σύμφωνα με το τυπολόγιο .
( ) ( ) ( )
)135.0()368.0()24.1(194.0)(
424)(
25
1225
−∗−−∗∗=
→−
−−
∗∗−−
= =−−
−
−
zzzzzF
ezz
ezezT
ezzzF T
TT
T
T
Zero order hold :
( ) )135.0()368.0()071.0270.0)(1(270.0)(2221)(
)2(2
)1(2
)1(2)1()()1()(
262121
1
6
12
116
−−+−=⇒
−∗+
−∗−
−
∗∗∗−=
→
+
++
−+
∗−=
∗−=
−−−
−
=−−
zzzzzF
ezz
ezz
ezez
zzzF
sssZz
ssGZzzF T
Παρατήρηση : Όπου βλέπουμε ‘Ε(n) εννοείται η δ(n) κρουστική συνάρτηση.
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 15 Αθήνα 1999
Η . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Παρατήρηση : Με την βοήθεια της εντολής WINDOWS μπορέσαμε και χωρίσαμε το παράθυρο γραφικών σε τέσσερα ίδια κομμάτια έτσι ώστε να μπορούμε να έχουμε τέσσερις γραφικές παραστάσεις ταυτόχρονα στο ίδιο παράθυρο .
Θεωρητική απόδειξη : Βηματική διέγερση ανοιχτού συστήματος .
14.062.0)49.015.1()(
)1(14.0
)135.0(62.0
)368.0(64.1
)368.0(159.1)(
1)135.0()368.0()24.1(194.0)()(Y(z)
2
1T , ] [2
2
25
1
−+−∗=
→−∗−
−∗+
−∗−
−∗=
⇒−
∗−∗−−∗∗=∗=
−−
=−
nn
Z
eneny
zz
zz
zz
zzzY
zz
zzzzzUzF
Το ίδιο αποτέλεσμα θα παίρναμε εάν εκτελούσαμε την εντολή IZT για την Y(z).
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 16 Αθήνα 1999
Από την y(n) εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος συμπίπτει με τις τιμές της γραφικής του παράθυρου ( 3 ) .
n Y(n) 0 -0.010 1 0.180 2 0.110 3 0.009 4 -0.060 5 -0.100 6 -0.120 7 -0.133 8 -0.137 9 -0.138 10 -0.139
Κρουστική διέγερση ανοιχτού συστήματος . Ομοίως :
nn
Z
eneny
zFzY
2
1T , ] [5
97.3)98.3991.1()(
1)()(1
−−
=
∗−+∗−∗=
→∗=−
Από την y(n) εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος συμπίπτει με τις τιμές της
γραφικής του παράθυρου ( 3 ) .
n Y(n) 0 0.0100 1 -0.1900 2 -0.0700 3 -0.1100 4 -0.0700 5 -0.0400 6 -0.0200 7 -0.0100 8 -0.0040 9 -0.0010 10 -0.0007
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 17 Αθήνα 1999
Θ . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 18 Αθήνα 1999
Ι . Ερώτημα : Προσομοίωση :
Παρατήρηση : Το διάγραμμα τόπου ριζών με την μαύρη γραμμή είναι ο Γ.Τ.Ρ. του F5(z) για Κ>0 . Ενώ αυτό με την κόκκινη γραμμή είναι της F5(z) για K<0
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 19 Αθήνα 1999
Θεωρητική απόδειξη : Διάγραμμα τόπου ριζών : Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου δίνεται από την σχέση :
)135.0()368.0()24.1(194.0)()( 25 −∗−
−∗∗∗=zzzzKzHzF
έχει τρεις πόλους ( ένα διπλό και ένα απλό ) και δύο μηδενικά
24.1z0135p , 368.0
1
321
=−=== pp
Άρα ο τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους . Στον πραγματικό άξονα θα
έχουμε τόπο μεταξύ του 1z και του 1p και μεταξύ του 2p και του 3p και −∞→1z
Ασύμπτωτες : 00μ0
p
0
1800181)μ2(n
1801)μ2( =Φ→∗+∗=−∗+∗=Φ =
ααzn
Άρα υπάρχει μία ασύμπτωτες στις 180 μοίρες . Σημείο τομής των
ασύμπτωτων με τον πραγματικό άξονα .
