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slide 1Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Università di Padova – Facoltà di Ingegneria
Appunti sintetici sul
Metodo degli Elementi Finiti
Bruno Atzori e Mauro Ricotta
slide 2Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Obiettivi del corso
■ Introduzione alle basi teoriche del metodo dianalisi agli elementi finiti (FEM o meglio EF)
■ Metodologia per l’analisi EF
■ Acquisizione delle conoscenze operative di baseper l’utilizzo del codice STRAUS
■ Analisi lineare elastica di componenti semplici
slide 3Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Materiale didattico
Un riferimento per una più ampia trattazione della teoria è il seguente:B.Atzori “Metodi e Procedimenti di Calcolo nella Progettazione Meccanica"
Ed.Laterza
Tutorial on-line e su WEBAll’indirizzo www.campiello.it/hsh sono disponibili alcuni esempi di
applicazioni.
slide 4Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Fasi dell’analisi EFComponente o problema reale
Schematizzazione (modello fisico)
ING.
Analisi dei risultati e loro utilizzo
in progettazioneING.
Modello matematico
Soluzione modellomatematico
CALC.
• Analisi deformata• Taratura del modello con dati sperimentali
(deformata o deformazioni locali)• Confronto in punti significativi con risultati
determinati con metodi ingegneristici
Analisi ingegneristica e verificadell’esigenza di un’analisi EF
● Analisi critica dei risultati● Confronto stati tensionali con caratteristiche di
resistenza del materiale (statiche, fatica, MdF, ..)
● Semplificazione della realtà (materiale omogeneo, piccoledeformazioni, elasticità lineare, semplificazioni geometria)
● Scelta tipologia strutturale● Criteri di suddivisione● Preparazione dati su nodi ed elementi● Condizioni al contorno (vincoli e carichi)
slide 5Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Aspetti da ricordare■ Lo stesso problema reale può essere modellato in
maniera semplificata o molto complessa eraffinata (esercitazione struttura isostatica)
■ Il costo dell’analisi in termini economici, di tempodi soluzione e di spazio su disco è direttamentelegato alla strategia di modellazione
■ È quindi di fondamentale importanza una sceltaadeguata del grado di precisione del modello inrelazione al problema in esame
slide 6Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Definizioni fondamentali■ ELEMENTO: ciascuna parte in cui il corpo
o la struttura in esame viene suddivisa
■ NODO: il punto in cui un elemento è o siconsidera collegato all’eventuale elementoadiacente.
Gli elementi possono essere connessi tra loro SOLO ai nodi.
Le condizioni al contorno (carichi e vincoli) possono essereimposte SOLO ai nodi
slide 7Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Tipologie di elemento
1D 2D 3D
Mono-dimensionali Bi- dimensionali Tri-dimensionali
slide 8Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
■ Suddivisa la struttura in elementi e definiti i nodi,■ definito il tipo di elemento e quindi i gradi di libertà per nodo,■ si considerano e si numerano sequenzialmente e con la stessa
simbologia TUTTE LE FRECCE (gradi di libertà) E FORZE(reazioni) POSSIBILI anche se nulle o non rilevanti ai finidell’analisi. Es. Elemento trave inflessa:
■ Non si considera la differenza tra frecce lineari e rotazioni (siconsiderano tutte frecce) né tantomeno quella tra forze emomenti (si considerano tutte forze).
■ Non si considera la differenza tra forze applicate e reazionivincolari.
Frecce e forze generalizzate I
11,M ϕ1
11 f,F
2
22 f,F
22 ,M ϕ
Trave inflessa
slide 9Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Frecce e forze generalizzate II
2 g.d.l. per nodo 22 f,F
1
11 f,F
2
33 f,F
44 f,F
Trave inflessa
22 f,F1
11 f,F
2
ELEMENTI TRAVE
1 g.d.l. per nodo
22 f,F1
11 f,F
Asta/molla
Trave in torsione2
slide 10Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Frecce e forze generalizzate III
2f
11f
23f4f
5f
6f
più g.d.l. per nodo
Telaio piano
1 2
2f
1f3f
6f5f
4f
8f
12f9f
7f
11f
10f
Telaio spaziale x
zy
slide 11Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Frecce e forze generalizzate IV
xz
y ELEMENTI BIDIMENSIONALI
2 g.d.l. per nodo tensione piana/membrane 5 g.d.l. per nodo
flessione + membrane
3 g.d.l. per nodo piastre inflesse
ELEMENTI TRIDIMENSIONALI3 g.d.l. per nodo
slide 12Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Principio di sovrapposizione degli effetti
■ È il principio per il quale le conseguenze di un sistema dicause applicate ad un sistema risultano pari alla somma deglieffetti che ciascuna causa produrrebbe se applicatasingolarmente.
■ Si può applicare solamente nel caso in cui TUTTE le relazionitra causa ed effetto siano lineari.
f
SI NO
F1
f1
F2
F3=F1+F2
f2 f3=f1+f2 f1 f2 f3=f1+f2
F1
F2
F3=F1+F2
slide 13Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Linearità causa-effetto
f
kP
P1
k
f1 P2
k
f2 P1+P2
k
f1+f2
P1
P2
f1 f2
SI
NO
P1+P2
f1+f2
slide 14Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Non -linearità causa-effettoI problemi non lineari possono essere discretizzati atratti lineari e risolti in maniera iterativa
f
P
LINEARIZZAZIONE del problema:P viene applicato a step successivi,
ipotizzando comportamento lineareall’interno di ciascuno step e
ripartendo per ciascuna analisi dallaconfigurazione deformata raggiunta
allo step precedente!
P
P
Grandi deformazioni!
slide 15Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza IDeterminazione delle forze da applicare ad unastruttura per ottenere una deformata (frecce)
prestabilita
F
kxo
oo x
FkxkF =⋅=
k (coeff. di rigidezza) =forza da applicare per
ottenere una freccia unitaria
22 f,F1
11 f,F
2Sistemi ad 1 g.d.l
per nodo
slide 16Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza IIIl coefficiente di rigidezza kij fornisce il valoredella forza i-esima quando al sistema è imposta unafreccia j-esima unitaria e solo quella:
j
ij,i f
Fk =f3
f4
f3
f4=0
NO
SI
slide 17Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza III
f3
f4=03F
4F
1F
2F
3
443
3
223
3
333
3
113
fFk,
fFk
fFk,
fFk
==
==
3i3 k0f ≠
slide 18Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
1i1 k0f ≠
Coefficienti di rigidezza IVValutiamo le forze nei vari nodi in assenza dei vincoli
(diagramma di corpo libero) per effetto dell’applicazionedi una freccia generalizzata fi nota
con ααααij non sarebbe stato possibile, senza vincoli !!!! struttura labile!
f1
3F
4F
1F
2F
f23F
4F
1F
2F2i2 k0f ≠
slide 19Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza V
3F
4F
1F
2F
f4
3i3 k0f ≠
4,i4 k0f ≠
f3
3F
4F
1F
2F
slide 20Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza VIApplicando la sovrapposizione degli effetti, è possibilescrivere la relazione tra frecce e forze generalizzate perl’elemento considerato.Ad esempio, per calcolare il valore della forzageneralizzata F1 è necessario considerare il contributo ditutte le frecce generalizzate:
F1= k11 f1 + k12 f2 + k13 f3 + k14 f4
in generale:
Fi= ki1 f1 + ki2 f2 + ki3 f3 + ki4 f4
slide 21Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Richiami di calcolo matricialeMATRICE: un modo sintetico di indicare una tabella di numeri. Se latabella ha m righe ed n colonne si dice che è una matrice di ordine m× n.
VETTORE: è una particolare matrice in cui m=1 (vettore riga). Latrasposta di un vettore riga è un vettore colonna (n=1).
PRODOTTO DI DUE MATRICI: si ottiene facendo riga della primamatrice per colonna della seconda matrice.
Es.
=
++
=
2
1
222121
212111
2
1
2221
1211FF
fKfKfKfK
ff
KKKK
slide 22Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza VIIÈ possibile definire un vettore frecce generalizzate e un vettoreforze generalizzate a condizione che questi contengano TUTTE lefrecce e le forze (incluse quelle nulle e senza distinzione tra carichiesterni e reazioni vincolari.I due vettori saranno legati tra loro mediante la matrice [K], definitamatrice di rigidezza
n
2
1
n
2
1
F...