377.0σ248.1871.0σ αα −=⇒−=−Σ−Σ=zp nnzp
Σημείο αποχωρισμού από τον πραγματικό άξονα . break way point
+−
=⇒−
=−
+− 198.0
150.0σ
248.1σ1
135.0σ1
368.0σ2
bbbb
Άρα τελικά έχω δύο σημεία αποχωρισμού από τον πραγματικό άξονα . Ευστάθεια : Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος F5(z) με μοναδιαία
ανατροφοδότηση H(z) = 1 ( κλειστό σύστημα ) δίνεται από την σχέση θεωρούμε ότι Κ=1 ( stability ).
0018.0008.0677.00)()(10)( 235 =−∗−∗−⇒=∗+⇒= zzzzHzFzp
Εφαρμόζουμε Jury test για την παραπάνω εξίσωση .
z0 z1 z2 z3 -0.018 -0.008 -0.677 1 1 -0.677 -0.008 -0.018
-0.999 0.677 0.020
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 20 Αθήνα 1999
1a , 677.0a , -0.008a , -0.018a : Προφανώς
020.0b , 677.0b , 999.0b 3n ,
3210
2100
=−===
==−=⇒== −
kn
knk aa
aab
Παίρνω τις εξής ανισώσεις :
b
068.1)1()1(
029.0)1(
20
30
b
aap
pn
>
<>=−∗−
>=
Όλες οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν άρα μπορούμε να πούμε ότι για Κ=1 το
σύστημα κλειστού βρόχου μοναδιαίας ανατροφοδότησης είναι ευσταθές .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 21 Αθήνα 1999
ΙΑ . Ερώτημα : ( * ) . Σ’ αυτήν την ενότητα πρώτα θα ακολουθήσει η θεωρητική απόδειξη
και έπειτα η προσομοίωση στο CC . Θεωρητική απόδειξη : Περιγραφή του συστήματος : Η συνάρτηση του ψηφιακού συστήματος δίχως ανατροφοδότηση ( ανοιχτό
σύστημα ) δίνεται από την F5(z) T=1 . Η F5(z) μπορεί να αναλυθεί και σε κλάσματα
)135.0(537.0
)368.0(733.0
)368.0(272.0
)135.0()368.0()248.1(194.0)( 225 −
−+−
+−−=
−−−∗∗=
zzzzzzzzF
Από την παραπάνω σχέση προκύπτει το block διάγραμμα .
z-1z -̂1
z -̂1-0.537
0.135
0.368 0.368
-0.272
0.733R(z)
Y(z)
+
+
+
+
+
+
Δομικό διάγραμμα κανονικής μορφής
r(k)y(k)
x2(k+1) x2(k) x1(k+1) x1(k)
x3(k+1) x3(k)
+
+
+
Από το παραπάνω block διάγραμμα προκύπτει ότι .
)(537.0)(733.0)(272.0)()(135.0)()1()(368.0)()1()(368.0)()1(
321
33
22
121
kxkxkxkykxkrkxkxkrkxkxkxkx
∗−∗+∗−=∗+=+∗+=+∗+=+
Οπότε οι εξισώσεις κατάστασης υπό κανονική μορφή δίνονται από τις
παρακάτω εξισώσεις .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 22 Αθήνα 1999
[ ] )(0)()()(
537.0733.0272.0)(
)(110
)()()(
135.0000368.0001368.0
)1()1()1(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
krkxkxkx
ky
krkxkxkx
kxkxkx
∗+
∗−−=
∗
+
∗
=
+++
Παρατήρηση : Η πίνακες κατάστασης του συστήματος F5(z) προέκυψαν βάση
της ανάλυση κλασμάτων - κανονική μορφή . Δεν κάναμε χρήση των τύπων κανονικής μορφής φάσης ή ελέγξιμης κανονικής μορφής ή της παρατηρήσιμης κανονικής μορφής ή της διαγώνιας κανονικής μορφής . Παρόλα αυτά όποια και μέθοδο και αν επιλέξουμε για να περιγράψουμε το σύστημα θα μας επιστέψουν τα ίδια αποτελέσματα ως προς την ευστάθεια – ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα του συστήματος .