FF
f...
ff
{F(n,1)}=[K(n,n)]{f(n,1)}
slide 23Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza VIII
=
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
ffff
kkkkkkkkkkkkkkkk
FFFF
Esprimendo la relazione tra frecce e forze generalizzatein forma matriciale si ottiene :
slide 24Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza IXNoti tutti i kij possiamo scrivere la matrice di rigidezza di
elemento:
[ ]
=
44434241
34333231
24232221
14131211
)4x4(
kkkkkkkkkkkkkkkk
K
slide 25Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Coefficienti di rigidezza X
La relazione appena ottenuta è valida per la strutturaanalizzata indipendentemente dalle condizioni vincolari e puòquindi essere utilizzata per trovare le forze in funzione dellefrecce (note) per qualsiasi condizione vincolare della trave,
approccio impossibile con i coefficienti di deformabilità!(per questo i codici EF sono basati sul metodo dei coefficienti di rigidezza!)
f1 = f2 = 0 f3 = f4 = 0
f1 = f3 = 0
slide 26Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Differenze fra elementi trave ed altri tipi
Da quanto visto, per utilizzare gli elementi finiti è necessarioconoscere la matrice di rigidezza di un elemento.
Per gli elementi trave la matrice di rigidezza [K] è esatta (nelcaso di carichi concentrati non serve infittire la suddivisione inelementi per avere risultati con una migliore approssimazione).
Per gli altri tipi di elementi la matrice di rigidezza è soloapprossimata (in presenza di gradienti di tensioni e dideformazioni è necessario infittire la suddivisione per avererisultati con una migliore approssimazione).
slide 27Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Differenze fra elementi trave ed altri tipi - II
La precedenti affermazioni possono essere giustificate considerandol’esempio seguente.
σ=N/A=costε= σ/Ε=cost
F
l
flxfx ⋅=
xfx
f
Se si assume una distribuzionelineare delle frecce ne consegue unvalore costante di σ ed ε.
Nel caso di elementi asta (e di tuttigli elementi trave) tale assunzionecorrisponde alla realtà.
slide 28Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
{ } { }f]a[fi ⋅=
La relazione generale che lega le frecce interne fi dell’elemento conquelle nodali è:
lx)ff(ff 121x ⋅−+=
in cui f1 e f2 sono gli spostamenti per x=0 e x=l, rispettivamente.
La precedente relazione si può scrivere come:
{ }f]a[ff
lx ,
lx1f
2
1x ⋅=
⋅
−=
La matrice [a] è detta funzione di forma e permette di esprimere lefrecce interne {fi} di un elemento noti gli spostamenti nodali {f}.
In generale quindi vale che:
Differenze fra elementi trave ed altri tipi - III
slide 29Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Nel caso dell’elemento membrana (e di tutti gli elementi non trave)l’assunzione porta all’approssimazione indicata nella zonatratteggiata.
σg
Differenze fra elementi trave ed altri tipi - IV
slide 30Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione della matrice di rigidezza - I
APPROCCIO FISICO. In una struttura composta da travi un genericoKij può dipendere da un solo elemento, da più elementi o essere nullo:
• se i e j si riferiscono ad un unico nodo, il Kij dipende da tutti glielementi che convergono in quel nodo.
•Se i e j si riferiscono a nodi diversi:
a) esiste un elemento che collega i due nodi e quindi il Kij dipende da quel solo elemento;
b) non esiste un elemento che collega i due nodi e quindi il Kij ènullo.