Οι τέσσερις πίνακες με την σειρά όπως τους βλέπουμε παραπάνω δηλώνονται ως A , B , C , D με τους οποίους θα περιγράφουμε το σύστημα από εδώ και στο εξής . Δηλαδή P = [ A ,B ; C , D ] .
Μελέτη ευστάθειας συστήματος με την χρήση του πίνακα Α : Παίρνω την χαρακτηριστική εξίσωση και αν οι ρίζες της είναι εντός μοναδιαίου
μιγαδικού κύκλου z τότε το σύστημά μας είναι ευσταθές .
ΣΥΣΤΗΜΑ 1λ368.0λ
1λ135.0λ0.135)-λ(0.368)-λ(
00.135-λ0000.368-λ001-0.368-λ
0Α-Ιλ0p(z) :..
33
1,21,22 ΕΥΣΤΑΘΕΣ⇒
<⇒=
<⇒==∗
⇒=⇒=∗⇒=EX
Μελέτη Ελεγξιμότητας του συστήματος : Ύστερα από υπολογιστικές πράξεις προκύπτει ότι :
=∗
=∗
018.0135.0736.0
A , 135.0368.01
2 BBA
Οπότε σύμφωνα με την γνωστή σχέση για τον πίνακα ελεγξιμότητας του
διανύσματος κατάστασης ενός συστήματος θα έχουμε .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 23 Αθήνα 1999
[ ]
=⇒∗∗=
018.0135.01135.0368.01736.010
2 SBABABS
Η ορίζουσα του πίνακα S ισούται με –0.054 δηλαδή διάφορη του μηδενός άρα
το rank(S)=3 οπότε το σύστημα είναι ελέγξιμο . Ομοίως ο πίνακας παρατηρησιμότητας διανύσματος κατάστασης δίνεται .
0002.001.0073.0537.0
099.010138.1733.0037.0099.0272.0
4 ≠−=⇒
−−−−∗−−−−
= − TT RR
Η ορίζουσα του πίνακα R^T είναι δηλαδή διάφορη του μηδενός άρα το
rank(Τ)=3 οπότε το σύστημα είναι παρατηρήσιμο . Μετάβαση από τους πίνακες κατάστασης στην συνάρτηση μεταφοράς του
συστήματος : Παίρνουμε την γνωστή σχέση [ ] DBAIzzCzzT +∗∗−∗∗∗= −1)( . Μετά
από πράξεις καταλήγουμε στην .
)()135.0()368.0(
104.1241970.0193718.0)( 52
52
zFzz
zzzT ≅−∗−
∗−∗−∗=−
Οι αποκλίσεις που υπάρχουν μεταξύ της T(z) , F5(z) οφείλονται σε διάφορες
στρογγυλοποιήσεις πράξεων .
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 24 Αθήνα 1999
Προσομοίωση :
Τ.Ε.Ι. Πειραιά 25 Αθήνα 1999
Γενικές Παρατηρήσεις : Διαπιστώνουμε ότι τα αποτελέσματα της προσομοίωσης επαληθεύουν τα αποτελέσματα των θεωρητικών αποδείξεων . Αυτό λοιπόν επιβεβαιώνει ότι το Comprehensive Control αποτελεί ένα αξιόπιστο πρόγραμμα ώστε να βγάζουμε τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματά μας γρήγορα και με απόλυτη ακρίβεια .