slide 31Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione della matrice di rigidezzaASSIALE per elemento asta -I
Esempio: matrice di rigidezza per elemento ASTA/ MOLLA lungo Le con area A della sezione trasversale
⋅
=
2
1
2221
1211
2
1
ff
KKKK
FF
Dalla teoria dell’elasticità lineare e nell’ipotesi di piccoli spostamenti:
x
x
xx
xx
E
dxdfAF
εσ=
=ε
=σintegrando
11
x
1xxx
x
cEAxFf
EAF
E1
AF
Edxdf
+⋅⋅−=
⋅−=⋅=σ=ε=
slide 32Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione della matrice di rigidezza ASSIALE per elemento asta -I I
Imponendo, per x = 0, fx = f1=1 e, per x=L, fx = f2=0, si ricava:
{ }
−
−⋅=
⋅=
⋅
−
−⋅=
1111
LEA]K[
f]K[ff
1111
LEA
FF
asta
asta2
1
2
1
LEAK11
⋅=
Poiché per l’equilibrio F1+F2 = 0, si ricava:L
EAK21⋅−=
Quindi alla fine si ottiene:
slide 33Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione della matrice di rigidezzaFLESSIONALE per elemento trave -I
Esempio: matrice di rigidezza per elemento TRAVE
22 f,F1
11 f,F
2
33 f,F
44 f,F
212
212
2
2
FxFEIdx
yd
xFFMEIM
dxyd
−⋅=⋅
⋅−=
−=
Dall’equazione della linea elastica:
slide 34Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione della matrice di rigidezza FLESSIONALE per elemento trave -II
Integrando
21
22
31
12
21
cxc2xF
6xFyEI
cxF2xFEI
dxdy
++−=
+−=
Determiniamo Ki1: f1=1; f2=f3=f4=0
x=0f1= 1
f2= 0
EI·1= c2
0 = c1
x=Lf3= 0
f4= 0LF
2LF0
cLc2LF
6LF0
2
21
21
22
31
−=
++−=
slide 35Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
22
31
LEI6F
LEI12F
=
=
Risolvendo si ottiene
Determinazione della matrice di rigidezza FLESSIONALE per elemento trave -III
Per determinare F3 ed F4 si fa equilibrio
24142
313
LEI6 F 0LFFF
LEI12FF
=⇒=−+
−=−=
slide 36Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione della matrice di rigidezza FLESSIONALE per elemento trave - IV
Quindi
.fFK
;fFK
;fFK
;fFK
1
441
1
331
1
221
1
111
=
=
=
=
1 colonna dellamatrice di rigidezza
slide 37Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione della matrice di rigidezza – FLESSIONALE per elemento trave - V
[ ]
−−−−
−−
=
−
−−−
−
−
=
STSTTMTM
STSTTMTM
LL
LLLL
LL
LLLL
LEIK Trave
2
2
2313
3636
1323
3636
2
22
22
Operando in modo analogo per le altre colonne si può ottenere lamatrice completa :
slide 38Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Ricordando che si ottiene:
( ) [ ] { }f]b[ff
1 ,1L1ff
L1
dxdf
2
112
xx ⋅=
⋅−⋅=−⋅==ε
dxdfx
x =ε
La matrice [b] non ha un nome particolare e consente di esprimere leDEFORMAZIONI (e quindi le TENSIONI) in funzione delle FRECCENODALI.IMPORTANTE. In questo caso la distribuzione delle deformazioni è esattapoiché ricavata dalla Teoria dell’Elasticità Lineare e nell’ipotesi di piccolispostamenti.
Determinate le forze e gli spostamenti, si determinano ora tensioni edeformazioni.Determinazione del tensore delle deformazioni [ε] nel caso di elemento ASTA
Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - I
slide 39Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Esempio applicativo - I
F= 1000NA=10 mm2
E= 200000 MPaν = 0.3
F1 m
Bisognerà innanzitutto descrivere la struttura libera al calcolatore,fornendo le coordinate dei nodi (in questo caso 0 per Nodo 1 e 1000per Nodo 2, supponendo di lavorare in mm).Si forniscono quindi le caratteristiche di ciascun elemento (in questocaso A, E, e ν).Si daranno le incidenze di ciascun elemento (si dirà cioè, in questocaso, che l’elemento 1 va dal nodo al nodo 2).Si dirà la tipologia di elemento (in questo caso ASTA, supponendo cheil programma usato lo contenga).
slide 40Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Esempio applicativo - II
A questo punto il calcolatore è in grado di descrivere la matrice dirigidezza dell’elemento:
−
−⋅=
1111
2000]K[ asta
Poiché saranno stati dati anche i vincoli (f1 = 0), si avrà:
⋅
−
−⋅=
22
1f0
1111
2000FF
da cui F1= -2000·f2
F2= 2000·f2
slide 41Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Esempio applicativo - III
Poiché si saranno dati i carichi esterni (F2=1000N), si puòdeterminare f2 dalla equazione precedente:
mm 5.020001000ff
mmN 2000]N[ 1000 22 ==⇒⋅
=
Note le frecce, verranno sostituite nelle equazioni contenenti lereazioni vincolari, permettendone il calcolo:
N 1000]mm[ 5.0mmN 2000F1 =⋅
−=
slide 42Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Esempio applicativo - IV
Il calcolatore valuterà quindi le deformazioni (strain) e le tensioni (stress)
[ ] [ ] µε=⋅=
⋅−⋅=
⋅−⋅=ε − 500105.05.0
01 ,1
10001
ff
1 ,1L1 3
2
1x
MPa 100105.0200000E 3xx =⋅⋅=ε⋅=σ −
slide 43Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - II
Elemento piano triangolare in sollecitazione piana
f1f2
f3
f4
f5
f6
fx
fy
1
2
3
Con gli elementi finiti si determina solo quanto accade ai nodi e quindinon si conosce cosa succede fra un nodo e l’altro.
slide 44Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - III
In questo caso per determinare le frecce interne manca un sostegnoteorico che consenta di dire come sia la variazione delle frecce fra unnodo e l’altro.
f2
f4
Se si avvicinano fra loro f2 ed f4 si si può APPROSSIMARE la curvacon una retta e quindi si vede come con questi elementi siaimportante infittire la mesh.
slide 45Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - IV
Assumiamo ARBITRARIAMENTE una LEGGE LINEARE
fX=c1+ c2x+ c3y
fy=c4+ c5x+ c6y
Con le condizioni al contorno si determinano le costanti.x=x1y=y1
fx=f1
fy=f2
x=x2y=y2
fx=f3
fy=f4
x=x3y=y3
fx=f5
fy=f6
slide 46Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - VII
si ottiene alla fine:
=
6
5
4
3
2
1
321
321
y
x
ffffff
a0a0a00a0a0a
ff
Si è quindi ottenuta la funzione di forma [a] per un elementotriangolare, funzione che ricordiamo non essere esatta!
{ } { }f]a[fi ⋅=
o anche
slide 47Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Determinazione delle tensioni e delle deformazioni VIII
Note le espressioni per fx e fy è possibile determinare {ε}.
{ }
−−−−−
−=
δδ
+δδ
δδδδ
=
εεε
=ε
6
5
4
3
2
1
212131313232
213132
213132
yx
y
x
xy
y
x
ffffff
yxyxyxx0x0x00y0y0y
A21
xf
yf
yfxf
{ } [ ] { }f⋅ε=εIn notazione compatta:
In questo caso si usa la notazione invece di [b] per ricordare chestiamo lavorando con una approssimazione. La legge di variazioneassunta per gli spostamenti porta a deformazioni costanti e quindi,nell’ipotesi di Elasticità Lineare, a tensioni costanti all’interno delsingolo elemento.
[ ]ε
slide 48Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Si può facilmente comprendere che, per descrivere in maniera agevole lestrutture reali, è comodo disporre di elementi a lati curvilinei che siano ingrado di adattarsi facilmente alle diverse geometrie. E’ chiaro che perdefinire un elemento di questo tipo è necessario utilizzare un’ulteriorefunzione, che chiamiamo, in analogia a quanto finora visto, funzione digeometria in grado di descrivere la geometria dell’elemento in funzionedelle sue coordinate di nodo.
Per elementi di questo tipo si dovranno definire quindi sia una serie diparametri per descriverne la deformazione, sia le funzioni di geometriaper descrivere la geometria dell’elemento.
Elementi a lati curvilinei - I
slide 49Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti
Elementi a lati curvilinei - IISe i parametri di tipo geometrico sono maggiori, uguali o minori aquelli che individuano la deformazione dell’elemento, esso prenderà ilnome di superparametrico, isoparametrico o subparametrico,rispettivamente.
Iso-parametricoGeometrici = Deformazione
Sub-parametricoGeometrici < Deformazione
Super-parametricoGeometrici > Deformazione
Tipo elementoParametri